View
7
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
ISBN 978-985-19-2581-6
Геометрия. 7 класс : самостоятельные и контрольные работы : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Т. В. Валаханович, В. В. Шлыков. — Минск : Аверсэв, 2017. — 112 с. : ил.
© Валаханович Т. В., Шлыков В. В., 2017© Оформление. ОДО «Аверсэв», 2017
В15
УДК 372.851.4.046.14 ББК 74.262.21
УДК 372.851.4.046.14ББК 74.262.21 В15
ISBN 978-985-19-2581-6.Пособие составлено в соответствии с действующей учебной программой, утверж-
денной Министерством образования Республики Беларусь.Адресуется учителям для организации самостоятельной работы учащихся и осу-
ществления контроля знаний при обучении геометрии.Книга ранее издавалась под названием «Дидактические материалы по геометрии.
7 класс».
Р е ц е н з е н тучитель математики высш. категории гос. учреждения образования
«Гимназия № 24 г. Минска» Т. В. Ячейко
Валаханович, Т. В.
Подписано в печать 12.09.2017. Формат 60×84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 6,51. Уч.изд. л. 4,27. Тираж 2100 экз. Заказ
Общество с дополнительной ответственностью «Аверсэв». Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,
распространителя печатных изданий № 1/15 от 02.08.2013. Ул. Н. Олешева, 1, офис 309, 220090, Минск.
Email: info@aversev.by; www.aversev.byКонтакт ные телефоны: (017) 2680979, 268-08-78.
Для писем: а/я 3, 220090, Минск.УПП «Витебская областная типография».
Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 2/19 от 26.11.2013.
Ул. Щербакова-Набережная, 4, 210015, Витебск.
12+
Справочное изданиеВалаханович Татьяна Владимировна
Шлыков Владимир Владимирович
геомеТРия. 7 Класссамостоятельные и контрольные работы
Пособие для учителей учреждений общего среднего образования с русским языком обучения
Ответственный за выпуск Д. Л. Дембовский
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель пособия – оказать помощь учителям в организации самостоя�тельной работы и осуществлении контроля знаний учащихся при изучениигеометрии в 7�м классе.
В издании приведено 18 самостоятельных работ и 4 контрольные ра�боты. Самостоятельные работы обозначены буквой С с соответствующимномером, а контрольные – буквой К. Тексты самостоятельных работ яв�ляются ориентировочными. Учитель может вносить в них некоторые изме�нения в зависимости от цели урока, наличия учебного времени и уровняподготовки учащихся. Он же определяет и продолжительность каждой ра�боты, отводя на нее не более одного урока.
Уже в самом начале при изучении геометрии рассматриваются про�странственные фигуры: куб, прямоугольный параллелепипед, прямаяпризма. Поэтому в задачах самостоятельных работ используются эти мно�гогранники, что является своеобразным средством введения учащихсяв пространственную геометрию в процессе изучения планиметрии.
Каждая самостоятельная работа содержит пять задач. В одних задачахнеобходимо найти решение с использованием готового изображения фи�гуры, а в других учащиеся должны самостоятельно построить изображе�ние фигуры, используя условие задачи. В ряде самостоятельных работ да�ются изображения одной и той же фигуры, отличающиеся уровнемвоздействия на зрительную память. Цель этого приема – способствоватьформированию навыков чтения графических моделей и развитию про�странственных представлений. Переносить готовые рисунки в тетрадь привыполнении самостоятельной или контрольной работы не обязательно,если найденный способ решения не предполагает выполнения дополни�тельных построений или введения новых обозначений.
Варианты работ подобраны так, что первые четыре из них более лег�кие, чем пятый и шестой. Такой подход к подбору вариантов обусловленнеобходимостью учета индивидуальных способностей учащихся. Задачныйматериал первых четырех вариантов предназначен для организации кон�троля за усвоением учащимися изученного материала. Пятый и шестой ва�рианты предназначены для более подготовленных учащихся, проявляю�щих повышенный интерес к математике. Задачи этих двух вариантов могутбыть предложены учащимся в качестве дополнительного задания послевыполнения ими основной работы, а также использованы в качестве не�обязательного задания для домашней работы.
3
Первые четыре варианта самостоятельных работ № 1–16, № 18и всех контрольных работ содержат по пять задач, соответствующих пятиуровням усвоения учебного материала, а варианты 5 и 6 всех работ – потри. Варианты 5 и 6 и самостоятельная работа № 17 «Задачи на построе�ние циркулем и линейкой» не содержат задач первого и второго уровнейусвоения учебного материала. За выполнение задачи № 1 указанных ва�риантов может быть выставлена отметка 5–6 баллов, решение задач № 2и № 3 можно оценить 7–8 и 9–10 баллами соответственно.
Самостоятельные работы распределены по темам параграфов следую�щим образом:
С�1. Взаимное расположение точек и прямых.С�2. Сравнение и измерение отрезков. Окружность и круг.С�3. Луч. Угол. Сравнение и измерение углов.С�4. Свойства смежных и вертикальных углов.С�5. Начальные сведения (итоговая самостоятельная работа к главе 2).С�6. Треугольник. Первый признак равенства треугольников.С�7. Медианы, высоты и биссектрисы треугольника. Равнобедренный
треугольник.С�8. Второй и третий признаки равенства треугольников.С�9. Треугольники (итоговая самостоятельная работа к главе 3).С�10. Признаки параллельности прямых.С�11. Свойства параллельных прямых.С�12. Параллельные прямые (итоговая самостоятельная работа к главе 4).С�13. Сумма градусных мер углов треугольника. Внешний угол тре�
угольника.С�14. Неравенство треугольника.С�15. Признаки равенства и свойства прямоугольных треугольников.С�16. Расстояние от точки до прямой. Равенство фигур.С�17. Задачи на построение циркулем и линейкой.С�18. Соотношения между сторонами и углами треугольника (итого�
вая самостоятельная работа к главе 5).В пособии имеются тексты четырех контрольных работ по всему курсу
геометрии 7�го класса в шести вариантах:К�1. Начальные сведения.К�2. Треугольники.К�3. Параллельные прямые.К�4. Соотношения между сторонами и углами треугольника.Контрольные работы предназначены для проведения итоговой провер�
ки знаний учащихся по каждой теме курса. Количество контрольных работизбыточно. Работа K�1 не является обязательной и может быть использо�вана учителем для проведения предварительного контроля знаний уча�щихся.
4
Самостоятельная работа № 1
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕТОЧЕК И ПРЯМЫХ
C#1 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 1, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) K AD� ; б)O � AB; в) B OC� ; г) A BD� .
2. Расмотрите рисунок 1, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку B. б) В какой точке пересекаются прямые AO и BD?
3. На рисунке 1, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка T лежит на реб�ре C D1 1 , а прямые C A1 1 и B T1 пересекаются в точке O (рис. 1, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DT. б) Назовите точ�ки пересечения прямых B O1 иC D1 1 ,C O1 и B A1 1 .
4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка DC. а) По�стройте точку O, в которой пересекаются прямые BC и AK . б) По�стройте точку пересечения прямых BK и OD. в) Назовите одну из пря�мых, которая пересекает прямые BC и AD.
5. Точка O лежит на стороне AC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекалапрямые AB BC BO, , и AC.
5
В
С
DK
A
O
аа бб вв
C1C1 В1В1
А1А1
ААDD
CC
Т О
В
D1
C1C1 В1В1
А1А1D1
ТО
Рис. 1
Первые четыре варианта самостоятельных работ № 1–16, № 18и всех контрольных работ содержат по пять задач, соответствующих пятиуровням усвоения учебного материала, а варианты 5 и 6 всех работ – потри. Варианты 5 и 6 и самостоятельная работа № 17 «Задачи на построе�ние циркулем и линейкой» не содержат задач первого и второго уровнейусвоения учебного материала. За выполнение задачи № 1 указанных ва�риантов может быть выставлена отметка 5–6 баллов, решение задач № 2и № 3 можно оценить 7–8 и 9–10 баллами соответственно.
Самостоятельные работы распределены по темам параграфов следую�щим образом:
С�1. Взаимное расположение точек и прямых.С�2. Сравнение и измерение отрезков. Окружность и круг.С�3. Луч. Угол. Сравнение и измерение углов.С�4. Свойства смежных и вертикальных углов.С�5. Начальные сведения (итоговая самостоятельная работа к главе 2).С�6. Треугольник. Первый признак равенства треугольников.С�7. Медианы, высоты и биссектрисы треугольника. Равнобедренный
треугольник.С�8. Второй и третий признаки равенства треугольников.С�9. Треугольники (итоговая самостоятельная работа к главе 3).С�10. Признаки параллельности прямых.С�11. Свойства параллельных прямых.С�12. Параллельные прямые (итоговая самостоятельная работа к главе 4).С�13. Сумма градусных мер углов треугольника. Внешний угол тре�
угольника.С�14. Неравенство треугольника.С�15. Признаки равенства и свойства прямоугольных треугольников.С�16. Расстояние от точки до прямой. Равенство фигур.С�17. Задачи на построение циркулем и линейкой.С�18. Соотношения между сторонами и углами треугольника (итого�
вая самостоятельная работа к главе 5).В пособии имеются тексты четырех контрольных работ по всему курсу
геометрии 7�го класса в шести вариантах:К�1. Начальные сведения.К�2. Треугольники.К�3. Параллельные прямые.К�4. Соотношения между сторонами и углами треугольника.Контрольные работы предназначены для проведения итоговой провер�
ки знаний учащихся по каждой теме курса. Количество контрольных работизбыточно. Работа K�1 не является обязательной и может быть использо�вана учителем для проведения предварительного контроля знаний уча�щихся.
4
Самостоятельная работа № 1
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕТОЧЕК И ПРЯМЫХ
C#1 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 1, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) K AD� ; б)O � AB; в) B OC� ; г) A BD� .
2. Расмотрите рисунок 1, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку B. б) В какой точке пересекаются прямые AO и BD?
3. На рисунке 1, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка T лежит на реб�ре C D1 1 , а прямые C A1 1 и B T1 пересекаются в точке O (рис. 1, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DT. б) Назовите точ�ки пересечения прямых B O1 иC D1 1 ,C O1 и B A1 1 .
4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка DC. а) По�стройте точку O, в которой пересекаются прямые BC и AK . б) По�стройте точку пересечения прямых BK и OD. в) Назовите одну из пря�мых, которая пересекает прямые BC и AD.
5. Точка O лежит на стороне AC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекалапрямые AB BC BO, , и AC.
5
В
С
DK
A
O
аа бб вв
C1C1 В1В1
А1А1
ААDD
CC
Т О
В
D1
C1C1 В1В1
А1А1D1
ТО
Рис. 1
C#1 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 2, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)O BF� ; б)O KF� ; в) B AD� ; г)O AK� .
2. Рассмотрите рисунок 2, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые AB и KF?
3. На рисунке 2, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре A D1 1 , а прямые B D1 1 и KC1 пересекаются в точке O (рис. 2, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DK . б) Назовите точ�ки пересечения прямыхC O1 и A D1 1 , D O1 и B C1 1 .
4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка AB. а) Построй�те точку O, в которой пересекаются прямые DK и BC. б) Постройтеточку пересечения прямых AO и KC. в) Назовите одну из прямых, ко�торая пересекает прямые AB и DC.
5. Точка O лежит на стороне AB треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC CO, , и AC.
C#1 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 3, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) P BC� ; б) D OC� ; в) A BD� ; г)C OP� .
2. Рассмотрите рисунок 3, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые KP и AO?
3. На рисунке 3, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре AD, а прямые BD и PC пересекаются в точке O (рис. 3, в). а) Назо�
6
D
K
FC
B
A
O
аа бб вв
В1В1
А1А1D1
C1C1
AA
KО
В CC
DD
В1В1
А1А1 D1
C1C1
K
О
Рис. 2
вите грань, в плоскости которой лежит прямая A P1 . б) Назовите точкипересечения прямыхCO и AD, BO и DC.
4. ABCD – прямоугольник, точка K – внутренняя точка отрезка BC.а) Постройте точку F, в которой пересекаются прямые AK и DC.б) Постройте точку пересечения прямых FB и DK . в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые BC и AD.
5. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC AO, , и АС.
C#1 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 4, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)C DT� ; б) D AK� ; в)O AT� ; г) K AC� .
7
D
B
A
O
C
K
P
аа бб вв
АА DD
CCОВ
PP
А1А1
D1
C1C1В1В1
АА DD
CC
О
В
PP
Рис. 3
C
D
T
OA
K
аа бб вв
В1
А1А1
D1D1 C1C1
DD
AA
KО
CC
BBВ1
А1А1
D1D1 C1C1
KО
Рис. 4
C#1 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 2, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)O BF� ; б)O KF� ; в) B AD� ; г)O AK� .
2. Рассмотрите рисунок 2, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые AB и KF?
3. На рисунке 2, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре A D1 1 , а прямые B D1 1 и KC1 пересекаются в точке O (рис. 2, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DK . б) Назовите точ�ки пересечения прямыхC O1 и A D1 1 , D O1 и B C1 1 .
4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка AB. а) Построй�те точку O, в которой пересекаются прямые DK и BC. б) Постройтеточку пересечения прямых AO и KC. в) Назовите одну из прямых, ко�торая пересекает прямые AB и DC.
5. Точка O лежит на стороне AB треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC CO, , и AC.
C#1 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 3, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) P BC� ; б) D OC� ; в) A BD� ; г)C OP� .
2. Рассмотрите рисунок 3, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые KP и AO?
3. На рисунке 3, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре AD, а прямые BD и PC пересекаются в точке O (рис. 3, в). а) Назо�
6
D
K
FC
B
A
O
аа бб вв
В1В1
А1А1D1
C1C1
AA
KО
В CC
DD
В1В1
А1А1 D1
C1C1
K
О
Рис. 2
вите грань, в плоскости которой лежит прямая A P1 . б) Назовите точкипересечения прямыхCO и AD, BO и DC.
4. ABCD – прямоугольник, точка K – внутренняя точка отрезка BC.а) Постройте точку F, в которой пересекаются прямые AK и DC.б) Постройте точку пересечения прямых FB и DK . в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые BC и AD.
5. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC AO, , и АС.
C#1 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 4, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)C DT� ; б) D AK� ; в)O AT� ; г) K AC� .
7
D
B
A
O
C
K
P
аа бб вв
АА DD
CCОВ
PP
А1А1
D1
C1C1В1В1
АА DD
CC
О
В
PP
Рис. 3
C
D
T
OA
K
аа бб вв
В1
А1А1
D1D1 C1C1
DD
AA
KО
CC
BBВ1
А1А1
D1D1 C1C1
KО
Рис. 4
2. Рассмотрите рисунок 4, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку K . б) В какой точке пересекаются прямые AO и DC?
3. На рисунке 4, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре B C1 1 , а прямые A K1 и D B1 1 пересекаются в точке O (рис. 4, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая BK . б) Назовите точ�ки пересечения прямых BK и B C1 1 , D O1 и A B1 1 .
4. ABCD – квадрат, точка T – внутренняя точка отрезка AD. а) По�стройте точку M, в которой пересекаются прямые CD и BT. б) По�стройте точку пересечения прямых MA и CT. в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые AB и CD.
5. Точка O – внутренняя точка треугольника АВС. Проведите прямую, непроходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала прямыеAB BC AC, , и BO.
C#1 Вариант 5
1. Рассмотрите рисунок 5, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку O. б) В какой точке пересекаются прямые AF и BO? в) Верно ли,что точка K лежит на прямой AF?
2. На рисунке 5, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре AB, прямые A K1 и AB1 пересекаются в точке O. а) Назовите грань,в плоскости которой лежит прямая CK . б) Назовите точки пересече�ния прямых A O1 и AB, B O1 и AA1 .
3. Прямая c пересекает прямые a и b в точках A и B соответственно, пря�мая d пересекает прямые a и b в точках D и C соответственно,
8
Рис. 5
K c d� � , O AC BD� � . а) Постройте точку пересечения прямых OKи AF (точка F – внутренняя точка отрезка CD). б) Назовите прямые,которые пересекают прямые BC и AD.
C#1 Вариант 6
1. Расмотрите рисунок 6, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку A. б) В какой точке пересекаются прямые FA и KP? в) Верно ли, чтоточка F лежит на прямой АС?
2. На рисунке 6, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре A D1 1 , прямые DP и AD1 пересекаются в точке O. а) Назовите гранькуба, в плоскости которой лежит прямая B P1 . б) Назовите точки пере�сечения прямых B P1 и A D1 1 , D O1 и AA1 .
3. Прямоугольник ABCD и треугольник BKC лежат по разные стороны отпрямой BC. Прямые AK и KD пересекают сторону BC в точках T и Eсоответственно, N AE KC M DT BK� �� �, . а) Постройте точку пере�сечения прямой MN и прямой, проходящей через точку K и точку пере�сечения прямых DT и AE. б) Назовите прямые, проходящие через точ�ку K и пересекающие прямые AD и BC.
9
Рис. 6
2. Рассмотрите рисунок 4, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку K . б) В какой точке пересекаются прямые AO и DC?
3. На рисунке 4, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре B C1 1 , а прямые A K1 и D B1 1 пересекаются в точке O (рис. 4, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая BK . б) Назовите точ�ки пересечения прямых BK и B C1 1 , D O1 и A B1 1 .
4. ABCD – квадрат, точка T – внутренняя точка отрезка AD. а) По�стройте точку M, в которой пересекаются прямые CD и BT. б) По�стройте точку пересечения прямых MA и CT. в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые AB и CD.
5. Точка O – внутренняя точка треугольника АВС. Проведите прямую, непроходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала прямыеAB BC AC, , и BO.
C#1 Вариант 5
1. Рассмотрите рисунок 5, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку O. б) В какой точке пересекаются прямые AF и BO? в) Верно ли,что точка K лежит на прямой AF?
2. На рисунке 5, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре AB, прямые A K1 и AB1 пересекаются в точке O. а) Назовите грань,в плоскости которой лежит прямая CK . б) Назовите точки пересече�ния прямых A O1 и AB, B O1 и AA1 .
3. Прямая c пересекает прямые a и b в точках A и B соответственно, пря�мая d пересекает прямые a и b в точках D и C соответственно,
8
Рис. 5
K c d� � , O AC BD� � . а) Постройте точку пересечения прямых OKи AF (точка F – внутренняя точка отрезка CD). б) Назовите прямые,которые пересекают прямые BC и AD.
C#1 Вариант 6
1. Расмотрите рисунок 6, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку A. б) В какой точке пересекаются прямые FA и KP? в) Верно ли, чтоточка F лежит на прямой АС?
2. На рисунке 6, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре A D1 1 , прямые DP и AD1 пересекаются в точке O. а) Назовите гранькуба, в плоскости которой лежит прямая B P1 . б) Назовите точки пере�сечения прямых B P1 и A D1 1 , D O1 и AA1 .
3. Прямоугольник ABCD и треугольник BKC лежат по разные стороны отпрямой BC. Прямые AK и KD пересекают сторону BC в точках T и Eсоответственно, N AE KC M DT BK� �� �, . а) Постройте точку пере�сечения прямой MN и прямой, проходящей через точку K и точку пере�сечения прямых DT и AE. б) Назовите прямые, проходящие через точ�ку K и пересекающие прямые AD и BC.
9
Рис. 6
Самостоятельная работа № 2
СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
С#2 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 7, а. а) Какие из точек – S O A, , – являютсявнутренними точками отрезка BP? б) Верно ли, что ломаная DCAOKявляется простой?
2. Рассмотрите рисунок 7, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойSD, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 7, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, P, F и T лежат на ребрах AA1, BB1, BC и CC1
соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной D KPFT1 . б) Верно ли, что звено PF лежит на граниBB C C1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, центромкоторой является точка O, а диаметром – отрезок AB. Вычислите дли�ну ломаной ABC, если известно, что расстояние между точками A и Bравно 6 см и AO BC� .
5. Точки A и C – внутренние точки отрезка BD, причем точка C лежитмежду точками A и B. Длина отрезка AC равна 4 см, а длина отрезка
10
Рис. 7
BC в два раза больше длины отрезка AC. Вычислите длину отрезка BD,если известно, что точка A– середина отрезка BD.
С#2 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 8, а. а) Какие из точек – A B D, , – являютсявнутренними точками отрезка CK? б) Верно ли, что ломаная EFDBPявляется простой?
2. Рассмотрите рисунок 8, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAE, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 8, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F P E, , , лежат на ребрах B A1 1 , B C1 1 , C D1 1
и DD1 соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звеназамкнутой ломаной AKFPE. б) Верно ли, что звено AK лежит на граниAA B B1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной ABD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Длина отрезка BD в два раза меньшедлины диаметра окружности. Вычислите расстояние между точками Bи D, если известно, что длина ломаной ABD равна 12 см.
5. Точки F и K – внутренние точки отрезка AB, причем точка K лежитмежду точками F и B. Длина отрезка FK равна 1,5 дм, а сумма длин от�резков AF и BK – 45 см. Вычислите длину отрезка AF, если известно,что точка K – середина отрезка AB.
11
Рис. 8
Самостоятельная работа № 2
СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
С#2 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 7, а. а) Какие из точек – S O A, , – являютсявнутренними точками отрезка BP? б) Верно ли, что ломаная DCAOKявляется простой?
2. Рассмотрите рисунок 7, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойSD, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 7, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, P, F и T лежат на ребрах AA1, BB1, BC и CC1
соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной D KPFT1 . б) Верно ли, что звено PF лежит на граниBB C C1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, центромкоторой является точка O, а диаметром – отрезок AB. Вычислите дли�ну ломаной ABC, если известно, что расстояние между точками A и Bравно 6 см и AO BC� .
5. Точки A и C – внутренние точки отрезка BD, причем точка C лежитмежду точками A и B. Длина отрезка AC равна 4 см, а длина отрезка
10
Рис. 7
BC в два раза больше длины отрезка AC. Вычислите длину отрезка BD,если известно, что точка A– середина отрезка BD.
С#2 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 8, а. а) Какие из точек – A B D, , – являютсявнутренними точками отрезка CK? б) Верно ли, что ломаная EFDBPявляется простой?
2. Рассмотрите рисунок 8, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAE, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 8, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F P E, , , лежат на ребрах B A1 1 , B C1 1 , C D1 1
и DD1 соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звеназамкнутой ломаной AKFPE. б) Верно ли, что звено AK лежит на граниAA B B1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной ABD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Длина отрезка BD в два раза меньшедлины диаметра окружности. Вычислите расстояние между точками Bи D, если известно, что длина ломаной ABD равна 12 см.
5. Точки F и K – внутренние точки отрезка AB, причем точка K лежитмежду точками F и B. Длина отрезка FK равна 1,5 дм, а сумма длин от�резков AF и BK – 45 см. Вычислите длину отрезка AF, если известно,что точка K – середина отрезка AB.
11
Рис. 8
С#2 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 9, а. а) Какие из точек – B, S, K – являютсявнутренними точками отрезка DF? б) Верно ли, что ломаная TOKSAявляется простой?
2. Рассмотрите рисунок 9, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAO, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 9, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F T P, , , лежат на ребрах BB B A C D1 1 1 1 1, , и DD1
соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной AKFTP. б) Верно ли, что звено KF лежит на граниBB A A1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Расстояние между точками B и C равно3 см, отрезок BC равен радиусу окружности. Вычислите длину лома�ной ABC.
5. Точки P и T – внутренние точки отрезка CD. Длина отрезка PT равна3 дм, длина отрезка PC на 20 см меньше, чем длина отрезка PT. Вы�числите длину отрезка CD, если известно, что точка T – середина от�резка PD.
С#2 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 10, а. а) Какие из точек – K F A, , – являютсявнутренними точками отрезка DB? б) Верно ли, что ломаная PCAFOявляется простой?
12
Рис. 9
2. Рассмотрите рисунок 10, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойKP, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 10, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F S T, , , лежат на ребрах BB1 , AA1 , AD и DD1
соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной C KFST1 . б) Верно ли, что звено ST лежит на граниAA D D1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной BCD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок BC. Длина отрезка CD равна длине радиусаокружности. Вычислите расстояние между точками D и C, если длиналоманой BCD равна 9 см.
5. Точки K и F – внутренние точки отрезка MB, причем точка K лежитмежду точками M и F. Разность длин отрезков BF и KF равна 1,8 дм,а длина отрезка MK – 26 см. Вычислите длину отрезка BF, если из�вестно, что точка K – середина отрезка MB.
С#2 Вариант 5
1. Рассмотрите рисунок 11, а. а) Какие из точек – A B C D, , , – являютсявнутренними точками отрезка BK? б) Верно ли, что ломаная TCAKPявляется простой?
2. На рисунке 11, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, E и F лежат на ребрах AA1 , A D1 1 и DD1 соот�ветственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойBKEFC. б) Верно ли, что звено FC лежит на грани DD C C1 1 ?
13
Рис. 10
С#2 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 9, а. а) Какие из точек – B, S, K – являютсявнутренними точками отрезка DF? б) Верно ли, что ломаная TOKSAявляется простой?
2. Рассмотрите рисунок 9, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAO, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 9, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F T P, , , лежат на ребрах BB B A C D1 1 1 1 1, , и DD1
соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной AKFTP. б) Верно ли, что звено KF лежит на граниBB A A1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Расстояние между точками B и C равно3 см, отрезок BC равен радиусу окружности. Вычислите длину лома�ной ABC.
5. Точки P и T – внутренние точки отрезка CD. Длина отрезка PT равна3 дм, длина отрезка PC на 20 см меньше, чем длина отрезка PT. Вы�числите длину отрезка CD, если известно, что точка T – середина от�резка PD.
С#2 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 10, а. а) Какие из точек – K F A, , – являютсявнутренними точками отрезка DB? б) Верно ли, что ломаная PCAFOявляется простой?
12
Рис. 9
2. Рассмотрите рисунок 10, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойKP, с концами в отмеченных точках.
3. На рисунке 10, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F S T, , , лежат на ребрах BB1 , AA1 , AD и DD1
соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной C KFST1 . б) Верно ли, что звено ST лежит на граниAA D D1 1 ?
4. Вершины незамкнутой ломаной BCD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок BC. Длина отрезка CD равна длине радиусаокружности. Вычислите расстояние между точками D и C, если длиналоманой BCD равна 9 см.
5. Точки K и F – внутренние точки отрезка MB, причем точка K лежитмежду точками M и F. Разность длин отрезков BF и KF равна 1,8 дм,а длина отрезка MK – 26 см. Вычислите длину отрезка BF, если из�вестно, что точка K – середина отрезка MB.
С#2 Вариант 5
1. Рассмотрите рисунок 11, а. а) Какие из точек – A B C D, , , – являютсявнутренними точками отрезка BK? б) Верно ли, что ломаная TCAKPявляется простой?
2. На рисунке 11, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, E и F лежат на ребрах AA1 , A D1 1 и DD1 соот�ветственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойBKEFC. б) Верно ли, что звено FC лежит на грани DD C C1 1 ?
13
Рис. 10
3. Длина отрезка равна 2,8 м. Вычислите расстояние между серединойэтого отрезка и точкой, которая делит его в отношении5 2: .
С#2 Вариант 6
1. Рассмотрите рисунок 12, а. а) Какие из точек – B K S P, , , – являют�ся внутренними точками отрезка KP? б) Верно ли, что ломанаяADFOELMK является простой?
2. На рисунке 12, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки O и K лежат на ребрах B C1 1 и D C1 1 соответст�венно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойCOKA D1 . б) Верно ли, что звеноOK лежит на грани A B C D1 1 1 1 ?
3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB, причем точка C делит от�резок AB в отношении 5 : 7, а точка D – середина отрезка AC. Какойможет быть длина отрезка AD, если AB � 6 дм?
14
Рис. 11
Рис. 12
Самостоятельная работа № 3ЛУЧ. УГОЛ.
СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
С#3 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 13, а. Лучи: а) FO и KO; б) OP и SO; в) OF и OK;г) OB и OK – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
2. Рассмотрите рисунок 13, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке F изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки F O P, , лежатво внутренней области угла BSK?
3. На рисунке 13, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и F – середи�ны ребер A D1 1 и B C1 1 соответственно, O B K A C� 1 1 1� , P D F A C� 1 1 1�
(рис. 13, в). а) Верно ли, что точки O P K, , лежат на сторонах углаC A D1 1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол B KD1 1 .
4. Луч OC является биссектрисой угла AOB, а луч OD является биссек�трисой угла COB. Вычислите градусную меру угла AOD, если� � � � �AOC COD 15 .
5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 110 , а градусная мера углаAOC больше градусной меры угла BOC на10�. Отметьте во внутреннейобласти угла COB точку F. Выясните, острым или тупым является�COF. Ответ обоснуйте.
