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El teorema de muestreo y sus aplicaciones

Jose Garcıa Fernandez

Universidad de Sevilla

Jose Garcıa Fernandez El teorema de muestreo y sus aplicaciones

Introduccion

MuestrasReconstrucción

Original

0 0.5 1 1.5 2

http://euler.us.es/~renato/clases/tfg/jgf/.

Introduccion

Original

0 0.5 1 1.5 2

Introduccion

Original

0 0.5 1 1.5 2

Capıtulos

F Capıtulo 1: La serie de Fourier

F Capıtulo 2: La transformada de Fourier

F Capıtulo 3: Senales

F Capıtulo 4: Programas

Capıtulos

La serie de Fourier

Definicion: Dada una funcion f de cuadrado integrable en [−π, π] y2π-periodica en [−π, π] definimos la serie trigonometrica de Fourier como:

Sf (x) =a0

2+∞∑n=1

an cos (nx) + bn sin (nx),

donde los coeficientes vienen dados por las expresiones:

∫ π

−πf (x)dx , an =

∫ π

−πf (x) cos (nx)dx , bn =

∫ π

−πf (x) sin (nx)dx .

La serie de Fourier

Sf (x) =a0

2+∞∑n=1

∫ π

−πf (x)dx , an =

∫ π

La serie de Fourier

Sf (x) =a0

2+∞∑n=1

∫ π

−πf (x)dx , an =

∫ π

Ejemplos

serie de Fourierf(x)=x

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura: Serie de Fourier de x con 5 terminos (izquierda) y con 12 (derecha).

Ejemplos

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ejemplos

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ejemplos

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ejemplos

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

Figura: Serie de Fourier de x2 con 2 terminos (izquierda) y con 4 (derecha).

Ejemplos

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ejemplos

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

Ejemplos

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(x)=x2

Serie de Fourier

-6 -4 -2 0 2 4 6

Fenomeno de Gibbs

Figura: Serie de Fourier con 20 terminos de signo(x) (izquierda) y con 200terminos (derecha).

∣∣∣max signo(x)−max lımn→∞

Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

Snf (x)∣∣∣ = 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0, definimos

µ =f (x+

0 )− f (x−0 )

2. Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x). Entonces:∣∣∣max f (x)−max lım

n→∞Snf (x)

∣∣∣ = µ 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

Sea f con una discontinuidad de salto finito en el punto x0,

definimos

µ =f (x+

0 )− f (x−0 )

n→∞Snf (x)

∣∣∣ = µ 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

µ =f (x+

0 )− f (x−0 )

Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x). Entonces:∣∣∣max f (x)−max lımn→∞

Snf (x)∣∣∣ = µ 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

µ =f (x+

0 )− f (x−0 )

2. Tomando g(x) = f (x)− µ signo(x).

Entonces:∣∣∣max f (x)−max lımn→∞

Snf (x)∣∣∣ = µ 1, 17897...

Fenomeno de Gibbs

µ =f (x+

0 )− f (x−0 )

n→∞Snf (x)

∣∣∣ = µ 1, 17897...

Transformada de Fourier

f (λ) = F [f ](λ) :=1

∫ ∞−∞

f (x)e−iλxdx .

f (λ) = F [f ](λ) :=1

∫ ∞−∞

f (x)e−iλxdx .

f (λ) = F [f ](λ) :=1

∫ ∞−∞

f (x)e−iλxdx .

f (λ) = F [f ](λ) :=1

∫ ∞−∞

f (x)e−iλxdx .

Senales

Definicion Por una senal s(t), entenderemos una funcion casi-continua enun intervalo I = (t0, t) ∈ R.

Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2, es decir:

∫ +∞

−∞|s(t)|2dt < +∞.

Definicion La funcion S(w) = |s(w)| , es denominada espectro de la senal s.

Senales

∫ +∞

−∞|s(t)|2dt < +∞.

Senales

Definicion Una senal s(t) es de energıa finita si s ∈ L2,

es decir:

∫ +∞

−∞|s(t)|2dt < +∞.

Senales

∫ +∞

−∞|s(t)|2dt < +∞.

Senales

∫ +∞

−∞|s(t)|2dt < +∞.

Senales

Definicion Una senal es de banda limitada a B si:

F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,

donde F [s](w) es la transformada de Fourier de s(t), es decir, el espectro dela senal esta contenido en un compacto de R. Analogamente:

s(w) = F [s](w) =1

∫ ∞−∞

s(t)e−iwtdt =1

−Bs(t)e−iwtdt.

Senales

F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,

s(w) = F [s](w) =1

∫ ∞−∞

s(t)e−iwtdt =1

−Bs(t)e−iwtdt.

Senales

F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,

donde F [s](w) es la transformada de Fourier de s(t), es decir, el espectro dela senal esta contenido en un compacto de R.

Analogamente:

s(w) = F [s](w) =1

∫ ∞−∞

s(t)e−iwtdt =1

−Bs(t)e−iwtdt.

Senales

F [s](w) = 0, ∀ |w | ≥ B,

s(w) = F [s](w) =1

∫ ∞−∞

s(t)e−iwtdt =1

−Bs(t)e−iwtdt.

Ejemplos de senales

Escalon de Heaviside:

Heaviside (t) =

1 si t ≥ 0,

0 si t < 0.

Ejemplos de senales

Heaviside (t) =

1 si t ≥ 0,

0 si t < 0.

Ejemplos de senales

Heaviside (t) =

1 si t ≥ 0,

0 si t < 0.

Ejemplos de senales

Pulso rectangular:

Rect(t) =

1 si |t| ≤ 1,

0 si |t| > 1.

