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Teora de Sistemas y SealesTeora de Sistemas y Seales
Seales en Tiempo DiscretoSeales en Tiempo Discreto
Teorema de MuestreoTeorema de Muestreo
Autor: Dr. Juan Carlos Gmez
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TeSyS J. C. Gmez 2
Seales en Tiempo Continuo:Seales en Tiempo Continuo: estn
definidas enun intervalo continuo de tiempo.
Seales en tiempo discreto:Seales en tiempo discreto: estn
definidas slo en
valores discretos de tiempo. Los instantes de
tiempo no necesariamente estn equiespaciados.
Las seales en Tiempo Discreto (TD) aparecen
cuando se muestrea una seal analgica, es
decir, cuando se toman muestras de la seal ainstantes discretos
de tiempo.
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TsF 1=
xa(t) x(n) =xa(nT)
Seal
Analgica
Seal
en TD
Muestreador
Ideal
0 t
xa(t)
0 n
x(n)
1 2 3 ....
0 t=nTT 2T3T....
Fs: frecuencia de muestreo [Hz]
: perodo de muestreo [seg]
sF
T 1=
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Consideraremos muestreo peridico o uniforme
intervalos entre muestras sucesivas constante.
Las variables t y n estn relacionadas deacuerdo a:
Como consecuencia, la frecuenciaF(o ) de una
seal peridica en TC, estar relacionada con lafrecuenciaf(o ) de
la correspondiente seal
muestreada.
sF
nnTt ==
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Consideremos
xa(t) = A cos (2Ft+
)
x(n) = xa(nT) = A cos(2FnT+)
=A cos(2fn+)
por lo que:
=
MuestreoFs =1
T
)sFnF2
cos(A +=
=
sFFf=
frecuencia
normalizada o relativa
T
sF
==
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En contraste con las seales senoidales en TC, las
seales senoidales en TD verifican:1. Una seal senoidal en TD es
peridica si y slo si su frecuenciaf es un nmero racional.
Por definicinx(n) es peridica si y slo si N ( N>0 ) tal
que:
x(n + N) = x(n) n
El menor valor deNque verifica esta propiedad se denomina
perodo fundamental.
Para el caso de una onda senoidal, tendramos:
cos(2f (N+n) + ) = cos(2f n + ) n
que se verifica si y slo si: 2f N = 2 k con kentero
= kf
c
f es racional
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Para determinar el perodo fundamentalNde una senoidediscreta,
expresamosfcomo el cociente de dos nmeros
enteros primos relativos. Entonces el perodoNes eldenominador de
esta expresin.
prxima a
muy distinta
2. Seales sinusoidales en TD cuyas frecuencias estn separadas
unmltiplo entero de 2 son idnticas.
cos[ ( + 2)n + ] = cos[ n + 2n + ] = cos[ n + ]
Como consecuencia todas las secuencias de sinusoides
xk(n) = A cos(kn + )
donde: k= + 2k
son indistinguibles (idnticas).
21N
21
6030
1f
=
==
602
N
6029
2f
=
=
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En particular, una sinusoide con frecuencia en el rango | | >
ser equivalente a una sinusoide en el rango | | ( | f | 0.5)
y se la denomina un alias de la sinusoide en el rango | | .
El rango fundamental de frecuencias de seales en TD
esentonces:
-
-0.5 f 0.5
Mientras que para seales en TC es:
-
- F
rango de frecuencia
de seales en TC
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3.La mxima frecuencia de oscilacin de una senoide en TD es = (of
= 0.5 )
Considerando que:
y quefmax=0.5 , resulta que la mxima frecuenciaFmax de la
seal
en TC que puede muestrearse con una frecuencia Fs sin que se
produzcaaliasing es:
En otras palabras, para evitar que se produzca aliasing y de esa
formapoder reconstruir una seal a partir de las muestras
debemos
seleccionar:
Fs > 2 Fmax
dondeFmax es la mxima frecuencia contenida en la seal
analgica.
2max
max
2
1
max
sFsF
f ===
sFf=
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Teorema de Muestreo:Teorema de Muestreo: Si la frecuencia ms
alta contenida
en una seal analgicaxa(t) esFmax = B y la seal esmuestreada con
una frecuenciaFS> 2 Fmax = 2B , entonces
xa(t)puede ser exactamente recuperada a partir de las
muestras como:
donde
son las muestras dexa(t) yg(t) es la funcin de interpola-cin
definida como:
)sFng(t)
sFn(ax(t)ax n
=
=
x(n)(nT)ax)sFn(ax ==
Bt
Bt)(g(t)
2
2sin=
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Interpolacin Ideal Teorema de Muestreo
A FN = 2B se la denomina Tasa de Muestreo de Nyquist
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Ejemplo: Determinar la tasa de muestreo de Nyquist
xa(t) = 3 cos(50t) + 10 sin (300t) - cos(100t)
Solucin:
F1 = 25 Hz F 2 = 150 Hz F 3 = 50 Hz
Veamos queFmax = 150Hz FN= 300 Hz
Sin embargo, si muestreamos conFs = FN, las muestras
de la componente
10 sin(300 t) resultan 10 sin(n)
que son idnticamente nulas y obviamente no puede
recuperarse la seal a partir de las muestras!!
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Supongamos que se desea generar y graficar las seales en
tiempo
continuo x1(t) yx2(t) definidas como
Ejemplo:
)5502cos()(
)502cos()(
2
1
ttx
ttx
=
=
y las correspondientes seales en tiempo discreto que se
obtienen
muestreandolas con una frecuenciaFs=500 Hz. Notar que las
dosseales tienen asociada la misma seal muestreada
( )nxn
nn
nx
nnx
12
1
500
5022cos)
500
5502cos()(
)
500
502cos()(
=
+==
=
x2(n) es un aliasalias dex1(n).
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0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018
0.02-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [s ]
S ea les x1(t), x2(t) y mues trea das
