View
55
Download
4
Category
Preview:
DESCRIPTION
mate
Citation preview
Universitatea de Ştiințe Agricole şi Medicină Veterinară „Ion Ionescu de la Brad” ‐ Iaşi
Suport de curs
MATEMATICĂ Programare liniară, Teoria Probabilităților şi Statistică Matematică DR. CIPRIAN CHIRUȚĂ
2014
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
2
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
3
Introducere
Acest suport de curs „Matematică - Programare liniară, teoria
probabilităţilor şi statistică” se adresează studenţilor din anul I de la facultăţile de
Agricultură, Horticultură şi Zootehnie ale Universităţii de Ştiinţe Agricole şi
Medicină Veterinară precum şi tuturor studenţilor ce doresc să se iniţieze în
noţiunile şi conceptele matematice ce apar în primul an de facultate de la
Universitatea de Ştiinţe Agricole şi Medicină Veterinară "Ion Ionescu de la Brad"
din Iaşi.
Cuvântul „matematică” îşi are originea în cuvântul grecesc „mathema”
care înseamnă „învăţare”, „studii”.
Dezvoltarea conceptelor matematice a pornit din necesitatea de a face
calcule comerciale, de a măsura suprafeţe de teren sau de a prevedea evenimentele
astronomice în scopuri agricole şi culturale.
Matematica este o stiinţă care trebuie învăţată de către studenţi prin lucru
individual, prin repetarea exemplelor ce apar în curs precum şi prin participarea
consecventă a studenţilor la cursuri şi seminarii. Numai asistarea la seminarii şi
citirea precum o poveste a cursului nu este suficientă pentru o bună învăţare a
disciplinei Matematică.
Acest material de curs oferă studenţilor la fiecare capitol de teorie
explicaţii teoretice ale noţiunilor noi introduse precum şi exemple practice
rezolvate în detaliu.
Studenţii trebuie să ştie faptul că noţiunile matematice ce vor fi prezentate
în acest curs se vor strecura în foarte multe cursuri ce vor urma anului I.
Primul capitol este o prezentare a algebrei liniare, utilizată apoi în capitolul
II de algebră abstractă.
Capitolul III urmăreşte noţiunile şi teoremele importante din Programarea
liniară noţiuni ce se vor relua în cursuri de management şi optimizări din anii
superiori.
Capitolul IV de probabilităţi şi statistică este o introducere într-un domeniu
vast şi actual, într-o ramură împortantă a matematicii aplicate şi anume statistica.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
4
Aceasta utilizează teoria probabilităţilor care facilitează definirea, analiza şi
predicţia a diverse fenomene, având aplicaţii importante în economie.
Materia este împărţită în două zone distincte.
Prima se va finaliza prin rezolvarea problemelor de programare liniară
folosind algoritmul simplex sau metoda celor două faze.
A doua parte se finalizează prin determinarea intervalelor de încredere
pentru indicatorii statistici ceea va conduce la analiza ipotezelor statistice folosind
testul Student.
Celelalte capitole adună suportul matematic teoretic necesar pentru
înţelegerea conceptelor definite şi analizate în partea finală: elemente de algebră
vectorială şi respectiv probabilităţi.
Pentru studenţii de la Învăţământ la Distanţă este obligatoriu ca
la prezentarea la examenul scris să depună un REFERAT care să
cuprindă rezolvarea de către student a tuturor problemelor propuse în
acest suport de curs de la fiecare capitol.
Autorul.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
5
Unitate de învăţare I
Elemente de matematică liniară
Cuprins U.I. I
1.1. Matrice şi determinanţi
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare
----------------------------------------------------------------------------------- Obiectivele U.I. I. 1. Să identifice diferite tipuri de matrice; 2. Să calculeze prin diferite metode determinanți, rangul unei matrice,
inversa unei matrice; 3. Să rezolve prin metodele: Cramer, Gauss şi Gauss‐Jordan sisteme de
ecuații liniare; 4. Să determine inversa unei matrice utilizând metoda eliminării totale; 5. Să rezolve inecuații liniare şi sisteme de inecuații liniare în două
variabile. -----------------------------------------------------------------------------------
1.1. Matrice şi determinanţi
În această secţiune vor apărea definiţii şi proprietăţi din algebra matriceală
cum ar fi noţiunea de matrice, determinant, rang al matricei, sisteme de ecuaţii
liniare.
Definiţia 1. Se numeşte matrice ( ),m nM o mulţime de nm ⋅ numere aranjate
într-un tablou dreptunghiular având m linii şi n coloane.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
,
unde njmiaij …… ,1,,1, == se numesc elementele matricei A.
O matrice cu m linii şi n coloane se numeşte matrice de tip ( )nm, sau
matrice de ordinul nm× . ( ),m nM reprezintă mulţimea matricelor de tip ( )nm, ,
având toate elementele din .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
6
1.1.1. Cazuri particulare:
1. O matrice de tip ( )1,m se numeşte matrice coloană (vector coloană).
.
1
21
11
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ma
aa
A
2. O matrice de tip ( )n,1 se numeşte matrice linie.
( ).aaa 1n1211=A
3. O matrice de tip ( )nn, se numeşte matrice pătratică de ordin n.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
.
Elementele nnaaaa …,,, 332211 formează diagonala principală a matricei.
4. O matrice de tip ( )nm, având toate elementele egale cu zero se numeşte
matrice nulă. Se notează cu O .
5. O matrice patratică ale cărei elemente care nu se află pe diagonala
principală sunt toate nule se numeşte matrice diagonală.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nna
aa
A
00
0000
22
11
.
6. O matrice diagonală pentru care 1332211 ===== nnaaaa … se numeşte
matrice unitate de ordin n. Matricea unitate se notează cu nI sau nE .
.
100
010001
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=nI
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
7
Definitia 2. Două matrice de acelaşi tip nmA , şi nmB , sunt egale dacă elementele
lor sunt respectiv egale: .,1,,1, njmiba ijij …… === Notăm BA = .
1.1.2. Operaţii cu matrice
1. Adunarea matricelor
Definiţia 3. Fie ( ),, m nA B M∈ având ( )ija elementele matricei A şi ( )ijb
elementele matricei B . Definim adunarea matricelor A şi B ca fiind matricea
( ),m nC M∈ cu elementele ( ) njmicij …… ,1,,1 == unde ijijij bac += .
Proprietăţile adunării matricelor:
1. Asociativitate
Oricare ar fi matricele ( ),, , m nA B C M∈ implică ( ) ( )CBACBA ++=++ .
2. Comutativitate
Oricare ar fi matricele ( ),, m nA B M∈ implică ABBA +=+ .
3. Element neutru
Există matricea nulă ( ),m nO M∈ astfel încât ( ),m nA M∀ ∈ are loc
AAOOA =+=+ .
4. Opusa matricei
Oricare ar fi matricea ( ),m nA M∈ există matricea ( ) ( ),ij m nA a M− = − ∈
astfel încât are loc relaţia ( ) ( ) OAAAA =+−=−+ .
EXEMPLU:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=+
209171
826132
623041
BA .
2. Înmulţirea matricelor
Definiţia 4. ( ),m nA M∈ şi ( ),n pB M∈ , cu elemenentele ( )ijaA = şi ( )jkbB = .
Definim produsul matricelor BA ⋅ (în această ordine) ca fiind matricea
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
8
( ),m pC A B M= ⋅ ∈ cu elementele ( )ikcC = unde
nkinkiki
n
jjkijik babababac +++==∑
=
...22111
.
Observaţie. Produsul BA ⋅ a două matrice se poate efectua doar dacă numărul de
coloane a matricei A este egal cu numărul de linii a matricei B.
EXEMPLU:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
2, 3 3, 2 2, 2; , ;
1 21 0 3
3 12 4 1
0 2
1 1 0 3 3 0 1 2 0 1 3 2 1 8.
2 1 4 3 1 0 2 2 4 1 1 2 10 6
A M B M A B C C M
A B
∈ ∈ ⇒ ⋅ = ∈
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ = ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −⎝ ⎠⎝ ⎠
Proprietăţile înmulţirii matricelor:
1. Asociativitate
Oricare ar fi matricele ( ),m nA M∈ , ( ),n pB M∈ , ( ),m pC M∈ are loc
relaţia ( ) ( )CBACBA ⋅⋅=⋅⋅ .
2. Element neutru la înmulţire
Există matricea unitate nI astfel încât oricare ar fi matricea pătratică de
ordin n ( )nA M∈ are loc relaţia AAIIA nn =⋅=⋅ .
3. Distributivitatea la stânga a înmulţirii faţă de adunare
Fie matricele ( ), , nA B C M∈ atunci are loc relaţia
( ) CABACBA ⋅+⋅=+⋅ .
4. Distributivitatea la dreapta a înmulţirii faţă de adunare
Fie matricele ( ), , nA B C M∈ atunci are loc relaţia
( ) CBCACBA ⋅+⋅=⋅+ .
1.1.3. Înmulţirea cu un scalar
Definiţia 5. Definim produsul matricei ( ),m nA M∈ cu scalarul α ∈ ca fiind
matricea ( ),m nB M∈ cu elemenetele ijij ab ⋅= α . Putem scrie αα ⋅=⋅= AAB .
EXEMPLU:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
9
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−⋅=⋅
0230
42
012130
421
aaaaaaa
aAa .
Proprietăţi ale înmulţirii cu scalari:
1. ,1 AA =⋅
2. ( ) ,AAA ⋅+⋅=⋅+ βαβα
3. ( ) ,BABA ⋅+⋅=+⋅ ααα
4. ( ) ( ),AA ⋅⋅=⋅⋅ βαβα
5. ( ) ( ) ,BABA ⋅⋅=⋅⋅ αα unde ( ),, m nA B M∈ şi R∈βα , .
1.1.4. Transpusa unei matrice
Definiţia 6. Numim transpusă a matricei ( ),m nA M∈ cu elementele ( )ija
matricea notată ( )jiT aA = care are drept linii, respectiv coloanele matricei A şi
drept coloane respectiv liniile matricei A .
Exemplu:
Transpusa matricei ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
987654321
A este matricea ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
963852741
TA .
Definiţia 7. Spunem că matricea pătratică ( )nA M∈ este simetrică dacă
matricea transpusă este egală cu matricea iniţială AAT = adică jiij aa = oricare ar
fi nji ,1, = şi antisimetrică dacă AAT −= adică jiij aa −= oricare ar fi
nji ,1, = .
Exemplu:
Transpusa matricei ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
395928581
A este matricea ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
395928581
TA .
1.1.5. Determinanţi
Definiţia 8. Fie ( ) ( )ij nA a M= ∈ o matrice pătratică. Se numeşte determinantul
lui A numărul det A definit prin relaţia:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
10
( )( )∑ −=
n
nnaaaAαααα
αααω
,,21
321
211det unde nααα …,, 21 sunt elementele { }n…,3,2,1 ,
iar suma cuprinde toate permutările posibile ale acestora şi 0=ω dacă
permutarea este pară şi 1=ω dacă permutarea este impară.
Exemplu:
122122112221
12111det aaaa
aaaa
A ⋅−⋅== ,
==
333231
232221
131211
2detaaaaaaaaa
A .
331221233211132231312312133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
În practică, dacă determinantul este de ordin n (n > 3) se foloseşte o tehnică prin
care este adus la o sumă de determinanţi de ordin mai mic n-1 până când poate fi
calculat cu ajutorul formuleleor de mai sus. Tehnica constă în descompunerea
determinantului după o linie sau coloană.
EXEMPLU:
Să se calculeze determinantul următor:
2121212043221111
det =A ,
Determinantul propus este de 4 linii şi 4 coloane. Facem descompunerea după
prima linie astfel:
( ) ( ) +⋅⋅−+⋅⋅−== ++
211210432
11212212432
11
2121212043221111
det 2111A
( ) ( )121120322
11221220422
11 4131 ⋅⋅−+⋅⋅−+ ++ .
În acest mod determinatul a fost transformat într-o sumă de determinanţi ce pot fi
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
11
calculaţi.
Pentru a ne simplifica calculele se poate observa că prima linie conţine numai
valori de 1. Înainte de a face descompunerea după prima linie se pot aplica o serie
de transformări liniare care să aibă ca rezultat apariţia pe prima linia a mai multor
valori de zero.
1011212021020001
2011212041021001
2111212043021101
2121212043221111
det 141312 CCCCCCA −−−=
( ) ( ) +⋅⋅−+⋅⋅−== ++
101210212
01101212210
11
1011212021020001
det 2111A
( ) ( )011120102
01111220202
01 4131 ⋅⋅−+⋅⋅−+ ++ .
În urma acestor calcule observăm că determinantul iniţial de ordin 4 s-a
descompus ca sumă a 4 determinanţi de ordin 3 din care doar unul singur (primul)
este înmulţit cu un scalarul diferit de zero.
( ) .2202200101212210
11
1011212021020001
det 11 −=−−−++=⋅⋅−== +A
1.1.6. Rangul unei matrice
Definiţia 9. Fie ( ),m nA M∈ o matrice de tipul ( )nm, . Dacă în matricea A
alegem la întâmplare k linii şi k coloane (unde { }nmk ,min≤ ) atunci elementele
care se găsesc la intersecţia acestor linii şi coloane formează o matrice pătratică de
ordinul k. Determinantul acestei matrice se numeşte minor de ordin k al matricei
A.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
12
Definiţia 10. Fie ( ),m nA M∈ o matrice nenulă. Spunem că matricea A are
rangul r dacă matricea A are un minor de ordin r nenul şi toţi minorii de ordin
superior, dacă există, sunt nuli. Notaţia rang A = r.
1.1.7. Matrice inversabile
Definiţia 11. O matrice pătratică se numeşte singulară dacă determinantul său
este nul şi se numeşte nesingulară dacă determinantul său este nenul.
