ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRI ČNO NAPREZANJErc5.gaf.ni.ac.rs/dec/mehanika/homes/mehanika/Otpornost...

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJEEKCENTRI ČNO NAPREZANJE

OTPORNOST MATERIJALA I

ČISTO KOSO SAVIJANJE

� Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni inercije poprečnog preseka.

� Koso savijanje je slučaj kada ravan savijanja seče osu štapa z, a ne poklapa se ni sa jednom od glavnih ravni inercije poprečnog preseka.

� Pri kosom savijanju štap se savija istovremeno oko obe glavne ose poprečnog preseka.

PRIMERI U KOJIMA SE JAVLJA ČISTO KOSO SAVIJANJE

x

xx

x

y

y

yy

x, y – težišne ose

(1), (2) – glavne centralne ose

PRIMERI U KOJIMA SE JAVLJA ČISTO KOSO SAVIJANJE – krovna rožnja ča

rožnjača

rožnjača

ČISTO KOSO SAVIJANJE

Posmatra se greda izložena dejstvu momenata ±±±±M na krajevima tako da ravan savijanja ππππ - ππππ prolazi kroz težište poprečnog preseka i zaklapa sa glavnom osom inercije y ugao α.

Vektor rezultuju ćeg momenta savijanja ±±±± M upravan je na ravan savijanja i ima dve svoje komponente:

xM Mcos± = ± α yM Msin± = ± α

ČISTO KOSO SAVIJANJE

Pri čistom kosom savijanju greda je opterećena na savijanje u ravni ππππ koja seče osu štapa z, ali se ne poklapa ni sa jednom od glavnih ravni.

Momenti M x i M y izazivaju savijanje štapa oko odgovarajućih osa: Mx oko ose x i My oko ose y, tj. izazivaju čisto pravo savijanje u glavnim ravnima inercije yz, odnosno xz.

ČISTO KOSO SAVIJANJE

ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON

Momenti M x =Mcosα deluju u ravni yz, pa u tački (x,y) preseka izazivaju čisto pravo savijanje, tj. normalni napon

Momenti M y =Msinα deluju u ravni xz i u tački (x,y) preseka izazivaju čisto pravo savijanje, tj. normalni napon

xz

x

My

Iσ =

yz

y

Mx

Iσ =

Važi princip superpozicije:

Ukupan normalni napon u tački (x,y) preseka nastao usled jednovremenog dejstva momenata Mx i M y jednak je algebarskom zbiru napona koji se javljaju posebno od komponente Mx i komponente My

yxz

x y

MMy x

I Iσ = +

ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON

Naponi od Mx i M y su kolinearni – deluju upravno na presek pa se mogu algebarski sabrati.

ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON

σz je linerana funkcija koordinata x i y

Ukupan normalni napon u tački (x,y) preseka nastao od istovremenog dejstva spregova Mx i M y

yxz

x y

MMy x

I Iσ = +

zx y

Mcos Msiny x

I Iσ +α α=

xM M cos= α yM Msin= α

ČISTO KOSO SAVIJANJE – NORMALNI NAPON

Normalni naponi u poprečnom preseku:

Normalni napon od My

Normalni napon od Mx

Ukupan normalni napon

ČISTO KOSO SAVIJANJE – DILATACIJE

Primenom Hukovog zakona određuju se podužne i poprečne dilatacije

Podužna dilatacija:

Poprečna dilatacija

εν−=εp

E

σ=εyx

zx y

MM1y x

E I I

ε = +

yxx

x y

MMy x

E I I

νε = − +

yxy

x y

MMy x

E I I

νε = − +

ČISTO KOSO SAVIJANJE –NEUTRALNA OSAKao kod čistog pravog savijanja, i kod čistog kosog savijanja postoje u preseku tačke u kojima je normalni napon jednak nuli.

Neutralna osa predstavlja geometrijsko mesto tačaka u poprečnom preseku u kojima je normalni napon jednak nuli.

zx y

x y

cos sin0, M y x 0

I I

cos sinM 0, y x 0

I I

α ασ = + =

α α≠ + =

Ovo je jednačina prave kroz koordinatni početak koja je u slučaju kosog savijanja neutralna osa n-n.

Za razliku od pravog savijanja neutralna osa nije upravna na ravan dejstva spregova ππππ.

