Il laboratorio delle Macchine Matematiche

Progetto Mate-Laboratorio

Incontro 22 settembre 2011Cremona

Il laboratorio Il laboratorio delle delle

Macchine MatematicheMacchine Matematiche

Associazione delle macchine Matematiche

Corso nato dalla collaborazione tra

e

Cremona 2011

Nicoletta Nolli

nico559@libero.it

Cinzia Galli

cinzia.galli@comune.cremona.it

museo.storianaturale@comune.cremona.it

Francesca Martignone francesca.martignone@unimore.it

Rossella Garuti

rossella.garuti@libero.it

Associazione delle Macchine Matematiche

info@macchinematematiche.orgCremona 2011

Cosa è stato fatto2010/2011

• Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito

• Apertura al prestito (Cinzia Galli)• Inizio corso di formazione

DATA TITOLO Elementi di contenutoe strumenti

Primo incontro

 30 marzo

2011 

15-18 

Sala Puerari e

Aula Didattica

 Presentazione del progetto: intervengono M.L.Beltrami (UST ) e Laura Parazzi (Dirigente Liceo Scientifico Aselli) Il Laboratorio di Matematica nelle Indicazioni per il Curricolo e nel nuovo Obbligo Formativo Il laboratorio di matematica e macchine matematiche: quadro teorico. Un esempio di continuità verticale. Analisi di un caso: costruzioni con riga e compasso.

      L’idea generale di Laboratorio di Matematica   STRUMENTI: riga e compasso

 Secondo incontro

 14 aprile

2011 

15-18 

Aula Didattica

 Costruzioni con riga e compasso  Il laboratorio di matematica:macchine geometriche(macchine per le trasformazioni)

 STRUMENTI: riga e compasso  Trasformazioni geometriche: simmetria assiale e dilatazione STRUMENTI: Pantografi e Biellismi

 Terzo

incontro 

28 aprile2011

 15-18

 Aula Didattica

  Il laboratorio di matematica:macchine geometriche(macchine per le trasformazioni)

  Trasformazioni geometriche: dilatazione e omotetia STRUMENTI: Pantografi e Biellismi

Programma del corso1° parte anno scolastico 2010-2011

Cremona 2011

Le macchine analizzate fin ora

• IL COMPASSO

• I PANTOGRAFI PER LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE DEL PIANO

I materiali del corso

• Presentazioni ppt• Schede di lavoro• Animazioni virtuali delle macchine• Materiali da sperimentazioni• Griglie di progettazione

http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

Cosa faremo oggi

• Ripresa del lavoro• Alcuni estratti da sperimentazioni già

svolte• Discussione proposte di

sperimentazioni

Quadro teoricodel progetto

• Idea di laboratorio di matematica• Ricerche storico-epistemologiche e didattiche

sulle macchine matematiche• Mediazione semiotica• Ricerche su aspetti cognitivi legati

all’esplorazione delle macchine matematiche

Ricerche nazionali ed

internazionali

www.mmlab.unimore.it Progetto regionale Emilia-Romagna Risultati del progetto

• Report delle sperimentazioni (insegnanti)

• Foto e video (insegnanti e centri di doc.)

• Libro Progetto regionale (Martignone (ed.), 2010)

• Tesi di dottorato (Garuti, 2011)

• Diari di bordo delle sperimentazioni (insegnanti)

• Pubblic. su riviste e comunic. agli atti di congressi naz. e internaz. (insegnanti e ricercatori MMLab)

La documentazione pubblica del Progetto MMLab-ER

UMI 2011

Metodologia

Laboratorio di matematica

(curriculi UMI)

Laboratorio di matematica

(curriculi UMI)

Laboratorio con gli studenti nelle sperimentazioni nelle classi

Laboratorio con gli insegnanti durante il corso di formazione

Metodologia laboratoriale

Lavori di gruppo e discussioni

Metodologia laboratoriale

Lavori di gruppo e discussioni

Quali artefatti?Quali focus?