Definiţia 12. Fie A o matrice pătratică de ordin n. Spunem că matricea A este
inversabilă dacă există o matrice pătratică de ordin n, notată 1−A , astfel încât are
loc relaţia:
nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 .
Teoremă 1. Fie o matrice A pătratică de ordin n. Matricea este inversabilă dacă
şi numai dacă ea este nesingulară, adică 0det ≠A .
Definiţia 13. Numim transformări elementare liniare asupra matricei A aplicarea
uneia din următoarela operaţii:
T1: Înmulţirea unei linii cu un număr diferit de zero;
T2: Adunarea unei linii la altă linie element cu element;
T3: Schimbarea a două linii între ele.
Observaţie. Dacă asupra unei matrice A aplicăm transformări elementare rangul
acesteia nu se schimbă.
EXEMPLU:
Fie matricea ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
113112
102A . Verificaţi dacă matricea este inversabilă şi calculaţi
rangul matricei A .
Rezolvare:
Verificăm dacă matricea este inversabilă, utilizând Teorema 1:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
13
( ) ( ) ( ) ( ) =−⋅⋅−⋅⋅−−⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅=−−= 102211113310112112
113112
102det A
01023022 ≠−=++−++−= deci matricea este nesingulară şi
conform teoremei 1 este inversabilă.
Având în vedere că determinatul de ordin 3 este diferit de zero şi alt minor
cu grad mai mare nu avem rezultă ca rangul matricei este egal cu 3.
Exerciţii:
1. Să se calculeze următorii determinanţi, aplicând proprietăţile
determinanţilor:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1003414303
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ +−+=
abab
bababaB
202111 .
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
111111
111111
xx
xx
C ,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1113113113113111
D .
2. Să se verifice dacă următoarele matrice verifică relaţia:
02 23 =+−+ nIAAA
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1221
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
101414101
A .
3. Ridicaţi la puterea n , n∈ matricele:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1011
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
100110101
A .
4. Determinaţi rangul matricei:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−
−=
24224242
6224A ;
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=26214262
6621B
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
14
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare
Multe fenomene din viaţa reală se pot modela cu ajutorul sistemelor de
ecuaţii liniare. Acest curs este dedicat studiului sistemelor de ecuaţii algebrice de
gradul întâi cu mai multe necunoscute şi a metodelor de rezolvare a acestor
sisteme.
Definiţia 14. Se numeşte sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute ansamblul
de ecuaţii liniare:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
.
,,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
(1)
unde ija ∈ , ib ∈ , unde njmi ≤≤≤≤ 1,1 , variabilele Rxxx n ∈,,, 21 … se
numesc necunoscutele sistemului, constantele ija ∈ se numesc coeficienţii
sistemului, iar ib ∈ se numesc termenii liberi.
Observaţie: a) Coeficienţii sistemului formează o matrice de tip ( )nm, denumită
matricea sistemului.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
.
Dacă adăugăm coloana termenilor liberi obţinem matricea extinsă a
sistemului, notată A .
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
mmnmm
n
n
baaa
baaabaaa
A
21
222221
111211
.
b) Sistemul (1) se poate scrie sub forma:
∑=
=n
jijij bxa
1
unde mi …,1= . (2)
Dacă pentru necunoscute şi termeni liberi se folosesc vectorii coloană:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
15
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nx
xx
X 2
1
şi
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nb
bb
B 2
1
,
atunci sistemul (1) se poate scrie sub forma matriceală:
BXA =⋅ . (3)
Un sistem liniar se numeşte omogen dacă coloana termenilor liberi este
formată numai din valori nule, iar în caz contrar se numeşte neomogen.
Definiţie 15. Se numeşte soluţie a unui sistem liniar de forma (1) un n-uplu
( )nxxx ,,, 21 … care verifică simultan toate cele m ecuaţii ale acestuia.
Sistemul (1) se numeşte compatibil dacă are cel puţin o soluţie şi se numeşte
incompatibil în caz contrar.
Un sistem compatibil se numeşte compatibil determinat dacă are o singură
soluţie şi compatibil nedeterminat dacă admite mai multe soluţii.
Observaţie: problema fundamentală în legătură cu un sistem liniar este
determinarea mulţimii S a soluţiilor sale, adică a tuturor n-uplurilor care verifică
simultan toate ecuaţiile.
Teoremă (Kronecker1 - Capelli2)
Un sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute este compatibil determinat
dacă şi numai dacă rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse
a sistemului.
Dacă nkArangArang === (n - numărul necunoscutelor) atunci sistemul
este unic determinat.
Dacă nkArangArang <== atunci sistemul este compatibil
nedeterminat.
Dacă ArangArang ≠ atunci sistemul este incompatibil.
1 Leopold Kroneker (1823‐1891) ‐ matematician german;
2 Alfredo Capelli (1855‐1910) ‐ matematician Italian;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
16
1.2.1. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii:
1. Sistem CRAMER3
Un sistem algebric liniar pentru care nmr == (rangul matricei este egal cu
numărul de linii şi de coloane) se numşte sistem Cramer.
Formula generală este
∑=
=n
jijij bxa
1
, unde ni …,1= şi 0det ≠A . (4)
Acest sistem este compatibil unic determinat şi soluţia sa se obţine cu
formula lui Cramer:
AA
x jj det
det= , unde nj …,1= , (5)
iar jA se obţine din matricea A prin înlocuirea coloanei j cu coloana termenilor
liberi.
EXEMPLU:
Fie sistemul:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−−
.2,723,924
321
321
321
xxxxxxxxx
Pentru a verifica dacă acest sistem poate fi rezolvat cu metoda Cramer
trebuie să calculăm determinantul lui şi să observăm dacă este diferit de zero.
( ) 0262834134111231124
≠−=+−−−−−⋅=−−−
=Δ .
În acest caz rangul matricei este 3 egal cu numărul necunoscutelor şi cu
numărul ecuaţiilor deci este sistem Cramer:
Pentru determinarea necunoscutelor 321 ,, xxx vom calcula determinanţii
3 Gabriel Cramer (1704‐1752) ‐ matematician elveţian, doctorat la 18 ani in matematică, contribuţii: regula lui Cramer, paradoxul lui Cramer;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
17
corespunzători acestor soluţii 321 ,, xxx ΔΔΔ astfel: pentru 1xΔ vom înlocui prima
coloană din determinant cu coloana termenilor liberi. În mod analog şi pentru
ceilalţi determinanţi. Necunoscutele se vor găsi prin fomula:
ΔΔ
=ΔΔ
=ΔΔ
= 33
22
11 ,, xxxxxx .
52141868727112237129
1 −=+−−−−−=−−−
=Δx ,
26916718228121271194
2 =−−++−=−
=Δx ,
264282714924211731924
3 −=+−+−+−=−−
=Δx ,
12626,1
2626,2
2652 3
32
21
1 =−−
=ΔΔ
=−=−
=ΔΔ
==−−
=ΔΔ
=xxxxxx .
Rezolvând sistemul folosind regula lui Cramer se obţine soluţia
1,1,2 321 =−== xxx .
2. Metoda eliminării parţiale GAUSS4 (metoda eliminărilor succesive)
Metoda eliminării parţiale GAUSS constă în utilizarea unor transformări
elementare succesive ale sistemului iniţial pentru a transforma sistemul iniţial într-
un sistem de ecuaţii echivalent, eliminând pe rând câte o variabilă din toate
ecuaţiile sistemului cu excepţia unei singure ecuaţii în care coeficientul variabilei
să fie egală cu unitatea.
Procesul de calcul prezentat în această secţiune se numeşte PIVOTAJ şi se
realizează efectuând transformări elementare asupra liniilor din sistem.
4 Carl Friedrich Gauss (1777‐1855) ‐ mathematician, fizician, astronom german, directorul observatorului astronomic din Gottingen;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
18
Fie sistemul:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
.
,,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
Dacă 011 ≠a atunci pentru variabila 1x putem să avem coeficientul egal cu
1 dacă se împarte prima linie la 11a . Dacă 011 =a atunci putem facem o
transformare elementară şi anume să schimbăm linia 1 cu oricare altă linie în care
coeficientul lui 1x este diferit de zero.
Elementul 11a se numeşte pivot. Prin această operaţie elementară prima
ecuaţie devine:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
.
,
,
2211
22222121
11
1
11
12
11
121
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxaabx
aax
aax
Pentru a elimina necunoscuta 1x din celelalte ecuaţii rămase 2, 3, 4, ..., m
vom înmulţi prima ecuaţie pe rând cu 13121 ,,, maaa … şi se scade din ecuaţia 2,
apoi din ecuaţia 3 până la ecuaţia m. În final vom obţine următoarele ecuaţii
echivalente unde necunoscuta 1x se găseşte doar în prima ecuaţie.
,11
1
11
13
11
132
11
121 a
bxaax
aax
aax n
n =++++
,0 2111
1221
11
12321
11
1323221
11
1222 a
abbxa
aaaxa
aaaxa
aaa n
nn −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
.0 111
11
11
131
11
13321
11
122 mmnm
nmnmmmm a
abbxa
aaaxa
aaaxa
aaa −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
La pasul următor dacă 2x are coeficientul nenul în ecuaţia a doua se va alege
acesta drept pivot şi se foloseşte aceaşi schemă de eliminare a necunoscutei 2x
din toate ecuaţiile cu excepţia ecuaţiei 2 în care va avea coeficientul egal cu 1.
Dacă coeficientul lui 2x este zero atunci putem facem o transformare
elementară şi anume să schimbăm linia 2 cu oricare altă linie în care coeficientul
lui 2x este diferit de zero.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
19
Algoritmul continuă până când nu vom mai putea elimina nici o variabilă
prin această schemă de calcul.
Prin aceste transformări elementare efectuate numai asupra liniilor matricei
extinse A se va obţine forma (6).
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
+
m
r
r
n
n
n
q
qpqppqppp
P
0000
00001000
10010
1
1
33
2223
111312
cu ripij ,,1,0 =≠ . (6)
Sistemul (1) este echivalent cu sistemul care are drept matrice extinsă
matricea P.
Observaţie:
a) Dacă nmr == sistemul (1) este compatibil unic determinat;
b) Dacă mr < sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă
021 ==== ++ mrr qqq ;
c) Dacă nr < atunci sistemul este compatibil nedeterminat şi admite o
infinitate de soluţii.
Soluţia sistemului se citeşte începând cu necunoscuta r.
.,
,
131321211
111
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−−=
−==
−−−
nn
nnrrn
rn
xpxpxpqx
xpqxqx
(7)
EXEMPLU:
Să se rezolve următorul sistem, folosind metoda eliminării parţiale:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−−
.2,723,924
321
321
321
xxxxxxxxx
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
20
Pas 1. Scriem matricea extinsă a sistemului. Stabilim pivotul în acest caz 4:
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−=
211172319124
A .
Pas 2. Facem ca valoarea pivotului să fie 1. Împărţim linia 1 cu 4:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
2111723149
41
211
.
Pas. 3. Contruim zerouri pe restul coloanei în afară de pivot. Adunăm la linia 2
linia 1 înmulţită cu (-1) şi adunăm la linia 3 linia 1 înmulţită cu (-1). Notăm
( )112 −+ LL şi ( )113 −+ LL . Obţinem:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−
41
45
230
419
49
250
49
41
211
.
Pas 4. Se repetă procedeul pentru o coloana a doua. Alegem pivotul pentru
coloana a doua pe 25
− . Facem ca valoarea pivotului să devină 1. Înmulţim linia
2 cu 52
− :
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
41
45
230
1019
10910
49
41
211
.
Pas. 5. Folosind metoda eliminării parţiale trebuie să facem numai elementul de
sub pivot pe coloana 2 să fie zero. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
2323 LL :
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
21
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−−
513
51300
1019
10910
49
41
211
.
Matricea anterioară este corespunzătoare următorului sistem de ecuaţii:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=−
−=−−
.5
135
13
,1019
109
,49
41
21
3
32
321
x
xx
xxx
Se poate calcula imediat valoarea lui x3 =1.
Apoi înlocuim valoarea aflată în ecuaţia 2 a sistemului pentru a afla x2:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
−=+−=
−=−−
.1
,1109
1019
,49
41
21
3
2
321
x
x
xxx
Apoi înlocuim valoarea aflată în ecuaţia 1 a sistemului pentru a afla x1:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−=
=−−
+−=
,1;1
241
42
49
3
2
1
xx
x
deci soluţia sistemului va fi: 1,1,2 321 =−== xxx .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
22
3. Metoda eliminării totale (GAUSS - JORDAN5)
Metoda de lucru propusă în acest paragraf va fi folosită la rezolvarea
sistemelor de ecuaţii cu m ecuaţii şi n necunoscute, la calcularea inversei unei
matrice, în tot capitolul de spaţii vectoriale şi în cadrul algoritmului simplex sau
problema celor două faze.
Generalizarea pentru sisteme de tip ( )nm, este simplă: ideea centrală a
metodei eliminării complete este de a aduce matricea extinsă a sistemului la o
formă care să conţină numărul maxim posibil de coloane ale matricei unitate.
Metoda se aplică începând cu prima coloană şi la fiecare pas se obţine o nouă
coloană a matricei unitate.
Model intuitiv:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3333231
2232221
1131211
baaabaaabaaa
⇔⇔ ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3
2
1
100010001
xxx
(10)
FORMĂ INIŢIALĂ TRANSFORMĂRI ELEMENTARE SOLUŢIE
Se porneşte de la sistemul de ecuaţii cu m ecuaţii şi n necunoscute:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++=+++
.
,,
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
(*)
Matricea extinsă ataşată acestui sistem este:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
mmnmm
n
n
baaa
baaabaaa
21
222221
111211
Metoda de lucru în acest scop va fi denumită regula dreptunghiului şi o
prezentăm pe scurt în 4 paşi:
5 Wilhelm Jordan (1842‐1899) ‐ geodesist german;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
23
Pas 1. Se alege un pivot diferit de zero.