Pošto je:

ČISTO KOSO SAVIJANJE –POLOŽAJ NEUTRALNE OSE

Jednačina neutralne ose može da se napiše u obliku: x y

cos siny x 0

I I

α α+ =

x

y

Iy tg x

I

= − α

y tg x= β

x

y

Iytg tg

x Iβ = = − α

ČISTO KOSO SAVIJANJE – POLOŽAJ NEUTRALNE OSE

Ugao ββββ određuje položaj neutralne ose n-n (mereno od pozitivnog smera x ose).

Upravno na pravac neutralne ose n-n nalazi se osa s-s, koja predstavlja presek ravni savijanja grede i ravni poprečnog preseka.

Za razliku od čistog pravog savijanja, kod čistog kosog savijanja neutralna osa nije upravna na ravan π u kojoj deluju spregovi M.

x

y

Iyarc tg arc tg tg

x I

β = = − α

β

yxz

x y

MMy x

I Iσ = +

zx y

Mcos Msiny x

I Iσ +α α=

ČISTO KOSO SAVIJANJE –MAKSIMALNI NORMALNI NAPON. USLOV ČVRSTOĆE

Ukupan normalni napon kod kosog savijanja je linarna funkcija koordinata x i y. Normalni napon je jednak nuli na neutralnoj osi, linearno raste sa udaljenjem tačke od te ose, a najveće vrednosti dostiže u najudaljenijim tačkama od neutralne ose.

ČISTO KOSO SAVIJANJE – DIMENZIONISANJE

Pri dimenzionisanju grede mora biti zadovoljen uslov:

zx y

Mcos Msiny x

I Iσ +α α=

ČISTO KOSO SAVIJANJE – PRIMER

Greda pravougaonog poprečnog preseka b x h = 6 x 12cm opterećena je na krajevima momentom M = 1 kNm, kao na slici. Odrediti položajneutralne ose poprečnog preseka i maksimalni napon.

α = 600 + 1800 = 2400

Ix = 864cm4 Iy= 216cm4

y tg x= β

x

y

Iy tg x 4 3 x

I

= − α = −

tg 4 3β = − ( ) 0arc tg 4 3 82β= − =

ČISTO KOSO SAVIJANJE – PRIMER

Maksimalni napon je u najudaljenijim tačkama od neutralne ose , tj. u tačkama A i B.

zx y

Mcos Msiny x

I Iσ +α α=

Odrediti maksimalni normalni napon i položaj neutralne ose.

Maksimalni napon zatezanja se javlja u tački B, a najveći napon pritiska u tački C.

Ose x i y su glavne centralne ose inercije.Obe komponente momenta su negativne,što je na slici prikazano.U odnosu na neutralnu osu najudaljenije su tačke B i D.Tačka B se nalazi na delu preseka kogaobe komponente momenta zatežu,dok se tačka D nalazina delu preseka kogaoba momenta pritiskaju.

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE

OTPORNOST MATERIJALA I

EKSCENTRIČNI PRITISAK ILI ZATEZANJE

Ekscentri čni pritisak je složeno

naprezanje koje se sastoji od aksijalnog naprezanja i kosog

savijanja.

Sila koja deluje u pravcu paralelnom osi nosa ča u tački

A (ex, ey) redukuje se na težište pa postoji:

Sila u težištu preseka i moment

usled redukcije sile na težište

EKSCENTRIČNI PRITISAK ILI ZATEZANJE

Ukoliko je greda opterećena na krajevima aksijalnom silom koja ne prolazi kroz težište poprečnog preseka imamo slučaj ekscentričnog naprezanja grede.

ex i ey – ekscentriciteti sile

y y

Redukcijom sile F na težište poprečnog preseka dobija se sila F koja deluje u težištu preseka u pravcu ose štapa i spregovi sa momentima:

koji izazivaju čista prava savijanja oko osa x i y.

Ekscentrični pritisak predstavlja kombinaciju aksijalnog naprezanja i savijanja grede u ravni xz i ravni yz.

EKSCENTRIČNONAPREZANJE

x yM F e= ⋅ y xM F e= ⋅

y

y

EKSCENTRIČNI PRITISAK – NORMALNI NAPON

Napon koji se javlja u gredi se može odrediti pomoću izraza:

napon usled aksijalne sile

yxz

x y

MMFy x

A I Iσ = − − −

napon usled Mx

napon usled My

Momenti M x i M y izazivaju čista prava savijanja oko osa x i y (u svim tačkama kvadranta u kome je tačka A taj napon je negativan).

