Scuola secondaria di primo grado “Marconi” Castelfranco Emilia · Sperimentazione sul "Teorema di Pitagora" e le macchine matematiche a.s. 2013/2014 Classe 2 C-D Stefano Barbieri

Scuola secondaria di primo grado “Marconi” Castelfranco Emilia

Sperimentazione sul "Teorema di Pitagora" e le macchine matematiche

a.s. 2013/2014 Classe 2 C-D Stefano Barbieri

{ contiene 6 video e oltre 90 figure }

LabMM e Pitagora - 2 - Stefano Barbieri

Premessa La presente sperimentazione è stata sviluppata sulla traccia solcata dalla sperimentazione dell'anno precedente nel medesimo istituto (*) in collaborazione con l'Università degli Studi di Modena-Reggio Emilia (**), ad opera di Francesca Scorcioni (*) e Michela Maschietto (**): la collaborazione si è instaurata anche in questo a.s. . Ogni classe è stata suddivisa in 5 gruppi eterogenei (omogenei all'interno) e sono state previste 4 distinte attività sequenziali (riportate sia su foglio protocollo del gruppo, sia singolarmente sul quaderno): [1] Esplorazione e conoscenza della MACCHINA1 [2]Costruzione della MACCHINA 1 su cartoncino + scheda 1 [3] Esplorazione di configurazioni possibili [4] Formulazione di regole e proprietà (con riproduzione della macchina sul quaderno)

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[1] Esplorazione e conoscenza della MACCHINA Questa prima fase è stata articolata in 4 sotto fasi: [1a] Esplorazione e descrizione della macchina di ogni singolo gruppo [1b] Lettura (senza filtro) di ogni gruppo (scrittura alla LIM e sul quaderno personale) [1c] Revisione domestica personale (lettura critica del lavoro dei gruppi) [1d] Revisione collettiva sia del contributo dei singoli gruppi, sia della stesura di una descrizione condivisa [1a] Gli alunni avevano la possibilità di manipolare e misurare gli elementi della macchina (consapevoli che poi l'avrebbero riprodotta su carta/cartoncino). Questa fase (2h) ha visto la contemporaneità dell'attività [2], vediamo alcuni momenti caratteristici:

Fig. 1-2: misurazioni degli elementi della macchina

Fig. 3-4: misure affette da errori (righello con portata insufficiente, "distanza" non perpendicolare)


Fig. 5-6-7-8: alcune composizioni "fuori dalla base" (con i 4 triangoli rettangoli)

Fig. 9-10-11-12: alcune composizioni "dentro la base" (con 2 triangoli rettangoli)


Fig. 13-14-15: alcune composizioni "dentro la base" (con 4 triangoli rettangoli)

[1b] La lettura delle descrizioni dei vari gruppi è stata svolta partendo dal gruppo (indicato con lettere maiuscole) più debole e quello più forte (per lo meno, in base alla costruzione dei gruppi). Sono annotate in rosso gli errori che il gruppo classe ha rilevato e in azzurro le aggiunte del gruppo stesso, contestualmente alla lettura e scrittura collettiva e alla fase [1c].

2C

[E] La macchina è di legno ed è di forma quadrata. Abbiamo notato che con i triangoli si possono formare diverse figure geometriche, es. triangolo, rettangolo e quadrato. Il triangolo può essere sia triangolo rettangolo ma anche scaleno, a seconda della posizione che lo mettiamo. Sono anche dei tramezzini. [D] La macchina è composta da una base quadrata poi ci sono due gruppi di triangoli, un gruppo è formato da 4 triangoli scaleni, mentre l’altro gruppo è formato da 4 triangoli isosceli. [C] La macchina è un rettangolo quadrato fatto di legno ed è largo 40,3 x 40,3 e ha i lati esterni e interni compresi gli angoli, quindi diciamo che i triangoli possono essere retti, scaleni, e isosceli. [B] La macchina è un quadrato, composta da 4 trapezi come contorno e un quadrato come base. Ha un area interna di 1624,09cm2 ha un perimetro di 161,2cm. Serve per le proiezioni ortogonali e al movimento delle figure. Ha un area esterna di 2043,04cm2 . [A] La macchina è composta da un quadrato come base e 4 triangoli scaleni e rettangoli che posati sulla base possono formare diverse figure. La macchina serve per studiare i principi di equiscomponibilità e di geometria dinamica. Il tutto è fatto di legno.

