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연립일차방정식과 행렬5 1・행렬연산의 성질5 2・
소거법과 소거법5 3 Gauss Gauss-Jordan・역행렬5 4・
라플라스(Pierre-Simon Laplacc, 1749 1827)~
나폴레옹이 그의 논문에 신이 언급되지 않았다는 까다로운 지적을 했을 때 라플라
스는 폐하 저는 그 가설이 필요치 않았습니다 라고 대답했다" , " .
그리고 미국의 천문학자 나다니엘 보우디취는 라플라스의 논문을 영역할 때 나는"
라플라스가 따라서 그것은 명백하다 고 한 부분을 여러 시간 힘들여 부족한 부분을' '
공부하여 왜 그것이 명백한가를 알아내지 않고서는 결코 이해하지 못한다 고 언급“
했다.
연립일차방정식과 행렬
미지수 에 관한 일차방정식 은(linear equation) 와 계수 이
실수일 때 다음과 같은 꼴로 나타내어지는 방정식이다, .
일반적으로 미지수, 에 관한 유한개의 일차방정식의 모임
을 연립일차방정식 이라고 한다(system of linear equations) .
실수 이 모두 이면 이 연립방정식을0 동차 라 하고 그렇지 않(homogeneous)
으면 비동차 라고 한다 연립일차방정식의 미지수(nonhomogeneous) . 에 어떤
수 을 각각 대입하였을 때 각 방정식이 모두 성립하면, ( 을 이 연)
립일차방정식의 해 라고 한다(solution) .
연립일차방정식의 해 전체의 집합을 연립일차방정식의 해집합 이라 하며 동일(solution set) ,
한 해집합을 가지는 두 연립일차방정식을 동치 라고 한다(equivalent) .
일반적으로 연립일차방정식에 대하여 다음 중 하나가 성립한다, .
214
해를 갖지 않는다( ) .ⅰ
유일한 해를 갖는다( ) .ⅱ
무수히 많은 해를 갖는다( ) .ⅲ
연립일차방정식의 해법인 소거법에서 변수의 기능은 위치를 나타내는 역할 이외에는 없다.
따라서 변수를 반복해서 쓸 필요가 없고 계수만으로 소거법을 시행하여도 해를 얻을 수 있는, ,
데 이러한 방법을 소거법 절 참조 이라고 한다 이를 위해 다음과 같이 행렬을 정의Gauss (5 3 ) .・한다.
실수 또는 복소수 를 다음과 같이 직사각형 모양으로 배열한 것을( ) 행렬 이라 하며(matrix) ,
그 각각의 수를 행렬의 성분 이라고 한다(entry) .
(5 1)・
행렬 에서
을 의 행( th row of 이라 하고) ,
을 의 열( th column of 이라고 한다 또) . , 개의 행과 개의 열을 갖는 행렬
를 크기 가(size) 인 행렬이라 하며 특히, 이면 차의 정사각행렬(square matrix)
이라고 한다.
행렬 의 행, 열의 성분 를 의 성분이라 하며, 차의 정사각행렬 의 성분
을 주대각선성분 이라고 한다 행렬 은(main diagonal entries) . (5 1)・성분을 써서 다음과 같이 간단히 나타내기도 한다.
또는
정사각행렬 의 주대각선성분 이외의 모든 성분이 일 때0 , 를 대각행렬(diagonal matrix)
이라 한다 특히 주대각선성분이 모두 같은 대각행렬을. , 스칼라행렬 이라고(scalar matrix) 한다.
215
다음은 모두 대각행렬이다 특히. , 와 는 스칼라행렬이다.
두 행렬 , 가 모든 에 대하여 를 만족하면 서
로 같다 고 하고(equal) 로 나타낸다.
두 행렬 , 와 실수 에 대하여 와 의 합(sum)
와 의 스칼라배(scalar multiple) 를 다음과 같이 정의한다.
,
일반적으로 는 간단히 로 쓴다.
두 행렬 , 에 대하여 와 의 곱(product) 를 다
음과 같이 정의한다.