Ejemplos de senales

Pulso rectangular:

Rect(t) =

1 si |t| ≤ 1,

0 si |t| > 1.

Ejemplos de senales

Pulso rectangular:

Rect(t) =

1 si |t| ≤ 1,

0 si |t| > 1.

Ejemplos de senales

Senal sinusoidal:

f (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2), w1,w2 > 0.

Senal con ruido:

fr (t) = A sin(w1t + ϕ1) + B sin(w2t + ϕ2) + a0random(t), w1,w2 > 0.

Ejemplos de senales

Senal sinusoidal:

Senal con ruido:

Ejemplos de senales

Senal sinusoidal:

Senal con ruido:

Ejemplos de senales

Senal sinusoidal:

Senal con ruido:

Ejemplos de senales

Senal sinusoidal:

Senal con ruido:

Tipos de senales

Una senal que sea casi-continua, se dice que es analogica. Si la senal es unconjunto de valores dados s1, s2, ..., sN , ... se dice que la senal es digital. Ası:

f : R→ R, f ∈ C (R) =⇒ senal analogica.

Si en vez de f tenemos sus muestras tomadas con una frecuencia 1/a,diremos que la senal es digital:

(f (xk))k : xk = ka, k ∈ Z =⇒ senal digital.

Tipos de senales

Una senal que sea casi-continua, se dice que es analogica. Si la senal es unconjunto de valores dados s1, s2, ..., sN , ... se dice que la senal es digital.

Tipos de senales

El Teorema de muestreo

Teorema Sea una senal x(t) de energıa finita y de banda limitada a B,entonces:

x(t) =1

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

Es decir, para recuperar una senal banda limitada a B basta conocer susmuestras tomadas con una frecuencia igual a 2B. Dicha frecuencia sedenomina frecuencia de Nyquist.

x(t) =1

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

x(t) =1

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

x(t) =1

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

Idea de la demostracion

Consideremos f (u) = e2πiut en el intervalo (−B,B).

Calculamos su serie exponencial de Fourier en la base{e2πi(n/2B)u

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

2πi(n/2B)u, donde cn =sin (π(2tB − n))

π(2Bt − n).

Recordemos que nuestra senal x(t) =∫ B

−B X (u)e2πiutdu.

Sustituyendo f (u) en la ultima expresion:

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

π(2Bt − n)e2πi(n/2B)udu =

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

2πi(n/2B)u,

donde cn =sin (π(2tB − n))

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

}n≥0

f (u) =∞∑

n=−∞cne

π(2Bt − n).

x(t) =

−BX (u)

∞∑n=−∞

sin (π(2tB − n))

∞∑n=−∞

) sin (π(2Bt − n))

2Bt − n.

Cota de error

Teorema Sea x(t) una senal con energıa finita y de banda limitada a B, severifica que:

|x(t)| ≤√

Cota de error

Teorema Sea x(t) una senal con energıa finita y de banda limitada a B,

severifica que:

|x(t)| ≤√

Cota de error

|x(t)| ≤√

Cota de error

|x(t)| ≤√

Aliasing

El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital. ¿Cuando se produce?

νs = 1/a ≥ 2B,

donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo. Consideremosx(t) = sin(2πt).

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Aliasing

El aliasing es el efecto que causa que senales continuas distintas no seandistinguibles cuando realizamos un muestreo digital.

¿Cuando se produce?

νs = 1/a ≥ 2B,

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Aliasing

νs = 1/a ≥ 2B,

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Aliasing

νs = 1/a ≥ 2B,

donde νs representa nuestra frecuencia de muestreo.

Consideremosx(t) = sin(2πt).

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Aliasing

νs = 1/a ≥ 2B,

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Aliasing

νs = 1/a ≥ 2B,

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Aliasing

νs = 1/a ≥ 2B,

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Irregular sampling

¿Y si las muestras no son equidistantes?

Hay otros tipos de muestreo.

Muestreo irregular.

Principal inconveniente: No podemos usar el teorema de muestreo quehemos visto anteriormente.

Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.Mas eficiente en determinado tipo de senales.

Irregular sampling

Muestreo irregular.

Irregular sampling

Muestreo irregular.

Irregular sampling

Muestreo irregular.

Irregular sampling

Muestreo irregular.

Irregular sampling

Muestreo irregular.

Principal ventaja: Poco probable que se produzca aliasing.

Mas eficiente en determinado tipo de senales.

Irregular sampling

Muestreo irregular.

Programas

¿Espectro de una senal?

Programas

Recuperacion de una senal

Veamos un ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt).

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

B = 2.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/4.

Original

0 0.5 1 1.5 2

Opiniones: Es una buena reconstruccion ... pero hay un error.

Original

0 0.5 1 1.5 2

Original

0 0.5 1 1.5 2

Opiniones:

Es una buena reconstruccion ... pero hay un error.

Original

0 0.5 1 1.5 2

Opiniones: Es una buena reconstruccion

... pero hay un error.

Original

0 0.5 1 1.5 2

Veamos otro ejemplo con la senal x(t) = sin(2πt) + cos(3πt).

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/16.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/16.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/16.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/16.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/16.

νs =1

a≥ 2B.

Tomamos a = 1/16.

Y recuperamos la senal original:

Original

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Original

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Original

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tambien hemos realizado el programa de recuperacion con Octave:

Aliasing

Observemos otros casos en los que tambien se produce el aliasing:

Aliasing

Por ultimo

Destacamos que en los programas utilizamos la transformada rapida deFourier, y no la transformada convencional:

Muchas gracias por la atencion

Por ultimo

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