Pas 2. Linia pivotului se împarte la valoarea pivotului pentru a obţine
valoarea 1.
Pas 3. Coloana pivotului se completează cu zerouri.
Pas 4. Celelalte elemente se calculează cu regula dreptunghiului de mai
jos:
locatiea
bpivot rezultatul va fi
pivotbalocatie
pivotb
⋅−0
1.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
+
m
r
rrnrr
nr
nr
nr
q
qqpp
qppqppqpp
000000
0000001000
010000100001
1
1
3313
2212
1111
Observaţie: Se presupune că am identificat numărul maxim de linii şi
coloane din matricea unitate. În urma acestor calcule vom ajunge în cazul general
la matricea anterioară.
Pentru o justificare matematică a metodei vezi Lema substituţiei din cap.
III.
Teoremă 2.
Sistemul (*) este compatibil dacă şi numai dacă 021 ==== ++ mrr qqq .
Observaţii:
1. Dacă o singură valoare din şirul mrr qqq ,,, 21 ++ este diferită de zero
atunci sistemul este incompatibil. În acest moment algoritmul se opreşte.
2. Dacă toate valorile din şirul mrr qqq ,,, 21 ++ sunt zero atunci sistemul
este compatibil iar liniile completate doar cu valoarea zero pot fi eliminate
deoarece ele reprezintă combinaţii liniare ale celorlalte linii din sistem.
3. După eliminarea liniilor cu valoarea zero va rămâne un sistem de forma
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
24
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
rrnrr
nr
nr
nr
qpp
qppqppqpp
1
3313
2212
1111
1000
010000100001
unde matricea unitate are r linii şi coloane.
Distingem următoarele cazuri:
Primul caz este sistem compatibil determinat cu soluţie unică care apare
atunci când matricea unitate are n coloane. (r = n).
În acest caz soluţia sistemului se citeşte pe coloana termenilor liberi:
.,,,, 332211 nn qxqxqxqx ====
Al doilea caz este sistem compatibil nedeterminat. În acest caz
variabilele ce corespund coloanelor matricii unitate se vor numi principale şi vor
fi determinate în funcţie de celelalte variabile numite secundare.
Sistemul va deveni în acest caz:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+++
=+++=+++=+++
++
++
++
++
rnrnrrrr
nnrr
nnrr
nnrr
qxpxpx
qxpxpxqxpxpx
qxpxpx
11
331133
221122
111111
Soluţia acestui sistem o obţinem trecând în membrul drept toţi termenii în
afară de variabilele principale.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−−=
−−−=−−−=−−−=
++
++
++
++
nrnrrrrr
nnrr
nrr
nnrr
ppqx
ppqxppqx
ppqx
αα
αααααα
11
311333
211222
111111
şi
.
,,,
33
22
11
mm
rr
rr
rr
x
xxx
α
ααα
=
===
++
++
++
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
25
EXEMPLU:
Să se rezolve următorul sistem, folosind metoda eliminării totale (GAUSS-
JORDAN):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=+−=−−
.2,723,924
321
321
321
xxxxxxxxx
Se porneşte de la matricea extinsă a coeficineţilor sistemului:
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−−=
211172319124
A .
Iteraţia 1. Se alege pivotul 4, se împarte linia pivotului la valoarea 4, coloana
pivotului se completează cu zero şi restul elementelor se calculează cu regula
dreptunghiului. Obţinem:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−
41
45
230
419
49
250
49
41
211
.
Iteraţia 2. Se alege pivotul 25
− , se împarte linia pivotului la valoarea 25
− ,
coloana pivotului se completează cu zero şi restul elementelor se calculează cu
regula dreptunghiului. Obţinem:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−
513
51300
1019
10910
1013
10701
.
Iteraţia 3. Se alege pivotul 5
13 , se împarte linia pivotului la valoarea 5
13 , coloana
pivotului se completează cu zero şi restul elementelor se calculează cu regula
dreptunghiului. Obţinem:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
26
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−11001010
2001.
Observăm în partea stângă a matricei extinse apariţia matricii unitate şi în
partea dreaptă cele trei soluţii 1,1,2 321 =−== xxx .
Exerciţii:
1. Să se rezolve următoarele sisteme folosind metoda Cramer:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−=+−=−+
.432,232,032
321
321
321
xxxxxxxxx
S: 1,1,1 321 === xxx .
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
.92,72,82
321
321
321
xxxxxxxxx
S: 3,2,1 321 === xxx .
2. Să se rezolve următorul sistem folosind metoda eliminării parţiale
(Gauss):
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++=+++=+++=+++
.104,74,44,74
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxx
S: 2,1,0,1 4321 ==== xxxx .
3). Să se rezolve următoarele sisteme folosind metoda eliminării totale
(Gauss Jordan):
a).
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+++=+++=+++−=+++
.23,23,23
,23
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxx
S: 1,1,1,1 4321 −===−= xxxx .
b). ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−−=+−
=++
.30446,532
,20
321
321
321
xxxxxx
xxx S: Rxxx ∈=−=−= αααα ,,
519,
5411 321 .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
27
Explicitarea unui sistem de ecuaţii
Acest paragraf va fi necesar în cadrul explicaţiilor şi aplicaţiilor din capitolul III.
Definiţie 16. Un sistem de ecuaţii liniare este explicitat dacă matricea sistemului
conţine toate coloanele matricei unitate de ordin egal cu numărul ecuaţiilor
sistemului.
Definiţie 17. Fie un sistem de ecuaţii liniare adus la o formă explicită. Variabilele
care corespund coloanelor matricei unitate se numesc variabile principale sau
variabile de bază, iar celelalte variabile se numesc variabile secundare sau
nebazice.
Un sistem compatibil determinat nu are decât variabile principale. În
această formă soluţia sistemului poate fi citită direct de pe ultima coloană, cea
corespunzătoare termenilor liberi. Deci poate fi compatibil determinat doar un
sistem cu numărul de linii egal cu numărul de coloane.
De un interes deosebit pentru elementele de programare liniară care vor fi
abordate în capitolele următoare sunt sistemele compatibile nedeterminate.
Un astfel de sistem are rangul egal cu numărul ecuaţiilor, iar numărul
ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor (m < n). El va avea m
necunoscute principale şi n – m necunoscute secundare.
Variabilele principale se exprimă în funcţie de variabilele secundare care
pot primi orice valori reale şi astfel se obţine înfinitatea de soluţii.
Definiţie 18. Se numeşte soluţie de bază a sistemului liniar de m ecuaţii cu n
necunoscute orice soluţie a sistemului obţinută în cadrul unei forme explicite prin
egalarea cu zero a variabilelor secundare.
Observaţie: Este posibil ca în urma egalării cu zero a variabilelor secundare să
rezulte şi printre variabilele principale unele soluţii egale cu zero. Se poate face o
nouă clasificare dată de definiţia următoare.
Definiţie 19. Dacă o soluţie de bază are exact m componente nenule ea se numeşte
nedegenerată, iar dacă ea are mai puţin de m componente nenule se numeşte
degenerată.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
28
Fiind dat un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute, având m < n, cu cele n
variabile ale sistemului se pot forma mnC grupuri diferite de m variabile.
Teorema 3. Dacă un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute admite cel puţin
o formă explicită atunci el admite cel mult mnC forme explicite.
Definiţie 20. Dacă pentru o soluţie de bază toate variabilele au valoare nenegativă
atunci soluţia se numeşte admisibilă sau fezabilă.
Orice formă explicită a sistemului are m variabile principale şi n - m
variabile secundare. Formele explicite diferă între ele tocmai prin grupul de
variabile principale. Atunci când se face trecerea de la o formă explicită la alta
prin pivotaj una din variabilele secundare devine principală sau de bază, iar una
din variabilele principale devine secundară (sau nebazică), pentru că numărul de
m variabile principale rămâne constant.
O justificare riguroasă a acestor expresii va apare în capitolul următor prin
prisma structurilor algebrice care se numesc spaţii liniare (spaţii vectoriale).
Exemplu:
Să se rezolve şi să se discute soluţiile sistemului:
⎩⎨⎧
=+−+=+−+
632232
4321
4321
xxxxxxxx
.
Scriem matricea extinsă a sistemului :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
6311221321
.
Pentru a construi o matrice unitate vom folosi regula dreptunghiului. Aleg
pivotul 1 de pe prima linie şi prima coloană:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2153021321
.
Pentru a uşura exemplul vom alege următorul pivot valoarea 1 din locaţia linia 2
coloana 4.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2153000851
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
29
În acest moment am determinat o formă explicită a sistemului: matricea unitate
este pe coloana 1 şi coloana 4. Acest lucru conduce la variabile principale 1x şi
4x , iar variabile secundare 2x şi 3x . Sistemul va avea 624 == CC m
n forme
explicite.
Sistemul este compatibil (are soluţie) nedeterminat (are o infinitate de soluţii):
Sistemul corespunzător matricei obţinute este:
⎩⎨⎧
=++−=−+
253085
432
321
xxxxxx
.
Dacă 2x şi 3x sunt variabile secundare atunci le vom nota α şi β parametrii reali
şi vom obţine forma sistemului:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=++−=−+
βα
βαβα
3
2
4
1
253085
xx
xx
.
De unde obţinem soluţia generală:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
−+=+−=
βα
βαβα
3
2
4
1
53285
xxxx
.
1.2.2. Calcularea inversei unei matrice folosind metoda eliminării complete
Metoda eliminării complete oferă o modalitate comodă de calculare a
inversei unei matrice. Amintim din definiţia 12 (paragraf 1.1.7.) că o matrice
pătratică de ordinul n este inversabilă dacă există 1−A astfel încât
nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 , unde nI este matricea unitate de ordinul n.
Vom exemplifica metoda pe o matrice pătratică de ordinul 2, generalizarea
la o matrice de ordin n fiind imediată.
Fie ( )RMA 2∈ pe care o presupunem inversabilă.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2221
1211
aaaa
A .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
30
Calcularea inversei înseamnă determinarea elementelor necunoscute ale
matricei
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
2221
12111
xxxx
A astfel încât 211 IAAAA =⋅=⋅ −− ,
adică
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
2221
1211
2221
1211
xxxx
aaaa
.
Dezvoltăm expresiile şi obţinem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
1001
2222122121221121
2212121121121111
xaxaxaxaxaxaxaxa
,
din care obţinem sistemele:
⎩⎨⎧
=+=+
⎩⎨⎧
=+=+
10
01
22221221
22121211
21221121
21121111
xaxaxaxa
xaxaxaxa
. (11)
Matricele extinse ale sistemelor (11) sunt:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛10
01
2221
1211
2221
1211
aaaa
aaaa
.
Ambele sisteme se pot rezolva prin metoda eliminării complete
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
22
12
21
11
1001
1001
bb
bb
,
adică:
⎩⎨⎧
==
⎩⎨⎧
==
2222
1212
2121
1111
bxbx
bxbx
,
de unde rezultă:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=−
2221
1211
2221
12111
bbbb
xxxx
A .
Sistemele (11) au ambele aceaşi matrice a coeficienţilor de aceea ele pot fi
rezolvate simultan, scriind împreună cele două matrice extinse:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
31
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1001
2221
1211
aaaa
.
În acest fel se poate calcula 1−A , plecând de la tabloul în care matricea A
ocupă partea stângă şi matricea unitate partea dreaptă. Se aplică metoda eliminării
complete până când se ajunge la tabloul care are în stânga matricea unitate
moment în care în partea dreaptă apare matricea 1−A :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
2221
1211
1001
xxxx
.
Dacă în urma calculelor în membrul drept se obţine o linie compusă numai
cu valori zero atunci se trage concluzia că matricea nu este inversabilă.
EXEMPLU:
Să se calculeze inversa matricei A:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
113112
102A .
Se construieşte tabloul următor:
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
100113010112001102
A .
Pas. 1. se alege pivotul şi se aduce la valoarea 1 prin regula dreptunghiului
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
1023
2510
011210
0021
2101
.
Pas. 2. Alegem al doilea pivot care are valoare 1 şi repetăm raţionamentul:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−−
1121
2100
011210
0021
2101
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
32
Pas. 5. Construim zerouri deasupra pivotului şi obţinem:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−
221100451010
110001.
de unde aflăm forma matricei inverse:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−=−
221451
1101A .
Exerciţii:
1. Să se calculeze inversa matricelor folosind metoda eliminării totale:
a) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
221211
321A , b)
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−=
121121
321A
2. Să se rezolve ecuaţiile matriceale:
a) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−2132
*2111
A , b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−2241
*2101
A .
c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 51
412201
**2121
A , d) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
314121112
*311121111
A .
3. Să se rezolve sistemele:
a). ⎩⎨⎧
=+−+=+−+
1234324
4321
4321
xxxxxxxx
b). ⎩⎨⎧
=+−+=+−+
12642822
4321
4321
xxxxxxxx
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
33
Unitate de învăţare II
Elemente de algebră abstractă
Cuprins U.I. II
2.1. Lege de compoziţie
2.2. Structuri algebrice
2.3. Spaţii vectoriale
2.4. Transformări liniare
-------------------------------------------------------------------------------- Obiectivele U.I. II 1. Să definească următoarele structuri algebrice: grup, inel, corp; 2. Să lucreze cu operații şi cu proprietățile lor pe diferite mulțimi de elemente; 3. Să definească spațiul vectorial, să construiască o bază de vectori şi un sistem
de generatori, să lucreze cu combinații liniare de vectori; 4. Să utilizeze în probleme teorema de caracterizare a bazei, lema substituției şi
regula dreptunghiului; 5. Să identifice transformările liniare, să determine vectorii proprii şi valorile
proprii. ---------------------------------------------------------------------------------------
2.1. Lege de compoziţie
Definiţie 1. Fie M o mulţime nevidă, se numeşte lege de compoziţie (sau operaţie
binară) pe M orice aplicaţie MMM →×:ϕ . Pentru orice ( ) MMyx ×∈,
elementul ( )yx,ϕ se numeşte compusul lui x cu y prin legea de compoziţie.