여기서,
216
위의 정의에서 의 성분은 의 행에 있는 각 성분에 의 열에 있는 성분을
차례로 곱하여 모두 더한 것임을 의미한다 따라서. , 와 의 곱은 의 열의 개수와 의
행의 개수가 같을 때에만 정의된다.
의 번째 행을 로 의 번째 열을 로 표시한다면 로 쓸 수 있
다 이를 이용하면. 의 성분은 이다 이 기호법은 증명이 필요할 때 사.
용하면 편리하다.
행렬
에 대하여 를 구하시오.
이제, 개의 미지수를 갖는 개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식
(5 2)・
을 생각하자 이때.
이라 하면 연립일차방정식 는 행렬의 곱을 이용하여 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다(5 2) .・
이때 행렬, 를 연립일차방정식 의(5 2)・ 계수행렬 이라 하며(coefficient matrix) , 에
를 붙여서 만든 행렬
217
을 연립일차방정식 의(5 2)・ 첨가행렬 이라고 한다(augmented matrix) .
다음 연립일차방정식을 행렬의 곱을 이용하여 나타내라 또 연립일차방정식의 첨가행렬을 구.
하여라.
이라 할 때, 이다 그리고 첨가행렬은.
=
행렬연산의 성질
행렬연산의 성질은 우리가 이미 알고 있는 실수의 연산성질과 유사한 점이 많으나 몇 가지
예외가 있다 가장 중요한 예외는 곱에 관한 것이다 실수. . 에 대하여 는 항상 성
립하지만 행렬, 에 대하여 가 일반적으로는 성립하지 않는다 이 등식이 성립.
될 수 없는 이유에는 또는 가 정의되지 않는 경우와 가 모두 정의되더라도
인 경우가 있는데 다음 예를 통하여 이를 확인해 보도록 하자, .
행렬 가 각각 다음과 같다고 하자.
이 때, 는 정의되지만 는 정의되지 않으며, 는 행렬이지만 는
행렬이므로 이다 또. , 나 는 모두 행렬이지만 다음에서 알 수 있듯
218
이 이다.
또는 엑셀 또는http://matrix.skku.ac.kr/calculus/Matrixcal/Applet1.html MS http://
에서 임의의 행렬 두 개를 입력하고 그 결과를 확인matrix.skku.ac.kr/calculus/java_all.html
해 보시오 사용법은 장 절의 공학적 도구를 이용한 행렬의 계산 을 참고하시오. 6 3 “ ” .
행렬 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, 가 스칼라일 때,
다음이 성립한다.
(1) 덧셈의 교환법칙( )
(2) 덧셈의 결합법칙( )
(3) 곱셈의 결합법칙( )
(4) 분배법칙( )
(5) 분배법칙( )
(6)
(7)
(8)
(9)
힌트 이 등식들을 증명하려면 좌변과 우변의 행렬이 크기가 같고 각각에 대응하는 성분들이, ,
서로 같음을 밝히면 된다.
다음 행렬에 대하여 와 를 확인하여라.
219
성분이 모두 인 행렬 예를 들어0 ,
등을 영행렬 이라 하고 크기가(zero matrix) , 인 영행렬을 또는 으로 나타낸다.
임의의 행렬 에 대하여 영행렬 이 와 크기가 같은 영행렬이면 가
성립한다 즉 영행렬. , 은 행렬연산에서 실수의 덧셈에서의 과 같은 역할을 하는 행렬이라0
할 수 있다 그러나 실수의 연산에서 성립하는 다음 두 가지 성질은 행렬연산에서 일반적으로.
성립하지는 않는다.
( )ⅰ
( )ⅱ 또는
행렬 에서
이고 이지만 이다 또한. , 이지만 이다.
임의의 행렬 와 영행렬 에 대하여 다음이 성립한다.
(1)
(2)
(3)
(4)
주대각선 성분이 모두 인1 차의 스칼라행렬을 차의 단위행렬 이라 하(identity matrix)
고 으로 나타낸다 즉. ,
220
가 행렬일 때 단위행렬, 과 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
행렬 일 때,
또한,
가 차의 정사각행렬일 때, 의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.
개
거듭제곱의 정의로부터 다음 정리를 얻는다.
가 정사각행렬이고 과 가 음이 아닌 정수 일 때 다음이 성립한다, .
