View
40
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Föreläsning 1. 18 jan 2010. Linjära s ystem. Ex. ( mass-spring-damper-system ). Ett system sägs vara. minneslöst om värdet på utdata vid varje tidpunkt endast beror på indata vid motsvarande tidpunkt. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Föreläsning 1
18 jan 2010
Linjära system
Ex. (mass-spring-damper-system)
)(tx )(tySystem
indata utdata
mk
c
)( tx )( ty)()(')()('' tkytcytxtmy
)( tx
)( ty
][xTy
T
00 ttty ,)(00 tttx ,)(
Ett system sägs vara
• minneslöst om värdet på utdata vid varje tidpunkt endast beror på indata vid motsvarande tidpunkt. I annat fall säger vi att systemet är dynamiskt
T
)(ty
)(txt
mk
c
)( tx
)( ty
)( tx )( tyT
)()(')()('' tkytcytxtmy
Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är dynamiskt
Ett system sägs vara
• kausalt om utdata vid varje tidpunkt endast beror på indata fram t.o.m. motsvarande tidpunkt dvs. om endast beror på
T
)(ty t)(tx)( 0ty 0tttx ,)(
mk
c
)( tx
)( ty
)( tx )( tyT
)()(')()('' tkytcytxtmy
Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är kausalt
Ett system sägs vara
• Inverterbart om det råder ett 1-1 förhållande mellan indata och utdata dvs. om två olika indata aldrig ger samma utdata.
T
mk
c
)( tx
)( ty
)( tx )( tyT
)()(')()('' tkytcytxtmy
Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är inverterbart
Ett system sägs vara
• stabilt om begränsad indata ger begränsad utdata dvs. om
T
21 MtyMtx |)(||)(|
k c
mk
c
)( tx
)( ty
)( tx )( tyT
)()(')()('' tkytcytxtmy
Ex. stabiliteten i massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan beror på konstanterna och
• linjärt om
)()()( 2121 xTxTxxT
kk
kk
kk tytxTtxTtxTty )()]([])()]([)(
k
k txtx )()(
Ett system sägs vara T
Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är linjärt
speciellt följer det då att
vilket kallas superpositionsprincipen
• tidsinvariant om systemet inte förändras med tiden så att
Ett system sägs vara T
)()()()( 00 ttyttxtytx T T
mk
c
)( tx
)( ty
)( tx )( tyT
)()(')()('' tkytcytxtmy
Ex. massa-fjäder-dämpar-systemet i ex ovan är tidsinvariant
Stegfunktioner och
Impulsfunktioner
Heavisides stegfunktion
Observera att
)(tH
0,0
0,1)(
tdå
tdåtH
y
t
)(tHy
y
t
)(tfy
y
t
)()( tHtfy
y
t
)()( atHtfy
a
y
t
)()( atHatfy
Ex.
y
t
)(tfy
y
t
)()()( btHatHtfy
1,1
11,
1,
)( 2
tdå
tdåt
tdåe
tg
ty
t
)(tgy
)1(1))1()1(())1(1()( 2 tHtHtHttHetg t
)1()1()1()( 22 tHttHete tt
Impulsfunktionen
Observera att för alla så det är
rimligt att föreställa sig att
)(t
)(ty y
t
/1
")()(lim"0
tt
0,0
0,)(
t
tty
t0
1)(
dtt 0
1)(
dtt
)(t
0t
1 svarar mot att impulsen tillförs momentant vid tiden , en sorts idealiserad puls.
Eftersom är 0 för så är det rimligt att anta att
)(t 0t)()0()()( tfttf
)()()()()()()(
))(*(
tfdttfdttfdtf
tfskrives
1
)(t
speciellt följer det att
existerar ju inte som funktion i vanlig mening men man kan ge mening åt och ovanstående kalkyler inom teorin för generaliserade funktioner (distributioner)
Om är ett linjärt och tidsinvariant system (LTI-system) så följer det att
Så
dtxTdtxTtxT )()()()()]([
principenpositionssuper
dtTxdtTx )()()()(
invarianstids
T
][*]*[][ TxxTxTy
][T)(tx
)(tydvs utsignalen kan fås genom ”faltning” av insignalen med ”impulssvaret”
Samband mellan och
Eftersom och för så är
och vi får att
Naturligtvis är inte deriverbar för i vanlig mening men man kan ge mening åt dessa identiteter om man även tolkar som en generaliserad funktion
)(t)(tH
1)(
dtt 0)( t 0t
t
dtH )()( )()(' ttH
)(tH 0t
)(tH
Mer allmänt kan man visa att om och ärkontinuerliga funktioner för alla och
så gäller att
dvs ett språng (uppåt eller nedåt) med enheter i en punkt ger ett bidrag med i derivatan.
atdåth
atdåtgtf
,)(
,)()(
)())()((,)('
,)(')(' atagah
atdåth
atdåtgtf
c
)(tg )(th
t
c
)( atc at
y
t
)()( agahc
språng
)(th)(tg
a
alt.
Ex.
1,1
11,
1,
)( 2
tdå
tdåt
tdåe
tg
ty
t
)(tgy
)1()1()1()()( 22 tHttHetetg tt
)1()1(
1,0
11,2
1,
)(' 1
te
tdå
tdåt
tdåe
tg
t
)1()1()1(2)1()()1()2()(' 22 ttttHtettHetetg ttt
)1(2)1()1()1()2()(' 1 ttHtetHetetg tt
Recommended