2D

[E] La macchina è composta da pezzi di legno, sono a forma triangolare, tutti, e ha due figure che si possono ruotare e formano due diverse forme. mettendo tutti i triangoli all’interno ai lati, formano un “buco” quadrato, mentre assieme un rettangolo o un parallelogramma. Nessun lato è parallelo. [D] Ci sono 4 triangoli rettangoli che hanno la base di 14,7cm e l’ipotenusa di 25 e il lato di 29. I triangoli hanno un angolo retto, uno acuto e uno ottuso. Per completare la tavola servono 8 giri di triangoli. [C] Il triangolo rettangolo misura il lato b 28,5cm il lato 1 14,5 cm lato 2 28,5 cm La macchina è formata internamente da 4 lati uguali e 4 lati esterni tutti uguali. La macchina ha una forma quadrata internamente ed esternamente. È composta da 4 forme di legno e il primo è un trapezio allungato e anche gli altri sono uguali al primo Gli angoli interni sono tutti di 90° (interni ed esterni) alla macchina [B] La macchina è composta da 5 pezzi di legno di cui 4 sono triangoli rettangoli scaleni, e una tavola quadrata. I triangoli si possono muovere nello spazio formando delle figure Triangoli: base = 14,5; Cateto = 24,5 cm; Ipotenusa = 28,5 cm Tavola: spazio interno lato del quadrato 40,3 cm; lato esterno 49,5cm [A] La macchina è composta da 4 pezzi di legno tutti congruenti. I pezzi di legno misurano: altezza 25cm (cateto), base 15cm; lato obliquo (ipotenusa) 29cm Esplorazione dei pezzi di legno: sono tutti triangoli rettangoli, hanno 3 lati tutti diversi CA perpendicolare ad AB, nessun lato è parallelo. Gli angoli sono 3, 2 acuti e uno retto. La somma degli angoli interni è 180° e sono supplementari. Non ha diagonali Esplorazione della macchina: ha una forma quadrata, con 2 quadrati uno esterno e 1 interno I lati sono 4: quelli interni di 40,4cm sono congruenti e quelli esterni 50cm sono congruenti Quelli opposti sono paralleli e quelli consecutivi sono perpendicolari, gli angoli sono 8 tutti di 90° cioè retti, la loro somma è 720° (quelli interni 360° e quelli esterni 360°) Le diagonali sono 4, 2 dei vertici interni e 2 dei vertici esterni, sono incidenti e bisettrici.


[1d] Con supporto LIM, dopo argomentazioni e discussioni collettive si concorda per: 2C

La macchina è di legno formata da 5 pezzi uno di forma quadrata e 4 triangoli rettangoli scaleni tutti congruenti (esiste un altro gruppo di 4 triangoli rettangoli isosceli che per ora non stiamo utilizzando). La base ha il lato di 40,3 cm (perimetro = 151,2 cm 161,2 cm e area = 1624,09 cm2) ed ha una cornice formata da 4 trapezi isosceli congruenti. Ogni triangolo ha i lati rispettivamente di (tutti gruppi avevano lati leggermente diversi, tutti misurano +/- 1mm) 29; 25 e 14,7 cm anche se non sono tutti proprio congruenti. Potrebbe servire per equiscomponibilità, composizione di diverse figure (rettangolo, parallelogramma, trapezio isoscele, rombo, triangolo isoscele, deltoide, alcune fuori dalla base), movimento delle figure e geometria dinamica. Come il Tangram le figure composte da 4 pezzi hanno tutte la stessa superficie (sono equivalenti).

2D

La macchina è formata da 5 pezzi di legno: 4 sono triangoli rettangoli scaleni, l’altro pezzo è una tavola di forma quadrata con una cornice composta da 4 trapezi isosceli. I 4 triangoli sono congruenti e i lati misurano rispettivamente 29; 25; 15 cm (arrotondati perché non propri tutti uguali), mentre il quadrato misura 50cm esternamente e 40cm internamente. I 4 triangoli assieme formano un rombo*, un parallelogramma*, rettangolo, trapezio isoscele, triangolo rettangolo tutti equivalenti (hanno la stessa area) (*fuori dalla base) 2 triangoli invece formano un deltoide, rettangolo, triangolo isoscele, parallelogramma. La macchina potrebbe servire a creare forme geometriche equivalenti, calcolare l’area, i perimetri, a far ragionare, fare calcoli.