Notaţii: Putem folosi următoarele notaţii ,,,, yxyxyxyx ∨∗⋅+
yxyxyx ,, ⊥∧ .
EXEMPLE:
1. Adunarea şi înmulţirea sunt operaţii binare pe mulţimile: , , , , .
Scăderea (-) nu este operaţie pe , dar este pe .
2. Reuniunea (∪ ) şi intersecţia (∩ ) sunt operaţii pe mulţimea tuturor părţilor
mulţimii nevide X.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
34
Definiţia 2. Operaţia binară MMM →×:ϕ se numeşte
1. Asociativă dacă ( )( ) ( )( )zyxzyx ,,,, ϕϕϕϕ = , Mzyx ∈∀ ,, ;
2. Comutativă dacă ( ) ( )xyyx ,, ϕϕ = , Myx ∈∀ , .
EXEMPLU: Adunarea şi înmulţirea sunt operaţii asociative şi comutative pe
mulţimile , , , , .
În continuare vom nota operaţia binară ( )yx,ϕ cu yx ∗ .
Definiţie 3. Elementul Me∈ se numeşte element neutru pentru o operaţie binară
""∗ pe mulţimea M dacă are loc:
xexxe =∗=∗ pentru orice Mx∈ .
Observaţie: a) Elementul neutru, dacă există, este unic. Presupunem prin absurd
că există e şi e M′∈ elemente neutre e e e e′ ′= ∗ = .
b) Numărul 0 este element neutru la adunare, numărul 1 este element neutru la
înmulţire pe mulţimile , , , , .
Definiţia 4. Fie ""∗ o operaţie binară definită pe M, având elementul neutru e.
Elementul x se numeşte simetrizabil dacă există elementul x′ din mulţimea M
astfel încât
x x x x e′ ′∗ = ∗ = .
În acest caz x′ se numeşte element simetric al lui x .
Definiţia 5. Se spune că operaţia ""∗ pe M este:
1. Distributivă la stânga în raport cu „ ” dacă:
( ) ( ) ( )zxyxzyx ∗∗=∗ Mzyx ∈∀ ,, .
2. Distributivă la dreapta în raport cu „ ” dacă:
( ) ( ) ( )xzxyxzy ∗∗=∗ Mzyx ∈∀ ,, .
3. Distributivă în raport cu „ ” dacă este distributivă la stânga şi la dreapta.
Definiţie 6. Fie ( )∗,M şi H o parte nevidă a lui M. Se spune că H este parte
stabilă a lui M în raport cu operaţia ""∗ dacă
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
35
HyxHyx ∈∗⇒∈∀ , .
În acest caz restricţia operaţiei ""∗ la HH × este lege de compoziţie pe H şi se
numeşte legea de compoziţie indusă de ""∗ pe H.
EXEMPLU: ( ), ,+ ⋅ este parte stabilă în ( ), ,+ ⋅ .
2.2. Structuri algebrice
Definiţie 7. ( )∗,M se numeşte semigrup dacă operaţia ""∗ este operaţie asociativă
pe M.
Dacă în plus operaţia ""∗ este comutativă ( )∗,M se numeşte semigrup comutativ.
Definiţie 8. ( )∗,M se numeşte monoid dacă este semigrup cu element neutru.
Dacă în plus operaţia ""∗ este comutativă atunci ( )∗,M se numeşte monoid
comutativ.
Exemplu: ( ), + şi ( ), + sunt monoizi comutativi.
Proprietăţi
1. Orice element simetrizabil are simetric unic.
Demonstraţie:
Presupunem că există un element x cu două elemente simetrizabile x′ şi
x ′′ astfel încât:
x x x x e′ ′∗ = ∗ = .
exxxx =∗′′=′′∗ .
De unde: x x e x x x e x x′ ′ ′ ′′ ′′ ′′= ∗ = ∗ ∗ = ∗ = ; adică simetricul unui element dacă
există el este unic.
2. Dacă x şi y sunt elemente simetrizabile, având simetricele x′ şi y′
atunci yx ∗ este simetrizabil şi are loc: ( )x y y x′ ′ ′∗ = ∗ .
3. În monoidul ( )∗,M cu element neutru e se pot defini puterile naturale ale
oricărui element
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
36
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>∗
==
=− .1;
,1;,0;
1 naa
nane
an
n
Au loc formulele:
Maaaa nmnm ∈∀=∗ + ,
( ) Nnmaa nmnm ∈∀= ⋅ , .
4. Dacă operaţia de monoid este comutativă se obişnuieşte să fie
notată aditiv ""+ , având element neutru pe 0.
Au loc formulele
( )0 ; 0,
1 ; 1,n
a M n n an a a n
=⎧⎪∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ⎨ − ⋅ + >⎪⎩
unde an ⋅ se numesc multiplii lui a; "- a" se numeşte opusul lui a.
( ) ( )anan −⋅−=⋅ ,
( ) anamanm ⋅+⋅=⋅+ .
Definiţie 9. ( )∗,G se numeşte grup dacă operaţia ""∗ are proprietăţile:
1. Este asociativă;
2. Are element neutru;
3. Orice element diferit de zero din G este simetrizabil.
Dacă în plus operaţia ""∗ este comutativă se numeşte grup comutativ sau grup
abelian.
În orice grup comutativ ( )+,G se poate defini operaţia de scădere
( ) Gyxyxyx ∈∀−+=− ,, .
EXEMPLE:
( ), + , ( ), + , ( ), + , ( ), + sunt grupuri comutative.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
37
Reguli de calcul în grup
Proprietate 1. În orice grup ( )∗,G funcţionează legile de simplificare la stânga şi
la dreapta:
Simplificare la stânga cbcaba =⇒∗=∗ .
Simplificare la dreapta cbacab =⇒∗=∗ .
Proprietate 2. În orice grup ( )∗,G ecuaţiile bxa =∗ şi bax =∗ au soluţii unice şi
anume 'abx ∗= unde a′ este simetricul lui a.
Definiţie 10. Fie ( )∗,G un grup, Ga∈ şi 0>n un număr natural. Se spune că
elementul a are ordinul n dacă ean = dar ea k ≠ pentru orice { }1..,,2,1 −∈ nk .
Dacă G este o mulţime de cardinal n se spune că grupul ( )∗,G are ordinul n.
Orice grup cu un număr finit de elemente se numeşte grup finit.
Definiţie 11. Submulţimea nevidă H a grupului ( )∗,G se numeşte subgrup dacă
este parte stabilă în raport cu operaţia ""∗ .
Teoremă 1. Submulţimea nevidă H a grupului ( )∗,G este subgrup dacă şi numai
dacă
1. ,, HyxHyx ∈∗⇒∈∀
2. .x H x H′∀ ∈ ⇒ ∈
Definiţie 12. Fie ( )∗,G şi ( ),Γ două grupuri. O aplicaţie Γ→Gf : se numeşte
morfism de grupuri dacă satisface condiţia
( ) ( ) ( ) Gyxyfxfyxf ∈∀=∗ ,,
Un morfism bijectiv se numeşte izomorfism.
Teoremă 2. Fie ( )∗,G şi ( ),Γ două grupuri având elementele neutre e şi
respectiv ε . Dacă Γ→Gf : este morfism de grupuri atunci:
1. ( ) ε=ef ,
2. ( ) ( )( ) Gxxfxf ∈∀= ,'' .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
38
Demonstraţie: 1. ( ) ( ) ( ) ( )efefeefefeeedefinitie=∗=⇒=∗ . Înmulţim la dreapta cu
( )( )f e ′ de unde rezultă ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )f e f e f e f e f e′ ′= ceea ce conduce la
relaţia ( ) εε ef= adică ( ) ε=ef .
2. ( ) ( ) ( ) ( )f e f x x f x f xε ′ ′= = ∗ = . Înmulţim la dreapta cu ( )( )f x ′ de unde
( )( ) ( ) ( ) ( )( )'f x f x f x f xε ′ ′= , rezultă ( ) ( )( ) Gxxfxf ∈∀= ,'' .
Definiţie 13. O mulţime nevidă I dotată cu două legi de compoziţie, una notată
aditiv ""+ şi numită adunare, iar cealaltă notată multiplicativ ""⋅ numită înmulţire
se numeşte inel dacă
I1. ( )+,I este grup comutativ;
I2. ( )⋅,I este monoid;
I3. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare.
Dacă, în plus, înmulţirea este comutativă inelul se numeşte inel comutativ.
EXEMPLU:
1. ( ), ,+ ⋅ este inel comutativ.
2. ( ), ,n ⊕ ⊗ cu operaţiile ⊕ adunarea modulo n şi ⊗ înmulţirea modulo n
este inel comutativ.
3. [ ]( ), ,X + • mulţimea polinoamelor cu coeficienţi reali este un inel
comutativ.
4. [ ]( ), ,nM + • mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente
numere reale este inel necomutativ.
Elementele lui I simetrizabile în raport cu înmulţirea se numesc elemente
inversabile.
Definţie 14. Spunem că inelul ( )⋅+,,I este inel fără divizori ai lui 0 dacă
000 ≠⋅⇒≠≠ yxysix .
Dacă există 0≠x şi 0≠y astfel încât 0=⋅ yx se spune că x şi y sunt
divizori ai lui 0.
Un inel care are cel puţin două elemente, care este comutativ şi este fără
divizori ai lui 0 se numeşte domeniu de integritate.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
39
EXEMPLU:
[ ]( ), ,nM + • este inel necomutativ cu divizori ai lui 0. Pentru exemplificare
alegem matricele: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2211
A şi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=43
43B ambele diferite de 0, dar 0=⋅ BA .
Reguli de calcul într-un inel
Orice inel ( )⋅+,,I are proprietăţile:
P1. Ixxx ∈∀=⋅=⋅ ,000 ;
P2. Dacă I are cel puţin două elemente rezultă că 01≠ ;
P3. ( ) ( ) ( )yxyxyx ⋅−=−⋅=⋅− ;
( ) ( ) Iyxyxyx ∈∀⋅=−⋅− ,, (regula semnelor):
P4. ( ) zxyxzyx ⋅−⋅=−⋅ ;
( ) Izyxxzxyxzy ∈∀⋅−⋅=⋅− ,,, ;
P5. Într-un inel fără divizori ai lui 0 se pot face simplificări la stânga şi la
dreapta prin elemente diferite de zero.
Definiţie 15. Un inel ( )⋅+,,K pentru care 10 ≠ având proprietatea că orice
element diferit de zero este inversabil se numeşte corp. Orice corp comutativ se
numeşte câmp.
1. Corpurile nu conţin divizori ai lui zero.
2. Elementele diferite de zero dintr-un corp formează un grup – grupul
multiplicativ al corpului.
Exerciţii:
1. Să se arate că yxyxyx
++
=∗1
determină pe mulţimea G=(-1, 1) o structură de
grup abelian.
2. Să se arate că ( ) 62 ++−=∗ yxxyyx determină pe mulţimea G=(2, ∞) o
structură de grup.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
40
2.3. Spaţii vectoriale6
Definiţie 16. Fie K un câmp de scalari (de regulă K este corpul numerelor reale R
sau corpul numerelor complexe C). Se numeşte spaţiu vectorial sau spaţiu liniar
peste corpul K orice mulţime nevidă V dotată cu o operaţie liniară de la
VVV →× :
( ) vuvu +→,
notată aditiv ""+ numită adunare şi o aplicaţie de la VVK →× :
( ) vv ⋅→αα ,
notată multiplicativ ""⋅ numită operaţie externă sau lege de compoziţie
externă care satisfac axiomele:
1. Asociativitatea adunării: ( ) ( )wvuwvu ++=++ Vwvu ∈∀ ,, ;
2. Element neutru: V∈∃ 0 astfel încât vvv =+=+ 00 , Vv∈∀ ;
3. Element simetrizabil: Vv∈∀ , Vv ∈∃ ' astfel încât 0'' =+=+ vvvv ,
Vv∈∀ ;
4. Comutativitate: vuvu +=+ , Vvu ∈∀ , ;
5. Elementul 1 este element neutru la înmulţirea din K: vv =⋅1 Vv∈∀ ;
6. ( ) vuvu ⋅+⋅=+⋅ ααα , KVvu ∈∈∀ α,, ;
7. ( ) uuu ⋅+⋅=⋅+ βαβα , KVu ∈∈∀ βα ,, ;
8. ( ) vv ⋅⋅=⋅⋅ βαβα , KVv ∈∈∀ βα ,, .
Notaţii:
1. Elementele lui V se numesc vectori, operaţia de adunare este adunarea
vectorilor.
2. Elementele lui K se numesc scalari, iar operaţia externă se numeşte
înmulţire cu scalari.
6 Istoria algebrei liniare moderne începe în anii 1843 și 1844. În 1843, W. R. Hamilton este cel care a introdus termenul de vector şi a descoperit cuaternionii
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
41
3. Când K = atunci mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial real.
4. Când K = atunci mulţimea V se numeşte spaţiu vectorial complex.
5. Elementul neutru pentru adunare se numeşte vectorul zero 0 .
Din primele 4 axiome rezultă ca ( )+,V este grup comutativ, având element
neutru vectorul zero 0 şi opusul elementului v este vectorul vv −=' .
Exemplu:
( ), ,n + ⋅ spaţiul vectorial real în n dimensiuni unde operaţia de adunare a
vectorilor este definită astfel:
( ) ( ) ( )nnnn yxyxyxyyyxxx +++=+ ,,,,,,,,, 22112121 .
şi înmulţirea cu scalar:
( ) ( )nn xxxxxx ⋅⋅⋅=⋅ αααα ,,,,,, 2121 .
