La probabilità nei giochi

La probabilità nei giochi

La definizione di probabilità P(E) di un evento E è il rapporto tra

il numero nf di casi favorevoli al verificarsi di E ______________________________________

il numero np dei casi possibili,

Casi giudicati tutti egualmente probabili.

In formule

p

f

n

nEp )(

Di conseguenza la probabilità è un numero compreso tra 0 e 1 0 ≤ p(E) ≤ 1

• P(E) = 0 quando nf è uguale a zero perché l’evento è impossibile

• P(E) = 1 quando nf è uguale a np perché l’evento è certo

Se con non E indichiamo il non avverarsi dell’evento E (evento complementare) allora si avrà

P(nonE) = 1 – P(E)

Lancio di un dado

Lo spazio campionario, cioè l’insieme di tutti i possibili eventi, è definito come A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} …La probabilità che esca “6” lanciando un dado vuol dire :Calcolare:- il numero np dei casi possibili cioè 6 (le facce possibili)- il numero nf dei casi favorevoli cioè 1 (la faccia che porta il 6)

61,06

16

p

f

n

nP

38,06

5

6

11)6(16 PP

La probabilità che non esca 6 è invece

La somma della probabilità di tutti gli eventi possibili è 1

P(1)+ P(2)+ P(3)+ P(4)+ P(5)+ P(6)= 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6=1

Lancio di due dadi

DADO 1

1 2 3 4 5 6

DADO2

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Quali sono i possibili risultati della somma del lancio di due dadi ?Qual è la probabilità di ottenere ciascuna delle somme possibili?

Il numero dei casi possibili è pari a 6 × 6 = 36, perché ogni faccia del primo dado si può combinare con ognuna delle sei facce del secondo.

Come possiamo determinare tutte le possibili somme in tutti i possibili modi?

36

1)12(2

p

f

n

nPP

36

2)11(3

p

f

n

nPP

Dalla tabella si possono ottenere le loro probabilità:Ad esempio

così tutti gli altri.

Cosa noti per P(7)?

Sapresti costruire una tabella analoga per il lancio di 3 dadi?

PARI O DISPARI

• Ognuno apre una mano mostrando un numero di dita. Prima di aprire la mano i due giocatori puntano a scelta su una somma delle dita delle due mani che sia pari oppure dispari. Chi indovina vince.

• Ma esiste una stessa possibilità che la somma delle dita sia pari o dispari?

• Costruisci una tabella che elenchi tutte le possibilità

Mano giocatore 1

0 1 2 3 4 5

MANO

GIOC2

0 P D P D P D

1 D P D P D P

2 P D P D P D

3 D P D P D P

4 P D P D P D

5 D P D P D P

Con queste regole risulta:

P(pari)=P(dispari)=½

Ma se cambiassimo le regole,

per esempio:

E’ obbligatorio mostrare almeno un dito

La probabilità cambierebbe?

Mano giocatore 1

0 1 2 3 4 5

MANO GIOC2

0 P D P D P D

1 D P D P D P

2 P D P D P D

3 D P D P D P

4 P D P D P D

5 D P D P D P

%5225

13

p

f

n

npariP

%4825

12

p

f

n

ndispariP

E quindi non sono più equiprobabili.

• Due eventi si dicono incompatibili senon si possono verificare contemporaneamente, quindi l’uno esclude l’altro.

Ad esempio nel lancio di una moneta lo sono gli eventi E = “esce testa” e non E = “esce croce”

.• Per due eventi incompatibili la probabilità che

avvenga l’uno o l’altro, cioè la probabilità dell’evento A U B è data da

P(A U B)= P(A) + P(B)

Nel lancio della moneta p(E U nonE)=½+½=1

• Gli eventi si dicono compatibili se possono accadere insieme.

La probabilità che accada l’uno o l’altro evento si calcola mediante la

P(A U B)= P(A) + P(B) -P(A ∩B)

dove A ∩ B indica il loro avverarsi contemporaneamente

Probabilità condizionata

• Dati due eventi A e B tali che A ∩ B ≠ ,si dice probabilità condizionata di A rispetto a B e si indica con P(AI B) la probabilità che si verifichi A sapendo che B si è verificato.

• Si può calcolare così

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Esempio

Consideriamo il lancio di un dado regolare.

Sia F ={2 , 4, 6} l’evento “uscita di un pari “

La probabilità dell’evento E ={4} sapendo che è accaduto F è:

3

1

6,4,2(

)4(

)(

)()/(

P

P

FP

FEPFEP

Teorema di BayesTeorema di Bayes

la probabilità che A avvenga dopo che B è già avvenuto p(A/B)

è ugualealla probabilità che A avvenga senza condizioni, p(A), moltiplicata per la probabilità che B avvenga se è avvenuto A, cioè p(B/A),diviso la probabilità che B avvenga senza condizioni, p(B).