Sila F izaziva aksijalno naprezanje (normalni napon je sa znakom minus jer sila pritiska ceo presek).

yxz

x y

MMFy x

A I Iσ = − − −

Stanje napona je linearno ali nije homogeno, jer zavisi od položaja tačke u poprečnom preseku.

y xz

x y

F e F eFy x

A I I

⋅ ⋅σ = − − −

U svim tačkama kvadranta u kome je tačka A važi ovaj izraz.

Sila pritiska ceo presek, momenti u odnosu na ose x i y su takvi da izazivaju negativan napon u svim tačkama kvadranta u kome se nalazi tačka A.

y

Stanje napona je linearno ali nije homogeno, jer zavisi od položaja tačke u poprečnom preseku.

yxz

x y

MMFy x

A I Iσ = − ± ±

• Sila F se uzima u apsolutnom iznosu;• Koordinate tačke u kojoj deluje sila

(ex i ey) se uzimaju sa svojim znacima;

• Koordinate tačke u kojoj se određuje napon (x i y) su tekuće koordinate.

yxz

x y

MMFy x

A I Iσ = − ± ±

yxA A A

x y

MMFy x

A I Iσ = − + +

yxB B B

x y

MMFy x

A I Iσ = − − +

yxC C C

x y

MMFy x

A I Iσ = − − −

yxD D D

x y

MMFy x

A I Iσ = − + −

EKSCENTRIČNI PRITISAK – NORMALNI NAPON

� ex i ey – koordinate napadne tačke sile – ekscentriciteti,

� x i y – koordinate tačke poprečnog preseka u kojoj se određuje napon,

� ix i iy – glavni centralni poluprečnici inercije poprečnog preseka grede

yxz

x y

MMFy x

A I Iσ = − − − x yM F e= ⋅

y xM F e= ⋅y x

zx y

F e F eFy x

A I I

⋅ ⋅σ = − − −

y yx xz 2 2

x y x y

e A ee A eF F1 y x 1 y x

A I I A

σ = − + + = − + +

i i

2 xx

I

A=i y2

y

I

A=i

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – NEUTRALNA OSA

Kako je

Jednačina neutralne ose

Neutralna osa je prava linija koja ne prolazi kroz težište preseka (postoji slobodan član u jednačini prave).

Neutralna osa je geometrijsko mesto tačaka u kojima je normalni napon σσσσz=0

y xz 2 2

x y

e eF1 y x 0

A

σ = − + + =

i i

F0

A≠

y x2 2

x y

e e1 y x 0+ + =

i i

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – NEUTRALNA OSA

Neutralna osa:

Odsečci neutralne ose na koordinatnim osama x i y su:

y x2 2

x y

e e1 y x 0+ + =

i i

2x

y

2y

x

x 0 y be

y 0 xe

= → = = −

= → = = −

i

ia

2 2y x

x y

be e

= − = −i i

a

Iz dobijenih obrazaca se vidi da ovi odsečci ne zavise od veličine sile F, već samo od položaja njene napadne tačke (ex i ey) i oblika poprečnog preseka (ix i iy, tj. Ix i Iy).

što se popudara sa jednačinom neutralne ose. Prema tome, važi pravilo:

Jednačina glavne centralne elipse inercije:

Ako se pretpostavi da se napadna tačka A (ex, ey) sile F nalazi baš na elipsi inercije, tada će za konjugovanu tačku B (-ex, -ey) , koja je takođe na elipsi, jednačina tangente na elipsu imati oblik:

Ako je kod ekscentričnog pritiska napadna tačka sile na centralnoj elipsi inercije, tada se neutralna osa poklapa sa tangentom na elipsu inercije u konjugovanoj tački.

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE – VEZA POLOŽAJA NEUTRALNE OSE I CENTRALNE ELIPSE INERCIJE

2 2

2 2y x

x y1 0+ − =

i i

yx2 2

y x

eex y 1 0+ + =

i iyx

2 2y x

eex y 1 0− − − =

i itj.

� Ukoliko se napadna tačka sile pomera po pravoj koja prolazi kroz težište poprečnog preseka, neutralna osa se paralelno pomera u istom smeru.

� Ukoliko se napadna tačka sile pomera po pravoj m-m koja ne prolazi kroz težište poprečnog preseka, odgovarajuća neutralna osa se obrće oko tačke A za koju je prava m-m neutralna osa.

