rsmusic.moy.sursmusic.moy.su/0Yagubov/qew/7137Z.pdf · ISBN 978-985-19-2581-6 Геометрия. 7 класс : самостоятельные и контрольные работы

ISBN 978-985-19-2581-6

Геометрия. 7 класс : самостоятельные и контрольные работы : пособие для учителей учреждений общ. сред. образования с рус. яз. обучения / Т. В. Валаханович, В. В. Шлыков. — Минск : Аверсэв, 2017. — 112 с. : ил.

© Валаханович Т. В., Шлыков В. В., 2017© Оформление. ОДО «Аверсэв», 2017

В15

УДК 372.851.4.046.14 ББК 74.262.21

УДК 372.851.4.046.14ББК 74.262.21 В15

ISBN 978-985-19-2581-6.Пособие составлено в соответствии с действующей учебной программой, утверж-

денной Министерством образования Республики Беларусь.Адресуется учителям для организации самостоятельной работы учащихся и осу-

ществления контроля знаний при обучении геометрии.Книга ранее издавалась под названием «Дидактические материалы по геометрии.

7 класс».

Р е ц е н з е н тучитель математики высш. категории гос. учреждения образования

«Гимназия № 24 г. Минска» Т. В. Ячейко

Валаханович, Т. В.

Подписано в печать 12.09.2017. Формат 60×84 1/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 6,51. Уч.изд. л. 4,27. Тираж 2100 экз. Заказ

Общество с дополнительной ответственностью «Аверсэв». Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя,

распространителя печатных изданий № 1/15 от 02.08.2013. Ул. Н. Олешева, 1, офис 309, 220090, Минск.

Email: [email protected]; www.aversev.byКонтакт ные телефоны: (017) 2680979, 268-08-78.

Для писем: а/я 3, 220090, Минск.УПП «Витебская областная типография».

Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 2/19 от 26.11.2013.

Ул. Щербакова-Набережная, 4, 210015, Витебск.

12+

Справочное изданиеВалаханович Татьяна Владимировна

Шлыков Владимир Владимирович

геомеТРия. 7 Класссамостоятельные и контрольные работы

Пособие для учителей учреждений общего среднего образования с русским языком обучения

Ответственный за выпуск Д. Л. Дембовский

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель пособия – оказать помощь учителям в организации самостоя�тельной работы и осуществлении контроля знаний учащихся при изучениигеометрии в 7�м классе.

В издании приведено 18 самостоятельных работ и 4 контрольные ра�боты. Самостоятельные работы обозначены буквой С с соответствующимномером, а контрольные – буквой К. Тексты самостоятельных работ яв�ляются ориентировочными. Учитель может вносить в них некоторые изме�нения в зависимости от цели урока, наличия учебного времени и уровняподготовки учащихся. Он же определяет и продолжительность каждой ра�боты, отводя на нее не более одного урока.

Уже в самом начале при изучении геометрии рассматриваются про�странственные фигуры: куб, прямоугольный параллелепипед, прямаяпризма. Поэтому в задачах самостоятельных работ используются эти мно�гогранники, что является своеобразным средством введения учащихсяв пространственную геометрию в процессе изучения планиметрии.

Каждая самостоятельная работа содержит пять задач. В одних задачахнеобходимо найти решение с использованием готового изображения фи�гуры, а в других учащиеся должны самостоятельно построить изображе�ние фигуры, используя условие задачи. В ряде самостоятельных работ да�ются изображения одной и той же фигуры, отличающиеся уровнемвоздействия на зрительную память. Цель этого приема – способствоватьформированию навыков чтения графических моделей и развитию про�странственных представлений. Переносить готовые рисунки в тетрадь привыполнении самостоятельной или контрольной работы не обязательно,если найденный способ решения не предполагает выполнения дополни�тельных построений или введения новых обозначений.

Варианты работ подобраны так, что первые четыре из них более лег�кие, чем пятый и шестой. Такой подход к подбору вариантов обусловленнеобходимостью учета индивидуальных способностей учащихся. Задачныйматериал первых четырех вариантов предназначен для организации кон�троля за усвоением учащимися изученного материала. Пятый и шестой ва�рианты предназначены для более подготовленных учащихся, проявляю�щих повышенный интерес к математике. Задачи этих двух вариантов могутбыть предложены учащимся в качестве дополнительного задания послевыполнения ими основной работы, а также использованы в качестве не�обязательного задания для домашней работы.

3

Первые четыре варианта самостоятельных работ № 1–16, № 18и всех контрольных работ содержат по пять задач, соответствующих пятиуровням усвоения учебного материала, а варианты 5 и 6 всех работ – потри. Варианты 5 и 6 и самостоятельная работа № 17 «Задачи на построе�ние циркулем и линейкой» не содержат задач первого и второго уровнейусвоения учебного материала. За выполнение задачи № 1 указанных ва�риантов может быть выставлена отметка 5–6 баллов, решение задач № 2и № 3 можно оценить 7–8 и 9–10 баллами соответственно.

Самостоятельные работы распределены по темам параграфов следую�щим образом:

С�1. Взаимное расположение точек и прямых.С�2. Сравнение и измерение отрезков. Окружность и круг.С�3. Луч. Угол. Сравнение и измерение углов.С�4. Свойства смежных и вертикальных углов.С�5. Начальные сведения (итоговая самостоятельная работа к главе 2).С�6. Треугольник. Первый признак равенства треугольников.С�7. Медианы, высоты и биссектрисы треугольника. Равнобедренный

треугольник.С�8. Второй и третий признаки равенства треугольников.С�9. Треугольники (итоговая самостоятельная работа к главе 3).С�10. Признаки параллельности прямых.С�11. Свойства параллельных прямых.С�12. Параллельные прямые (итоговая самостоятельная работа к главе 4).С�13. Сумма градусных мер углов треугольника. Внешний угол тре�

угольника.С�14. Неравенство треугольника.С�15. Признаки равенства и свойства прямоугольных треугольников.С�16. Расстояние от точки до прямой. Равенство фигур.С�17. Задачи на построение циркулем и линейкой.С�18. Соотношения между сторонами и углами треугольника (итого�

вая самостоятельная работа к главе 5).В пособии имеются тексты четырех контрольных работ по всему курсу

геометрии 7�го класса в шести вариантах:К�1. Начальные сведения.К�2. Треугольники.К�3. Параллельные прямые.К�4. Соотношения между сторонами и углами треугольника.Контрольные работы предназначены для проведения итоговой провер�

ки знаний учащихся по каждой теме курса. Количество контрольных работизбыточно. Работа K�1 не является обязательной и может быть использо�вана учителем для проведения предварительного контроля знаний уча�щихся.

4

Самостоятельная работа № 1

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕТОЧЕК И ПРЯМЫХ

C#1 Вариант 1

1. Рассмотрите рисунок 1, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) K AD� ; б)O � AB; в) B OC� ; г) A BD� .

2. Расмотрите рисунок 1, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку B. б) В какой точке пересекаются прямые AO и BD?

3. На рисунке 1, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка T лежит на реб�ре C D1 1 , а прямые C A1 1 и B T1 пересекаются в точке O (рис. 1, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DT. б) Назовите точ�ки пересечения прямых B O1 иC D1 1 ,C O1 и B A1 1 .

4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка DC. а) По�стройте точку O, в которой пересекаются прямые BC и AK . б) По�стройте точку пересечения прямых BK и OD. в) Назовите одну из пря�мых, которая пересекает прямые BC и AD.

5. Точка O лежит на стороне AC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекалапрямые AB BC BO, , и AC.

5

В

С

DK

A

O

аа бб вв

C1C1 В1В1

А1А1

ААDD

CC

Т О

В

D1

C1C1 В1В1

А1А1D1

ТО

Рис. 1

Первые четыре варианта самостоятельных работ № 1–16, № 18и всех контрольных работ содержат по пять задач, соответствующих пятиуровням усвоения учебного материала, а варианты 5 и 6 всех работ – потри. Варианты 5 и 6 и самостоятельная работа № 17 «Задачи на построе�ние циркулем и линейкой» не содержат задач первого и второго уровнейусвоения учебного материала. За выполнение задачи № 1 указанных ва�риантов может быть выставлена отметка 5–6 баллов, решение задач № 2и № 3 можно оценить 7–8 и 9–10 баллами соответственно.

Самостоятельные работы распределены по темам параграфов следую�щим образом:

С�1. Взаимное расположение точек и прямых.С�2. Сравнение и измерение отрезков. Окружность и круг.С�3. Луч. Угол. Сравнение и измерение углов.С�4. Свойства смежных и вертикальных углов.С�5. Начальные сведения (итоговая самостоятельная работа к главе 2).С�6. Треугольник. Первый признак равенства треугольников.С�7. Медианы, высоты и биссектрисы треугольника. Равнобедренный

треугольник.С�8. Второй и третий признаки равенства треугольников.С�9. Треугольники (итоговая самостоятельная работа к главе 3).С�10. Признаки параллельности прямых.С�11. Свойства параллельных прямых.С�12. Параллельные прямые (итоговая самостоятельная работа к главе 4).С�13. Сумма градусных мер углов треугольника. Внешний угол тре�

угольника.С�14. Неравенство треугольника.С�15. Признаки равенства и свойства прямоугольных треугольников.С�16. Расстояние от точки до прямой. Равенство фигур.С�17. Задачи на построение циркулем и линейкой.С�18. Соотношения между сторонами и углами треугольника (итого�

вая самостоятельная работа к главе 5).В пособии имеются тексты четырех контрольных работ по всему курсу

геометрии 7�го класса в шести вариантах:К�1. Начальные сведения.К�2. Треугольники.К�3. Параллельные прямые.К�4. Соотношения между сторонами и углами треугольника.Контрольные работы предназначены для проведения итоговой провер�

ки знаний учащихся по каждой теме курса. Количество контрольных работизбыточно. Работа K�1 не является обязательной и может быть использо�вана учителем для проведения предварительного контроля знаний уча�щихся.

4


ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕТОЧЕК И ПРЯМЫХ


1. Рассмотрите рисунок 1, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) K AD� ; б)O � AB; в) B OC� ; г) A BD� .

2. Расмотрите рисунок 1, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку B. б) В какой точке пересекаются прямые AO и BD?

3. На рисунке 1, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка T лежит на реб�ре C D1 1 , а прямые C A1 1 и B T1 пересекаются в точке O (рис. 1, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DT. б) Назовите точ�ки пересечения прямых B O1 иC D1 1 ,C O1 и B A1 1 .

4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка DC. а) По�стройте точку O, в которой пересекаются прямые BC и AK . б) По�стройте точку пересечения прямых BK и OD. в) Назовите одну из пря�мых, которая пересекает прямые BC и AD.

5. Точка O лежит на стороне AC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекалапрямые AB BC BO, , и AC.

5

В

С

DK

A

O

аа бб вв

C1C1 В1В1

А1А1

ААDD

CC

Т О

В

D1

C1C1 В1В1

А1А1D1

ТО

Рис. 1


1. Рассмотрите рисунок 2, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)O BF� ; б)O KF� ; в) B AD� ; г)O AK� .

2. Рассмотрите рисунок 2, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые AB и KF?

3. На рисунке 2, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре A D1 1 , а прямые B D1 1 и KC1 пересекаются в точке O (рис. 2, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DK . б) Назовите точ�ки пересечения прямыхC O1 и A D1 1 , D O1 и B C1 1 .

4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка AB. а) Построй�те точку O, в которой пересекаются прямые DK и BC. б) Постройтеточку пересечения прямых AO и KC. в) Назовите одну из прямых, ко�торая пересекает прямые AB и DC.

5. Точка O лежит на стороне AB треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC CO, , и AC.


1. Рассмотрите рисунок 3, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) P BC� ; б) D OC� ; в) A BD� ; г)C OP� .

2. Рассмотрите рисунок 3, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые KP и AO?

3. На рисунке 3, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре AD, а прямые BD и PC пересекаются в точке O (рис. 3, в). а) Назо�

6

D

K

FC

B

A

O

аа бб вв

В1В1

А1А1D1

C1C1

AA

KО

В CC

DD

В1В1

А1А1 D1

C1C1

K

О

Рис. 2

вите грань, в плоскости которой лежит прямая A P1 . б) Назовите точкипересечения прямыхCO и AD, BO и DC.

4. ABCD – прямоугольник, точка K – внутренняя точка отрезка BC.а) Постройте точку F, в которой пересекаются прямые AK и DC.б) Постройте точку пересечения прямых FB и DK . в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые BC и AD.

5. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC AO, , и АС.


1. Рассмотрите рисунок 4, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)C DT� ; б) D AK� ; в)O AT� ; г) K AC� .

7

D

B

A

O

C

K

P

аа бб вв

АА DD

CCОВ

PP

А1А1

D1

C1C1В1В1

АА DD

CC

О

В

PP

Рис. 3

C

D

T

OA

K

аа бб вв

В1

А1А1

D1D1 C1C1

DD

AA

KО

CC

BBВ1

А1А1

D1D1 C1C1

KО

Рис. 4


1. Рассмотрите рисунок 2, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)O BF� ; б)O KF� ; в) B AD� ; г)O AK� .

2. Рассмотрите рисунок 2, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые AB и KF?

3. На рисунке 2, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре A D1 1 , а прямые B D1 1 и KC1 пересекаются в точке O (рис. 2, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая DK . б) Назовите точ�ки пересечения прямыхC O1 и A D1 1 , D O1 и B C1 1 .

4. ABCD – квадрат, точка K – внутренняя точка отрезка AB. а) Построй�те точку O, в которой пересекаются прямые DK и BC. б) Постройтеточку пересечения прямых AO и KC. в) Назовите одну из прямых, ко�торая пересекает прямые AB и DC.

5. Точка O лежит на стороне AB треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC CO, , и AC.


1. Рассмотрите рисунок 3, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а) P BC� ; б) D OC� ; в) A BD� ; г)C OP� .

2. Рассмотрите рисунок 3, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточкуO. б) В какой точке пересекаются прямые KP и AO?

3. На рисунке 3, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре AD, а прямые BD и PC пересекаются в точке O (рис. 3, в). а) Назо�

6

D

K

FC

B

A

O

аа бб вв

В1В1

А1А1D1

C1C1

AA

KО

В CC

DD

В1В1

А1А1 D1

C1C1

K

О

Рис. 2

вите грань, в плоскости которой лежит прямая A P1 . б) Назовите точкипересечения прямыхCO и AD, BO и DC.

4. ABCD – прямоугольник, точка K – внутренняя точка отрезка BC.а) Постройте точку F, в которой пересекаются прямые AK и DC.б) Постройте точку пересечения прямых FB и DK . в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые BC и AD.

5. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Проведите прямую,не проходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала пря�мые AB BC AO, , и АС.


1. Рассмотрите рисунок 4, а. Выберите утверждение, которое являетсяневерным: а)C DT� ; б) D AK� ; в)O AT� ; г) K AC� .

7

D

B

A

O

C

K

P

аа бб вв

АА DD

CCОВ

PP

А1А1

D1

C1C1В1В1

АА DD

CC

О

В

PP

Рис. 3

C

D

T

OA

K

аа бб вв

В1

А1А1

D1D1 C1C1

DD

AA

KО

CC

BBВ1

А1А1

D1D1 C1C1

KО

Рис. 4

2. Рассмотрите рисунок 4, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку K . б) В какой точке пересекаются прямые AO и DC?

3. На рисунке 4, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре B C1 1 , а прямые A K1 и D B1 1 пересекаются в точке O (рис. 4, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая BK . б) Назовите точ�ки пересечения прямых BK и B C1 1 , D O1 и A B1 1 .

4. ABCD – квадрат, точка T – внутренняя точка отрезка AD. а) По�стройте точку M, в которой пересекаются прямые CD и BT. б) По�стройте точку пересечения прямых MA и CT. в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые AB и CD.

5. Точка O – внутренняя точка треугольника АВС. Проведите прямую, непроходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала прямыеAB BC AC, , и BO.


1. Рассмотрите рисунок 5, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку O. б) В какой точке пересекаются прямые AF и BO? в) Верно ли,что точка K лежит на прямой AF?

2. На рисунке 5, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре AB, прямые A K1 и AB1 пересекаются в точке O. а) Назовите грань,в плоскости которой лежит прямая CK . б) Назовите точки пересече�ния прямых A O1 и AB, B O1 и AA1 .

3. Прямая c пересекает прямые a и b в точках A и B соответственно, пря�мая d пересекает прямые a и b в точках D и C соответственно,

8

Рис. 5

K c d� � , O AC BD� � . а) Постройте точку пересечения прямых OKи AF (точка F – внутренняя точка отрезка CD). б) Назовите прямые,которые пересекают прямые BC и AD.


1. Расмотрите рисунок 6, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку A. б) В какой точке пересекаются прямые FA и KP? в) Верно ли, чтоточка F лежит на прямой АС?

2. На рисунке 6, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре A D1 1 , прямые DP и AD1 пересекаются в точке O. а) Назовите гранькуба, в плоскости которой лежит прямая B P1 . б) Назовите точки пере�сечения прямых B P1 и A D1 1 , D O1 и AA1 .

3. Прямоугольник ABCD и треугольник BKC лежат по разные стороны отпрямой BC. Прямые AK и KD пересекают сторону BC в точках T и Eсоответственно, N AE KC M DT BK� �� , . а) Постройте точку пере�сечения прямой MN и прямой, проходящей через точку K и точку пере�сечения прямых DT и AE. б) Назовите прямые, проходящие через точ�ку K и пересекающие прямые AD и BC.

9

Рис. 6

2. Рассмотрите рисунок 4, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку K . б) В какой точке пересекаются прямые AO и DC?

3. На рисунке 4, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре B C1 1 , а прямые A K1 и D B1 1 пересекаются в точке O (рис. 4, в). а) На�зовите грань, в плоскости которой лежит прямая BK . б) Назовите точ�ки пересечения прямых BK и B C1 1 , D O1 и A B1 1 .

4. ABCD – квадрат, точка T – внутренняя точка отрезка AD. а) По�стройте точку M, в которой пересекаются прямые CD и BT. б) По�стройте точку пересечения прямых MA и CT. в) Назовите одну изпрямых, которая пересекает прямые AB и CD.

5. Точка O – внутренняя точка треугольника АВС. Проведите прямую, непроходящую через точки A B C, , и O, так, чтобы она пересекала прямыеAB BC AC, , и BO.


1. Рассмотрите рисунок 5, а. а) Назовите прямые, проходящие черезточку O. б) В какой точке пересекаются прямые AF и BO? в) Верно ли,что точка K лежит на прямой AF?

2. На рисунке 5, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка K лежит на реб�ре AB, прямые A K1 и AB1 пересекаются в точке O. а) Назовите грань,в плоскости которой лежит прямая CK . б) Назовите точки пересече�ния прямых A O1 и AB, B O1 и AA1 .

3. Прямая c пересекает прямые a и b в точках A и B соответственно, пря�мая d пересекает прямые a и b в точках D и C соответственно,

8

Рис. 5

K c d� � , O AC BD� � . а) Постройте точку пересечения прямых OKи AF (точка F – внутренняя точка отрезка CD). б) Назовите прямые,которые пересекают прямые BC и AD.


1. Расмотрите рисунок 6, а. а) Назовите прямые, проходящие через точ�ку A. б) В какой точке пересекаются прямые FA и KP? в) Верно ли, чтоточка F лежит на прямой АС?

2. На рисунке 6, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка P лежит на реб�ре A D1 1 , прямые DP и AD1 пересекаются в точке O. а) Назовите гранькуба, в плоскости которой лежит прямая B P1 . б) Назовите точки пере�сечения прямых B P1 и A D1 1 , D O1 и AA1 .

3. Прямоугольник ABCD и треугольник BKC лежат по разные стороны отпрямой BC. Прямые AK и KD пересекают сторону BC в точках T и Eсоответственно, N AE KC M DT BK� �� , . а) Постройте точку пере�сечения прямой MN и прямой, проходящей через точку K и точку пере�сечения прямых DT и AE. б) Назовите прямые, проходящие через точ�ку K и пересекающие прямые AD и BC.

9

Рис. 6


СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

С#2 Вариант 1

1. Рассмотрите рисунок 7, а. а) Какие из точек – S O A, , – являютсявнутренними точками отрезка BP? б) Верно ли, что ломаная DCAOKявляется простой?

2. Рассмотрите рисунок 7, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойSD, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 7, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, P, F и T лежат на ребрах AA1, BB1, BC и CC1

соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной D KPFT1 . б) Верно ли, что звено PF лежит на граниBB C C1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, центромкоторой является точка O, а диаметром – отрезок AB. Вычислите дли�ну ломаной ABC, если известно, что расстояние между точками A и Bравно 6 см и AO BC� .

5. Точки A и C – внутренние точки отрезка BD, причем точка C лежитмежду точками A и B. Длина отрезка AC равна 4 см, а длина отрезка

10

Рис. 7

BC в два раза больше длины отрезка AC. Вычислите длину отрезка BD,если известно, что точка A– середина отрезка BD.


1. Рассмотрите рисунок 8, а. а) Какие из точек – A B D, , – являютсявнутренними точками отрезка CK? б) Верно ли, что ломаная EFDBPявляется простой?

2. Рассмотрите рисунок 8, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAE, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 8, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F P E, , , лежат на ребрах B A1 1 , B C1 1 , C D1 1

и DD1 соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звеназамкнутой ломаной AKFPE. б) Верно ли, что звено AK лежит на граниAA B B1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной ABD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Длина отрезка BD в два раза меньшедлины диаметра окружности. Вычислите расстояние между точками Bи D, если известно, что длина ломаной ABD равна 12 см.

5. Точки F и K – внутренние точки отрезка AB, причем точка K лежитмежду точками F и B. Длина отрезка FK равна 1,5 дм, а сумма длин от�резков AF и BK – 45 см. Вычислите длину отрезка AF, если известно,что точка K – середина отрезка AB.

11

Рис. 8


СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ.ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ


1. Рассмотрите рисунок 7, а. а) Какие из точек – S O A, , – являютсявнутренними точками отрезка BP? б) Верно ли, что ломаная DCAOKявляется простой?

2. Рассмотрите рисунок 7, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойSD, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 7, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, P, F и T лежат на ребрах AA1, BB1, BC и CC1

соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной D KPFT1 . б) Верно ли, что звено PF лежит на граниBB C C1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, центромкоторой является точка O, а диаметром – отрезок AB. Вычислите дли�ну ломаной ABC, если известно, что расстояние между точками A и Bравно 6 см и AO BC� .

5. Точки A и C – внутренние точки отрезка BD, причем точка C лежитмежду точками A и B. Длина отрезка AC равна 4 см, а длина отрезка

10

Рис. 7

BC в два раза больше длины отрезка AC. Вычислите длину отрезка BD,если известно, что точка A– середина отрезка BD.


1. Рассмотрите рисунок 8, а. а) Какие из точек – A B D, , – являютсявнутренними точками отрезка CK? б) Верно ли, что ломаная EFDBPявляется простой?

2. Рассмотрите рисунок 8, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAE, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 8, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F P E, , , лежат на ребрах B A1 1 , B C1 1 , C D1 1

и DD1 соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звеназамкнутой ломаной AKFPE. б) Верно ли, что звено AK лежит на граниAA B B1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной ABD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Длина отрезка BD в два раза меньшедлины диаметра окружности. Вычислите расстояние между точками Bи D, если известно, что длина ломаной ABD равна 12 см.

5. Точки F и K – внутренние точки отрезка AB, причем точка K лежитмежду точками F и B. Длина отрезка FK равна 1,5 дм, а сумма длин от�резков AF и BK – 45 см. Вычислите длину отрезка AF, если известно,что точка K – середина отрезка AB.

11

Рис. 8


1. Рассмотрите рисунок 9, а. а) Какие из точек – B, S, K – являютсявнутренними точками отрезка DF? б) Верно ли, что ломаная TOKSAявляется простой?

2. Рассмотрите рисунок 9, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAO, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 9, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F T P, , , лежат на ребрах BB B A C D1 1 1 1 1, , и DD1

соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной AKFTP. б) Верно ли, что звено KF лежит на граниBB A A1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Расстояние между точками B и C равно3 см, отрезок BC равен радиусу окружности. Вычислите длину лома�ной ABC.

5. Точки P и T – внутренние точки отрезка CD. Длина отрезка PT равна3 дм, длина отрезка PC на 20 см меньше, чем длина отрезка PT. Вы�числите длину отрезка CD, если известно, что точка T – середина от�резка PD.


1. Рассмотрите рисунок 10, а. а) Какие из точек – K F A, , – являютсявнутренними точками отрезка DB? б) Верно ли, что ломаная PCAFOявляется простой?

12

Рис. 9

2. Рассмотрите рисунок 10, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойKP, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 10, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F S T, , , лежат на ребрах BB1 , AA1 , AD и DD1

соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной C KFST1 . б) Верно ли, что звено ST лежит на граниAA D D1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной BCD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок BC. Длина отрезка CD равна длине радиусаокружности. Вычислите расстояние между точками D и C, если длиналоманой BCD равна 9 см.

5. Точки K и F – внутренние точки отрезка MB, причем точка K лежитмежду точками M и F. Разность длин отрезков BF и KF равна 1,8 дм,а длина отрезка MK – 26 см. Вычислите длину отрезка BF, если из�вестно, что точка K – середина отрезка MB.


1. Рассмотрите рисунок 11, а. а) Какие из точек – A B C D, , , – являютсявнутренними точками отрезка BK? б) Верно ли, что ломаная TCAKPявляется простой?

2. На рисунке 11, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, E и F лежат на ребрах AA1 , A D1 1 и DD1 соот�ветственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойBKEFC. б) Верно ли, что звено FC лежит на грани DD C C1 1 ?

13

Рис. 10


1. Рассмотрите рисунок 9, а. а) Какие из точек – B, S, K – являютсявнутренними точками отрезка DF? б) Верно ли, что ломаная TOKSAявляется простой?

2. Рассмотрите рисунок 9, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойAO, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 9, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F T P, , , лежат на ребрах BB B A C D1 1 1 1 1, , и DD1

соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной AKFTP. б) Верно ли, что звено KF лежит на граниBB A A1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной ABC лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок AB. Расстояние между точками B и C равно3 см, отрезок BC равен радиусу окружности. Вычислите длину лома�ной ABC.

5. Точки P и T – внутренние точки отрезка CD. Длина отрезка PT равна3 дм, длина отрезка PC на 20 см меньше, чем длина отрезка PT. Вы�числите длину отрезка CD, если известно, что точка T – середина от�резка PD.


1. Рассмотрите рисунок 10, а. а) Какие из точек – K F A, , – являютсявнутренними точками отрезка DB? б) Верно ли, что ломаная PCAFOявляется простой?

12

Рис. 9

2. Рассмотрите рисунок 10, а. Укажите все отрезки, лежащие на прямойKP, с концами в отмеченных точках.

3. На рисунке 10, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K F S T, , , лежат на ребрах BB1 , AA1 , AD и DD1

соответственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена замк�нутой ломаной C KFST1 . б) Верно ли, что звено ST лежит на граниAA D D1 1 ?

4. Вершины незамкнутой ломаной BCD лежат на окружности, диаметромкоторой является отрезок BC. Длина отрезка CD равна длине радиусаокружности. Вычислите расстояние между точками D и C, если длиналоманой BCD равна 9 см.

5. Точки K и F – внутренние точки отрезка MB, причем точка K лежитмежду точками M и F. Разность длин отрезков BF и KF равна 1,8 дм,а длина отрезка MK – 26 см. Вычислите длину отрезка BF, если из�вестно, что точка K – середина отрезка MB.


1. Рассмотрите рисунок 11, а. а) Какие из точек – A B C D, , , – являютсявнутренними точками отрезка BK? б) Верно ли, что ломаная TCAKPявляется простой?

2. На рисунке 11, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки K, E и F лежат на ребрах AA1 , A D1 1 и DD1 соот�ветственно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойBKEFC. б) Верно ли, что звено FC лежит на грани DD C C1 1 ?

13

Рис. 10

3. Длина отрезка равна 2,8 м. Вычислите расстояние между серединойэтого отрезка и точкой, которая делит его в отношении5 2: .


1. Рассмотрите рисунок 12, а. а) Какие из точек – B K S P, , , – являют�ся внутренними точками отрезка KP? б) Верно ли, что ломанаяADFOELMK является простой?

2. На рисунке 12, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки O и K лежат на ребрах B C1 1 и D C1 1 соответст�венно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойCOKA D1 . б) Верно ли, что звеноOK лежит на грани A B C D1 1 1 1 ?

3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB, причем точка C делит от�резок AB в отношении 5 : 7, а точка D – середина отрезка AC. Какойможет быть длина отрезка AD, если AB � 6 дм?

14

Рис. 11

Рис. 12

Самостоятельная работа № 3ЛУЧ. УГОЛ.

СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ


1. Рассмотрите рисунок 13, а. Лучи: а) FO и KO; б) OP и SO; в) OF и OK;г) OB и OK – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

2. Рассмотрите рисунок 13, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке F изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки F O P, , лежатво внутренней области угла BSK?