15
B
F
P OS
K
аа бб вв
AA
CCBB
DD
В1В1
А1А1 D1
C1C1
FF
P
K
О В1В1
А1А1 D1
C1C1
FF
P
K
О
Рис. 13
3. Длина отрезка равна 2,8 м. Вычислите расстояние между серединойэтого отрезка и точкой, которая делит его в отношении5 2: .
С#2 Вариант 6
1. Рассмотрите рисунок 12, а. а) Какие из точек – B K S P, , , – являют�ся внутренними точками отрезка KP? б) Верно ли, что ломанаяADFOELMK является простой?
2. На рисунке 12, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки O и K лежат на ребрах B C1 1 и D C1 1 соответст�венно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойCOKA D1 . б) Верно ли, что звеноOK лежит на грани A B C D1 1 1 1 ?
3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB, причем точка C делит от�резок AB в отношении 5 : 7, а точка D – середина отрезка AC. Какойможет быть длина отрезка AD, если AB � 6 дм?
14
Рис. 11
Рис. 12
Самостоятельная работа № 3ЛУЧ. УГОЛ.
СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
С#3 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 13, а. Лучи: а) FO и KO; б) OP и SO; в) OF и OK;г) OB и OK – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
2. Рассмотрите рисунок 13, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке F изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки F O P, , лежатво внутренней области угла BSK?
3. На рисунке 13, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и F – середи�ны ребер A D1 1 и B C1 1 соответственно, O B K A C� 1 1 1� , P D F A C� 1 1 1�
(рис. 13, в). а) Верно ли, что точки O P K, , лежат на сторонах углаC A D1 1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол B KD1 1 .
4. Луч OC является биссектрисой угла AOB, а луч OD является биссек�трисой угла COB. Вычислите градусную меру угла AOD, если� � � � �AOC COD 15 .
5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 110 , а градусная мера углаAOC больше градусной меры угла BOC на10�. Отметьте во внутреннейобласти угла COB точку F. Выясните, острым или тупым является�COF. Ответ обоснуйте.
15
B
F
P OS
K
аа бб вв
AA
CCBB
DD
В1В1
А1А1 D1
C1C1
FF
P
K
О В1В1
А1А1 D1
C1C1
FF
P
K
О
Рис. 13
С#3 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 14, а. Лучи: а) KВ и KЕ; б) KC и KF; в) MK и KB;г) KE и KF – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
2. Рассмотрите рисунок 14, а. а) Сколько лучей с началом в точке K изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки E M, и K ле�жат во внутренней области углаCBF?
3. На рисунке 14, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A B1 1 и AB соответственно, F BK B A� � 1 , T PA B A� 1 1�
(рис. 14, в). а) Верно ли, что точки K F, и T лежат на сторонах углаAB A1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол BFA.
4. Луч OA является биссектрисой угла ВОС, а луч OD является биссек�трисой угла ВОА. Вычислите градусную меру угла DOC, если� � � � �COA BOD 20 .
5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 168 , а градусная мера углаAOC меньше градусной меры угла BOC на 42�. Отметьте во внутреннейобласти угла AOC точку T. Выясните, острым или тупым является уголTOB. Ответ обоснуйте.
С#3 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 15, а. Лучи: а) SK и SO; б) OS и SF; в) PK и PS;г) TP и OР – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
16
C
E K
B
F
M
аа бб вв
В1В1
ВВ A
А1А1KK
Р
В1В1 C1C1
D1D1А1
T
F
PP
K
AA
CBB
DD
TT
FF
Рис. 14
2. Рассмотрите рисунок 15, а. а) Сколько лучей с началом в точке P изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке S изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки P O, и S ле�жат во внутренней области угла KTF?
3. На рисунке 15, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, T D K DC� 1 1� , E PC DC� � 1
(рис. 15, в). а) Верно ли, что точки T E, и K лежат на сторонах углаC DC1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол D KC1 .
4. Луч OC является биссектрисой угла AОD, а луч OT делит угол AОC надва угла так, что � � �TOC AOT2 . Вычислите градусную меру углаTOD, если � � �COD 30 .
5. Луч OC делит угол DOB на два угла. Вычислите градусные меры угловDOC и COB, если известно, что �DOC в два раза больше �COBи � � �DOB 165 . Отметьте во внутренней области угла COB точку E.Выясните, острым или тупым является �EOC. Ответ обоснуйте.
С#3 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 16, а. Лучи: а) BK и AB; б) OB и CB; в) FO и FB;г) BO и BC – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
2. Рассмотрите рисунок 16, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки A B C, , лежатво внутренней области углаOFK?
3. На рисунке 16, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AD соответственно, O AK A D� � 1 , T D P A D� 1 1�
17
P
K
FT
O
SS
аа бб вв
D1D1
DD C
C1C1
KK
Р
TT
В1В1
А1А1
C1C1
D1
T
E
P
KKAA
CCB
DD
EE
Рис. 15
С#3 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 14, а. Лучи: а) KВ и KЕ; б) KC и KF; в) MK и KB;г) KE и KF – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
2. Рассмотрите рисунок 14, а. а) Сколько лучей с началом в точке K изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки E M, и K ле�жат во внутренней области углаCBF?
3. На рисунке 14, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A B1 1 и AB соответственно, F BK B A� � 1 , T PA B A� 1 1�
(рис. 14, в). а) Верно ли, что точки K F, и T лежат на сторонах углаAB A1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол BFA.
4. Луч OA является биссектрисой угла ВОС, а луч OD является биссек�трисой угла ВОА. Вычислите градусную меру угла DOC, если� � � � �COA BOD 20 .
5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 168 , а градусная мера углаAOC меньше градусной меры угла BOC на 42�. Отметьте во внутреннейобласти угла AOC точку T. Выясните, острым или тупым является уголTOB. Ответ обоснуйте.
С#3 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 15, а. Лучи: а) SK и SO; б) OS и SF; в) PK и PS;г) TP и OР – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
16
C
E K
B
F
M
аа бб вв
В1В1
ВВ A
А1А1KK
Р
В1В1 C1C1
D1D1А1
T
F
PP
K
AA
CBB
DD
TT
FF
Рис. 14
2. Рассмотрите рисунок 15, а. а) Сколько лучей с началом в точке P изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке S изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки P O, и S ле�жат во внутренней области угла KTF?
3. На рисунке 15, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, T D K DC� 1 1� , E PC DC� � 1
(рис. 15, в). а) Верно ли, что точки T E, и K лежат на сторонах углаC DC1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол D KC1 .
4. Луч OC является биссектрисой угла AОD, а луч OT делит угол AОC надва угла так, что � � �TOC AOT2 . Вычислите градусную меру углаTOD, если � � �COD 30 .
5. Луч OC делит угол DOB на два угла. Вычислите градусные меры угловDOC и COB, если известно, что �DOC в два раза больше �COBи � � �DOB 165 . Отметьте во внутренней области угла COB точку E.Выясните, острым или тупым является �EOC. Ответ обоснуйте.
С#3 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 16, а. Лучи: а) BK и AB; б) OB и CB; в) FO и FB;г) BO и BC – являются противоположными. Выберите правильныйответ.
2. Рассмотрите рисунок 16, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки A B C, , лежатво внутренней области углаOFK?
3. На рисунке 16, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AD соответственно, O AK A D� � 1 , T D P A D� 1 1�
17
P
K
FT
O
SS
аа бб вв
D1D1
DD C
C1C1
KK
Р
TT
В1В1
А1А1
C1C1
D1
T
E
P
KKAA
CCB
DD
EE
Рис. 15
(рис. 16, в). а) Верно ли, что точки K O, и T лежат на сторонах углаDA D1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол DOA.
4. Луч OF является биссектрисой угла AОB, а луч OE делит угол FОB надва угла так, что � � � � �BOE FOE 20 . Вычислите градусную меру углаAOE, если � � �AOF 50 .
5. Луч OF делит угол KOP на два угла. Вычислите градусные меры угловKOF и POF, если известно, что �POF в 15, раза меньше �KOFи � � �KOP 150 . Отметьте во внутренней области угла POF точку T.Выясните, острым или тупым является �FOT. Ответ обоснуйте.
С#3 Вариант 5
1. Расмотрите рисунок 17, а. а) Являются ли лучи FK и KF противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке F изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла FOP?
18
A
F
C
B
O
K
аа бб вв
A1A1
AA D
D1D1
PP
K
TT
OO
K
AACC
B
DDPP
OT
А1А1
В1В1
C1C1D1
Рис. 16
Рис. 17
2. На рисунке 17, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, P D K DC� 1 1� , F TC DC� � 1 .а) Верно ли, что точки C1 , F и C лежат на сторонах угла PDK? б) Назо�вите грань, в плоскости которой лежит угол A TB1 1 .
3. Развернутый угол двумя лучами с началом в его вершине разделен натри угла, градусная мера одного из которых в два раза меньше градус�ной меры другого и на 20� больше градусной меры третьего угла. Вы�числите градусные меры этих углов.
С#3 Вариант 6
1. Рассмотрите рисунок 18, а. а) Являются ли лучи KF и FK противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке K изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла ACE?
2. На рисунке 18, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – середи�ны ребер B C1 1 и A D1 1 соответственно, P A K B D� 1 1 1� , F TC B D� 1 1 1� .а) Верно ли, что точки D1 , F и C1 лежат на сторонах угла PB K1 ? б) На�зовите грань, в плоскости которой лежит угол A TA1 .
3. Прямой угол двумя лучами с началом в его вершине разделен на три
угла. Первый угол составляет12
часть второго угла, а третий –35
пер�
вого угла. Вычислите градусные меры этих углов.
19
Рис. 18
(рис. 16, в). а) Верно ли, что точки K O, и T лежат на сторонах углаDA D1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол DOA.
4. Луч OF является биссектрисой угла AОB, а луч OE делит угол FОB надва угла так, что � � � � �BOE FOE 20 . Вычислите градусную меру углаAOE, если � � �AOF 50 .
5. Луч OF делит угол KOP на два угла. Вычислите градусные меры угловKOF и POF, если известно, что �POF в 15, раза меньше �KOFи � � �KOP 150 . Отметьте во внутренней области угла POF точку T.Выясните, острым или тупым является �FOT. Ответ обоснуйте.
С#3 Вариант 5
1. Расмотрите рисунок 17, а. а) Являются ли лучи FK и KF противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке F изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла FOP?
18
A
F
C
B
O
K
аа бб вв
A1A1
AA D
D1D1
PP
K
TT
OO
K
AACC
B
DDPP
OT
А1А1
В1В1
C1C1D1
Рис. 16
Рис. 17
2. На рисунке 17, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, P D K DC� 1 1� , F TC DC� � 1 .а) Верно ли, что точки C1 , F и C лежат на сторонах угла PDK? б) Назо�вите грань, в плоскости которой лежит угол A TB1 1 .
3. Развернутый угол двумя лучами с началом в его вершине разделен натри угла, градусная мера одного из которых в два раза меньше градус�ной меры другого и на 20� больше градусной меры третьего угла. Вы�числите градусные меры этих углов.
С#3 Вариант 6
1. Рассмотрите рисунок 18, а. а) Являются ли лучи KF и FK противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке K изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла ACE?
2. На рисунке 18, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – середи�ны ребер B C1 1 и A D1 1 соответственно, P A K B D� 1 1 1� , F TC B D� 1 1 1� .а) Верно ли, что точки D1 , F и C1 лежат на сторонах угла PB K1 ? б) На�зовите грань, в плоскости которой лежит угол A TA1 .
3. Прямой угол двумя лучами с началом в его вершине разделен на три
угла. Первый угол составляет12
часть второго угла, а третий –35
пер�
вого угла. Вычислите градусные меры этих углов.
19
Рис. 18
Самостоятельная работа № 4
СВОЙСТВА СМЕЖНЫХИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ
С#4 Вариант 1
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна89°59′59″?
2. Луч OB – биссектриса угла AOC (рис. 19, а), точка O – точка пересе�чения прямых AD и BF. а) Приведите пример вертикальных угловс вершиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �BOD AOF?
3. На рисунке 19, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на ребре A C1 1 . Точка O – точка пересечения прямыхA C1 и AK (рис. 19, в). а) Какие углы – A OK1 и C OC1 или A OA1 и AOC –являются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и BA, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?
4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COA 20 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OB и бис�сектриса угла AOD.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ВОК.
20
O
F
A CB
D
аа бб вв
K
CC
AA
BB
O
В1В1
А1
C1C1 A1A1 C1C1
AA CC
OO
KK
Рис. 19
С#4 Вариант 2
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна90°12″?
2. Прямые CD и BE пересекаются в точке O (рис. 20, а), луч OC – бис�сектриса угла BOA. а) Приведите пример вертикальных углов с вер�шиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �COE BOD?
3. На рисунке 20, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BB1 , точка K – точка пересечения прямых APи A B1 (рис. 20, в). а) Какие углы – BKP и B KA1 1 или BKA и AKA1 – яв�ляются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и B C1 1 , лежащиев плоскости грани BB C C1 1 , перпендикулярными?
4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 140 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OAи биссектриса угла DOB.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ВОК.
С#4 Вариант 3
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна90°10′11″?
2. Прямые AF и CD пересекаются в точке K, луч KC – биссектриса углаAKB (рис. 21, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке K . б) Верно ли, что � � �AKD FKC?
21
O
E
A
C
B
D
аа бб вв
А1А1C1C1
В1
K
CC
BB
AAP
A1A1 B1B1
AA BBKK
PP
Рис. 20
Самостоятельная работа № 4
СВОЙСТВА СМЕЖНЫХИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ
С#4 Вариант 1
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна89°59′59″?
2. Луч OB – биссектриса угла AOC (рис. 19, а), точка O – точка пересе�чения прямых AD и BF. а) Приведите пример вертикальных угловс вершиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �BOD AOF?
3. На рисунке 19, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на ребре A C1 1 . Точка O – точка пересечения прямыхA C1 и AK (рис. 19, в). а) Какие углы – A OK1 и C OC1 или A OA1 и AOC –являются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и BA, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?
4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COA 20 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OB и бис�сектриса угла AOD.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ВОК.
20
O
F
A CB
D
аа бб вв
K
CC
AA
BB
O
В1В1
А1
C1C1 A1A1 C1C1
AA CC
OO
KK
Рис. 19
С#4 Вариант 2
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна90°12″?
2. Прямые CD и BE пересекаются в точке O (рис. 20, а), луч OC – бис�сектриса угла BOA. а) Приведите пример вертикальных углов с вер�шиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �COE BOD?
3. На рисунке 20, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BB1 , точка K – точка пересечения прямых APи A B1 (рис. 20, в). а) Какие углы – BKP и B KA1 1 или BKA и AKA1 – яв�ляются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и B C1 1 , лежащиев плоскости грани BB C C1 1 , перпендикулярными?
4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 140 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OAи биссектриса угла DOB.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ВОК.
С#4 Вариант 3
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна90°10′11″?
2. Прямые AF и CD пересекаются в точке K, луч KC – биссектриса углаAKB (рис. 21, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке K . б) Верно ли, что � � �AKD FKC?
21
O
E
A
C
B
D
аа бб вв
А1А1C1C1
В1
K
CC
BB
AAP
A1A1 B1B1
AA BBKK
PP
Рис. 20
3. На рисунке 21, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BC, а точка O – точка пересечения прямых B P1
и BC1 (рис. 21, в). а) Какие углы – BOP и COC1 или BOB1 и B OC1 1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AA1 и AB, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , взаимно перпендикулярными?
4. Прямые AP и KF пересекаются в точке E, причем � � �AEK 30 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч EP и бис�сектриса угла AEF.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ТОС.
С#4 Вариант 4
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна88°59′32″?
2. Прямые CT и KB пересекаются в точке A, луч AB – биссектриса углаFAC (рис. 22, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке A. б) Верно ли, что � � �KAC TAB?
3. На рисунке 22, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка T лежит на ребре AA1 , а точка O – точка пересечения прямых B T1
и A B1 (рис. 22, в). а) Какие углы – A OT1 и AOB или A OB1 1 и B OB1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AC и CC1 , лежащиев плоскости грани AA C C1 1 , взаимно перпендикулярными?
22
A C B
DF
K
аа бб вв
А1А1 C1C1
В1
CC
BBAA
PP
O
B1B1 C1C1
BB CC
OO
PP
Рис. 21
4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 116 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч ODи биссектриса угла AOC.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ТОС.
С#4 Вариант 5
1. На рисунке 23, а точка O – точка пересечения прямых BT и AE, а лучиOC и OE – биссектрисы углов BOD и DOT соответственно. а) Приве�дите пример вертикальных углов с вершиной в точке O. б) Верно ли,что � � �AOC COE?
23
Рис. 23
T
K A
F
B
C
аа бб вв
A1A1 B1B1
AA BB
А1А1
В1
C1C1
CC
BB
AA
OTT
TT
OO
Рис. 22
3. На рисунке 21, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BC, а точка O – точка пересечения прямых B P1
и BC1 (рис. 21, в). а) Какие углы – BOP и COC1 или BOB1 и B OC1 1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AA1 и AB, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , взаимно перпендикулярными?
4. Прямые AP и KF пересекаются в точке E, причем � � �AEK 30 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч EP и бис�сектриса угла AEF.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ТОС.
С#4 Вариант 4
1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна88°59′32″?
2. Прямые CT и KB пересекаются в точке A, луч AB – биссектриса углаFAC (рис. 22, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке A. б) Верно ли, что � � �KAC TAB?
3. На рисунке 22, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка T лежит на ребре AA1 , а точка O – точка пересечения прямых B T1
и A B1 (рис. 22, в). а) Какие углы – A OT1 и AOB или A OB1 1 и B OB1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AC и CC1 , лежащиев плоскости грани AA C C1 1 , взаимно перпендикулярными?
22
A C B
DF
K
аа бб вв
А1А1 C1C1
В1
CC
BBAA
PP
O
B1B1 C1C1
BB CC
OO
PP
Рис. 21
4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 116 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч ODи биссектриса угла AOC.
5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ТОС.
С#4 Вариант 5
1. На рисунке 23, а точка O – точка пересечения прямых BT и AE, а лучиOC и OE – биссектрисы углов BOD и DOT соответственно. а) Приве�дите пример вертикальных углов с вершиной в точке O. б) Верно ли,что � � �AOC COE?
23
Рис. 23
T
K A
F
B
C
аа бб вв
A1A1 B1B1
AA BB
А1А1
В1
C1C1
CC
BB
AA
OTT
TT
OO
Рис. 22
2. На рисунке 23, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на луче AA1 , а точка T – на ребре AB, O KT AB� � 1 ,F A B KT� 1 1 � . а) Какие углы – A FO1 и KFA1 или TOA и BOB1 – явля�ются смежными? б) Являются ли прямые A K1 и A B1 1 , лежащие в пло�скости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?
3. Луч OK – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если известно, что � � �AOK 75 .
С#4 Вариант 6
1. На рисунке 24, а точка O – точка пересечения прямых AT, PB и KC,а луч OB – биссектриса угла AOC. а) Приведите пример вертикальныхуглов с вершиной в точке O. б) Верно ли, что � � �COP AOP?
2. На рисунке 24, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка F лежит на луче B B1 , а точка P – на ребре B C1 1 ; K B C FP� 1 � ,O FP BC� � . а) Какие углы – B KF1 и OKC или PKB1 и C KC1 – являютсясмежными? б) Являются ли прямые BF и BC, лежащие в плоскостиграни BB C C1 1 , взаимно перпендикулярными?
3. Луч OF – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если � � �AOF 130 .
24
Рис. 24
Самостоятельная работа № 5
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 2)
С#5 Вариант 1
1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.
2. Луч OC – биссектриса угла AOB, а луч OD – биссектриса угла AOC(рис. 25, а). Вычислите градусную меру угла BOD, если � � �AOD 20 .
3. На рисунке 25, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков BD и AC. Вычислите градусные меры углов AODи AOB, если � � �BOC 60 .
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОА и биссектриса углаРОС, если известно, что � � �TOB 50 .
5. Точка C – внутренняя точка отрезка AB, длина которого равна 15 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�
дина отрезка AC, если AC CB�
23
.
25
AA
CBA
O
D
аа бб
BB CC
DD
OO
Рис. 25
2. На рисунке 23, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на луче AA1 , а точка T – на ребре AB, O KT AB� � 1 ,F A B KT� 1 1 � . а) Какие углы – A FO1 и KFA1 или TOA и BOB1 – явля�ются смежными? б) Являются ли прямые A K1 и A B1 1 , лежащие в пло�скости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?
3. Луч OK – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если известно, что � � �AOK 75 .
С#4 Вариант 6
1. На рисунке 24, а точка O – точка пересечения прямых AT, PB и KC,а луч OB – биссектриса угла AOC. а) Приведите пример вертикальныхуглов с вершиной в точке O. б) Верно ли, что � � �COP AOP?
2. На рисунке 24, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка F лежит на луче B B1 , а точка P – на ребре B C1 1 ; K B C FP� 1 � ,O FP BC� � . а) Какие углы – B KF1 и OKC или PKB1 и C KC1 – являютсясмежными? б) Являются ли прямые BF и BC, лежащие в плоскостиграни BB C C1 1 , взаимно перпендикулярными?
3. Луч OF – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если � � �AOF 130 .
24
Рис. 24
Самостоятельная работа № 5
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 2)
С#5 Вариант 1
1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.
2. Луч OC – биссектриса угла AOB, а луч OD – биссектриса угла AOC(рис. 25, а). Вычислите градусную меру угла BOD, если � � �AOD 20 .
3. На рисунке 25, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков BD и AC. Вычислите градусные меры углов AODи AOB, если � � �BOC 60 .
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОА и биссектриса углаРОС, если известно, что � � �TOB 50 .
5. Точка C – внутренняя точка отрезка AB, длина которого равна 15 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�
дина отрезка AC, если AC CB�
23
.
25
AA
CBA
O
D
аа бб
BB CC
DD
OO
Рис. 25
С#5 Вариант 2
1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не являетсяпростой.
2. Луч OA – биссектриса угла BOC, а луч OK – биссектриса угла AOB(рис. 26, а). Вычислите градусную меру угла KOC, если � � �BOC 120 .
3. На рисунке 26, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков AC и BD. Вычислите градусные меры углов AOBи BOC, если � � �AOD 110 .
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОВ и биссектриса углаDОТ, если известно, что � � �AOP 60 .
5. Точка D – внутренняя точка отрезка CB, длина которого равна 24 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка BD, если DB DC� � 14см.
С#5 Вариант 3
1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не является простой.
2. Луч OK– биссектриса прямого угла BOC, а луч OF – биссектриса углаBOK (рис. 27, а). Вычислите градусную меру угла FOC.
3. На рисунке 27, б изображен прямоугольник BTCK, точка O – точкапересечения отрезков BC и TK. Вычислите градусные меры углов COKи BOK, если � � �TOC 80 .
26
C
B
A
O
K
аа бб
AA
BB CC
DD
OO
Рис. 26
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаТОВ, если известно, что � � �POC 40 .
5. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, длина которого равна 16 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка FD, если FD CF� 3 .
С#5 Вариант 4
1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.
2. Луч OF – биссектриса развернутого угла AOB, а луч OE – биссектри�са угла FOB (рис. 28, а). Вычислите градусную меру угла AOE.
27
BF
CO
K
аа бб
TT
BB
CC
KK
OO
Рис. 27
A O B
E
F
аа бб
AA
EE
CC
TT
OO
Рис. 28
С#5 Вариант 2
1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не являетсяпростой.
2. Луч OA – биссектриса угла BOC, а луч OK – биссектриса угла AOB(рис. 26, а). Вычислите градусную меру угла KOC, если � � �BOC 120 .
3. На рисунке 26, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков AC и BD. Вычислите градусные меры углов AOBи BOC, если � � �AOD 110 .
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОВ и биссектриса углаDОТ, если известно, что � � �AOP 60 .
5. Точка D – внутренняя точка отрезка CB, длина которого равна 24 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка BD, если DB DC� � 14см.
С#5 Вариант 3
1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не является простой.
2. Луч OK– биссектриса прямого угла BOC, а луч OF – биссектриса углаBOK (рис. 27, а). Вычислите градусную меру угла FOC.
3. На рисунке 27, б изображен прямоугольник BTCK, точка O – точкапересечения отрезков BC и TK. Вычислите градусные меры углов COKи BOK, если � � �TOC 80 .
26
C
B
A
O
K
аа бб
AA
BB CC
DD
OO
Рис. 26
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаТОВ, если известно, что � � �POC 40 .
5. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, длина которого равна 16 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка FD, если FD CF� 3 .
С#5 Вариант 4
1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.
2. Луч OF – биссектриса развернутого угла AOB, а луч OE – биссектри�са угла FOB (рис. 28, а). Вычислите градусную меру угла AOE.
27
BF
CO
K
аа бб
TT
BB
CC
KK
OO
Рис. 27
A O B
E
F
аа бб
AA
EE
CC
TT
OO
Рис. 28
3. На рисунке 28, б изображен прямоугольник АЕСТ, точка О – точкапересечения отрезков АС и ЕТ. Вычислите градусные меры углов АОЕи ЕОС, если � � �COT 106 .
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаАОР, если известно, что � � �DOT 20 .
5. Точка D – внутренняя точка отрезка АВ, длина которого равна 18 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�дина отрезка AD, если AD BD� � 6см.
С#5 Вариант 5
1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB, равна 50�
(рис. 29, а). Вычислите градусную меру угла, смежного с углом AOB.
2. На рисунке 29, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно. Отрезки A B1 ,AB1 и FK пересекаются в точке O. Луч OA1 – биссектриса развернуто�го угла FOK . Вычислите градусную меру угла A OA1 , если � � �KOB1 30 .
3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB � 20 см. Известно, чтоAC � 6 см, CD � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами кото�рого являются середины отрезков AB иCD?
28
Рис. 29
С#5 Вариант 6
1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,смежного с углом AOB, равна 40�. Вычислите градусную меру угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB (рис. 30, а).
2. На рисунке 30, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах AA1 и CC1 соответственно. Отрезки A C1 ,AC1 и KF пересекаются в точке O, причем луч OK – биссектриса раз�вернутого угла AOC1 . Вычислите градусную меру угла COF, если� � �A OC1 1 50 .
3. Точки K и F – внутренние точки отрезка AB � 18 см, причем AK � 6 см,KF � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами которого явля�ются середины отрезков AK и FB?
29
Рис. 30
3. На рисунке 28, б изображен прямоугольник АЕСТ, точка О – точкапересечения отрезков АС и ЕТ. Вычислите градусные меры углов АОЕи ЕОС, если � � �COT 106 .
4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаАОР, если известно, что � � �DOT 20 .
5. Точка D – внутренняя точка отрезка АВ, длина которого равна 18 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�дина отрезка AD, если AD BD� � 6см.
С#5 Вариант 5
1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB, равна 50�
(рис. 29, а). Вычислите градусную меру угла, смежного с углом AOB.
2. На рисунке 29, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно. Отрезки A B1 ,AB1 и FK пересекаются в точке O. Луч OA1 – биссектриса развернуто�го угла FOK . Вычислите градусную меру угла A OA1 , если � � �KOB1 30 .
3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB � 20 см. Известно, чтоAC � 6 см, CD � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами кото�рого являются середины отрезков AB иCD?
28
Рис. 29
С#5 Вариант 6
1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,смежного с углом AOB, равна 40�. Вычислите градусную меру угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB (рис. 30, а).
2. На рисунке 30, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах AA1 и CC1 соответственно. Отрезки A C1 ,AC1 и KF пересекаются в точке O, причем луч OK – биссектриса раз�вернутого угла AOC1 . Вычислите градусную меру угла COF, если� � �A OC1 1 50 .
3. Точки K и F – внутренние точки отрезка AB � 18 см, причем AK � 6 см,KF � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами которого явля�ются середины отрезков AK и FB?
29
Рис. 30
Контрольная работа № 1
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
К#1 Вариант 1
1. Точка K лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, O KC BD� �
(рис. 31, а). Какой из углов – BOC или BOK – является смежнымс угломCOD?
2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков BCи AC соответственно,O BF AP� � . Сравните: а) BO и BF; б) BC и PC.
3. Прямые AB и FK пересекаются в точке O. Луч OF является биссектри�сой угла AOC. Вычислите градусную меру угла AOC, если � � �BOK 30(рис. 31, б).
4. Длина незамкнутой ломаной ABCD равна 2,9 дм. Длина звена BСв 1,1 раза меньше длины звена CD, а длина звена AB на 2 см меньшедлины звена BС. Вычислите длину большего звена ломаной ABCD.
5. Точки P M K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка P лежитна луче KM, а точка M лежит на луче PK . Вычислите длину отрезкаPK, если PM � 2 дм, а длина отрезка MK на 6 см больше длины отрез�ка PM.