Processi e aspetti culturali

coinvolti

Processi e aspetti culturali

coinvolti

Le Macchine Matematiche

Aspetti culturali:•Le macchine come oggetti usati nella storia della matematica e non solo•Il ruolo della definizione e dimostrazione nella cultura matematica

Processi:•Produzione congetture, sviluppo di argomentazioni e costruzione di dimostrazioni

Focus

Metodologia laboratoriale

Attività in piccoli gruppiDiscussioni collettive

Metodologia laboratoriale

Attività in piccoli gruppiDiscussioni collettive

Macchine Matematiche:

Macchine aritmetiche e geometriche

Attenzione aiProcessi e agli aspetti culturali

coinvolti

Opportune consegne

Gli ingredienti

La prima macchina analizzata:

il compasso

Cremona 2011

Costruzioni di triangoli isosceli(tenendo presente la disuguaglianza triangolare)

16

Partendo dalla proprietà della crf …

Partendo dall’asse di simmetria…Data la base costruire i lati congruenti…

Partendo dagli angoli conguenti

21 aprile 2023 17

Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano…

Perpendicolare alla perpendicolare ….

Esempi di costruzioni di rette paralllele ricostruite da Simone Banchelli con un

software di DG

Rombo o parallelogramma…

Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti…

Triangoli e Talete…

E poi variazionidi queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli…

Nelle diverse costruzioni

• Da dove siete partiti? Dalla definizione, da quali proprietà del triangolo? PERCHE’?

• Quale procedura avete seguito? PERCHE’?• Che ruolo hanno avuto gli strumenti in

queste scelte? E le conoscenze (pratiche e teoriche)?

• Cosa abbiamo notato dal confronto tra le diverse costruzioni?

Cremona 2011

Pantografi

Meccanismi che stabiliscono una corrispondenza locale tra i punti

di due regioni piane limitate collegandole fisicamente attraverso sistemi articolati e che incorporano le proprietà che caratterizzano la trasformazione

geometrica del piano

Le quattro domande chiaveche hanno strutturato tutte le

attività con le macchine (nelle attività con gli insegnanti e con gli studenti)

1. Come è fatta?

2. Cosa fa?

3. Perché lo fa?

4. Cosa succederebbe se …?

ESPLORAZIONIARGOMENTAZIONI

DIMOSTRAZIONI

CONDIZIONALITA’PROBLEM POSING E PROBLEM SOLVING

Il pantografo per la simmetria assiale

UMI 2011

x'=xy'=-y

Come è fatto?Cosa fa? Perché?

Cosa succederebbe se…?

Due vertici di un rombo articolato sono vincolati a muoversi su

una guida rettilinea (r) e quindi gli altri due vertici (P e Q)

si corrispondono in una simmetria assiale di asse r

Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste?Variazioni del pantografo:

quadrilateri con due lati congruenti

Associazione delle Macchine Matematichewww.macchinematematiche.org

PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale?

AB

C

Che cosa fa? Perché?

Stiramento

I triangoli FQG e MPN sono simili:

QH:PH=QF:PM

QH:PH=(QB+BM):PM

QB=l PM=d

QH:PH=(2l-d):d

K=(2l-d)/d

Equazioni:

x'=-kxy'=y

21 aprile 2023 23

Idee di percorsi didattici

• Indicazioni metodologiche• Alcune linee guida e materiali di

lavoro• Idee di percorsi

Progetto regionale Scienze e tecnologie Laboratorio delle macchine matematiche

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Indicazioni metodologiche

1. Strumenti: pantografi, fogli bianchi, riga, squadrette, compasso.

2. Lavoro a piccoli gruppi.3. Verbalizzazione scritta (più o meno

strutturata)4. Discussioni di bilancio con produzione di

testi collettivi condivisi

Quanto tempo?

Almeno 3 ore (2+1) per introdurre la prima macchina: esplorazione e successiva discussione con focus sui processi e sugli aspetti culturali coinvolti

A seconda del percorso e del numero di macchine scelte, si potrà progettare di quanto allungare la sperimentazione

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Quali sono gli aspetti che mettono in gioco le attività con i pantografi?

Aspetti legati• Alla geometria: analisi delle proprietà delle

figure trasformate, dimostrazioni (geometria euclidea)…

• All’aritmetica: Individuazione dei rapporti tra segmenti, figure…

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Quali possibili obiettivi?