3. На рисунке 13, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и F – середи�ны ребер A D1 1 и B C1 1 соответственно, O B K A C� 1 1 1� , P D F A C� 1 1 1�

(рис. 13, в). а) Верно ли, что точки O P K, , лежат на сторонах углаC A D1 1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол B KD1 1 .

4. Луч OC является биссектрисой угла AOB, а луч OD является биссек�трисой угла COB. Вычислите градусную меру угла AOD, если� � � � �AOC COD 15 .

5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 110 , а градусная мера углаAOC больше градусной меры угла BOC на10�. Отметьте во внутреннейобласти угла COB точку F. Выясните, острым или тупым является�COF. Ответ обоснуйте.

15

B

F

P OS

K

аа бб вв

AA

CCBB

DD

В1В1

А1А1 D1

C1C1

FF

P

K

О В1В1

А1А1 D1

C1C1

FF

P

K

О

Рис. 13

3. Длина отрезка равна 2,8 м. Вычислите расстояние между серединойэтого отрезка и точкой, которая делит его в отношении5 2: .


1. Рассмотрите рисунок 12, а. а) Какие из точек – B K S P, , , – являют�ся внутренними точками отрезка KP? б) Верно ли, что ломанаяADFOELMK является простой?

2. На рисунке 12, б изображен прямоугольный параллелепипедABCDA B C D1 1 1 1 , точки O и K лежат на ребрах B C1 1 и D C1 1 соответст�венно. а) Назовите грань, на которой лежат два звена ломанойCOKA D1 . б) Верно ли, что звеноOK лежит на грани A B C D1 1 1 1 ?

3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB, причем точка C делит от�резок AB в отношении 5 : 7, а точка D – середина отрезка AC. Какойможет быть длина отрезка AD, если AB � 6 дм?

14

Рис. 11

Рис. 12

Самостоятельная работа № 3ЛУЧ. УГОЛ.

СРАВНЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ


1. Рассмотрите рисунок 13, а. Лучи: а) FO и KO; б) OP и SO; в) OF и OK;г) OB и OK – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

2. Рассмотрите рисунок 13, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке F изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки F O P, , лежатво внутренней области угла BSK?

3. На рисунке 13, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и F – середи�ны ребер A D1 1 и B C1 1 соответственно, O B K A C� 1 1 1� , P D F A C� 1 1 1�

(рис. 13, в). а) Верно ли, что точки O P K, , лежат на сторонах углаC A D1 1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол B KD1 1 .

4. Луч OC является биссектрисой угла AOB, а луч OD является биссек�трисой угла COB. Вычислите градусную меру угла AOD, если� � � � �AOC COD 15 .

5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 110 , а градусная мера углаAOC больше градусной меры угла BOC на10�. Отметьте во внутреннейобласти угла COB точку F. Выясните, острым или тупым является�COF. Ответ обоснуйте.

15

B

F

P OS

K

аа бб вв

AA

CCBB

DD

В1В1

А1А1 D1

C1C1

FF

P

K

О В1В1

А1А1 D1

C1C1

FF

P

K

О

Рис. 13


1. Рассмотрите рисунок 14, а. Лучи: а) KВ и KЕ; б) KC и KF; в) MK и KB;г) KE и KF – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

2. Рассмотрите рисунок 14, а. а) Сколько лучей с началом в точке K изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки E M, и K ле�жат во внутренней области углаCBF?

3. На рисунке 14, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A B1 1 и AB соответственно, F BK B A� � 1 , T PA B A� 1 1�

(рис. 14, в). а) Верно ли, что точки K F, и T лежат на сторонах углаAB A1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол BFA.

4. Луч OA является биссектрисой угла ВОС, а луч OD является биссек�трисой угла ВОА. Вычислите градусную меру угла DOC, если� � � � �COA BOD 20 .

5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 168 , а градусная мера углаAOC меньше градусной меры угла BOC на 42�. Отметьте во внутреннейобласти угла AOC точку T. Выясните, острым или тупым является уголTOB. Ответ обоснуйте.


1. Рассмотрите рисунок 15, а. Лучи: а) SK и SO; б) OS и SF; в) PK и PS;г) TP и OР – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

16

C

E K

B

F

M

аа бб вв

В1В1

ВВ A

А1А1KK

Р

В1В1 C1C1

D1D1А1

T

F

PP

K

AA

CBB

DD

TT

FF

Рис. 14

2. Рассмотрите рисунок 15, а. а) Сколько лучей с началом в точке P изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке S изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки P O, и S ле�жат во внутренней области угла KTF?

3. На рисунке 15, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, T D K DC� 1 1� , E PC DC� � 1

(рис. 15, в). а) Верно ли, что точки T E, и K лежат на сторонах углаC DC1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол D KC1 .

4. Луч OC является биссектрисой угла AОD, а луч OT делит угол AОC надва угла так, что � � �TOC AOT2 . Вычислите градусную меру углаTOD, если � � �COD 30 .

5. Луч OC делит угол DOB на два угла. Вычислите градусные меры угловDOC и COB, если известно, что �DOC в два раза больше �COBи � � �DOB 165 . Отметьте во внутренней области угла COB точку E.Выясните, острым или тупым является �EOC. Ответ обоснуйте.


1. Рассмотрите рисунок 16, а. Лучи: а) BK и AB; б) OB и CB; в) FO и FB;г) BO и BC – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

2. Рассмотрите рисунок 16, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки A B C, , лежатво внутренней области углаOFK?

3. На рисунке 16, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AD соответственно, O AK A D� � 1 , T D P A D� 1 1�

17

P

K

FT

O

SS

аа бб вв

D1D1

DD C

C1C1

KK

Р

TT

В1В1

А1А1

C1C1

D1

T

E

P

KKAA

CCB

DD

EE

Рис. 15


1. Рассмотрите рисунок 14, а. Лучи: а) KВ и KЕ; б) KC и KF; в) MK и KB;г) KE и KF – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

2. Рассмотрите рисунок 14, а. а) Сколько лучей с началом в точке K изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки E M, и K ле�жат во внутренней области углаCBF?

3. На рисунке 14, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A B1 1 и AB соответственно, F BK B A� � 1 , T PA B A� 1 1�

(рис. 14, в). а) Верно ли, что точки K F, и T лежат на сторонах углаAB A1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол BFA.

4. Луч OA является биссектрисой угла ВОС, а луч OD является биссек�трисой угла ВОА. Вычислите градусную меру угла DOC, если� � � � �COA BOD 20 .

5. Луч OC делит угол AOB на два угла. Вычислите градусные меры угловAOC и BOC, если известно, что � � �AOB 168 , а градусная мера углаAOC меньше градусной меры угла BOC на 42�. Отметьте во внутреннейобласти угла AOC точку T. Выясните, острым или тупым является уголTOB. Ответ обоснуйте.


1. Рассмотрите рисунок 15, а. Лучи: а) SK и SO; б) OS и SF; в) PK и PS;г) TP и OР – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

16

C

E K

B

F

M

аа бб вв

В1В1

ВВ A

А1А1KK

Р

В1В1 C1C1

D1D1А1

T

F

PP

K

AA

CBB

DD

TT

FF

Рис. 14

2. Рассмотрите рисунок 15, а. а) Сколько лучей с началом в точке P изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке S изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки P O, и S ле�жат во внутренней области угла KTF?

3. На рисунке 15, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, T D K DC� 1 1� , E PC DC� � 1

(рис. 15, в). а) Верно ли, что точки T E, и K лежат на сторонах углаC DC1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол D KC1 .

4. Луч OC является биссектрисой угла AОD, а луч OT делит угол AОC надва угла так, что � � �TOC AOT2 . Вычислите градусную меру углаTOD, если � � �COD 30 .

5. Луч OC делит угол DOB на два угла. Вычислите градусные меры угловDOC и COB, если известно, что �DOC в два раза больше �COBи � � �DOB 165 . Отметьте во внутренней области угла COB точку E.Выясните, острым или тупым является �EOC. Ответ обоснуйте.


1. Рассмотрите рисунок 16, а. Лучи: а) BK и AB; б) OB и CB; в) FO и FB;г) BO и BC – являются противоположными. Выберите правильныйответ.

2. Рассмотрите рисунок 16, а. а) Сколько лучей с началом в точке O изо�бражено на рисунке? б) Сколько неразвернутых углов с вершинойв точке C изображено на рисунке? в) Верно ли, что точки A B C, , лежатво внутренней области углаOFK?

3. На рисунке 16, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AD соответственно, O AK A D� � 1 , T D P A D� 1 1�

17

P

K

FT

O

SS

аа бб вв

D1D1

DD C

C1C1

KK

Р

TT

В1В1

А1А1

C1C1

D1

T

E

P

KKAA

CCB

DD

EE

Рис. 15

(рис. 16, в). а) Верно ли, что точки K O, и T лежат на сторонах углаDA D1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол DOA.

4. Луч OF является биссектрисой угла AОB, а луч OE делит угол FОB надва угла так, что � � � � �BOE FOE 20 . Вычислите градусную меру углаAOE, если � � �AOF 50 .

5. Луч OF делит угол KOP на два угла. Вычислите градусные меры угловKOF и POF, если известно, что �POF в 15, раза меньше �KOFи � � �KOP 150 . Отметьте во внутренней области угла POF точку T.Выясните, острым или тупым является �FOT. Ответ обоснуйте.


1. Расмотрите рисунок 17, а. а) Являются ли лучи FK и KF противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке F изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла FOP?

18

A

F

C

B

O

K

аа бб вв

A1A1

AA D

D1D1

PP

K

TT

OO

K

AACC

B

DDPP

OT

А1А1

В1В1

C1C1D1

Рис. 16

Рис. 17

2. На рисунке 17, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, P D K DC� 1 1� , F TC DC� � 1 .а) Верно ли, что точки C1 , F и C лежат на сторонах угла PDK? б) Назо�вите грань, в плоскости которой лежит угол A TB1 1 .

3. Развернутый угол двумя лучами с началом в его вершине разделен натри угла, градусная мера одного из которых в два раза меньше градус�ной меры другого и на 20� больше градусной меры третьего угла. Вы�числите градусные меры этих углов.


1. Рассмотрите рисунок 18, а. а) Являются ли лучи KF и FK противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке K изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла ACE?

2. На рисунке 18, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – середи�ны ребер B C1 1 и A D1 1 соответственно, P A K B D� 1 1 1� , F TC B D� 1 1 1� .а) Верно ли, что точки D1 , F и C1 лежат на сторонах угла PB K1 ? б) На�зовите грань, в плоскости которой лежит угол A TA1 .

3. Прямой угол двумя лучами с началом в его вершине разделен на три

угла. Первый угол составляет12

часть второго угла, а третий –35

пер�

вого угла. Вычислите градусные меры этих углов.

19

Рис. 18

(рис. 16, в). а) Верно ли, что точки K O, и T лежат на сторонах углаDA D1 1 ? б) Назовите грань, в плоскости которой лежит угол DOA.

4. Луч OF является биссектрисой угла AОB, а луч OE делит угол FОB надва угла так, что � � � � �BOE FOE 20 . Вычислите градусную меру углаAOE, если � � �AOF 50 .

5. Луч OF делит угол KOP на два угла. Вычислите градусные меры угловKOF и POF, если известно, что �POF в 15, раза меньше �KOFи � � �KOP 150 . Отметьте во внутренней области угла POF точку T.Выясните, острым или тупым является �FOT. Ответ обоснуйте.


1. Расмотрите рисунок 17, а. а) Являются ли лучи FK и KF противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке F изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла FOP?

18

A

F

C

B

O

K

аа бб вв

A1A1

AA D

D1D1

PP

K

TT

OO

K

AACC

B

DDPP

OT

А1А1

В1В1

C1C1D1

Рис. 16

Рис. 17

2. На рисунке 17, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – сере�дины ребер DC и D C1 1 соответственно, P D K DC� 1 1� , F TC DC� � 1 .а) Верно ли, что точки C1 , F и C лежат на сторонах угла PDK? б) Назо�вите грань, в плоскости которой лежит угол A TB1 1 .

3. Развернутый угол двумя лучами с началом в его вершине разделен натри угла, градусная мера одного из которых в два раза меньше градус�ной меры другого и на 20� больше градусной меры третьего угла. Вы�числите градусные меры этих углов.


1. Рассмотрите рисунок 18, а. а) Являются ли лучи KF и FK противопо�ложными? б) Сколько неразвернутых углов с вершиной в точке K изо�бражено на рисунке? в) Какие из отмеченных точек лежат во внутрен�ней области угла ACE?

2. На рисунке 18, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точки K и T – середи�ны ребер B C1 1 и A D1 1 соответственно, P A K B D� 1 1 1� , F TC B D� 1 1 1� .а) Верно ли, что точки D1 , F и C1 лежат на сторонах угла PB K1 ? б) На�зовите грань, в плоскости которой лежит угол A TA1 .

3. Прямой угол двумя лучами с началом в его вершине разделен на три

угла. Первый угол составляет12

часть второго угла, а третий –35

пер�

вого угла. Вычислите градусные меры этих углов.

19

Рис. 18


СВОЙСТВА СМЕЖНЫХИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ


1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна89°59′59″?

2. Луч OB – биссектриса угла AOC (рис. 19, а), точка O – точка пересе�чения прямых AD и BF. а) Приведите пример вертикальных угловс вершиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �BOD AOF?

3. На рисунке 19, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на ребре A C1 1 . Точка O – точка пересечения прямыхA C1 и AK (рис. 19, в). а) Какие углы – A OK1 и C OC1 или A OA1 и AOC –являются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и BA, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?

4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COA 20 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OB и бис�сектриса угла AOD.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ВОК.

20

O

F

A CB

D

аа бб вв

K

CC

AA

BB

O

В1В1

А1

C1C1 A1A1 C1C1

AA CC

OO

KK

Рис. 19


1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна90°12″?

2. Прямые CD и BE пересекаются в точке O (рис. 20, а), луч OC – бис�сектриса угла BOA. а) Приведите пример вертикальных углов с вер�шиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �COE BOD?

3. На рисунке 20, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BB1 , точка K – точка пересечения прямых APи A B1 (рис. 20, в). а) Какие углы – BKP и B KA1 1 или BKA и AKA1 – яв�ляются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и B C1 1 , лежащиев плоскости грани BB C C1 1 , перпендикулярными?

4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 140 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OAи биссектриса угла DOB.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ВОК.



2. Прямые AF и CD пересекаются в точке K, луч KC – биссектриса углаAKB (рис. 21, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке K . б) Верно ли, что � � �AKD FKC?

21

O

E

A

C

B

D

аа бб вв

А1А1C1C1

В1

K

CC

BB

AAP

A1A1 B1B1

AA BBKK

PP

Рис. 20


СВОЙСТВА СМЕЖНЫХИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ



2. Луч OB – биссектриса угла AOC (рис. 19, а), точка O – точка пересе�чения прямых AD и BF. а) Приведите пример вертикальных угловс вершиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �BOD AOF?

3. На рисунке 19, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на ребре A C1 1 . Точка O – точка пересечения прямыхA C1 и AK (рис. 19, в). а) Какие углы – A OK1 и C OC1 или A OA1 и AOC –являются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и BA, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?

4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COA 20 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OB и бис�сектриса угла AOD.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ВОК.

20

O

F

A CB

D

аа бб вв

K

CC

AA

BB

O

В1В1

А1

C1C1 A1A1 C1C1

AA CC

OO

KK

Рис. 19


1. Острым или тупым является угол, градусная мера которого равна90°12″?

2. Прямые CD и BE пересекаются в точке O (рис. 20, а), луч OC – бис�сектриса угла BOA. а) Приведите пример вертикальных углов с вер�шиной в точкеO. б) Верно ли, что � � �COE BOD?

3. На рисунке 20, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BB1 , точка K – точка пересечения прямых APи A B1 (рис. 20, в). а) Какие углы – BKP и B KA1 1 или BKA и AKA1 – яв�ляются смежными? б) Являются ли прямые BB1 и B C1 1 , лежащиев плоскости грани BB C C1 1 , перпендикулярными?

4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 140 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч OAи биссектриса угла DOB.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ВОК.



2. Прямые AF и CD пересекаются в точке K, луч KC – биссектриса углаAKB (рис. 21, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке K . б) Верно ли, что � � �AKD FKC?

21

O

E

A

C

B

D

аа бб вв

А1А1C1C1

В1

K

CC

BB

AAP

A1A1 B1B1

AA BBKK

PP

Рис. 20

3. На рисунке 21, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BC, а точка O – точка пересечения прямых B P1

и BC1 (рис. 21, в). а) Какие углы – BOP и COC1 или BOB1 и B OC1 1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AA1 и AB, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , взаимно перпендикулярными?

4. Прямые AP и KF пересекаются в точке E, причем � � �AEK 30 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч EP и бис�сектриса угла AEF.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ТОС.



2. Прямые CT и KB пересекаются в точке A, луч AB – биссектриса углаFAC (рис. 22, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке A. б) Верно ли, что � � �KAC TAB?

3. На рисунке 22, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка T лежит на ребре AA1 , а точка O – точка пересечения прямых B T1

и A B1 (рис. 22, в). а) Какие углы – A OT1 и AOB или A OB1 1 и B OB1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AC и CC1 , лежащиев плоскости грани AA C C1 1 , взаимно перпендикулярными?

22

A C B

DF

K

аа бб вв

А1А1 C1C1

В1

CC

BBAA

PP

O

B1B1 C1C1

BB CC

OO

PP

Рис. 21

4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 116 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч ODи биссектриса угла AOC.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ТОС.


1. На рисунке 23, а точка O – точка пересечения прямых BT и AE, а лучиOC и OE – биссектрисы углов BOD и DOT соответственно. а) Приве�дите пример вертикальных углов с вершиной в точке O. б) Верно ли,что � � �AOC COE?

23

Рис. 23

T

K A

F

B

C

аа бб вв

A1A1 B1B1

AA BB

А1А1

В1

C1C1

CC

BB

AA

OTT

TT

OO

Рис. 22

3. На рисунке 21, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка P лежит на ребре BC, а точка O – точка пересечения прямых B P1

и BC1 (рис. 21, в). а) Какие углы – BOP и COC1 или BOB1 и B OC1 1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AA1 и AB, лежащиев плоскости грани AA B B1 1 , взаимно перпендикулярными?

4. Прямые AP и KF пересекаются в точке E, причем � � �AEK 30 . Вычис�лите градусную меру угла, сторонами которого являются луч EP и бис�сектриса угла AEF.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОТ, а луч ОА – биссектри�са угла КОР. Вычислите градусную меру угла ТОС.



2. Прямые CT и KB пересекаются в точке A, луч AB – биссектриса углаFAC (рис. 22, а). а) Приведите пример вертикальных углов с верши�ной в точке A. б) Верно ли, что � � �KAC TAB?

3. На рисунке 22, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка T лежит на ребре AA1 , а точка O – точка пересечения прямых B T1

и A B1 (рис. 22, в). а) Какие углы – A OT1 и AOB или A OB1 1 и B OB1 –являются смежными? б) Являются ли прямые AC и CC1 , лежащиев плоскости грани AA C C1 1 , взаимно перпендикулярными?

22

A C B

DF

K

аа бб вв

А1А1 C1C1

В1

CC

BBAA

PP

O

B1B1 C1C1

BB CC

OO

PP

Рис. 21

4. Прямые AB и CD пересекаются в точке O, причем � � �COB 116 . Вы�числите градусную меру угла, сторонами которого являются луч ODи биссектриса угла AOC.

5. Лучи ОТ и ОР являются биссектрисами смежных углов АОВ и АОС со�ответственно. Луч ОК – биссектриса угла АОР, а луч ОА – биссек�триса угла ТОК. Вычислите градусную меру угла ТОС.


1. На рисунке 23, а точка O – точка пересечения прямых BT и AE, а лучиOC и OE – биссектрисы углов BOD и DOT соответственно. а) Приве�дите пример вертикальных углов с вершиной в точке O. б) Верно ли,что � � �AOC COE?

23

Рис. 23

T

K A

F

B

C

аа бб вв

A1A1 B1B1

AA BB

А1А1

В1

C1C1

CC

BB

AA

OTT

TT

OO

Рис. 22

2. На рисунке 23, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на луче AA1 , а точка T – на ребре AB, O KT AB� � 1 ,F A B KT� 1 1 � . а) Какие углы – A FO1 и KFA1 или TOA и BOB1 – явля�ются смежными? б) Являются ли прямые A K1 и A B1 1 , лежащие в пло�скости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?

3. Луч OK – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если известно, что � � �AOK 75 .


1. На рисунке 24, а точка O – точка пересечения прямых AT, PB и KC,а луч OB – биссектриса угла AOC. а) Приведите пример вертикальныхуглов с вершиной в точке O. б) Верно ли, что � � �COP AOP?

2. На рисунке 24, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка F лежит на луче B B1 , а точка P – на ребре B C1 1 ; K B C FP� 1 � ,O FP BC� � . а) Какие углы – B KF1 и OKC или PKB1 и C KC1 – являютсясмежными? б) Являются ли прямые BF и BC, лежащие в плоскостиграни BB C C1 1 , взаимно перпендикулярными?

3. Луч OF – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если � � �AOF 130 .

24

Рис. 24


НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 2)


1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.

2. Луч OC – биссектриса угла AOB, а луч OD – биссектриса угла AOC(рис. 25, а). Вычислите градусную меру угла BOD, если � � �AOD 20 .

3. На рисунке 25, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков BD и AC. Вычислите градусные меры углов AODи AOB, если � � �BOC 60 .

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОА и биссектриса углаРОС, если известно, что � � �TOB 50 .

5. Точка C – внутренняя точка отрезка AB, длина которого равна 15 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�

дина отрезка AC, если AC CB�

23

.

25

AA

CBA

O

D

аа бб

BB CC

DD

OO

Рис. 25

2. На рисунке 23, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка K лежит на луче AA1 , а точка T – на ребре AB, O KT AB� � 1 ,F A B KT� 1 1 � . а) Какие углы – A FO1 и KFA1 или TOA и BOB1 – явля�ются смежными? б) Являются ли прямые A K1 и A B1 1 , лежащие в пло�скости грани AA B B1 1 , перпендикулярными?

3. Луч OK – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если известно, что � � �AOK 75 .


1. На рисунке 24, а точка O – точка пересечения прямых AT, PB и KC,а луч OB – биссектриса угла AOC. а) Приведите пример вертикальныхуглов с вершиной в точке O. б) Верно ли, что � � �COP AOP?

2. На рисунке 24, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Точка F лежит на луче B B1 , а точка P – на ребре B C1 1 ; K B C FP� 1 � ,O FP BC� � . а) Какие углы – B KF1 и OKC или PKB1 и C KC1 – являютсясмежными? б) Являются ли прямые BF и BC, лежащие в плоскостиграни BB C C1 1 , взаимно перпендикулярными?

3. Луч OF – биссектриса угла, сторонами которого являются биссектри�сы смежных углов AOC и COB. Вычислите градусные меры углов AOCиCOB, если � � �AOF 130 .

24

Рис. 24


НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 2)


1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.

2. Луч OC – биссектриса угла AOB, а луч OD – биссектриса угла AOC(рис. 25, а). Вычислите градусную меру угла BOD, если � � �AOD 20 .

3. На рисунке 25, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков BD и AC. Вычислите градусные меры углов AODи AOB, если � � �BOC 60 .

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОА и биссектриса углаРОС, если известно, что � � �TOB 50 .

5. Точка C – внутренняя точка отрезка AB, длина которого равна 15 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�

дина отрезка AC, если AC CB�

23

.

25

AA

CBA

O

D

аа бб

BB CC

DD

OO

Рис. 25


1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не являетсяпростой.

2. Луч OA – биссектриса угла BOC, а луч OK – биссектриса угла AOB(рис. 26, а). Вычислите градусную меру угла KOC, если � � �BOC 120 .

3. На рисунке 26, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков AC и BD. Вычислите градусные меры углов AOBи BOC, если � � �AOD 110 .

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОВ и биссектриса углаDОТ, если известно, что � � �AOP 60 .

5. Точка D – внутренняя точка отрезка CB, длина которого равна 24 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка BD, если DB DC� � 14см.


1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не является простой.

2. Луч OK– биссектриса прямого угла BOC, а луч OF – биссектриса углаBOK (рис. 27, а). Вычислите градусную меру угла FOC.

3. На рисунке 27, б изображен прямоугольник BTCK, точка O – точкапересечения отрезков BC и TK. Вычислите градусные меры углов COKи BOK, если � � �TOC 80 .

26

C

B

A

O

K

аа бб

AA

BB CC

DD

OO

Рис. 26

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаТОВ, если известно, что � � �POC 40 .

5. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, длина которого равна 16 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка FD, если FD CF� 3 .


1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.

2. Луч OF – биссектриса развернутого угла AOB, а луч OE – биссектри�са угла FOB (рис. 28, а). Вычислите градусную меру угла AOE.

27

BF

CO

K

аа бб

TT

BB

CC

KK

OO

Рис. 27

A O B

E

F

аа бб

AA

EE

CC

TT

OO

Рис. 28


1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не являетсяпростой.

2. Луч OA – биссектриса угла BOC, а луч OK – биссектриса угла AOB(рис. 26, а). Вычислите градусную меру угла KOC, если � � �BOC 120 .

3. На рисунке 26, б изображен прямоугольник ABCD, точка O – точкапересечения отрезков AC и BD. Вычислите градусные меры углов AOBи BOC, если � � �AOD 110 .

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОВ и биссектриса углаDОТ, если известно, что � � �AOP 60 .

5. Точка D – внутренняя точка отрезка CB, длина которого равна 24 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка BD, если DB DC� � 14см.


1. Изобразите замкнутую ломаную ABCDOPТ, которая не является простой.

2. Луч OK– биссектриса прямого угла BOC, а луч OF – биссектриса углаBOK (рис. 27, а). Вычислите градусную меру угла FOC.

3. На рисунке 27, б изображен прямоугольник BTCK, точка O – точкапересечения отрезков BC и TK. Вычислите градусные меры углов COKи BOK, если � � �TOC 80 .

26

C

B

A

O

K

аа бб

AA

BB CC

DD

OO

Рис. 26

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаТОВ, если известно, что � � �POC 40 .

5. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, длина которого равна 16 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка C и сере�дина отрезка FD, если FD CF� 3 .


1. Изобразите незамкнутую ломаную ABCDOP, которая не является про�стой.

2. Луч OF – биссектриса развернутого угла AOB, а луч OE – биссектри�са угла FOB (рис. 28, а). Вычислите градусную меру угла AOE.

27

BF

CO

K

аа бб

TT

BB

CC

KK

OO

Рис. 27

A O B

E

F

аа бб

AA

EE

CC

TT

OO

Рис. 28

3. На рисунке 28, б изображен прямоугольник АЕСТ, точка О – точкапересечения отрезков АС и ЕТ. Вычислите градусные меры углов АОЕи ЕОС, если � � �COT 106 .

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаАОР, если известно, что � � �DOT 20 .

5. Точка D – внутренняя точка отрезка АВ, длина которого равна 18 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�дина отрезка AD, если AD BD� � 6см.


1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB, равна 50�

(рис. 29, а). Вычислите градусную меру угла, смежного с углом AOB.

2. На рисунке 29, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно. Отрезки A B1 ,AB1 и FK пересекаются в точке O. Луч OA1 – биссектриса развернуто�го угла FOK . Вычислите градусную меру угла A OA1 , если � � �KOB1 30 .

3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB � 20 см. Известно, чтоAC � 6 см, CD � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами кото�рого являются середины отрезков AB иCD?

28

Рис. 29


1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,смежного с углом AOB, равна 40�. Вычислите градусную меру угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB (рис. 30, а).

2. На рисунке 30, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах AA1 и CC1 соответственно. Отрезки A C1 ,AC1 и KF пересекаются в точке O, причем луч OK – биссектриса раз�вернутого угла AOC1 . Вычислите градусную меру угла COF, если� � �A OC1 1 50 .

3. Точки K и F – внутренние точки отрезка AB � 18 см, причем AK � 6 см,KF � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами которого явля�ются середины отрезков AK и FB?

29

Рис. 30

3. На рисунке 28, б изображен прямоугольник АЕСТ, точка О – точкапересечения отрезков АС и ЕТ. Вычислите градусные меры углов АОЕи ЕОС, если � � �COT 106 .

4. Перпендикулярные прямые АВ и CD пересекаются в точке О. ПрямаяРТ проходит через точку О, а точки Р и Т расположены во внутреннихобластях углов АОС и ВОD соответственно. Вычислите градуснуюмеру угла, сторонами которого являются луч ОС и биссектриса углаАОР, если известно, что � � �DOT 20 .

5. Точка D – внутренняя точка отрезка АВ, длина которого равна 18 см.Вычислите длину отрезка, концами которого являются точка B и сере�дина отрезка AD, если AD BD� � 6см.


1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB, равна 50�

(рис. 29, а). Вычислите градусную меру угла, смежного с углом AOB.

2. На рисунке 29, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно. Отрезки A B1 ,AB1 и FK пересекаются в точке O. Луч OA1 – биссектриса развернуто�го угла FOK . Вычислите градусную меру угла A OA1 , если � � �KOB1 30 .