221
행렬 에 대하여 의 전치행렬(transpose of 을) 로 나타내고
다음과 같이 정의한다.
ʹ , ʹ
위의 정의로부터 행렬, 의 전치행렬 는 의 행과 열을 바꾸어 얻어진 행렬임을 알 수
있다.
다음 행렬의 전치행렬을 각각 구하여라.
,
두 행렬 와 임의의 스칼라 에 대하여 다음이 성립한다.
(1)
(2)
(3)
(4)
아래 행렬 에 대하여 위 정리 의 이 성립함을 보여라, 4 (3) .
222
정사각행렬 가 를 만족하면 를 대칭행렬 이라 하고(symmetric matrix) ,
를 만족하면 반대칭행렬 또는(skew symmetric matrix) 교대행렬(alter-
이라고 한다nating matrix) .
위 정의로부터 정사각행렬 가 대칭행렬이면 모든 에 대하여 임을 알
수 있다 또한. , 가 반대칭행렬이면 모든 에 대하여 이고 따라서 주,
대각선성분은 모두 영임을 알 수 있다.
다음 행렬 중에서 와 는 대칭행렬이고, 는 반대칭행렬이다.
가 임의의 정사각행렬일 때 다음을 보여라, .
(1) 는 대칭행렬이다.
(2) 는 반대칭행렬이다.
문제 에 의해 모든 정사각행렬은 대칭행렬과 반대칭행렬로 분할이 가능하다4 .
1. 두 행렬 가 이기 위한 를 구하여라.
223
2. 행렬
에 대하여 다음 중 계산 가능한 것만을 계산하여라, .
(1) (2)
(3) (4)
다음 행렬 에 대하여 물음에 답하여라.
3. 일 때, 를 구하여라.
4. 일 때, 를 구하여라.
다음 연립일차방정식에 대하여 물음에 답하여라.
계수행렬 을 구하여라(1) (coefficient matrix) .
연립일차방정식을 행렬의 곱을 이용하여 나타내어라(2) .
첨가행렬 을 구하여라(3) (augmented matrix) .
5.
6.
첨가행렬이 다음과 같은 연립일차방정식을 구하여라 단 미지수는( , 으로 놓아라).
7.
8.
224
행렬 이고 , 일 때 다,
음을 확인하여라.
9.
10.
11.
12.
13. 행렬 가 차의 정사각행렬이고2 , 일 때 이 성립하는 예를 하나만 찾아라.
14. 행렬 일 때, 이지만 임을
확인하여라.
다음 행렬 에 대하여 계산하여라.
15.
16.
17. 가 행렬이고 가 스칼라일 때, 이면 또는 임을 증명하여라 힌[
트 만일 아니라면: 임을 보이면 된다].
18. 임의의 차의 정사각행렬2 에 대하여 가 성립하는 차의 정사각행렬2 의 일반적인
모양을 모두 찾아라.
차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 증명하여라.
19. 는 대칭행렬이다.
20. 는 대칭행렬과 반대칭행렬의 합으로 나타낼 수 있다 힌트 문제. [ : 4]
21. 가 정사각행렬일 때 의 주대각선원소를 모두 더한 것을 의 대각합 이라 하고(trace)
로 나타낸다. 가 차의 정사각행렬일 때 다음이 성립함을 보여라, .
225
(1)
(2) ,
(3)
(4)
22. 대각합을 이용하여 다음을 만족하는 차의 정사각행렬 는 존재하지 않음을 증명하여라.
힌트 모순을 이용한 증명으로 문제 번의 사실 를 이용한다[ 21 (3), (4) ]:
의 주소에서 확인해 보세요http://matrix.skku.ac.kr/sglee/java/trace.html .☞
소거법과 소거법Gauss Gauss-Jordan
이 절에서는 연립일차방정식을 풀 때 자주 쓰던 소거법을 체계화하여 유용한 해법을 얻도록
한다 이 방법은 주어진 연립일차방정식의 첨가행렬로부터 시작하여 어떤 특별한 형태의 행렬.
을 만들어 내는 것이다 이 새로운 행렬은 주어진 연립일차방정식과 동치인 연립일차방정식을.