30
A
O
B С
K
D
AO B
С
K
F
аа бб
Рис. 31
К#1 Вариант 2
1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и DC квадратаABCD, O BF CP� � (рис. 32, а). Какой из углов – POF или BOP – яв�ляется смежным с угломCOF?
2. ABCD – прямоугольник. Точка T – внутренняя точка отрезка BC,O AC DT� � . Сравните: а) AO и AC; б)OD и DT.
3. Прямые CD и AB пересекаются в точке O. Луч OB является биссектри�сой угла TOD (рис. 32, б). Вычислите градусную меру угла AOC, если� � �COT 100 .
4. Длина незамкнутой ломаной TKOP равна 76 мм. Длина звена TK в 1,2 ра�за больше длины звена OK, а длина звена OP на 2 см меньше длинызвена OK. Вычислите длину меньшего звена ломаной TKOP.
5. Точки A, B, D лежат на одной прямой. Известно, что точка D лежит налуче AB, но не лежит на отрезке AB. Вычислите длину отрезка AD, еслиАВ � 8 дм, а длина отрезка BD на 13 см меньше длины отрезка AB.
К#1 Вариант 3
1. Точки T и F лежат соответственно на сторонах AC и BC треугольникаABC, O BT AF� � (рис. 33, а). Какой из углов – FOT или BOF – явля�ется смежным с углом AOB?
2. ABC – треугольник. Точки D P, и F – внутренние точки отрезковAC BC, и AB соответственно, O FP BD� � . Сравните: а) FO и FP; б) ADи AC.
31
B C
FO
DPA
T B
AC
O
D
аа бб
Рис. 32
Контрольная работа № 1
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
К#1 Вариант 1
1. Точка K лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, O KC BD� �
(рис. 31, а). Какой из углов – BOC или BOK – является смежнымс угломCOD?
2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков BCи AC соответственно,O BF AP� � . Сравните: а) BO и BF; б) BC и PC.
3. Прямые AB и FK пересекаются в точке O. Луч OF является биссектри�сой угла AOC. Вычислите градусную меру угла AOC, если � � �BOK 30(рис. 31, б).
4. Длина незамкнутой ломаной ABCD равна 2,9 дм. Длина звена BСв 1,1 раза меньше длины звена CD, а длина звена AB на 2 см меньшедлины звена BС. Вычислите длину большего звена ломаной ABCD.
5. Точки P M K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка P лежитна луче KM, а точка M лежит на луче PK . Вычислите длину отрезкаPK, если PM � 2 дм, а длина отрезка MK на 6 см больше длины отрез�ка PM.
30
A
O
B С
K
D
AO B
С
K
F
аа бб
Рис. 31
К#1 Вариант 2
1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и DC квадратаABCD, O BF CP� � (рис. 32, а). Какой из углов – POF или BOP – яв�ляется смежным с угломCOF?
2. ABCD – прямоугольник. Точка T – внутренняя точка отрезка BC,O AC DT� � . Сравните: а) AO и AC; б)OD и DT.
3. Прямые CD и AB пересекаются в точке O. Луч OB является биссектри�сой угла TOD (рис. 32, б). Вычислите градусную меру угла AOC, если� � �COT 100 .
4. Длина незамкнутой ломаной TKOP равна 76 мм. Длина звена TK в 1,2 ра�за больше длины звена OK, а длина звена OP на 2 см меньше длинызвена OK. Вычислите длину меньшего звена ломаной TKOP.
5. Точки A, B, D лежат на одной прямой. Известно, что точка D лежит налуче AB, но не лежит на отрезке AB. Вычислите длину отрезка AD, еслиАВ � 8 дм, а длина отрезка BD на 13 см меньше длины отрезка AB.
К#1 Вариант 3
1. Точки T и F лежат соответственно на сторонах AC и BC треугольникаABC, O BT AF� � (рис. 33, а). Какой из углов – FOT или BOF – явля�ется смежным с углом AOB?
2. ABC – треугольник. Точки D P, и F – внутренние точки отрезковAC BC, и AB соответственно, O FP BD� � . Сравните: а) FO и FP; б) ADи AC.
31
B C
FO
DPA
T B
AC
O
D
аа бб
Рис. 32
3. Прямые AC и BD пересекаются в точке K . Луч KD является биссек�трисой угла AKE (рис. 33, б). Вычислите градусную меру угла AKE,если � � �BKC 40 .
4. Длина незамкнутой ломаной ATOM равна 5 дм. Длина звена OT боль�ше длины звена AT на 10 см, но меньше длины звена OM на 3 см. Вы�числите длину большего звена ломаной ATOM.
5. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Известно, что точка A лежит налуче CB, а точка B лежит на луче AC. Вычислите длину отрезка AC, еслиCВ � 10 см, а длина отрезка BAв два раза меньше длины отрезкаCB.
К#1 Вариант 4
1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и AB прямоугольни�ка ABCD, O CF BP� � (рис. 34, а). Какой из углов – COP или BOC –является смежным с углом FOP?
32
B
O
F
TAC
B C
K
A D E
аа бб
Рис. 33
A
O
B
С
F
D
PС
AF B
K
P
аа бб
Рис. 34
2. ABCD – прямоугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AB,O CF BD� � . Сравните: а)CO иCF; б) AF и AB.
3. Прямые CK и AB пересекаются в точке F. Луч FK является биссектри�сой угла BFP (рис. 34, б). Вычислите градусную меру угла CFA, если� � �AFP 124 .
4. Длина незамкнутой ломаной OTEH равна 2,9 дм. Длина звена ОТ на2 см больше длины звена ТЕ, а длина звена ЕН на 4 см больше длинызвена ОТ. Вычислите длину меньшего звена ломаной ОТЕН.
5. Точки M B K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка M лежит налуче BK и не лежит на отрезке BK . Вычислите длину отрезка MB, еслиВК � 2 см, а длина отрезка KM в два раза больше длины отрезка BK .
К#1 Вариант 5
1. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 35, а). Точка F лежит вовнутренней области угла СОВ так, что луч OF перпендикулярен биссек�трисе OK угла AOC. Вычислите градусную меру угла FOB, если� � �AOD BOD5 .
2. На рисунке 35, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной CАА B1 1 равна 28 см. Длина ребра
А1В1 призмы на 2 см больше длины ребра АА1, а АС А B�
12 1 1 . Вычис�
лите длину большего звена ломанойCАА B1 1 .
3. Точки A, B, C лежат на одной прямой и AB BC�
14
, точка O – середина
отрезка BC. Какой может быть длина отрезка AO, если СО � 8 см?
33
Рис. 35
3. Прямые AC и BD пересекаются в точке K . Луч KD является биссек�трисой угла AKE (рис. 33, б). Вычислите градусную меру угла AKE,если � � �BKC 40 .
4. Длина незамкнутой ломаной ATOM равна 5 дм. Длина звена OT боль�ше длины звена AT на 10 см, но меньше длины звена OM на 3 см. Вы�числите длину большего звена ломаной ATOM.
5. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Известно, что точка A лежит налуче CB, а точка B лежит на луче AC. Вычислите длину отрезка AC, еслиCВ � 10 см, а длина отрезка BAв два раза меньше длины отрезкаCB.
К#1 Вариант 4
1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и AB прямоугольни�ка ABCD, O CF BP� � (рис. 34, а). Какой из углов – COP или BOC –является смежным с углом FOP?
32
B
O
F
TAC
B C
K
A D E
аа бб
Рис. 33
A
O
B
С
F
D
PС
AF B
K
P
аа бб
Рис. 34
2. ABCD – прямоугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AB,O CF BD� � . Сравните: а)CO иCF; б) AF и AB.
3. Прямые CK и AB пересекаются в точке F. Луч FK является биссектри�сой угла BFP (рис. 34, б). Вычислите градусную меру угла CFA, если� � �AFP 124 .
4. Длина незамкнутой ломаной OTEH равна 2,9 дм. Длина звена ОТ на2 см больше длины звена ТЕ, а длина звена ЕН на 4 см больше длинызвена ОТ. Вычислите длину меньшего звена ломаной ОТЕН.
5. Точки M B K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка M лежит налуче BK и не лежит на отрезке BK . Вычислите длину отрезка MB, еслиВК � 2 см, а длина отрезка KM в два раза больше длины отрезка BK .
К#1 Вариант 5
1. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 35, а). Точка F лежит вовнутренней области угла СОВ так, что луч OF перпендикулярен биссек�трисе OK угла AOC. Вычислите градусную меру угла FOB, если� � �AOD BOD5 .
2. На рисунке 35, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной CАА B1 1 равна 28 см. Длина ребра
А1В1 призмы на 2 см больше длины ребра АА1, а АС А B�
12 1 1 . Вычис�
лите длину большего звена ломанойCАА B1 1 .
3. Точки A, B, C лежат на одной прямой и AB BC�
14
, точка O – середина
отрезка BC. Какой может быть длина отрезка AO, если СО � 8 см?
33
Рис. 35
К#1 Вариант 6
1. Прямые AD, BF и KC пересекаются в точке O, причем � � �AOB KOF2 ,а луч OC – биссектриса угла BOD (рис. 36, а). Вычислите градуснуюмеру угла KOD.
2. На рисунке 36, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной B С СА1 1 равна 27 см. Ребро В1С1
призмы в 2 раза больше ребра АС, а СС B С1 1 1
34
� . Вычислите длину
большего звена ломаной B С СА1 1 .
3. Точки M, K, P лежат на одной прямой и PK : KM � 3 : 4. Точка O – се�редина отрезка MK . Какой может быть длина отрезка OP, еслиМО � 4 см?
34
Рис. 36
Самостоятельная работа № 6
ТРЕУГОЛЬНИК. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАКРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С#6 Вариант 1
1. Треугольники АВС и ТМР равны, причем АВ � ТР, ВС � МР. Сторонытреугольника TMP различны. Назовите угол треугольника АВС, рав�ный углу МРТ.
2. На рисунке 37, а точка C – середина отрезков AB и KF. Докажите, что KAC FBC� .
3. На рисунке 37, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AA1 и A D1 1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 � 4 см?
4. В треугольниках АВС и A B C1 1 1 АВ � ВС � 5 см, � � �B B1 , P ABC� 12 см.
Вычислите длину отрезка A C1 1 , если известно, что AB A B B C� �1 1 1 1 .
5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметр
треугольника АВС, если известно, что PB AC�
13
и AP � 3см.
35
A
K
BC
F А1А1
В1В1 C1C1
D1
AA
CCB
DD
аа бб
FF
KK
Рис. 37
К#1 Вариант 6
1. Прямые AD, BF и KC пересекаются в точке O, причем � � �AOB KOF2 ,а луч OC – биссектриса угла BOD (рис. 36, а). Вычислите градуснуюмеру угла KOD.
2. На рисунке 36, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной B С СА1 1 равна 27 см. Ребро В1С1
призмы в 2 раза больше ребра АС, а СС B С1 1 1
34
� . Вычислите длину
большего звена ломаной B С СА1 1 .
3. Точки M, K, P лежат на одной прямой и PK : KM � 3 : 4. Точка O – се�редина отрезка MK . Какой может быть длина отрезка OP, еслиМО � 4 см?
34
Рис. 36
Самостоятельная работа № 6
ТРЕУГОЛЬНИК. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАКРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С#6 Вариант 1
1. Треугольники АВС и ТМР равны, причем АВ � ТР, ВС � МР. Сторонытреугольника TMP различны. Назовите угол треугольника АВС, рав�ный углу МРТ.
2. На рисунке 37, а точка C – середина отрезков AB и KF. Докажите, что KAC FBC� .
3. На рисунке 37, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AA1 и A D1 1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 � 4 см?
4. В треугольниках АВС и A B C1 1 1 АВ � ВС � 5 см, � � �B B1 , P ABC� 12 см.
Вычислите длину отрезка A C1 1 , если известно, что AB A B B C� �1 1 1 1 .
5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметр
треугольника АВС, если известно, что PB AC�
13
и AP � 3см.
35
A
K
BC
F А1А1
В1В1 C1C1
D1
AA
CCB
DD
аа бб
FF
KK
Рис. 37
С#6 Вариант 2
1. Треугольники АВС и ТОР равны, причем � � �A T и � � �B O. Сторо�ны треугольника АВС различны. Назовите сторону треугольника ТОР,равную стороне АВ.
2. На рисунке 38, а AP FC� , PT BC� и � � �BCA FPT. Докажите, что ABC FTP� .
3. На рисунке 38, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и AA1 соответственно. Чему равна длина отрезка DF,если KA1 5� см?
4. ABC и A B C1 1 1 – треугольники, AB A B� 1 1 , AC A C� 1 1 , � � �A A1 . Из�вестно, что АС � 12 см, AB AC� � 3 см, BC AC� � 2 см. Вычислите пе�риметр треугольника A B C1 1 1 .
5. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке ВР так, что АО � ОС и � � �AOB BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что AB AP� 2 и РС � 4 см.
С#6 Вариант 3
1. Треугольники АТВ и СОР равны, причем � � �A C и АТ � ОС. Сторонытреугольника COP различны. Назовите угол треугольника АТВ, рав�ный углу ОРС.
2. На рисунке 39, а BD – биссектриса угла АВС, AB BC� , AK CF� ,K AB� , F BC� . Докажите, что BKD BFD� .
3. На рисунке 39, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер A D1 1 и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезкаA F1 , если KD � 5см?
36
B
A PC F
T
аа бб
А1А1
В1В1 C1C1
D1
AA
CCB
DDKK
FF
Рис. 38
4. Точка D – середина стороны BC треугольника ABC, DB � 3 см,AC CD� � 9 см. Вычислите длину стороны AB, если � � �ADC 90 .
5. Точка Р лежит на стороне ВС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке АР так, что ВО � ОС и � � �AOB AOC. Вычислите периметр
треугольника АВС, если известно, что BP AC�
12
и РС � 4 см.
С#6 Вариант 4
1. Треугольники АТР и ВОС равны, причем � � �T O и АТ � ВО. Сторонытреугольника АTP различны. Назовите сторону треугольника ВОС,равную стороне ТР.
2. На рисунке 40, а AK CF� , PF AB� и � � �BAC PFK . Докажите, что ABC FKP� .
37
B
A
K
C
F
D
аа бб
А1А1
В1В1 C1C1
D1
AA
CCB
DD
KK
FF
Рис. 39
AA
В1В1
А1
C1C1
D1D1
FFCBB
DDKK
B
A K FC
P
аа бб
Рис. 40
С#6 Вариант 2
1. Треугольники АВС и ТОР равны, причем � � �A T и � � �B O. Сторо�ны треугольника АВС различны. Назовите сторону треугольника ТОР,равную стороне АВ.
2. На рисунке 38, а AP FC� , PT BC� и � � �BCA FPT. Докажите, что ABC FTP� .
3. На рисунке 38, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и AA1 соответственно. Чему равна длина отрезка DF,если KA1 5� см?
4. ABC и A B C1 1 1 – треугольники, AB A B� 1 1 , AC A C� 1 1 , � � �A A1 . Из�вестно, что АС � 12 см, AB AC� � 3 см, BC AC� � 2 см. Вычислите пе�риметр треугольника A B C1 1 1 .
5. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке ВР так, что АО � ОС и � � �AOB BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что AB AP� 2 и РС � 4 см.
С#6 Вариант 3
1. Треугольники АТВ и СОР равны, причем � � �A C и АТ � ОС. Сторонытреугольника COP различны. Назовите угол треугольника АТВ, рав�ный углу ОРС.
2. На рисунке 39, а BD – биссектриса угла АВС, AB BC� , AK CF� ,K AB� , F BC� . Докажите, что BKD BFD� .
3. На рисунке 39, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер A D1 1 и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезкаA F1 , если KD � 5см?
36
B
A PC F
T
аа бб
А1А1
В1В1 C1C1
D1
AA
CCB
DDKK
FF
Рис. 38
4. Точка D – середина стороны BC треугольника ABC, DB � 3 см,AC CD� � 9 см. Вычислите длину стороны AB, если � � �ADC 90 .
5. Точка Р лежит на стороне ВС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке АР так, что ВО � ОС и � � �AOB AOC. Вычислите периметр
треугольника АВС, если известно, что BP AC�
12
и РС � 4 см.
С#6 Вариант 4
1. Треугольники АТР и ВОС равны, причем � � �T O и АТ � ВО. Сторонытреугольника АTP различны. Назовите сторону треугольника ВОС,равную стороне ТР.
2. На рисунке 40, а AK CF� , PF AB� и � � �BAC PFK . Докажите, что ABC FKP� .
37
B
A
K
C
F
D
аа бб
А1А1
В1В1 C1C1
D1
AA
CCB
DD
KK
FF
Рис. 39
AA
В1В1
А1
C1C1
D1D1
FFCBB
DDKK
B
A K FC
P
аа бб
Рис. 40
3. На рисунке 40, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 6� см?
4. В треугольнике ABC AB BC AC� � , D AC� , � � �ABD DBC. Вычис�лите периметр треугольника ABC, если AD � 4 cм.
5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что BC PB� 3 и АВ � 6 см.
С#6 Вариант 5
1. На рисунке 41, а AB BC CD DT� � � , � � �ABC CDT. Докажите, чтоAD � BT.
2. На рисунке 41, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AA1 соответственно. Вычислите длину отрезка AK,если известно, что D P1 6� см.
3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитепериметр треугольника АВС, если АС � 8 см, а периметр треугольникаАОС равен 19 см.
С#6 Вариант 6
1. На рисунке 42, а AO OD BO OC� �, , AK DF� , K AB� , F CD� . Дока�жите, что DK AF� .
38
Рис. 41
2. На рисунке 42, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер CC1 и D C1 1 соответственно. Вычислите длину отрезка KD,еслиCF � 4см.
3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитедлину стороны АС, если периметр треугольника АВС равен 20 см,а периметр треугольника АОС равен 13 см.
39
Рис. 42
3. На рисунке 40, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 6� см?
4. В треугольнике ABC AB BC AC� � , D AC� , � � �ABD DBC. Вычис�лите периметр треугольника ABC, если AD � 4 cм.
5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что BC PB� 3 и АВ � 6 см.
С#6 Вариант 5
1. На рисунке 41, а AB BC CD DT� � � , � � �ABC CDT. Докажите, чтоAD � BT.
2. На рисунке 41, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AA1 соответственно. Вычислите длину отрезка AK,если известно, что D P1 6� см.
3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитепериметр треугольника АВС, если АС � 8 см, а периметр треугольникаАОС равен 19 см.
С#6 Вариант 6
1. На рисунке 42, а AO OD BO OC� �, , AK DF� , K AB� , F CD� . Дока�жите, что DK AF� .
38
Рис. 41
2. На рисунке 42, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер CC1 и D C1 1 соответственно. Вычислите длину отрезка KD,еслиCF � 4см.
3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитедлину стороны АС, если периметр треугольника АВС равен 20 см,а периметр треугольника АОС равен 13 см.
39
Рис. 42
Самостоятельная работа № 7
МЕДИАНЫ, ВЫСОТЫ И БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
C#7 Вариант 1
1. Точки Т и Р делят на равные части сторону AВ квадрата АВСD(рис. 43, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АD яв�ляется высотой треугольника РВD; б) отрезок DР является медианойтреугольника ВDT; в) отрезок AD является высотой треугольникаTPD; г) отрезок DT является медианой треугольника AВD?
2. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону АВ в точке Т. Вычислите градусную меру угла AСТ, если из�вестно, что � � �BAC 30 .
3. На рисунке 43, б изображен равнобедренный треугольник АВС(АВ = АС), отрезок AD – его биссектриса, F AB� , K AC� , BF KC� .Докажите, что DF KD� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Длина боковойстороны меньше длины основания на 1 см. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 43, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BC так, что B K B C1 1 1� . Чему равна градусная мера угла
40
A C
B
DF
K
В1
C1C1
BBKK
CC
бб вваа
AA
BB CC
DD
PP
TT
Рис. 43
B KC1 1 , если градусная мера угла B C K1 1 в два раза больше градусноймеры угла КС1С?
C#7 Вариант 2
1. Точки О и Р делят на равные части сторону AD прямоугольника АВСD(рис. 44, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВР яв�ляется медианой треугольника ОВD; б) отрезок АВ является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВО является медианой треугольникаАВD; г) отрезок АВ является высотой треугольника ВРD?
2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Т. Вычислите градусную меру угла ВАС, еслиизвестно, что � � �ABT 20 .
3. На рисунке 44, б изображен равнобедренный треугольник ABC ( ),AB BC�
отрезок BK – его биссектриса,O BK� . Докажите, что AOK COK� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см. Длина боковойстороны на 2 см больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 44, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A B1 1 так, что BK АB� . Чему равна градусная мера углаАKB, если градусная мера угла A AK1 в два раза меньше градусноймеры угла BAK?
C#7 Вариант 3
1. Точки Т и Р делят на равные части сторону ВС квадрата АВСD(рис. 45, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АВ яв�ляется высотой треугольника РАС; б) отрезок АР является медианой
41
A C
B
О
K
А1А1
В1
К
АА
BB
бб вваа
AA
BB CC
DDPPОО
Рис. 44
Самостоятельная работа № 7
МЕДИАНЫ, ВЫСОТЫ И БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
C#7 Вариант 1
1. Точки Т и Р делят на равные части сторону AВ квадрата АВСD(рис. 43, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АD яв�ляется высотой треугольника РВD; б) отрезок DР является медианойтреугольника ВDT; в) отрезок AD является высотой треугольникаTPD; г) отрезок DT является медианой треугольника AВD?
2. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону АВ в точке Т. Вычислите градусную меру угла AСТ, если из�вестно, что � � �BAC 30 .
3. На рисунке 43, б изображен равнобедренный треугольник АВС(АВ = АС), отрезок AD – его биссектриса, F AB� , K AC� , BF KC� .Докажите, что DF KD� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Длина боковойстороны меньше длины основания на 1 см. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 43, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BC так, что B K B C1 1 1� . Чему равна градусная мера угла
40
A C
B
DF
K
В1
C1C1
BBKK
CC
бб вваа
AA
BB CC
DD
PP
TT
Рис. 43
B KC1 1 , если градусная мера угла B C K1 1 в два раза больше градусноймеры угла КС1С?
C#7 Вариант 2
1. Точки О и Р делят на равные части сторону AD прямоугольника АВСD(рис. 44, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВР яв�ляется медианой треугольника ОВD; б) отрезок АВ является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВО является медианой треугольникаАВD; г) отрезок АВ является высотой треугольника ВРD?
2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Т. Вычислите градусную меру угла ВАС, еслиизвестно, что � � �ABT 20 .
3. На рисунке 44, б изображен равнобедренный треугольник ABC ( ),AB BC�
отрезок BK – его биссектриса,O BK� . Докажите, что AOK COK� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см. Длина боковойстороны на 2 см больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 44, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A B1 1 так, что BK АB� . Чему равна градусная мера углаАKB, если градусная мера угла A AK1 в два раза меньше градусноймеры угла BAK?
C#7 Вариант 3
1. Точки Т и Р делят на равные части сторону ВС квадрата АВСD(рис. 45, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АВ яв�ляется высотой треугольника РАС; б) отрезок АР является медианой
41
A C
B
О
K
А1А1
В1
К
АА
BB
бб вваа
AA
BB CC
DDPPОО
Рис. 44
треугольника АTС; в) отрезок AВ является высотой треугольника АTP;г) отрезок АT является медианой треугольника AВС?
2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Р. Известно, что � � �ACB 10 . Вычислите гра�дусную меру угла РВC.
3. На рисунке 45, б изображен равнобедренный треугольник ABC( ),AB BC� отрезок BK – его высота, F AB M BC BF BM� � �, , . Дока�жите, что AFK CMK� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Длина боковойстороны в 2 раза больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 45, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A C1 1 , O KC AC AO AC� �� 1 , . Чему равна градусная мераугла OCA, если градусная мера угла C CO1 на 10� меньше градусноймеры угла KOC1 ?
C#7 Вариант 4
1. Точки О и Р делят на равные части сторону СD прямоугольника АВСD(рис. 46, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВО яв�ляется медианой треугольника РВD; б) отрезок ВС является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВР является медианой треугольникаDВС; г) отрезок ВС является высотой треугольника ВОD?
2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону ВС в точке Т. Вычислите градусную меру угла АВС, еслиизвестно, что � � �BAT 40 .
42
A
B
K С А1А1
C1О
СС
АА
К
F M
аа бб вв
AA
BB CC
DD
PPTT
Рис. 45
3. На рисунке 46, б изображен равнобедренный треугольник ABC,AB BC� , отрезок BK – его высота, O BK� , точка F лежит на луче OK,причемOK KF� . Докажите, что OKC FKA� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см. Длина боковойстороны в 15, раза меньше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 46, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BB1 , F CK BC FC CC� �� 1 1 1, . Чему равна градуснаямера угла C CF1 , если градусная мера угла KFB на10� больше градусноймеры угла BСF?
C#7 Вариант 5
1. На рисунке 47, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его высота, прямая FK – серединный перпендикуляр к от�резку DC. Докажите, что BD AK� , если известно, что AD DK� .
43
BB
K
CCA
B
KС
О
F
F
C1C1
В1
аа ввбб
AA
BB CC
DD
PP
ОО
Рис. 46
Рис. 47
треугольника АTС; в) отрезок AВ является высотой треугольника АTP;г) отрезок АT является медианой треугольника AВС?
2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Р. Известно, что � � �ACB 10 . Вычислите гра�дусную меру угла РВC.
3. На рисунке 45, б изображен равнобедренный треугольник ABC( ),AB BC� отрезок BK – его высота, F AB M BC BF BM� � �, , . Дока�жите, что AFK CMK� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Длина боковойстороны в 2 раза больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 45, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A C1 1 , O KC AC AO AC� �� 1 , . Чему равна градусная мераугла OCA, если градусная мера угла C CO1 на 10� меньше градусноймеры угла KOC1 ?
C#7 Вариант 4
1. Точки О и Р делят на равные части сторону СD прямоугольника АВСD(рис. 46, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВО яв�ляется медианой треугольника РВD; б) отрезок ВС является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВР является медианой треугольникаDВС; г) отрезок ВС является высотой треугольника ВОD?
2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону ВС в точке Т. Вычислите градусную меру угла АВС, еслиизвестно, что � � �BAT 40 .
42
A
B
K С А1А1
C1О
СС
АА
К
F M
аа бб вв
AA
BB CC
DD
PPTT
Рис. 45
3. На рисунке 46, б изображен равнобедренный треугольник ABC,AB BC� , отрезок BK – его высота, O BK� , точка F лежит на луче OK,причемOK KF� . Докажите, что OKC FKA� .
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см. Длина боковойстороны в 15, раза меньше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.
5. На рисунке 46, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BB1 , F CK BC FC CC� �� 1 1 1, . Чему равна градуснаямера угла C CF1 , если градусная мера угла KFB на10� больше градусноймеры угла BСF?
C#7 Вариант 5
1. На рисунке 47, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его высота, прямая FK – серединный перпендикуляр к от�резку DC. Докажите, что BD AK� , если известно, что AD DK� .
43
BB
K
CCA
B
KС
О
F
F
C1C1
В1
аа ввбб
AA
BB CC
DD
PP
ОО
Рис. 46
Рис. 47
2. На рисунке 47, б изображена прямая треугольная призма. Точки T и Pлежат на ребрах B C1 1 и BB1 соответственно, PT TC� , а точка K при�надлежит отрезку PC и PK KT� . Луч CT является биссектрисой углаРСС1, градусная мера которого равна 70�. Чему равна градусная мераугла PTK?
3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке F. Периметр равностороннего треугольникаACF равен 24 см. Вычислите длину стороны АВ треугольника АВС.
C#7 Вариант 6
1. На рисунке 48, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его биссектриса, прямая OK – серединный перпендикулярк отрезку BD. Докажите, что AK BD� , если известно, что AD DK� .
2. На рисунке 48, б изображена прямая треугольная призма. Точка K ле�жит на ребре BC так, что C K KB1 � , а точка Р принадлежит отрезку С1Ви KP PB� . Луч C1В – биссектриса угла KC B1 1 .Чему равна градуснаямера угла PKB, если известно, что � � �KС С1 50 ?
3. Серединный перпендикуляр к стороне AС треугольника ABC пересе�кает сторону BC в точке Т так, что BT TC� . Вычислите периметр тре�угольника ВАТ, если известно, что AB AT� и AB TC� � 18см.
44
Рис. 48
Самостоятельная работа № 8
ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С#8 Вариант 1
1. Треугольники ABC ACDи равны, причем CB AD� . Длины сторон тре�угольника АВС различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне АС.
2. На рисунке 49, а AB AC� , � � �ABF ECA. Докажите, что ABF ACE� .
3. На рисунке 49, б изображен куб. Точки P и F принадлежат ребрам AA1
и AD соответственно, А PD DFD1 1 1� (рис. 49, в). Докажите равен�ство треугольников AD P1 и AD F1 .