3. Точки C и D – внутренние точки отрезка AB � 20 см. Известно, чтоAC � 6 см, CD � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами кото�рого являются середины отрезков AB иCD?

28

Рис. 29


1. Луч OC делит угол AOB на два угла AOC и COB. Градусная мера угла,смежного с углом AOB, равна 40�. Вычислите градусную меру угла,сторонами которого служат биссектрисы углов AOC и COB (рис. 30, а).

2. На рисунке 30, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 ,точки K и F лежат на ребрах AA1 и CC1 соответственно. Отрезки A C1 ,AC1 и KF пересекаются в точке O, причем луч OK – биссектриса раз�вернутого угла AOC1 . Вычислите градусную меру угла COF, если� � �A OC1 1 50 .

3. Точки K и F – внутренние точки отрезка AB � 18 см, причем AK � 6 см,KF � 4 см. Какой может быть длина отрезка, концами которого явля�ются середины отрезков AK и FB?

29

Рис. 30

Контрольная работа № 1

НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

К#1 Вариант 1

1. Точка K лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, O KC BD� �

(рис. 31, а). Какой из углов – BOC или BOK – является смежнымс угломCOD?

2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков BCи AC соответственно,O BF AP� � . Сравните: а) BO и BF; б) BC и PC.

3. Прямые AB и FK пересекаются в точке O. Луч OF является биссектри�сой угла AOC. Вычислите градусную меру угла AOC, если � � �BOK 30(рис. 31, б).

4. Длина незамкнутой ломаной ABCD равна 2,9 дм. Длина звена BСв 1,1 раза меньше длины звена CD, а длина звена AB на 2 см меньшедлины звена BС. Вычислите длину большего звена ломаной ABCD.

5. Точки P M K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка P лежитна луче KM, а точка M лежит на луче PK . Вычислите длину отрезкаPK, если PM � 2 дм, а длина отрезка MK на 6 см больше длины отрез�ка PM.

30

A

O

B С

K

D

AO B

С

K

F

аа бб

Рис. 31


1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и DC квадратаABCD, O BF CP� � (рис. 32, а). Какой из углов – POF или BOP – яв�ляется смежным с угломCOF?

2. ABCD – прямоугольник. Точка T – внутренняя точка отрезка BC,O AC DT� � . Сравните: а) AO и AC; б)OD и DT.

3. Прямые CD и AB пересекаются в точке O. Луч OB является биссектри�сой угла TOD (рис. 32, б). Вычислите градусную меру угла AOC, если� � �COT 100 .

4. Длина незамкнутой ломаной TKOP равна 76 мм. Длина звена TK в 1,2 ра�за больше длины звена OK, а длина звена OP на 2 см меньше длинызвена OK. Вычислите длину меньшего звена ломаной TKOP.

5. Точки A, B, D лежат на одной прямой. Известно, что точка D лежит налуче AB, но не лежит на отрезке AB. Вычислите длину отрезка AD, еслиАВ � 8 дм, а длина отрезка BD на 13 см меньше длины отрезка AB.


1. Точки T и F лежат соответственно на сторонах AC и BC треугольникаABC, O BT AF� � (рис. 33, а). Какой из углов – FOT или BOF – явля�ется смежным с углом AOB?

2. ABC – треугольник. Точки D P, и F – внутренние точки отрезковAC BC, и AB соответственно, O FP BD� � . Сравните: а) FO и FP; б) ADи AC.

31

B C

FO

DPA

T B

AC

O

D

аа бб

Рис. 32


НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ


1. Точка K лежит на стороне AB прямоугольника ABCD, O KC BD� �

(рис. 31, а). Какой из углов – BOC или BOK – является смежнымс угломCOD?

2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков BCи AC соответственно,O BF AP� � . Сравните: а) BO и BF; б) BC и PC.

3. Прямые AB и FK пересекаются в точке O. Луч OF является биссектри�сой угла AOC. Вычислите градусную меру угла AOC, если � � �BOK 30(рис. 31, б).

4. Длина незамкнутой ломаной ABCD равна 2,9 дм. Длина звена BСв 1,1 раза меньше длины звена CD, а длина звена AB на 2 см меньшедлины звена BС. Вычислите длину большего звена ломаной ABCD.

5. Точки P M K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка P лежитна луче KM, а точка M лежит на луче PK . Вычислите длину отрезкаPK, если PM � 2 дм, а длина отрезка MK на 6 см больше длины отрез�ка PM.

30

A

O

B С

K

D

AO B

С

K

F

аа бб

Рис. 31


1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и DC квадратаABCD, O BF CP� � (рис. 32, а). Какой из углов – POF или BOP – яв�ляется смежным с угломCOF?

2. ABCD – прямоугольник. Точка T – внутренняя точка отрезка BC,O AC DT� � . Сравните: а) AO и AC; б)OD и DT.

3. Прямые CD и AB пересекаются в точке O. Луч OB является биссектри�сой угла TOD (рис. 32, б). Вычислите градусную меру угла AOC, если� � �COT 100 .

4. Длина незамкнутой ломаной TKOP равна 76 мм. Длина звена TK в 1,2 ра�за больше длины звена OK, а длина звена OP на 2 см меньше длинызвена OK. Вычислите длину меньшего звена ломаной TKOP.

5. Точки A, B, D лежат на одной прямой. Известно, что точка D лежит налуче AB, но не лежит на отрезке AB. Вычислите длину отрезка AD, еслиАВ � 8 дм, а длина отрезка BD на 13 см меньше длины отрезка AB.


1. Точки T и F лежат соответственно на сторонах AC и BC треугольникаABC, O BT AF� � (рис. 33, а). Какой из углов – FOT или BOF – явля�ется смежным с углом AOB?

2. ABC – треугольник. Точки D P, и F – внутренние точки отрезковAC BC, и AB соответственно, O FP BD� � . Сравните: а) FO и FP; б) ADи AC.

31

B C

FO

DPA

T B

AC

O

D

аа бб

Рис. 32

3. Прямые AC и BD пересекаются в точке K . Луч KD является биссек�трисой угла AKE (рис. 33, б). Вычислите градусную меру угла AKE,если � � �BKC 40 .

4. Длина незамкнутой ломаной ATOM равна 5 дм. Длина звена OT боль�ше длины звена AT на 10 см, но меньше длины звена OM на 3 см. Вы�числите длину большего звена ломаной ATOM.

5. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Известно, что точка A лежит налуче CB, а точка B лежит на луче AC. Вычислите длину отрезка AC, еслиCВ � 10 см, а длина отрезка BAв два раза меньше длины отрезкаCB.


1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и AB прямоугольни�ка ABCD, O CF BP� � (рис. 34, а). Какой из углов – COP или BOC –является смежным с углом FOP?

32

B

O

F

TAC

B C

K

A D E

аа бб

Рис. 33

A

O

B

С

F

D

PС

AF B

K

P

аа бб

Рис. 34

2. ABCD – прямоугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AB,O CF BD� � . Сравните: а)CO иCF; б) AF и AB.

3. Прямые CK и AB пересекаются в точке F. Луч FK является биссектри�сой угла BFP (рис. 34, б). Вычислите градусную меру угла CFA, если� � �AFP 124 .

4. Длина незамкнутой ломаной OTEH равна 2,9 дм. Длина звена ОТ на2 см больше длины звена ТЕ, а длина звена ЕН на 4 см больше длинызвена ОТ. Вычислите длину меньшего звена ломаной ОТЕН.

5. Точки M B K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка M лежит налуче BK и не лежит на отрезке BK . Вычислите длину отрезка MB, еслиВК � 2 см, а длина отрезка KM в два раза больше длины отрезка BK .


1. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 35, а). Точка F лежит вовнутренней области угла СОВ так, что луч OF перпендикулярен биссек�трисе OK угла AOC. Вычислите градусную меру угла FOB, если� � �AOD BOD5 .

2. На рисунке 35, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной CАА B1 1 равна 28 см. Длина ребра

А1В1 призмы на 2 см больше длины ребра АА1, а АС А B�

12 1 1 . Вычис�

лите длину большего звена ломанойCАА B1 1 .

3. Точки A, B, C лежат на одной прямой и AB BC�

14

, точка O – середина

отрезка BC. Какой может быть длина отрезка AO, если СО � 8 см?

33

Рис. 35

3. Прямые AC и BD пересекаются в точке K . Луч KD является биссек�трисой угла AKE (рис. 33, б). Вычислите градусную меру угла AKE,если � � �BKC 40 .

4. Длина незамкнутой ломаной ATOM равна 5 дм. Длина звена OT боль�ше длины звена AT на 10 см, но меньше длины звена OM на 3 см. Вы�числите длину большего звена ломаной ATOM.

5. Точки A, B, C лежат на одной прямой. Известно, что точка A лежит налуче CB, а точка B лежит на луче AC. Вычислите длину отрезка AC, еслиCВ � 10 см, а длина отрезка BAв два раза меньше длины отрезкаCB.


1. Точки P и F лежат соответственно на сторонах AD и AB прямоугольни�ка ABCD, O CF BP� � (рис. 34, а). Какой из углов – COP или BOC –является смежным с углом FOP?

32

B

O

F

TAC

B C

K

A D E

аа бб

Рис. 33

A

O

B

С

F

D

PС

AF B

K

P

аа бб

Рис. 34

2. ABCD – прямоугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AB,O CF BD� � . Сравните: а)CO иCF; б) AF и AB.

3. Прямые CK и AB пересекаются в точке F. Луч FK является биссектри�сой угла BFP (рис. 34, б). Вычислите градусную меру угла CFA, если� � �AFP 124 .

4. Длина незамкнутой ломаной OTEH равна 2,9 дм. Длина звена ОТ на2 см больше длины звена ТЕ, а длина звена ЕН на 4 см больше длинызвена ОТ. Вычислите длину меньшего звена ломаной ОТЕН.

5. Точки M B K, , лежат на одной прямой. Известно, что точка M лежит налуче BK и не лежит на отрезке BK . Вычислите длину отрезка MB, еслиВК � 2 см, а длина отрезка KM в два раза больше длины отрезка BK .


1. Прямые AB и CD пересекаются в точке O (рис. 35, а). Точка F лежит вовнутренней области угла СОВ так, что луч OF перпендикулярен биссек�трисе OK угла AOC. Вычислите градусную меру угла FOB, если� � �AOD BOD5 .

2. На рисунке 35, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной CАА B1 1 равна 28 см. Длина ребра

А1В1 призмы на 2 см больше длины ребра АА1, а АС А B�

12 1 1 . Вычис�

лите длину большего звена ломанойCАА B1 1 .

3. Точки A, B, C лежат на одной прямой и AB BC�

14

, точка O – середина

отрезка BC. Какой может быть длина отрезка AO, если СО � 8 см?

33

Рис. 35


1. Прямые AD, BF и KC пересекаются в точке O, причем � � �AOB KOF2 ,а луч OC – биссектриса угла BOD (рис. 36, а). Вычислите градуснуюмеру угла KOD.

2. На рисунке 36, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной B С СА1 1 равна 27 см. Ребро В1С1

призмы в 2 раза больше ребра АС, а СС B С1 1 1

34

� . Вычислите длину

большего звена ломаной B С СА1 1 .

3. Точки M, K, P лежат на одной прямой и PK : KM � 3 : 4. Точка O – се�редина отрезка MK . Какой может быть длина отрезка OP, еслиМО � 4 см?

34

Рис. 36


ТРЕУГОЛЬНИК. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАКРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. Треугольники АВС и ТМР равны, причем АВ � ТР, ВС � МР. Сторонытреугольника TMP различны. Назовите угол треугольника АВС, рав�ный углу МРТ.

2. На рисунке 37, а точка C – середина отрезков AB и KF. Докажите, что KAC FBC� .

3. На рисунке 37, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AA1 и A D1 1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 � 4 см?

4. В треугольниках АВС и A B C1 1 1 АВ � ВС � 5 см, � � �B B1 , P ABC� 12 см.

Вычислите длину отрезка A C1 1 , если известно, что AB A B B C� �1 1 1 1 .

5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметр

треугольника АВС, если известно, что PB AC�

13

и AP � 3см.

35

A

K

BC

F А1А1

В1В1 C1C1

D1

AA

CCB

DD

аа бб

FF

KK

Рис. 37


1. Прямые AD, BF и KC пересекаются в точке O, причем � � �AOB KOF2 ,а луч OC – биссектриса угла BOD (рис. 36, а). Вычислите градуснуюмеру угла KOD.

2. На рисунке 36, б изображена прямая треугольная призма ABCA1B1C1.Длина пространственной ломаной B С СА1 1 равна 27 см. Ребро В1С1

призмы в 2 раза больше ребра АС, а СС B С1 1 1

34

� . Вычислите длину

большего звена ломаной B С СА1 1 .

3. Точки M, K, P лежат на одной прямой и PK : KM � 3 : 4. Точка O – се�редина отрезка MK . Какой может быть длина отрезка OP, еслиМО � 4 см?

34

Рис. 36


ТРЕУГОЛЬНИК. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАКРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. Треугольники АВС и ТМР равны, причем АВ � ТР, ВС � МР. Сторонытреугольника TMP различны. Назовите угол треугольника АВС, рав�ный углу МРТ.

2. На рисунке 37, а точка C – середина отрезков AB и KF. Докажите, что KAC FBC� .

3. На рисунке 37, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AA1 и A D1 1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 � 4 см?

4. В треугольниках АВС и A B C1 1 1 АВ � ВС � 5 см, � � �B B1 , P ABC� 12 см.

Вычислите длину отрезка A C1 1 , если известно, что AB A B B C� �1 1 1 1 .

5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметр

треугольника АВС, если известно, что PB AC�

13

и AP � 3см.

35

A

K

BC

F А1А1

В1В1 C1C1

D1

AA

CCB

DD

аа бб

FF

KK

Рис. 37


1. Треугольники АВС и ТОР равны, причем � � �A T и � � �B O. Сторо�ны треугольника АВС различны. Назовите сторону треугольника ТОР,равную стороне АВ.

2. На рисунке 38, а AP FC� , PT BC� и � � �BCA FPT. Докажите, что ABC FTP� .

3. На рисунке 38, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и AA1 соответственно. Чему равна длина отрезка DF,если KA1 5� см?

4. ABC и A B C1 1 1 – треугольники, AB A B� 1 1 , AC A C� 1 1 , � � �A A1 . Из�вестно, что АС � 12 см, AB AC� � 3 см, BC AC� � 2 см. Вычислите пе�риметр треугольника A B C1 1 1 .

5. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке ВР так, что АО � ОС и � � �AOB BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что AB AP� 2 и РС � 4 см.


1. Треугольники АТВ и СОР равны, причем � � �A C и АТ � ОС. Сторонытреугольника COP различны. Назовите угол треугольника АТВ, рав�ный углу ОРС.

2. На рисунке 39, а BD – биссектриса угла АВС, AB BC� , AK CF� ,K AB� , F BC� . Докажите, что BKD BFD� .

3. На рисунке 39, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер A D1 1 и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезкаA F1 , если KD � 5см?

36

B

A PC F

T

аа бб

А1А1

В1В1 C1C1

D1

AA

CCB

DDKK

FF

Рис. 38

4. Точка D – середина стороны BC треугольника ABC, DB � 3 см,AC CD� � 9 см. Вычислите длину стороны AB, если � � �ADC 90 .

5. Точка Р лежит на стороне ВС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке АР так, что ВО � ОС и � � �AOB AOC. Вычислите периметр

треугольника АВС, если известно, что BP AC�

12

и РС � 4 см.


1. Треугольники АТР и ВОС равны, причем � � �T O и АТ � ВО. Сторонытреугольника АTP различны. Назовите сторону треугольника ВОС,равную стороне ТР.

2. На рисунке 40, а AK CF� , PF AB� и � � �BAC PFK . Докажите, что ABC FKP� .

37

B

A

K

C

F

D

аа бб

А1А1

В1В1 C1C1

D1

AA

CCB

DD

KK

FF

Рис. 39

AA

В1В1

А1

C1C1

D1D1

FFCBB

DDKK

B

A K FC

P

аа бб

Рис. 40


1. Треугольники АВС и ТОР равны, причем � � �A T и � � �B O. Сторо�ны треугольника АВС различны. Назовите сторону треугольника ТОР,равную стороне АВ.

2. На рисунке 38, а AP FC� , PT BC� и � � �BCA FPT. Докажите, что ABC FTP� .

3. На рисунке 38, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и AA1 соответственно. Чему равна длина отрезка DF,если KA1 5� см?

4. ABC и A B C1 1 1 – треугольники, AB A B� 1 1 , AC A C� 1 1 , � � �A A1 . Из�вестно, что АС � 12 см, AB AC� � 3 см, BC AC� � 2 см. Вычислите пе�риметр треугольника A B C1 1 1 .

5. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке ВР так, что АО � ОС и � � �AOB BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что AB AP� 2 и РС � 4 см.


1. Треугольники АТВ и СОР равны, причем � � �A C и АТ � ОС. Сторонытреугольника COP различны. Назовите угол треугольника АТВ, рав�ный углу ОРС.

2. На рисунке 39, а BD – биссектриса угла АВС, AB BC� , AK CF� ,K AB� , F BC� . Докажите, что BKD BFD� .

3. На рисунке 39, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер A D1 1 и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезкаA F1 , если KD � 5см?

36

B

A PC F

T

аа бб

А1А1

В1В1 C1C1

D1

AA

CCB

DDKK

FF

Рис. 38

4. Точка D – середина стороны BC треугольника ABC, DB � 3 см,AC CD� � 9 см. Вычислите длину стороны AB, если � � �ADC 90 .

5. Точка Р лежит на стороне ВС треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке АР так, что ВО � ОС и � � �AOB AOC. Вычислите периметр

треугольника АВС, если известно, что BP AC�

12

и РС � 4 см.


1. Треугольники АТР и ВОС равны, причем � � �T O и АТ � ВО. Сторонытреугольника АTP различны. Назовите сторону треугольника ВОС,равную стороне ТР.

2. На рисунке 40, а AK CF� , PF AB� и � � �BAC PFK . Докажите, что ABC FKP� .

37

B

A

K

C

F

D

аа бб

А1А1

В1В1 C1C1

D1

AA

CCB

DD

KK

FF

Рис. 39

AA

В1В1

А1

C1C1

D1D1

FFCBB

DDKK

B

A K FC

P

аа бб

Рис. 40

3. На рисунке 40, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 6� см?

4. В треугольнике ABC AB BC AC� � , D AC� , � � �ABD DBC. Вычис�лите периметр треугольника ABC, если AD � 4 cм.

5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что BC PB� 3 и АВ � 6 см.


1. На рисунке 41, а AB BC CD DT� � � , � � �ABC CDT. Докажите, чтоAD � BT.

2. На рисунке 41, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AA1 соответственно. Вычислите длину отрезка AK,если известно, что D P1 6� см.

3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитепериметр треугольника АВС, если АС � 8 см, а периметр треугольникаАОС равен 19 см.


1. На рисунке 42, а AO OD BO OC� �, , AK DF� , K AB� , F CD� . Дока�жите, что DK AF� .

38

Рис. 41

2. На рисунке 42, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер CC1 и D C1 1 соответственно. Вычислите длину отрезка KD,еслиCF � 4см.

3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитедлину стороны АС, если периметр треугольника АВС равен 20 см,а периметр треугольника АОС равен 13 см.

39

Рис. 42

3. На рисунке 40, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер AD и DD1 соответственно. Чему равна длина отрезка AF,если KD1 6� см?

4. В треугольнике ABC AB BC AC� � , D AC� , � � �ABD DBC. Вычис�лите периметр треугольника ABC, если AD � 4 cм.

5. Точка Р лежит на стороне АВ треугольника АВС, а точка О лежит наотрезке СР так, что АО � ОВ и � � �AOC BOC. Вычислите периметртреугольника АВС, если известно, что BC PB� 3 и АВ � 6 см.


1. На рисунке 41, а AB BC CD DT� � � , � � �ABC CDT. Докажите, чтоAD � BT.

2. На рисунке 41, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и P – сере�дины ребер A D1 1 и AA1 соответственно. Вычислите длину отрезка AK,если известно, что D P1 6� см.

3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитепериметр треугольника АВС, если АС � 8 см, а периметр треугольникаАОС равен 19 см.


1. На рисунке 42, а AO OD BO OC� �, , AK DF� , K AB� , F CD� . Дока�жите, что DK AF� .

38

Рис. 41

2. На рисунке 42, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – сере�дины ребер CC1 и D C1 1 соответственно. Вычислите длину отрезка KD,еслиCF � 4см.

3. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны. Прямая l проходит черезсередину стороны АВ и перпендикулярна ей, O l BC� � . Вычислитедлину стороны АС, если периметр треугольника АВС равен 20 см,а периметр треугольника АОС равен 13 см.

39

Рис. 42


МЕДИАНЫ, ВЫСОТЫ И БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК


1. Точки Т и Р делят на равные части сторону AВ квадрата АВСD(рис. 43, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АD яв�ляется высотой треугольника РВD; б) отрезок DР является медианойтреугольника ВDT; в) отрезок AD является высотой треугольникаTPD; г) отрезок DT является медианой треугольника AВD?

2. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону АВ в точке Т. Вычислите градусную меру угла AСТ, если из�вестно, что � � �BAC 30 .

3. На рисунке 43, б изображен равнобедренный треугольник АВС(АВ = АС), отрезок AD – его биссектриса, F AB� , K AC� , BF KC� .Докажите, что DF KD� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Длина боковойстороны меньше длины основания на 1 см. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 43, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BC так, что B K B C1 1 1� . Чему равна градусная мера угла

40

A C

B

DF

K

В1

C1C1

BBKK

CC

бб вваа

AA

BB CC

DD

PP

TT

Рис. 43

B KC1 1 , если градусная мера угла B C K1 1 в два раза больше градусноймеры угла КС1С?


1. Точки О и Р делят на равные части сторону AD прямоугольника АВСD(рис. 44, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВР яв�ляется медианой треугольника ОВD; б) отрезок АВ является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВО является медианой треугольникаАВD; г) отрезок АВ является высотой треугольника ВРD?

2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Т. Вычислите градусную меру угла ВАС, еслиизвестно, что � � �ABT 20 .

3. На рисунке 44, б изображен равнобедренный треугольник ABC ( ),AB BC�

отрезок BK – его биссектриса,O BK� . Докажите, что AOK COK� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см. Длина боковойстороны на 2 см больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 44, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A B1 1 так, что BK АB� . Чему равна градусная мера углаАKB, если градусная мера угла A AK1 в два раза меньше градусноймеры угла BAK?


1. Точки Т и Р делят на равные части сторону ВС квадрата АВСD(рис. 45, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АВ яв�ляется высотой треугольника РАС; б) отрезок АР является медианой

41

A C

B

О

K

А1А1

В1

К

АА

BB

бб вваа

AA

BB CC

DDPPОО

Рис. 44


МЕДИАНЫ, ВЫСОТЫ И БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА.РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК


1. Точки Т и Р делят на равные части сторону AВ квадрата АВСD(рис. 43, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АD яв�ляется высотой треугольника РВD; б) отрезок DР является медианойтреугольника ВDT; в) отрезок AD является высотой треугольникаTPD; г) отрезок DT является медианой треугольника AВD?

2. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону АВ в точке Т. Вычислите градусную меру угла AСТ, если из�вестно, что � � �BAC 30 .

3. На рисунке 43, б изображен равнобедренный треугольник АВС(АВ = АС), отрезок AD – его биссектриса, F AB� , K AC� , BF KC� .Докажите, что DF KD� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 16 см. Длина боковойстороны меньше длины основания на 1 см. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 43, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BC так, что B K B C1 1 1� . Чему равна градусная мера угла

40

A C

B

DF

K

В1

C1C1

BBKK

CC

бб вваа

AA

BB CC

DD

PP

TT

Рис. 43

B KC1 1 , если градусная мера угла B C K1 1 в два раза больше градусноймеры угла КС1С?


1. Точки О и Р делят на равные части сторону AD прямоугольника АВСD(рис. 44, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВР яв�ляется медианой треугольника ОВD; б) отрезок АВ является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВО является медианой треугольникаАВD; г) отрезок АВ является высотой треугольника ВРD?

2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Т. Вычислите градусную меру угла ВАС, еслиизвестно, что � � �ABT 20 .

3. На рисунке 44, б изображен равнобедренный треугольник ABC ( ),AB BC�

отрезок BK – его биссектриса,O BK� . Докажите, что AOK COK� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см. Длина боковойстороны на 2 см больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 44, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A B1 1 так, что BK АB� . Чему равна градусная мера углаАKB, если градусная мера угла A AK1 в два раза меньше градусноймеры угла BAK?


1. Точки Т и Р делят на равные части сторону ВС квадрата АВСD(рис. 45, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок АВ яв�ляется высотой треугольника РАС; б) отрезок АР является медианой

41

A C

B

О

K

А1А1

В1

К

АА

BB

бб вваа

AA

BB CC

DDPPОО

Рис. 44

треугольника АTС; в) отрезок AВ является высотой треугольника АTP;г) отрезок АT является медианой треугольника AВС?

2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Р. Известно, что � � �ACB 10 . Вычислите гра�дусную меру угла РВC.

3. На рисунке 45, б изображен равнобедренный треугольник ABC( ),AB BC� отрезок BK – его высота, F AB M BC BF BM� � �, , . Дока�жите, что AFK CMK� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Длина боковойстороны в 2 раза больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 45, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A C1 1 , O KC AC AO AC� �� 1 , . Чему равна градусная мераугла OCA, если градусная мера угла C CO1 на 10� меньше градусноймеры угла KOC1 ?


1. Точки О и Р делят на равные части сторону СD прямоугольника АВСD(рис. 46, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВО яв�ляется медианой треугольника РВD; б) отрезок ВС является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВР является медианой треугольникаDВС; г) отрезок ВС является высотой треугольника ВОD?

2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону ВС в точке Т. Вычислите градусную меру угла АВС, еслиизвестно, что � � �BAT 40 .

42

A

B

K С А1А1

C1О

СС

АА

К

F M

аа бб вв

AA

BB CC

DD

PPTT

Рис. 45

3. На рисунке 46, б изображен равнобедренный треугольник ABC,AB BC� , отрезок BK – его высота, O BK� , точка F лежит на луче OK,причемOK KF� . Докажите, что OKC FKA� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см. Длина боковойстороны в 15, раза меньше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 46, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BB1 , F CK BC FC CC� �� 1 1 1, . Чему равна градуснаямера угла C CF1 , если градусная мера угла KFB на10� больше градусноймеры угла BСF?


1. На рисунке 47, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его высота, прямая FK – серединный перпендикуляр к от�резку DC. Докажите, что BD AK� , если известно, что AD DK� .

43

BB

K

CCA

B

KС

О

F

F

C1C1

В1

аа ввбб

AA

BB CC

DD

PP

ОО

Рис. 46

Рис. 47

треугольника АTС; в) отрезок AВ является высотой треугольника АTP;г) отрезок АT является медианой треугольника AВС?

2. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке Р. Известно, что � � �ACB 10 . Вычислите гра�дусную меру угла РВC.

3. На рисунке 45, б изображен равнобедренный треугольник ABC( ),AB BC� отрезок BK – его высота, F AB M BC BF BM� � �, , . Дока�жите, что AFK CMK� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Длина боковойстороны в 2 раза больше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 45, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре A C1 1 , O KC AC AO AC� �� 1 , . Чему равна градусная мераугла OCA, если градусная мера угла C CO1 на 10� меньше градусноймеры угла KOC1 ?


1. Точки О и Р делят на равные части сторону СD прямоугольника АВСD(рис. 46, а). Какое утверждение является неверным: а) отрезок ВО яв�ляется медианой треугольника РВD; б) отрезок ВС является высотойтреугольника ВОР; в) отрезок ВР является медианой треугольникаDВС; г) отрезок ВС является высотой треугольника ВОD?

2. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону ВС в точке Т. Вычислите градусную меру угла АВС, еслиизвестно, что � � �BAT 40 .

42

A

B

K С А1А1

C1О

СС

АА

К

F M

аа бб вв

AA

BB CC

DD

PPTT

Рис. 45

3. На рисунке 46, б изображен равнобедренный треугольник ABC,AB BC� , отрезок BK – его высота, O BK� , точка F лежит на луче OK,причемOK KF� . Докажите, что OKC FKA� .

4. Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см. Длина боковойстороны в 15, раза меньше длины основания. Вычислите длины сторонэтого треугольника.

5. На рисунке 46, в изображена прямая треугольная призма, точка K ле�жит на ребре BB1 , F CK BC FC CC� �� 1 1 1, . Чему равна градуснаямера угла C CF1 , если градусная мера угла KFB на10� больше градусноймеры угла BСF?


1. На рисунке 47, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его высота, прямая FK – серединный перпендикуляр к от�резку DC. Докажите, что BD AK� , если известно, что AD DK� .

43

BB

K

CCA

B

KС

О

F

F

C1C1

В1

аа ввбб

AA

BB CC

DD

PP

ОО

Рис. 46

Рис. 47

2. На рисунке 47, б изображена прямая треугольная призма. Точки T и Pлежат на ребрах B C1 1 и BB1 соответственно, PT TC� , а точка K при�надлежит отрезку PC и PK KT� . Луч CT является биссектрисой углаРСС1, градусная мера которого равна 70�. Чему равна градусная мераугла PTK?

3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке F. Периметр равностороннего треугольникаACF равен 24 см. Вычислите длину стороны АВ треугольника АВС.


1. На рисунке 48, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его биссектриса, прямая OK – серединный перпендикулярк отрезку BD. Докажите, что AK BD� , если известно, что AD DK� .

2. На рисунке 48, б изображена прямая треугольная призма. Точка K ле�жит на ребре BC так, что C K KB1 � , а точка Р принадлежит отрезку С1Ви KP PB� . Луч C1В – биссектриса угла KC B1 1 .Чему равна градуснаямера угла PKB, если известно, что � � �KС С1 50 ?

3. Серединный перпендикуляр к стороне AС треугольника ABC пересе�кает сторону BC в точке Т так, что BT TC� . Вычислите периметр тре�угольника ВАТ, если известно, что AB AT� и AB TC� � 18см.

44

Рис. 48


ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. Треугольники ABC ACDи равны, причем CB AD� . Длины сторон тре�угольника АВС различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне АС.

2. На рисунке 49, а AB AC� , � � �ABF ECA. Докажите, что ABF ACE� .

3. На рисунке 49, б изображен куб. Точки P и F принадлежат ребрам AA1

и AD соответственно, А PD DFD1 1 1� (рис. 49, в). Докажите равен�ство треугольников AD P1 и AD F1 .

4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р лежат на боковыхсторонах АВ и ВС соответственно, а точки М и Е – на стороне АС,причем точка M лежит между точками A и E. Известно, что AM EC�

и � � �PMC AET. Верно ли, что � � �ETB MPB? Ответ поясните.

5. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу AC, отложенотрезок AP, равный отрезку AB. Известно, что отрезок AE – медиа�на треугольника ABP и � � �PAE 55 . Вычислите градусную меру углаBAC.

45

A

B С

E F

аа бб вв

PP

AA DDFF

D1

А1А1D1А1А1

PP

AA FF DD

Рис. 49

2. На рисунке 47, б изображена прямая треугольная призма. Точки T и Pлежат на ребрах B C1 1 и BB1 соответственно, PT TC� , а точка K при�надлежит отрезку PC и PK KT� . Луч CT является биссектрисой углаРСС1, градусная мера которого равна 70�. Чему равна градусная мераугла PTK?

3. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке F. Периметр равностороннего треугольникаACF равен 24 см. Вычислите длину стороны АВ треугольника АВС.


1. На рисунке 48, а изображен равносторонний треугольник ABC, отре�зок BD – его биссектриса, прямая OK – серединный перпендикулярк отрезку BD. Докажите, что AK BD� , если известно, что AD DK� .

2. На рисунке 48, б изображена прямая треугольная призма. Точка K ле�жит на ребре BC так, что C K KB1 � , а точка Р принадлежит отрезку С1Ви KP PB� . Луч C1В – биссектриса угла KC B1 1 .Чему равна градуснаямера угла PKB, если известно, что � � �KС С1 50 ?

3. Серединный перпендикуляр к стороне AС треугольника ABC пересе�кает сторону BC в точке Т так, что BT TC� . Вычислите периметр тре�угольника ВАТ, если известно, что AB AT� и AB TC� � 18см.

44

Рис. 48


ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИРАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. Треугольники ABC ACDи равны, причем CB AD� . Длины сторон тре�угольника АВС различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне АС.

2. На рисунке 49, а AB AC� , � � �ABF ECA. Докажите, что ABF ACE� .

3. На рисунке 49, б изображен куб. Точки P и F принадлежат ребрам AA1

и AD соответственно, А PD DFD1 1 1� (рис. 49, в). Докажите равен�ство треугольников AD P1 и AD F1 .

4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р лежат на боковыхсторонах АВ и ВС соответственно, а точки М и Е – на стороне АС,причем точка M лежит между точками A и E. Известно, что AM EC�

и � � �PMC AET. Верно ли, что � � �ETB MPB? Ответ поясните.

5. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу AC, отложенотрезок AP, равный отрезку AB. Известно, что отрезок AE – медиа�на треугольника ABP и � � �PAE 55 . Вычислите градусную меру углаBAC.

45

A

B С

E F

аа бб вв

PP

AA DDFF

D1

А1А1D1А1А1

PP

AA FF DD

Рис. 49


1. Треугольники ABD BCDи равны, причем AB CD� . Длины сторон тре�угольника АВD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне BD.

2. На рисунке 50, а � � � � � � �BFK BKF AF KC BAO BCO, , . Докажите,что AFO CKO� .

3. На рисунке 50, б изображен куб. Точки T и F принадлежат ребрам ADи A D1 1 соответственно, AA T D DF1 1� (рис. 50, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и DFA1 .

4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р – середины боковыхсторон АВ и ВС соответственно, точки М и Е лежат на стороне АСи � � �ATE MPC. Отрезки ТЕ и МР пересекаются в точке О. Верноли, что � � �AMP CET? Ответ поясните.

5. В треугольнике ABC градусная мера угла C равна 50�. На луче, проти�воположном лучу CA, отложен отрезок CM, равный отрезку CB. Из�вестно, что отрезок CE – медиана треугольника MCB. Вычислите гра�дусную меру угла MCE.


1. Треугольники TAD APDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АPD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне AD.

2. На рисунке 51, а AO OC OCK OAT� � � �, . Докажите, что AOT �

� COK .

46

A

B

С

OF K

аа бб вв

F

TT

AA

DD

А1А1

D1

D1А1А1

TTAA

FF

DD

Рис. 50

3. На рисунке 51, б изображен куб. Точки K и T принадлежат ребрамAD A Dи 1 1 соответственно,

AA T D DK1 � (рис. 51, в). Докажите ра�

венство треугольников ATK и D1KT.

4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонах АВи ВС соответственно и BK BP� . Точки F и Т лежат на стороне АС так,что точка T является серединой отрезка AF, а точка F – серединой от�резка TC. Известно, что � � �ATP KFC. Верно ли, что � � �AKF TPC?Ответ поясните.

5. В равнобедренном треугольнике ABC AB BC� . На луче, противопо�ложном лучу CA, отложен отрезок CF, равный отрезку CB. Известно,что отрезок CH – высота треугольника BCF и � � �BAC 40 . Вычислитеградусную меру угла HCF.


1. Треугольники ATP TPDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АTP различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне TP.

2. На рисунке 52, а отрезок AC – основание равнобедренного треуголь�ника ABC, FT AC KP AC AT PC� � �, , . Докажите, что AFT CKP� .

3. На рисунке 52, б изображен куб. Точки T и P принадлежат ребрам AА1

и A D1 1 соответственно, ATD D PD� 1 (рис. 52, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и A PD1 .

4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонахАВ и ВС соответственно, а точки F и Т лежат на стороне АС, BК � BР

47

аа бб вв

C

OK

BT

A

D1А1А1 TT

AA KK DDKKAA DD

TА1

D1D1

Рис. 51


1. Треугольники ABD BCDи равны, причем AB CD� . Длины сторон тре�угольника АВD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне BD.

2. На рисунке 50, а � � � � � � �BFK BKF AF KC BAO BCO, , . Докажите,что AFO CKO� .

3. На рисунке 50, б изображен куб. Точки T и F принадлежат ребрам ADи A D1 1 соответственно, AA T D DF1 1� (рис. 50, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и DFA1 .

4. В равнобедренном треугольнике АВС точки Т и Р – середины боковыхсторон АВ и ВС соответственно, точки М и Е лежат на стороне АСи � � �ATE MPC. Отрезки ТЕ и МР пересекаются в точке О. Верноли, что � � �AMP CET? Ответ поясните.

5. В треугольнике ABC градусная мера угла C равна 50�. На луче, проти�воположном лучу CA, отложен отрезок CM, равный отрезку CB. Из�вестно, что отрезок CE – медиана треугольника MCB. Вычислите гра�дусную меру угла MCE.


1. Треугольники TAD APDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АPD различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне AD.

2. На рисунке 51, а AO OC OCK OAT� � � �, . Докажите, что AOT �

� COK .

46

A

B

С

OF K

аа бб вв

F

TT

AA

DD

А1А1

D1

D1А1А1

TTAA

FF

DD

Рис. 50

3. На рисунке 51, б изображен куб. Точки K и T принадлежат ребрамAD A Dи 1 1 соответственно,

AA T D DK1 � (рис. 51, в). Докажите ра�

венство треугольников ATK и D1KT.

4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонах АВи ВС соответственно и BK BP� . Точки F и Т лежат на стороне АС так,что точка T является серединой отрезка AF, а точка F – серединой от�резка TC. Известно, что � � �ATP KFC. Верно ли, что � � �AKF TPC?Ответ поясните.

5. В равнобедренном треугольнике ABC AB BC� . На луче, противопо�ложном лучу CA, отложен отрезок CF, равный отрезку CB. Известно,что отрезок CH – высота треугольника BCF и � � �BAC 40 . Вычислитеградусную меру угла HCF.


1. Треугольники ATP TPDи равны, причем AT PD� . Длины сторон тре�угольника АTP различны. Назовите пары равных углов этих треуголь�ников, прилежащих к стороне TP.

2. На рисунке 52, а отрезок AC – основание равнобедренного треуголь�ника ABC, FT AC KP AC AT PC� � �, , . Докажите, что AFT CKP� .

3. На рисунке 52, б изображен куб. Точки T и P принадлежат ребрам AА1

и A D1 1 соответственно, ATD D PD� 1 (рис. 52, в). Докажите равен�ство треугольников A TD1 и A PD1 .

4. В равностороннем треугольнике АВС точки К и Р лежат на сторонахАВ и ВС соответственно, а точки F и Т лежат на стороне АС, BК � BР

47

аа бб вв

C

OK

BT

A

D1А1А1 TT

AA KK DDKKAA DD

TА1

D1D1

Рис. 51

и � � �AKF TPC. Отрезки ТР и КF пересекаются в точке О. Верно ли,что � � �ATP KFC? Ответ поясните.

5. Дан равнобедренный треугольник ABC AC AB( )� . На луче, противо�положном лучу BC, отложен отрезок BK, равный отрезку AB. Извест�но, что отрезок BO – высота треугольника ABK и � � �OBA 65 . Вычис�лите градусную меру угла ACB.


1. На рисунке 53, а луч BO – биссектриса угла ABC, � � �FOB BOK .Докажите, что AFO CKO� .

2. На рисунке 53, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников AD C1 и AB C1 .

48

аа бб вв

B

F K

CPTA

D1А1А1 PP

AA

TT

DD

T

A

PP

DD

А1А1 D1D1

Рис. 52

B

F K

O

A

B

DDC

CCAA

В1В1

А1А1 D1

C1C1

аа бб

Рис. 53

3. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу CB, отложен от�резок CP, равный отрезку AC. В треугольнике ABC проведена биссек�триса CE, в треугольнике ACP – медиана CM. Вычислите градуснуюмеру угла ECM.


1. На рисунке 54, а FB BK� , лучи FC и KA – биссектрисы углов KFA и FKCсоответственно. Докажите, что FOA KOC� .

2. На рисунке 54, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников BA D1 и B D A1 1 .

3. Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC, причем AK KB� .В треугольнике AKB проведена медиана KF, а в треугольнике AKC –биссектриса KE. Вычислите градусную меру угла FKE.

49

B

F K

CA AA DD

O BBC

А1

В1В1 C1C1

D1D1

аа бб

Рис. 54

и � � �AKF TPC. Отрезки ТР и КF пересекаются в точке О. Верно ли,что � � �ATP KFC? Ответ поясните.

5. Дан равнобедренный треугольник ABC AC AB( )� . На луче, противо�положном лучу BC, отложен отрезок BK, равный отрезку AB. Извест�но, что отрезок BO – высота треугольника ABK и � � �OBA 65 . Вычис�лите градусную меру угла ACB.


1. На рисунке 53, а луч BO – биссектриса угла ABC, � � �FOB BOK .Докажите, что AFO CKO� .

2. На рисунке 53, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников AD C1 и AB C1 .

48

аа бб вв

B

F K

CPTA

D1А1А1 PP

AA

TT

DD

T

A

PP

DD

А1А1 D1D1

Рис. 52

B

F K

O

A

B

DDC

CCAA

В1В1

А1А1 D1

C1C1

аа бб

Рис. 53

3. ABC – треугольник. На луче, противоположном лучу CB, отложен от�резок CP, равный отрезку AC. В треугольнике ABC проведена биссек�триса CE, в треугольнике ACP – медиана CM. Вычислите градуснуюмеру угла ECM.


1. На рисунке 54, а FB BK� , лучи FC и KA – биссектрисы углов KFA и FKCсоответственно. Докажите, что FOA KOC� .

2. На рисунке 54, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Докажите равенствотреугольников BA D1 и B D A1 1 .

3. Точка K лежит на стороне BC треугольника ABC, причем AK KB� .В треугольнике AKB проведена медиана KF, а в треугольнике AKC –биссектриса KE. Вычислите градусную меру угла FKE.

49

B

F K

CA AA DD

O BBC

А1

В1В1 C1C1

D1D1

аа бб

Рис. 54


ТРЕУГОЛЬНИКИ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 3)


1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?

2. На рисунке 55, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла ABC.

3. Точка O – середина стороны CD прямоугольника ABCD, K BC� ,F KO AD� � (рис. 55, б). Докажите, что OKC OFD� .

4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ACM ABC BCA.

5. Точки Р и Т лежат на стороне АD прямоугольника АВСD. Отрезки ВТи СР пересекаются в точке О, а � � �ABT PCD. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, чтоOT OP� � 6 см и ОТ : ОС � 1 : 2.

50

DD FFCA

AA

D

B

OO

аа бб

BB KK CC

Рис. 55


1. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону ВС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОС равны?

2. На рисунке 56, а AB AC BO OC� �, . Докажите, что луч AO – биссек�триса угла BAC.

3. Точка O – середина стороны ВC прямоугольника ABCD, K AB� ,F OK CD� � (рис. 56, б). Докажите, что OKB OFC� .

4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ABM ABC BCA.

5. Точки Р и Т лежат на стороне АВ прямоугольника АВСD. Отрезки СТи РD пересекаются в точке О, а � � �BCT ADP. Вычислите длину от�резка ОP, если известно, что ТС � 6 см, а длина отрезка ОС на 2 смбольше длины отрезка ОР.


1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?

2. На рисунке 57, а AС BC BD AD� �, . Докажите, что луч CD – биссек�триса угла ACB.

3. Точка F – середина стороны AВ прямоугольника ABCD, K BC� ,O KF AD� � (рис. 57, б). Докажите, что OAF KBF� .

51

B

CA

O

аа бб

DD

FF

AA

BB

KK

CCOO

Рис. 56


ТРЕУГОЛЬНИКИ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 3)


1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АВ в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?

2. На рисунке 55, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла ABC.

3. Точка O – середина стороны CD прямоугольника ABCD, K BC� ,F KO AD� � (рис. 55, б). Докажите, что OKC OFD� .

4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ACM ABC BCA.

5. Точки Р и Т лежат на стороне АD прямоугольника АВСD. Отрезки ВТи СР пересекаются в точке О, а � � �ABT PCD. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, чтоOT OP� � 6 см и ОТ : ОС � 1 : 2.

50

DD FFCA

AA

D

B

OO

аа бб

BB KK CC

Рис. 55


1. Серединный перпендикуляр к стороне АС треугольника АВС пересека�ет сторону ВС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОС равны?

2. На рисунке 56, а AB AC BO OC� �, . Докажите, что луч AO – биссек�триса угла BAC.

3. Точка O – середина стороны ВC прямоугольника ABCD, K AB� ,F OK CD� � (рис. 56, б). Докажите, что OKB OFC� .

4. Отрезок AO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче AO,причем AO OM� . Докажите, что � � � � �ABM ABC BCA.

5. Точки Р и Т лежат на стороне АВ прямоугольника АВСD. Отрезки СТи РD пересекаются в точке О, а � � �BCT ADP. Вычислите длину от�резка ОP, если известно, что ТС � 6 см, а длина отрезка ОС на 2 смбольше длины отрезка ОР.


1. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки ОВ и ОС равны?

2. На рисунке 57, а AС BC BD AD� �, . Докажите, что луч CD – биссек�триса угла ACB.

3. Точка F – середина стороны AВ прямоугольника ABCD, K BC� ,O KF AD� � (рис. 57, б). Докажите, что OAF KBF� .

51

B

CA

O

аа бб

DD

FF

AA

BB

KK

CCOO

Рис. 56

4. Отрезок BO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче BO,причем BO OM� . Докажите, что � � � � �BCM BAC BCA.

5. Точки Р и Т лежат на стороне ВС прямоугольника АВСD. Отрезки АТи РD пересекаются в точке О, а � � �BAT PDC. Вычислите длину от�резка ОT, если известно, что AO OD� � 8см и ОD � 2ОР.


1. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОВ равны?

2. На рисунке 58, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла АВС.

3. Точка O – середина стороны AT прямоугольника ATKC, P KT� ,F OP AC� � (рис. 58, б). Докажите, что OAF OTP� .

52

B

CA

DD

аа бб

OO

DD

AA FF

CC

BB

KK

Рис. 57

B

CA

D

аа бб

TT

FFAA

OO

PP KK

CC

Рис. 58

4. Отрезок СO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче CO,причем CO OM� . Докажите, что � � � � �CBM BAC ABC.

5. Точки Р и Т лежат на стороне СD прямоугольника АВСD. Отрезки АТи ВР пересекаются в точке О, а � � �DAT PBC. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, что АТ � 8 см, а длина отрезка ОР на 2 смменьше длины отрезка ОА.


1. На рисунке 59, а AB CD AC BD� �, , точка Р – середина отрезка AD.Докажите, что отрезок OP – биссектриса треугольника AOD.

2. На рисунке 59, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA B C D1 1 1 1 , у которой грань ABCD является квадратом. ТочкиO Pи – середины ребер AD и DC соответственно, K OP BC� � ,F OP AB� � . Докажите, что FAO KCP� .

3. Отрезок BK – медиана треугольника ABC. Точка F лежит на луче BKи BK KF� . Серединный перпендикуляр к отрезку BC проходит черезточку K . Докажите, что � � � � �BCF BAK KBC.


1. На рисунке 60, а AB CD AC BD� �, , точка F – середина отрезка AD.Докажите, что отрезокOF – высота треугольника AOD.

2. На рисунке 60, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки O и F – сере�дины ребер BB1 и B C1 1 соответственно, K OF BC E OF CC� �� , 1 . До�кажите, что KBO FC E� 1 .

53

B C

P

O

AFF

AADD

DD

B CCKK

PPOO

А1А1

В1В1 C1C1

D1

аа бб

Рис. 59

4. Отрезок BO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче BO,причем BO OM� . Докажите, что � � � � �BCM BAC BCA.

5. Точки Р и Т лежат на стороне ВС прямоугольника АВСD. Отрезки АТи РD пересекаются в точке О, а � � �BAT PDC. Вычислите длину от�резка ОT, если известно, что AO OD� � 8см и ОD � 2ОР.


1. Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересе�кает сторону АС в точке О. Верно ли, что отрезки АО и ОВ равны?

2. На рисунке 58, а AB BC AD DC� �, . Докажите, что луч BD – биссек�триса угла АВС.

3. Точка O – середина стороны AT прямоугольника ATKC, P KT� ,F OP AC� � (рис. 58, б). Докажите, что OAF OTP� .

52

B

CA

DD

аа бб

OO

DD

AA FF

CC

BB

KK

Рис. 57

B

CA

D

аа бб

TT

FFAA

OO

PP KK

CC

Рис. 58

4. Отрезок СO – медиана треугольника ABC. Точка M лежит на луче CO,причем CO OM� . Докажите, что � � � � �CBM BAC ABC.

5. Точки Р и Т лежат на стороне СD прямоугольника АВСD. Отрезки АТи ВР пересекаются в точке О, а � � �DAT PBC. Вычислите длину от�резка ОВ, если известно, что АТ � 8 см, а длина отрезка ОР на 2 смменьше длины отрезка ОА.


1. На рисунке 59, а AB CD AC BD� �, , точка Р – середина отрезка AD.Докажите, что отрезок OP – биссектриса треугольника AOD.

2. На рисунке 59, б изображена прямая четырехугольная призмаABCDA B C D1 1 1 1 , у которой грань ABCD является квадратом. ТочкиO Pи – середины ребер AD и DC соответственно, K OP BC� � ,F OP AB� � . Докажите, что FAO KCP� .

3. Отрезок BK – медиана треугольника ABC. Точка F лежит на луче BKи BK KF� . Серединный перпендикуляр к отрезку BC проходит черезточку K . Докажите, что � � � � �BCF BAK KBC.


1. На рисунке 60, а AB CD AC BD� �, , точка F – середина отрезка AD.Докажите, что отрезокOF – высота треугольника AOD.

2. На рисунке 60, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки O и F – сере�дины ребер BB1 и B C1 1 соответственно, K OF BC E OF CC� �� , 1 . До�кажите, что KBO FC E� 1 .

53

B C

P

O

AFF

AADD

DD

B CCKK

PPOO

А1А1

В1В1 C1C1

D1

аа бб

Рис. 59

3. Отрезок AF – медиана треугольника ABC. Точка P лежит на луче AFи AF FP� . Серединный перпендикуляр к отрезку AF пересекает сто�рону AC в точкеO. Докажите, что � � � � �BAC AFO APC.

54

B

F KK

C

O

A

AA

EE

DD

DDBB

FF

C

OO

В1В1

А1

C1C1D1D1

аа бб

Рис. 60


ТРЕУГОЛЬНИКИ


1. Точка P – середина стороны AD прямоугольника ABCD, а точка F –середина отрезка AP (рис. 61, а). Какой из отрезков – BF или BP –является медианой треугольника ABD?

2. Отрезок AF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC( )AB BC� , у которого � � �BCA 80 . Вычислите градусную меру углаBAF.

3. На рисунке 61, б в треугольнике ABC BF BK PF PK FPA KPC� � � � �, , .Докажите: а) BFP BKP� ; б) точка P – середина стороны AC.

4. Точки K и P – соответственно середины сторон АВ и СD квадратаABCD, точки О и F лежат соответственно на сторонах ВС и AD так, чтоBO FD� . Докажите, что KOC PFA� .

5. Отрезок AO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB BO� � 15 см, AC CO� � 9 см.

55

B

F

K

CP DA

F

A

C B

P

аа бб

Рис. 61

3. Отрезок AF – медиана треугольника ABC. Точка P лежит на луче AFи AF FP� . Серединный перпендикуляр к отрезку AF пересекает сто�рону AC в точкеO. Докажите, что � � � � �BAC AFO APC.

54

B

F KK

C

O

A

AA

EE

DD

DDBB

FF

C

OO

В1В1

А1

C1C1D1D1

аа бб

Рис. 60


ТРЕУГОЛЬНИКИ


1. Точка P – середина стороны AD прямоугольника ABCD, а точка F –середина отрезка AP (рис. 61, а). Какой из отрезков – BF или BP –является медианой треугольника ABD?

2. Отрезок AF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC( )AB BC� , у которого � � �BCA 80 . Вычислите градусную меру углаBAF.

3. На рисунке 61, б в треугольнике ABC BF BK PF PK FPA KPC� � � � �, , .Докажите: а) BFP BKP� ; б) точка P – середина стороны AC.

4. Точки K и P – соответственно середины сторон АВ и СD квадратаABCD, точки О и F лежат соответственно на сторонах ВС и AD так, чтоBO FD� . Докажите, что KOC PFA� .

5. Отрезок AO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB BO� � 15 см, AC CO� � 9 см.

55

B

F

K

CP DA

F

A

C B

P

аа бб

Рис. 61


1. Точка P – середина стороны AC треугольника ABC, а точка T – сере�дина отрезка AP (рис. 62, а). Какой из отрезков – BT или BP – явля�ется медианой треугольника ABC?

2. Отрезок CT – биссектриса равнобедренного треугольника BKC( )BK BC� . Вычислите градусную меру угла BKC, если � � �KCT 20 .

3. На рисунке 62, б AB CD AD BC FAB DCK� � � � �, , , B FC� , D AK� .Докажите: а) ABC CDA� ; б) FB DK� .

4. Точки O и T – соответственно середины сторон ВС и АD квадратаABCD, точки Р и K лежат соответственно на сторонах СD и AB так, чтоСР � АK. Докажите, что BKT DPO� .

5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что BC AF� � 25 см,CB BF� 15, .


1. Точка P – середина стороны CD квадрата ABCD, а точка T – серединаотрезка PC (рис. 63, а). Какой из отрезков – AT или AP – являетсямедианой треугольника ACD?

2. Отрезок PO – биссектриса равнобедренного треугольника МКР(МК � КР), � � �KMP 70 . Вычислите градусную меру угла MPO.

3. На рисунке 63, б F AB� , K CD� , BF KD� , BK FD� , � � � �AFK CKF� �90 , � � �ADF KBC. Докажите: а) BFK DKF� ; б) AD BC� .

56

B

F

C

P

T

A

A K

B C

DD

аа бб

Рис. 62

4. Точки K и T – соответственно середины сторон AВ и CD квадратаABCD, точки O и P лежат соответственно на сторонах AD и BC так,что AO = CP. Докажите, что KOD TPB� .

5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника АВС, если известно,что AC BF� � 9 см, AC BF: :� 2 1.


1. Точка T – середина стороны BC треугольника ABC, а точка O – сере�дина отрезка TC (рис. 64, а). Какой из отрезков – AT или AO – явля�ется медианой треугольника ATC?

2. Отрезок OK – биссектриса равнобедренного треугольника OFT( )OF FT� . Вычислите градусную меру угла KTO, если � � �FOK 27 .

57

B

F

C

P

D A

C

A

T B

K

D

аа бб

Рис. 63

Рис. 64


1. Точка P – середина стороны AC треугольника ABC, а точка T – сере�дина отрезка AP (рис. 62, а). Какой из отрезков – BT или BP – явля�ется медианой треугольника ABC?

2. Отрезок CT – биссектриса равнобедренного треугольника BKC( )BK BC� . Вычислите градусную меру угла BKC, если � � �KCT 20 .

3. На рисунке 62, б AB CD AD BC FAB DCK� � � � �, , , B FC� , D AK� .Докажите: а) ABC CDA� ; б) FB DK� .

4. Точки O и T – соответственно середины сторон ВС и АD квадратаABCD, точки Р и K лежат соответственно на сторонах СD и AB так, чтоСР � АK. Докажите, что BKT DPO� .

5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что BC AF� � 25 см,CB BF� 15, .


1. Точка P – середина стороны CD квадрата ABCD, а точка T – серединаотрезка PC (рис. 63, а). Какой из отрезков – AT или AP – являетсямедианой треугольника ACD?

2. Отрезок PO – биссектриса равнобедренного треугольника МКР(МК � КР), � � �KMP 70 . Вычислите градусную меру угла MPO.

3. На рисунке 63, б F AB� , K CD� , BF KD� , BK FD� , � � � �AFK CKF� �90 , � � �ADF KBC. Докажите: а) BFK DKF� ; б) AD BC� .

56

B

F

C

P

T

A

A K

B C

DD

аа бб

Рис. 62

4. Точки K и T – соответственно середины сторон AВ и CD квадратаABCD, точки O и P лежат соответственно на сторонах AD и BC так,что AO = CP. Докажите, что KOD TPB� .

5. Отрезок CF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника АВС, если известно,что AC BF� � 9 см, AC BF: :� 2 1.


1. Точка T – середина стороны BC треугольника ABC, а точка O – сере�дина отрезка TC (рис. 64, а). Какой из отрезков – AT или AO – явля�ется медианой треугольника ATC?

2. Отрезок OK – биссектриса равнобедренного треугольника OFT( )OF FT� . Вычислите градусную меру угла KTO, если � � �FOK 27 .

57

B

F

C

P

D A

C

A

T B

K

D

аа бб

Рис. 63

Рис. 64

3. На рисунке 64, б AC DF AF CD� �, , � � �BAC KDF, C BD� , F AK� .Докажите: а) ACD DFA� ; б) AB DK� .

4. Точки O и P – соответственно середины сторон ВC и AD квадратаABCD, точки T и F лежат соответственно на сторонах AB и CD так, чтоBT = DF. Докажите, что AOT FPC� .

5. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB DC� � 11см, BC DC� � 3 см.


1. На рисунке 65, а точка F – середина отрезка DP F AC BD BP, , ,� �

луч BF – биссектриса угла ABC. Докажите, что треугольник ABC –равнобедренный.

2. На рисунке 65, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – середи�ны ребер DC и A B1 1 соответственно. Докажите, что C FD C KD1 1 1 1� .

3. Точка K – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC,P AC� и AP PK� . Луч BD расположен так, что луч BC является бис�сектрисой угла ABD, F PK BD� � . Вычислите периметр треугольникаABC, если известно, что P BKF

� 13,5 см.


1. На рисунке 66, а BF BK� , FD DK� , отрезок BD – высота треуголь�ника ABC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

58

B

FKK

CPA AADD DD

FFB

CC

В1В1 C1C1

D1

А1А1

аа бб

Рис. 65

2. На рисунке 66, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка F лежит наребре AA1 . Докажите, что B FA D FA1 1� .

3. Точка D – середина основания AC равностороннего треугольника ABC,F AB� , BF FD� . Луч CK расположен так, что луч AC является бис�сектрисой угла BCK, P FD CK� � . Вычислите периметр треугольникаCDP, если P ABC

� 18 см.

59

B

F K

A

AADD

DD C

BB

F

C

В1В1

А1

C1C1

D1D1

аа бб

Рис. 66

3. На рисунке 64, б AC DF AF CD� �, , � � �BAC KDF, C BD� , F AK� .Докажите: а) ACD DFA� ; б) AB DK� .

4. Точки O и P – соответственно середины сторон ВC и AD квадратаABCD, точки T и F лежат соответственно на сторонах AB и CD так, чтоBT = DF. Докажите, что AOT FPC� .

5. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Вычислите длины сторон треугольника ABC, если известно,что AB DC� � 11см, BC DC� � 3 см.


1. На рисунке 65, а точка F – середина отрезка DP F AC BD BP, , ,� �

луч BF – биссектриса угла ABC. Докажите, что треугольник ABC –равнобедренный.

2. На рисунке 65, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 . Точки K и F – середи�ны ребер DC и A B1 1 соответственно. Докажите, что C FD C KD1 1 1 1� .

3. Точка K – середина основания BC равнобедренного треугольника ABC,P AC� и AP PK� . Луч BD расположен так, что луч BC является бис�сектрисой угла ABD, F PK BD� � . Вычислите периметр треугольникаABC, если известно, что P BKF

� 13,5 см.


1. На рисунке 66, а BF BK� , FD DK� , отрезок BD – высота треуголь�ника ABC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

58

B

FKK

CPA AADD DD

FFB

CC

В1В1 C1C1

D1

А1А1

аа бб

Рис. 65

2. На рисунке 66, б изображен куб ABCDA B C D1 1 1 1 , точка F лежит наребре AA1 . Докажите, что B FA D FA1 1� .

3. Точка D – середина основания AC равностороннего треугольника ABC,F AB� , BF FD� . Луч CK расположен так, что луч AC является бис�сектрисой угла BCK, P FD CK� � . Вычислите периметр треугольникаCDP, если P ABC

� 18 см.

59

B

F K

A

AADD

DD C

BB

F

C

В1В1

А1

C1C1

D1D1

аа бб

Рис. 66


ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ


1. Рассмотрите рисунок 67, а. Как называется пара углов АВС и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?

2. На рисунке 67, а � � �1 2 и � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что BC || AD?б) Докажите, что BF ||CD.

3. На рисунке 67, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FC1 и BD лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �B C F1 1 20 , а угол BDC1 в 5,5 раза больше угла B1C1F. Докажите,что FC BD1 || .

4. В равнобедренном треугольнике АВС АС � ВС. Прямая l пересекаетстороны АВ и ВС в точках Р и Т соответственно. Установите взаимноерасположение прямых АС и ТР, если известно, что PT BT� .

5. Отрезок BO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основани�ем AC. Точка K лежит на луче BO и BO OK� . Докажите, что AB CK|| .


1. Рассмотрите рисунок 68, а. Как называется пара углов ВАР и АDС,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей АD?

60

B

FAAA

DD

DD2

1 3

F

BB

C

CC

В1

А1А1 C1C1

аа бб

20°

Рис. 67

2. На рисунке 68, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AD || BC?б) Докажите, что AB || CP.

3. На рисунке 68, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FB1 и CP лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �PCC1 40 , а градусная мера угла B1FB на 10� больше градусной

меры угла PCC1. Докажите, что B F PC1 || .

4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ � ВС. Через вершину С про�ведена прямая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ.Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.

5. Отрезок CT – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. ТочкаO лежит на лучеCT иCT TO� . Докажите, что AO || BC.


1. Рассмотрите рисунок 69, а. Как называется пара углов АВF и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?

2. На рисунке 69, а � � �1 2, � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что AB || FD?б) Докажите, что AD || BC.

3. На рисунке 69, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и BD лежат в плоскости грани AA B B1 1 . Известно, что� � �ADB 60 , а угол TA1B1 в 2 раза меньше угла ADB. Докажите, чтоA T BD1 || .

4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АС и ВС равносторон�него треугольника АВС так, что треугольник CТР является равносто�ронним. Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.

61

B

A D2

13

C

PAA

FFBB

CC

А1А1 C1C1

В1

P

аа бб

40°

Рис. 68


ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ


1. Рассмотрите рисунок 67, а. Как называется пара углов АВС и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?

2. На рисунке 67, а � � �1 2 и � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что BC || AD?б) Докажите, что BF ||CD.

3. На рисунке 67, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FC1 и BD лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �B C F1 1 20 , а угол BDC1 в 5,5 раза больше угла B1C1F. Докажите,что FC BD1 || .

4. В равнобедренном треугольнике АВС АС � ВС. Прямая l пересекаетстороны АВ и ВС в точках Р и Т соответственно. Установите взаимноерасположение прямых АС и ТР, если известно, что PT BT� .

5. Отрезок BO – медиана равнобедренного треугольника ABC с основани�ем AC. Точка K лежит на луче BO и BO OK� . Докажите, что AB CK|| .


1. Рассмотрите рисунок 68, а. Как называется пара углов ВАР и АDС,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей АD?

60

B

FAAA

DD

DD2

1 3

F

BB

C

CC

В1

А1А1 C1C1

аа бб

20°

Рис. 67

2. На рисунке 68, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AD || BC?б) Докажите, что AB || CP.

3. На рисунке 68, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FB1 и CP лежат в плоскости грани BB C C1 1 . Известно, что� � �PCC1 40 , а градусная мера угла B1FB на 10� больше градусной

меры угла PCC1. Докажите, что B F PC1 || .

4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ � ВС. Через вершину С про�ведена прямая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ.Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.

5. Отрезок CT – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AB. ТочкаO лежит на лучеCT иCT TO� . Докажите, что AO || BC.


1. Рассмотрите рисунок 69, а. Как называется пара углов АВF и ВСD,образованных при пересечении прямых АВ и СD секущей ВС?

2. На рисунке 69, а � � �1 2, � � � � �2 3 180 . а) Верно ли, что AB || FD?б) Докажите, что AD || BC.

3. На рисунке 69, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и BD лежат в плоскости грани AA B B1 1 . Известно, что� � �ADB 60 , а угол TA1B1 в 2 раза меньше угла ADB. Докажите, чтоA T BD1 || .

4. Точки Т и Р лежат соответственно на сторонах АС и ВС равносторон�него треугольника АВС так, что треугольник CТР является равносто�ронним. Установите взаимное расположение прямых АВ и ТР.

61

B

A D2

13

C

PAA

FFBB

CC

А1А1 C1C1

В1

P

аа бб

40°

Рис. 68

5. Отрезок AF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием BC. Точка P лежит на луче AF, причем AF FP� . Докажите, чтоBP || AC.


1. Рассмотрите рисунок 70, а. Как называется пара углов ВСD и ADC,образованных при пересечении прямых ВC и AD секущей СD?

2. На рисунке 70, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AB || FC?б) Докажите, что BC || AF.

3. На рисунке 70, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и CO лежат в плоскости грани AA C C1 1 . Известно, что� � �А OC1 130 , а градусная мера угла AA1T на 90� меньше градусной

меры угла А1ОС. Докажите, что OC A T|| 1 .

62

B F C

A

T

AAD

BB

DD

CC

1 2

3

А1А1C1C1

В1

аа бб

60°60°

Рис. 69

B

F

C

ATT

AA

O

D CC

BB

3

1

2

А1А1 В1В1

C1

аа бб

130°130°

Рис. 70

4. Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена пря�мая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ. Установитевзаимное расположение прямых АВ и ТР.

5. Отрезок BF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Точка P лежит на луче BF и BF FP� . Докажите, что AP || BC.


1. На рисунке 71, а точка O лежит на AC, AB BC� , AK OK� , CF OF� .а) Верно ли, что KO || FC? б) Докажите, что AB || FO.

2. На рисунке 71, б изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 . Пря�мые B C1 и FE ( , )F BB E CC� �1 1 , которые лежат в плоскости граниBB C C1 1 , перпендикулярны прямой C F1 . Вычислите градусную меруугла FEC, если � � �B СB1 40 .

3. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Точка P лежит на сто�роне АВ и АР � РТ. Докажите, что РТ || АС.


1. На рисунке 72, а изображен равнобедренный треугольник ABC с ос�нованием AC, точка О лежит на луче, противоположном лучу ВА,луч BD является биссектрисой углаOBC. Докажите, что BD || AC.

2. На рисунке 72, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FP ( , )F AA P BB� �1 1 и AB1 , которые лежат в плоскости гра�ни AA B B1 1 , перпендикулярны прямой A B1 . Вычислите градусную меруугла A1FP, если � � �B AB1 40 .

63

B F

K

C

A

O

аа бб

EEBB

C1C1

CC

FF

AA

В1

А1А1

Рис. 71

5. Отрезок AF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием BC. Точка P лежит на луче AF, причем AF FP� . Докажите, чтоBP || AC.


1. Рассмотрите рисунок 70, а. Как называется пара углов ВСD и ADC,образованных при пересечении прямых ВC и AD секущей СD?

2. На рисунке 70, а � � �1 2, � � � � �1 3 180 . а) Верно ли, что AB || FC?б) Докажите, что BC || AF.

3. На рисунке 70, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые A T1 и CO лежат в плоскости грани AA C C1 1 . Известно, что� � �А OC1 130 , а градусная мера угла AA1T на 90� меньше градусной

меры угла А1ОС. Докажите, что OC A T|| 1 .

62

B F C

A

T

AAD

BB

DD

CC

1 2

3

А1А1C1C1

В1

аа бб

60°60°

Рис. 69

B

F

C

ATT

AA

O

D CC

BB

3

1

2

А1А1 В1В1

C1

аа бб

130°130°

Рис. 70

4. Через вершину С равностороннего треугольника АВС проведена пря�мая ТР так, что луч СА является биссектрисой угла ТСВ. Установитевзаимное расположение прямых АВ и ТР.

5. Отрезок BF – медиана равнобедренного треугольника ABC с основа�нием AC. Точка P лежит на луче BF и BF FP� . Докажите, что AP || BC.


1. На рисунке 71, а точка O лежит на AC, AB BC� , AK OK� , CF OF� .а) Верно ли, что KO || FC? б) Докажите, что AB || FO.

2. На рисунке 71, б изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 . Пря�мые B C1 и FE ( , )F BB E CC� �1 1 , которые лежат в плоскости граниBB C C1 1 , перпендикулярны прямой C F1 . Вычислите градусную меруугла FEC, если � � �B СB1 40 .

3. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Точка P лежит на сто�роне АВ и АР � РТ. Докажите, что РТ || АС.


1. На рисунке 72, а изображен равнобедренный треугольник ABC с ос�нованием AC, точка О лежит на луче, противоположном лучу ВА,луч BD является биссектрисой углаOBC. Докажите, что BD || AC.

2. На рисунке 72, б изображена прямая треугольная призма ABCA B C1 1 1 .Прямые FP ( , )F AA P BB� �1 1 и AB1 , которые лежат в плоскости гра�ни AA B B1 1 , перпендикулярны прямой A B1 . Вычислите градусную меруугла A1FP, если � � �B AB1 40 .

63

B F

K

C

A

O

аа бб

EEBB

C1C1

CC

FF

AA

В1

А1А1

Рис. 71

3. ABCD – квадрат, точки O и F лежат на сторонах AB и CD соответст�венно и AO CF� . Докажите, что BF ||OD.

64

B D

C

O

A

а

A

P

FB

C

C1А1

б

1В

Рис. 72


СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ


1. На рисунке 73, a a b|| , c d|| . Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 2 180 ?

2. Точка Р принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые a и bпроходят через точки Р и В и параллельны прямой АС. Верно ли, чтоa b|| ?

3. На рисунке 73, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Kи P лежат на ребре DC, а точка F – на ребре CC1 , � � �DC C PFC1 . Пе�ресекает ли прямая D K1 прямую PF (рис. 73, в)?

4. Через вершину A треугольника ABC с прямым углом C проведена пря�мая, параллельная стороне BC. Вычислите градусную меру угла ABC,если � � �CAB 50 .

5. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендику�лярная высоте BD этого треугольника. Вычислите градусные меры уг�лов ABD и DBC, если известно, что � � �BAC 35 , � � �BCA 70 .

65

a

c d

b 2

34 1

аа бб вв

CC

FF

KK PPDD

D1

C1C1

D1 C1C1

CC

FF

DD KK PP

Рис. 73

3. ABCD – квадрат, точки O и F лежат на сторонах AB и CD соответст�венно и AO CF� . Докажите, что BF ||OD.

64

B D

C

O

A

а

A

P

FB

C

C1А1

б

1В

Рис. 72


СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ


1. На рисунке 73, a a b|| , c d|| . Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 2 180 ?

2. Точка Р принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые a и bпроходят через точки Р и В и параллельны прямой АС. Верно ли, чтоa b|| ?

3. На рисунке 73, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Kи P лежат на ребре DC, а точка F – на ребре CC1 , � � �DC C PFC1 . Пе�ресекает ли прямая D K1 прямую PF (рис. 73, в)?

4. Через вершину A треугольника ABC с прямым углом C проведена пря�мая, параллельная стороне BC. Вычислите градусную меру угла ABC,если � � �CAB 50 .

5. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендику�лярная высоте BD этого треугольника. Вычислите градусные меры уг�лов ABD и DBC, если известно, что � � �BAC 35 , � � �BCA 70 .

65

a

c d

b 2

34 1

аа бб вв

CC

FF

KK PPDD

D1

C1C1

D1 C1C1

CC

FF

DD KK PP

Рис. 73


1. На рисунке 74, а a || b, c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 5 180 ?

2. Точка Р принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Прямые m и nпроходят через точки Р и С и параллельны прямой АВ. Верно ли, чтоm || n?

3. На рисунке 74, б изображен прямоугольный параллелепипед. Прямыеa и b лежат в плоскости грани AA B B1 1 и перпендикулярны прямой A B1 .Пересекает ли прямая BB1 прямую b (рис. 74, в)?

4. Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основаниемBC проведена прямая, параллельная стороне BC. Вычислите градус�ную меру углаCAB, если � � �ABC 75 .

5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС ( )AB BC� про�ведена прямая, перпендикулярная медиане ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла АВО, если известно, что � � �BCA 50 .


1. На рисунке 75, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 3; б) � � �3 4;в) � � � � �1 2 180 ?

2. Точка O принадлежит стороне АC треугольника АВС. Прямые n и pпроходят через точки A и O и параллельны прямой BС. Верно ли, чтоn p|| ?

3. На рисунке 75, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,T, K, P лежат на ребрах AA1 , A D1 1 , DD1 и AD соответственно,

66

аа бб вв

cd

a

b

1

3 52

4nn

B1 A1A1

CCDD

BB

AA

aa

bb

А1

В1В1bb

aa

Рис. 74

O A D FT� 1 � , E A D KP� 1 � , � � �A OT A EK1 1 . Пересекает ли прямаяAA1 прямую PK (рис. 75, в)?

4. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AC. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � �BAC 40 ,� � �BCA 70 .

5. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, перпендику�лярная высоте ВО этого треугольника. Вычислите градусную меруугла АВО, если известно, что � � �BAC 100 .


1. На рисунке 76, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �1 3 180 ;в) � � �1 4?

67

аа бб вв

FF K

E

T

AA PP DD

c

d

a b

13

2 4

А1А1 D1D1

О

A1 D1D1

DDAA

OO

EE

FF

KK

PP

TT

Рис. 75

c

d

a

b

13

2

4

аа бб вв

B1 C1C1

FF K

В1В1

D1

А1А1

C1C1

D1А1А1

KKFF

Рис. 76


1. На рисунке 74, а a || b, c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � �3 4;в) � � � � �3 5 180 ?

2. Точка Р принадлежит стороне ВС треугольника АВС. Прямые m и nпроходят через точки Р и С и параллельны прямой АВ. Верно ли, чтоm || n?

3. На рисунке 74, б изображен прямоугольный параллелепипед. Прямыеa и b лежат в плоскости грани AA B B1 1 и перпендикулярны прямой A B1 .Пересекает ли прямая BB1 прямую b (рис. 74, в)?

4. Через вершину A равнобедренного треугольника ABC с основаниемBC проведена прямая, параллельная стороне BC. Вычислите градус�ную меру углаCAB, если � � �ABC 75 .

5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС ( )AB BC� про�ведена прямая, перпендикулярная медиане ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла АВО, если известно, что � � �BCA 50 .


1. На рисунке 75, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 3; б) � � �3 4;в) � � � � �1 2 180 ?

2. Точка O принадлежит стороне АC треугольника АВС. Прямые n и pпроходят через точки A и O и параллельны прямой BС. Верно ли, чтоn p|| ?

3. На рисунке 75, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,T, K, P лежат на ребрах AA1 , A D1 1 , DD1 и AD соответственно,

66

аа бб вв

cd

a

b

1

3 52

4nn

B1 A1A1

CCDD

BB

AA

aa

bb

А1

В1В1bb

aa

Рис. 74

O A D FT� 1 � , E A D KP� 1 � , � � �A OT A EK1 1 . Пересекает ли прямаяAA1 прямую PK (рис. 75, в)?

4. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AC. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � �BAC 40 ,� � �BCA 70 .

5. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая, перпендику�лярная высоте ВО этого треугольника. Вычислите градусную меруугла АВО, если известно, что � � �BAC 100 .


1. На рисунке 76, а a || b и c || d. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �1 3 180 ;в) � � �1 4?

67

аа бб вв

FF K

E

T

AA PP DD

c

d

a b

13

2 4

А1А1 D1D1

О

A1 D1D1

DDAA

OO

EE

FF

KK

PP

TT

Рис. 75

c

d

a

b

13

2

4

аа бб вв

B1 C1C1

FF K

В1В1

D1

А1А1

C1C1

D1А1А1

KKFF

Рис. 76

2. Точка Т принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые b и с про�ходят через точки А и Т и параллельны прямой ВС. Верно ли, что b c|| ?

3. На рисунке 76, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F и Kлежат на ребрах A B1 1 и D C1 1 соответственно, � � � � �FD K B KD1 1 1 180 .Пересекает ли прямаяC B1 1 прямую D F1 (рис. 76, в)?

4. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AB. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � � �CAB CBA� �108 .

5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС (АВ � ВС) прове�дена прямая, перпендикулярная биссектрисе ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла ВАС, если известно, что � � �ABC 70 .


1. На рисунке 77, а AB BC� , PF || AC, PK и AF – биссектрисы углов BPFи BAC соответственно. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �3 4 180 ;в) � � �5 1?

2. На рисунке 77, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Pи F лежат на ребрах A D1 1 и AD соответственно, K FD� 1 , O AK� ,OF OK� , � � �PAO OFK . Пересекает ли прямаяOF прямую AP?

3. На сторонах угла BAK отмечены точки: M и C – на стороне AB (точкаM лежит между A и C), O и P – на стороне AK, CP AK� , OM AK� ,� � �AMO 30 . Биссектриса угла PCB пересекает луч AK в точке E. Вы�числите градусную меру угла ACE.

68

B

F

K

C

P

A

O

AA

PP

DF

K52

1 4

А1А1 D1D1

3

аа бб

Рис. 77


1. На рисунке 78, а BC || AD, отрезки CK и AF – биссектрисы треугольниковBAC и ACD соответственно, AC CD� . Верно ли, что: а) � � �BCK CAF;б) � � � � �BCD CAD 180 ; в) � � � � �BKC BAC KCA?

2. На рисунке 78, б изображен прямоугольный параллелепипед, точкиO Pи лежат на ребре BC, а точки K и F – на ребре CC1 , FC PC� ,� � � � �BOK PFC 180 . Пересекает ли прямая PF прямую BB1 ?

3. Точки B и C лежат на стороне AF угла FAD так, что точка B лежит ме�жду точками A и C. Отрезки BT и CP – перпендикуляры, проведенныек стороне AD угла FAD. Луч CE (E AD� ) – биссектриса угла PCF. Вы�числите градусную меру угла АВТ, если известно, что � � �ACE 100 .

69

B

FK

A PDDB O

C

CC

FF

KK

В1В1 C1C1

аа бб

Рис. 78

2. Точка Т принадлежит стороне АВ треугольника АВС. Прямые b и с про�ходят через точки А и Т и параллельны прямой ВС. Верно ли, что b c|| ?

3. На рисунке 76, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F и Kлежат на ребрах A B1 1 и D C1 1 соответственно, � � � � �FD K B KD1 1 1 180 .Пересекает ли прямаяC B1 1 прямую D F1 (рис. 76, в)?

4. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельнаястороне AB. Вычислите градусную меру угла ABC, если � � � �CAB CBA� �108 .

5. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС (АВ � ВС) прове�дена прямая, перпендикулярная биссектрисе ВО этого треугольника.Вычислите градусную меру угла ВАС, если известно, что � � �ABC 70 .


1. На рисунке 77, а AB BC� , PF || AC, PK и AF – биссектрисы углов BPFи BAC соответственно. Верно ли, что: а) � � �1 2; б) � � � � �3 4 180 ;в) � � �5 1?

2. На рисунке 77, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки Pи F лежат на ребрах A D1 1 и AD соответственно, K FD� 1 , O AK� ,OF OK� , � � �PAO OFK . Пересекает ли прямаяOF прямую AP?

3. На сторонах угла BAK отмечены точки: M и C – на стороне AB (точкаM лежит между A и C), O и P – на стороне AK, CP AK� , OM AK� ,� � �AMO 30 . Биссектриса угла PCB пересекает луч AK в точке E. Вы�числите градусную меру угла ACE.

68

B

F

K

C

P

A

O

AA

PP

DF

K52

1 4

А1А1 D1D1

3

аа бб

Рис. 77


1. На рисунке 78, а BC || AD, отрезки CK и AF – биссектрисы треугольниковBAC и ACD соответственно, AC CD� . Верно ли, что: а) � � �BCK CAF;б) � � � � �BCD CAD 180 ; в) � � � � �BKC BAC KCA?

2. На рисунке 78, б изображен прямоугольный параллелепипед, точкиO Pи лежат на ребре BC, а точки K и F – на ребре CC1 , FC PC� ,� � � � �BOK PFC 180 . Пересекает ли прямая PF прямую BB1 ?

3. Точки B и C лежат на стороне AF угла FAD так, что точка B лежит ме�жду точками A и C. Отрезки BT и CP – перпендикуляры, проведенныек стороне AD угла FAD. Луч CE (E AD� ) – биссектриса угла PCF. Вы�числите градусную меру угла АВТ, если известно, что � � �ACE 100 .

69

B

FK

A PDDB O

C

CC

FF

KK

В1В1 C1C1

аа бб

Рис. 78


ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 4)


1. Прямая l пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Ти Р соответственно. Углы ВТР и ВАС являются соответственными, об�разованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)

2. АРТМ – прямоугольник. Точка Е – внутренняя точка отрезка РМ,АЕ � ЕМ. Отрезок ЕО – медиана треугольника АЕМ. Установите вза�имное расположение прямых ОЕ и АР.

3. ABCD – прямоугольник. Отрезки CP и AK – биссектрисы треугольни�ков АВС и CAD соответственно (рис. 79, а, б). Докажите, что прямыеСР и AK параллельны.

4. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной B пересекает прямуюa в точке F. Градусная мера угла с вершиной A равна 30�. Вычислитеградусные меры углов треугольника FAB.

5. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересе�

чении двух параллельных прямых секущей, составляет13

часть другого.

Вычислите градусные меры этих углов.

70

AA

аа бб

BB CC

KK

DD

PP

AA

BB CC

KK

DD

PP

Рис. 79


1. Прямая l пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС в точках Ми Р соответственно. Углы СРМ и СВА являются соответственными,образованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)

2. АВСD – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС,РС � РD. Отрезок РО – медиана треугольника РСD. Установите вза�имное расположение прямых ОР и АD.

3. ABCD – прямоугольник. Отрезки BF и DK – биссектрисы треугольни�ков АВD и BDC соответственно (рис. 80, а, б). Докажите, что прямыеBF и DK параллельны.

4. Прямая a пересекает параллельные прямые c и b в точках C и B соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной C пересекает пря�мую b в точке K . Градусная мера угла с вершиной B равна140�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника KBC.

5. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, меньшеградусной меры другого на28�. Вычислите градусные меры этих углов.


1. АВСD – четырехугольник. Углы АВD и ВDС являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)

2. АМТО – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АТ, РТ � МР.Отрезок РК – медиана треугольника РМТ. Установите взаимное рас�положение прямых РК и ОТ.

71

аа бб

AA

BB CCKK

DDFF AA

BB CCKK

DDFF

Рис. 80


ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ (ИТОГОВАЯСАМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 4)


1. Прямая l пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках Ти Р соответственно. Углы ВТР и ВАС являются соответственными, об�разованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)

2. АРТМ – прямоугольник. Точка Е – внутренняя точка отрезка РМ,АЕ � ЕМ. Отрезок ЕО – медиана треугольника АЕМ. Установите вза�имное расположение прямых ОЕ и АР.

3. ABCD – прямоугольник. Отрезки CP и AK – биссектрисы треугольни�ков АВС и CAD соответственно (рис. 79, а, б). Докажите, что прямыеСР и AK параллельны.

4. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной B пересекает прямуюa в точке F. Градусная мера угла с вершиной A равна 30�. Вычислитеградусные меры углов треугольника FAB.

5. Один из внутренних односторонних углов, образованных при пересе�

чении двух параллельных прямых секущей, составляет13

часть другого.

Вычислите градусные меры этих углов.

70

AA

аа бб

BB CC

KK

DD

PP

AA

BB CC

KK

DD

PP

Рис. 79


1. Прямая l пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС в точках Ми Р соответственно. Углы СРМ и СВА являются соответственными,образованными при пересечении прямых … (Закончите предложение.)

2. АВСD – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС,РС � РD. Отрезок РО – медиана треугольника РСD. Установите вза�имное расположение прямых ОР и АD.

3. ABCD – прямоугольник. Отрезки BF и DK – биссектрисы треугольни�ков АВD и BDC соответственно (рис. 80, а, б). Докажите, что прямыеBF и DK параллельны.

4. Прямая a пересекает параллельные прямые c и b в точках C и B соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной C пересекает пря�мую b в точке K . Градусная мера угла с вершиной B равна140�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника KBC.

5. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, меньшеградусной меры другого на28�. Вычислите градусные меры этих углов.


1. АВСD – четырехугольник. Углы АВD и ВDС являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)

2. АМТО – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АТ, РТ � МР.Отрезок РК – медиана треугольника РМТ. Установите взаимное рас�положение прямых РК и ОТ.

71

аа бб

AA

BB CCKK

DDFF AA

BB CCKK

DDFF

Рис. 80

3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах AD и BC прямоуголь�ника ABCD, причем BK || DF (рис. 81, а, б). Лучи KP и DE – биссек�трисы углов BKA и FDK соответственно. Докажите, что прямые PKи DE параллельны.

4. Прямая d пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке A пересекаетпрямую c в точке T. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна110�. Вычислите градусные меры углов треугольника ATC.

5. Разность градусных мер внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 60�.Вычислите градусные меры этих углов.


1. АВСD – четырехугольник. Углы ВАС и АСD являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)

2. АВОК – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АО,АР � ВР. Отрезок РТ – медиана треугольника РАВ. Установите взаим�ное расположение прямых ТР и ОВ.

3. Точки F и O лежат соответственно на сторонах AВ и BC прямоуголь�ника ABCD, причем DF || BO (рис. 82, а, б). Лучи DE и OP – биссек�трисы углов FDO и BOC соответственно. Докажите, что прямые DEи PO параллельны.

4. Прямая a пересекает параллельные прямые b и c в точках B и C соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной в точке B пересека�

72

аа бб

AA

BB CC

KK DD

PP

FF

AA

BB CC

KK DD

PP

FF

EE EE

Рис. 81

ет прямую c в точке O. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна50�. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC.

5. Сумма градусных мер соответственных углов, образованных при пере�сечении двух параллельных прямых секущей, равна 104�. Вычислитеградусные меры внутренних односторонних углов.


1. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов с вершиной в точке A пересе�кают прямую b в точках P и T. Градусная мера острого угла с вершинойв точке B равна 40�. Вычислите градусные меры углов треугольникаAPT.

2. На рисунках 83, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 . Точка K лежит на ребре BC, точка F – на луче СС1,

73

аа бб

AA

BB CC

OO

DD

PP

FF

EE

AA

BB CC

OO

DD

PP

FF

EE

Рис. 82

FF

AA A

P

BB B

F

CC

P

KK KC

А1А1

В1

C1C1 C1А1

В1

аа бб

Рис. 83

3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах AD и BC прямоуголь�ника ABCD, причем BK || DF (рис. 81, а, б). Лучи KP и DE – биссек�трисы углов BKA и FDK соответственно. Докажите, что прямые PKи DE параллельны.

4. Прямая d пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке A пересекаетпрямую c в точке T. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна110�. Вычислите градусные меры углов треугольника ATC.

5. Разность градусных мер внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 60�.Вычислите градусные меры этих углов.


1. АВСD – четырехугольник. Углы ВАС и АСD являются накрест лежа�щими, образованными при пересечении прямых … (Закончите предло�жение.)

2. АВОК – прямоугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АО,АР � ВР. Отрезок РТ – медиана треугольника РАВ. Установите взаим�ное расположение прямых ТР и ОВ.

3. Точки F и O лежат соответственно на сторонах AВ и BC прямоуголь�ника ABCD, причем DF || BO (рис. 82, а, б). Лучи DE и OP – биссек�трисы углов FDO и BOC соответственно. Докажите, что прямые DEи PO параллельны.

4. Прямая a пересекает параллельные прямые b и c в точках B и C соот�ветственно. Биссектриса острого угла с вершиной в точке B пересека�

72

аа бб

AA

BB CC

KK DD

PP

FF

AA

BB CC

KK DD

PP

FF

EE EE

Рис. 81

ет прямую c в точке O. Градусная мера угла с вершиной в точке C равна50�. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC.

5. Сумма градусных мер соответственных углов, образованных при пере�сечении двух параллельных прямых секущей, равна 104�. Вычислитеградусные меры внутренних односторонних углов.


1. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов с вершиной в точке A пересе�кают прямую b в точках P и T. Градусная мера острого угла с вершинойв точке B равна 40�. Вычислите градусные меры углов треугольникаAPT.

2. На рисунках 83, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 . Точка K лежит на ребре BC, точка F – на луче СС1,

73

аа бб

AA

BB CC

OO

DD

PP

FF

EE

AA

BB CC

OO

DD

PP

FF

EE

Рис. 82

FF

AA A

P

BB B

F

CC

P

KK KC

А1А1

В1

C1C1 C1А1

В1

аа бб

Рис. 83

CC C F1 1� , лучи FP и C K1 – биссектрисы углов B FC1 1 и BC C1 соответ�ственно. Докажите, что прямые PF иC K1 параллельны.

3. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в два разабольше суммы градусных мер двух соответственных углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.


1. Прямая b пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке C пересекаетпрямую d в точке K, а биссектриса угла CKD пересекает прямую cв точке F. Вычислите градусные меры углов треугольника FCK, если� � �CDK 80 .

2. На рисунках 84, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , боковая грань BB C C1 1 которой является квадратом. ТочкаK лежит на ребре BB1 , а точка P – на луче B B1 , причем BP B K� 1 ,лучи KF и PO – биссектрисы углов B KC1 1 и BPC соответственно. До�кажите, что прямые KF и PO параллельны.

3. Градусная мера одного из соответственных углов, образованных припересечении двух параллельных прямых секущей, в семь раз меньшеразности градусных мер внутренних односторонних углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.

74

F

PP

A A

P

BB B OOO

KK

CC

F

KC

А1А1

В1В1 C1C1

А1

C1В1

аа бб

Рис. 84


ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ


1. Отрезок BF – высота треугольника ABC. Точка O лежит на сторонеBC, отрезок OP – высота треугольника FOC (рис. 85, а). Являются липрямые BF иOP параллельными?

2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка BC,а точка F – точка пересечения прямых AO и DC. Вычислите градуснуюмеру угла FOC, если � � �BAO 40 .

3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD прямоугольни�ка ABCD (рис. 85, б). Прямая АС проходит через точку O – серединуотрезка KF. Докажите, что AKO CFO� .

4. На рисунке 85, в DK || AC, AC � BC, луч DF – биссектриса угла ADK.Докажите, что DF || BC, если известно, что � � �ABC 60 .

5. Через точку M биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллель�ная прямой AB и пересекающая луч BC в точке K . Вычислите градус�ные меры углов треугольника BMK, если � � �ABC 94 .

75

FA

O

B

P A

D

CF

B

K

аа ввбб

AA

KK

BB CC

FF

DD

OO

CC

Рис. 85

CC C F1 1� , лучи FP и C K1 – биссектрисы углов B FC1 1 и BC C1 соответ�ственно. Докажите, что прямые PF иC K1 параллельны.

3. Градусная мера одного из внутренних односторонних углов, образован�ных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в два разабольше суммы градусных мер двух соответственных углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.


1. Прямая b пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектриса тупого угла с вершиной в точке C пересекаетпрямую d в точке K, а биссектриса угла CKD пересекает прямую cв точке F. Вычислите градусные меры углов треугольника FCK, если� � �CDK 80 .

2. На рисунках 84, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , боковая грань BB C C1 1 которой является квадратом. ТочкаK лежит на ребре BB1 , а точка P – на луче B B1 , причем BP B K� 1 ,лучи KF и PO – биссектрисы углов B KC1 1 и BPC соответственно. До�кажите, что прямые KF и PO параллельны.

3. Градусная мера одного из соответственных углов, образованных припересечении двух параллельных прямых секущей, в семь раз меньшеразности градусных мер внутренних односторонних углов. Вычислитеградусные меры односторонних углов.

74

F

PP

A A

P

BB B OOO

KK

CC

F

KC

А1А1

В1В1 C1C1

А1

C1В1

аа бб

Рис. 84


ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ


1. Отрезок BF – высота треугольника ABC. Точка O лежит на сторонеBC, отрезок OP – высота треугольника FOC (рис. 85, а). Являются липрямые BF иOP параллельными?

2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка BC,а точка F – точка пересечения прямых AO и DC. Вычислите градуснуюмеру угла FOC, если � � �BAO 40 .

3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах АВ и CD прямоугольни�ка ABCD (рис. 85, б). Прямая АС проходит через точку O – серединуотрезка KF. Докажите, что AKO CFO� .

4. На рисунке 85, в DK || AC, AC � BC, луч DF – биссектриса угла ADK.Докажите, что DF || BC, если известно, что � � �ABC 60 .

5. Через точку M биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллель�ная прямой AB и пересекающая луч BC в точке K . Вычислите градус�ные меры углов треугольника BMK, если � � �ABC 94 .

75

FA

O

B

P A

D

CF

B

K

аа ввбб

AA

KK

BB CC

FF

DD

OO

CC

Рис. 85


1. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OF – вы�сота треугольника AOD (рис. 86, а). Являются ли прямые AB и OF па�ралельными?

2. ABCD – квадрат. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, а точ�ка O – точка пересечения прямых AF и BC. Вычислите градуснуюмеру угла BOF, если � � �BAF 70 .

3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АD и BC прямоугольни�ка ABCD (рис. 86, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POD TOB� .

4. На рисунке 86, в AС � ВС, лучи AP и FD – биссектрисы углов BACи KFC соответственно. Докажите, что AP || FD, если известно, что� � �ABC 40 , � � �AFK 140 .

5. Через точку F биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника APF, если � � �FAC 20 .


1. Отрезок BO – высота треугольника ABC. Точка F лежит на стороне BC,отрезок FT – высота треугольника BOF (рис. 87, а). Являются ли пря�мыеTF иOC параллельными?

2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка AD,� � �BCO OCD. Прямые CO и AB пересекаются в точке T. Вычислитеградусную меру углаTOA.

76

F

P

A A

D

C B

D

O

B

F

K

C

аа ввбб

AA PP

BB CCTT

DD

OO

Рис. 86

3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах ВC и AD прямоугольникаABCD (рис. 87, б). Прямая АС проходит через середину отрезка KF –точку O. Докажите, что AOF COK� .

4. На рисунке 87, в АВ � АC, лучи BF и DP – биссектрисы углов ABC и ADFсоответственно. Докажите, что BF || DP, если известно, что � � �ACB 50 ,а � � �FDB 130 .

5. Через точку T биссектрисы угла BCA проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч CB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника CPT, если градусная мера угла, смежногос углом CPT, равна50�.


1. Точка F лежит на стороне BC прямоугольника ABCD. Отрезок OF –высота треугольника AFD (рис. 88, а). Являются ли прямые FO и CDпараллельными?

77

CA

T

O

B

F

аа ввбб

OO

CFPA

D

B

AA FF DD

CCKKBB

Рис. 87

F

A DO

B С

аа ввбб

C F

P

A

K

B

OO

AA

TT

DD

CC

PP

BB

Рис. 88


1. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O. Отрезок OF – вы�сота треугольника AOD (рис. 86, а). Являются ли прямые AB и OF па�ралельными?

2. ABCD – квадрат. Точка F – внутренняя точка отрезка CD, а точ�ка O – точка пересечения прямых AF и BC. Вычислите градуснуюмеру угла BOF, если � � �BAF 70 .

3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АD и BC прямоугольни�ка ABCD (рис. 86, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POD TOB� .

4. На рисунке 86, в AС � ВС, лучи AP и FD – биссектрисы углов BACи KFC соответственно. Докажите, что AP || FD, если известно, что� � �ABC 40 , � � �AFK 140 .

5. Через точку F биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника APF, если � � �FAC 20 .


1. Отрезок BO – высота треугольника ABC. Точка F лежит на стороне BC,отрезок FT – высота треугольника BOF (рис. 87, а). Являются ли пря�мыеTF иOC параллельными?

2. ABCD – прямоугольник. Точка O – внутренняя точка отрезка AD,� � �BCO OCD. Прямые CO и AB пересекаются в точке T. Вычислитеградусную меру углаTOA.

76

F

P

A A

D

C B

D

O

B

F

K

C

аа ввбб

AA PP

BB CCTT

DD

OO

Рис. 86

3. Точки K и F лежат соответственно на сторонах ВC и AD прямоугольникаABCD (рис. 87, б). Прямая АС проходит через середину отрезка KF –точку O. Докажите, что AOF COK� .

4. На рисунке 87, в АВ � АC, лучи BF и DP – биссектрисы углов ABC и ADFсоответственно. Докажите, что BF || DP, если известно, что � � �ACB 50 ,а � � �FDB 130 .

5. Через точку T биссектрисы угла BCA проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч CB в точке P. Вычислите градусныемеры углов треугольника CPT, если градусная мера угла, смежногос углом CPT, равна50�.


1. Точка F лежит на стороне BC прямоугольника ABCD. Отрезок OF –высота треугольника AFD (рис. 88, а). Являются ли прямые FO и CDпараллельными?

77

CA

T

O

B

F

аа ввбб

OO

CFPA

D

B

AA FF DD

CCKKBB

Рис. 87

F

A DO

B С

аа ввбб

C F

P

A

K

B

OO

AA

TT

DD

CC

PP

BB

Рис. 88

2. ABCD – квадрат. Точка P – внутренняя точка отрезка DC, а точка T –точка пересечения прямых BP и AD. Вычислите градусную меру углаPTA, если � � �ABP 50 .

3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АВ и СD прямоугольни�ка ABCD (рис. 88, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POB TOD� .

4. На рисунке 88, в АС � ВC, лучи AP и FK – биссектрисы углов BACи PFC соответственно. Докажите, что AP || FK, если известно, что� � �BAC 80 , � � �BPF 100 .

5. Через точку O биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллельнаяпрямой BC и пересекающая луч BA в точке F. Вычислите градусныемеры углов треугольника BFO, если градусная мера угла, смежногос углом FOB, равна160�.


1. На рисунке 89, а прямые AC и KF перпендикулярны прямой CB, отрез�ки CF и KP – медианы треугольников ACB и FKB соответственно. До�кажите, чтоCF || KP.

2. На рисунке 89, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,S, T и P лежат на ребрах AA BB AB1 1, , и A B1 1 соответственно, B F AS1 || ,O PT B F� � 1 , E PT AS� � ,OP ET� . Докажите, что AET B OP� 1 .

3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке F, OP AC P AC� �( ). Вычис�лите градусные меры углов треугольника AFO, если � � �AOP PAO2 .

78

F

P

AAA

PP

E

BK

B

O

FF S

T

CА1А1

В1В1

аа бб

Рис. 89


1. На рисунке 90, а отрезок BK – медиана равнобедренного треугольни�ка ABC с основанием AC, прямая FP – серединный перпендикулярк отрезку BK, отрезки FE и KD – биссектрисы треугольников PFKи FKAсоответственно. Докажите, что FE || DK .

2. На рисунке 90, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки K,M, P, E лежат на ребрах BB1 , B C1 1 , CC1 и BC соответственно, BM C E|| 1 ,O KP BM F KP C E KO FP� � �� , ,1 . Докажите, что KOB PFC� 1 .

3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P, F AC� , AO OF� . Вы�числите градусные меры углов треугольника AOF, если � � �APO 120 .

79

PP

EEBB

OF

M

CC

B

FD

A

K

C

EP

В1

C1C1

К

аа бб

Рис. 90

2. ABCD – квадрат. Точка P – внутренняя точка отрезка DC, а точка T –точка пересечения прямых BP и AD. Вычислите градусную меру углаPTA, если � � �ABP 50 .

3. Точки P и T лежат соответственно на сторонах АВ и СD прямоугольни�ка ABCD (рис. 88, б). Прямая BD проходит через середину отрезкаPT – точку O. Докажите, что POB TOD� .

4. На рисунке 88, в АС � ВC, лучи AP и FK – биссектрисы углов BACи PFC соответственно. Докажите, что AP || FK, если известно, что� � �BAC 80 , � � �BPF 100 .

5. Через точку O биссектрисы угла ABC проведена прямая, параллельнаяпрямой BC и пересекающая луч BA в точке F. Вычислите градусныемеры углов треугольника BFO, если градусная мера угла, смежногос углом FOB, равна160�.


1. На рисунке 89, а прямые AC и KF перпендикулярны прямой CB, отрез�ки CF и KP – медианы треугольников ACB и FKB соответственно. До�кажите, чтоCF || KP.

2. На рисунке 89, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки F,S, T и P лежат на ребрах AA BB AB1 1, , и A B1 1 соответственно, B F AS1 || ,O PT B F� � 1 , E PT AS� � ,OP ET� . Докажите, что AET B OP� 1 .

3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке F, OP AC P AC� �( ). Вычис�лите градусные меры углов треугольника AFO, если � � �AOP PAO2 .

78

F

P

AAA

PP

E

BK

B

O

FF S

T

CА1А1

В1В1

аа бб

Рис. 89


1. На рисунке 90, а отрезок BK – медиана равнобедренного треугольни�ка ABC с основанием AC, прямая FP – серединный перпендикулярк отрезку BK, отрезки FE и KD – биссектрисы треугольников PFKи FKAсоответственно. Докажите, что FE || DK .

2. На рисунке 90, б изображен прямоугольный параллелепипед, точки K,M, P, E лежат на ребрах BB1 , B C1 1 , CC1 и BC соответственно, BM C E|| 1 ,O KP BM F KP C E KO FP� � �� , ,1 . Докажите, что KOB PFC� 1 .

3. Через точку O биссектрисы угла BAC проведена прямая, параллельнаяпрямой AC и пересекающая луч AB в точке P, F AC� , AO OF� . Вы�числите градусные меры углов треугольника AOF, если � � �APO 120 .

79

PP

EEBB

OF

M

CC

B

FD

A

K

C

EP

В1

C1C1

К

аа бб

Рис. 90


СУММА ГРАДУСНЫХ МЕРУГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.

ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА


1. АВС – треугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС. Верноли, что � � � � �APB PBC PCB?

2. Точки K и F лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC так, чтоBK BF KF� � (рис. 91, а, б). Является ли треугольник KFC тупоуголь�ным? Ответ поясните.

3. Точка F лежит на ребре A B1 1 прямой треугольной призмы (рис. 91, в).а) Какой из углов – FAB или B FA1 – является внешним углом тре�угольника FAA1 ? б) Вычислите градусную меру угла FAA1 , если� � �AFA1 84 .

4. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АТС, если известно, что AT BT� и � � �ABC 20 .

5. Градусная мера одного из внешних углов треугольника равна 120�,а разность градусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна30�. Вычислите градусные меры углов треугольника.

80

аа ввбб

FF

AA A

BB

KK

B F

CC

F

K C

В1

А1

AA

BB

Рис. 91


1. АВС – треугольник. Точка Т – внутренняя точка отрезка ВС. Верноли, что � � � � �ATB TAC TCA?

2. Точки K и F лежат на сторонах BC и AC треугольника ABC так, чтоCK KF� и FK || AB (рис. 92, а, б). Известно, что � � �ABC 70 . Являетсяли треугольник KFC остроугольным? Ответ поясните.

3. Точка D лежит на ребре BB1 прямой треугольной призмы (рис. 92, в).а) Какой из углов – DC C1 или C DB1 – является внешним углом тре�угольника DB C1 1 ? б) Вычислите градусную меру угла B DC1 1 , если� � �B C D1 1 32 .

4. Отрезок ВР – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АВР, если известно, что BP PC�

и � � �PBC 30 .

5. Градусная мера внешнего угла треугольника ABC при вершине С равна140�, а � � � � �A B 20 . Вычислите градусные меры углов треугольникаАВС.


1. АВС – треугольник. Точка О – внутренняя точка отрезка АВ. Верноли, что � � � � �BOC OAC OCA?

2. Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, точка F лежит на сто�роне AB и BF DF� (рис. 93, а, б). Известно, что � � �ABC 100 . Явля�ется ли треугольник AFD тупоугольным? Ответ поясните.

81

аа ввбб

AA

BB

KK

BFF

D

CC A

B

C

K

F C

В1 C1

Рис. 92


СУММА ГРАДУСНЫХ МЕРУГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.

ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА


1. АВС – треугольник. Точка Р – внутренняя точка отрезка АС. Верноли, что � � � � �APB PBC PCB?

2. Точки K и F лежат на сторонах AC и BC треугольника ABC так, чтоBK BF KF� � (рис. 91, а, б). Является ли треугольник KFC тупоуголь�ным? Ответ поясните.

3. Точка F лежит на ребре A B1 1 прямой треугольной призмы (рис. 91, в).а) Какой из углов – FAB или B FA1 – является внешним углом тре�угольника FAA1 ? б) Вычислите градусную меру угла FAA1 , если� � �AFA1 84 .

4. Отрезок АТ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АТС, если известно, что AT BT� и � � �ABC 20 .

5. Градусная мера одного из внешних углов треугольника равна 120�,а разность градусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна30�. Вычислите градусные меры углов треугольника.

80

аа ввбб

FF

AA A

BB

KK

B F

CC

F

K C

В1

А1

AA

BB

Рис. 91


1. АВС – треугольник. Точка Т – внутренняя точка отрезка ВС. Верноли, что � � � � �ATB TAC TCA?

2. Точки K и F лежат на сторонах BC и AC треугольника ABC так, чтоCK KF� и FK || AB (рис. 92, а, б). Известно, что � � �ABC 70 . Являетсяли треугольник KFC остроугольным? Ответ поясните.

3. Точка D лежит на ребре BB1 прямой треугольной призмы (рис. 92, в).а) Какой из углов – DC C1 или C DB1 – является внешним углом тре�угольника DB C1 1 ? б) Вычислите градусную меру угла B DC1 1 , если� � �B C D1 1 32 .

4. Отрезок ВР – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градусныемеры углов треугольника АВР, если известно, что BP PC�

и � � �PBC 30 .

5. Градусная мера внешнего угла треугольника ABC при вершине С равна140�, а � � � � �A B 20 . Вычислите градусные меры углов треугольникаАВС.


1. АВС – треугольник. Точка О – внутренняя точка отрезка АВ. Верноли, что � � � � �BOC OAC OCA?

2. Отрезок BD – биссектриса треугольника ABC, точка F лежит на сто�роне AB и BF DF� (рис. 93, а, б). Известно, что � � �ABC 100 . Явля�ется ли треугольник AFD тупоугольным? Ответ поясните.

81

аа ввбб

AA

BB

KK

BFF

D

CC A

B

C

K

F C

В1 C1

Рис. 92

3. Точка K лежит на ребре ВВ1 прямой треугольной призмы (рис. 93, в).а) Какой из углов – AKB1 или A AK1 – является внешним углом тре�угольника AKB? б) Вычислите градусную меру угла AKB, если� � �KAB 15 .

4. Отрезок СМ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градус�ные меры углов треугольника МАС, если известно, что BM CM�

и � � �BMC 80 .

5. Градусная мера внешнего угла треугольника MKP при вершине P рав�на 75�, а � � �K M2 . Вычислите градусные меры углов треугольникаMKP.


1. АТР – треугольник. Точка В – внутренняя точка отрезка АР. Верноли, что � � � � �TBA BTP TPB?

82

F

DA AA

B

E

O

FFC

EE

BB

O

CF

A

CC

DD

l ll

C1 А1

аа ввбб

Рис. 94

аа ввбб

DD

K

B

CC A

BB

FF

AA DC

B

F

A

В1В1

А1А1

Рис. 93

2. На рисунках 94, а, б отрезки CB и DA перпендикулярны прямой l, лучиAF и BE – биссектрисы углов BAD и ABC соответственно, O AF BE� � .Является ли треугольник AOE прямоугольным? Ответ поясните.

3. Точка F лежит на ребре AC прямой треугольной призмы (рис. 94, в).а) Какой из углов – FA C1 1 или A FC1 – является внешним углом тре�угольника AA F1 ? б) Вычислите градусную меру угла A FA1 , если� � �AA F1 40 .

4. Отрезок ТО – биссектриса треугольника АВТ. Вычислите градусные мерыуглов треугольника ВОТ, если известно, что AO OT� и � � �ATB 60 .

5. Градусная мера внешнего угла треугольника равна 115�, а разностьградусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна15�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника.


1. На рисунках 95, а, б AB BC AC� � , K AC� , F AC� , AK AB� , CF CB� .Является ли треугольник KBF тупоугольным?

2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABC 90 . Отрезок BK – биссектриса треугольникаABC, � � �BCA 10 . Вычислите градусную меру угла BKA(рис. 95, в).

3. Градусная мера одного из внешних углов равнобедренного треугольни�ка равна 100�. Какими могут быть градусные меры углов этого тре�угольника? Какой должна быть градусная мера внешнего угла, чтобызадача имела одно решение?

83

FFAA A

B

KK

B

CC

BB

C FK

A K C

аа ввбб

Рис. 95

3. Точка K лежит на ребре ВВ1 прямой треугольной призмы (рис. 93, в).а) Какой из углов – AKB1 или A AK1 – является внешним углом тре�угольника AKB? б) Вычислите градусную меру угла AKB, если� � �KAB 15 .

4. Отрезок СМ – биссектриса треугольника АВС. Вычислите градус�ные меры углов треугольника МАС, если известно, что BM CM�

и � � �BMC 80 .

5. Градусная мера внешнего угла треугольника MKP при вершине P рав�на 75�, а � � �K M2 . Вычислите градусные меры углов треугольникаMKP.


1. АТР – треугольник. Точка В – внутренняя точка отрезка АР. Верноли, что � � � � �TBA BTP TPB?

82

F

DA AA

B

E

O

FFC

EE

BB

O

CF

A

CC

DD

l ll

C1 А1

аа ввбб

Рис. 94

аа ввбб

DD

K

B

CC A

BB

FF

AA DC

B

F

A

В1В1

А1А1

Рис. 93

2. На рисунках 94, а, б отрезки CB и DA перпендикулярны прямой l, лучиAF и BE – биссектрисы углов BAD и ABC соответственно, O AF BE� � .Является ли треугольник AOE прямоугольным? Ответ поясните.

3. Точка F лежит на ребре AC прямой треугольной призмы (рис. 94, в).а) Какой из углов – FA C1 1 или A FC1 – является внешним углом тре�угольника AA F1 ? б) Вычислите градусную меру угла A FA1 , если� � �AA F1 40 .

4. Отрезок ТО – биссектриса треугольника АВТ. Вычислите градусные мерыуглов треугольника ВОТ, если известно, что AO OT� и � � �ATB 60 .

5. Градусная мера внешнего угла треугольника равна 115�, а разностьградусных мер внутренних углов, не смежных с ним, равна15�. Вычис�лите градусные меры углов треугольника.


1. На рисунках 95, а, б AB BC AC� � , K AC� , F AC� , AK AB� , CF CB� .Является ли треугольник KBF тупоугольным?

2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABC 90 . Отрезок BK – биссектриса треугольникаABC, � � �BCA 10 . Вычислите градусную меру угла BKA(рис. 95, в).

3. Градусная мера одного из внешних углов равнобедренного треугольни�ка равна 100�. Какими могут быть градусные меры углов этого тре�угольника? Какой должна быть градусная мера внешнего угла, чтобызадача имела одно решение?

83

FFAA A

B

KK

B

CC

BB

C FK

A K C

аа ввбб

Рис. 95


1. На рисунках 96, а, б AB BC AC� � , D AC� , BC CD� , K BC� , BC CK� .Является ли треугольник BDK прямоугольным?

2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABС 90 . Отрезок BF – биссектриса треугольникаABC, а � � �BAC 20 . Вычислите градусную меру угла BFС (рис. 96, в).

3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB градусная мераодного из углов равна 30�. Чему может быть равна градусная меравнешнего угла треугольника при вершине С? Какой должна быть гра�дусная мера внутреннего угла треугольника, чтобы задача имела однорешение?

84

DDAA A

B

KK

BCC

BB

F

C

K

D

A C

аа ввбб

Рис. 96


НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Длины сторон треугольника равны:а) 2 см; 3 см; 5 см;б) 3 см; 5 см; 9 см;в) 7 см; 8 см; 9 см.Выберите правильный ответ.

2. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� .Известно, что � � �FCA 40 . а) Сравните углы AFC и ACB. б) Сравнитеотрезки AF и AC.

3. Точки O и K лежат на ребрах CB и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC, проходит через вершину Aи параллельна прямой CB (рис. 97, а). Прямые OK и l пересекаютсяв точке F (рис. 97, б, в). Докажите, что треугольник FAK – равнобед�ренный, если известно, что � � �KAF 40 и � � �COK 140 .

4. В равнобедренном треугольнике длины двух сторон равны 6 см и 12 см.Чему равна длина основания этого треугольника?

5. Отрезок СТ – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку Т и пересекает сторону АС в точке Р. Вычислите периметр тре�угольника АТР, если известно, что AB � 7см и PC � 4см.

85

lA A

OB

F

CK

BK

OCl

C1

А1

В1C1

А1

В1

аа бб вв

A F

OO BBCC

KK l

Рис. 97


1. На рисунках 96, а, б AB BC AC� � , D AC� , BC CD� , K BC� , BC CK� .Является ли треугольник BDK прямоугольным?

2. Основанием треугольной призмы является прямоугольный треуголь�ник ABC ( )� � �ABС 90 . Отрезок BF – биссектриса треугольникаABC, а � � �BAC 20 . Вычислите градусную меру угла BFС (рис. 96, в).

3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB градусная мераодного из углов равна 30�. Чему может быть равна градусная меравнешнего угла треугольника при вершине С? Какой должна быть гра�дусная мера внутреннего угла треугольника, чтобы задача имела однорешение?

84

DDAA A

B

KK

BCC

BB

F

C

K

D

A C

аа ввбб

Рис. 96


НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА


1. Длины сторон треугольника равны:а) 2 см; 3 см; 5 см;б) 3 см; 5 см; 9 см;в) 7 см; 8 см; 9 см.Выберите правильный ответ.

2. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� .Известно, что � � �FCA 40 . а) Сравните углы AFC и ACB. б) Сравнитеотрезки AF и AC.

3. Точки O и K лежат на ребрах CB и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC, проходит через вершину Aи параллельна прямой CB (рис. 97, а). Прямые OK и l пересекаютсяв точке F (рис. 97, б, в). Докажите, что треугольник FAK – равнобед�ренный, если известно, что � � �KAF 40 и � � �COK 140 .

4. В равнобедренном треугольнике длины двух сторон равны 6 см и 12 см.Чему равна длина основания этого треугольника?

5. Отрезок СТ – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку Т и пересекает сторону АС в точке Р. Вычислите периметр тре�угольника АТР, если известно, что AB � 7см и PC � 4см.

85

lA A

OB

F

CK

BK

OCl

C1

А1

В1C1

А1

В1

аа бб вв

A F

OO BBCC

KK l

Рис. 97


1. Длины сторон треугольника равны:а) 3 см; 2 см; 6 см; б) 2 см; 2 см; 3 см;в) 1 см; 2 см; 3 см.Выберите правильный ответ.

2. Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �АDB 80 и � � �CAD 36 . а) Сравните углы ADC и ACB. б) Сравнитеотрезки AD и DC.

3. Точки F и O лежат на ребрах A B1 1 и B C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходит че�рез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 98, а). Прямые FO и lпересекаются в точке K (рис. 98, б, в). Докажите, что треугольник C OK1 –равнобедренный, если известно, что � � �A FO1 130 и � � �C OK1 50 .

4. В равнобедренном треугольнике длины двух его сторон равны 5 сми 11 см. Чему равна длина боковой стороны этого треугольника?

5. Отрезок АО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АС треугольника, проходит через точкуО и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр треуголь�

ника ВОМ, если известно, что BC � 9см и AM AB�

13

.



86

F

AA

B

O

B

OF

C

K

C

А1

В1

C1А1

В1

C1

l l

аа бб вв

OF

А1

В1

C1

l

K

Рис. 98

2. В треугольнике ABC АCB� � �53 . Точка P – внутренняя точка отрезкаBC. Известно, что треугольник ABP является равносторонним. а) Срав�ните углы PAC и ACB. б) Сравните отрезки AP иCP.

3. Точки O и P лежат на ребрах A B1 1 и A C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходитчерез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 99, а). Прямые lи OP пересекаются в точке F (рис. 99, б, в). Докажите, что треуголь�ник PFC1 – равнобедренный, если известно, что � � �C FP C A B1 1 1 1 .

4. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны больше длиныдругой стороны на 4 см, а сумма их длин равна 10 см. Чему равна дли�на основания этого треугольника?

5. Отрезок ВР – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АВ треугольника, проходит через точкуР и пересекает сторону ВС в точке О. Вычислите периметр треугольникаРОС, если известно, что точка О – середина отрезка ВС и AC � 8 см.



2. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �OAB 30 , � � �AOC 65 . а) Сравните углы ABC и AOB. б) Сравнитеотрезки AO и BO.

87

O

A A

PP

B

O

F

B

C C

l l

А1

C1

В1 А1

C1

В1

аа бб вв

PO

F l

А1

C1

В1

Рис. 99



2. Точка D лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �АDB 80 и � � �CAD 36 . а) Сравните углы ADC и ACB. б) Сравнитеотрезки AD и DC.

3. Точки F и O лежат на ребрах A B1 1 и B C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходит че�рез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 98, а). Прямые FO и lпересекаются в точке K (рис. 98, б, в). Докажите, что треугольник C OK1 –равнобедренный, если известно, что � � �A FO1 130 и � � �C OK1 50 .

4. В равнобедренном треугольнике длины двух его сторон равны 5 сми 11 см. Чему равна длина боковой стороны этого треугольника?

5. Отрезок АО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АС треугольника, проходит через точкуО и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр треуголь�

ника ВОМ, если известно, что BC � 9см и AM AB�

13

.



86

F

AA

B

O

B

OF

C

K

C

А1

В1

C1А1

В1

C1

l l

аа бб вв

OF

А1

В1

C1

l

K

Рис. 98

2. В треугольнике ABC АCB� � �53 . Точка P – внутренняя точка отрезкаBC. Известно, что треугольник ABP является равносторонним. а) Срав�ните углы PAC и ACB. б) Сравните отрезки AP иCP.

3. Точки O и P лежат на ребрах A B1 1 и A C1 1 треугольной призмыABCA B C1 1 1 . Прямая l, лежащая в плоскости грани A B C1 1 1 , проходитчерез вершину C1 и параллельна прямой A B1 1 (рис. 99, а). Прямые lи OP пересекаются в точке F (рис. 99, б, в). Докажите, что треуголь�ник PFC1 – равнобедренный, если известно, что � � �C FP C A B1 1 1 1 .

4. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны больше длиныдругой стороны на 4 см, а сумма их длин равна 10 см. Чему равна дли�на основания этого треугольника?

5. Отрезок ВР – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию АВ треугольника, проходит через точкуР и пересекает сторону ВС в точке О. Вычислите периметр треугольникаРОС, если известно, что точка О – середина отрезка ВС и AC � 8 см.



2. Точка O лежит на стороне BC треугольника ABC. Известно, что� � �OAB 30 , � � �AOC 65 . а) Сравните углы ABC и AOB. б) Сравнитеотрезки AO и BO.

87

O

A A

PP

B

O

F

B

C C

l l

А1

C1

В1 А1

C1

В1

аа бб вв

PO

F l

А1

C1

В1

Рис. 99

3. Точки O и F лежат на ребрах AC и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости ABC, проходит через вершину C и па�раллельна прямой AB (рис. 100, а). Прямые l и OF пересекаютсяв точке K (рис. 100, б, в). Докажите, что треугольник KOC – равно�бедренный, если � � �CKO CAF.

4. В равнобедренном треугольнике, периметр которого равен 28 см, дли�на одной стороны на 7 см меньше длины другой стороны. Чему равнадлина боковой стороны этого треугольника?

5. Отрезок ВО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку О и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр тре�угольника АОМ, если известно, чтоOC � 6см и AB � 10см.


1. В треугольнике ABC AB BC� , � � �ABC 20 . Точка F – внутренняяточка отрезка BC, а точка E лежит на луче AF, AC CE� . а) Сравнитеотрезки AB и CE. б) Сравните углы CBE и BEC.

2. На рисунке 101, а изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 , осно�ванием которой является равнобедренный прямоугольный треуголь�ник ABC с прямым углом при вершине B, отрезок BO – биссектрисаэтого треугольника. Прямая a, лежащая в плоскости грани ABC, про�ходит через вершину C и параллельна прямой AB (рис. 101, а). Пря�мые a и BO пересекаются в точке F (рис. 101, б). Докажите, что тре�угольник FOC – равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны в два раза мень�ше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторон больше –боковой стороны или основания.

88

F

A A

B

O

B

O

F

C Cl l

А1 C1

В1

А1 C1

В1

К

аа бб вв

C

ll

KK

OOAA

BB

F

Рис. 100


1. ACF – равносторонний треугольник. Точка D – внутренняя точка от�резка CF, а точка B лежит на луче AD так, что � � �ACB 90 . а) Сравни�те отрезки AB и AF. б) Сравните углы AFB и FBA.

2. Точки O и F лежат на ребрах AB и AC треугольной призмы, основани�ем которой является равносторонний треугольник ABC, прямая OFпараллельна прямой BC. Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC,проходит через вершину B и параллельна прямой AC (рис. 102, а).Прямые l и OF пересекаются в точке P (рис. 102, б). Докажите, чтотреугольник POB – равносторонний.

3. В равнобедренном треугольнике длина одной из сторон в три разабольше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторонменьше – основания или боковой стороны.

89

A A

B B

O

F

C O C

a

А1 C1

В1

А1 C1

В1

a

аа бб

Рис. 101

A

B BO

P

CA O C

ll

F F

аа бб

Рис. 102

3. Точки O и F лежат на ребрах AC и AB треугольной призмы ABCA B C1 1 1 .Прямая l, лежащая в плоскости ABC, проходит через вершину C и па�раллельна прямой AB (рис. 100, а). Прямые l и OF пересекаютсяв точке K (рис. 100, б, в). Докажите, что треугольник KOC – равно�бедренный, если � � �CKO CAF.

4. В равнобедренном треугольнике, периметр которого равен 28 см, дли�на одной стороны на 7 см меньше длины другой стороны. Чему равнадлина боковой стороны этого треугольника?

5. Отрезок ВО – биссектриса равнобедренного треугольника АВС. Пря�мая l, параллельная основанию ВС треугольника, проходит через точ�ку О и пересекает сторону АВ в точке М. Вычислите периметр тре�угольника АОМ, если известно, чтоOC � 6см и AB � 10см.


1. В треугольнике ABC AB BC� , � � �ABC 20 . Точка F – внутренняяточка отрезка BC, а точка E лежит на луче AF, AC CE� . а) Сравнитеотрезки AB и CE. б) Сравните углы CBE и BEC.

2. На рисунке 101, а изображена треугольная призма ABCA B C1 1 1 , осно�ванием которой является равнобедренный прямоугольный треуголь�ник ABC с прямым углом при вершине B, отрезок BO – биссектрисаэтого треугольника. Прямая a, лежащая в плоскости грани ABC, про�ходит через вершину C и параллельна прямой AB (рис. 101, а). Пря�мые a и BO пересекаются в точке F (рис. 101, б). Докажите, что тре�угольник FOC – равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике длина одной стороны в два раза мень�ше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторон больше –боковой стороны или основания.

88

F

A A

B

O

B

O

F

C Cl l

А1 C1

В1

А1 C1

В1

К

аа бб вв

C

ll

KK

OOAA

BB

F

Рис. 100


1. ACF – равносторонний треугольник. Точка D – внутренняя точка от�резка CF, а точка B лежит на луче AD так, что � � �ACB 90 . а) Сравни�те отрезки AB и AF. б) Сравните углы AFB и FBA.

2. Точки O и F лежат на ребрах AB и AC треугольной призмы, основани�ем которой является равносторонний треугольник ABC, прямая OFпараллельна прямой BC. Прямая l, лежащая в плоскости грани ABC,проходит через вершину B и параллельна прямой AC (рис. 102, а).Прямые l и OF пересекаются в точке P (рис. 102, б). Докажите, чтотреугольник POB – равносторонний.

3. В равнобедренном треугольнике длина одной из сторон в три разабольше длины другой стороны. Выясните, длина какой из сторонменьше – основания или боковой стороны.

89

A A

B B

O

F

C O C

a

А1 C1

В1

А1 C1

В1

a

аа бб

Рис. 101

A

B BO

P

CA O C

ll

F F

аа бб

Рис. 102


ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА И СВОЙСТВАПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. В прямоугольном треугольнике ТАВ � � �TAB 90 , TB AB� 2 . Назовитеугол треугольника ТАВ, градусная мера которого равна30�.

2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что AТ PC� и BT � 3 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.

3. На рисунках 103, а, б изображен прямоугольный параллелепипед.Точки A и В лежат на ребрах DD1 и СC1 соответственно. Из точек D1

и C проведены перпендикуляры D P1 и CK к отрезку AB, причемD P CK1 � . Докажите, что POD KOC1 � .

4. В прямоугольном треугольнике АВС � � �ABC 90 , � � �BAC 60 . ТочкаО – середина отрезка АС. Отрезки ОР и ВН – высоты треугольниковВОС и АОВ соответственно. Докажите, что OP AH� .

5. В прямоугольном треугольнике АВС � � �АBС 90 , � � �ACB 30 . Вычис�лите длины сторон AB и AC, если AB AC� � 18см.

90

BB

O

K

C1C1

аа бб

АА

DD CC

P

BB

O

K

C1C1

АА

DD CC

D1D1

P

D1D1

Рис. 103


1. В прямоугольном треугольнике СОВ � � �OCB 90 , OB OC� 2 . Назовитеугол треугольника СОВ, градусная мера которого равна30�.

2. АВСD – прямоугольник. Точки О и М – внутренние точки отрезковАВ и СD соответственно. Известно, что BM OD� и AO � 1 см. Чемуравна длина отрезка СМ? Ответ поясните.

3. На рисунках 104, а, б изображена прямая треугольная призма. Точки Fи P лежат на ребрах AA1 и BB1 соответственно так, что при этомA F BP1 � и � � � � �A FO OPB1 90 . Отрезки FP и A B1 пересекаютсяв точкеO. Докажите, что A FO BPO1 � .

4. В прямоугольнике АВСD O AC BD� � . Треугольник АОВ — равносто�ронний. Отрезки OT и BP – высоты треугольников ВОС и АОВ соот�ветственно. Докажите, что OT AP� .

5. В прямоугольном треугольнике MKT � � �MKT 90 , � � �KMT 60 . Вы�числите длины сторон MK и MT, если MT MK� � 6см.


1. В прямоугольном треугольнике ТКВ � � �TBK 90 , TK BK� 2 . Назовитеугол треугольника ТКВ, градусная мера которого равна30�.

2. АВСD – прямоугольник. Точки О и Т – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что BT OD� и OC � 4 см. Чему равнадлина отрезка АТ? Ответ поясните.

91

AA ABB B

O FFF P O P

А1А1В1

А1В1

аа бб

Рис. 104


ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА И СВОЙСТВАПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ


1. В прямоугольном треугольнике ТАВ � � �TAB 90 , TB AB� 2 . Назовитеугол треугольника ТАВ, градусная мера которого равна30�.

2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что AТ PC� и BT � 3 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.

3. На рисунках 103, а, б изображен прямоугольный параллелепипед.Точки A и В лежат на ребрах DD1 и СC1 соответственно. Из точек D1

и C проведены перпендикуляры D P1 и CK к отрезку AB, причемD P CK1 � . Докажите, что POD KOC1 � .

4. В прямоугольном треугольнике АВС � � �ABC 90 , � � �BAC 60 . ТочкаО – середина отрезка АС. Отрезки ОР и ВН – высоты треугольниковВОС и АОВ соответственно. Докажите, что OP AH� .

5. В прямоугольном треугольнике АВС � � �АBС 90 , � � �ACB 30 . Вычис�лите длины сторон AB и AC, если AB AC� � 18см.

90

BB

O

K

C1C1

аа бб

АА

DD CC

P

BB

O

K

C1C1

АА

DD CC

D1D1

P

D1D1

Рис. 103


1. В прямоугольном треугольнике СОВ � � �OCB 90 , OB OC� 2 . Назовитеугол треугольника СОВ, градусная мера которого равна30�.

2. АВСD – прямоугольник. Точки О и М – внутренние точки отрезковАВ и СD соответственно. Известно, что BM OD� и AO � 1 см. Чемуравна длина отрезка СМ? Ответ поясните.

3. На рисунках 104, а, б изображена прямая треугольная призма. Точки Fи P лежат на ребрах AA1 и BB1 соответственно так, что при этомA F BP1 � и � � � � �A FO OPB1 90 . Отрезки FP и A B1 пересекаютсяв точкеO. Докажите, что A FO BPO1 � .

4. В прямоугольнике АВСD O AC BD� � . Треугольник АОВ — равносто�ронний. Отрезки OT и BP – высоты треугольников ВОС и АОВ соот�ветственно. Докажите, что OT AP� .

5. В прямоугольном треугольнике MKT � � �MKT 90 , � � �KMT 60 . Вы�числите длины сторон MK и MT, если MT MK� � 6см.


1. В прямоугольном треугольнике ТКВ � � �TBK 90 , TK BK� 2 . Назовитеугол треугольника ТКВ, градусная мера которого равна30�.

2. АВСD – прямоугольник. Точки О и Т – внутренние точки отрезков ВСи АD соответственно. Известно, что BT OD� и OC � 4 см. Чему равнадлина отрезка АТ? Ответ поясните.

91

AA ABB B

O FFF P O P

А1А1В1

А1В1

аа бб

Рис. 104

3. На рисунках 105, а, б изображен куб, точки P и F лежат на ребрахCC1 и AC соответственно, FC CP� . Докажите, что A AF A C P1 1 1� .

4. Отрезок СН – высота равностороннего треугольника АВС. Луч AF –биссектриса внешнего угла при вершине A. Отрезок BO – перпенди�куляр, проведенный к прямой AF. Докажите, что OB CH� .

5. В прямоугольном треугольнике ADB � � �ADB 90 , � � �ABD DAB2 .Вычислите длины сторон DB и AB, если AB DB� � 12см.


1. В прямоугольном треугольнике ТОР � � �TPO 90 , OT TP� 2 . Назовитеугол треугольника ТОР, градусная мера которого равна30�.

92

AAA

P

FF CC CF

P

А1А1 C1А1 C1

аа бб

Рис. 105

AA A

BB B

F F

TTT

А1 А1

В1В1В1

аа бб

Рис. 106

2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков АВи СD соответственно. Известно, что AP CT� и BT � 2 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.

3. На рисунках 106, а, б изображена прямая треугольная призма. ТочкиF и T лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно, � � �AFB ATB1 1 .Докажите, что AA F B BT1 1� .

4. В прямоугольнике ABCD O AC BD� � . Отрезки OH и CT – высотытреугольников BOC и COD соответственно. Лучи CO и CT делят уголBCD на три равных угла. Докажите, что OH � TD.

5. Градусная мера внешнего угла при вершине C прямоугольного тре�угольника CKD (� � �CKD 90 ) равна 150�. Вычислите длины сторон KDиCD, еслиCD KD� � 7см.


1. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и BC равнобедренногоостроугольного треугольника ABC, пересекаются в точке O. Докажи�те, что луч BO – биссектриса угла ABC.

2. На рисунках 107, а, б изображена прямая треугольная призма. Равно�бедренный треугольник BKC (K B C� 1 1 , BK KC� ) лежит на граниBB C C1 1 призмы. Докажите, что точка K – середина ребра B C1 1 .

3. ABC – равносторонний треугольник. Точка D лежит на луче AB так,что CB BD� . Вычислите длину медианы BM треугольника CBD, еслиAD � 16 см.

93

BB B

K

CCC

K

В1В1 В1

C1C1

аа бб

Рис. 107

3. На рисунках 105, а, б изображен куб, точки P и F лежат на ребрахCC1 и AC соответственно, FC CP� . Докажите, что A AF A C P1 1 1� .

4. Отрезок СН – высота равностороннего треугольника АВС. Луч AF –биссектриса внешнего угла при вершине A. Отрезок BO – перпенди�куляр, проведенный к прямой AF. Докажите, что OB CH� .

5. В прямоугольном треугольнике ADB � � �ADB 90 , � � �ABD DAB2 .Вычислите длины сторон DB и AB, если AB DB� � 12см.


1. В прямоугольном треугольнике ТОР � � �TPO 90 , OT TP� 2 . Назовитеугол треугольника ТОР, градусная мера которого равна30�.

92

AAA

P

FF CC CF

P

А1А1 C1А1 C1

аа бб

Рис. 105

AA A

BB B

F F

TTT

А1 А1

В1В1В1

аа бб

Рис. 106

2. АВСD – прямоугольник. Точки Т и Р – внутренние точки отрезков АВи СD соответственно. Известно, что AP CT� и BT � 2 см. Чему равнадлина отрезка РD? Ответ поясните.

3. На рисунках 106, а, б изображена прямая треугольная призма. ТочкиF и T лежат на ребрах A B1 1 и AB соответственно, � � �AFB ATB1 1 .Докажите, что AA F B BT1 1� .

4. В прямоугольнике ABCD O AC BD� � . Отрезки OH и CT – высотытреугольников BOC и COD соответственно. Лучи CO и CT делят уголBCD на три равных угла. Докажите, что OH � TD.

5. Градусная мера внешнего угла при вершине C прямоугольного тре�угольника CKD (� � �CKD 90 ) равна 150�. Вычислите длины сторон KDиCD, еслиCD KD� � 7см.


1. Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и BC равнобедренногоостроугольного треугольника ABC, пересекаются в точке O. Докажи�те, что луч BO – биссектриса угла ABC.

2. На рисунках 107, а, б изображена прямая треугольная призма. Равно�бедренный треугольник BKC (K B C� 1 1 , BK KC� ) лежит на граниBB C C1 1 призмы. Докажите, что точка K – середина ребра B C1 1 .

3. ABC – равносторонний треугольник. Точка D лежит на луче AB так,что CB BD� . Вычислите длину медианы BM треугольника CBD, еслиAD � 16 см.

93

BB B

K

CCC

K

В1В1 В1

C1C1

аа бб

Рис. 107


1. Отрезок АС – основание равнобедренного тупоугольного треугольни�ка ABC. Прямые, содержащие высоты треугольника, проведенныек боковым сторонам, пересекаются в точке O. Докажите, что OB –биссектриса угла AOC.

2. На рисунках 108, а, б изображена треугольная призма, боковые граникоторой являются квадратами. Точки F и P лежат на ребрах B C1 1 и BB1

соответственно, � � �PC C FBC1 . Докажите, что BF C P� 1 .

3. ABC – равносторонний треугольник. Луч CF расположен так, что лучCB является биссектрисой угла ACF. Отрезок BD – перпендикуляр,проведенный из точки B к прямой CF. Вычислите периметр треуголь�ника ABC, еслиCD � 3см.

94

BB

CC

P

F F

B

C

PP

В1

C1C1 C1

В1

аа бб

Рис. 108


РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.РАВЕНСТВО ФИГУР


1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB BC� ) точка F – серединастороны AC, точка P – середина отрезка FC. Какой из отрезков – BFили BP – является наклонной к прямой AC?

2. Точка T – середина стороны ВС прямоугольника ABCD, BC � 8 см,� � �ACB 30 . Вычислите расстояние от точки T до прямой АС.

3. На рисунках 109, а, б изображен тетраэдр SABC, точка D – серединаребра BC. а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий на грани SBC, являет�ся перпендикуляром, проведенным из точки S к прямой BC? б) В плос�кости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенный из точки Ск прямой AD. в) Докажите, что ABD SCD� .

4. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде AB. Известно, что� � �CDA 20 . Вычислите градусные меры углов треугольника ACB.

5. В прямоугольном треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �ACB 30 . ТочкаF – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� � 8 см. Вычислите: а) рас�

95

B

C

S

A A

DDB

C

S

аа бб

Рис. 109


1. Отрезок АС – основание равнобедренного тупоугольного треугольни�ка ABC. Прямые, содержащие высоты треугольника, проведенныек боковым сторонам, пересекаются в точке O. Докажите, что OB –биссектриса угла AOC.

2. На рисунках 108, а, б изображена треугольная призма, боковые граникоторой являются квадратами. Точки F и P лежат на ребрах B C1 1 и BB1

соответственно, � � �PC C FBC1 . Докажите, что BF C P� 1 .

3. ABC – равносторонний треугольник. Луч CF расположен так, что лучCB является биссектрисой угла ACF. Отрезок BD – перпендикуляр,проведенный из точки B к прямой CF. Вычислите периметр треуголь�ника ABC, еслиCD � 3см.

94

BB

CC

P

F F

B

C

PP

В1

C1C1 C1

В1

аа бб

Рис. 108


РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.РАВЕНСТВО ФИГУР


1. В равнобедренном треугольнике ABC (AB BC� ) точка F – серединастороны AC, точка P – середина отрезка FC. Какой из отрезков – BFили BP – является наклонной к прямой AC?

2. Точка T – середина стороны ВС прямоугольника ABCD, BC � 8 см,� � �ACB 30 . Вычислите расстояние от точки T до прямой АС.

3. На рисунках 109, а, б изображен тетраэдр SABC, точка D – серединаребра BC. а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий на грани SBC, являет�ся перпендикуляром, проведенным из точки S к прямой BC? б) В плос�кости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенный из точки Ск прямой AD. в) Докажите, что ABD SCD� .

4. Диаметр CD окружности перпендикулярен хорде AB. Известно, что� � �CDA 20 . Вычислите градусные меры углов треугольника ACB.

5. В прямоугольном треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �ACB 30 . ТочкаF – внутренняя точка отрезка BC, AF FC� � 8 см. Вычислите: а) рас�

95

B

C

S

A A

DDB

C

S

аа бб

Рис. 109

стояние от точки F до прямой AC; б) расстояние между прямой ABи параллельной ей прямой, проходящей через точку F.


1. Точка F – середина гипотенузы BC равнобедренного прямоугольноготреугольника ABC, точка P – внутренняя точка отрезка FC. Какой изотрезков – AP или AF – является наклонной к прямой BC?

2. Точка P – середина стороны АВ прямоугольника ABCD, � � �ABD 30 ,расстояние от точки Р до прямой BD равно 3 см. Вычислите длину от�резка АВ.

3. На рисунках 110, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SB, ле�жащий на грани SBC, является перпендикуляром, проведенным източки S к прямой BC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендику�ляр, проведенный из точки A к прямой BF. в) Докажите, что AFB CKS� .

4. Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде FD. Известно, что� � �FBD 100 . Вычислите градусные меры углов треугольника BAD.

5. Отрезок BD – медиана равностороннего треугольника ABC, длинастороны которого равна16 см. Отрезок CF – биссектриса треугольни�ка BDC. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой FC; б) рас�стояние между прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей че�рез точкуC.

96

B

CA

FF

AA

S

BB

CCKK

F

K

SS

аа бб

Рис. 110


1. Точка O – середина стороны BC треугольника ABC. Точка F – внут�ренняя точка отрезка AC, BF FC� . Какой из отрезков – FO или FC –является наклонной к прямой BC?

2. Точка О – середина стороны AD прямоугольника ABCD, AD � 16 см,� � �CAD 30 . Вычислите расстояние от точки О до прямой АС.

3. На рисунках 111, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и O – сере�дины ребер AB и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SA, ле�жащий в плоскости грани SAB, является перпендикуляром, проведен�ным из точки S к прямой AB? б) В плоскости грани SBC назовитеперпендикуляр, проведенный из точки B к прямой SO. в) Докажите,что SAF SCO� .

4. Диаметр AF окружности перпендикулярен хорде CB. Известно, что� � �CAB 100 . Вычислите градусные меры углов треугольникаCFB.

5. В прямоугольном треугольнике ABD � � �ABD 90 , � � �BAD 30 . Отре�зок DF – биссектриса треугольника ABD. Известно, что AF � 6 см.Вычислите: а) расстояние от точки F до прямой AD; б) расстояние ме�жду прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей через точку F.


1. В треугольнике ABC АBС� � �90 , точка F – внутренняя точка отрезкаAC, AB BF� , точка O – середина отрезка AF. Какой из отрезков – BFили BO – является наклонной к прямой AC?

97

B

C

S

AF

A

B

C

OF O

S

аа бб

Рис. 111

стояние от точки F до прямой AC; б) расстояние между прямой ABи параллельной ей прямой, проходящей через точку F.


1. Точка F – середина гипотенузы BC равнобедренного прямоугольноготреугольника ABC, точка P – внутренняя точка отрезка FC. Какой изотрезков – AP или AF – является наклонной к прямой BC?

2. Точка P – середина стороны АВ прямоугольника ABCD, � � �ABD 30 ,расстояние от точки Р до прямой BD равно 3 см. Вычислите длину от�резка АВ.

3. На рисунках 110, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SB, ле�жащий на грани SBC, является перпендикуляром, проведенным източки S к прямой BC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендику�ляр, проведенный из точки A к прямой BF. в) Докажите, что AFB CKS� .

4. Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде FD. Известно, что� � �FBD 100 . Вычислите градусные меры углов треугольника BAD.

5. Отрезок BD – медиана равностороннего треугольника ABC, длинастороны которого равна16 см. Отрезок CF – биссектриса треугольни�ка BDC. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой FC; б) рас�стояние между прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей че�рез точкуC.

96

B

CA

FF

AA

S

BB

CCKK

F

K

SS

аа бб

Рис. 110


1. Точка O – середина стороны BC треугольника ABC. Точка F – внут�ренняя точка отрезка AC, BF FC� . Какой из отрезков – FO или FC –является наклонной к прямой BC?

2. Точка О – середина стороны AD прямоугольника ABCD, AD � 16 см,� � �CAD 30 . Вычислите расстояние от точки О до прямой АС.

3. На рисунках 111, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и O – сере�дины ребер AB и BC соответственно. а) Верно ли, что отрезок SA, ле�жащий в плоскости грани SAB, является перпендикуляром, проведен�ным из точки S к прямой AB? б) В плоскости грани SBC назовитеперпендикуляр, проведенный из точки B к прямой SO. в) Докажите,что SAF SCO� .

4. Диаметр AF окружности перпендикулярен хорде CB. Известно, что� � �CAB 100 . Вычислите градусные меры углов треугольникаCFB.

5. В прямоугольном треугольнике ABD � � �ABD 90 , � � �BAD 30 . Отре�зок DF – биссектриса треугольника ABD. Известно, что AF � 6 см.Вычислите: а) расстояние от точки F до прямой AD; б) расстояние ме�жду прямой BD и параллельной ей прямой, проходящей через точку F.


1. В треугольнике ABC АBС� � �90 , точка F – внутренняя точка отрезкаAC, AB BF� , точка O – середина отрезка AF. Какой из отрезков – BFили BO – является наклонной к прямой AC?

97

B

C

S

AF

A

B

C

OF O

S

аа бб

Рис. 111

2. Точка Е – середина стороны СD прямоугольника ABCD, � � �BDC 30 ,расстояние от точки Е до прямой BD равно 12 см. Вычислите длину от�резка СD.

3. На рисунках 112, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки P и K – серединыребер SA и SC соответственно. а) Верно ли, что отрезок BC, лежащийв плоскости грани SBC, является перпендикуляром, проведенным из точ�ки B к прямой SC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендикуляр,проведенный из точки S к прямой BP. в) Докажите, что PAB KCB� .

4. Диаметр AD окружности перпендикулярен хорде BC. Известно, что� � �DCB 30 . Вычислите градусные меры углов треугольника DBA.

5. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы AF и CK пересека�ются в точке O, AO � 6 см. Вычислите: а) расстояние от точки O допрямой AC; б) расстояние между прямой CB и параллельной ей пря�мой, проходящей через точкуO.


1. На рисунках 113, а, б изображен тетраэдр SABC, точки O и K – сере�дины ребер AB и BC соответственно, а точка F лежит на луче CO, при�чем CO OF� . а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий в плоскости граниSBC, является перпендикуляром, проведенным из точки S к прямойBC? б) В плоскости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенныйиз точки A к прямой FC. в) Докажите, что FOB SKC� .

2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеCD. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC, если� � �BDC 20 .

98

B

C

P

S

A A

B

C

KPK

S

аа бб

Рис. 112

3. Медианы BD и AF равностороннего треугольника ABC пересекаютсяв точке O. Отрезок OK – биссектриса треугольника OBF. Известно,что BK � 4 см. Вычислите: а) расстояние от точки K до прямой BD;б) расстояние между прямой AF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку K .


1. На рисунках 114, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно, а точка O лежит на луче SK, при�чем SK KO� . а) Верно ли, что отрезок AB, лежащий в плоскостиграни SAB, является перпендикуляром, проведенным из точки B к пря�мой SA? б) В плоскости грани SBC назовите перпендикуляр, прове�денный из точкиC к прямой SO. в) Докажите, что BFA OKC� .

99

B

C

S

OA

F

A

B

CK

O

FK

S

аа бб

Рис. 113

B

C

F

O

A

F

A

S

B

C

K

O

K

S

аа бб

Рис. 114

2. Точка Е – середина стороны СD прямоугольника ABCD, � � �BDC 30 ,расстояние от точки Е до прямой BD равно 12 см. Вычислите длину от�резка СD.

3. На рисунках 112, а, б изображен тетраэдр SABC. Точки P и K – серединыребер SA и SC соответственно. а) Верно ли, что отрезок BC, лежащийв плоскости грани SBC, является перпендикуляром, проведенным из точ�ки B к прямой SC? б) В плоскости грани SAB назовите перпендикуляр,проведенный из точки S к прямой BP. в) Докажите, что PAB KCB� .

4. Диаметр AD окружности перпендикулярен хорде BC. Известно, что� � �DCB 30 . Вычислите градусные меры углов треугольника DBA.

5. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы AF и CK пересека�ются в точке O, AO � 6 см. Вычислите: а) расстояние от точки O допрямой AC; б) расстояние между прямой CB и параллельной ей пря�мой, проходящей через точкуO.


1. На рисунках 113, а, б изображен тетраэдр SABC, точки O и K – сере�дины ребер AB и BC соответственно, а точка F лежит на луче CO, при�чем CO OF� . а) Верно ли, что отрезок SC, лежащий в плоскости граниSBC, является перпендикуляром, проведенным из точки S к прямойBC? б) В плоскости грани ABC назовите перпендикуляр, проведенныйиз точки A к прямой FC. в) Докажите, что FOB SKC� .

2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеCD. Вычислите градусные меры углов треугольника BOC, если� � �BDC 20 .

98

B

C

P

S

A A

B

C

KPK

S

аа бб

Рис. 112

3. Медианы BD и AF равностороннего треугольника ABC пересекаютсяв точке O. Отрезок OK – биссектриса треугольника OBF. Известно,что BK � 4 см. Вычислите: а) расстояние от точки K до прямой BD;б) расстояние между прямой AF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку K .


1. На рисунках 114, а, б изображен тетраэдр SABC, точки F и K – сере�дины ребер SA и BC соответственно, а точка O лежит на луче SK, при�чем SK KO� . а) Верно ли, что отрезок AB, лежащий в плоскостиграни SAB, является перпендикуляром, проведенным из точки B к пря�мой SA? б) В плоскости грани SBC назовите перпендикуляр, прове�денный из точкиC к прямой SO. в) Докажите, что BFA OKC� .

99

B

C

S

OA

F

A

B

CK

O

FK

S

аа бб

Рис. 113

B

C

F

O

A

F

A

S

B

C

K

O

K

S

аа бб

Рис. 114

2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеDC. Известно, что � � �DCA 10 . Вычислите градусные меры углов тре�угольника BOD.

3. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC, у которо�го AB BC� � 16 см, � � �ABC 120 . Отрезок BF – биссектриса тре�угольника ABD. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой BF;б) расстояние между прямой BF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку A.

100

Самостоятельная работа № 17ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ


1. Постройте угол, градусная мера которого равна135�.

2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и проти�волежащему углу.

3. На данной окружности найдите точки, равноудаленные от концов дан�ной хорды.



2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте,проведенной из вершины угла, прилежащего к основанию.

3. Точка A лежит на окружности с центром в точке O. Найдите на окруж�ности точки, равноудаленные от точекO и A.



2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, про�веденной из вершины угла при основании.

3. Внутри острого угла расположена окружность, не имеющая общих то�чек со сторонами угла. На этой окружности найдите точки, равноуда�ленные от прямых, которые содержат стороны угла.



2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и биссектрисе этого угла.

101

2. Диаметр AB окружности с центром в точке O перпендикулярен хордеDC. Известно, что � � �DCA 10 . Вычислите градусные меры углов тре�угольника BOD.

3. Отрезок BD – медиана равнобедренного треугольника ABC, у которо�го AB BC� � 16 см, � � �ABC 120 . Отрезок BF – биссектриса тре�угольника ABD. Вычислите: а) расстояние от точки D до прямой BF;б) расстояние между прямой BF и параллельной ей прямой, проходя�щей через точку A.

100

Самостоятельная работа № 17ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ



2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и проти�волежащему углу.

3. На данной окружности найдите точки, равноудаленные от концов дан�ной хорды.



2. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте,проведенной из вершины угла, прилежащего к основанию.

3. Точка A лежит на окружности с центром в точке O. Найдите на окруж�ности точки, равноудаленные от точекO и A.



2. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и высоте, про�веденной из вершины угла при основании.

3. Внутри острого угла расположена окружность, не имеющая общих то�чек со сторонами угла. На этой окружности найдите точки, равноуда�ленные от прямых, которые содержат стороны угла.



2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и биссектрисе этого угла.

101

3. Отрезки OA и OB – радиусы окружности. На окружности найдите точ�ки, равноудаленные от прямых, содержащих стороны угла AOB.



2. Постройте равносторонний треугольник по его высоте.

3. Даны точки A B C, , и отрезок PQ. Постройте точку, равноудаленную отточек A и B и находящуюся на расстоянии PQ от точки C. Всегда ли за�дача имеет решение?



2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и высоте, проведенной из вершины угла, прилежащегок основанию.

3. Дан острый угол, отрезок PQ и точка A, принадлежащая внешней об�ласти угла. Постройте точку, равноудаленную от прямых, содержащихстороны угла, и находящуюся на расстоянии PQ от точки A. Всегда лизадача имеет решение?

102


СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА (ИТОГОВАЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 5)


1. Для сторон треугольника ОРТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) OT OP PT� � ;б) OP OT PT � ;в) PT OP OT� � .

2. В треугольнике АВС � � � � � �BAC ABC10 100, . Запишите сторонытреугольника в порядке убывания их длин.

3. Длина катета AB прямоугольного треугольника ABC равна половинедлины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса этого треугольника.Вычислите градусную меру угла BDA.

4. Точка О – середина стороны CD прямоугольника АВСD. Прямые ВОи АD пересекаются в точке К. Сравните ВО и DК.

5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине A пересе�кают прямую b в точках M и K . Вычислите длину отрезка MK, еслиAB � 12см.


1. Для сторон треугольника AMN записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) AN AM MN� � ;б) MN AM AN� � ;в) AM AN MN� � .

2. В треугольнике АВС AB � 5 см, BC � 7 см, AC � 4 см. Запишите углытреугольника в порядке убывания их градусных мер.

103

3. Отрезки OA и OB – радиусы окружности. На окружности найдите точ�ки, равноудаленные от прямых, содержащих стороны угла AOB.



2. Постройте равносторонний треугольник по его высоте.

3. Даны точки A B C, , и отрезок PQ. Постройте точку, равноудаленную отточек A и B и находящуюся на расстоянии PQ от точки C. Всегда ли за�дача имеет решение?



2. Постройте равнобедренный треугольник по углу, противолежащемуоснованию, и высоте, проведенной из вершины угла, прилежащегок основанию.

3. Дан острый угол, отрезок PQ и точка A, принадлежащая внешней об�ласти угла. Постройте точку, равноудаленную от прямых, содержащихстороны угла, и находящуюся на расстоянии PQ от точки A. Всегда лизадача имеет решение?

102


СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА (ИТОГОВАЯ

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА К ГЛАВЕ 5)


1. Для сторон треугольника ОРТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) OT OP PT� � ;б) OP OT PT � ;в) PT OP OT� � .

2. В треугольнике АВС � � � � � �BAC ABC10 100, . Запишите сторонытреугольника в порядке убывания их длин.

3. Длина катета AB прямоугольного треугольника ABC равна половинедлины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса этого треугольника.Вычислите градусную меру угла BDA.

4. Точка О – середина стороны CD прямоугольника АВСD. Прямые ВОи АD пересекаются в точке К. Сравните ВО и DК.

5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине A пересе�кают прямую b в точках M и K . Вычислите длину отрезка MK, еслиAB � 12см.


1. Для сторон треугольника AMN записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) AN AM MN� � ;б) MN AM AN� � ;в) AM AN MN� � .

2. В треугольнике АВС AB � 5 см, BC � 7 см, AC � 4 см. Запишите углытреугольника в порядке убывания их градусных мер.

103

3. Длина катета MK прямоугольного треугольника MKP равна половинедлины гипотенузы MP, точка F – внутренняя точка отрезка МР,KF FP� . Вычислите градусную меру угла KFM.

4. Точка О – середина стороны АВ прямоугольника АВСD. Прямые СОи АD пересекаются в точке F. Сравните FО и ВC.

5. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов с вершиной D пересе�кают прямую c в точках F и T. Вычислите длину отрезка DC, еслиFT � 16 см.


1. Для сторон треугольника EОТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) ET OE OT � ;б) OE OT ET� � ;в) OT OE ET� � .

2. В треугольнике АВС � � � � � �ACB BAC35 55, . Назовите стороны тре�угольника в порядке возрастания их длин.

3. В прямоугольном треугольнике ACD длина катета CD в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок CF – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру углаCFD.

4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD. Прямые ВFи CD пересекаются в точке O. Сравните DО и BF.

5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи B пересекают параллельные прямые a и b в точках C и D соответст�венно. Вычислите длины отрезков AC и BD, если AB � 7см.


1. Для сторон треугольника BОC записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) BC OB OC � ;б) OC OB BC� � ;в) OB OC BC� � .

104

2. В треугольнике АВС AB � 8 см, BC � 6 см, AC � 9 см. Назовите углытреугольника в порядке возрастания их градусных мер.

3. В прямоугольном треугольнике ABD длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AD. Отрезок DE – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру угла BED.

4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD, а точка K –внутренняя точка отрезка AB. Прямые CD и KF пересекаются в точке O.Сравните FO и AF.

5. Прямая p пересекает параллельные прямые a и d в точках A и D соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи D пересекают параллельные прямые d и a в точках O и C соответст�венно. Вычислите длину отрезка AD, еслиOD AC� � 20см.


1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна полови�не длины его гипотенузы. Вычислите градусную меру угла, сторонамикоторого являются высота и биссектриса треугольника, проведенныеиз вершины прямого угла.

2. На рисунках 115, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , точка F – середина ребра BB1 , а � � � � �FA B FC B1 1 1 1 30 .Вычислите длину ломаной, образованной отрезками AA1 , A F1 , FC1 и CC1 ,еслиCC1 4� см.

3. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов при вершине D пересекаютпрямую c в точках P и T. Вычислите длину отрезка DC, если PD � 4 сми � � �PTD 30 .

105

BB

CCF

AA AA

BB

CCF

А1А1 А1

В1 В1

C1C1C1

аа бб

Рис. 115

3. Длина катета MK прямоугольного треугольника MKP равна половинедлины гипотенузы MP, точка F – внутренняя точка отрезка МР,KF FP� . Вычислите градусную меру угла KFM.

4. Точка О – середина стороны АВ прямоугольника АВСD. Прямые СОи АD пересекаются в точке F. Сравните FО и ВC.

5. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы двух смежных углов с вершиной D пересе�кают прямую c в точках F и T. Вычислите длину отрезка DC, еслиFT � 16 см.


1. Для сторон треугольника EОТ записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) ET OE OT � ;б) OE OT ET� � ;в) OT OE ET� � .

2. В треугольнике АВС � � � � � �ACB BAC35 55, . Назовите стороны тре�угольника в порядке возрастания их длин.

3. В прямоугольном треугольнике ACD длина катета CD в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок CF – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру углаCFD.

4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD. Прямые ВFи CD пересекаются в точке O. Сравните DО и BF.

5. Прямая c пересекает параллельные прямые a и b в точках A и B соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи B пересекают параллельные прямые a и b в точках C и D соответст�венно. Вычислите длины отрезков AC и BD, если AB � 7см.


1. Для сторон треугольника BОC записаны неравенства. Выберите нера�венство, которое является верным:а) BC OB OC � ;б) OC OB BC� � ;в) OB OC BC� � .

104

2. В треугольнике АВС AB � 8 см, BC � 6 см, AC � 9 см. Назовите углытреугольника в порядке возрастания их градусных мер.

3. В прямоугольном треугольнике ABD длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AD. Отрезок DE – биссектриса этого треуголь�ника. Вычислите градусную меру угла BED.

4. Точка F – середина стороны AD прямоугольника АВСD, а точка K –внутренняя точка отрезка AB. Прямые CD и KF пересекаются в точке O.Сравните FO и AF.

5. Прямая p пересекает параллельные прямые a и d в точках A и D соот�ветственно. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при вершинах Aи D пересекают параллельные прямые d и a в точках O и C соответст�венно. Вычислите длину отрезка AD, еслиOD AC� � 20см.


1. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна полови�не длины его гипотенузы. Вычислите градусную меру угла, сторонамикоторого являются высота и биссектриса треугольника, проведенныеиз вершины прямого угла.

2. На рисунках 115, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , точка F – середина ребра BB1 , а � � � � �FA B FC B1 1 1 1 30 .Вычислите длину ломаной, образованной отрезками AA1 , A F1 , FC1 и CC1 ,еслиCC1 4� см.

3. Прямая a пересекает параллельные прямые c и d в точках C и D соот�ветственно. Биссектрисы смежных углов при вершине D пересекаютпрямую c в точках P и T. Вычислите длину отрезка DC, если PD � 4 сми � � �PTD 30 .

105

BB

CCF

AA AA

BB

CCF

А1А1 А1

В1 В1

C1C1C1

аа бб

Рис. 115


1. В прямоугольном треугольнике ABC длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса треугольникаABC, а луч CF – биссектриса внешнего угла, смежного с углом BCA.Прямые BD и CF пересекаются в точке O. Вычислите градусную меруугла BOC.

2. На рисунках 116, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , ее основанием является прямоугольный треугольникABC, у которого � � �ABC 90 , � � �A BA1 30 , грань AA C C1 1 призмы явля�ется квадратом. Вычислите длину ломаной, образованной отрезкамиA B AA1 1, , AC иCC1 , если AC � 5 см.

3. Прямая l пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соответ�ственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине C пересекаютпрямую a в точках F и P. Вычислите длину отрезка FC, если AP � 7 сми � � �CFP 60 .

106

BB

CCAA A

B

C

А1А1 А1

В1 В1

C1C1C1

аа бб

Рис. 116

Контрольная работа № 4СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ

И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА


1. В прямоугольнике ABCD отрезки АС и ВD пересекаются в точке O.Отрезок AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BD.Укажите, какие из сторон прямоугольного треугольника AHO являют�ся катетами.

2. В треугольнике ABC � � �ABC 50 . Точки F и O – внутренние точки от�резков AB и BC соответственно, BF FO� . Вычислите градусную меруугла AFO.

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки D B1 1 , B A1 и AD1

(рис. 117, а). Установите вид треугольника AB D1 1 . Ответ поясните.

4. Отрезок BK – медиана равностороннего треугольника BDC, а точкаО – середина отрезка BK . Прямая m проходит через точку O и парал�лельна прямой DC (рис. 117, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиmи DC.

5. В треугольнике ABC � � �BAC 90 , а � � �BCA 15 . Точка D – внутренняяточка отрезка AC, � � �DBC 15 . Вычислите длину катета AB, еслиDC � 6см.

107

B C

A

A1

D

C1

C1

C1

А1 D1

D1

D1

В1

В1

аа бб

CCmm

BBOO

KK

DD

Рис. 117


1. В прямоугольном треугольнике ABC длина катета AB в два раза мень�ше длины гипотенузы AC. Отрезок BD – биссектриса треугольникаABC, а луч CF – биссектриса внешнего угла, смежного с углом BCA.Прямые BD и CF пересекаются в точке O. Вычислите градусную меруугла BOC.

2. На рисунках 116, а, б изображена прямая треугольная призмаABCA B C1 1 1 , ее основанием является прямоугольный треугольникABC, у которого � � �ABC 90 , � � �A BA1 30 , грань AA C C1 1 призмы явля�ется квадратом. Вычислите длину ломаной, образованной отрезкамиA B AA1 1, , AC иCC1 , если AC � 5 см.

3. Прямая l пересекает параллельные прямые a и c в точках A и C соответ�ственно. Биссектрисы двух смежных углов при вершине C пересекаютпрямую a в точках F и P. Вычислите длину отрезка FC, если AP � 7 сми � � �CFP 60 .

106

BB

CCAA A

B

C

А1А1 А1

В1 В1

C1C1C1

аа бб

Рис. 116

Контрольная работа № 4СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ

И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА


1. В прямоугольнике ABCD отрезки АС и ВD пересекаются в точке O.Отрезок AH – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BD.Укажите, какие из сторон прямоугольного треугольника AHO являют�ся катетами.

2. В треугольнике ABC � � �ABC 50 . Точки F и O – внутренние точки от�резков AB и BC соответственно, BF FO� . Вычислите градусную меруугла AFO.

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки D B1 1 , B A1 и AD1

(рис. 117, а). Установите вид треугольника AB D1 1 . Ответ поясните.

4. Отрезок BK – медиана равностороннего треугольника BDC, а точкаО – середина отрезка BK . Прямая m проходит через точку O и парал�лельна прямой DC (рис. 117, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиmи DC.

5. В треугольнике ABC � � �BAC 90 , а � � �BCA 15 . Точка D – внутренняяточка отрезка AC, � � �DBC 15 . Вычислите длину катета AB, еслиDC � 6см.

107

B C

A

A1

D

C1

C1

C1

А1 D1

D1

D1

В1

В1

аа бб

CCmm

BBOO

KK

DD

Рис. 117


1. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AC. ОтрезокFH – перпендикуляр, проведенный из точки F к прямой BC. Укажите,какая из сторон прямоугольного треугольника BFH является гипоте�нузой.

2. ABC – треугольник. Точки P и K – внутренние точки отрезков BC и ACсоответственно, KP PC� . Вычислите градусную меру угла PCK, если� � �AKP 120 .

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки AD1 , AC и CD1

(рис. 118, а). Установите вид треугольника ACD1 . Ответ поясните.

4. Отрезок BF – биссектриса равностороннего треугольника AOB, точкаP – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку P и парал�лельна прямой AO (рис. 118, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиm и АО.

5. В треугольнике ABC � � �ACB 90 , а � � �ABC 30 . Точка F – внутренняяточка отрезка CB, � � �FAB 30 . Вычислите длину отрезка CF, еслиFB � 4см.


1. В прямоугольнике ABCD отрезок CH – перпендикуляр, проведенныйиз точки C к прямой BD. Укажите, какие из сторон прямоугольноготреугольникаCHD являются катетами.

108

B C

AD A

B

В1

В1

C1

C1

А1

А1

D1

D1

аа бб

AAmm

BB

PP

FF

OO

Рис. 118

2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков AB и ACсоответственно, AF PF� . Вычислите градусную меру угла PFC, если� � �APF 50 .

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки A D1 , DC1 и C A1 1

(рис. 119, а). Установите вид треугольника A DC1 1 . Ответ поясните.

4. Отрезок AK – медиана равнобедренного треугольника АВС (АВ � АС),точка O – середина отрезка AK. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой ВС (рис. 119, б). Докажите, что расстояние отточки А до прямойmравно расстоянию между прямымиmи BC.

5. В треугольнике MKP � � �MKP 90 , � � �KMP 75 . Точка D – внутренняяточка отрезка KP, � � �KMD 60 . Вычислите длину катета MK, еслиDP � 16см.


1. В треугольнике ABC отрезок OC – перпендикуляр, проведенный източки C к прямой AB, точка F – внутренняя точка отрезка OC. Укажи�те, какая из сторон прямоугольного треугольника AOF является гипо�тенузой.

2. ABC – треугольник. Точки P и T – внутренние точки отрезков AB и BCсоответственно, PT BT� . Вычислите градусную меру угла ABC, если� � �PTC 130 .

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки C A1 1 , A B1 и BC1

(рис. 120, а). Установите вид треугольника A BС1 1 . Ответ поясните.

109

B C

A D

В1

В1 В1

А1А1

А1

C1

C1

D1

D1

аа бб

BB KK CC

mmOO

AA

Рис. 119


1. ABC – треугольник. Точка F – внутренняя точка отрезка AC. ОтрезокFH – перпендикуляр, проведенный из точки F к прямой BC. Укажите,какая из сторон прямоугольного треугольника BFH является гипоте�нузой.

2. ABC – треугольник. Точки P и K – внутренние точки отрезков BC и ACсоответственно, KP PC� . Вычислите градусную меру угла PCK, если� � �AKP 120 .

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки AD1 , AC и CD1

(рис. 118, а). Установите вид треугольника ACD1 . Ответ поясните.

4. Отрезок BF – биссектриса равностороннего треугольника AOB, точкаP – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку P и парал�лельна прямой AO (рис. 118, б). Докажите, что расстояние от точки Bдо прямойmравно расстоянию между прямымиm и АО.

5. В треугольнике ABC � � �ACB 90 , а � � �ABC 30 . Точка F – внутренняяточка отрезка CB, � � �FAB 30 . Вычислите длину отрезка CF, еслиFB � 4см.


1. В прямоугольнике ABCD отрезок CH – перпендикуляр, проведенныйиз точки C к прямой BD. Укажите, какие из сторон прямоугольноготреугольникаCHD являются катетами.

108

B C

AD A

B

В1

В1

C1

C1

А1

А1

D1

D1

аа бб

AAmm

BB

PP

FF

OO

Рис. 118

2. ABC – треугольник. Точки P и F – внутренние точки отрезков AB и ACсоответственно, AF PF� . Вычислите градусную меру угла PFC, если� � �APF 50 .

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки A D1 , DC1 и C A1 1

(рис. 119, а). Установите вид треугольника A DC1 1 . Ответ поясните.

4. Отрезок AK – медиана равнобедренного треугольника АВС (АВ � АС),точка O – середина отрезка AK. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой ВС (рис. 119, б). Докажите, что расстояние отточки А до прямойmравно расстоянию между прямымиmи BC.

5. В треугольнике MKP � � �MKP 90 , � � �KMP 75 . Точка D – внутренняяточка отрезка KP, � � �KMD 60 . Вычислите длину катета MK, еслиDP � 16см.


1. В треугольнике ABC отрезок OC – перпендикуляр, проведенный източки C к прямой AB, точка F – внутренняя точка отрезка OC. Укажи�те, какая из сторон прямоугольного треугольника AOF является гипо�тенузой.

2. ABC – треугольник. Точки P и T – внутренние точки отрезков AB и BCсоответственно, PT BT� . Вычислите градусную меру угла ABC, если� � �PTC 130 .

3. На развертке куба ABCDA B C D1 1 1 1 проведены отрезки C A1 1 , A B1 и BC1

(рис. 120, а). Установите вид треугольника A BС1 1 . Ответ поясните.

109

B C

A D

В1

В1 В1

А1А1

А1

C1

C1

D1

D1

аа бб

BB KK CC

mmOO

AA

Рис. 119

4. Отрезок BF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC (АВ � BС),точка O – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой AC (рис. 120, б). Докажите, что расстояние отточки B до прямойmравно расстоянию между прямымиmи AC.

5. В треугольнике ADB � � �ADB 90 . Отрезок АF является биссектрисойтреугольника ADB и � � �AFD 60 . Вычислите длину катета DB тре�угольника ADB, если BF � 10см.


1. На развертке куба проведены отрезки AO, OP, PC и CA, где точки Oи P – середины ребер куба (рис. 121, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .

110

B C

AD D

C

В1

В1

А1

А1

C1

C1

D1

D1

аа бб

AA

BB

CCFF

OO mm

Рис. 120

OA A

D

B m

C

CB

C

D

B B

DA

A

K F

В1 C1

А1 D1

O

P

аа бб

Рис. 121

2. На рисунке 121, б изображена правильная треугольная пирамидаDABC. Точка F лежит на ребре DC и BF DF� . Отрезок KF – медианатреугольника DBF, точка O – середина медианы KF. Прямая m, лежа�щая в плоскости грани DBC, проходит через точку O и параллельнапрямой BD. Докажите, что расстояние от точки F до прямой m равнорасстоянию между прямымиmи BD.

3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок CO – биссектриса треугольника BDC. Вычислите длинукатета AB треугольника ABC, еслиOD � 4 см.


1. На развертке куба проведены отрезки C A1 1 , C F1 , FO и A O1 , где точки Fи O – середины ребер куба (рис. 122, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .

2. На рисунке 122, б изображена правильная треугольная пирамидаSABC. Отрезок SP – биссектриса треугольника BSС, а отрезок PK –медиана равнобедренного треугольника SBP, точка O – середина от�резка PK . Прямая m, лежащая в плоскости грани SBC, проходит черезточку O и параллельна прямой SB. Докажите, что расстояние от точкиP до прямойmравно расстоянию между прямымиmи SB.

3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок BF – биссектриса треугольника ABD. Вычислите длинугипотенузы треугольника ABC, если FD � 4 см.

111

B CP

A

S

B

CF

F

A DO

O

K

D

m

C1D1

D1

D1

А1

А1

А1

В1

D1

O

аа бб

Рис. 122

4. Отрезок BF – биссектриса равнобедренного треугольника ABC (АВ � BС),точка O – середина отрезка BF. Прямая m проходит через точку Oи параллельна прямой AC (рис. 120, б). Докажите, что расстояние отточки B до прямойmравно расстоянию между прямымиmи AC.

5. В треугольнике ADB � � �ADB 90 . Отрезок АF является биссектрисойтреугольника ADB и � � �AFD 60 . Вычислите длину катета DB тре�угольника ADB, если BF � 10см.


1. На развертке куба проведены отрезки AO, OP, PC и CA, где точки Oи P – середины ребер куба (рис. 121, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .

110

B C

AD D

C

В1

В1

А1

А1

C1

C1

D1

D1

аа бб

AA

BB

CCFF

OO mm

Рис. 120

OA A

D

B m

C

CB

C

D

B B

DA

A

K F

В1 C1

А1 D1

O

P

аа бб

Рис. 121

2. На рисунке 121, б изображена правильная треугольная пирамидаDABC. Точка F лежит на ребре DC и BF DF� . Отрезок KF – медианатреугольника DBF, точка O – середина медианы KF. Прямая m, лежа�щая в плоскости грани DBC, проходит через точку O и параллельнапрямой BD. Докажите, что расстояние от точки F до прямой m равнорасстоянию между прямымиmи BD.

3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок CO – биссектриса треугольника BDC. Вычислите длинукатета AB треугольника ABC, еслиOD � 4 см.


1. На развертке куба проведены отрезки C A1 1 , C F1 , FO и A O1 , где точки Fи O – середины ребер куба (рис. 122, а). Изобразите соответствую�щие отрезки на гранях куба ABCDA B C D1 1 1 1 .

2. На рисунке 122, б изображена правильная треугольная пирамидаSABC. Отрезок SP – биссектриса треугольника BSС, а отрезок PK –медиана равнобедренного треугольника SBP, точка O – середина от�резка PK . Прямая m, лежащая в плоскости грани SBC, проходит черезточку O и параллельна прямой SB. Докажите, что расстояние от точкиP до прямойmравно расстоянию между прямымиmи SB.

3. В треугольнике ABC � � �ABC 90 , � � �BAC 30 , отрезок BD – его высо�та. Отрезок BF – биссектриса треугольника ABD. Вычислите длинугипотенузы треугольника ABC, если FD � 4 см.

111

B CP

A

S

B

CF

F

A DO

O

K

D

m

C1D1

D1

D1

А1

А1

А1

В1

D1

O

аа бб

Рис. 122

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Самостоятельная работа № 1. Взаимное расположение точек и пря�мых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Самостоятельная работа № 2. Сравнение и измерение отрезков.Окружность и круг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Самостоятельная работа № 3. Луч. Угол. Сравнение и измерениеуглов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Самостоятельная работа № 4. Свойства смежных и вертикальныхуглов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Самостоятельная работа № 5. Начальные сведения (итоговая са�мостоятельная работа к главе 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Контрольная работа № 1. Начальные сведения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Самостоятельная работа № 6. Треугольник. Первый признак ра�венства треугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Самостоятельная работа № 7. Медианы, высоты и биссектрисытреугольника. Равнобедренный треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Самостоятельная работа № 8. Второй и третий признаки равенст�ва треугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Самостоятельная работа № 9. Треугольники (итоговая самостоя�тельная работа к главе 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Контрольная работа № 2. Треугольники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Самостоятельная работа № 10. Признаки параллельности прямых . . . . . . . . . 60Самостоятельная работа № 11. Свойства параллельных прямых . . . . . . . . . 65Самостоятельная работа № 12. Параллельные прямые (итоговаясамостоятельная работа к главе 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Контрольная работа № 3. Параллельные прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Самостоятельная работа № 13. Сумма градусных мер углов тре�угольника. Внешний угол треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Самостоятельная работа № 14. Неравенство треугольника . . . . . . . . . . . . . 85Самостоятельная работа № 15. Признаки равенства и свойствапрямоугольных треугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Самостоятельная работа № 16. Расстояние от точки до прямой.Равенство фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Самостоятельная работа № 17. Задачи на построение циркулеми линейкой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Самостоятельная работа № 18. Соотношения между сторонамии углами треугольника (итоговая самостоятельная работа к главе 5) . . . . . . 103Контрольная работа № 4. Соотношения между сторонами и угла�ми треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

112

Documents

rsmusic.moy.sursmusic.moy.su/0Yagubov/qew/7137Z.pdf · ISBN 978-985-19-2581-6 Геометрия. 7 класс : самостоятельные и контрольные работы