나타낸다.
다음 예는 연립방정식을 푸는데 행렬을 어떻게 이용할 수 있는가를 암시한다.
226
아래의 왼쪽은 연립방정식을 푸는 과정이고 오른쪽은 이에 따른 이 연립방정식의 첨가행렬,
의 변화를 나타낸 것이다.
첫째 방정식을 배하여 둘째 방정식에 더한다2 .-
첫째 방정식을 배하여 셋째 방정식에서 더한다3 .-
둘째 방정식에 을 곱하면
둘째 방정식을 배하여 셋째 방정식에 더하면3-
셋째 방정식에 를 곱하면2-
따라서
즉 구하는 연립방정식의 해는,
227
행렬 가 다음 성질을 만족할 때, 행 사다리꼴 이(row echelon form, REF)
라고 한다.
성분이 모두 인 행이 존재하면 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다( ) 0 .ⅰ
각 행에서 처음으로 나타나는 이 아닌 성분은 이다 이때 이 을 그 행의( ) 0 1 . , 1ⅱ 선행
성분 이라고 한다(leading entry) .
( )ⅲ 행과 행 모두에 선행성분이 존재하면 ( 행의 선행성분은) 행의 선
행성분보다 오른쪽에 위치한다 또 행렬. , 가 행사다리꼴이고 다음 성질을 만족
하면 를 기약 행 사다리꼴 이라고 한다(reduced row echelon form, RREF) .
어떤 행의 선행성분을 포함하는 열의 다른 성분은 모두 이다( ) 0 .ⅳ
앞으로 행 사다리꼴은 간단히 로 기약 행 사다리꼴은 로 나타내기로 한다REF , RREF .
다음 행렬은 모두 이다REF .
, , ,
다음 행렬 는 각각 위 정의의 성질 을 만족하지 않으므로 가( ), ( ), ( ) REFⅰ ⅱ ⅲ
아니다.
다음 행렬은 모두 이다RREF .
228
이제 주어진 행렬을 기약 행 사다리꼴 로 변형하는 방법에 대하여 알아보자, (RREF) .
행렬 에 관한 다음 연산을 기본행연산(elementary row operation, ERO)
이라고 한다.
E1 : 의 두 행 행과 행을 서로 바꾼다.
E2 : 의 행에 이 아닌 상수0 를 곱한다.
E3 : 의 행을 배하여 행에 더한다.
앞으로 기본행연산을 다음과 같은 기호로 나타내기로 한다( 참조).
E1 : ( 번째 행과 번째 행을 교환한다)
E2 : ( 번째 행에 배 한 것을 번째 행으로 대치한다)
E3 : ( 번째 행에 배 한 것을 번째 행에 더한 것을 번째 행으로 대치한
다)
행렬 에 기본행연산을 시행하여 얻어지는 행렬을 라 하면 와 는 행동치(row
라고 한다equivalent) .
다음 행렬은 모두 행동치이다.
다음 행렬 에 기본 행연산을 시행하여 와 로 변형시켜 보자REF RREF .
229
단계 1
성분이 모두는 이 아닌 가장 좌측 열을 찾는다0 .
성분이 모두는 이 아닌 가장 좌측 열 이 경우는 첫 번째 열이다0 ( )
단계 2
단계 에서 찾은 열의 가장 위에 있는 성분이 일 때에는 그 열의 위에서부터 처음으로1 0
이 아닌 성분을 포함하는 행과 행을 교환한다 가능하면 또는 등의 성분을 취0 1 ( 1, 1 2-
한다).
의 행과 행을 교환하였다1 2 이 경우는 열의 행성분이 대상이 된다( 1 2 ).
단계 3
의 행의 선행성분을 로 만들기 위하여1 1 의 행을 첫째 성분으로 나눈다1 .
의 행을 로 나누었다1 2 .
단계 4
의 행의 선행성분 아래에 있는 모든 성분을 으로 만든다 행연산1 0 ( ).
의 행을 배하여 행에 더했다1 -3 3 .
단계 5
의 행을 제외한 나머지를1 라 하고 단계 에서 단계 를 반복한다1 4 .