Fornire un contesto di apprendimento di significati matematici in cui:

• vengano favoriti processi di argomentazione e dimostrazione

• siano messe in luce le connessioni della matematica con la storia, la cultura e la vita quotidiana

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Per questo, durante le attività laboratoriali

Si vuole dare spazio a:• Attività di esplorazione• Manipolazioni ed osservazioni di oggetti

fisici• Verbalizzazione (orale e scritta)• Discussioni collettive

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Cosa è stato fatto2010/2011

• Macchine matematiche in dotazione al Museo disponibili per il prestito

• Apertura al prestito (Cinzia Galli)• Inizio corso di formazione• Progettazione sperimentazioni

Griglia per la progettazione

21 aprile 2023

I vostri progetti

Discussione

Possibili percorsi di sperimentazione

1. I pantografi per la simmetria assiale e per lo stiramento

2. Il pantografo di Scheiner: esploriamo, ricostruiamo e dimostriamo!

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

• Analisi dello strumento (componente artefatto e schemi d’uso)

• Individuazione della trasformazione svolta dalla macchina (cosa fa la macchina)

• Riflessione sulle proprietà matematiche incorporate in questa (perché svolge una simmetria assiale)

Percorso 1: simmetria assiale e stiramento

Come è fatta la macchina?

Cosa fa?

Perché lo fa?

Produzione di testi descrittivi e argomentativi

Discussioni matematiche

Indicazioni metodologiche

1. Lavoro a piccoli gruppi (max 5 studenti)2. Strumenti: pantografi e fogli bianchi3. Richiesta di verbalizzazione scritta (più o

meno strutturata) dell’attività con la macchina

4. Discussioni di bilancio con produzione di testi collettivi condivisi

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

Linee guida per le attività degli studenti

1. Descrizione e disegno della macchina (come è fatta la macchina?)

2. Individuazione dei punti puntatori/tracciatori e analisi del meccanismo (come si usa?)

3. Disegni di figure che sono trasformate dalla macchina (cosa fa la macchina?)

4. Analisi delle caratteristiche della macchina che permettono lo svolgimento della trasformazione (le proprietà della trasformazione incorporate nella macchina)

Cosa succederebbe se…

21 aprile 2023 Autori: R. Garuti e F. Martignone

L’ultimo pantografo analizzato

pantografo di Scheiner

Come è fatto?Cosa fa?

Perché lo fa?

Ricominciamo da qui…

Come è fatto?Cosa fa?

Perché lo fa?

Per dimostrare…

21 aprile 2023

41

'

'

x kx

y ky

Nel piano cartesiano:Per dimostrare l’allineamento di O, Q e P e il rapporto costante tra le distanze dei tracciatori (Q e P) dal punto fisso O, si possono considerare il triangoli simili OQA e OPB oppure i triangoli OQA, QPC e il parallelogramma AQCB…

21 aprile 2023 42

Confronto di dimostrazioni

Cosa succederebbe se …?

Omotetia di rapporto 1:3Omotetia di rapporto

negativo (simm centr.)

•Animazioni costruite con Geogebra o Cabri•Costruzione di nuove macchine con materiali poveri: aste di plastica, bastoncini di legno…

Materiali ora presenti sul sito

• Presentazione PPT degli incontri• Schede di lavoro per gli insegnanti• Materiali analizzati• Linee guida per percorsi didattici• Griglie per la progettazione di

sperimentazioni

http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

Materiali presto sul sito

• Presentazioni PPT e schede di lavoro dei prox incontri

• Schema di diario di bordo• Modulo prenotazione macchine• Pdf di articoli e libri in cui sono raccolte

esperienze svolte da insegnanti dell’Emilia Romagna

http://www.liceoaselli.it/matelaboratorio.htm

Da alcune sperimentazioni svolte in classe

Progetto MMLab-ER

Sperimentazioni

In tutte le sperimentazioni svolte dagli insegnanti coinvolti nel progetto MMLab-ER si ritrovano le linee guida del corso di formazione:•La metodologia laboratoriale•L’elaborazione di percorsi e di consegne cruciali •L’attenzione ai processi •Il focus sugli aspetti culturali

Come è fatta?

Cosa fa? Perché?

Nuove consegne…lo Scheiner sbagliato

• Perché non funziona?