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[2]Costruzione della MACCHINA 1 su cartoncino + scheda 1 Per ogni gruppo questa fase è ovviamente suddivisa in due attività (gestite all'interno del gruppo) [2a] Costruzione della macchina con materiali poveri messi a disposizione (come nelle foto e filmati) [2b] Compilazione della scheda1


Scheda 1 (prima della revisione collettiva)


[3] Esplorazione di configurazioni possibili Utilizzando la macchina reale (di legno) o la sua riproduzione (su cartoncino), è stato chiesto ai ragazzi di comporre i 4 triangoli all'interno della base, in modo che rimanessero uno o più "buchi" quadrati.

Fig. 16-17:non tutti rispettano le consegne (configurazioni fuori base o sovrapposte)

In entrambe le classi la configurazione con due quadrati è stata trovata per prima:

Fig. 18-19-20-21: composizione dei 4 triangoli con 2 "buchi" quadrati

La seconda configurazione ha richiesto tempi diversi tra i vari gruppi (ma tutti ce l'hanno fatta!):


Fig. 22-23-24-25: composizione dei 4 triangoli con 1 "buco" quadrato


[4] Formulazione di regole e proprietà (con riproduzione della macchina sul quaderno)Questo passaggio ha determinato un divario tra le due classi: 2C (20 alunni con 1 H e 3 DSA) è stata molto più efficace e precisa, 2D (22 alunni nessun H e DSA) è stata molto superficiale ed erronea nelle procedure e nei risultati:

Fig. 26: crisi sulla rappresentazione grafica affrontata alla LIM con gli alunni

Fig. 27-28: difficoltà nel disegnare

Fig. 29-30: disegni a mano libera e triangoli non congruenti


Fig. 31-32-33-34-35-36-37-38: no comment


Fig. 39-40-41-42-43-44-45-46: "buchi" quadrati, ma serie di 4 + 4 triangoli non congruenti


Opportuna e interessante l'analisi delle figure e delle difficoltà o non conformità riscontrate che ha richiesto la ridiscussione di tutti i punti condivisi (che avevano sul loro quaderno) in modo da renderli consapevoli dei propri errori.

Fig. 47: analisi collettiva delle rappresentazioni

Si è ripreso poi tutto passo passo e la descrizione condivisa è stata utilizzata come check list per l'auto-correzione:

Fig. 48-49: analisi e correzione autonoma (guidata) delle rappresentazioni


Finalmente si raggiungono delle rappresentazioni coerenti:

Fig. 50-51-52-53-54-55-56-57-58-59-60-61-62-63-64: rappresentazioni coerenti post analisi e revisione collettiva

Si nota che i triangoli rettangoli scaleni sono "triangoli qualunque" e non in proporzione rispetto la macchina: utile per la generalizzazione.


Nell'altra classe, visto che i quaderni presentavano rappresentazioni corrette, si è proceduto alla rappresentazione tramite LIM (partendo dalla fotografia della macchina e mettendo un reticolato come sfondo):

Fig. 65-66-67-68: rappresentazioni della macchina 1 alla LIM

Superata la fase [4a] di "rappresentazione della figura" (che implica l'utilizzo consapevole di figure congruenti aventi le caratteristiche proprie delle figure) si passa all'argomentazione/dimostrazione dei quadrati [4b] della prima configurazione trovata (quella con due quadrati): sono proprio quadrati?

Fig. 69: avvio alle argomentazioni partendo da ipotesi condivise


L'analisi dell'attività ora dovrebbe essere incrociata tra i video realizzati e il susseguirsi della costruzione alla LIM I video V1 (5' 46") - V2 (1' 58") - V3 (39") documentano i tentativi e le difficoltà di argomentare e dimostrare che la figura piccola rossa sia proprio un quadrato (spesso si perdono di vista le ipotesi e si giustifica da ciò che si percepisce visivamente). Il percorso ha portato a: 2C

Fig. 70: [4b] ricostruzione della dimostrazione alla LIM del primo quadrato2C

https://www.youtube.com/watch?v=b_FQ7919Unk

https://youtube.com/watch?v=CfMj2FSamVAfeature=youtube

https://youtube.com/watch?v=UTAy-HzfGgU


2D

Fig. 71: [4b] ricostruzione della dimostrazione alla LIM del primo quadrato (lati) 2D


Fig. 72: [4b] ricostruzione della dimostrazione alla LIM del primo quadrato (angoli) 2D