,
성분이 모두는 이 아닌 가장 좌측 열0 의 행과 행을 교환했다1 2 .
230
의 행을1 로 나누었다 . 의 행의 배를 행에 더했1 2 2- 다.
단계 6
의 행을 제외한 나머지를1 라 하고 단계 에서 단계 를 반복한다1 3 .
모두는 이 아님 가장 좌측 열0 의 행을 으로 나누었다3- 따라.
서 다음과 같은, 의 을 얻는다REF .
의 를 다음과 같이 변형시키면 를 얻는다REF RREF .
다음 행렬 의 와 를 구하여라REF RREF .
231
첨가행렬이 행동치인 두 연립일차방정식은 동치이다.
위 정리에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 로 변형시켜 그 해를 쉽게 구할 수 있REF
다 이러한 방법을. 소거법Gauss 이라고 한다.
다음 연립일차방정식을 소거법으로 풀어라Gauss .
이면 의 는RREF 이다.
한편 정리 에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 로 변형시켜 해를 구할 수도 있, 1 RREF
다 이러한 방법을. 소거법Gauss-Jordan 이라고 한다.
위의( 행렬) 로부터 유도된 다음 연립방정식을 각각 소거법과Gauss Gauss- Jordan
소거법으로 풀어라.
이므로
이 행렬 를 첨가행렬로 갖는 연립일차방정식은
이므로 ( 는 임의의 실수 이것을 자유변수라 한다 이라 놓으면 구하는 해는);
232
이다 이 방법이 소거법이다. Gauss .
소거법을 이용하려면 행렬Gauss-Jordan , 를 첨가행렬로 갖는 연립일차방정식
을 같은 방법으로 풀면 된다 물론 같은 답을 얻게 됨을 알 수 있다. .
대개 를 구한 후 연립방정식을 풀면 쉽게 답을 얻는다 그러나. 만 구하고
해를 구하여도 같은 답을 구할 수 있으며, 를 가지고 해를 구하는 과정이 에
서 를 구한 후 해를 구하는 과정보다 간단하기 때문에 일반적으로 연립방정식의 해를
구할 때는 소거법을 쓴다Gauss . 는 주로 역행렬을 구할 때 더욱 가치를 발휘한다.
이고,
, , , ,
일 때, 의 를 한 번만 구하여REF(RREF) 개의 연립일차방정식 ,
, , 의 해를 동시에 구할 수도 있다 이 방법으로. ,
의 해를 동시에 구하여라.
주소 에서 연립방정식을 풀어보시오http://matrix.skku.ac.kr/sglee/java/linear_eqn.html .
새로운 도구에 대한 정보는 에 추가된다http://matrix.skku.ac.kr/calculus/ .
233
역행렬
이 절에서는 정사각행렬에 대하여 실수에서의 역수와 같은 역할을 하는 행렬에 대하여 알아
본다.
차의 정사각행렬 에 대하여 다음을 만족하는 행렬 가 존재하면 는 가역
이라고 한다(invertible) .
이때, 를 의 역행렬 이라고 하며 이러한(inverse matrix) , 가 존재하지 않으면
는 비가역 이라고 한다(noninvertible) .
행렬
에서 가 의 역행렬임을 다음 계산으로부터 알 수 있다.
행렬 은 행의 성분이 모두 이므로 어떤 차 행렬3 0 3 에 대하여도 의
행은3 이다 따라서. 인 가 존재하지 않으므로 는 비가역이다.
234
차의 정사각행렬 가 가역이면 의 역행렬은 유일하다.
행렬 가 모두 의 역행렬이라고 하면
이므로
이다 따라서. , 의 역행렬은 유일하다.
차의 정사각행렬 가 가역일 때, 의 역행렬을 로 나타낸다 즉. ,
행렬 에서 라고 하면
임을 보여라.
차의 정사각행렬 가 가역이고 가 이 아닌 스칼라일 때 다음이 성립한다0 , .
(1) 은 가역이고, 이다.
(2) 는 가역이고, 이다.
(3) 는 가역이고, 이다.
(4) 는 가역이고, 이다.
두 행렬 에 대하여 임을 확인하여라.