Descrivere il compasso …

Giustificare la risposta Provare che…

Scrivere la procedura

Costruire con riga e compasso …

La voce degli insegnantialcune riflessioni dai report finali

• “È stato interessante osservare i ragazzi all’opera non solo per la qualità degli elaborati finali prodotti, ma anche per l’opportunità di poterli ascoltare nel momento in cui le loro idee venivano alla luce, esposte e concretizzate”. [Banchelli- Liceo scientifico]

• “E’ importante anche sottolineare, che la lezione di geometria in laboratorio non richiede più tempo rispetto all’insegnamento classico, anzi, lo riduce, poiché suggerimenti, osservazioni e congetture fanno parte di una scoperta e di una crescita culturale di ognuno, nel rispetto dei propri modi e tempi di apprendimento” [Silvegni- IPSIA]

UMI 2011

Altre macchine

ricostruzioni virtuali con software di DG

www.macchinematematiche.org

Pantografo di Kempe

Questo pantografo si ottiene assemblando

due sistemi articolati BCP e ADQ

(ove BC=AD e CP=DQ)

mediante tre aste uguali di lunghezza

assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al

piano.

ABCD e CPQD sono quindi due

parallelogrammi articolati. Il punto P

(tracciatore) ha due gradi di libertà.

21 aprile 2023 53

A

B

C

D

P

Q

Si può osservare che:● Quando il puntatore percorre un segmento, il

tracciatore descrive un segmento parallelo e uguale:

in ogni posizione di R sul segmento a, PQRS è un

parallelogramma (lati PQ ed RS paralleli e uguali)● Viene conservato il verso di percorrenza delle figure● Non esistono punti uniti , esiste un fascio improprio

di rette unite.

21 aprile 2023 55

Pantografo di Kempe

Pantografo di Kempe

Questo pantografo si ottiene assemblando

due sistemi articolati BCP e ADQ

(ove BC=AD e CP=DQ)

mediante tre aste uguali di lunghezza

assegnata AB, CD e PQ. AB è fissata al

piano.

ABCD e CPQD sono quindi due

parallelogrammi articolati. Il punto P

(tracciatore) ha due gradi di libertà.

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Equazioni della trasformazione

Sia h la lunghezza di AB.

x'=x

y'=y-h

21 aprile 2023 57

Pantografo di Kempe

Rotazione

21 aprile 2023 58

Dimostrazione:

1)

2) relazione fra angoli:

Rotazione

CQOPOA

COQOPA

QOPO quindi OCQAOP

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

QCBQOP

180QOPOABPOAQOC

180QCBBCOOQCQOC

180QCOOQCQOC

ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆ

Costruzione:

AP=AB=OC OA=CB=CQ triangoli PAB e BCQ simili

Nei prossimi incontri

• Esplorazione di altre macchine matematiche: ancora un pantografo e poi curvigrafi e macchine aritmetiche

• Discussione progetti di sperimentazione

• Testimonianze dalle classi

Programma del corso2° parte anno scolastico 2011-2012

 Data TITOLO Elementi di contenuto

e strumenti

 Quarto incontro

22 settembre

201115 – 18

 Analisi delle prime sperimentazioni in classe  Il laboratorio di matematica:macchine geometriche (macchine per le trasformazioni geometriche del piano)

 Discussione dei progetti  Trasformazioni geometriche STRUMENTI: Pantografi e Biellismi

 Quinto incontro

13 ottobre

201115 – 18

Macchine geometriche: pantografiMacchine aritmetiche: costruzione e analisi

  Trasformazioni geometriche

Notazione posizionale, algoritmi, regolarità numeriche STRUMENTI: pantografi e pascalina,

 Sesto incontro

27 ottobre

201115 – 18

  Il laboratorio di matematica:macchine geometriche (curvigrafi)

  Coniche e costruzioni di animazioni virtuali STRUMENTI: curvigrafi

 Settimo incontro 

10 novembre 2011

15 – 18

  I progetti di sperimentazione nelle classi

Discussione dei progetti di sperimentazione con particolare attenzione alla metodologia

laboratoriale

Cremona 2011

Per la prox volta

• Compilare la griglia per la progettazione delle sperimentazioni

• Spedire la griglia ai formatori via e-mail – Nicoletta Nolli nico559@libero.it– Francesca Martignone

francesca.martignone@unimore.it

• Per facilitare il prestito, comunicare il periodo in cui si pensa di svolgere la sperimentazione

Il diario di Bordo

21 aprile 2023

VIDEO DI ESEPRIENZE SVOLTE IN CLASSE

MODENA

http://www.mmlab.unimore.it/on-line/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/Fotoevideo.html

DAL MIN 10.53-21.48

Grazie!

www.mmlab.unimore.it