Pentru n = 2 obţinem: ( )2 , ,+ ⋅ unde ( ){ }21 2 1 2, / ,x x x x= × = ∈ ∈
( ) ( ) ( )22112121 ,,, yxyxyyxx ++=+ şi înmulţirea cu scalar
( ) ( )2121 ,, xxxx ⋅⋅=⋅ ααα .
Reguli de calcul în spaţiu vectorial
Proprietate. Orice spaţiu vectorial V peste corpul K are proprietăţile:
P1. 00 =⋅u şi 00 =⋅α KVu ∈∈∀ α, ;
P2. 000 ==⇔=⋅ usauu αα ;
P3. ( ) ( ) ( )uuu ⋅−=−⋅=⋅− ααα ;
( ) ( ) VuKuu ∈∀∈∀⋅=−⋅− ,, ααα ;
P4 ( ) uuu ⋅−⋅=⋅− βαβα ;
( ) VvuKvuvu ∈∀∈∀⋅−⋅=−⋅ ,,,, βαααα ;
P5. ( ) uu −=⋅−1 , Vu∈∀ .
Definiţie 17. Dacă { }mvvvS …,,, 21= este un sistem de vectori din spaţiul vectorial
V orice expresie de forma mmvvv … μμμ +++ 2211 cu Km ∈μμμ ,,, 21 … se
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
42
numeşte combinaţie liniară a vectorilor mvvv …,,, 21 ; scalarii mμμμ ,,, 21 …
numindu-se coeficienţii combinaţiei liniare.
Exemplu: Fie vectorii 321 ,, vvv atunci vectorul 321 23 vvvv +−= este o combinaţie
liniară a vectorilor 321 ,, vvv .
Definiţie 18. Vectorul Vv ∈ este o combinaţie liniară a vectorilor mvvv …,,, 21
dacă există scalarii Km ∈μμμ ,,, 21 … astfel încât:
mmvvvv … μμμ +++= 2211 .
Definiţie 19. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= este un sistem de generatori
pentru spaţiul vectorial V , dacă orice vector din V este combinaţie liniară a
vectorilor sistemului S.
Definiţie 20. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= este un sistem liniar
independent dacă orice relaţie de forma 02211 =+++ mmvvv … μμμ implică
021 ==== mμμμ … .
Definiţia 21. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= este un sistem liniar
dependent dacă există un sistem de m scalari, Km ∈μμμ ,,, 21 … , nu toţi nuli, astfel
încât 02211 =+++ mmvvv … μμμ .
Proprietate 1. Un sistem de vectori { }mvvvS …,,, 21= din spaţiul vectorial V este
liniar dependent dacă şi numai dacă cel puţin un vector din sistem este o
combinaţie liniară a celorlalţi vectori.
Demonstraţie:
Direct: Fie { }mvvvS …,,, 21= liniari dependeţi rezultă că există
Km ∈ααα ,,, 21 … nu toţi nuli astfel încât
02211 =+++ mmvvv … ααα .
Presupunem că elementul 01 ≠α de unde avem prin împărţire la 1α :
mm vvvv …1
31
32
1
21 α
ααα
αα
−−−−= .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
43
Ceea ce este o combinaţie liniară de ceilalţi vectori.
Reciproc: Dacă un vector 1v . este combinaţie liniară a sistemului de
vectori { }mvv …,,2 atunci
mmvvvv … ααα +++= 33221 ,
de unde 01 221 =−−−⋅ mmvvv … αα , cum 1 este diferit de 0 rezultă că sistemul de
vectori { }mvvvS …,,, 21= este liniar dependent.
EXEMPLU:
În spaţiu vectorial real 3 se consideră sistemul de vectori { }321 ,, vvvS =
unde ( )1,1,21 =v , ( )1,2,32 =v , ( )2,1,13 −−−=v . Se cere
1. Să se arate că pentru vectorul ( ) 31, 1, 2v = − − ∈ există scalarii
1 2 3, ,λ λ λ ∈ astfel încât 332211 vvvv λλλ ++= ;
2. Să se arate că pentru oricare vector ( ) 31 2 3, ,w a a a= ∈ există scalarii
1 2 3, ,μ μ μ ∈ a. î.
332211 vvvw μμμ ++= .
3. Să se arate că orice combinaţie cu proprietatea 0332211 =++ vvv μμμ
implică 0321 === μμμ .
Rezolvare: 1. Putem scrie 332211 vvvv λλλ ++= dacă şi numai dacă
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−⋅+⋅=−⋅−⋅+⋅=−
⋅−⋅+⋅=
.2112,1211
,1321
321
321
321
λλλλλλ
λλλ.
Rezolvăm sistemul folosind metoda Cramer ( ,2det −=A ,6det 1 −=A
,2det 2 −=A 4det 3 −=A ) şi obţinem soluţiile: 2,1,3 321 =−== λλλ de unde
rezultă că vectorul v se poate scrie
321 213 vvvv ⋅+⋅−⋅= .
2. Putem scrie 332211 vvvw μμμ ++= unde ( ) 3321 ,, Raaaw ∈= dacă
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
44
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=
.211,121,132
3213
3212
3211
μμμμμμμμμ
aaa
Sistem ce are soluţie unică deoarece determinatul este egal cu 2 diferit de
zero.
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−=
−+−=
+−=
,2
,23
,2
53
3213
3212
3211
aaa
aaa
aaa
μ
μ
μ
de unde rezultă că sistemul { }321 ,, vvvS = este un sistem de generatori.
3. Pentru ca S să fie un sistem de vectori liniar independenţi trebuie,
conform definiţiei, ca 0332211 =++ vvv μμμ . Această relaţie se poate scrie:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=⋅−⋅+⋅
.0211,0121,0132
321
321
321
μμμμμμμμμ
Sistemul are un determinant diferit de zero rezultă că are soluţia banală
0321 === μμμ . Deci sistemul { }321 ,, vvvS = este sistem de vectori liniar
independenţi.
Definiţie 22. Sistemul de vectori S se numeşte bază a spaţiului vectorial V dacă:
1. S este un sistem liniar independent;
2. S este un sistem de generatori pentru V .
Definiţia 23. Dacă { }neeeB …,,, 21= este bază în V şi orice vector
nneeev … μμμ +++= 2211 rezultă că elementele Km ∈μμμ ,,, 21 … se numesc
coordonatele vectorului v în baza B.
EXEMPLU:
Alegem baza { }321 ,, eeeB = şi vectorul ( ) 332211321 ,, exexexxxxv ++== adică
componentele vectorului sunt chiar coordonatele vectorului în baza canonică în 3 unde
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
45
( )0,0,11 =e , ( )0,1,02 =e ( )1,0,03 =e .
Observaţie: Unicitatea coordonatelor unui vector într-o bază nu exclude faptul că
în baze diferite acest vector are coordonate diferite. Exemplu vectorul
( )2,1,13 −−=v are coordonatele ( )2,1,1 −− în baza canonică, dar are
coordonatele ( )2,1,3 − în baza din exemplu.
Teorema (de caracterizare a bazei)
Sistemul de vectori { }neeeB …,,, 21= este bază a spaţiului vectorial V dacă şi
numai dacă orice vector Vv ∈ se scrie în mod unic sub forma
nneeev … μμμ +++= 2211 . unde Km ∈μμμ ,,, 21 … .
Demonstraţie:
Direct: presupunem că B este bază, rezultă din definiţie că B este sistem de
generatori pentru V , de unde rezultă că pentru orice vector Vv ∈ se poate scrie
nneeev … μμμ +++= 2211 . Să demonstrăm că scrierea este unică.
Presupunem că există pentru vectorul Vv ∈ o a doua scriere:
nn eeev … ''' 2211 μμμ +++= . Scădem cele două forme şi obţinem relaţia:
( ) ( ) ( ) nnn eee … ⋅−++⋅−+⋅−= '''0 222111 μμμμμμ . Având în vedere că este
sistem liniar independent (definiţia bazei) rezultă că
nn ',,',' 2211 μμμμμμ === … ceea ce implică scrierea unică.
Reciproc: Dacă orice vector Vv ∈ are o scriere de forma
nneeev … μμμ +++= 2211 rezultă că B este sistem de generatori.
Dacă alegem vectorul V∈0 rezultă nneee … μμμ +++= 22110
reprezentare unică. Dar neee … ⋅++⋅+⋅= 0000 21 de unde obţinem imediat că
021 ==== nμμμ … de unde B sistem de vectori liniari independent (q.e.d.).
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
46
2.4 Lema substituţiei
Fie { }neeeB …,,, 21= o bază a spaţiului vectorial V , Vu ∈ un vector fix cu
reprezentarea
nneeeu … ααα +++= 2211
şi sistemul de vectori { },,,,,,,, 1121 nii eeueeeB …… +−∗ = obţinut din baza B
înlocuind vectorul ie cu vectorul u atunci au loc afirmaţiile:
1. ∗B este bază dacă şi numai dacă 0≠iα .
2. dacă ∗B este bază a lui V atunci coordonatele Kn ∈*,*,*, 21 λλλ … în baza ∗B
ale unui vector Vv ∈ se exprimă în funcţie de coordonatele Kn ∈λλλ ,,, 21 … în
baza B ale lui v prin egalităţile:
ijji
ijj
i
ii ≠−== ;*;* α
αλλλ
αλλ .
Trecerea de la iλ la *iλ se face pe baza regulii dreptunghiului.
Regula dreptunghiului
ji
ij
i
i
jj
ii
ααλ
λ
αλ
λα
λα
−
⇔
0
1
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
47
nnn
jjj
iii
e
e
e
ee
vuB
λα
λα
λα
λαλα
222
111
⇒
ni
inn
ji
ijj
i
i
i
i
i
i
e
e
u
e
evuB
ααλ
λ
ααλ
λ
αλ
ααλ
λ
ααλ
λ
−
−
−
−
∗
0
0
1
0
0
222
111
Trecerea de la B la B* se face în felul următor:
1. elementele corespunzătoare liniei pivotului din B* se obţin împărţind la
valoarea pivotului toate elementele liniei pivotului. ;*i
ii α
λλ =
2. se completează coloana corespunzătoare pivotului cu zerouri.
3. toate celelalte elemente corespunzătoare vectorului se calculează după
regula ji
ijj α
αλ
λλ −=* .
EXEMPLU:
Fie baza { }321 ,, vvvS = având coordonatele în baza canonică: ( )1,1,21 =v ,
( )1,2,32 =v , ( )2,1,13 −−−=v şi vectorul v cu coordonatele în baza canonică
( )2,1,1 −−=v .
a) să se arate că S este bază în spaţiul 3 .
b) să se determine coordonatele lui v în baza S.
( )
22111121
1132
3
2
1
321
−−−−
−
eee
vvvvBC
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
48
25
23
210
23
21
210
21
21
231
3
2
1
3211
−−−
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−
e
e
v
vvvvB
( ) 42003110
5101
3
2
1
3212
−−−−
evv
vvvvB
21001010
3001
3
2
1
321
vvv
vvvvS
−
În ultimul tabel observăm că:
1. Conform lemei substituţiei sistemul de vectori S este bază în spaţiul vectorial
V de unde rezultă că primul punct al problemei este rezolvat.
2. Vectorii 321 ,, vvv depind doar de ei înşişi adică sunt liniari independenţi.
3. Pe ultima coloană am obţinut coordonatele vectorului v in noua bază de date S.
Coordonatele vectorului v în baza S sunt: ( )2,1,3 − .
Teoremă 4. Dacă V are o bază { }neeeB …,,, 21= atunci au loc relaţiile:
1. orice sistem liniar independent din V are cel mult n vectori;
2. orice bază a lui V are n vectori.
Teoremă 5. Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n peste câmpul K . Pentru
orice sistem de n vectori { }nvvvS …,,, 21= următoarele afirmaţii sunt
echivalente:
1. S este bază pentru V ;
2. S este un sistem de generatori pentru V ;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
49
3. S este un sistem liniar independent.
Definiţia 24. Spunem că spaţiul vectorial V peste corpul K are dimensiunea n şi
scriem Vn Kdim= dacă în V există o bază formată din n vectori.
Definiţia 25. Fie nV un spaţiu vectorial real de dimensiune n, iar { }neeeB …,,, 21=
şi { }nfffB …,,,* 21= două baze ale spaţiului. Fiecare element al bazei B' se
reprezintă în baza B sub forma :
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
,
,
,
2211
22221122
12211111
nnnnnn
nn
nn
eaeaeaf
eaeaeaf
eaeaeaf
unde elementele Raij ∈ .
Matricea ( )nnijaS
×= se numeşte matricea de trecere de la baza B la baza
B*.
Observaţie: Matricea S este inversabilă.
Un vector nVv ∈ se exprimă unic în fiecare din cele două baze prin:
nnexexexv +++= 2211 şi
nn fyfyfyv +++= 2211 .
Atunci vectorii ( )TnxxxX 21,= , ( )TnyyyY 21,= se leagă prin formulele
echivalente (legea matriceală):
XSYYSX ⋅=⇔⋅= −1 .
Exerciţii
1. Fie sistemul de vectori { }321 ,, vvvS = având coordonatele în baza
canonică: ( )1,1,11 =v , ( )1,2,12 =v , ( )4,1,13 =v şi vectorul w cu coordonatele în
baza canonică ( )4,1,2=w .
a) să se arate că S este bază în spaţiul 3 .
b) să se determine coordonatele lui w în baza S.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
50
2. Să se arate că vectorii ( )1,0,11 =v , ( )1,2,02 =v , ( )1,1,13 =v formează
o bază în 3 şi să determine coordonatele lui ( )2,1,1=w în această bază.
3. În spaţiu vectorial real 3 se consideră sistemul de vectori
{ }321 ,, vvvS = unde ( )1,1,11 =v , ( )2,1,22 −=v , ( )1,2,13 =v . Fie vectorul ce are
coordonatele ( ) 31, 0,1v = ∈ în baza S. Să se exprime coordonatele vectorului v
în raport cu baza { }321 ,, wwwB = alcătuită din vectorii ( )0,2,11 −=w ,
( )1,1,12 =w , ( )3,0,13 =w .