235
이제, 차의 정사각행렬 가 가역일 때 에 을 시행하여 단위행렬을 만들 수 있다ERO .
즉, 이다 이제. 의 역행렬을 다음과 같은 단계로 구해보자.
단계 주어진 행렬1 에 단위행렬 을 첨가하여 행렬 을 만든다.
단계 단계 에서 만든 행렬2 1 의 를 구한다RREF .
단계 단계 에서 얻어진 를3 2 RREF 라고 하면 다음이 성립한다.
( )ⅰ 이면 이다.
( )ⅱ 이면 는 비가역이고 은 존재하지 않는다.
다음 행렬의 역행렬을 구하여라.
를 만들면 이고 이 행렬의 를 구하면, RREF
이다. 이므로 이다.
∴
236
다음 행렬의 역행렬을 구하여라.
소거법을 이용하여 역행렬의 존재성을 확인하거나 역행렬을 구하는 방법은 단순Gauss-Jordan
한 계산을 반복하는 것이다 따라서 이런 계산은 컴퓨터를 이용하면 쉽게 구할 수 있다는 것을 알.
수 있다 참고 장 절( 6 3 ).
이제 행렬의 가역성과 연립방정식의 해 사이의 관계를 알아보고 동차연립방정식에 대하여 살
펴본다.
차의 정사각행렬 가 가역이고 가 행렬일 때 연립일차방정식, 는 유일
한 해 를 갖는다.
연립방정식 은
이라 놓으면 로 나타낼 수 있다 그런데 행렬. 는 예 에서 보듯이 가역이고3 ,
이므로 정리 에 의하여 위 연립방정식의 해는3
즉, 이다.
이라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
237
위의 동차연립일차방정식에 을 대입하면 모든 방정식이 성립하
므로 이것은 연립방정식의 해이다 이. 를 자명한 해 라 하며(trivial solution) ,
인 해를 자명하지 않은 해 라고 한다 연립일차방정식의 해는 존재하지(nontrivial solution) .
않거나 유일하게 존재하거나 또는 무수히 많이 존재한다 그런데 동차연립일차방정식은 항, .
상 자명한 해는 가지므로 다음 두 가지 경우만이 가능하다.
자명한 해만 갖는다( ) .ⅰ
무수히 많은 해를 갖는다 즉 자명하지 않은 해도 갖는다( ) ( , ).ⅱ
다음 정리는 동차연립방정식이 어떤 경우에 자명하지 않은 해를 갖는지를 알려준다.
개의 미지수를 갖는 개의 방정식으로 이루어진 동차연립일차방정식은 이면 즉,
미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많으면 자명하지 않은 해를 갖는다.
동차연립방정식
(5 3)・
의 첨가행렬은 이고 이것을 로 변형하면 다음과 같다, RREF .
이것에 대응하는 연립방정식은
이므로 ( 임의의 실수 이것을 자유변수 라 한다 이라 놓으면; (free variable) ) (5・의 해는3)
이다 여기서. 이면 자명한 해가 되고, 이면 자명하지 않은 해가 된다.
238
이제 지금까지 논의한 역행렬을 이용하여 실제 응용문제를 연립방정식으로 만들어 해결하는,
예를 살펴보자.
연립 일차방정식과 역행렬을 이용하여 코사인 제 법칙을 유도해보자2 .
세 변 와 마주보는 각(opposite angles) 를 갖는 위의 삼각형을 생각하자.
그러면 삼각비의 정의에 의해 위의 세 식을 얻는다.
이 식으로부터 를 구해보자 우선 행렬을 이용한 연립일차방정. 식
를 만들고 의 역행렬을 구한다.
모두가 이 아니라면 는 역행렬을 갖는다( 는 삼각형의 세 변의 길이이
므로 모두 은 아니다 따라서).
, ,
이고 이므로 를 얻는다. 와
도 같은 방법으로 얻을 수 있다.
다음의 간단한 전기회로 다이어그램을 보자 전지나 발전기에서 만들어내는 전압을.
로 저항을 로 표시하자 저항은 전기에너지를 열로 바꾸어 준다 실제로 전. . ,
열기나 오븐은 저항의 역할을 한다 그리고 회로상의 각 경로에 흐르는 전류의 양을.