[4c] SI passa dalla prima alla seconda conformazione (come documentato nel Video V4 [1' 19"]) Riusciamo a dimostrare che il "buco" è un quadrato? 2C

Fig. 73: [4c] ricostruzione della dimostrazione alla LIM del terzo quadrato 2C

https://www.youtube.com/watch?v=wVRe2ZrM2s4


2D

Fig. 74: [4c] ricostruzione della dimostrazione alla LIM del terzo quadrato 2D


[4d] Si mettono ora a confronto le due conformazioni e i "buchi" quadrati

Fig. 75: [4d] costruzione dell'enunciato del Teorema di Pitagora alla LIM


[4e] Si passa poi (con un esempio numerico) non solo a dimostrarlo numericamente (previa costruzione della figura e misura dei lati...), ma a formalizzare l'equivalenza delle aree come "quadrato costruito su..." con la doppia lettura: la superficie del quadrato e la potenza di secondo grado relativa al lato di riferimento.

Fig. 76: [4e] equivalenza delle aree (esempio numerico e formalizzazione)

Si prosegue con altri esempi numerici sottolineando l'importanza dell'individuazione dell'ipotenusa tra i dati (se il triangolo è rettangolo, l'ipotenusa è il lato più lungo...). Si utilizzano le lettere in modalità diverse per non stereotipare l'ipotenusa come lato "a".


Fig. 77: [4e] equivalenza delle aree (esempi e controesempi)


Ripresa del Teorema (enfatizzando la premessa e il "quadrato" sui lati):

Fig. 78: [4e] ripresa dell'enunciato del TdP

Altri esempi (triangoli particolari):

Fig. 79: [4e] applicazioni del TdP a triangoli particolari


[4f] Dalla formulazione del Teorema di Pitagora si stimola gli alunni a trovare una formula che permette di calcolare i lati di un triangolo rettangolo noti due lati qualunque:

Fig. 80: [4f] formule per il calcolo dei lati

SI enfatizza che: 1) per determinare l'ipotenusa (lato più lungo) è necessario fare la "somma" sotto radice... dei due quadrati 2) per determinare un cateto (lato non più lungo) è necessario fare la "differenza" sotto radice... del quadrato grande meno l'altro quadrato Si ricorda anche che non valgono proprietà delle potenze applicate alle radici ove i termini siano sommati o sottratti;

un tipico errore è infatti:


Esplorazione della Seconda macchina

Fig. 81-82: presentazione della seconda macchina

Gli alunni hanno riconosciuto ben presto sia triangoli rettangoli che quadrati, ed hanno supposto che servisse ancora per dimostrare il Teorema di Pitagora In alcuni casi la rappresentazione sul quaderno ha presentato problemi:

Fig. 83-84: difficoltà di rappresentazione della seconda macchina


Sono state proposte rappresentazioni al calcolatore (alunna DSA) e alla lavagna (ehm... io)

Fig. 85-86: rappresentazione della seconda macchina

Primo tassello era dimostrare che i "buchi" esagonali erano equivalenti: entrambe le classi hanno prima dimostrato che le figure, irregolari, sono isoperimetriche, ed hanno poi erroneamente indotto che se hanno lo stesso perimetro allora hanno anche la stessa area.

Fig. 87-88: equivalenza tra le due conformazioni (isoperimetriche)

Per dimostrare chele due figure, relative alle due conformazioni della seconda macchina, gli alunni hanno avuto l'esigenza di tracciare una "diagonale invisibile" e vedere che la parte mobile rotante lasciava invariata tale diagonale

Fig. 89: equivalenza tra le due conformazioni (equiscomponibilità)


Nell'altra classe (2D) si è utilizzata la LIM:

Fig. 89: equivalenza tra le due conformazioni (isoperimetriche)

Fig. 90: equivalenza tra le due conformazioni (equiscomponibilità)

Gli alunni della 2C hanno "dimostrato" elegantemente in 29" l'equivalenza tra le due macchine, come mostrano i due filmati: M2-1 (12") e M2-2 (17"). L'attività è poi terminata con la costruzione di un cartellone utilizzando le figure degli alunni.

https://www.youtube.com/watch?v=c4RGLfdMS6U

https://www.youtube.com/watch?v=dH1DrGs8qcQ


Fig. 91: cartellone finale della classe sul Teorema di Pitagora e la prima macchina

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