SPECIJALNI SLUČAJ EKSCENTRIČNOG PRITISKA -NAPADNA TAČKA SILE JE NA JEDNOJ OD GLAVNIH OSA INERCIJE

Neka je napadna tačka sile je na osi x, koja je glavna osa, tada je: x ye 0, e 0≠ =

Izraz za normalni napon tada je: x xz

y y

F e eF Fx 1 x

A I A

⋅σ = − − = − + i

a jednačina neutralne linije je u tom slučaju: x

y

e1 x 0+ =

i

tj. neutralna osa je u tom slučaju prava paralelna sa osom y.

Kada je napadna tačka sile na osi y neutralna osa je prava paralelna sa osom x, a kada ne na osi x, neutralna osa je prava paralelna sa osom y.

Primer: Naći ekstremne vrednosti normalnog napona za stub pravougaonog poprečnog preseka, opterećenog u tački A ekscentričnom silom pritiska F

2 2

x y x y

h bA b h, i , i , e 0, e e

12 12= ⋅ = = = =

y xz

x y

F e F eFy x

A I I

⋅ ⋅σ = − − −

y xz

x y

F e F eFy x

A I I

⋅ ⋅σ = − − −2

F 12ey 1

b h h = − +

Sledi da će ekstremne vrednosti napona biti na krajnjim vlaknima, tj. za y=±h/2:

z,max

z,min

F 6e1

b h h

F 6e1

b h h

σ = − − +

σ = − + 2h

y12e

= −Neutralna osa ima jednačinu:

tj. paralelna je osi x.

y

x

-

� Položaj neutralne linije ne zavisi od veličine sile F, već samo od položaja njene napadne tačke i oblika poprečnog preseka.

� Neutralna linija se nalazi uvek u dijagonalno suprotnom kvadrantu u odnosu na kvadrant u kome je napadna tačka sile.

� Težište poprečnog preseka je uvek između neutralne ose i napadne tačke sile.

� Što je napadna tačka sile udaljenija, to je neutralna linija bliža težištu.

� Ako se napadna tačka sile nalazi na nekoj od osa, neutralna linija je upravna na tu osu.

JEZGRO PRESEKA

Neutralna osa je geometrijsko mesto tačaka u kojima je normalni napon jednak nuli.Ona deli površinu poprečnog preseka na dva dela: u jednom delu su naponi zatezanja, a u drugom, u kome se nalazi napadna tačka sile pritiska, su naponi pritiska.

Neutralna osa se udaljuje od težišta preseka kada mu se napadna tačka približava i obratno.Kada se toliko približi težištu da neutralna osa dodiruje presek, tada je u dodirnoj tački N normalni napon jednak nuli, a u svim tačkama preseka vlada napon istog znaka.

Ako se tačka još približi težištu, neutralna osa je van preseka, pa je opet u svim tačkama preseka napon istog znaka.

U konstrukcijama se često koriste ekscentrično pritisnuti stubovi izrađeni od materijala koji dobro podnose pritisak, a veoma slabo zatezanje (beton).

U tom slučaju moraju napadne tačke sila da budu takve da neutralna osa bude van površine preseka, ili da ga dodiruje.

Napadne tačke sila čije neutralne ose obavijaju konturu preseka omeđuju deo površine preseka koja se naziva jezgro preseka.

Pogodnim odabiranjem dimenzija preseka nastoji se da se u takvim konstrukcijama postigne da napadna sila rezultante pritiskaju ćih sila padne unutar jezgra preseka.

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE GREDE – JEZGRO PRESEKA

Skup napadnih tačaka sila,čije neutralne ose tangiraju (obavijaju) konturu poprečnog preseka grede,ograničava malu površinu oko težišta poprečnog preseka grede koja se naziva jezgro preseka.

Ako je napadna tačka sile van jezgra, u jednom delu preseka je zatezanje, a u drugom pritisak.Određivanje jezgra preseka je od velike važnosti u tehničkoj praksi jer pojedini materijali (beton) dobro podnose pritisak,a veoma slabo zatezanje.

Ukoliko je napadna tačka sile unutar jezgra, u svim tačkama preseka vlada napon istog znaka.

JEZGRA POPREČNIH PRESEKA NEKIH RAVNIH FIGURA

Ukoliko sila deluje na konturi jezgra odgovarajuće neutralne ose su tangente na konturu poprečnog preseka (ne smeju je seći).

2 2y x

x y

be e

= − = −i i

a

JEZGRO KRUŽNOG POPREČNOG PRESEKA

Odsečci neutralne ose na koordinatnim osama x i y su:

Traži se položaj tačke A pri kome bi neutralna osa n – n tangirala krug poluprečnika R. Odsečci ove ose su: a = ∞∞∞∞ i b = −−−−R.