4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р лежат на боковыхсторонах АВ и ВС соответственно, а точки М и Е – на стороне АС,причем точка M лежит между точками A и E. Известно, что AM EC�
и � � �PMC AET. Верно ли, что � � �ETB MPB? Ответ поясните.
5. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу AC, отложенотрезок AP, равный отрезку AB. Известно, что отрезок AE – медиа�на треугольника ABP и � � �PAE 55 . Вычислите градусную меру углаBAC.
45
A
B С
E F
аа бб вв
PP
AA DDFF
D1
А1А1D1А1А1
PP
AA FF DD
Рис. 49
2. На рисунке 47, б изображена прямая треугольная призма. Точки T и Pлежат на ребрах B C1 1 и BB1 соответственно, PT TC� , а точка K при�надлежит отрезку PC и PK KT� . Луч CT является биссектрисой углаРСС1, градусная мера которого равна 70�. Чему равна градусная мераугла PTK?
3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке F. Периметр равностороннего треугольникаACF равен 24 см. Вычислите длину стороны АВ треугольника АВС.
C#7 Вариант 6
1. На рисунке 48, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его биссектриса, прямая OK – серединный перпендикулярк отрезку BD. Докажите, что AK BD� , если известно, что AD DK� .
2. На рисунке 48, б изображена прямая треугольная призма. Точка K ле�жит на ребре BC так, что C K KB1 � , а точка Р принадлежит отрезку С1Ви KP PB� . Луч C1В – биссектриса угла KC B1 1 .Чему равна градуснаямера угла PKB, если известно, что � � �KС С1 50 ?
3. Серединный перпендикуляр к стороне AС треугольника ABC пересе�кает сторону BC в точке Т так, что BT TC� . Вычислите периметр тре�угольника ВАТ, если известно, что AB AT� и AB TC� � 18см.
44
Рис. 48
Самостоятельная работа № 8
ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С#8 Вариант 1
1. Треугольники ABC ACDи равны, причем CB AD� . Длины сторон тре�угольника АВС различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне АС.
2. На рисунке 49, а AB AC� , � � �ABF ECA. Докажите, что ABF ACE� .
3. На рисунке 49, б изображен куб. Точки P и F принадлежат ребрам AA1
и AD соответственно, А PD DFD1 1 1� (рис. 49, в). Докажите равен�ство треугольников AD P1 и AD F1 .
4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р лежат на боковыхсторонах АВ и ВС соответственно, а точки М и Е – на стороне АС,причем точка M лежит между точками A и E. Известно, что AM EC�
и � � �PMC AET. Верно ли, что � � �ETB MPB? Ответ поясните.
5. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу AC, отложенотрезок AP, равный отрезку AB. Известно, что отрезок AE – медиа�на треугольника ABP и � � �PAE 55 . Вычислите градусную меру углаBAC.
45
A
B С
E F
аа бб вв
PP
AA DDFF
D1
А1А1D1А1А1
PP
AA FF DD
Рис. 49
С#8 Вариант 2
1. Треугольники ABD BCDи равны, причем AB CD� . Длины сторон тре�угольника АВD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне BD.
2. На рисунке 50, а � � � � � � �BFK BKF AF KC BAO BCO, , . Докажите,что AFO CKO� .
3. На рисунке 50, б изображен куб. Точки T и F принадлежат ребрам ADи A D1 1 соответственно, AA T D DF1 1� (рис. 50, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и DFA1 .
4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р – середины боковыхсторон АВ и ВС соответственно, точки М и Е лежат на стороне АСи � � �ATE MPC. Отрезки ТЕ и МР пересекаются в точке О. Верноли, что � � �AMP CET? Ответ поясните.
5. В треугольнике ABC градусная мера угла C равна 50�. На луче, проти�воположном лучу CA, отложен отрезок CM, равный отрезку CB. Из�вестно, что отрезок CE – медиана треугольника MCB. Вычислите гра�дусную меру угла MCE.
С#8 Вариант 3
1. Треугольники TAD APDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АPD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне AD.
2. На рисунке 51, а AO OC OCK OAT� � � �, . Докажите, что AOT �
� COK .
46
A
B
С
OF K
аа бб вв
F
TT
AA
DD
А1А1
D1
D1А1А1
TTAA
FF
DD
Рис. 50
3. На рисунке 51, б изображен куб. Точки K и T принадлежат ребрамAD A Dи 1 1 соответственно,
AA T D DK1 � (рис. 51, в). Докажите ра�
венство треугольников ATK и D1KT.
4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонах АВи ВС соответственно и BK BP� . Точки F и Т лежат на стороне АС так,что точка T является серединой отрезка AF, а точка F – серединой от�резка TC. Известно, что � � �ATP KFC. Верно ли, что � � �AKF TPC?Ответ поясните.
5. В равнобедренном треугольнике ABC AB BC� . На луче, противопо�ложном лучу CA, отложен отрезок CF, равный отрезку CB. Известно,что отрезок CH – высота треугольника BCF и � � �BAC 40 . Вычислитеградусную меру угла HCF.
С#8 Вариант 4
1. Треугольники ATP TPDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АTP различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне TP.
2. На рисунке 52, а отрезок AC – основание равнобедренного треуголь�ника ABC, FT AC KP AC AT PC� � �, , . Докажите, что AFT CKP� .
3. На рисунке 52, б изображен куб. Точки T и P принадлежат ребрам AА1
и A D1 1 соответственно, ATD D PD� 1 (рис. 52, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и A PD1 .
4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонахАВ и ВС соответственно, а точки F и Т лежат на стороне АС, BК � BР
47
аа бб вв
C
OK
BT
A
D1А1А1 TT
AA KK DDKKAA DD
TА1
D1D1
Рис. 51
С#8 Вариант 2
1. Треугольники ABD BCDи равны, причем AB CD� . Длины сторон тре�угольника АВD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне BD.
2. На рисунке 50, а � � � � � � �BFK BKF AF KC BAO BCO, , . Докажите,что AFO CKO� .
3. На рисунке 50, б изображен куб. Точки T и F принадлежат ребрам ADи A D1 1 соответственно, AA T D DF1 1� (рис. 50, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и DFA1 .
4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р – середины боковыхсторон АВ и ВС соответственно, точки М и Е лежат на стороне АСи � � �ATE MPC. Отрезки ТЕ и МР пересекаются в точке О. Верноли, что � � �AMP CET? Ответ поясните.
5. В треугольнике ABC градусная мера угла C равна 50�. На луче, проти�воположном лучу CA, отложен отрезок CM, равный отрезку CB. Из�вестно, что отрезок CE – медиана треугольника MCB. Вычислите гра�дусную меру угла MCE.
С#8 Вариант 3
1. Треугольники TAD APDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АPD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне AD.
2. На рисунке 51, а AO OC OCK OAT� � � �, . Докажите, что AOT �
� COK .
46
A
B
С
OF K
аа бб вв
F
TT
AA
DD
А1А1
D1
D1А1А1
TTAA
FF
DD
Рис. 50
3. На рисунке 51, б изображен куб. Точки K и T принадлежат ребрамAD A Dи 1 1 соответственно,
AA T D DK1 � (рис. 51, в). Докажите ра�
венство треугольников ATK и D1KT.
4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонах АВи ВС соответственно и BK BP� . Точки F и Т лежат на стороне АС так,что точка T является серединой отрезка AF, а точка F – серединой от�резка TC. Известно, что � � �ATP KFC. Верно ли, что � � �AKF TPC?Ответ поясните.
5. В равнобедренном треугольнике ABC AB BC� . На луче, противопо�ложном лучу CA, отложен отрезок CF, равный отрезку CB. Известно,что отрезок CH – высота треугольника BCF и � � �BAC 40 . Вычислитеградусную меру угла HCF.
С#8 Вариант 4
1. Треугольники ATP TPDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АTP различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне TP.
2. На рисунке 52, а отрезок AC – основание равнобедренного треуголь�ника ABC, FT AC KP AC AT PC� � �, , . Докажите, что AFT CKP� .
3. На рисунке 52, б изображен куб. Точки T и P принадлежат ребрам AА1
и A D1 1 соответственно, ATD D PD� 1 (рис. 52, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и A PD1 .
4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонахАВ и ВС соответственно, а точки F и Т лежат на стороне АС, BК � BР
47
аа бб вв
C
OK
BT
A
D1А1А1 TT
AA KK DDKKAA DD
TА1
D1D1
Рис. 51
и � � �AKF TPC. Отрезки ТР и КF пересекаются в точке О. Верно ли,что � � �ATP KFC? Ответ поясните.
5. Дан равнобедренный треугольник ABC AC AB( )� . На луче, противо�положном лучу BC, отложен отрезок BK, равный отрезку AB. Извест�но, что отрезок BO – высота треугольника ABK и � � �OBA 65 . Вычис�лите градусную меру угла ACB.
С#8 Вариант 5
1. На рисунке 53, а луч BO – биссектриса угла ABC, � � �FOB BOK .Докажите, что AFO CKO� .
2. На рисунке 53, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников AD C1 и AB C1 .
48
аа бб вв
B
F K
CPTA
D1А1А1 PP
AA
TT
DD
T
A
PP
DD
А1А1 D1D1
Рис. 52
B
F K
O
A
B
DDC
CCAA
В1В1
А1А1 D1
C1C1
аа бб
Рис. 53
3. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу CB, отложен от�резок CP, равный отрезку AC. В треугольнике ABC проведена биссек�триса CE, в треугольнике ACP – медиана CM. Вычислите градуснуюмеру угла ECM.
С#8 Вариант 6
1. На рисунке 54, а FB BK� , лучи FC и KA – биссектрисы углов KFA и FKCсоответственно. Докажите, что FOA KOC� .
2. На рисунке 54, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников BA D1 и B D A1 1 .
3. Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC, причем AK KB� .В треугольнике AKB проведена медиана KF, а в треугольнике AKC –биссектриса KE. Вычислите градусную меру угла FKE.
49
B
F K
CA AA DD
O BBC
А1
В1В1 C1C1
D1D1
аа бб
Рис. 54
и � � �AKF TPC. Отрезки ТР и КF пересекаются в точке О. Верно ли,что � � �ATP KFC? Ответ поясните.
5. Дан равнобедренный треугольник ABC AC AB( )� . На луче, противо�положном лучу BC, отложен отрезок BK, равный отрезку AB. Извест�но, что отрезок BO – высота треугольника ABK и � � �OBA 65 . Вычис�лите градусную меру угла ACB.
С#8 Вариант 5
1. На рисунке 53, а луч BO – биссектриса угла ABC, � � �FOB BOK .Докажите, что AFO CKO� .
2. На рисунке 53, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников AD C1 и AB C1 .
48
аа бб вв
B
F K
CPTA
D1А1А1 PP
AA
TT
DD
T
A
PP
DD
А1А1 D1D1
Рис. 52
B
F K
O
A
B
DDC
CCAA
В1В1
А1А1 D1
C1C1
аа бб
Рис. 53
3. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу CB, отложен от�резок CP, равный отрезку AC. В треугольнике ABC проведена биссек�триса CE, в треугольнике ACP – медиана CM. Вычислите градуснуюмеру угла ECM.
С#8 Вариант 6
1. На рисунке 54, а FB BK� , лучи FC и KA – биссектрисы углов KFA и FKCсоответственно. Докажите, что FOA KOC� .
2. На рисунке 54, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников BA D1 и B D A1 1 .
3. Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC, причем AK KB� .В треугольнике AKB проведена медиана KF, а в треугольнике AKC –биссектриса KE. Вычислите градусную меру угла FKE.
49
B
F K
CA AA DD
O BBC
А1
В1В1 C1C1
D1D1
аа бб
Рис. 54
Самостоятельная работа № 9
ТРЕУГОЛЬНИКИ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 3)
С#9 Вариант 1
1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?
2. На рисунке 55, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла ABC.
3. Точка O – середина стороны CD прямоугольника ABCD, K BC� ,F KO AD� � (рис. 55, б). Докажите, что OKC OFD� .
4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ACM ABC BCA.
5. Точки Р и Т лежат на стороне АD прямоугольника АВСD. Отрезки ВТи СР пересекаются в точке О, а � � �ABT PCD. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, чтоOT OP� � 6 см и ОТ : ОС � 1 : 2.
50
DD FFCA
AA
D
B
OO
аа бб
BB KK CC
Рис. 55
С#9 Вариант 2
1. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону ВС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОС равны?
2. На рисунке 56, а AB AC BO OC� �, . Докажите, что луч AO – биссек�триса угла BAC.
3. Точка O – середина стороны ВC прямоугольника ABCD, K AB� ,F OK CD� � (рис. 56, б). Докажите, что OKB OFC� .
4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ABM ABC BCA.
5. Точки Р и Т лежат на стороне АВ прямоугольника АВСD. Отрезки СТи РD пересекаются в точке О, а � � �BCT ADP. Вычислите длину от�резка ОP, если известно, что ТС � 6 см, а длина отрезка ОС на 2 смбольше длины отрезка ОР.
С#9 Вариант 3
1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?
2. На рисунке 57, а AС BC BD AD� �, . Докажите, что луч CD – биссек�триса угла ACB.
3. Точка F – середина стороны AВ прямоугольника ABCD, K BC� ,O KF AD� � (рис. 57, б). Докажите, что OAF KBF� .
51
B
CA
O
аа бб
DD
FF
AA
BB
KK
CCOO
Рис. 56
Самостоятельная работа № 9
ТРЕУГОЛЬНИКИ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 3)
С#9 Вариант 1
1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?
2. На рисунке 55, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла ABC.
3. Точка O – середина стороны CD прямоугольника ABCD, K BC� ,F KO AD� � (рис. 55, б). Докажите, что OKC OFD� .
4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ACM ABC BCA.
5. Точки Р и Т лежат на стороне АD прямоугольника АВСD. Отрезки ВТи СР пересекаются в точке О, а � � �ABT PCD. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, чтоOT OP� � 6 см и ОТ : ОС � 1 : 2.
50
DD FFCA
AA
D
B
OO
аа бб
BB KK CC
Рис. 55
С#9 Вариант 2
1. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону ВС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОС равны?
2. На рисунке 56, а AB AC BO OC� �, . Докажите, что луч AO – биссек�триса угла BAC.
3. Точка O – середина стороны ВC прямоугольника ABCD, K AB� ,F OK CD� � (рис. 56, б). Докажите, что OKB OFC� .
4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ABM ABC BCA.
5. Точки Р и Т лежат на стороне АВ прямоугольника АВСD. Отрезки СТи РD пересекаются в точке О, а � � �BCT ADP. Вычислите длину от�резка ОP, если известно, что ТС � 6 см, а длина отрезка ОС на 2 смбольше длины отрезка ОР.
С#9 Вариант 3
1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?
2. На рисунке 57, а AС BC BD AD� �, . Докажите, что луч CD – биссек�триса угла ACB.
3. Точка F – середина стороны AВ прямоугольника ABCD, K BC� ,O KF AD� � (рис. 57, б). Докажите, что OAF KBF� .
51
B
CA
O
аа бб
DD
FF
AA
BB
KK
CCOO
Рис. 56
4. Отрезок BO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче BO,причем BO OM� . Докажите, что � � � � �BCM BAC BCA.
5. Точки Р и Т лежат на стороне ВС прямоугольника АВСD. Отрезки АТи РD пересекаются в точке О, а � � �BAT PDC. Вычислите длину от�резка ОT, если известно, что AO OD� � 8см и ОD � 2ОР.
С#9 Вариант 4
1. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОВ равны?
2. На рисунке 58, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла АВС.
3. Точка O – середина стороны AT прямоугольника ATKC, P KT� ,F OP AC� � (рис. 58, б). Докажите, что OAF OTP� .
52
B
CA
DD
аа бб
OO
DD
AA FF
CC
BB
KK
Рис. 57
B
CA
D
аа бб
TT
FFAA
OO
PP KK
CC
Рис. 58
4. Отрезок СO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче CO,причем CO OM� . Докажите, что � � � � �CBM BAC ABC.
5. Точки Р и Т лежат на стороне СD прямоугольника АВСD. Отрезки АТи ВР пересекаются в точке О, а � � �DAT PBC. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, что АТ � 8 см, а длина отрезка ОР на 2 смменьше длины отрезка ОА.
С#9 Вариант 5
1. На рисунке 59, а AB CD AC BD� �, , точка Р – середина отрезка AD.Докажите, что отрезок OP – биссектриса треугольника AOD.
2. На рисунке 59, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA B C D1 1 1 1 , у которой грань ABCD является квадратом. ТочкиO Pи – середины ребер AD и DC соответственно, K OP BC� � ,F OP AB� � . Докажите, что FAO KCP� .
3. Отрезок BK – медиана треугольника ABC. Точка F лежит на луче BKи BK KF� . Серединный перпендикуляр к отрезку BC проходит черезточку K . Докажите, что � � � � �BCF BAK KBC.
С#9 Вариант 6
1. На рисунке 60, а AB CD AC BD� �, , точка F – середина отрезка AD.Докажите, что отрезокOF – высота треугольника AOD.
2. На рисунке 60, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки O и F – сере�дины ребер BB1 и B C1 1 соответственно, K OF BC E OF CC� �� �, 1 . До�кажите, что KBO FC E� 1 .
53
B C
P
O
AFF
AADD
DD
B CCKK
PPOO
А1А1
В1В1 C1C1
D1
аа бб
Рис. 59
4. Отрезок BO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче BO,причем BO OM� . Докажите, что � � � � �BCM BAC BCA.
5. Точки Р и Т лежат на стороне ВС прямоугольника АВСD. Отрезки АТи РD пересекаются в точке О, а � � �BAT PDC. Вычислите длину от�резка ОT, если известно, что AO OD� � 8см и ОD � 2ОР.
С#9 Вариант 4
1. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОВ равны?
2. На рисунке 58, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла АВС.
3. Точка O – середина стороны AT прямоугольника ATKC, P KT� ,F OP AC� � (рис. 58, б). Докажите, что OAF OTP� .
52
B
CA
DD
аа бб
OO
DD
AA FF
CC
BB
KK
Рис. 57
B
CA
D
аа бб
TT
FFAA
OO
PP KK
CC
Рис. 58
4. Отрезок СO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче CO,причем CO OM� . Докажите, что � � � � �CBM BAC ABC.
5. Точки Р и Т лежат на стороне СD прямоугольника АВСD. Отрезки АТи ВР пересекаются в точке О, а � � �DAT PBC. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, что АТ � 8 см, а длина отрезка ОР на 2 смменьше длины отрезка ОА.
С#9 Вариант 5
1. На рисунке 59, а AB CD AC BD� �, , точка Р – середина отрезка AD.Докажите, что отрезок OP – биссектриса треугольника AOD.
2. На рисунке 59, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA B C D1 1 1 1 , у которой грань ABCD является квадратом. ТочкиO Pи – середины ребер AD и DC соответственно, K OP BC� � ,F OP AB� � . Докажите, что FAO KCP� .
3. Отрезок BK – медиана треугольника ABC. Точка F лежит на луче BKи BK KF� . Серединный перпендикуляр к отрезку BC проходит черезточку K . Докажите, что � � � � �BCF BAK KBC.
С#9 Вариант 6
1. На рисунке 60, а AB CD AC BD� �, , точка F – середина отрезка AD.Докажите, что отрезокOF – высота треугольника AOD.
2. На рисунке 60, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки O и F – сере�дины ребер BB1 и B C1 1 соответственно, K OF BC E OF CC� �� �, 1 . До�кажите, что KBO FC E� 1 .
53
B C
P
O
AFF
AADD
DD
B CCKK
PPOO
А1А1
В1В1 C1C1
D1
аа бб
Рис. 59
3. Отрезок AF – медиана треугольника ABC. Точка P лежит на луче AFи AF FP� . Серединный перпендикуляр к отрезку AF пересекает сто�рону AC в точкеO. Докажите, что � � � � �BAC AFO APC.
54
B
F KK
C
O
A
AA
EE
DD
DDBB
FF
C
OO
В1В1
А1
C1C1D1D1
аа бб
Рис. 60
Контрольная работа № 2
ТРЕУГОЛЬНИКИ
К#2 Вариант 1
1. Точка P – середина стороны AD прямоугольника ABCD, а точка F –середина отрезка AP (рис. 61, а). Какой из отрезков – BF или BP –является медианой треугольника ABD?
2. Отрезок AF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC( )AB BC� , у которого � � �BCA 80 . Вычислите градусную меру углаBAF.
3. На рисунке 61, б в треугольнике ABC BF BK PF PK FPA KPC� � � � �, , .Докажите: а) BFP BKP� ; б) точка P – середина стороны AC.
4. Точки K и P – соответственно середины сторон АВ и СD квадратаABCD, точки О и F лежат соответственно на сторонах ВС и AD так, чтоBO FD� . Докажите, что KOC PFA� .
5. Отрезок AO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB BO� � 15 см, AC CO� � 9 см.
55
B
F
K
CP DA
F
A
C B
P
аа бб
Рис. 61
3. Отрезок AF – медиана треугольника ABC. Точка P лежит на луче AFи AF FP� . Серединный перпендикуляр к отрезку AF пересекает сто�рону AC в точкеO. Докажите, что � � � � �BAC AFO APC.
54
B
F KK
C
O
A
AA
EE
DD
DDBB
FF
C
OO
В1В1
А1
C1C1D1D1
аа бб
Рис. 60
Контрольная работа № 2
ТРЕУГОЛЬНИКИ
К#2 Вариант 1
1. Точка P – середина стороны AD прямоугольника ABCD, а точка F –середина отрезка AP (рис. 61, а). Какой из отрезков – BF или BP –является медианой треугольника ABD?
2. Отрезок AF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC( )AB BC� , у которого � � �BCA 80 . Вычислите градусную меру углаBAF.
3. На рисунке 61, б в треугольнике ABC BF BK PF PK FPA KPC� � � � �, , .Докажите: а) BFP BKP� ; б) точка P – середина стороны AC.
4. Точки K и P – соответственно середины сторон АВ и СD квадратаABCD, точки О и F лежат соответственно на сторонах ВС и AD так, чтоBO FD� . Докажите, что KOC PFA� .
5. Отрезок AO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB BO� � 15 см, AC CO� � 9 см.
55
B
F
K
CP DA
F
A
C B
P
аа бб
Рис. 61
К#2 Вариант 2
1. Точка P – середина стороны AC треугольника ABC, а точка T – сере�дина отрезка AP (рис. 62, а). Какой из отрезков – BT или BP – явля�ется медианой треугольника ABC?
2. Отрезок CT – биссектриса равнобедренного треугольника BKC( )BK BC� . Вычислите градусную меру угла BKC, если � � �KCT 20 .
3. На рисунке 62, б AB CD AD BC FAB DCK� � � � �, , , B FC� , D AK� .Докажите: а) ABC CDA� ; б) FB DK� .
4. Точки O и T – соответственно середины сторон ВС и АD квадратаABCD, точки Р и K лежат соответственно на сторонах СD и AB так, чтоСР � АK. Докажите, что BKT DPO� .
5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что BC AF� � 25 см,CB BF� 15, .
К#2 Вариант 3
1. Точка P – середина стороны CD квадрата ABCD, а точка T – серединаотрезка PC (рис. 63, а). Какой из отрезков – AT или AP – являетсямедианой треугольника ACD?
2. Отрезок PO – биссектриса равнобедренного треугольника МКР(МК � КР), � � �KMP 70 . Вычислите градусную меру угла MPO.
3. На рисунке 63, б F AB� , K CD� , BF KD� , BK FD� , � � � �AFK CKF� �90 , � � �ADF KBC. Докажите: а) BFK DKF� ; б) AD BC� .
56
B
F
C
P
T
A
A K
B C
DD
аа бб
Рис. 62
4. Точки K и T – соответственно середины сторон AВ и CD квадратаABCD, точки O и P лежат соответственно на сторонах AD и BC так,что AO = CP. Докажите, что KOD TPB� .
5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника АВС, если известно,что AC BF� � 9 см, AC BF: :� 2 1.
К#2 Вариант 4
1. Точка T – середина стороны BC треугольника ABC, а точка O – сере�дина отрезка TC (рис. 64, а). Какой из отрезков – AT или AO – явля�ется медианой треугольника ATC?
2. Отрезок OK – биссектриса равнобедренного треугольника OFT( )OF FT� . Вычислите градусную меру угла KTO, если � � �FOK 27 .
57
B
F
C
P
D A
C
A
T B
K
D
аа бб
Рис. 63
Рис. 64
К#2 Вариант 2
1. Точка P – середина стороны AC треугольника ABC, а точка T – сере�дина отрезка AP (рис. 62, а). Какой из отрезков – BT или BP – явля�ется медианой треугольника ABC?
2. Отрезок CT – биссектриса равнобедренного треугольника BKC( )BK BC� . Вычислите градусную меру угла BKC, если � � �KCT 20 .
3. На рисунке 62, б AB CD AD BC FAB DCK� � � � �, , , B FC� , D AK� .Докажите: а) ABC CDA� ; б) FB DK� .
4. Точки O и T – соответственно середины сторон ВС и АD квадратаABCD, точки Р и K лежат соответственно на сторонах СD и AB так, чтоСР � АK. Докажите, что BKT DPO� .
5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что BC AF� � 25 см,CB BF� 15, .
К#2 Вариант 3
1. Точка P – середина стороны CD квадрата ABCD, а точка T – серединаотрезка PC (рис. 63, а). Какой из отрезков – AT или AP – являетсямедианой треугольника ACD?
2. Отрезок PO – биссектриса равнобедренного треугольника МКР(МК � КР), � � �KMP 70 . Вычислите градусную меру угла MPO.
3. На рисунке 63, б F AB� , K CD� , BF KD� , BK FD� , � � � �AFK CKF� �90 , � � �ADF KBC. Докажите: а) BFK DKF� ; б) AD BC� .
56
B
F
C
P
T
A
A K
B C
DD
аа бб
Рис. 62
4. Точки K и T – соответственно середины сторон AВ и CD квадратаABCD, точки O и P лежат соответственно на сторонах AD и BC так,что AO = CP. Докажите, что KOD TPB� .
5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника АВС, если известно,что AC BF� � 9 см, AC BF: :� 2 1.
К#2 Вариант 4
1. Точка T – середина стороны BC треугольника ABC, а точка O – сере�дина отрезка TC (рис. 64, а). Какой из отрезков – AT или AO – явля�ется медианой треугольника ATC?
2. Отрезок OK – биссектриса равнобедренного треугольника OFT( )OF FT� . Вычислите градусную меру угла KTO, если � � �FOK 27 .
57
B
F
C
P
D A
C
A
T B
K
D
аа бб
Рис. 63
Рис. 64
3. На рисунке 64, б AC DF AF CD� �, , � � �BAC KDF, C BD� , F AK� .Докажите: а) ACD DFA� ; б) AB DK� .
4. Точки O и P – соответственно середины сторон ВC и AD квадратаABCD, точки T и F лежат соответственно на сторонах AB и CD так, чтоBT = DF. Докажите, что AOT FPC� .
5. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB DC� � 11см, BC DC� � 3 см.
К#2 Вариант 5
1. На рисунке 65, а точка F – середина отрезка DP F AC BD BP, , ,� �
луч BF – биссектриса угла ABC. Докажите, что треугольник ABC –равнобедренный.
2. На рисунке 65, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – середи�ны ребер DC и A B1 1 соответственно. Докажите, что C FD C KD1 1 1 1� .
3. Точка K – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC,P AC� и AP PK� . Луч BD расположен так, что луч BC является бис�сектрисой угла ABD, F PK BD� � . Вычислите периметр треугольникаABC, если известно, что P BKF
� 13,5 см.
К#2 Вариант 6
1. На рисунке 66, а BF BK� , FD DK� , отрезок BD – высота треуголь�ника ABC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
58
B
FKK
CPA AADD DD
FFB
CC
В1В1 C1C1
D1
А1А1
аа бб
Рис. 65
2. На рисунке 66, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка F лежит наребре AA1 . Докажите, что B FA D FA1 1� .
3. Точка D – середина основания AC равностороннего треугольника ABC,F AB� , BF FD� . Луч CK расположен так, что луч AC является бис�сектрисой угла BCK, P FD CK� � . Вычислите периметр треугольникаCDP, если P ABC
� 18 см.
59
B
F K
A
AADD
DD C
BB
F
C
В1В1
А1
C1C1
D1D1
аа бб
Рис. 66
3. На рисунке 64, б AC DF AF CD� �, , � � �BAC KDF, C BD� , F AK� .Докажите: а) ACD DFA� ; б) AB DK� .
4. Точки O и P – соответственно середины сторон ВC и AD квадратаABCD, точки T и F лежат соответственно на сторонах AB и CD так, чтоBT = DF. Докажите, что AOT FPC� .
5. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB DC� � 11см, BC DC� � 3 см.
К#2 Вариант 5
1. На рисунке 65, а точка F – середина отрезка DP F AC BD BP, , ,� �
луч BF – биссектриса угла ABC. Докажите, что треугольник ABC –равнобедренный.