2.4 Transformări liniare
Definiţie 26. Fie V şi V ' două spaţii liniare vectoriale reale. Se numeşte
transformare liniară (sau operator liniar) a spaţiului vectorial V în spaţiul
vectorial V ' orice aplicaţie ': VVT → care satisface condiţiile:
1. ( ) ( ) ( ) VvvvTvTvvT ∈∀+=+ 212121 ,, .
2. ( ) ( ) RVvvTvT ∈∈∀= λλλ , .
Observatie: Prima proprietate se numeşte aditivitate şi a doua se numeşte
omogenitate.
Teoremă 6. (de caracterizare a transformărilor liniare)
Aplicaţia ': VVT → este transformare liniară dacă şi numai dacă
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , , ,T v v T v T v v v Vα β α β α β+ = + ∀ ∈ ∈ .
Demonstraţie.
Direct: T aplicaţie liniară rezultă conform definiţiei:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 vTvTvTvTvvT βαβαβα +=+=+ .
Reciproc: Presupunem că relaţia
( ) ( ) ( ) RVvvvTvTvvT ∈∈∀+=+ βαβαβα ,,,, 212121 este verificată atunci
particularizăm.
Alegem 1,1 == βα de unde obţinem:
( ) ( ) ( ) VvvvTvTvvT ∈∀+=+ 212121 ,, .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
51
Alegem 0=β de unde obţinem:
( ) ( )1 1 1 ,T v T v v Vλ λ λ= ∀ ∈ ∈ .
EXEMPLU:
Aratăm că aplicaţia 3 3:T → definită prin relaţia
( ) ( )323121 ,, xxxxxxvT +++= unde ( )321 ,, xxxv = este o transformare liniară.
Aplicăm teorema de caracterizarea transformărilor liniare. Alegem doi
vectori ( ) ( )321321 ,,,,, bbbvaaau == .
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) =+=
=+=⋅+⋅
321321
321321
,,,,,,,,
bbbaaaTbbbaaaTvuT
βββαααβαβα
( )( ) =+++= 332211 ,, bababaT βαβαβα conform definiţiei aplicaţiei T=
( ) =+++++++++= 332233112211 ,, babababababa βαβαβαβαβαβα
continuăm calculele prin scoaterea in factor a scalarilor α şi β :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =+++++++++= 323231312121 ,, bbaabbaabbaa βαβαβα
Desfacem vectorul obţinut în suma a doi vectori:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =+++++++= 323121323121 ,,,, bbbbbbaaaaaa βββααα
Conform proprietăţii 2 din definiţie scalarii α şi β ies de sub vector:
( ) ( ) =+++++++= 323121323121 ,,,, bbbbbbaaaaaa βα ( ) ( )vTuT βα + .
Dacă are loc relaţia atunci conform reciprocei teoremei de caracterizare a
transformărilor liniare aplicaţia T este un operator liniar.
Teoremă 7. Dacă ': VVT → este transformare liniară atunci au loc:
( ) 'VV OOT = şi ( ) ( ) VvvTvT ∈−=− , ,
unde ', VV OO sunt vectorii nuli din spaţiul V şi V '.
Definiţie 27. Se numeşte nucleu al transformării liniare T mulţimea
( ){ }0/ =∈= vTVvTKer .
Numărul TKerd = se numeşte defectul transformării.
Definiţie 28. Se numeşte imagine a transformării liniare T mulţimea
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
52
( ){ }2112 ../'Im vvTiaVvVvT =∈∃∈= .
Numărul Tr Im= se numeşte rangul operatorului T.
Dacă { }neeeB …,,, 21= este bază în nV şi { }mfffB …,,,' 21= este bază în
mV ' atunci fiecare element ( ) mmjjjj fafafaeT +++= 2211 , j= 1, 2, ..., n.
Atunci matricea ( )nmijaA
×= se numeşte matricea transformării liniare T în
bazele B şi B'.
( )( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+++=
+++=
+++=
,
,
,
2211
22221122
12211111
mmnnnn
mm
mm
fafafaeT
fafafaeT
fafafaeT
Exemplu:
Fie operatorul liniar 22: RRT → definit prin relaţia ( ) ( )yxyxyxT 24,52, −+= . Să
se calculeze ( )2,2T , ( )10,5T . Să se determine matricea operatorului T în baza
canonică { }21,eeBc = din 2 .
Rezolvare:
( ) ( ) ( )2,193224,35223,2 =⋅−⋅⋅+⋅=T ,
( ) ( ) ( )0,6010254,1055210,5 =⋅−⋅⋅+⋅=T .
Pentru a calcula matricea operatorului în baza { }21,eeBc = calculăm:
( ) ( ) ( ) ( )4,20214,05120,11 =⋅−⋅⋅+⋅== TeT ;
( ) ( ) ( ) ( )2,5204,15021,02 −=⋅−⋅⋅+⋅== TeT .
Matricea operatorului T în baza canonică este
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=24
52A .
Definiţie 29. Fie nn VVT →: , orice vector 0≠v , nVv ∈ pentru care există λ∈
astfel încât ( ) vvT λ= se numeşte vector propriu al transformării T.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
53
Folosind matricea operatorului T în baza B rezultă că matricea X a
vectorului propriu nVv ∈ satisface sistemul de ecuaţii liniare omogene XXA λ=
( ) 0=−⇔ XIA nλ .
Acest sistem va avea soluţii nenule dacă şi numai dacă λ este soluţia
ecuaţiei
0=− nIA λ
numită ecuaţia caracteristică a transformării T.
Observaţie. Ecuaţia caracteristică nu depinde de baza aleasă.
Din ecuaţia caracteristică deducem valorile proprii λ . În continuare vom
înlocui valorile proprii în sistemul ( ) 0=− XIA nλ şi vom obţine vectorii proprii.
Acestui sistem îi corespund o infinitate de vectori proprii deoarece sistemul
este compatibil nedeterminat. Mulţimea soluţiilor formează un subspaţiu numit
subspaţiul propriu ataşat valorii proprii:
{ } ( ){ }vvTVvvE λλ =−∈= ,0/
EXEMPLU:
Să se determine valorile proprii şi vectorii proprii asociaţi matricei A:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1221
A .
Ecuaţia caracteristică este ( ) 0=−= nIAP λλ deci
λ
λλ
λλ
−−
=−=−12
210
01221
1001
1221
.
Ecuaţia caracteristică: 012
21=
−−
λλ
,
( ) 041 2 =−− λ ,
( )( ) 031 =−+ λλ .
Valorile proprii sunt 3;1 21 =−= λλ .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
54
Vectorii proprii asociaţi valorii proprii 11 −=λ au coordonatele în raport
cu baza canonică:
( )
( )⎩⎨⎧
=−+=+−
.012,021
211
211
aaaa
λλ
Înlocuim pe 11 −=λ şi obţinem sistemul:
⎩⎨⎧
=+=+
.022,022
21
21
aaaa
De unde obţinem 1 2
2
a aa α= −⎧
⎨ = ∈⎩.
Vectorul propriu ( )1,11 −=v iar subspaţiul vectorilor proprii valorii
11 −=λ este ( ){ }1
/ , ,E v vλ α α α= = − ∈
Vectorii proprii asociaţi valorii proprii 32 =λ au coordonatele în raport cu
baza canonică:
( )
( )⎩⎨⎧
=−+=+−
.012,021
221
212
aaaa
λλ
Înlocuim pe 32 =λ şi obţinem sistemul:
⎩⎨⎧
=−=+−.022
,022
21
21
aaaa
De unde obţinem 1 2
2
a aa α=⎧
⎨ = ∈⎩.
Vectorul propriu ( )1,12 =v iar subspaţiul vectorilor proprii valorii 32 =λ
este ( ){ }2
/ , ,E v vλ α α α= = ∈ .
Exerciţii
1. Să se arate folosind teorema de caracterizare a operatorilor liniari că
aplicaţia 3 2:T → definită prin relaţia ( ) ( )zyxzyxzyxT −−++= ,,, este
operator liniar.
2. Să se arate folosind teorema de caracterizare a operatorilor liniari că
aplicaţia 2 2:T → definită prin relaţia ( ) ( )yxyxyxT −+= 3,54, este operator
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
55
liniar. Să se calculeze ( )2,1T , ( )10,12T şi matricea operatorului T în baza
canonică a 2 .
3. Să se arate că aplicaţia 3 3:T → definită prin relaţia
( ) ( )zyxzyxzyxzyxT −++−++= 22,3,2,, este operator liniar. Să se calculeze
( )3,2,1T , ( )6,1,3−T , ( )3,20,10 −T şi matricea operatorului T în baza canonică
a 3 .
4. Fie aplicaţia 3 3:T → definită prin relaţia
( ) ( )zyxzyxzyxzyxT 424,,4,, −++++−= . Să se arate că T este
operator liniar. Să se determine matricea operatorului T în baza canonică a
spaţiului.
5. Să se scrie ecuaţia caracteristică, să se determine valorile proprii şi
vectorii proprii ale transformărilor liniare ce au matricele asociate:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2332
A , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
113112
102B , ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1224
C .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
56
Unitate de învăţare III
Elemente de programare liniară
Cuprins U.I. III
3.1. Introducere în programare liniară
3.2. Structura unei probleme de programare liniară
3.3. Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară în
două variabile
3.4. Metoda simplex de rezolvare a problemelor de programare
liniară
3.5. Descrierea algoritmului simplex primal
3.6. Metoda celor două faze
---------------------------------------------------------------------------- Obiective U.I. III 1. Să transforme problemele de tip economic în probleme standard de
programare liniară; 2. Să determine utilizând metoda grafică, algoritmul simplex şi metoda celor
două faze soluția optimă în cadrul problemelor de programare liniară. -----------------------------------------------------------------------------------------
3.1. Introducere în programare liniară
Prima parte a acestui capitol este dedicată introducerii noţiunilor de bază
legate de programare liniară.
Tehnica programării liniare are o largă arie de aplicativitate în cele mai
diverse domenii de inginerii: economică, agricolă, industrială.
Vom începe cu rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară
care, deşi se poate aplica doar problemelor în două variabile, are avantajul de a
oferi o imagine intuitivă a conceptelor implicate într-un program liniar.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
57
Problema rezolvării sistemelor liniare de inegalităţi datează de la Fourier7,
dar a fost dezvoltată de matematicianul L. Kantarovici8 in anul 1939.
În condiţiile actuale ale evoluţiei economice dificile este important ca
deciziile să nu fie adoptate doar în baza intuiţiei şi a judecăţii obişnuite, ci e bine
să se cunoască mai multe variante din care să se aleagă cea care va conduce la un
rezultat aşteptat mai bun.
Pentru aceasta vom apela la metode matematice şi anume la cercetarea
operaţională.
3.2. Structura unei probleme de programare liniară
Programarea liniară este o metodă de optimizare matematică.
Definiţie 1. Prin metodă de optimizare se înţelege o tehnică al cărei scop este să
se determine cea mai bună soluţie pentru atingerea unui anumit obiectiv.
Obiectivul este exprimat printr-o valoare numerică; de aceea optimizarea
poate însemna maximizarea sau minimizarea sa.
În orice problemă de programare liniară trebuie luate anumite decizii prin
aplicarea cărora să se atingă valoarea optimă a obiectivului.
Aceste decizii sunt reprezentate printr-un set de variabile de decizie notate
jx .
Variabilele de decizie sunt folosite pentru formularea modelului de
programare liniară. Folosind variabile de decizie se descriu atât obiectivul care
trebuie atins cât şi o serie de condiţii restrictive care trebuie respectate de către
soluţia finală căutată.
O problemă de programare liniară îşi propune să maximizeze sau să
minimizeze o funcţie obiectiv în condiţiile respectării unui set de restricţii.
Funcţia obiectiv este o funcţie liniară de variabile jx . Ea este reprezentarea
matematică a scopului avut în vedere: nivelul profitului, costuri totale etc.
7 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 ‐ 1830) ‐ matematician şi fizician francez; cunoscut pentru: serii Fourier, transformata Fourier, legea Fourier.
8 Leonid Vitaliyevich Kantorovich (1912 ‐ 1986) ‐ matematican rus; care a încercat să reducă costurile armatei şi să crească pierderile inamicului. Problema a fost ținută secret până în anul 1947 când George B. Dantzig a publicat metoda simplex
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
58
Setul de restricţii este un sistem liniar de ecuaţii şi inecuaţii în variabilele
jx . El descrie condiţiile pe care trebuie să le satisfacă variabilele de decizie
pentru a fi în conformitate cu realitatea: capacităţi de producţie limitate, nivel
minim obligatoriu al vânzărilor etc.
Atât funcţia obiectiv cât şi restricţiile prezentate sunt liniare, din această
cauză problemele de acest gen se numesc de programare liniară.
EXEMPLU:
21 35max xxz += , (1)
⎩⎨⎧
≥+≤+
.2543,2032
21
21
xxxx
(2)
0, 21 ≥xx . (3)
Această problemă cere să se maximizeze funcţia (1) care este o funcţie
liniară în două variabile 1x şi 2x . Nu putem alege valori pentru 1x şi 2x fără să
ţinem seama de cele patru restricţii exprimate de inegalităţile liniare (2) şi (3).
Sistemul (2) descrie restricţiile care reflectă condiţiile impuse de structura
situaţiei analizate: resurse limitate, niveluri minime respectate. Aceste condiţii se
numesc restricţii structurale.
Condiţiile (3) exprimă ideea că nici o variabilă de decizie nu are voie să ia
valori negative. Acest lucru se întâmplă în problemele de programare liniară
deoarece variabilele de decizie reprezintă mărimi care nu pot avea valori negative:
sume de bani, cantităţi de produse, consumuri etc. Aceste restricţii (3) se numesc
restricţii de nenegativitate.
O problemă de programare liniară cu n variabile de decizie nxxx …,, 21 şi
având m restricţii structural are următoarea formă generală:
( ) nn xcxcxcz +++= …2211minmax , (4)
( )( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥=≤+++
≥=≤+++≥=≤+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
,,
,,,,
2211
22222121
11212111
…
……
. (5)
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
59
0,,, 21 ≥nxxx … . (6)
Parantezele semnifică faptul că pe locul respectiv se foloseşte în funcţie de
problemă elementul dorit.
EXEMPLU:
O firmă fabrică două produse: A şi B. Fiecare produs este prelucrat în două
secţii. Se dau numărul de ore de lucru necesare, pe unitatea de produs în fiecare
secţie şi capacităţile de lucru, în ore, ale fiecărei secţii pe săptămână.
De asemenea, este indicat preţul care se obţine de pe urma vânzării unei
unităţi din fiecare produs.
Se ştie că întreaga producţie are vânzare. Trebuie să se decidă câte unităţi
din fiecare produs trebuie fabricate săptămânal pentru ca profitul să fie maxim.
PRODUS A PRODUS B CAPACITATE
SECŢIA 1 3 ore / unitate 2 ore / unitate 120 ore
SECŢIA 2 4 ore / unitate 6 ore / unitate 260 ore
PROFIT /
UNITATE
5 euro / unitate 6 euro / unitate z funcţia obiectiv
Se notează cu 1x şi 2x numărul de unităţi care trebuie fabricate respectiv
din produsele A şi B. Trebuie determinate valorile acestor variabile de decizie
pentru ca să se obţină un profit maxim.
Profitul total il notăm cu z şi exprimă adunarea contribuţiilor pe care le are
fiecare produs. Trebuie maximizată funcţia obiectiv.
21 65max xxz += .
Singurele restricţii în stabilirea numărului de unităţi care trebuie fabricate
sunt date de capacităţile de producţie ale celor două secţii. Ele impun restricţiile
structurale ale problemei.
⎩⎨⎧
≤+≤+
.26064,12023
21
21
xxxx
Varibilele de decizie 1x şi 2x trebuie să respecte restricţiile de
nenegativitate.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
60
Dacă combinăm funcţia obiectiv cu restricţiile anterioare se obţine
următoarea problemă de programare liniară (PL).
21 65max xxz += , (7)
⎩⎨⎧
≤+≤+
,26064,12023
21
21
xxxx
(8)
0, 21 ≥xx . (9)
Observaţie. Rezolvarea prin simpla încercare a diferitelor seturi de valori
(variante) pentru variabilele de decizie nu poate duce decât întâmplător la soluţia
optimă. Soluţia optimă trebuie căutată folosind o metodă riguroasă de investigare.
3.3. Metoda grafică de rezolvare a problemelor de programare liniară
Metoda grafică se poate aplica acelor probleme de programare liniară cu
două variabile de decizie.
Primul pas în investigarea mulţimii soluţiilor pentru a o determina pe cea
optimă este stabilirea acestei mulţimi. Pentru aceasta se foloseşte setul de restricţii
al problemei pentru că soluţiile examinate trebuie să respecte aceste restricţii.
Definiţie 2. Mulţimea soluţiilor care respectă toate restricţiile avute în vedere se
numeşte mulţimea soluţiilor admisibile sau mulţimea soluţiilor fezabile.
Definiţie 3: O mulţime de puncte din plan se numeşte convexă dacă are
proprietatea că pentru orice două puncte M şi N aparţinând mulţimii, întreg
segmentul MN este inclus în mulţime.
Teoremă 1. Intersecţia unei familii arbitrare de mulţimi convexe este tot o
mulţime convexă.
Proprietăţi.
1. Într-o problemă de programare liniară rezolvată prin metodă grafică
mulţimea soluţiilor admisibile este o suprafaţă poligonală convexă.
2. Soluţia optimă a unei probleme de programare liniară determinată prin
metodă grafică va include întotdeauna un vârf al poligonului soluţiilor
admisibile.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
61
Figura 1 - Rezolvarea grafică a problemelor de programare liniară
Restricţiile (8) şi (9) formează un sistem de inegalităţi liniare. Rezolvarea
grafică a sistemului de inecuaţii (8) este dată în figura 2 unde punctele cu ajutorul
cărora am construit dreapta 1d sunt ( )0,40A şi ( )60,0B ; punctele folosite pentru
trasarea dreptei 2d sunt ( )0,65C şi ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3130,0D .
Datorită restricţiilor de nenegativitate ne încadrăm în cadranul I din reperul
cartezian 21Oxx .
Soluţia este dată de suprafaţa poligonului OAMC inclusiv laturile care se
numeşte poligonul soluţiilor admisibile. Vârfurile acestuia au coordonatele
( )0,0O , ( )0,40A , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3130,0D şi ( )30,20M .
Numai coordonatele punctelor ce formează poligonul soluţiilor admisibile
pot da soluţia optimă a funcţiei obiectiv. În acest caz trebuie ca funcţia obiectiv să
fie maximă. Vom urmări combinaţiile ( )21, xx pentru care se obţine o anumită
valoare a funcţiei obiectiv:
Dreapta de ecuaţie 065 21 =+ xx intersectează poligonul soluţiilor
admisibile şi trece prin punctul ( )0,0O ;.
Dreapta de ecuaţie 20065 21 =+ xx este o dreaptă ce trece prin punctul
( )0,40A ;
Dreapta de ecuaţie 26065 21 =+ xx este o dreaptă ce trece prin punctul
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3130,0D ;
Dreapta de ecuaţie 28065 21 =+ xx este o dreaptă ce trece doar prin
punctul ( )30,20M .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
62
Dreptele sunt paralele şi formează un fascicol de drepte. Cea mai depărtată
de origine conduce la valoarea cea mai mare pentru funcţia obiectiv.
Funcţia obiectiv este maximizată pentru valorile 201 =x şi 302 =x ale
variabilelor de decizie şi are valoarea 280=z .
Se pune problema de a se determina o metodă de calcul pentru cea mai
îndepărtată dreaptă.
Algoritmul pentru a determina soluţia optimă.
1. Se trasează grafic poligonul soluţiilor admisibile;
2. Se determină coordonatele vârfurilor poligonului soluţiilor admisibile;
3. Se calculează valoarea funcţiei obiectiv pentru fiecare vârf; pentru
aceasta se înlocuiesc coordonatele punctelor în funcţia obiectiv;
4. Pentru o problemă de maximizare soluţia optimă este în vârful
poligonului pentru care se obţine cea mai mare valoare a funcţiei obiectiv; iar
pentru o problemă de minimizare se va căuta valoarea minimă a funcţiei obiectiv.
Există posibilitatea ca o problemă de programare liniară să aibă mai mult
de o soluţie optimă. Acest lucru se întâmplă atunci când dreapta corespunzătoare
funcţiei obiectiv ce intersectează poligonul soluţiilor admisibile coincide cu o
latură a acestuia. Atunci se trage concluzia că valoarea maximă (optimă) va apare
pentru orice punct de pe latura poligonului şi deci vor fi soluţii multiple.
Al doilea caz posibil este ca sistemul de restricţii al unei probleme de
programare liniară să nu aibă soluţie (să fie incompatibil). Deci nu va exista nici o
pereche ( )21, xx care satisface toate restricţiile.
Al treilea caz ce poate să apară rezolvând sistemul restricţiilor este acela al
soluţiei nemărginite. În acest caz suprafaţa poligonului soluţiilor admisibile este
nemărginită.
EXEMPLU:
Fie următoare problemă de programare liniară:
21 39max xxz += ,
⎩⎨⎧
≤+≤+
,322,20
21
21
xxxx
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
63
0, 21 ≥xx .
Pasul 1. Se trasează dreptele ataşate restricţiilor structurale.
20: 211 =+ xxd de unde ( )20,0200 21 Axx →=→= ;
( )0,20200 12 Bxx →=→= ;
322: 212 =+ xxd de unde ( )32,0320 21 Cxx →=→= ;
( )0,16160 12 Dxx →=→= .
Pasul 2. Se determină coordonatele punctului de intersecţie al dreptelor;
⎩⎨⎧
=+=+
32220
21
21
xxxx
se scad relaţiile şi obţinem
( )8,12812 21 Mxx →=→= .
Pasul 3. Se trasează graficul.
Figura 2 - Reprezentarea grafică a poligonului soluţiilor admisibile
Pasul 4. Se determină poligonul soluţiilor admisibile. În acest caz el este
determinat de vârfurile ( )0,0O , ( )20,0A , ( )0,16D şi ( )8,12M .
Pasul 5. Se calculează valorile funcţiei obiectiv z corespunzătoare punctelor
( )0,0O , ( )20,0A , ( )0,16D şi ( )8,12M :
( ) 003090,0 =⋅+⋅=→ zO ,
( ) 602030920,0 =⋅+⋅=→ zA ,
( ) 144031690,16 =⋅+⋅=→ zD ,
( ) 13224108831298,12 =+=⋅+⋅=→ zM .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
64
Concluzia este că valoarea maximă a funcţiei obiectiv se obţine în punctul
( )0,16D 144max ==z şi 0,16 21 == xx .
Exerciţii
1. Să se rezolve prin metoda grafică urmatoarele probleme de programare liniară:
1)
.0,,9054,362363max
21
21
21
21
≥⎩⎨⎧
≤+≥+
+=
xxxxxx
xxz
2)
.0,,242,302
816max
21
21
21
21
≥⎩⎨⎧
≤+≤+
+=
xxxxxx
xxz
3).
.0,,2
,12,183
2030max
21
1
21
21
21
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤+≤+
+=
xxx
xxxx
xxz
4)
.0,
,,632824
,9126max
21
21
21
21
21
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+−≤+−
≤+
+=
xxxx
xxxx
xxz
5).
.0,,62,3626
42min/max
21
21
21
21
21
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤+−≤−
≤+
+=
xxxx
xxxx
xxz
6)
.0,,53,32
4min/max
21
21
21
21
21
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−≤−−
≤+
+−=
xxxx
xxxx
xxz
7)
.0,,1
,221442
32min/max
21
21
21
21
21
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−≥+
−≤+
+=
xxxx
xxxx
xxz
8).
.0,02,02
,33
96min/max
21
21
21
21
21
21
≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−≥−≥−−≤+
−=
xxxxxx
xxxx
xxz
9)
.0,.3
,4,123
879max
21
2
1
21
21
21
≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤≤≤+≤−
+=
xxx
xxx
xxxxz
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
65
3.4. Metoda simplex de rezolvare a problemelor de programare liniară
Metoda grafică de rezolvare a problemelor de programare liniară este
limitată la probleme în două variabile. Algoritmul simplex este metoda algebrică
cea mai utilizată pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară indiferent
de numărul de variabile.
În anul 1947 G. Dantzig9 a construit prima variantă a metodei simplex, iar
în anul 1953 C. E. Lemke a dat a doua metodă generală numită algoritmul simplex
dual.
Modelul matematic al unei probleme de programare liniară îl vom numi
program liniar (P.L.). Vom prezenta mai întâi trei exemple ce ne vor conduce la
problema generală de programare linară.
a) Problema utilizării eficiente a resurselor limitate.
Presupunem că o fabrică utilizează în procesul de producţie m feluri de
resurse mRRR ,,, 21 şi produce n tipuri de produse nPPP ,,, 21 .
Notăm cu:
- ( ) njmiaij ,,2,1;,,2,1 …… == cantitatea i de resursă folosită pentru
producerea unităţii j de produs;
P1 P2 ... Pj ... Pn Resurse
R1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1
R2 a21 a22 ... a2j ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ... ...
Ri ai1 ai2 ... aij ... ain bi
... ... ... ... ... ... ... ...
Rm am1 am2 ... amj ... amn bm
Profit c1 c2 ... cj ... cn ∑=
=n
jjj xcz
1
- ib - cantitatea totală de resursă i (pe care îl deţine producătorul)
( mi ,,2,1 …= );
- jc - profitul realizat prin vânzarea unităţii j de produs ( nj ,,2,1 …= );
9 George Bernard Dantzig (1914 ‐ 2005) ‐ matematician american
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
66
- jx - necunoscut - cantitatea de produs ce se va produce nj ,,2,1 …= .
Ne propunem să determinăm, folosind doar resursele existente, valorile
nxxx ,,, 21 … pentru care profitul fabricii să fie maxim.
Funcţia z care reprezintă profitul trebuie maximizată şi se numeşte funcţia
obiectiv.
Modelul matematic va fi următorul:
∑=
=n
jjj xcz
1
max (1)
mibxan
jijij ,,2,1,
1
…=≤∑=
, (2)
0,,, 21 ≥nxxx . (3)
unde (1) funcţie obiectiv, (2) restricţii structurale, (3) condiţii de
nenegativitate.
b) Problema dietei
Pentru a se păstra sănătos un individ are nevoie ca alimentaţia sa să conţină
minim valorile mbbb ,,, 21 … din nutrienţii mNNN ,,, 21 … (glucide, lipide etc.). Se
ştie că aceste elemente nutritive se găsesc în alimentele nAAA ,,, 21 … . Mai exact
într-o unitate din alimentul jA se găsesc ija unităţi din elementul nutritiv iN .
A1 A2 ... Aj ... An Necesar
biologic
N1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1
N2 a21 a22 ... a2j ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ... ...
Ni ai1 ai2 ... aij ... ain bi
... ... ... ... ... ... ... ...
Nm am1 am2 ... amj ... amn bm
Cost c1 c2 ... cj ... cn ∑=
=n
jjj xcz
1
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
67
O unitate din elementul jA costă jc unităţi monetare. Se pune problema să
se determine un meniu care să asigure necesarul biologic la un preţ minim.