로 나타내자 전압은 볼트로 저항은 오옴 으로 측정한다 전류는 암페어로. , (ohms) .
측정하는데 전류가 화살표의 반대방향으로 흐르면,
239
그 전류는 음의 값을 갖는다 전압과 저항이 주어질 때 전류의 값을 계산하기 위하여 다음과. ,
같은 의 법칙을 이용한다Kirchhoff .
회로의 각 경로가 만나는 교점 에서의 전류의 합은 이다 다시 말하자면 교(1) (junction) 0 ( ,
점으로 흘러 들어오는 모든 전류는 모두 다시 흘러 나가게 된다).
전체 회로의 각각의 닫힌 경로에서는 경로상의 전압(2) 들의 합은 저항 와 전류
의 곱들의 합과 항상 같다( ).
전류 는 모두 교점 로 흘러 들어오므로 첫 번째 법칙에 의해,
을 얻는다 이 첫 번째 법칙을 교점. 에 적용해도 같은 식을 얻는다.
그림에서 첫 번째 닫힌 회로를 시계 방향으로 돌아가면 전압의 합은(closed) , 저,
항의 합은 이 되므로 두 번째 법칙에 의하여, , 마찬.
가지로 두 번째 닫힌 회로에서(closed) 을 얻는다.
이렇게 얻은 세 방정식
을 행렬로 나타내면
이 되고 간단한 계산 장 정리 참조 을 하여(6 2 )
을 얻는다 따라서. 과 같은 방법으로 주어진 저항 들과 전압 들로 각 경로의
전류 각각의 를 표시할 수 있다.
240
질량 , , 를 갖는 세 물체가 차례로 세 점 , , 에 놓여
있다 이 경우 무게 중심이. 이고 각 질량의 합이 일 때1 , 를 구하기 위한
연립일차방정식을 구하여라.
아래 그림과 같은 전기회로에 의 법칙을 적용하면 다음 방정식들을 얻는다Kirchhoff .
여기에서 아래 행렬표현을 유도하여라.
다음 행렬 중 와 인 것을 찾고 가 아닌 것은 로 변형시켜라REF RREF , RREF RREF .
1. 2.
3. 4.
241
5. 다음 행렬과 행동치인 행렬을 개만 찾아라3 .
다음 연립방정식을 소거법으로 풀어라Gauss .
6. 7.
8. 9.
10. 아래 연립방정식에 대하여 다음을 구하여라.
해를 갖지 않기 위한(1) 의 조건
유일한 해를 갖기 위한(2) 의 조건
무수히 많은 해를 갖기 위한(3) 의 조건
11. 다음 연립일차방정식이 해를 갖기 위한 의 조건을 구하여라.
다음 행렬 중 가역인 것을 찾고 그 역행렬을 구하여라, .
12. 13.
14. 15.
242
16. 다음 행렬 의 역행렬이 존재하기 위한 의 값을 모두 구하고 그 때의, 를 구하여라.
17. 차의 정사각행렬 가 가역이고, 가 임의의 자연수일 때, 는 가역임을 보여라.
18. 차의 정사각행렬 가 가역이고 다음식을 만족하면 임을 보여라.
다음 동차연립방정식 중에서 자명하지 않은 해를 갖는 것을 찾아라.
19. 20.
21. 22.
행렬 에 대하여 다음 동차연립일차방정식을 풀어라.
23. 24.
25. 다음 동차연립일차방정식이 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건은 임을 보
여라.
26. 가 행렬이고 가 아닌 행렬일 때 연립방정식, 가 해를 갖는다고 하자 이 때. ,
이 의 한 해이고 이 의 해이면 은 의 해가 됨을 증명하
여라.
주소 의 도구를 이용하여 연립방정식을http://math.skku.ac.kr/~sglee/java/linear_eqn.html
풀어보세요 계속하여 새로운 도구와 링크 정리의 증명과 문제의 답에 대한 정보는! ,
243
에 추가됩니다http://matrix.skku.ac.kr/calculus .
예습으로 행렬 의 와 를 아래와 같이 구했다 다음 장에서는.
연립방정식을 푸는 새로운 방법을 학습한다.
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