2. На рисунке 65, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – середи�ны ребер DC и A B1 1 соответственно. Докажите, что C FD C KD1 1 1 1� .
3. Точка K – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC,P AC� и AP PK� . Луч BD расположен так, что луч BC является бис�сектрисой угла ABD, F PK BD� � . Вычислите периметр треугольникаABC, если известно, что P BKF
� 13,5 см.
К#2 Вариант 6
1. На рисунке 66, а BF BK� , FD DK� , отрезок BD – высота треуголь�ника ABC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
58
B
FKK
CPA AADD DD
FFB
CC
В1В1 C1C1
D1
А1А1
аа бб
Рис. 65
2. На рисунке 66, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка F лежит наребре AA1 . Докажите, что B FA D FA1 1� .
3. Точка D – середина основания AC равностороннего треугольника ABC,F AB� , BF FD� . Луч CK расположен так, что луч AC является бис�сектрисой угла BCK, P FD CK� � . Вычислите периметр треугольникаCDP, если P ABC
� 18 см.
59
B
F K
A
AADD
DD C
BB
F
C
В1В1
А1
C1C1
D1D1
аа бб
Рис. 66
Самостоятельная работа № 10
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
С#10 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 67, а. Как называется пара углов АВС и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?
2. На рисунке 67, а � � �1 2 и � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что BC || AD?б) Докажите, что BF ||CD.
3. На рисунке 67, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FC1 и BD лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �B C F1 1 20 , а угол BDC1 в 5,5 раза больше угла B1C1F. Докажите,что FC BD1 || .
4. В равнобедренном треугольнике АВС АС � ВС. Прямая l пересекаетстороны АВ и ВС в точках Р и Т соответственно. Установите взаимноерасположение прямых АС и ТР, если известно, что PT BT� .
5. Отрезок BO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основани�ем AC. Точка K лежит на луче BO и BO OK� . Докажите, что AB CK|| .
С#10 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 68, а. Как называется пара углов ВАР и АDС,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей АD?
60
B
FAAA
DD
DD2
1 3
F
BB
C
CC
В1
А1А1 C1C1
аа бб
20°
Рис. 67
2. На рисунке 68, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AD || BC?б) Докажите, что AB || CP.
3. На рисунке 68, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FB1 и CP лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �PCC1 40 , а градусная мера угла B1FB на 10� больше градусной
меры угла PCC1. Докажите, что B F PC1 || .
4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ � ВС. Через вершину С про�ведена прямая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ.Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.
5. Отрезок CT – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. ТочкаO лежит на лучеCT иCT TO� . Докажите, что AO || BC.
С#10 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 69, а. Как называется пара углов АВF и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?
2. На рисунке 69, а � � �1 2, � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что AB || FD?б) Докажите, что AD || BC.
3. На рисунке 69, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и BD лежат в плоскости грани AA B B1 1 . Известно, что� � �ADB 60 , а угол TA1B1 в 2 раза меньше угла ADB. Докажите, чтоA T BD1 || .
4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АС и ВС равносторон�него треугольника АВС так, что треугольник CТР является равносто�ронним. Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.
61
B
A D2
13
C
PAA
FFBB
CC
А1А1 C1C1
В1
P
аа бб
40°
Рис. 68
Самостоятельная работа № 10
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
С#10 Вариант 1
1. Рассмотрите рисунок 67, а. Как называется пара углов АВС и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?
2. На рисунке 67, а � � �1 2 и � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что BC || AD?б) Докажите, что BF ||CD.
3. На рисунке 67, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FC1 и BD лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �B C F1 1 20 , а угол BDC1 в 5,5 раза больше угла B1C1F. Докажите,что FC BD1 || .
4. В равнобедренном треугольнике АВС АС � ВС. Прямая l пересекаетстороны АВ и ВС в точках Р и Т соответственно. Установите взаимноерасположение прямых АС и ТР, если известно, что PT BT� .
5. Отрезок BO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основани�ем AC. Точка K лежит на луче BO и BO OK� . Докажите, что AB CK|| .
С#10 Вариант 2
1. Рассмотрите рисунок 68, а. Как называется пара углов ВАР и АDС,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей АD?
60
B
FAAA
DD
DD2
1 3
F
BB
C
CC
В1
А1А1 C1C1
аа бб
20°
Рис. 67
2. На рисунке 68, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AD || BC?б) Докажите, что AB || CP.
3. На рисунке 68, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FB1 и CP лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �PCC1 40 , а градусная мера угла B1FB на 10� больше градусной
меры угла PCC1. Докажите, что B F PC1 || .
4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ � ВС. Через вершину С про�ведена прямая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ.Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.
5. Отрезок CT – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. ТочкаO лежит на лучеCT иCT TO� . Докажите, что AO || BC.
С#10 Вариант 3
1. Рассмотрите рисунок 69, а. Как называется пара углов АВF и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?
2. На рисунке 69, а � � �1 2, � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что AB || FD?б) Докажите, что AD || BC.
3. На рисунке 69, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и BD лежат в плоскости грани AA B B1 1 . Известно, что� � �ADB 60 , а угол TA1B1 в 2 раза меньше угла ADB. Докажите, чтоA T BD1 || .
4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АС и ВС равносторон�него треугольника АВС так, что треугольник CТР является равносто�ронним. Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.
61
B
A D2
13
C
PAA
FFBB
CC
А1А1 C1C1
В1
P
аа бб
40°
Рис. 68
5. Отрезок AF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием BC. Точка P лежит на луче AF, причем AF FP� . Докажите, чтоBP || AC.
С#10 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 70, а. Как называется пара углов ВСD и ADC,образованных при пересечении прямых ВC и AD секущей СD?
2. На рисунке 70, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AB || FC?б) Докажите, что BC || AF.
3. На рисунке 70, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и CO лежат в плоскости грани AA C C1 1 . Известно, что� � �А OC1 130 , а градусная мера угла AA1T на 90� меньше градусной
меры угла А1ОС. Докажите, что OC A T|| 1 .
62
B F C
A
T
AAD
BB
DD
CC
1 2
3
А1А1C1C1
В1
аа бб
60°60°
Рис. 69
B
F
C
ATT
AA
O
D CC
BB
3
1
2
А1А1 В1В1
C1
аа бб
130°130°
Рис. 70
4. Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена пря�мая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ. Установитевзаимное расположение прямых АВ и ТР.
5. Отрезок BF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Точка P лежит на луче BF и BF FP� . Докажите, что AP || BC.
С#10 Вариант 5
1. На рисунке 71, а точка O лежит на AC, AB BC� , AK OK� , CF OF� .а) Верно ли, что KO || FC? б) Докажите, что AB || FO.
2. На рисунке 71, б изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 . Пря�мые B C1 и FE ( , )F BB E CC� �1 1 , которые лежат в плоскости граниBB C C1 1 , перпендикулярны прямой C F1 . Вычислите градусную меруугла FEC, если � � �B СB1 40 .
3. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Точка P лежит на сто�роне АВ и АР � РТ. Докажите, что РТ || АС.
С#10 Вариант 6
1. На рисунке 72, а изображен равнобедренный треугольник ABC с ос�нованием AC, точка О лежит на луче, противоположном лучу ВА,луч BD является биссектрисой углаOBC. Докажите, что BD || AC.
2. На рисунке 72, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FP ( , )F AA P BB� �1 1 и AB1 , которые лежат в плоскости гра�ни AA B B1 1 , перпендикулярны прямой A B1 . Вычислите градусную меруугла A1FP, если � � �B AB1 40 .
63
B F
K
C
A
O
аа бб
EEBB
C1C1
CC
FF
AA
В1
А1А1
Рис. 71
5. Отрезок AF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием BC. Точка P лежит на луче AF, причем AF FP� . Докажите, чтоBP || AC.
С#10 Вариант 4
1. Рассмотрите рисунок 70, а. Как называется пара углов ВСD и ADC,образованных при пересечении прямых ВC и AD секущей СD?
2. На рисунке 70, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AB || FC?б) Докажите, что BC || AF.
3. На рисунке 70, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и CO лежат в плоскости грани AA C C1 1 . Известно, что� � �А OC1 130 , а градусная мера угла AA1T на 90� меньше градусной
меры угла А1ОС. Докажите, что OC A T|| 1 .
62
B F C
A
T
AAD
BB
DD
CC
1 2
3
А1А1C1C1
В1
аа бб
60°60°
Рис. 69
B
F
C
ATT
AA
O
D CC
BB
3
1
2
А1А1 В1В1
C1
аа бб
130°130°
Рис. 70
4. Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена пря�мая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ. Установитевзаимное расположение прямых АВ и ТР.
5. Отрезок BF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Точка P лежит на луче BF и BF FP� . Докажите, что AP || BC.
С#10 Вариант 5
1. На рисунке 71, а точка O лежит на AC, AB BC� , AK OK� , CF OF� .а) Верно ли, что KO || FC? б) Докажите, что AB || FO.
2. На рисунке 71, б изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 . Пря�мые B C1 и FE ( , )F BB E CC� �1 1 , которые лежат в плоскости граниBB C C1 1 , перпендикулярны прямой C F1 . Вычислите градусную меруугла FEC, если � � �B СB1 40 .
3. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Точка P лежит на сто�роне АВ и АР � РТ. Докажите, что РТ || АС.
С#10 Вариант 6
1. На рисунке 72, а изображен равнобедренный треугольник ABC с ос�нованием AC, точка О лежит на луче, противоположном лучу ВА,луч BD является биссектрисой углаOBC. Докажите, что BD || AC.
2. На рисунке 72, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FP ( , )F AA P BB� �1 1 и AB1 , которые лежат в плоскости гра�ни AA B B1 1 , перпендикулярны прямой A B1 . Вычислите градусную меруугла A1FP, если � � �B AB1 40 .
63
B F
K
C
A
O
аа бб
EEBB
C1C1
CC
FF
AA
В1
А1А1
Рис. 71
3. ABCD – квадрат, точки O и F лежат на сторонах AB и CD соответст�венно и AO CF� . Докажите, что BF ||OD.
64
B D
C
O
A
а
A
P
FB
C
C1А1
б
1В
Рис. 72
Самостоятельная работа № 11
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
С#11 Вариант 1
1. На рисунке 73, a a b|| , c d|| . Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 2 180 ?
2. Точка Р принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые a и bпроходят через точки Р и В и параллельны прямой АС. Верно ли, чтоa b|| ?
3. На рисунке 73, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Kи P лежат на ребре DC, а точка F – на ребре CC1 , � � �DC C PFC1 . Пе�ресекает ли прямая D K1 прямую PF (рис. 73, в)?
4. Через вершину A треугольника ABC с прямым углом C проведена пря�мая, параллельная стороне BC. Вычислите градусную меру угла ABC,если � � �CAB 50 .
5. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендику�лярная высоте BD этого треугольника. Вычислите градусные меры уг�лов ABD и DBC, если известно, что � � �BAC 35 , � � �BCA 70 .
65
a
c d
b 2
34 1
аа бб вв
CC
FF
KK PPDD
D1
C1C1
D1 C1C1
CC
FF
DD KK PP
Рис. 73
3. ABCD – квадрат, точки O и F лежат на сторонах AB и CD соответст�венно и AO CF� . Докажите, что BF ||OD.
64
B D
C
O
A
а
A
P
FB
C
C1А1
б
1В
Рис. 72
Самостоятельная работа № 11
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
С#11 Вариант 1
1. На рисунке 73, a a b|| , c d|| . Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 2 180 ?
2. Точка Р принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые a и bпроходят через точки Р и В и параллельны прямой АС. Верно ли, чтоa b|| ?
3. На рисунке 73, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Kи P лежат на ребре DC, а точка F – на ребре CC1 , � � �DC C PFC1 . Пе�ресекает ли прямая D K1 прямую PF (рис. 73, в)?
4. Через вершину A треугольника ABC с прямым углом C проведена пря�мая, параллельная стороне BC. Вычислите градусную меру угла ABC,если � � �CAB 50 .
5. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендику�лярная высоте BD этого треугольника. Вычислите градусные меры уг�лов ABD и DBC, если известно, что � � �BAC 35 , � � �BCA 70 .
65
a
c d
b 2
34 1
аа бб вв
CC
FF
KK PPDD
D1
C1C1
D1 C1C1
CC
FF
DD KK PP
Рис. 73
С#11 Вариант 2
1. На рисунке 74, а a || b, c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 5 180 ?
2. Точка Р принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Прямые m и nпроходят через точки Р и С и параллельны прямой АВ. Верно ли, чтоm || n?
3. На рисунке 74, б изображен прямоугольный параллелепипед. Прямыеa и b лежат в плоскости грани AA B B1 1 и перпендикулярны прямой A B1 .Пересекает ли прямая BB1 прямую b (рис. 74, в)?
4. Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основаниемBC проведена прямая, параллельная стороне BC. Вычислите градус�ную меру углаCAB, если � � �ABC 75 .
5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС ( )AB BC� про�ведена прямая, перпендикулярная медиане ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла АВО, если известно, что � � �BCA 50 .
С#11 Вариант 3
1. На рисунке 75, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 3; б) � � �3 4;в) � � � � �1 2 180 ?
2. Точка O принадлежит стороне АC треугольника АВС. Прямые n и pпроходят через точки A и O и параллельны прямой BС. Верно ли, чтоn p|| ?
3. На рисунке 75, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,T, K, P лежат на ребрах AA1 , A D1 1 , DD1 и AD соответственно,
66
аа бб вв
cd
a
b
1
3 52
4nn
B1 A1A1
CCDD
BB
AA
aa
bb
А1
В1В1bb
aa
Рис. 74
O A D FT� 1 � , E A D KP� 1 � , � � �A OT A EK1 1 . Пересекает ли прямаяAA1 прямую PK (рис. 75, в)?
4. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AC. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � �BAC 40 ,� � �BCA 70 .
5. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, перпендику�лярная высоте ВО этого треугольника. Вычислите градусную меруугла АВО, если известно, что � � �BAC 100 .
С#11 Вариант 4
1. На рисунке 76, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �1 3 180 ;в) � � �1 4?
67
аа бб вв
FF K
E
T
AA PP DD
c
d
a b
13
2 4
А1А1 D1D1
О
A1 D1D1
DDAA
OO
EE
FF
KK
PP
TT
Рис. 75
c
d
a
b
13
2
4
аа бб вв
B1 C1C1
FF K
В1В1
D1
А1А1
C1C1
D1А1А1
KKFF
Рис. 76
С#11 Вариант 2
1. На рисунке 74, а a || b, c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 5 180 ?
2. Точка Р принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Прямые m и nпроходят через точки Р и С и параллельны прямой АВ. Верно ли, чтоm || n?
3. На рисунке 74, б изображен прямоугольный параллелепипед. Прямыеa и b лежат в плоскости грани AA B B1 1 и перпендикулярны прямой A B1 .Пересекает ли прямая BB1 прямую b (рис. 74, в)?
4. Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основаниемBC проведена прямая, параллельная стороне BC. Вычислите градус�ную меру углаCAB, если � � �ABC 75 .
5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС ( )AB BC� про�ведена прямая, перпендикулярная медиане ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла АВО, если известно, что � � �BCA 50 .
С#11 Вариант 3
1. На рисунке 75, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 3; б) � � �3 4;в) � � � � �1 2 180 ?
2. Точка O принадлежит стороне АC треугольника АВС. Прямые n и pпроходят через точки A и O и параллельны прямой BС. Верно ли, чтоn p|| ?
3. На рисунке 75, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,T, K, P лежат на ребрах AA1 , A D1 1 , DD1 и AD соответственно,
66
аа бб вв
cd
a
b
1
3 52
4nn
B1 A1A1
CCDD
BB
AA
aa
bb
А1
В1В1bb
aa
Рис. 74
O A D FT� 1 � , E A D KP� 1 � , � � �A OT A EK1 1 . Пересекает ли прямаяAA1 прямую PK (рис. 75, в)?
4. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AC. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � �BAC 40 ,� � �BCA 70 .
5. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, перпендику�лярная высоте ВО этого треугольника. Вычислите градусную меруугла АВО, если известно, что � � �BAC 100 .
С#11 Вариант 4
1. На рисунке 76, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �1 3 180 ;в) � � �1 4?
67
аа бб вв
FF K
E
T
AA PP DD
c
d
a b
13
2 4
А1А1 D1D1
О
A1 D1D1
DDAA
OO
EE
FF
KK
PP
TT
Рис. 75
c
d
a
b
13
2
4
аа бб вв
B1 C1C1
FF K
В1В1
D1
А1А1
C1C1
D1А1А1
KKFF
Рис. 76
2. Точка Т принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые b и с про�ходят через точки А и Т и параллельны прямой ВС. Верно ли, что b c|| ?
3. На рисунке 76, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F и Kлежат на ребрах A B1 1 и D C1 1 соответственно, � � � � �FD K B KD1 1 1 180 .Пересекает ли прямаяC B1 1 прямую D F1 (рис. 76, в)?
4. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AB. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � � �CAB CBA� �108 .
5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС (АВ � ВС) прове�дена прямая, перпендикулярная биссектрисе ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла ВАС, если известно, что � � �ABC 70 .
С#11 Вариант 5
1. На рисунке 77, а AB BC� , PF || AC, PK и AF – биссектрисы углов BPFи BAC соответственно. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �3 4 180 ;в) � � �5 1?
2. На рисунке 77, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Pи F лежат на ребрах A D1 1 и AD соответственно, K FD� 1 , O AK� ,OF OK� , � � �PAO OFK . Пересекает ли прямаяOF прямую AP?
3. На сторонах угла BAK отмечены точки: M и C – на стороне AB (точкаM лежит между A и C), O и P – на стороне AK, CP AK� , OM AK� ,� � �AMO 30 . Биссектриса угла PCB пересекает луч AK в точке E. Вы�числите градусную меру угла ACE.
68
B
F
K
C
P
A
O
AA
PP
DF
K52
1 4
А1А1 D1D1
3
аа бб
Рис. 77
С#11 Вариант 6
1. На рисунке 78, а BC || AD, отрезки CK и AF – биссектрисы треугольниковBAC и ACD соответственно, AC CD� . Верно ли, что: а) � � �BCK CAF;б) � � � � �BCD CAD 180 ; в) � � � � �BKC BAC KCA?
2. На рисунке 78, б изображен прямоугольный параллелепипед, точкиO Pи лежат на ребре BC, а точки K и F – на ребре CC1 , FC PC� ,� � � � �BOK PFC 180 . Пересекает ли прямая PF прямую BB1 ?
3. Точки B и C лежат на стороне AF угла FAD так, что точка B лежит ме�жду точками A и C. Отрезки BT и CP – перпендикуляры, проведенныек стороне AD угла FAD. Луч CE (E AD� ) – биссектриса угла PCF. Вы�числите градусную меру угла АВТ, если известно, что � � �ACE 100 .
69
B
FK
A PDDB O
C
CC
FF
KK
В1В1 C1C1
аа бб
Рис. 78
2. Точка Т принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые b и с про�ходят через точки А и Т и параллельны прямой ВС. Верно ли, что b c|| ?
3. На рисунке 76, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F и Kлежат на ребрах A B1 1 и D C1 1 соответственно, � � � � �FD K B KD1 1 1 180 .Пересекает ли прямаяC B1 1 прямую D F1 (рис. 76, в)?
4. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AB. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � � �CAB CBA� �108 .
5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС (АВ � ВС) прове�дена прямая, перпендикулярная биссектрисе ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла ВАС, если известно, что � � �ABC 70 .
С#11 Вариант 5
1. На рисунке 77, а AB BC� , PF || AC, PK и AF – биссектрисы углов BPFи BAC соответственно. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �3 4 180 ;в) � � �5 1?
2. На рисунке 77, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Pи F лежат на ребрах A D1 1 и AD соответственно, K FD� 1 , O AK� ,OF OK� , � � �PAO OFK . Пересекает ли прямаяOF прямую AP?
3. На сторонах угла BAK отмечены точки: M и C – на стороне AB (точкаM лежит между A и C), O и P – на стороне AK, CP AK� , OM AK� ,� � �AMO 30 . Биссектриса угла PCB пересекает луч AK в точке E. Вы�числите градусную меру угла ACE.
68
B
F
K
C
P
A
O
AA
PP
DF
K52
1 4
А1А1 D1D1
3
аа бб
Рис. 77
С#11 Вариант 6
1. На рисунке 78, а BC || AD, отрезки CK и AF – биссектрисы треугольниковBAC и ACD соответственно, AC CD� . Верно ли, что: а) � � �BCK CAF;б) � � � � �BCD CAD 180 ; в) � � � � �BKC BAC KCA?
2. На рисунке 78, б изображен прямоугольный параллелепипед, точкиO Pи лежат на ребре BC, а точки K и F – на ребре CC1 , FC PC� ,� � � � �BOK PFC 180 . Пересекает ли прямая PF прямую BB1 ?
3. Точки B и C лежат на стороне AF угла FAD так, что точка B лежит ме�жду точками A и C. Отрезки BT и CP – перпендикуляры, проведенныек стороне AD угла FAD. Луч CE (E AD� ) – биссектриса угла PCF. Вы�числите градусную меру угла АВТ, если известно, что � � �ACE 100 .
69
B
FK
A PDDB O
C
CC
FF
KK
В1В1 C1C1
аа бб
Рис. 78
Самостоятельная работа № 12
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 4)
С#12 Вариант 1
1. Прямая l пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Ти Р соответственно. Углы ВТР и ВАС являются соответственными, об�разованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)
2. АРТМ – прямоугольник. Точка Е – внутренняя точка отрезка РМ,АЕ � ЕМ. Отрезок ЕО – медиана треугольника АЕМ. Установите вза�имное расположение прямых ОЕ и АР.
3. ABCD – прямоугольник. Отрезки CP и AK – биссектрисы треугольни�ков АВС и CAD соответственно (рис. 79, а, б). Докажите, что прямыеСР и AK параллельны.
4. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной B пересекает прямуюa в точке F. Градусная мера угла с вершиной A равна 30�. Вычислитеградусные меры углов треугольника FAB.
5. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересе�
чении двух параллельных прямых секущей, составляет13
часть другого.
Вычислите градусные меры этих углов.
70
AA
аа бб
BB CC
KK
DD
PP
AA
BB CC
KK
DD
PP
Рис. 79
С#12 Вариант 2
1. Прямая l пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС в точках Ми Р соответственно. Углы СРМ и СВА являются соответственными,образованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)
2. АВСD – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС,РС � РD. Отрезок РО – медиана треугольника РСD. Установите вза�имное расположение прямых ОР и АD.
3. ABCD – прямоугольник. Отрезки BF и DK – биссектрисы треугольни�ков АВD и BDC соответственно (рис. 80, а, б). Докажите, что прямыеBF и DK параллельны.
4. Прямая a пересекает параллельные прямые c и b в точках C и B соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной C пересекает пря�мую b в точке K . Градусная мера угла с вершиной B равна140�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника KBC.
5. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, меньшеградусной меры другого на28�. Вычислите градусные меры этих углов.
С#12 Вариант 3
1. АВСD – четырехугольник. Углы АВD и ВDС являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)
2. АМТО – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АТ, РТ � МР.Отрезок РК – медиана треугольника РМТ. Установите взаимное рас�положение прямых РК и ОТ.
71
аа бб
AA
BB CCKK
DDFF AA
BB CCKK
DDFF
Рис. 80
Самостоятельная работа № 12
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 4)
С#12 Вариант 1
1. Прямая l пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Ти Р соответственно. Углы ВТР и ВАС являются соответственными, об�разованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)
2. АРТМ – прямоугольник. Точка Е – внутренняя точка отрезка РМ,АЕ � ЕМ. Отрезок ЕО – медиана треугольника АЕМ. Установите вза�имное расположение прямых ОЕ и АР.
3. ABCD – прямоугольник. Отрезки CP и AK – биссектрисы треугольни�ков АВС и CAD соответственно (рис. 79, а, б). Докажите, что прямыеСР и AK параллельны.
4. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной B пересекает прямуюa в точке F. Градусная мера угла с вершиной A равна 30�. Вычислитеградусные меры углов треугольника FAB.
5. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересе�
чении двух параллельных прямых секущей, составляет13
часть другого.
Вычислите градусные меры этих углов.
70
AA
аа бб
BB CC
KK
DD
PP
AA
BB CC
KK
DD
PP
Рис. 79
С#12 Вариант 2
1. Прямая l пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС в точках Ми Р соответственно. Углы СРМ и СВА являются соответственными,образованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)
2. АВСD – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС,РС � РD. Отрезок РО – медиана треугольника РСD. Установите вза�имное расположение прямых ОР и АD.
3. ABCD – прямоугольник. Отрезки BF и DK – биссектрисы треугольни�ков АВD и BDC соответственно (рис. 80, а, б). Докажите, что прямыеBF и DK параллельны.
4. Прямая a пересекает параллельные прямые c и b в точках C и B соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной C пересекает пря�мую b в точке K . Градусная мера угла с вершиной B равна140�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника KBC.
5. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, меньшеградусной меры другого на28�. Вычислите градусные меры этих углов.
С#12 Вариант 3
1. АВСD – четырехугольник. Углы АВD и ВDС являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)
2. АМТО – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АТ, РТ � МР.Отрезок РК – медиана треугольника РМТ. Установите взаимное рас�положение прямых РК и ОТ.
71
аа бб
AA
BB CCKK
DDFF AA
BB CCKK
DDFF
Рис. 80
3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах AD и BC прямоуголь�ника ABCD, причем BK || DF (рис. 81, а, б). Лучи KP и DE – биссек�трисы углов BKA и FDK соответственно. Докажите, что прямые PKи DE параллельны.
4. Прямая d пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке A пересекаетпрямую c в точке T. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна110�. Вычислите градусные меры углов треугольника ATC.
5. Разность градусных мер внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 60�.Вычислите градусные меры этих углов.
С#12 Вариант 4
1. АВСD – четырехугольник. Углы ВАС и АСD являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)
2. АВОК – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АО,АР � ВР. Отрезок РТ – медиана треугольника РАВ. Установите взаим�ное расположение прямых ТР и ОВ.
3. Точки F и O лежат соответственно на сторонах AВ и BC прямоуголь�ника ABCD, причем DF || BO (рис. 82, а, б). Лучи DE и OP – биссек�трисы углов FDO и BOC соответственно. Докажите, что прямые DEи PO параллельны.
4. Прямая a пересекает параллельные прямые b и c в точках B и C соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной в точке B пересека�
72
аа бб
AA
BB CC
KK DD
PP
FF
AA
BB CC
KK DD
PP
FF
EE EE
Рис. 81
ет прямую c в точке O. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна50�. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC.
5. Сумма градусных мер соответственных углов, образованных при пере�сечении двух параллельных прямых секущей, равна 104�. Вычислитеградусные меры внутренних односторонних углов.
С#12 Вариант 5
1. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов с вершиной в точке A пересе�кают прямую b в точках P и T. Градусная мера острого угла с вершинойв точке B равна 40�. Вычислите градусные меры углов треугольникаAPT.
2. На рисунках 83, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 . Точка K лежит на ребре BC, точка F – на луче СС1,
73
аа бб
AA
BB CC
OO
DD
PP
FF
EE
AA
BB CC
OO
DD
PP
FF
EE
Рис. 82
FF
AA A
P
BB B
F
CC
P
KK KC
А1А1
В1
C1C1 C1А1
В1
аа бб
Рис. 83
3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах AD и BC прямоуголь�ника ABCD, причем BK || DF (рис. 81, а, б). Лучи KP и DE – биссек�трисы углов BKA и FDK соответственно. Докажите, что прямые PKи DE параллельны.
4. Прямая d пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке A пересекаетпрямую c в точке T. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна110�. Вычислите градусные меры углов треугольника ATC.
5. Разность градусных мер внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 60�.Вычислите градусные меры этих углов.
С#12 Вариант 4
1. АВСD – четырехугольник. Углы ВАС и АСD являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)
2. АВОК – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АО,АР � ВР. Отрезок РТ – медиана треугольника РАВ. Установите взаим�ное расположение прямых ТР и ОВ.
3. Точки F и O лежат соответственно на сторонах AВ и BC прямоуголь�ника ABCD, причем DF || BO (рис. 82, а, б). Лучи DE и OP – биссек�трисы углов FDO и BOC соответственно. Докажите, что прямые DEи PO параллельны.
4. Прямая a пересекает параллельные прямые b и c в точках B и C соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной в точке B пересека�
72
аа бб
AA
BB CC
KK DD
PP
FF
AA
BB CC
KK DD
PP
FF
EE EE
Рис. 81
ет прямую c в точке O. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна50�. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC.
5. Сумма градусных мер соответственных углов, образованных при пере�сечении двух параллельных прямых секущей, равна 104�. Вычислитеградусные меры внутренних односторонних углов.