4

xx y 2

RI R4A R 2

π

= = = =π

i i

Zbog simetrije sledi da je jezgro preseka krug poluprečnika R/4.

2

2y

xx x

2

2x

yy y

R2

e 0e e

RR2

b b R ee e 4

= − ⇒ = ∞ = − ⇒ =

= − ⇒ = − = − ⇒ =

ia a

i

Odsečci neutralne ose n1-n1 nakoordinatnim osama x i y su:

b, b ,

2= = ∞a

3 3

2 2y2 2x

x y

b h h bII h b12 12,

A b h 12 A b h 12= = = = = =i i

2 2y x

x y

be e

= − = −i i

a

2

xx

12

yy

bb b12 e2 e 6 b

A ,06h

12 e 0e

= − ⇒ = − ⇒ −

∞ = − ⇒ =

Neutralnoj osi n1-n1 odgovara tačka A1(ex,ey):

Neutralnoj osi n2-n2 odgovara tačka A2(ex,ey):

h, b ,

2= ∞ =a

Odsečci neutralne ose n2-n2 nakoordinatnim osama x i y su:

2

xx

22

yy

b12 e 0e h

A 0,6h

h h12 e2 e 6

∞ = − ⇒ = ⇒ −

= − ⇒ = −

Određivanje jezgra preseka za pravougaoni poprečni presek dimenzija bxh

Odsečci neutralne ose n3-n3 nakoordinatnim osama x i y su:

b, b ,

2= − = ∞a

3

bA ,0

6

Neutralnoj osi n3-n3 odgovara tačka A3:

Neutralnoj osi n4-n4 odgovara tačka A4 sa koordinatama:

Odsečci neutralne ose n4-n4 na koordinatnim osama x i y su:h

, b ,2

= ∞ = −a

4

hA 0,

6

Osim tačaka A1, A2, A3 i A4, kojima odgovaraju neutralne ose koje se poklapaju sa ivicama pravougaonika, u svakom temenu pravougaonika ima beskonačno mnogo tangenata na konturu pravougaonika. Njima odgovaraju tačke na konturi jezgra. Prava A1A2 je deo konture jezgra koja odgovara svim mogućim neutralnim osama koje dodiruju pravougaonik u temenu P. Slično važi i za strane A2A3, A3A4 i A4A1.Prema tome jezgro pravougaonika ima oblik romba sa dijagonalama b/3 i h/3.

� Poligonalnom konveksnom preseku odgovara poligonalno jezgro i to tako da svakom vrhu datog poligona odgovara strana konture jezgra, a svakoj strani poligona odgovara vrh konture jezgra.

� Ako presek nije konveksan, otpadaju izrazmatranja one tangente na vrhovima P1i P2 koje bi sekle površinu preseka, tj. Za konstrukciju jezgra merodavne su tangente n1-n1, n2-n2, n3-n3, n4-n4 i n5-n5.

Postupak: odrede se redom sve karakteristične tačke konture jezgra koje odgovaraju tangentama koje obavijaju (ne seku) konturu preseka, pa se spajanjem tih tačaka dobija cela kontura jezgra preseka.

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE –DIMENZIONISANJE

Pri dimenzionisanju ekscentrično pritisnute grede neophodno je da bude zadovoljen uslov:

gde su σdoz+ i σdoz

- dozvoljeni naponi na zatezanje,

odnosno pritisak.

Ekstremne vrednosti napona javljaju se u tačkama najudaljenijim od neutralne ose poprečnog preseka, pa su te tačke merodavne za dimenzionisanje.

maxz doz

+ +σ ≤ σ maxz doz

− −σ ≤ σ

Primer – Ekscentrično naprezanje – Jezgro preseka – Dimenzionisanje

Za poprečni presek kao na slici odrediti položaj neutralne ose ako ekscentrična sila pritiska F = 100 kN deluje u tački A. Dimenzionisati nosač ako je σdoz = 16 kN/cm2. Odrediti jezgro preseka.

Primer – Ekscentrično naprezanje – Dimenzionisanje

Primer – Ekscentrično naprezanje – određivanje jezgra preseka

n1-n1:

n2-n2:

n3-n3:

n4-n4:

Primer – Ekscentrično naprezanje

Drveni stub pravougaonog poprečnog preseka 15 x 20 cm opterećen je ekscentričnom silom pritiska od 90 kN koja deluje u tački N (3 cm,3 cm). Odrediti položaj neutralne ose i maxsimalne normalne napone.

Naponi u tačkama A i C su: