View
226
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Kamiran Persamaan-persamaan
Bab 22
Di akhir bab ini, anda sepatutnya:faham asas bagi teori Ekstrapolasi Richardson dan bagaimana ia digunakan ke atas algoritmaRomberg dan pembezaan secara berangkanyaDapat membezakan di antara formula Newton-Cotes dan kuadratur Gaussmengetahui mengapa kamiran Romberg dankuadratur Gauss mudah digunakan apabila persaman-persamaan dikamirkan berbanding pada taburan data atau data diskrit
Mengapa perlu pada kaedah lain?
Kamiran Romberg
Ekstrapolasi Richardson
Menggunakan 2 nilai anggaran kamiran untuk mengira anggaran ketiga yang lebih jituNilai anggaran dan ralat bagi hukum trapezoid berbilang-aplikasi adalah:
)()( hEhIInilai
sebenarkamiran
nilai anggaran bagi bagi aplikasi n-segmen
dengan saiz langkah h=(b-a)/n
ralat
Jika ada dua nilai anggaran menggunakan saiz langkah h1 dan h2,
)()()()( 2211 hEhIhEhI (22.1)
Jika ralat adalah seperti persamaan (21.31) iaitu:"
122 fhabE
"12
2 fhabE
Maka, nisbah antara 2 ralat adalah:
(22.2)
22
21
2
1
)()(
hh
hEhE
(22.3)
Masukkan dalam persamaan (22.1)
)()(dalamkekandimasukkaninianggaran
/1)()()(
nya,selesaikan
)()()()(
22
221
212
22
2
2
121
hEhII
hhhIhIhE
hEhIhhhEhI
menjadi:
)()(1/
1)( 12221
2 hIhIhh
hII(22.4)
Bagi kes di mana selang adalah separuh (h2=h1/2) persamaan di atas menjadi:
)()(12
1)( 1222 hIhIhII
atau
)(31)(
34
12 hIhII (22.5)
ContohDaripada bab 21, didapati fungsi
dari a = 0 dan b = 0.8 dengan keputusan
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Segmen h kamiran t%1 0.8 0.1728 89.52 0.4 1.0688 34.94 0.2 1.4848 9.5
PenyelesaianDengan menggunakan segmen 1 dan 2,
%)6.16(273067.0367467.1640533.1ralatdengan
367467.1)1728.0(31)0688.1(
34
ttE
I
%)0.1(017067.0623467.1640533.1ralatdengan
623467.1)0688.1(31)4848.1(
34
ttE
I
Dengan menggunakan segmen 2 dan 4,
Persamaan (22.4) menggabungkan 2 aplikasi hukum trapezoid dengan ralat O(h2) untuk mendapatkan nilai ketiga dengan ralat O(h4) .Oleh itu dengan menggabungkan 2 aplikasi O(h4), maka O(h6)
Im III151
1516
(22.6)
Dan 2 keputusan O(h6) boleh digabungkan untuk mendapat O(h8)
Im III631
6364
(22.7)
ContohDengan anggaran dua kamiran O(h4)daripada contoh sebelum ini, iaitu 1.367467 dan 1.623467 dapatkan kamiran bagi fungsi
dari a = 0 dan b = 0.8.
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian
Menggunakan persamaan (22.6),
bererti.nombor tujuh sehingga tepatyangjawapanmerupakanmanadi
640533.1
)367467.1(151)623467.1(
1516I
Algoritma Kamiran RombergPersamaan-persamaan (22.5), (22.6) dan (22.7) boleh diringkaskan menjadi:
144
11,1,1
1
, kkjkj
k
kj
III
(22.8)
Dengan ralat
%100,1
1,1
k
kka I
II(22.9)
Secara grafik,
Kuadratur Gauss
Hukumtrapezoid
KuadraturGauss
Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre
Sebagaimana terbitan bagi hukum trapezoid*, kuadratur Gauss juga ditentukan dari:
dengan nilai c0 dan c1 adalah pemalar yang tidak diketahuiMaka, terdapat 4 nilai pemalar yang harus dicari dan perlu 4 keadaan untuk menyelesaikannya.
)()( 1100 xfcxfcI (22.12)
*sila rujuk bahagian 22.3.1
Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre
Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre
Sementara 2 keadaan lagi dengan andaian ia boleh dikamirkan oleh fungsi parabolik (y = x2) dan fungsi kubik (y = x3).Maka terdapat 4 persamaan yang harus diselesaikan iaitu:
0)()(
32)()(
0)()(
21)()(
1
1
31100
1
1
21100
1
11100
1
11100
dxxxfcxfc
dxxxfcxfc
xdxxfcxfc
dxxfcxfc (22.13)
(22.14)
(22.15)
(22.16)perhatikan bahawa had bagi
kamiran2 ini adalah dari 1 hingga -1
Keempat-empat persamaan ini boleh diselesaikan serentak, hasilnya:
...5773503.03
1
...5773503.03
11
0
0
10
x
x
cc
Masukkannya ke dalam persamaan (22.12),
31
31 ffI
(22.17)
dikenali sebagi formula Gauss-Lengendre dua
titikPerlu cari persamaan untuk mendapatkanformula yang umum supaya had kamiran adalah dari –1 dan 1 sahaja... hmmmm
Andaikan xd merupakan pemalar baru bagi nilai x yang asal, di mana:
Jika had bawah x adalah a, di mana nilai baru xd = -1, maka persamaan (22.18) boleh digantikan dengan:
Begitu juga dengan had atas, x = b, di mana nilai batu xd = 1 boleh digantikan dengan:
dxaax 10 (22.18)
)1(10 aaa (22.19)
)1(10 aab (22. 20)
Selesaikan persamaan (22.19) dan (22.20) :
2
dan2
1
0
aba
aba (22.21)
(22.22)
Masukkan persamaan (22.21) dan (22.22) ke dalam (22.18):
2)()( dxababx
(22.23)
Persamaan (22.23) boleh diterbitkan untuk mendapat:
ddxabdx2 (22.24)
ContohGunakan persamaan (22.17) untuk menganggarkan nilai kamiran bagi fungsi:
dari a = 0 dan b = 0.8.
5432 400900675200252.0)( xxxxxxf
Penyelesaian
Sebelum membuat sebarang kamiran, had kamiarn perlu ditukar kepada 1 hingga –1 dengan menggantikan a = 0 dan b= 0.8 pada persamaan (22.23):
Di mana hubungan terbitan persamaan ini:dxx 4.04.0
ddxdx 4.0
Penyelesaian
masukkan persamaan-persamaan baru ke dalam fungsi kamiran:
ddd
ddd
xxx
xxx
dxxxxxx
4.0)4.04.0(400)4.04.0(900
)4.04.0(675)4.04.0(200)4.04.0(252.0
400900675200252.0
54
1
1
32
8.0
0
5432
*bandingkan dengan hukum trapezoid, 1/3 dam 3/8 Simpson
Penyelesaiangunakan nilai xd sebagai dan hasilnya adalah 0.516741gunakan nilai xd sebagai dan hasilnya adalah 1.305837Masukkan ke dalam persamaan (22.17):
3/1
3/1
822578.1305837.1516741.0I
Nilaisebenar:1.640533
Ralat adalah –11.1%
Recommended