С#12 Вариант 5
1. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов с вершиной в точке A пересе�кают прямую b в точках P и T. Градусная мера острого угла с вершинойв точке B равна 40�. Вычислите градусные меры углов треугольникаAPT.
2. На рисунках 83, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 . Точка K лежит на ребре BC, точка F – на луче СС1,
73
аа бб
AA
BB CC
OO
DD
PP
FF
EE
AA
BB CC
OO
DD
PP
FF
EE
Рис. 82
FF
AA A
P
BB B
F
CC
P
KK KC
А1А1
В1
C1C1 C1А1
В1
аа бб
Рис. 83
CC C F1 1� , лучи FP и C K1 – биссектрисы углов B FC1 1 и BC C1 соответ�ственно. Докажите, что прямые PF иC K1 параллельны.
3. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в два разабольше суммы градусных мер двух соответственных углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.
С#12 Вариант 6
1. Прямая b пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке C пересекаетпрямую d в точке K, а биссектриса угла CKD пересекает прямую cв точке F. Вычислите градусные меры углов треугольника FCK, если� � �CDK 80 .
2. На рисунках 84, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , боковая грань BB C C1 1 которой является квадратом. ТочкаK лежит на ребре BB1 , а точка P – на луче B B1 , причем BP B K� 1 ,лучи KF и PO – биссектрисы углов B KC1 1 и BPC соответственно. До�кажите, что прямые KF и PO параллельны.
3. Градусная мера одного из соответственных углов, образованных припересечении двух параллельных прямых секущей, в семь раз меньшеразности градусных мер внутренних односторонних углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.
74
F
PP
A A
P
BB B OOO
KK
CC
F
KC
А1А1
В1В1 C1C1
А1
C1В1
аа бб
Рис. 84
Контрольная работа № 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
К#3 Вариант 1
1. Отрезок BF – высота треугольника ABC. Точка O лежит на сторонеBC, отрезок OP – высота треугольника FOC (рис. 85, а). Являются липрямые BF иOP параллельными?
2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка BC,а точка F – точка пересечения прямых AO и DC. Вычислите градуснуюмеру угла FOC, если � � �BAO 40 .
3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD прямоугольни�ка ABCD (рис. 85, б). Прямая АС проходит через точку O – серединуотрезка KF. Докажите, что AKO CFO� .
4. На рисунке 85, в DK || AC, AC � BC, луч DF – биссектриса угла ADK.Докажите, что DF || BC, если известно, что � � �ABC 60 .
5. Через точку M биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллель�ная прямой AB и пересекающая луч BC в точке K . Вычислите градус�ные меры углов треугольника BMK, если � � �ABC 94 .
75
FA
O
B
P A
D
CF
B
K
аа ввбб
AA
KK
BB CC
FF
DD
OO
CC
Рис. 85
CC C F1 1� , лучи FP и C K1 – биссектрисы углов B FC1 1 и BC C1 соответ�ственно. Докажите, что прямые PF иC K1 параллельны.
3. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в два разабольше суммы градусных мер двух соответственных углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.
С#12 Вариант 6
1. Прямая b пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке C пересекаетпрямую d в точке K, а биссектриса угла CKD пересекает прямую cв точке F. Вычислите градусные меры углов треугольника FCK, если� � �CDK 80 .
2. На рисунках 84, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , боковая грань BB C C1 1 которой является квадратом. ТочкаK лежит на ребре BB1 , а точка P – на луче B B1 , причем BP B K� 1 ,лучи KF и PO – биссектрисы углов B KC1 1 и BPC соответственно. До�кажите, что прямые KF и PO параллельны.
3. Градусная мера одного из соответственных углов, образованных припересечении двух параллельных прямых секущей, в семь раз меньшеразности градусных мер внутренних односторонних углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.
74
F
PP
A A
P
BB B OOO
KK
CC
F
KC
А1А1
В1В1 C1C1
А1
C1В1
аа бб
Рис. 84
Контрольная работа № 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
К#3 Вариант 1
1. Отрезок BF – высота треугольника ABC. Точка O лежит на сторонеBC, отрезок OP – высота треугольника FOC (рис. 85, а). Являются липрямые BF иOP параллельными?
2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка BC,а точка F – точка пересечения прямых AO и DC. Вычислите градуснуюмеру угла FOC, если � � �BAO 40 .
3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD прямоугольни�ка ABCD (рис. 85, б). Прямая АС проходит через точку O – серединуотрезка KF. Докажите, что AKO CFO� .
4. На рисунке 85, в DK || AC, AC � BC, луч DF – биссектриса угла ADK.Докажите, что DF || BC, если известно, что � � �ABC 60 .
5. Через точку M биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллель�ная прямой AB и пересекающая луч BC в точке K . Вычислите градус�ные меры углов треугольника BMK, если � � �ABC 94 .
75
FA
O
B
P A
D
CF
B
K
аа ввбб
AA
KK
BB CC
FF
DD
OO
CC
Рис. 85
К#3 Вариант 2
1. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OF – вы�сота треугольника AOD (рис. 86, а). Являются ли прямые AB и OF па�ралельными?
2. ABCD – квадрат. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, а точ�ка O – точка пересечения прямых AF и BC. Вычислите градуснуюмеру угла BOF, если � � �BAF 70 .
3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АD и BC прямоугольни�ка ABCD (рис. 86, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POD TOB� .
4. На рисунке 86, в AС � ВС, лучи AP и FD – биссектрисы углов BACи KFC соответственно. Докажите, что AP || FD, если известно, что� � �ABC 40 , � � �AFK 140 .
5. Через точку F биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника APF, если � � �FAC 20 .
К#3 Вариант 3
1. Отрезок BO – высота треугольника ABC. Точка F лежит на стороне BC,отрезок FT – высота треугольника BOF (рис. 87, а). Являются ли пря�мыеTF иOC параллельными?
2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка AD,� � �BCO OCD. Прямые CO и AB пересекаются в точке T. Вычислитеградусную меру углаTOA.
76
F
P
A A
D
C B
D
O
B
F
K
C
аа ввбб
AA PP
BB CCTT
DD
OO
Рис. 86
3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах ВC и AD прямоугольникаABCD (рис. 87, б). Прямая АС проходит через середину отрезка KF –точку O. Докажите, что AOF COK� .
4. На рисунке 87, в АВ � АC, лучи BF и DP – биссектрисы углов ABC и ADFсоответственно. Докажите, что BF || DP, если известно, что � � �ACB 50 ,а � � �FDB 130 .
5. Через точку T биссектрисы угла BCA проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч CB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника CPT, если градусная мера угла, смежногос углом CPT, равна50�.
К#3 Вариант 4
1. Точка F лежит на стороне BC прямоугольника ABCD. Отрезок OF –высота треугольника AFD (рис. 88, а). Являются ли прямые FO и CDпараллельными?
77
CA
T
O
B
F
аа ввбб
OO
CFPA
D
B
AA FF DD
CCKKBB
Рис. 87
F
A DO
B С
аа ввбб
C F
P
A
K
B
OO
AA
TT
DD
CC
PP
BB
Рис. 88
К#3 Вариант 2
1. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OF – вы�сота треугольника AOD (рис. 86, а). Являются ли прямые AB и OF па�ралельными?
2. ABCD – квадрат. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, а точ�ка O – точка пересечения прямых AF и BC. Вычислите градуснуюмеру угла BOF, если � � �BAF 70 .
3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АD и BC прямоугольни�ка ABCD (рис. 86, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POD TOB� .
4. На рисунке 86, в AС � ВС, лучи AP и FD – биссектрисы углов BACи KFC соответственно. Докажите, что AP || FD, если известно, что� � �ABC 40 , � � �AFK 140 .
5. Через точку F биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника APF, если � � �FAC 20 .
К#3 Вариант 3
1. Отрезок BO – высота треугольника ABC. Точка F лежит на стороне BC,отрезок FT – высота треугольника BOF (рис. 87, а). Являются ли пря�мыеTF иOC параллельными?
2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка AD,� � �BCO OCD. Прямые CO и AB пересекаются в точке T. Вычислитеградусную меру углаTOA.
76
F
P
A A
D
C B
D
O
B
F
K
C
аа ввбб
AA PP
BB CCTT
DD
OO
Рис. 86
3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах ВC и AD прямоугольникаABCD (рис. 87, б). Прямая АС проходит через середину отрезка KF –точку O. Докажите, что AOF COK� .
4. На рисунке 87, в АВ � АC, лучи BF и DP – биссектрисы углов ABC и ADFсоответственно. Докажите, что BF || DP, если известно, что � � �ACB 50 ,а � � �FDB 130 .
5. Через точку T биссектрисы угла BCA проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч CB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника CPT, если градусная мера угла, смежногос углом CPT, равна50�.
К#3 Вариант 4
1. Точка F лежит на стороне BC прямоугольника ABCD. Отрезок OF –высота треугольника AFD (рис. 88, а). Являются ли прямые FO и CDпараллельными?
77
CA
T
O
B
F
аа ввбб
OO
CFPA
D
B
AA FF DD
CCKKBB
Рис. 87
F
A DO
B С
аа ввбб
C F
P
A
K
B
OO
AA
TT
DD
CC
PP
BB
Рис. 88
2. ABCD – квадрат. Точка P – внутренняя точка отрезка DC, а точка T –точка пересечения прямых BP и AD. Вычислите градусную меру углаPTA, если � � �ABP 50 .
3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АВ и СD прямоугольни�ка ABCD (рис. 88, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POB TOD� .
4. На рисунке 88, в АС � ВC, лучи AP и FK – биссектрисы углов BACи PFC соответственно. Докажите, что AP || FK, если известно, что� � �BAC 80 , � � �BPF 100 .
5. Через точку O биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллельнаяпрямой BC и пересекающая луч BA в точке F. Вычислите градусныемеры углов треугольника BFO, если градусная мера угла, смежногос углом FOB, равна160�.
К#3 Вариант 5
1. На рисунке 89, а прямые AC и KF перпендикулярны прямой CB, отрез�ки CF и KP – медианы треугольников ACB и FKB соответственно. До�кажите, чтоCF || KP.
2. На рисунке 89, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,S, T и P лежат на ребрах AA BB AB1 1, , и A B1 1 соответственно, B F AS1 || ,O PT B F� � 1 , E PT AS� � ,OP ET� . Докажите, что AET B OP� 1 .
3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке F, OP AC P AC� �( ). Вычис�лите градусные меры углов треугольника AFO, если � � �AOP PAO2 .
78
F
P
AAA
PP
E
BK
B
O
FF S
T
CА1А1
В1В1
аа бб
Рис. 89
К#3 Вариант 6
1. На рисунке 90, а отрезок BK – медиана равнобедренного треугольни�ка ABC с основанием AC, прямая FP – серединный перпендикулярк отрезку BK, отрезки FE и KD – биссектрисы треугольников PFKи FKAсоответственно. Докажите, что FE || DK .
2. На рисунке 90, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки K,M, P, E лежат на ребрах BB1 , B C1 1 , CC1 и BC соответственно, BM C E|| 1 ,O KP BM F KP C E KO FP� � �� �, ,1 . Докажите, что KOB PFC� 1 .
3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P, F AC� , AO OF� . Вы�числите градусные меры углов треугольника AOF, если � � �APO 120 .
79
PP
EEBB
OF
M
CC
B
FD
A
K
C
EP
В1
C1C1
К
аа бб
Рис. 90
2. ABCD – квадрат. Точка P – внутренняя точка отрезка DC, а точка T –точка пересечения прямых BP и AD. Вычислите градусную меру углаPTA, если � � �ABP 50 .
3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АВ и СD прямоугольни�ка ABCD (рис. 88, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POB TOD� .
4. На рисунке 88, в АС � ВC, лучи AP и FK – биссектрисы углов BACи PFC соответственно. Докажите, что AP || FK, если известно, что� � �BAC 80 , � � �BPF 100 .
5. Через точку O биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллельнаяпрямой BC и пересекающая луч BA в точке F. Вычислите градусныемеры углов треугольника BFO, если градусная мера угла, смежногос углом FOB, равна160�.
К#3 Вариант 5
1. На рисунке 89, а прямые AC и KF перпендикулярны прямой CB, отрез�ки CF и KP – медианы треугольников ACB и FKB соответственно. До�кажите, чтоCF || KP.
2. На рисунке 89, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,S, T и P лежат на ребрах AA BB AB1 1, , и A B1 1 соответственно, B F AS1 || ,O PT B F� � 1 , E PT AS� � ,OP ET� . Докажите, что AET B OP� 1 .
3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке F, OP AC P AC� �( ). Вычис�лите градусные меры углов треугольника AFO, если � � �AOP PAO2 .
78
F
P
AAA
PP
E
BK
B
O
FF S
T
CА1А1
В1В1
аа бб
Рис. 89
К#3 Вариант 6
1. На рисунке 90, а отрезок BK – медиана равнобедренного треугольни�ка ABC с основанием AC, прямая FP – серединный перпендикулярк отрезку BK, отрезки FE и KD – биссектрисы треугольников PFKи FKAсоответственно. Докажите, что FE || DK .
2. На рисунке 90, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки K,M, P, E лежат на ребрах BB1 , B C1 1 , CC1 и BC соответственно, BM C E|| 1 ,O KP BM F KP C E KO FP� � �� �, ,1 . Докажите, что KOB PFC� 1 .
3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P, F AC� , AO OF� . Вы�числите градусные меры углов треугольника AOF, если � � �APO 120 .
79
PP
EEBB
OF
M
CC
B
FD
A
K
C
EP
В1
C1C1
К
аа бб
Рис. 90
Самостоятельная работа № 13
СУММА ГРАДУСНЫХ МЕРУГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА
С#13 Вариант 1
1. АВС – треугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС. Верноли, что � � � � �APB PBC PCB?
2. Точки K и F лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC так, чтоBK BF KF� � (рис. 91, а, б). Является ли треугольник KFC тупоуголь�ным? Ответ поясните.
3. Точка F лежит на ребре A B1 1 прямой треугольной призмы (рис. 91, в).а) Какой из углов – FAB или B FA1 – является внешним углом тре�угольника FAA1 ? б) Вычислите градусную меру угла FAA1 , если� � �AFA1 84 .
4. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АТС, если известно, что AT BT� и � � �ABC 20 .
5. Градусная мера одного из внешних углов треугольника равна 120�,а разность градусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна30�. Вычислите градусные меры углов треугольника.
80
аа ввбб
FF
AA A
BB
KK
B F
CC
F
K C
В1
А1
AA
BB
Рис. 91
С#13 Вариант 2
1. АВС – треугольник. Точка Т – внутренняя точка отрезка ВС. Верноли, что � � � � �ATB TAC TCA?
2. Точки K и F лежат на сторонах BC и AC треугольника ABC так, чтоCK KF� и FK || AB (рис. 92, а, б). Известно, что � � �ABC 70 . Являетсяли треугольник KFC остроугольным? Ответ поясните.
3. Точка D лежит на ребре BB1 прямой треугольной призмы (рис. 92, в).а) Какой из углов – DC C1 или C DB1 – является внешним углом тре�угольника DB C1 1 ? б) Вычислите градусную меру угла B DC1 1 , если� � �B C D1 1 32 .
4. Отрезок ВР – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АВР, если известно, что BP PC�
и � � �PBC 30 .
5. Градусная мера внешнего угла треугольника ABC при вершине С равна140�, а � � � � �A B 20 . Вычислите градусные меры углов треугольникаАВС.
С#13 Вариант 3
1. АВС – треугольник. Точка О – внутренняя точка отрезка АВ. Верноли, что � � � � �BOC OAC OCA?
2. Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, точка F лежит на сто�роне AB и BF DF� (рис. 93, а, б). Известно, что � � �ABC 100 . Явля�ется ли треугольник AFD тупоугольным? Ответ поясните.
81
аа ввбб
AA
BB
KK
BFF
D
CC A
B
C
K
F C
В1 C1
Рис. 92
Самостоятельная работа № 13
СУММА ГРАДУСНЫХ МЕРУГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА
С#13 Вариант 1
1. АВС – треугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС. Верноли, что � � � � �APB PBC PCB?
2. Точки K и F лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC так, чтоBK BF KF� � (рис. 91, а, б). Является ли треугольник KFC тупоуголь�ным? Ответ поясните.
3. Точка F лежит на ребре A B1 1 прямой треугольной призмы (рис. 91, в).а) Какой из углов – FAB или B FA1 – является внешним углом тре�угольника FAA1 ? б) Вычислите градусную меру угла FAA1 , если� � �AFA1 84 .
4. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АТС, если известно, что AT BT� и � � �ABC 20 .
5. Градусная мера одного из внешних углов треугольника равна 120�,а разность градусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна30�. Вычислите градусные меры углов треугольника.
80
аа ввбб
FF
AA A
BB
KK
B F
CC
F
K C
В1
А1
AA
BB
Рис. 91
С#13 Вариант 2
1. АВС – треугольник. Точка Т – внутренняя точка отрезка ВС. Верноли, что � � � � �ATB TAC TCA?
2. Точки K и F лежат на сторонах BC и AC треугольника ABC так, чтоCK KF� и FK || AB (рис. 92, а, б). Известно, что � � �ABC 70 . Являетсяли треугольник KFC остроугольным? Ответ поясните.
3. Точка D лежит на ребре BB1 прямой треугольной призмы (рис. 92, в).а) Какой из углов – DC C1 или C DB1 – является внешним углом тре�угольника DB C1 1 ? б) Вычислите градусную меру угла B DC1 1 , если� � �B C D1 1 32 .
4. Отрезок ВР – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АВР, если известно, что BP PC�
и � � �PBC 30 .
5. Градусная мера внешнего угла треугольника ABC при вершине С равна140�, а � � � � �A B 20 . Вычислите градусные меры углов треугольникаАВС.
С#13 Вариант 3
1. АВС – треугольник. Точка О – внутренняя точка отрезка АВ. Верноли, что � � � � �BOC OAC OCA?
2. Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, точка F лежит на сто�роне AB и BF DF� (рис. 93, а, б). Известно, что � � �ABC 100 . Явля�ется ли треугольник AFD тупоугольным? Ответ поясните.
81
аа ввбб
AA
BB
KK
BFF
D
CC A
B
C
K
F C
В1 C1
Рис. 92
3. Точка K лежит на ребре ВВ1 прямой треугольной призмы (рис. 93, в).а) Какой из углов – AKB1 или A AK1 – является внешним углом тре�угольника AKB? б) Вычислите градусную меру угла AKB, если� � �KAB 15 .
4. Отрезок СМ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градус�ные меры углов треугольника МАС, если известно, что BM CM�
и � � �BMC 80 .
5. Градусная мера внешнего угла треугольника MKP при вершине P рав�на 75�, а � � �K M2 . Вычислите градусные меры углов треугольникаMKP.
С#13 Вариант 4
1. АТР – треугольник. Точка В – внутренняя точка отрезка АР. Верноли, что � � � � �TBA BTP TPB?
82
F
DA AA
B
E
O
FFC
EE
BB
O
CF
A
CC
DD
l ll
C1 А1
аа ввбб
Рис. 94
аа ввбб
DD
K
B
CC A
BB
FF
AA DC
B
F
A
В1В1
А1А1
Рис. 93
2. На рисунках 94, а, б отрезки CB и DA перпендикулярны прямой l, лучиAF и BE – биссектрисы углов BAD и ABC соответственно, O AF BE� � .Является ли треугольник AOE прямоугольным? Ответ поясните.
3. Точка F лежит на ребре AC прямой треугольной призмы (рис. 94, в).а) Какой из углов – FA C1 1 или A FC1 – является внешним углом тре�угольника AA F1 ? б) Вычислите градусную меру угла A FA1 , если� � �AA F1 40 .
4. Отрезок ТО – биссектриса треугольника АВТ. Вычислите градусные мерыуглов треугольника ВОТ, если известно, что AO OT� и � � �ATB 60 .
5. Градусная мера внешнего угла треугольника равна 115�, а разностьградусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна15�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника.
С#13 Вариант 5
1. На рисунках 95, а, б AB BC AC� � , K AC� , F AC� , AK AB� , CF CB� .Является ли треугольник KBF тупоугольным?
2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABC 90 . Отрезок BK – биссектриса треугольникаABC, � � �BCA 10 . Вычислите градусную меру угла BKA(рис. 95, в).
3. Градусная мера одного из внешних углов равнобедренного треугольни�ка равна 100�. Какими могут быть градусные меры углов этого тре�угольника? Какой должна быть градусная мера внешнего угла, чтобызадача имела одно решение?
83
FFAA A
B
KK
B
CC
BB
C FK
A K C
аа ввбб
Рис. 95
3. Точка K лежит на ребре ВВ1 прямой треугольной призмы (рис. 93, в).а) Какой из углов – AKB1 или A AK1 – является внешним углом тре�угольника AKB? б) Вычислите градусную меру угла AKB, если� � �KAB 15 .
4. Отрезок СМ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градус�ные меры углов треугольника МАС, если известно, что BM CM�
и � � �BMC 80 .
5. Градусная мера внешнего угла треугольника MKP при вершине P рав�на 75�, а � � �K M2 . Вычислите градусные меры углов треугольникаMKP.
С#13 Вариант 4
1. АТР – треугольник. Точка В – внутренняя точка отрезка АР. Верноли, что � � � � �TBA BTP TPB?
82
F
DA AA
B
E
O
FFC
EE
BB
O
CF
A
CC
DD
l ll
C1 А1
аа ввбб
Рис. 94
аа ввбб
DD
K
B
CC A
BB
FF
AA DC
B
F
A
В1В1
А1А1
Рис. 93
2. На рисунках 94, а, б отрезки CB и DA перпендикулярны прямой l, лучиAF и BE – биссектрисы углов BAD и ABC соответственно, O AF BE� � .Является ли треугольник AOE прямоугольным? Ответ поясните.
3. Точка F лежит на ребре AC прямой треугольной призмы (рис. 94, в).а) Какой из углов – FA C1 1 или A FC1 – является внешним углом тре�угольника AA F1 ? б) Вычислите градусную меру угла A FA1 , если� � �AA F1 40 .
4. Отрезок ТО – биссектриса треугольника АВТ. Вычислите градусные мерыуглов треугольника ВОТ, если известно, что AO OT� и � � �ATB 60 .
5. Градусная мера внешнего угла треугольника равна 115�, а разностьградусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна15�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника.
С#13 Вариант 5
1. На рисунках 95, а, б AB BC AC� � , K AC� , F AC� , AK AB� , CF CB� .Является ли треугольник KBF тупоугольным?
2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABC 90 . Отрезок BK – биссектриса треугольникаABC, � � �BCA 10 . Вычислите градусную меру угла BKA(рис. 95, в).
3. Градусная мера одного из внешних углов равнобедренного треугольни�ка равна 100�. Какими могут быть градусные меры углов этого тре�угольника? Какой должна быть градусная мера внешнего угла, чтобызадача имела одно решение?
83
FFAA A
B
KK
B
CC
BB
C FK
A K C
аа ввбб
Рис. 95
С#13 Вариант 6
1. На рисунках 96, а, б AB BC AC� � , D AC� , BC CD� , K BC� , BC CK� .Является ли треугольник BDK прямоугольным?
2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABС 90 . Отрезок BF – биссектриса треугольникаABC, а � � �BAC 20 . Вычислите градусную меру угла BFС (рис. 96, в).
3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB градусная мераодного из углов равна 30�. Чему может быть равна градусная меравнешнего угла треугольника при вершине С? Какой должна быть гра�дусная мера внутреннего угла треугольника, чтобы задача имела однорешение?
84
DDAA A
B
KK
BCC
BB
F
C
K
D
A C
аа ввбб
Рис. 96
Самостоятельная работа № 14
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
С#14 Вариант 1
1. Длины сторон треугольника равны:а) 2 см; 3 см; 5 см;б) 3 см; 5 см; 9 см;в) 7 см; 8 см; 9 см.Выберите правильный ответ.
2. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� .Известно, что � � �FCA 40 . а) Сравните углы AFC и ACB. б) Сравнитеотрезки AF и AC.
3. Точки O и K лежат на ребрах CB и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC, проходит через вершину Aи параллельна прямой CB (рис. 97, а). Прямые OK и l пересекаютсяв точке F (рис. 97, б, в). Докажите, что треугольник FAK – равнобед�ренный, если известно, что � � �KAF 40 и � � �COK 140 .
4. В равнобедренном треугольнике длины двух сторон равны 6 см и 12 см.Чему равна длина основания этого треугольника?
5. Отрезок СТ – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку Т и пересекает сторону АС в точке Р. Вычислите периметр тре�угольника АТР, если известно, что AB � 7см и PC � 4см.
85
lA A
OB
F
CK
BK
OCl
C1
А1
В1C1
А1
В1
аа бб вв
A F
OO BBCC
KK l
Рис. 97
С#13 Вариант 6
1. На рисунках 96, а, б AB BC AC� � , D AC� , BC CD� , K BC� , BC CK� .Является ли треугольник BDK прямоугольным?
2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABС 90 . Отрезок BF – биссектриса треугольникаABC, а � � �BAC 20 . Вычислите градусную меру угла BFС (рис. 96, в).
3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB градусная мераодного из углов равна 30�. Чему может быть равна градусная меравнешнего угла треугольника при вершине С? Какой должна быть гра�дусная мера внутреннего угла треугольника, чтобы задача имела однорешение?
84
DDAA A
B
KK
BCC
BB
F
C
K
D
A C
аа ввбб
Рис. 96
Самостоятельная работа № 14
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
С#14 Вариант 1
1. Длины сторон треугольника равны:а) 2 см; 3 см; 5 см;б) 3 см; 5 см; 9 см;в) 7 см; 8 см; 9 см.Выберите правильный ответ.
2. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� .Известно, что � � �FCA 40 . а) Сравните углы AFC и ACB. б) Сравнитеотрезки AF и AC.
3. Точки O и K лежат на ребрах CB и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC, проходит через вершину Aи параллельна прямой CB (рис. 97, а). Прямые OK и l пересекаютсяв точке F (рис. 97, б, в). Докажите, что треугольник FAK – равнобед�ренный, если известно, что � � �KAF 40 и � � �COK 140 .
4. В равнобедренном треугольнике длины двух сторон равны 6 см и 12 см.Чему равна длина основания этого треугольника?
5. Отрезок СТ – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку Т и пересекает сторону АС в точке Р. Вычислите периметр тре�угольника АТР, если известно, что AB � 7см и PC � 4см.
85
lA A
OB
F
CK
BK
OCl
C1
А1
В1C1
А1
В1
аа бб вв
A F
OO BBCC
KK l
Рис. 97
С#14 Вариант 2
1. Длины сторон треугольника равны:а) 3 см; 2 см; 6 см; б) 2 см; 2 см; 3 см;в) 1 см; 2 см; 3 см.Выберите правильный ответ.
2. Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �АDB 80 и � � �CAD 36 . а) Сравните углы ADC и ACB. б) Сравнитеотрезки AD и DC.
3. Точки F и O лежат на ребрах A B1 1 и B C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходит че�рез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 98, а). Прямые FO и lпересекаются в точке K (рис. 98, б, в). Докажите, что треугольник C OK1 –равнобедренный, если известно, что � � �A FO1 130 и � � �C OK1 50 .
4. В равнобедренном треугольнике длины двух его сторон равны 5 сми 11 см. Чему равна длина боковой стороны этого треугольника?
5. Отрезок АО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АС треугольника, проходит через точкуО и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр треуголь�
ника ВОМ, если известно, что BC � 9см и AM AB�
13
.
С#14 Вариант 3
1. Длины сторон треугольника равны:а) 3 см; 4 см; 8 см; б) 3 см; 4 см; 5 см;в) 3 см; 3 см; 6 см.Выберите правильный ответ.
86
F
AA
B
O
B
OF
C
K
C
А1
В1
C1А1
В1
C1
l l
аа бб вв
OF
А1
В1
C1
l
K
Рис. 98
2. В треугольнике ABC АCB� � �53 . Точка P – внутренняя точка отрезкаBC. Известно, что треугольник ABP является равносторонним. а) Срав�ните углы PAC и ACB. б) Сравните отрезки AP иCP.
3. Точки O и P лежат на ребрах A B1 1 и A C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходитчерез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 99, а). Прямые lи OP пересекаются в точке F (рис. 99, б, в). Докажите, что треуголь�ник PFC1 – равнобедренный, если известно, что � � �C FP C A B1 1 1 1 .
4. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны больше длиныдругой стороны на 4 см, а сумма их длин равна 10 см. Чему равна дли�на основания этого треугольника?
5. Отрезок ВР – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АВ треугольника, проходит через точкуР и пересекает сторону ВС в точке О. Вычислите периметр треугольникаРОС, если известно, что точка О – середина отрезка ВС и AC � 8 см.
С#14 Вариант 4
1. Длины сторон треугольника равны:а) 1 см; 3 см; 5 см; б) 3 см; 3 см; 5 см;в) 5 см; 4 см; 9 см.Выберите правильный ответ.
2. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �OAB 30 , � � �AOC 65 . а) Сравните углы ABC и AOB. б) Сравнитеотрезки AO и BO.
87
O
A A
PP
B
O
F
B
C C
l l
А1
C1
В1 А1
C1
В1
аа бб вв
PO
F l
А1
C1
В1
Рис. 99
С#14 Вариант 2
1. Длины сторон треугольника равны:а) 3 см; 2 см; 6 см; б) 2 см; 2 см; 3 см;в) 1 см; 2 см; 3 см.Выберите правильный ответ.
2. Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �АDB 80 и � � �CAD 36 . а) Сравните углы ADC и ACB. б) Сравнитеотрезки AD и DC.
3. Точки F и O лежат на ребрах A B1 1 и B C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходит че�рез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 98, а). Прямые FO и lпересекаются в точке K (рис. 98, б, в). Докажите, что треугольник C OK1 –равнобедренный, если известно, что � � �A FO1 130 и � � �C OK1 50 .
4. В равнобедренном треугольнике длины двух его сторон равны 5 сми 11 см. Чему равна длина боковой стороны этого треугольника?
5. Отрезок АО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АС треугольника, проходит через точкуО и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр треуголь�
ника ВОМ, если известно, что BC � 9см и AM AB�
13
.
С#14 Вариант 3
1. Длины сторон треугольника равны:а) 3 см; 4 см; 8 см; б) 3 см; 4 см; 5 см;в) 3 см; 3 см; 6 см.Выберите правильный ответ.
86
F
AA
B
O
B
OF
C
K
C
А1
В1
C1А1
В1
C1
l l
аа бб вв
OF
А1
В1
C1
l
K
Рис. 98
2. В треугольнике ABC АCB� � �53 . Точка P – внутренняя точка отрезкаBC. Известно, что треугольник ABP является равносторонним. а) Срав�ните углы PAC и ACB. б) Сравните отрезки AP иCP.
3. Точки O и P лежат на ребрах A B1 1 и A C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходитчерез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 99, а). Прямые lи OP пересекаются в точке F (рис. 99, б, в). Докажите, что треуголь�ник PFC1 – равнобедренный, если известно, что � � �C FP C A B1 1 1 1 .
4. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны больше длиныдругой стороны на 4 см, а сумма их длин равна 10 см. Чему равна дли�на основания этого треугольника?
5. Отрезок ВР – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АВ треугольника, проходит через точкуР и пересекает сторону ВС в точке О. Вычислите периметр треугольникаРОС, если известно, что точка О – середина отрезка ВС и AC � 8 см.
С#14 Вариант 4
1. Длины сторон треугольника равны:а) 1 см; 3 см; 5 см; б) 3 см; 3 см; 5 см;в) 5 см; 4 см; 9 см.Выберите правильный ответ.
2. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �OAB 30 , � � �AOC 65 . а) Сравните углы ABC и AOB. б) Сравнитеотрезки AO и BO.
87
O
A A
PP
B
O
F
B
C C
l l
А1
C1
В1 А1
C1
В1
аа бб вв
PO
F l
А1
C1
В1
Рис. 99
3. Точки O и F лежат на ребрах AC и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости ABC, проходит через вершину C и па�раллельна прямой AB (рис. 100, а). Прямые l и OF пересекаютсяв точке K (рис. 100, б, в). Докажите, что треугольник KOC – равно�бедренный, если � � �CKO CAF.
4. В равнобедренном треугольнике, периметр которого равен 28 см, дли�на одной стороны на 7 см меньше длины другой стороны. Чему равнадлина боковой стороны этого треугольника?
5. Отрезок ВО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку О и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр тре�угольника АОМ, если известно, чтоOC � 6см и AB � 10см.
С#14 Вариант 5
1. В треугольнике ABC AB BC� , � � �ABC 20 . Точка F – внутренняяточка отрезка BC, а точка E лежит на луче AF, AC CE� . а) Сравнитеотрезки AB и CE. б) Сравните углы CBE и BEC.
2. На рисунке 101, а изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 , осно�ванием которой является равнобедренный прямоугольный треуголь�ник ABC с прямым углом при вершине B, отрезок BO – биссектрисаэтого треугольника. Прямая a, лежащая в плоскости грани ABC, про�ходит через вершину C и параллельна прямой AB (рис. 101, а). Пря�мые a и BO пересекаются в точке F (рис. 101, б). Докажите, что тре�угольник FOC – равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны в два раза мень�ше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторон больше –боковой стороны или основания.
88
F
A A
B
O
B
O
F
C Cl l
А1 C1
В1
А1 C1
В1
К
аа бб вв
C
ll
KK
OOAA
BB
F
Рис. 100
С#14 Вариант 6
1. ACF – равносторонний треугольник. Точка D – внутренняя точка от�резка CF, а точка B лежит на луче AD так, что � � �ACB 90 . а) Сравни�те отрезки AB и AF. б) Сравните углы AFB и FBA.
2. Точки O и F лежат на ребрах AB и AC треугольной призмы, основани�ем которой является равносторонний треугольник ABC, прямая OFпараллельна прямой BC. Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC,проходит через вершину B и параллельна прямой AC (рис. 102, а).Прямые l и OF пересекаются в точке P (рис. 102, б). Докажите, чтотреугольник POB – равносторонний.
3. В равнобедренном треугольнике длина одной из сторон в три разабольше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторонменьше – основания или боковой стороны.
89
A A
B B
O
F
C O C
a
А1 C1
В1
А1 C1
В1
a
аа бб
Рис. 101
A
B BO
P
CA O C
ll
F F
аа бб
Рис. 102
3. Точки O и F лежат на ребрах AC и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости ABC, проходит через вершину C и па�раллельна прямой AB (рис. 100, а). Прямые l и OF пересекаютсяв точке K (рис. 100, б, в). Докажите, что треугольник KOC – равно�бедренный, если � � �CKO CAF.
4. В равнобедренном треугольнике, периметр которого равен 28 см, дли�на одной стороны на 7 см меньше длины другой стороны. Чему равнадлина боковой стороны этого треугольника?
5. Отрезок ВО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку О и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр тре�угольника АОМ, если известно, чтоOC � 6см и AB � 10см.
С#14 Вариант 5
1. В треугольнике ABC AB BC� , � � �ABC 20 . Точка F – внутренняяточка отрезка BC, а точка E лежит на луче AF, AC CE� . а) Сравнитеотрезки AB и CE. б) Сравните углы CBE и BEC.
2. На рисунке 101, а изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 , осно�ванием которой является равнобедренный прямоугольный треуголь�ник ABC с прямым углом при вершине B, отрезок BO – биссектрисаэтого треугольника. Прямая a, лежащая в плоскости грани ABC, про�ходит через вершину C и параллельна прямой AB (рис. 101, а). Пря�мые a и BO пересекаются в точке F (рис. 101, б). Докажите, что тре�угольник FOC – равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны в два раза мень�ше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторон больше –боковой стороны или основания.
88
F
A A
B
O
B
O
F
C Cl l
А1 C1
В1
А1 C1
В1
К
аа бб вв
C
ll
KK
OOAA
BB
F
Рис. 100
С#14 Вариант 6
1. ACF – равносторонний треугольник. Точка D – внутренняя точка от�резка CF, а точка B лежит на луче AD так, что � � �ACB 90 . а) Сравни�те отрезки AB и AF. б) Сравните углы AFB и FBA.
2. Точки O и F лежат на ребрах AB и AC треугольной призмы, основани�ем которой является равносторонний треугольник ABC, прямая OFпараллельна прямой BC. Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC,проходит через вершину B и параллельна прямой AC (рис. 102, а).Прямые l и OF пересекаются в точке P (рис. 102, б). Докажите, чтотреугольник POB – равносторонний.
3. В равнобедренном треугольнике длина одной из сторон в три разабольше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторонменьше – основания или боковой стороны.
89
A A
B B
O
F
C O C
a
А1 C1
В1
А1 C1
В1
a
аа бб
Рис. 101
A
B BO
P
CA O C
ll
F F
аа бб
Рис. 102
Самостоятельная работа № 15
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА И СВОЙСТВАПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С#15 Вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ТАВ � � �TAB 90 , TB AB� 2 . Назовитеугол треугольника ТАВ, градусная мера которого равна30�.
2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что AТ PC� и BT � 3 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.
3. На рисунках 103, а, б изображен прямоугольный параллелепипед.Точки A и В лежат на ребрах DD1 и СC1 соответственно. Из точек D1
и C проведены перпендикуляры D P1 и CK к отрезку AB, причемD P CK1 � . Докажите, что POD KOC1 � .
4. В прямоугольном треугольнике АВС � � �ABC 90 , � � �BAC 60 . ТочкаО – середина отрезка АС. Отрезки ОР и ВН – высоты треугольниковВОС и АОВ соответственно. Докажите, что OP AH� .
5. В прямоугольном треугольнике АВС � � �АBС 90 , � � �ACB 30 . Вычис�лите длины сторон AB и AC, если AB AC� � 18см.
90
BB
O
K
C1C1
аа бб
АА
DD CC
P
BB
O
K
C1C1
АА
DD CC
D1D1
P
D1D1
Рис. 103
С#15 Вариант 2
1. В прямоугольном треугольнике СОВ � � �OCB 90 , OB OC� 2 . Назовитеугол треугольника СОВ, градусная мера которого равна30�.
2. АВСD – прямоугольник. Точки О и М – внутренние точки отрезковАВ и СD соответственно. Известно, что BM OD� и AO � 1 см. Чемуравна длина отрезка СМ? Ответ поясните.
3. На рисунках 104, а, б изображена прямая треугольная призма. Точки Fи P лежат на ребрах AA1 и BB1 соответственно так, что при этомA F BP1 � и � � � � �A FO OPB1 90 . Отрезки FP и A B1 пересекаютсяв точкеO. Докажите, что A FO BPO1 � .
4. В прямоугольнике АВСD O AC BD� � . Треугольник АОВ — равносто�ронний. Отрезки OT и BP – высоты треугольников ВОС и АОВ соот�ветственно. Докажите, что OT AP� .
5. В прямоугольном треугольнике MKT � � �MKT 90 , � � �KMT 60 . Вы�числите длины сторон MK и MT, если MT MK� � 6см.
С#15 Вариант 3
1. В прямоугольном треугольнике ТКВ � � �TBK 90 , TK BK� 2 . Назовитеугол треугольника ТКВ, градусная мера которого равна30�.
2. АВСD – прямоугольник. Точки О и Т – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что BT OD� и OC � 4 см. Чему равнадлина отрезка АТ? Ответ поясните.
91
AA ABB B
O FFF P O P
А1А1В1
А1В1
аа бб
Рис. 104
Самостоятельная работа № 15
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА И СВОЙСТВАПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
С#15 Вариант 1
1. В прямоугольном треугольнике ТАВ � � �TAB 90 , TB AB� 2 . Назовитеугол треугольника ТАВ, градусная мера которого равна30�.
2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что AТ PC� и BT � 3 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.
3. На рисунках 103, а, б изображен прямоугольный параллелепипед.Точки A и В лежат на ребрах DD1 и СC1 соответственно. Из точек D1
и C проведены перпендикуляры D P1 и CK к отрезку AB, причемD P CK1 � . Докажите, что POD KOC1 � .
4. В прямоугольном треугольнике АВС � � �ABC 90 , � � �BAC 60 . ТочкаО – середина отрезка АС. Отрезки ОР и ВН – высоты треугольниковВОС и АОВ соответственно. Докажите, что OP AH� .
5. В прямоугольном треугольнике АВС � � �АBС 90 , � � �ACB 30 . Вычис�лите длины сторон AB и AC, если AB AC� � 18см.
90
BB
O
K
C1C1
аа бб
АА
DD CC
P
BB
O
K
C1C1
АА
DD CC
D1D1
P
D1D1
Рис. 103
С#15 Вариант 2
1. В прямоугольном треугольнике СОВ � � �OCB 90 , OB OC� 2 . Назовитеугол треугольника СОВ, градусная мера которого равна30�.
2. АВСD – прямоугольник. Точки О и М – внутренние точки отрезковАВ и СD соответственно. Известно, что BM OD� и AO � 1 см. Чемуравна длина отрезка СМ? Ответ поясните.
3. На рисунках 104, а, б изображена прямая треугольная призма. Точки Fи P лежат на ребрах AA1 и BB1 соответственно так, что при этомA F BP1 � и � � � � �A FO OPB1 90 . Отрезки FP и A B1 пересекаютсяв точкеO. Докажите, что A FO BPO1 � .
4. В прямоугольнике АВСD O AC BD� � . Треугольник АОВ — равносто�ронний. Отрезки OT и BP – высоты треугольников ВОС и АОВ соот�ветственно. Докажите, что OT AP� .
5. В прямоугольном треугольнике MKT � � �MKT 90 , � � �KMT 60 . Вы�числите длины сторон MK и MT, если MT MK� � 6см.
С#15 Вариант 3
1. В прямоугольном треугольнике ТКВ � � �TBK 90 , TK BK� 2 . Назовитеугол треугольника ТКВ, градусная мера которого равна30�.
2. АВСD – прямоугольник. Точки О и Т – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что BT OD� и OC � 4 см. Чему равнадлина отрезка АТ? Ответ поясните.
91
AA ABB B
O FFF P O P
А1А1В1
А1В1
аа бб
Рис. 104
3. На рисунках 105, а, б изображен куб, точки P и F лежат на ребрахCC1 и AC соответственно, FC CP� . Докажите, что A AF A C P1 1 1� .
4. Отрезок СН – высота равностороннего треугольника АВС. Луч AF –биссектриса внешнего угла при вершине A. Отрезок BO – перпенди�куляр, проведенный к прямой AF. Докажите, что OB CH� .
5. В прямоугольном треугольнике ADB � � �ADB 90 , � � �ABD DAB2 .Вычислите длины сторон DB и AB, если AB DB� � 12см.
С#15 Вариант 4
1. В прямоугольном треугольнике ТОР � � �TPO 90 , OT TP� 2 . Назовитеугол треугольника ТОР, градусная мера которого равна30�.
92
AAA
P
FF CC CF
P
А1А1 C1А1 C1
аа бб
Рис. 105
AA A
BB B
F F
TTT
А1 А1
В1В1В1
аа бб
Рис. 106
2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков АВи СD соответственно. Известно, что AP CT� и BT � 2 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.
3. На рисунках 106, а, б изображена прямая треугольная призма. ТочкиF и T лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно, � � �AFB ATB1 1 .Докажите, что AA F B BT1 1� .
4. В прямоугольнике ABCD O AC BD� � . Отрезки OH и CT – высотытреугольников BOC и COD соответственно. Лучи CO и CT делят уголBCD на три равных угла. Докажите, что OH � TD.
5. Градусная мера внешнего угла при вершине C прямоугольного тре�угольника CKD (� � �CKD 90 ) равна 150�. Вычислите длины сторон KDиCD, еслиCD KD� � 7см.
С#15 Вариант 5
1. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и BC равнобедренногоостроугольного треугольника ABC, пересекаются в точке O. Докажи�те, что луч BO – биссектриса угла ABC.
2. На рисунках 107, а, б изображена прямая треугольная призма. Равно�бедренный треугольник BKC (K B C� 1 1 , BK KC� ) лежит на граниBB C C1 1 призмы. Докажите, что точка K – середина ребра B C1 1 .
3. ABC – равносторонний треугольник. Точка D лежит на луче AB так,что CB BD� . Вычислите длину медианы BM треугольника CBD, еслиAD � 16 см.
93
BB B
K
CCC
K
В1В1 В1
C1C1
аа бб
Рис. 107
3. На рисунках 105, а, б изображен куб, точки P и F лежат на ребрахCC1 и AC соответственно, FC CP� . Докажите, что A AF A C P1 1 1� .
4. Отрезок СН – высота равностороннего треугольника АВС. Луч AF –биссектриса внешнего угла при вершине A. Отрезок BO – перпенди�куляр, проведенный к прямой AF. Докажите, что OB CH� .
5. В прямоугольном треугольнике ADB � � �ADB 90 , � � �ABD DAB2 .Вычислите длины сторон DB и AB, если AB DB� � 12см.
С#15 Вариант 4
1. В прямоугольном треугольнике ТОР � � �TPO 90 , OT TP� 2 . Назовитеугол треугольника ТОР, градусная мера которого равна30�.
92
AAA
P
FF CC CF
P
А1А1 C1А1 C1
аа бб
Рис. 105
AA A
BB B
F F
TTT
А1 А1
В1В1В1
аа бб
Рис. 106
2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков АВи СD соответственно. Известно, что AP CT� и BT � 2 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.
3. На рисунках 106, а, б изображена прямая треугольная призма. ТочкиF и T лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно, � � �AFB ATB1 1 .Докажите, что AA F B BT1 1� .
4. В прямоугольнике ABCD O AC BD� � . Отрезки OH и CT – высотытреугольников BOC и COD соответственно. Лучи CO и CT делят уголBCD на три равных угла. Докажите, что OH � TD.
5. Градусная мера внешнего угла при вершине C прямоугольного тре�угольника CKD (� � �CKD 90 ) равна 150�. Вычислите длины сторон KDиCD, еслиCD KD� � 7см.
С#15 Вариант 5
1. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и BC равнобедренногоостроугольного треугольника ABC, пересекаются в точке O. Докажи�те, что луч BO – биссектриса угла ABC.
2. На рисунках 107, а, б изображена прямая треугольная призма. Равно�бедренный треугольник BKC (K B C� 1 1 , BK KC� ) лежит на граниBB C C1 1 призмы. Докажите, что точка K – середина ребра B C1 1 .
3. ABC – равносторонний треугольник. Точка D лежит на луче AB так,что CB BD� . Вычислите длину медианы BM треугольника CBD, еслиAD � 16 см.
93
BB B
K
CCC
K
В1В1 В1
C1C1
аа бб
Рис. 107
С#15 Вариант 6
1. Отрезок АС – основание равнобедренного тупоугольного треугольни�ка ABC. Прямые, содержащие высоты треугольника, проведенныек боковым сторонам, пересекаются в точке O. Докажите, что OB –биссектриса угла AOC.
2. На рисунках 108, а, б изображена треугольная призма, боковые граникоторой являются квадратами. Точки F и P лежат на ребрах B C1 1 и BB1
соответственно, � � �PC C FBC1 . Докажите, что BF C P� 1 .
3. ABC – равносторонний треугольник. Луч CF расположен так, что лучCB является биссектрисой угла ACF. Отрезок BD – перпендикуляр,проведенный из точки B к прямой CF. Вычислите периметр треуголь�ника ABC, еслиCD � 3см.
94
BB
CC
P
F F
B
C
PP
В1
C1C1 C1
В1
аа бб
Рис. 108
Самостоятельная работа № 16
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.РАВЕНСТВО ФИГУР
С#16 Вариант 1
1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB BC� ) точка F – серединастороны AC, точка P – середина отрезка FC. Какой из отрезков – BFили BP – является наклонной к прямой AC?
2. Точка T – середина стороны ВС прямоугольника ABCD, BC � 8 см,� � �ACB 30 . Вычислите расстояние от точки T до прямой АС.
3. На рисунках 109, а, б изображен тетраэдр SABC, точка D – серединаребра BC. а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий на грани SBC, являет�ся перпендикуляром, проведенным из точки S к прямой BC? б) В плос�кости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенный из точки Ск прямой AD. в) Докажите, что ABD SCD� .
4. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде AB. Известно, что� � �CDA 20 . Вычислите градусные меры углов треугольника ACB.
5. В прямоугольном треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �ACB 30 . ТочкаF – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� � 8 см. Вычислите: а) рас�
95
B
C
S
A A
DDB
C
S
аа бб
Рис. 109
С#15 Вариант 6
1. Отрезок АС – основание равнобедренного тупоугольного треугольни�ка ABC. Прямые, содержащие высоты треугольника, проведенныек боковым сторонам, пересекаются в точке O. Докажите, что OB –биссектриса угла AOC.
2. На рисунках 108, а, б изображена треугольная призма, боковые граникоторой являются квадратами. Точки F и P лежат на ребрах B C1 1 и BB1
соответственно, � � �PC C FBC1 . Докажите, что BF C P� 1 .
3. ABC – равносторонний треугольник. Луч CF расположен так, что лучCB является биссектрисой угла ACF. Отрезок BD – перпендикуляр,проведенный из точки B к прямой CF. Вычислите периметр треуголь�ника ABC, еслиCD � 3см.
94
BB
CC
P
F F
B
C
PP
В1
C1C1 C1
В1
аа бб
Рис. 108
Самостоятельная работа № 16
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.РАВЕНСТВО ФИГУР
С#16 Вариант 1
1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB BC� ) точка F – серединастороны AC, точка P – середина отрезка FC. Какой из отрезков – BFили BP – является наклонной к прямой AC?
2. Точка T – середина стороны ВС прямоугольника ABCD, BC � 8 см,� � �ACB 30 . Вычислите расстояние от точки T до прямой АС.
3. На рисунках 109, а, б изображен тетраэдр SABC, точка D – серединаребра BC. а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий на грани SBC, являет�ся перпендикуляром, проведенным из точки S к прямой BC? б) В плос�кости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенный из точки Ск прямой AD. в) Докажите, что ABD SCD� .
4. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде AB. Известно, что� � �CDA 20 . Вычислите градусные меры углов треугольника ACB.
5. В прямоугольном треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �ACB 30 . ТочкаF – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� � 8 см. Вычислите: а) рас�
95
B
C
S
A A
DDB
C
S
аа бб
Рис. 109
стояние от точки F до прямой AC; б) расстояние между прямой ABи параллельной ей прямой, проходящей через точку F.
С#16 Вариант 2
1. Точка F – середина гипотенузы BC равнобедренного прямоугольноготреугольника ABC, точка P – внутренняя точка отрезка FC. Какой изотрезков – AP или AF – является наклонной к прямой BC?
2. Точка P – середина стороны АВ прямоугольника ABCD, � � �ABD 30 ,расстояние от точки Р до прямой BD равно 3 см. Вычислите длину от�резка АВ.
3. На рисунках 110, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SB, ле�жащий на грани SBC, является перпендикуляром, проведенным източки S к прямой BC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендику�ляр, проведенный из точки A к прямой BF. в) Докажите, что AFB CKS� .
4. Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде FD. Известно, что� � �FBD 100 . Вычислите градусные меры углов треугольника BAD.
5. Отрезок BD – медиана равностороннего треугольника ABC, длинастороны которого равна16 см. Отрезок CF – биссектриса треугольни�ка BDC. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой FC; б) рас�стояние между прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей че�рез точкуC.
96
B
CA
FF
AA
S
BB
CCKK
F
K
SS
аа бб
Рис. 110
С#16 Вариант 3
1. Точка O – середина стороны BC треугольника ABC. Точка F – внут�ренняя точка отрезка AC, BF FC� . Какой из отрезков – FO или FC –является наклонной к прямой BC?
2. Точка О – середина стороны AD прямоугольника ABCD, AD � 16 см,� � �CAD 30 . Вычислите расстояние от точки О до прямой АС.
3. На рисунках 111, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и O – сере�дины ребер AB и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SA, ле�жащий в плоскости грани SAB, является перпендикуляром, проведен�ным из точки S к прямой AB? б) В плоскости грани SBC назовитеперпендикуляр, проведенный из точки B к прямой SO. в) Докажите,что SAF SCO� .
4. Диаметр AF окружности перпендикулярен хорде CB. Известно, что� � �CAB 100 . Вычислите градусные меры углов треугольникаCFB.
5. В прямоугольном треугольнике ABD � � �ABD 90 , � � �BAD 30 . Отре�зок DF – биссектриса треугольника ABD. Известно, что AF � 6 см.Вычислите: а) расстояние от точки F до прямой AD; б) расстояние ме�жду прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей через точку F.
С#16 Вариант 4
1. В треугольнике ABC АBС� � �90 , точка F – внутренняя точка отрезкаAC, AB BF� , точка O – середина отрезка AF. Какой из отрезков – BFили BO – является наклонной к прямой AC?
97
B
C
S
AF
A
B
C
OF O
S
аа бб
Рис. 111
стояние от точки F до прямой AC; б) расстояние между прямой ABи параллельной ей прямой, проходящей через точку F.
С#16 Вариант 2
1. Точка F – середина гипотенузы BC равнобедренного прямоугольноготреугольника ABC, точка P – внутренняя точка отрезка FC. Какой изотрезков – AP или AF – является наклонной к прямой BC?
2. Точка P – середина стороны АВ прямоугольника ABCD, � � �ABD 30 ,расстояние от точки Р до прямой BD равно 3 см. Вычислите длину от�резка АВ.
3. На рисунках 110, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SB, ле�жащий на грани SBC, является перпендикуляром, проведенным източки S к прямой BC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендику�ляр, проведенный из точки A к прямой BF. в) Докажите, что AFB CKS� .
4. Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде FD. Известно, что� � �FBD 100 . Вычислите градусные меры углов треугольника BAD.
5. Отрезок BD – медиана равностороннего треугольника ABC, длинастороны которого равна16 см. Отрезок CF – биссектриса треугольни�ка BDC. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой FC; б) рас�стояние между прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей че�рез точкуC.
96
B
CA
FF
AA
S
BB
CCKK
F
K
SS
аа бб
Рис. 110
С#16 Вариант 3
1. Точка O – середина стороны BC треугольника ABC. Точка F – внут�ренняя точка отрезка AC, BF FC� . Какой из отрезков – FO или FC –является наклонной к прямой BC?
2. Точка О – середина стороны AD прямоугольника ABCD, AD � 16 см,� � �CAD 30 . Вычислите расстояние от точки О до прямой АС.
3. На рисунках 111, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и O – сере�дины ребер AB и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SA, ле�жащий в плоскости грани SAB, является перпендикуляром, проведен�ным из точки S к прямой AB? б) В плоскости грани SBC назовитеперпендикуляр, проведенный из точки B к прямой SO. в) Докажите,что SAF SCO� .
4. Диаметр AF окружности перпендикулярен хорде CB. Известно, что� � �CAB 100 . Вычислите градусные меры углов треугольникаCFB.
5. В прямоугольном треугольнике ABD � � �ABD 90 , � � �BAD 30 . Отре�зок DF – биссектриса треугольника ABD. Известно, что AF � 6 см.Вычислите: а) расстояние от точки F до прямой AD; б) расстояние ме�жду прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей через точку F.
С#16 Вариант 4
1. В треугольнике ABC АBС� � �90 , точка F – внутренняя точка отрезкаAC, AB BF� , точка O – середина отрезка AF. Какой из отрезков – BFили BO – является наклонной к прямой AC?
97
B
C
S
AF
A
B
C
OF O
S
аа бб
Рис. 111
2. Точка Е – середина стороны СD прямоугольника ABCD, � � �BDC 30 ,расстояние от точки Е до прямой BD равно 12 см. Вычислите длину от�резка СD.
3. На рисунках 112, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки P и K – серединыребер SA и SC соответственно. а) Верно ли, что отрезок BC, лежащийв плоскости грани SBC, является перпендикуляром, проведенным из точ�ки B к прямой SC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендикуляр,проведенный из точки S к прямой BP. в) Докажите, что PAB KCB� .
4. Диаметр AD окружности перпендикулярен хорде BC. Известно, что� � �DCB 30 . Вычислите градусные меры углов треугольника DBA.
5. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы AF и CK пересека�ются в точке O, AO � 6 см. Вычислите: а) расстояние от точки O допрямой AC; б) расстояние между прямой CB и параллельной ей пря�мой, проходящей через точкуO.
С#16 Вариант 5
1. На рисунках 113, а, б изображен тетраэдр SABC, точки O и K – сере�дины ребер AB и BC соответственно, а точка F лежит на луче CO, при�чем CO OF� . а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий в плоскости граниSBC, является перпендикуляром, проведенным из точки S к прямойBC? б) В плоскости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенныйиз точки A к прямой FC. в) Докажите, что FOB SKC� .
2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеCD. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC, если� � �BDC 20 .
98
B
C
P
S
A A
B
C
KPK
S
аа бб
Рис. 112
3. Медианы BD и AF равностороннего треугольника ABC пересекаютсяв точке O. Отрезок OK – биссектриса треугольника OBF. Известно,что BK � 4 см. Вычислите: а) расстояние от точки K до прямой BD;б) расстояние между прямой AF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку K .
С#16 Вариант 6
1. На рисунках 114, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно, а точка O лежит на луче SK, при�чем SK KO� . а) Верно ли, что отрезок AB, лежащий в плоскостиграни SAB, является перпендикуляром, проведенным из точки B к пря�мой SA? б) В плоскости грани SBC назовите перпендикуляр, прове�денный из точкиC к прямой SO. в) Докажите, что BFA OKC� .