)/()()/()(

)/()()/(

nonABpnonApABpAp

ABpApBAp

Lancio di un dado• Considerando i due eventi:

A = “è uscito il numero 1”B = “è uscito un numero dispari”Si ha P(A)=1/6 e P(B)=3/6 =1/2

• Supponiamo di sapere che è uscito un numero dispari (B è verificato) e che voglio calcolare la probabilità che sia avvenuto A; cioè:

)(

)1/()1()/1(

disparip

disparippdisparip

• Ma p(dispari/1) è la prob che il numero uscito sia dispari sapendo che è uscito 1 cioè 1

•In conclusione

3

12

6

1

21

161

)/1(

disparip

Il gioco delle tre carte

• Abbiamo tre carte coperte A, B e C ed il giocatore deve indovinare dove si nasconde la stella che è la carta vincente.Inizialmente la probabilità di vincita per ognuna delle carte è: 1/3.

• Ma…

Dadi di Efron

• Di solito si è convinti che se due giocatori si sfidano a dadi, a chi fa il punteggio più alto, entrambi abbiano la stessa probabilità di vincita.

• Ma non è così, se si sfidano con un particolare tipo di dadi non transitivi, detti dadi di Efron.

• Questi dadi non hanno le facce numerate tutte diversamente l’una dall’altra, sulle loro facce alcuni numeri si ripetono.

• Ecco un esempio:

Dado 6-2

2

6 2 6

2

2

Dado 3-3

3

3 3 3

3

34

0 4 0

4

4

Dado 4-0

Dado 5-1

1

5 1 5

1

5

A

B

C

D

Supponiamo che uno dei due giocatori scelga il dado 5-1 e l’altro, conoscendo il funzionamento dei dadi scelga il dado 6 – 2 ;

calcoliamo con quale probabilità il secondo giocatore può essere vincitore con un solo lancio.

Il numero di casi possibili è 6 × 6 = 36.

Vediamo i casi favorevoli: sul dado 6 – 2 esce 2

vincerà in 3 casi su 6 (quando sull’altro dado esce 1), ma le facce con il 2 sono 4

Quindi avremo 4×3 = 12 casi in cui vince. esce 6

vince qualsiasi sia la faccia dell’altro dado. ci sono altri 2×6 = 12 casi in cui vincerà.

I casi favorevoli in totale sono: 4×3 +2×6 = 12 +12 = 24

La probabilità di vincere del dado 6 – 2 sul dado 5-1 è

P(6 – 2 vince 5-1) 6,03

2

36

24

Dado 6-2

2

6 2 6

2

2

Dado 3-3

3

3 3 3

3

34

0 4 0

4

4

Dado 4-0

Dado 5-1

1

5 1 5

1

5

24/36A

B

C

D

• Con questo set di dadi di Efron qual è la probabilità che il dado 5-1 prevalga sul dado 4-0 e che questo prevalga sul dado 3-3 e, ancora , che quest’ultimo prevalga sul dado 6-2?

• Incrocia i dadi anche seguendo le frecce interne.

Dai giochi d’azzardo ai giochi strategici

• Al gioco con i quattro dadi non transitivi di Efron si possono associare dei giochi strategici 2x2 fra due giocatori, consentendo anche al primo giocatore, prima di giocare una serie di partite, di scegliere una coppia di dadi (ad esempio la coppia A-B oppure la coppia C-D, oppure la coppia A-D, oppure ...) con cui giocherà contro il secondo giocatore, che avrà, necessariamente senza possibilità di scelta, la coppia di dadi restanti.

• Una volta che il primo giocatore ha scelto la sua coppia, ciascun giocatore ad ogni lancio potrà utilizzare, a suo piacimento, uno qualsiasi fra i due dadi della coppia a sua disposizione.

Dai giochi d’azzardo ai giochi strategici

• La strategia di gioco, nel lancio ripetuto di dadi, sarà quindi, per entrambi i giocatori, una volta fissata la coppia di dadi a disposizione di ciascuno, di decidere con quale dei propri due dadi giocare in ciascun lancio, sapendo quali dadi sono in possesso dell’avversario.

• L’esame delle soluzioni (strategie ottimali e corrispondenti valori di gioco) dei vari giochi strategici, relative a tutte le scelte di coppie di dadi possibili da parte del primo giocatore, permetterà di individuare quale scelta di dadi ottimali dovrà compiere il primo giocatore prima di giocare una serie di partite.