99
B
C
S
OA
F
A
B
CK
O
FK
S
аа бб
Рис. 113
B
C
F
O
A
F
A
S
B
C
K
O
K
S
аа бб
Рис. 114
2. Точка Е – середина стороны СD прямоугольника ABCD, � � �BDC 30 ,расстояние от точки Е до прямой BD равно 12 см. Вычислите длину от�резка СD.
3. На рисунках 112, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки P и K – серединыребер SA и SC соответственно. а) Верно ли, что отрезок BC, лежащийв плоскости грани SBC, является перпендикуляром, проведенным из точ�ки B к прямой SC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендикуляр,проведенный из точки S к прямой BP. в) Докажите, что PAB KCB� .
4. Диаметр AD окружности перпендикулярен хорде BC. Известно, что� � �DCB 30 . Вычислите градусные меры углов треугольника DBA.
5. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы AF и CK пересека�ются в точке O, AO � 6 см. Вычислите: а) расстояние от точки O допрямой AC; б) расстояние между прямой CB и параллельной ей пря�мой, проходящей через точкуO.
С#16 Вариант 5
1. На рисунках 113, а, б изображен тетраэдр SABC, точки O и K – сере�дины ребер AB и BC соответственно, а точка F лежит на луче CO, при�чем CO OF� . а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий в плоскости граниSBC, является перпендикуляром, проведенным из точки S к прямойBC? б) В плоскости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенныйиз точки A к прямой FC. в) Докажите, что FOB SKC� .
2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеCD. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC, если� � �BDC 20 .
98
B
C
P
S
A A
B
C
KPK
S
аа бб
Рис. 112
3. Медианы BD и AF равностороннего треугольника ABC пересекаютсяв точке O. Отрезок OK – биссектриса треугольника OBF. Известно,что BK � 4 см. Вычислите: а) расстояние от точки K до прямой BD;б) расстояние между прямой AF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку K .
С#16 Вариант 6
1. На рисунках 114, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно, а точка O лежит на луче SK, при�чем SK KO� . а) Верно ли, что отрезок AB, лежащий в плоскостиграни SAB, является перпендикуляром, проведенным из точки B к пря�мой SA? б) В плоскости грани SBC назовите перпендикуляр, прове�денный из точкиC к прямой SO. в) Докажите, что BFA OKC� .
99
B
C
S
OA
F
A
B
CK
O
FK
S
аа бб
Рис. 113
B
C
F
O
A
F
A
S
B
C
K
O
K
S
аа бб
Рис. 114
2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеDC. Известно, что � � �DCA 10 . Вычислите градусные меры углов тре�угольника BOD.
3. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC, у которо�го AB BC� � 16 см, � � �ABC 120 . Отрезок BF – биссектриса тре�угольника ABD. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой BF;б) расстояние между прямой BF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку A.
100
Самостоятельная работа № 17ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
С#17 Вариант 1
1. Постройте угол, градусная мера которого равна135�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и проти�волежащему углу.
3. На данной окружности найдите точки, равноудаленные от концов дан�ной хорды.
С#17 Вариант 2
1. Постройте угол, градусная мера которого равна60�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте,проведенной из вершины угла, прилежащего к основанию.
3. Точка A лежит на окружности с центром в точке O. Найдите на окруж�ности точки, равноудаленные от точекO и A.
С#17 Вариант 3
1. Постройте угол, градусная мера которого равна30�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, про�веденной из вершины угла при основании.
3. Внутри острого угла расположена окружность, не имеющая общих то�чек со сторонами угла. На этой окружности найдите точки, равноуда�ленные от прямых, которые содержат стороны угла.
С#17 Вариант 4
1. Постройте угол, градусная мера которого равна120�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и биссектрисе этого угла.
101
2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеDC. Известно, что � � �DCA 10 . Вычислите градусные меры углов тре�угольника BOD.
3. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC, у которо�го AB BC� � 16 см, � � �ABC 120 . Отрезок BF – биссектриса тре�угольника ABD. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой BF;б) расстояние между прямой BF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку A.
100
Самостоятельная работа № 17ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
С#17 Вариант 1
1. Постройте угол, градусная мера которого равна135�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и проти�волежащему углу.
3. На данной окружности найдите точки, равноудаленные от концов дан�ной хорды.
С#17 Вариант 2
1. Постройте угол, градусная мера которого равна60�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте,проведенной из вершины угла, прилежащего к основанию.
3. Точка A лежит на окружности с центром в точке O. Найдите на окруж�ности точки, равноудаленные от точекO и A.
С#17 Вариант 3
1. Постройте угол, градусная мера которого равна30�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, про�веденной из вершины угла при основании.
3. Внутри острого угла расположена окружность, не имеющая общих то�чек со сторонами угла. На этой окружности найдите точки, равноуда�ленные от прямых, которые содержат стороны угла.
С#17 Вариант 4
1. Постройте угол, градусная мера которого равна120�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и биссектрисе этого угла.
101
3. Отрезки OA и OB – радиусы окружности. На окружности найдите точ�ки, равноудаленные от прямых, содержащих стороны угла AOB.
С#17 Вариант 5
1. Постройте угол, градусная мера которого равна75�.
2. Постройте равносторонний треугольник по его высоте.
3. Даны точки A B C, , и отрезок PQ. Постройте точку, равноудаленную отточек A и B и находящуюся на расстоянии PQ от точки C. Всегда ли за�дача имеет решение?
С#17 Вариант 6
1. Постройте угол, градусная мера которого равна105�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и высоте, проведенной из вершины угла, прилежащегок основанию.
3. Дан острый угол, отрезок PQ и точка A, принадлежащая внешней об�ласти угла. Постройте точку, равноудаленную от прямых, содержащихстороны угла, и находящуюся на расстоянии PQ от точки A. Всегда лизадача имеет решение?
102
Самостоятельная работа № 18
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА (ИТОГОВАЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 5)
С#18 Вариант 1
1. Для сторон треугольника ОРТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) OT OP PT� � ;б) OP OT PT � ;в) PT OP OT� � .
2. В треугольнике АВС � � � � � �BAC ABC10 100, . Запишите сторонытреугольника в порядке убывания их длин.
3. Длина катета AB прямоугольного треугольника ABC равна половинедлины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса этого треугольника.Вычислите градусную меру угла BDA.
4. Точка О – середина стороны CD прямоугольника АВСD. Прямые ВОи АD пересекаются в точке К. Сравните ВО и DК.
5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине A пересе�кают прямую b в точках M и K . Вычислите длину отрезка MK, еслиAB � 12см.
С#18 Вариант 2
1. Для сторон треугольника AMN записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) AN AM MN� � ;б) MN AM AN� � ;в) AM AN MN� � .
2. В треугольнике АВС AB � 5 см, BC � 7 см, AC � 4 см. Запишите углытреугольника в порядке убывания их градусных мер.
103
3. Отрезки OA и OB – радиусы окружности. На окружности найдите точ�ки, равноудаленные от прямых, содержащих стороны угла AOB.
С#17 Вариант 5
1. Постройте угол, градусная мера которого равна75�.
2. Постройте равносторонний треугольник по его высоте.
3. Даны точки A B C, , и отрезок PQ. Постройте точку, равноудаленную отточек A и B и находящуюся на расстоянии PQ от точки C. Всегда ли за�дача имеет решение?
С#17 Вариант 6
1. Постройте угол, градусная мера которого равна105�.
2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и высоте, проведенной из вершины угла, прилежащегок основанию.
3. Дан острый угол, отрезок PQ и точка A, принадлежащая внешней об�ласти угла. Постройте точку, равноудаленную от прямых, содержащихстороны угла, и находящуюся на расстоянии PQ от точки A. Всегда лизадача имеет решение?
102
Самостоятельная работа № 18
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА (ИТОГОВАЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 5)
С#18 Вариант 1
1. Для сторон треугольника ОРТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) OT OP PT� � ;б) OP OT PT � ;в) PT OP OT� � .
2. В треугольнике АВС � � � � � �BAC ABC10 100, . Запишите сторонытреугольника в порядке убывания их длин.
3. Длина катета AB прямоугольного треугольника ABC равна половинедлины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса этого треугольника.Вычислите градусную меру угла BDA.
4. Точка О – середина стороны CD прямоугольника АВСD. Прямые ВОи АD пересекаются в точке К. Сравните ВО и DК.
5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине A пересе�кают прямую b в точках M и K . Вычислите длину отрезка MK, еслиAB � 12см.
С#18 Вариант 2
1. Для сторон треугольника AMN записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) AN AM MN� � ;б) MN AM AN� � ;в) AM AN MN� � .
2. В треугольнике АВС AB � 5 см, BC � 7 см, AC � 4 см. Запишите углытреугольника в порядке убывания их градусных мер.
103
3. Длина катета MK прямоугольного треугольника MKP равна половинедлины гипотенузы MP, точка F – внутренняя точка отрезка МР,KF FP� . Вычислите градусную меру угла KFM.
4. Точка О – середина стороны АВ прямоугольника АВСD. Прямые СОи АD пересекаются в точке F. Сравните FО и ВC.
5. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов с вершиной D пересе�кают прямую c в точках F и T. Вычислите длину отрезка DC, еслиFT � 16 см.
С#18 Вариант 3
1. Для сторон треугольника EОТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) ET OE OT � ;б) OE OT ET� � ;в) OT OE ET� � .
2. В треугольнике АВС � � � � � �ACB BAC35 55, . Назовите стороны тре�угольника в порядке возрастания их длин.
3. В прямоугольном треугольнике ACD длина катета CD в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок CF – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру углаCFD.
4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD. Прямые ВFи CD пересекаются в точке O. Сравните DО и BF.
5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи B пересекают параллельные прямые a и b в точках C и D соответст�венно. Вычислите длины отрезков AC и BD, если AB � 7см.
С#18 Вариант 4
1. Для сторон треугольника BОC записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) BC OB OC � ;б) OC OB BC� � ;в) OB OC BC� � .
104
2. В треугольнике АВС AB � 8 см, BC � 6 см, AC � 9 см. Назовите углытреугольника в порядке возрастания их градусных мер.
3. В прямоугольном треугольнике ABD длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AD. Отрезок DE – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру угла BED.
4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD, а точка K –внутренняя точка отрезка AB. Прямые CD и KF пересекаются в точке O.Сравните FO и AF.
5. Прямая p пересекает параллельные прямые a и d в точках A и D соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи D пересекают параллельные прямые d и a в точках O и C соответст�венно. Вычислите длину отрезка AD, еслиOD AC� � 20см.
С#18 Вариант 5
1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна полови�не длины его гипотенузы. Вычислите градусную меру угла, сторонамикоторого являются высота и биссектриса треугольника, проведенныеиз вершины прямого угла.
2. На рисунках 115, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , точка F – середина ребра BB1 , а � � � � �FA B FC B1 1 1 1 30 .Вычислите длину ломаной, образованной отрезками AA1 , A F1 , FC1 и CC1 ,еслиCC1 4� см.
3. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов при вершине D пересекаютпрямую c в точках P и T. Вычислите длину отрезка DC, если PD � 4 сми � � �PTD 30 .
105
BB
CCF
AA AA
BB
CCF
А1А1 А1
В1 В1
C1C1C1
аа бб
Рис. 115
3. Длина катета MK прямоугольного треугольника MKP равна половинедлины гипотенузы MP, точка F – внутренняя точка отрезка МР,KF FP� . Вычислите градусную меру угла KFM.
4. Точка О – середина стороны АВ прямоугольника АВСD. Прямые СОи АD пересекаются в точке F. Сравните FО и ВC.
5. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов с вершиной D пересе�кают прямую c в точках F и T. Вычислите длину отрезка DC, еслиFT � 16 см.
С#18 Вариант 3
1. Для сторон треугольника EОТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) ET OE OT � ;б) OE OT ET� � ;в) OT OE ET� � .
2. В треугольнике АВС � � � � � �ACB BAC35 55, . Назовите стороны тре�угольника в порядке возрастания их длин.
3. В прямоугольном треугольнике ACD длина катета CD в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок CF – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру углаCFD.
4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD. Прямые ВFи CD пересекаются в точке O. Сравните DО и BF.
5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи B пересекают параллельные прямые a и b в точках C и D соответст�венно. Вычислите длины отрезков AC и BD, если AB � 7см.
С#18 Вариант 4
1. Для сторон треугольника BОC записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) BC OB OC � ;б) OC OB BC� � ;в) OB OC BC� � .
104
2. В треугольнике АВС AB � 8 см, BC � 6 см, AC � 9 см. Назовите углытреугольника в порядке возрастания их градусных мер.
3. В прямоугольном треугольнике ABD длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AD. Отрезок DE – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру угла BED.
4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD, а точка K –внутренняя точка отрезка AB. Прямые CD и KF пересекаются в точке O.Сравните FO и AF.
5. Прямая p пересекает параллельные прямые a и d в точках A и D соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи D пересекают параллельные прямые d и a в точках O и C соответст�венно. Вычислите длину отрезка AD, еслиOD AC� � 20см.
С#18 Вариант 5
1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна полови�не длины его гипотенузы. Вычислите градусную меру угла, сторонамикоторого являются высота и биссектриса треугольника, проведенныеиз вершины прямого угла.
2. На рисунках 115, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , точка F – середина ребра BB1 , а � � � � �FA B FC B1 1 1 1 30 .Вычислите длину ломаной, образованной отрезками AA1 , A F1 , FC1 и CC1 ,еслиCC1 4� см.
3. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов при вершине D пересекаютпрямую c в точках P и T. Вычислите длину отрезка DC, если PD � 4 сми � � �PTD 30 .
105
BB
CCF
AA AA
BB
CCF
А1А1 А1
В1 В1
C1C1C1
аа бб
Рис. 115
С#18 Вариант 6
1. В прямоугольном треугольнике ABC длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса треугольникаABC, а луч CF – биссектриса внешнего угла, смежного с углом BCA.Прямые BD и CF пересекаются в точке O. Вычислите градусную меруугла BOC.
2. На рисунках 116, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , ее основанием является прямоугольный треугольникABC, у которого � � �ABC 90 , � � �A BA1 30 , грань AA C C1 1 призмы явля�ется квадратом. Вычислите длину ломаной, образованной отрезкамиA B AA1 1, , AC иCC1 , если AC � 5 см.
3. Прямая l пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соответ�ственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине C пересекаютпрямую a в точках F и P. Вычислите длину отрезка FC, если AP � 7 сми � � �CFP 60 .
106
BB
CCAA A
B
C
А1А1 А1
В1 В1
C1C1C1
аа бб
Рис. 116
Контрольная работа № 4СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
К#4 Вариант 1
1. В прямоугольнике ABCD отрезки АС и ВD пересекаются в точке O.Отрезок AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BD.Укажите, какие из сторон прямоугольного треугольника AHO являют�ся катетами.
2. В треугольнике ABC � � �ABC 50 . Точки F и O – внутренние точки от�резков AB и BC соответственно, BF FO� . Вычислите градусную меруугла AFO.
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки D B1 1 , B A1 и AD1
(рис. 117, а). Установите вид треугольника AB D1 1 . Ответ поясните.
4. Отрезок BK – медиана равностороннего треугольника BDC, а точкаО – середина отрезка BK . Прямая m проходит через точку O и парал�лельна прямой DC (рис. 117, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиmи DC.
5. В треугольнике ABC � � �BAC 90 , а � � �BCA 15 . Точка D – внутренняяточка отрезка AC, � � �DBC 15 . Вычислите длину катета AB, еслиDC � 6см.
107
B C
A
A1
D
C1
C1
C1
А1 D1
D1
D1
В1
В1
аа бб
CCmm
BBOO
KK
DD
Рис. 117
С#18 Вариант 6
1. В прямоугольном треугольнике ABC длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса треугольникаABC, а луч CF – биссектриса внешнего угла, смежного с углом BCA.Прямые BD и CF пересекаются в точке O. Вычислите градусную меруугла BOC.
2. На рисунках 116, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , ее основанием является прямоугольный треугольникABC, у которого � � �ABC 90 , � � �A BA1 30 , грань AA C C1 1 призмы явля�ется квадратом. Вычислите длину ломаной, образованной отрезкамиA B AA1 1, , AC иCC1 , если AC � 5 см.
3. Прямая l пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соответ�ственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине C пересекаютпрямую a в точках F и P. Вычислите длину отрезка FC, если AP � 7 сми � � �CFP 60 .
106
BB
CCAA A
B
C
А1А1 А1
В1 В1
C1C1C1
аа бб
Рис. 116
Контрольная работа № 4СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
К#4 Вариант 1
1. В прямоугольнике ABCD отрезки АС и ВD пересекаются в точке O.Отрезок AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BD.Укажите, какие из сторон прямоугольного треугольника AHO являют�ся катетами.
2. В треугольнике ABC � � �ABC 50 . Точки F и O – внутренние точки от�резков AB и BC соответственно, BF FO� . Вычислите градусную меруугла AFO.
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки D B1 1 , B A1 и AD1
(рис. 117, а). Установите вид треугольника AB D1 1 . Ответ поясните.
4. Отрезок BK – медиана равностороннего треугольника BDC, а точкаО – середина отрезка BK . Прямая m проходит через точку O и парал�лельна прямой DC (рис. 117, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиmи DC.
5. В треугольнике ABC � � �BAC 90 , а � � �BCA 15 . Точка D – внутренняяточка отрезка AC, � � �DBC 15 . Вычислите длину катета AB, еслиDC � 6см.
107
B C
A
A1
D
C1
C1
C1
А1 D1
D1
D1
В1
В1
аа бб
CCmm
BBOO
KK
DD
Рис. 117
К#4 Вариант 2
1. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AC. ОтрезокFH – перпендикуляр, проведенный из точки F к прямой BC. Укажите,какая из сторон прямоугольного треугольника BFH является гипоте�нузой.
2. ABC – треугольник. Точки P и K – внутренние точки отрезков BC и ACсоответственно, KP PC� . Вычислите градусную меру угла PCK, если� � �AKP 120 .
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки AD1 , AC и CD1
(рис. 118, а). Установите вид треугольника ACD1 . Ответ поясните.
4. Отрезок BF – биссектриса равностороннего треугольника AOB, точкаP – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку P и парал�лельна прямой AO (рис. 118, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиm и АО.
5. В треугольнике ABC � � �ACB 90 , а � � �ABC 30 . Точка F – внутренняяточка отрезка CB, � � �FAB 30 . Вычислите длину отрезка CF, еслиFB � 4см.
К#4 Вариант 3
1. В прямоугольнике ABCD отрезок CH – перпендикуляр, проведенныйиз точки C к прямой BD. Укажите, какие из сторон прямоугольноготреугольникаCHD являются катетами.
108
B C
AD A
B
В1
В1
C1
C1
А1
А1
D1
D1
аа бб
AAmm
BB
PP
FF
OO
Рис. 118
2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков AB и ACсоответственно, AF PF� . Вычислите градусную меру угла PFC, если� � �APF 50 .
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки A D1 , DC1 и C A1 1
(рис. 119, а). Установите вид треугольника A DC1 1 . Ответ поясните.
4. Отрезок AK – медиана равнобедренного треугольника АВС (АВ � АС),точка O – середина отрезка AK. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой ВС (рис. 119, б). Докажите, что расстояние отточки А до прямойmравно расстоянию между прямымиmи BC.
5. В треугольнике MKP � � �MKP 90 , � � �KMP 75 . Точка D – внутренняяточка отрезка KP, � � �KMD 60 . Вычислите длину катета MK, еслиDP � 16см.
К#4 Вариант 4
1. В треугольнике ABC отрезок OC – перпендикуляр, проведенный източки C к прямой AB, точка F – внутренняя точка отрезка OC. Укажи�те, какая из сторон прямоугольного треугольника AOF является гипо�тенузой.
2. ABC – треугольник. Точки P и T – внутренние точки отрезков AB и BCсоответственно, PT BT� . Вычислите градусную меру угла ABC, если� � �PTC 130 .
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки C A1 1 , A B1 и BC1
(рис. 120, а). Установите вид треугольника A BС1 1 . Ответ поясните.
109
B C
A D
В1
В1 В1
А1А1
А1
C1
C1
D1
D1
аа бб
BB KK CC
mmOO
AA
Рис. 119
К#4 Вариант 2
1. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AC. ОтрезокFH – перпендикуляр, проведенный из точки F к прямой BC. Укажите,какая из сторон прямоугольного треугольника BFH является гипоте�нузой.
2. ABC – треугольник. Точки P и K – внутренние точки отрезков BC и ACсоответственно, KP PC� . Вычислите градусную меру угла PCK, если� � �AKP 120 .
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки AD1 , AC и CD1
(рис. 118, а). Установите вид треугольника ACD1 . Ответ поясните.
4. Отрезок BF – биссектриса равностороннего треугольника AOB, точкаP – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку P и парал�лельна прямой AO (рис. 118, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиm и АО.
5. В треугольнике ABC � � �ACB 90 , а � � �ABC 30 . Точка F – внутренняяточка отрезка CB, � � �FAB 30 . Вычислите длину отрезка CF, еслиFB � 4см.
К#4 Вариант 3
1. В прямоугольнике ABCD отрезок CH – перпендикуляр, проведенныйиз точки C к прямой BD. Укажите, какие из сторон прямоугольноготреугольникаCHD являются катетами.
108
B C
AD A
B
В1
В1
C1
C1
А1
А1
D1
D1
аа бб
AAmm
BB
PP
FF
OO
Рис. 118
2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков AB и ACсоответственно, AF PF� . Вычислите градусную меру угла PFC, если� � �APF 50 .
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки A D1 , DC1 и C A1 1
(рис. 119, а). Установите вид треугольника A DC1 1 . Ответ поясните.
4. Отрезок AK – медиана равнобедренного треугольника АВС (АВ � АС),точка O – середина отрезка AK. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой ВС (рис. 119, б). Докажите, что расстояние отточки А до прямойmравно расстоянию между прямымиmи BC.
5. В треугольнике MKP � � �MKP 90 , � � �KMP 75 . Точка D – внутренняяточка отрезка KP, � � �KMD 60 . Вычислите длину катета MK, еслиDP � 16см.
К#4 Вариант 4
1. В треугольнике ABC отрезок OC – перпендикуляр, проведенный източки C к прямой AB, точка F – внутренняя точка отрезка OC. Укажи�те, какая из сторон прямоугольного треугольника AOF является гипо�тенузой.
2. ABC – треугольник. Точки P и T – внутренние точки отрезков AB и BCсоответственно, PT BT� . Вычислите градусную меру угла ABC, если� � �PTC 130 .
3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки C A1 1 , A B1 и BC1
(рис. 120, а). Установите вид треугольника A BС1 1 . Ответ поясните.
109
B C
A D
В1
В1 В1
А1А1
А1
C1
C1
D1
D1
аа бб
BB KK CC
mmOO
AA
Рис. 119
4. Отрезок BF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC (АВ � BС),точка O – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой AC (рис. 120, б). Докажите, что расстояние отточки B до прямойmравно расстоянию между прямымиmи AC.
5. В треугольнике ADB � � �ADB 90 . Отрезок АF является биссектрисойтреугольника ADB и � � �AFD 60 . Вычислите длину катета DB тре�угольника ADB, если BF � 10см.
К#4 Вариант 5
1. На развертке куба проведены отрезки AO, OP, PC и CA, где точки Oи P – середины ребер куба (рис. 121, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .
110
B C
AD D
C
В1
В1
А1
А1
C1
C1
D1
D1
аа бб
AA
BB
CCFF
OO mm
Рис. 120
OA A
D
B m
C
CB
C
D
B B
DA
A
K F
В1 C1
А1 D1
O
P
аа бб
Рис. 121
2. На рисунке 121, б изображена правильная треугольная пирамидаDABC. Точка F лежит на ребре DC и BF DF� . Отрезок KF – медианатреугольника DBF, точка O – середина медианы KF. Прямая m, лежа�щая в плоскости грани DBC, проходит через точку O и параллельнапрямой BD. Докажите, что расстояние от точки F до прямой m равнорасстоянию между прямымиmи BD.
3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок CO – биссектриса треугольника BDC. Вычислите длинукатета AB треугольника ABC, еслиOD � 4 см.
К#4 Вариант 6
1. На развертке куба проведены отрезки C A1 1 , C F1 , FO и A O1 , где точки Fи O – середины ребер куба (рис. 122, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .
2. На рисунке 122, б изображена правильная треугольная пирамидаSABC. Отрезок SP – биссектриса треугольника BSС, а отрезок PK –медиана равнобедренного треугольника SBP, точка O – середина от�резка PK . Прямая m, лежащая в плоскости грани SBC, проходит черезточку O и параллельна прямой SB. Докажите, что расстояние от точкиP до прямойmравно расстоянию между прямымиmи SB.
3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок BF – биссектриса треугольника ABD. Вычислите длинугипотенузы треугольника ABC, если FD � 4 см.
111
B CP
A
S
B
CF
F
A DO
O
K
D
m
C1D1
D1
D1
А1
А1
А1
В1
D1
O
аа бб
Рис. 122
4. Отрезок BF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC (АВ � BС),точка O – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой AC (рис. 120, б). Докажите, что расстояние отточки B до прямойmравно расстоянию между прямымиmи AC.
5. В треугольнике ADB � � �ADB 90 . Отрезок АF является биссектрисойтреугольника ADB и � � �AFD 60 . Вычислите длину катета DB тре�угольника ADB, если BF � 10см.
К#4 Вариант 5
1. На развертке куба проведены отрезки AO, OP, PC и CA, где точки Oи P – середины ребер куба (рис. 121, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .
110
B C
AD D
C
В1
В1
А1
А1
C1
C1
D1
D1
аа бб
AA
BB
CCFF
OO mm
Рис. 120
OA A
D
B m
C
CB
C
D
B B
DA
A
K F
В1 C1
А1 D1
O
P
аа бб
Рис. 121
2. На рисунке 121, б изображена правильная треугольная пирамидаDABC. Точка F лежит на ребре DC и BF DF� . Отрезок KF – медианатреугольника DBF, точка O – середина медианы KF. Прямая m, лежа�щая в плоскости грани DBC, проходит через точку O и параллельнапрямой BD. Докажите, что расстояние от точки F до прямой m равнорасстоянию между прямымиmи BD.
3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок CO – биссектриса треугольника BDC. Вычислите длинукатета AB треугольника ABC, еслиOD � 4 см.
К#4 Вариант 6
1. На развертке куба проведены отрезки C A1 1 , C F1 , FO и A O1 , где точки Fи O – середины ребер куба (рис. 122, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .
2. На рисунке 122, б изображена правильная треугольная пирамидаSABC. Отрезок SP – биссектриса треугольника BSС, а отрезок PK –медиана равнобедренного треугольника SBP, точка O – середина от�резка PK . Прямая m, лежащая в плоскости грани SBC, проходит черезточку O и параллельна прямой SB. Докажите, что расстояние от точкиP до прямойmравно расстоянию между прямымиmи SB.
3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок BF – биссектриса треугольника ABD. Вычислите длинугипотенузы треугольника ABC, если FD � 4 см.
111
B CP
A
S
B
CF
F
A DO
O
K
D
m
C1D1
D1
D1
А1
А1
А1
В1
D1
O
аа бб
Рис. 122
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Самостоятельная работа № 1. Взаимное расположение точек и пря�мых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Самостоятельная работа № 2. Сравнение и измерение отрезков.Окружность и круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Самостоятельная работа № 3. Луч. Угол. Сравнение и измерениеуглов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Самостоятельная работа № 4. Свойства смежных и вертикальныхуглов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Самостоятельная работа № 5. Начальные сведения (итоговая са�мостоятельная работа к главе 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Контрольная работа № 1. Начальные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Самостоятельная работа № 6. Треугольник. Первый признак ра�венства треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Самостоятельная работа № 7. Медианы, высоты и биссектрисытреугольника. Равнобедренный треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Самостоятельная работа № 8. Второй и третий признаки равенст�ва треугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Самостоятельная работа № 9. Треугольники (итоговая самостоя�тельная работа к главе 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Контрольная работа № 2. Треугольники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Самостоятельная работа № 10. Признаки параллельности прямых . . . . . . . . . 60Самостоятельная работа № 11. Свойства параллельных прямых . . . . . . . . . 65Самостоятельная работа № 12. Параллельные прямые (итоговаясамостоятельная работа к главе 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Контрольная работа № 3. Параллельные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Самостоятельная работа № 13. Сумма градусных мер углов тре�угольника. Внешний угол треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Самостоятельная работа № 14. Неравенство треугольника . . . . . . . . . . . . . 85Самостоятельная работа № 15. Признаки равенства и свойствапрямоугольных треугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Самостоятельная работа № 16. Расстояние от точки до прямой.Равенство фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Самостоятельная работа № 17. Задачи на построение циркулеми линейкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Самостоятельная работа № 18. Соотношения между сторонамии углами треугольника (итоговая самостоятельная работа к главе 5) . . . . . . 103Контрольная работа № 4. Соотношения между сторонами и угла�ми треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
112
Recommended