Modelul matematic:
∑=
=n
jjj xcz
1
min , (4)
mibxan
jijij ,,2,1,
1
…=≥∑=
, (5)
0,,, 21 ≥nxxx . (6)
c) Problema amestecului
Un amestec are în compoziţie m substanţe mSSS ,,, 21 … care se găsesc în
materiile prime nMMM ,,, 21 … . Se ştie că în compoziţia amestecului trebuie să fie
exact ib unităţi din substanţa iS , că într-o unitate din materia jM se găsesc ija
unităţi dintr-o substanţă iS şi că o unitate din materia primă jM costă jc unităţi
monetare.
Se cere să se determine cantităţile jx din materia primă jM care sunt
necesare realizării amestecului cu compoziţia prescrisă la un cost minim.
M1 M2 ... Mj ... Mn Necesar
S1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1
S2 a21 a22 ... a2j ... a2n b2
... ... ... ... ... ... ... ...
Si ai1 ai2 ... aij ... ain bi
... ... ... ... ... ... ... ...
Sm am1 am2 ... amj ... amn bm
Cost c1 c2 ... cj ... cn ∑=
=n
jjj xcz
1
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
68
Modelul matematic:
∑=
=n
jjj xcz
1
min , (7)
mibxan
jijij ,,2,1,
1
…==∑=
, (8)
0,,, 21 ≥nxxx . (9)
La toate cele trei probleme prezentate pentru a putea aplica algoritmul
simplex trebuie transformate într-o problema de programare liniară standard:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥
==
=
∑
∑
=
=
.0,,,
,,,2,1,
,max
21
1
1
n
n
jijij
n
jjj
xxx
mibxa
xcz
… (10)
1. Termenul liber al fiecărei restricţii să fie nenegativ.
Acest inconvenient se rezolvă înmulţind restricţiile structurale care au
termen liber negativ cu (-1). Atenţie prin această înmulţire inegalitatea respectivă
îşi va schimba semnul. Exemplu:
10352 4321 −≤−+− xxxx / ( )1−
10352 4321 ≥+−+− xxxx .
2. Toate restricţiile structurale trebuie exprimate ca ecuaţii.
Pentru a transforma inegalităţile în egalităţi se introduc o serie de variabile
suplimentare. Astfel: pentru fiecare restricţie de tip „≤ ” se adună o variabilă ecart
nenegativă în partea stângă a restricţiei.
Pentru fiecare restricţie de tip „≥ ” se scade o variabilă ecart nenegativă din
partea stângă a restricţiei.
Variabilele ecart echilibrează inegalităţile transformându-le în egalităţi.
Aceste variabile trebuie să respecte condiţia de nenegativitate şi vor apărea
în funcţia obiectiv cu coeficient egal cu zero.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
69
EXEMPLU:
Fie programul liniar
4321 2710max xxxxz −++=
⎩⎨⎧
≤+−+−≥−+−−.2552
,10352
4321
4321
xxxxxxxx
0,,, 4321 ≥xxxx .
Pentru a aduce sistemul la forma standard trebuie să facem următoarele
modificări:
654321 002710max xxxxxxz ++−++=
⎩⎨⎧
=++−+=++−+
.2552,10352
64321
54321
xxxxxxxxxx
0,,,,, 654321 ≥xxxxxx .
Am înmulţit cu -1 prima restricţie structurală. Această operaţie a modificat
toate semnele relaţiei inclusiv inegalitatea şi apoi am adăugat variabile ecart 5x şi
6x pentru a echilibra relaţiile. În cadrul funcţiei obiectiv am adăugat variabilele
ecart au coeficientul egal cu zero. Variabilele ecart trebuie să respecte condiţiile
de nenegativitate.
Definiţie 3. Pentru o problemă de programare liniară de maximizare restricţiile
structurale de tip „≤ ” se numesc concordante. Pentru o problemă de programare
liniară de maximizare restricţiile de tip „≥ ” se numesc neconcordante.
Definiţie 4. O problemă de programare liniară are formă canonică dacă toate
restricţiile sale sunt concordante.
Metoda simplex este o metodă de rezolvare a problemei de programare liniară
aranjată sub formă standard.
Definiţie 5. Soluţiile sistemului bAX = care satisfac condiţiile de nenegativitate
se numesc soluţii admisibile.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
70
Notăm cu M – mulţimea tuturor soluţiilor admisibile:
{ }0,/ ≥=∈= XbAXRXM n .
Definiţie 6. O bază { }maaaB ...,,, 21= a subspaţiului V generat de coloanele
matricei A este numită bază admisibilă dacă există o soluţia admisibilă
MxxxX n ∈= )...,,,( 21 cu nmjx j …,1,0 +== . În acest caz se spune că X este
soluţia admisibilă de bază corespunzătoare bazei B; iar mxxxx …,,, 321 se numesc
componentele bazice ale soluţiei.
Teoremă Dacă un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute are cel puţin o
soluţie de bază atunci el va admite cel mult mnC soluţii de bază.
Definiţie 7. Baza admisibilă B este numită degenerată dacă cel puţin o
componentă bazică a soluţiei este zero. În caz contrar se numeşte nedegenerată.
EXEMPLE:
1. În cazul general o soluţie de bază corespunzătoare bazei { }maaaB ...,,, 21= are
formula )0...,,0,...,,,( 21 mxxxX = . Baza B este degenerată dacă măcar unul
dintre locurile maaa ...,,, 21 este ocupat de elementul zero.
Dacă { }maaaB ...,,, 21= este bază admisibilă atunci b coloana vectorilor
liberi se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de vectori din baza B. Deci o
bază admisibilă determină soluţia admisibilă de bază în mod unic.
După ce am determinat o soluţie pentru a determina soluţia de bază
necunoscutele secundare se vor egala cu valoarea 0 şi se determină imediat
valorile pentru necunoscutele principale.
Dacă necunoscutele principale sunt diferite de zero atunci avem soluţie de
bază nedegenerată. Dacă măcar o valoare a necunoscutelor principale este 0
atunci vom avea soluţie de bază degenerată.
2. Să se determine toate soluţiile admisibile de bază pentru sistemul ecuaţii:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
71
⎩⎨⎧
=+−−=++
242
4321
321
xxxxxxx
unde 0≥ix .
Rezolvare:
Scriem matricea extinsă ataşată sistemului:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=2111140121
A .
Pentru a determina soluţiile admisibile de bază trebuie mai întâi să
determinăm o bază.
a) Construim o bază în matricea sistemului folosind regula dreptunghiului
aplicată la capitolul anterior:
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−− 2111140121
4321 bxxxx.
( ) ⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−− 2123040121
4321 bxxxx.
Baza în acest caz este formată de vectorii ( )41, xx acest lucru conducând la
o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )41, xx . Egalăm variabilele secundare
cu zero şi obţinem soluţia de bază 2,4 41 −== xx şi 0,0 32 == xx soluţie
nedegenerată. Ea nu este soluţie admisibilă deoarece conţine o variabilă negativă.
b) În mod analog vom constui o nouă bază în matricea sistemului
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 21111
40121.
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡6101240121
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
72
Baza în acest caz este formată de vectorii ( )43 , xx acest lucru conducând la
o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )43 , xx .
Soluţia de bază va fi 6,4 43 == xx , 0,0 21 == xx nedegenerată şi
admisibilă;
c) În mod analog vom constui o nouă bază în matricea sistemului
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 21111
40121.
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−2111121230
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
34
32
3101
32
31
3210
.
Baza în acest caz este formată de vectorii ( )21, xx acest lucru conducând la
o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )21, xx .
Soluţia de bază va fi 34,
32
21 == xx şi 0,0 43 == xx soluţie nedegenerată
admisibilă;
d) În mod analog vom constui o nouă bază în matricea sistemului
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− 21111
40121.
( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
−2111121230
.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
3210
211
1211
230
.
Baza în acest caz este formată de vectorii ( )31, xx acest lucru conducând la
o formă explicită în raport cu necunoscutele ( )31, xx .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
73
Soluţia de bază va fi 3,1 31 == xx şi 0,0 42 == xx soluţie nedegenerată
admisibilă.
În mod asemănător au mai rămas de aflat formele explicite în raport cu
necunoscutele: ( )32 , xx , ( )42 , xx .
Exerciţii
Să se determine toate soluţiile admisibile de bază pentru sistemele:
1. ⎩⎨⎧
−=−−−=+++−
526324432
4321
4321
xxxxxxxx
.
2. ⎩⎨⎧
=+++=+++
121322
4321
4321
xxxxxxxx
.
Definiţie 8. O bază admisibilă B şi V soluţia admisibilă de bază corespunzătoare
ei sunt numite optimale dacă funcţia obiectiv ia valoare maximă în soluţia
admisibilă găsită:
XCVC T
MX
T
∈= max .
În continuare presupunem că sistemul de condiţii (10) are cel puţin o
soluţie, adică Φ≠M . Vom prezenta un algoritm care conduce la o soluţie optimă
acceptând că există o soluţie admisibilă şi că sunt indeplite condiţiile.
Teorema 1.
Dacă sistemul de restricţii (10) are o soluţie (admisibilă) atunci el are cel puţin o
soluţie admisibilă de bază.
Observaţie: A doua teoremă ne va ajuta să trecem de la o bază admisibilă la altă
bază admisibilă:
Teorema 2. (Criteriul de ieşire din bază)
Fie { }maaaB ...,,, 21= o bază admisibilă, )0...,,0,...,,,( 21 mxxxX = soluţia
admisibilă de bază corespunzătoare şi expresia:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
74
nkaaaaam
irrkkkiikk ...,,2,1,
12211 =+++==∑
=
λλλλ ,
expresiile coloanelor matricei A în baza B. Dacă pentru un anumit k > m, fixat,
există numere pozitive ikλ şi
ik
i
ik
i xxik λλ λ 0
min>
= .
Atunci { }mki aaaaaaB ,...,,,...,,,' 11121 +−= este o bază admisibilă.
Observaţie: Vom da în continuare un criteriu care să ne asigure că funcţia obiectiv
creşte când se trece de la o bază admisibilă la o altă bază admisibilă folosind
teorema 2.
Teorema 3. (Criteriul de intrare în bază)
În ipotezele şi notaţiile din teorema 2 se va schimba baza admisibilă B cu baza
admisibilă B’. Dacă
01
<−=∑=
k
m
iiikk ccd λ ,
atunci
XCXC TT ≥' .
Teorema 4.(Criteriul de verificare a optimalităţii soluţiei)
Fie { }maaaB ...,,, 21= o bază admisibilă şi
nkaam
iiikk ,...,2,1,
1
==∑=
λ ,
expresiile coloanelor matricii A în baza B. Dacă pentru toţi k avem:
01
≥−=∑=
k
m
iiikk ccd λ ,
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
75
atunci baza B este optimală.
Observaţie: valorile dk care corespund elementelor unei baze admisibile sunt
întotdeauna egale cu zero.
Teorema 5.
Fie { }maaaB ...,,, 21= o bază admisibilă presupunem că pentru un anumit k fixat, k
> m, kd este negativ şi 0≤ikλ , i = 1, 2, ..., m. Atunci funcţia obiectiv nu este
mărginită pe mulţimea M a soluţiilor admisibile.
Rezultatele teoremelor precedente arată că avem o metodă care conduce la
soluţia problemei de maximizare. Mai întâi se rezolvă sistemul (10) şi se găseşte o
soluţie admisibilă. Se trece apoi, prin teorema 1 de la o soluţie admisibilă la o
soluţie admisibilă de bază.
Se verifică dacă soluţia obţinută în acest mod este optimă sau nu cu
ajutorul teoremei 4. Dacă soluţia este optimă algoritmul se opreşte.
Dacă soluţia nu este optimă trebuie găsită o nouă soluţie pentru a fi
verificată optimalitatea ei. O altă soluţie este determinată prin schimbarea bazei
admisibile.
Trecerea de la o bază admisibilă la alta se face prin înlocuirea câte unui
vector coloană, ales cu ajutorul teoremei 3, din baza admisibilă cu un vector nou,
ales cu ajutorul teoremei 2 din matricea A. Se ajunge la un şir crescător de valori
ale funcţiei obiectiv.
La fiecare pas se verifică teoremele 4 şi 5, dacă soluţia este optimală sau
dacă problema are sau nu optim finit.
3.5. Descrierea algoritmului simplex primal
Pas.1 Înainte de a începe algoritmul simplex trebuie ca problema de
programare liniară să fie adusă la forma standard:
∑=
=n
jjj xcz
1
max , (1)
mibxan
jijij ,,2,1,
1
…==∑=
, (2)
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
76
0,,, 21 ≥nxxx , (3)
[ ] [ ] XCzcccCaA TTnnmij ===
× 21 . (4)
Pas 2.
Se scrie matricea coeficienţilor A pentru a observa existenţa matricei
unitate, adică o bază admisibilă { }maaaB ...,,, 21= şi soluţia admisibilă de bază
[ ]0,,0,...,,, 020100 …mxxxX = .
Pas. 3
Se introduce soluţia de bază şi toate datele problemei de programare
liniară în tabelul simplex pentru a verifica dacă soluţia obţinută la pasul 2 este
optimă.
CB - coeficienţii funcţiei obiectiv corespunzători coloanelor ce formează
baza B;
CJ - coeficienţii funcţiei obiectiv;
B - vectorii bazei admisibile B;
X0 - componentele bazice ale soluţiei X0;
Coloanele ai - numerotarea coloanelor matricei A;
CB CJ → 1c 2c … ic … mc 1+mc … kc … nc
↓ B X0 1a 2a … ia … ma 1+ma … ka … na
1c 1a 10x 1 0 … 0 … 0 11 +mλ … k1λ … n1λ
2c 2a 20x 0 1 … 0 … 0 12 +mλ … k2λ … n2λ
ic ia 0ix 0 0 … 1 … 0 1+imλ … ikλ … inλ
mc ma 0mx 0 0 … 0 … 1 1+mmλ … mkλ … mnλ
CTX0 0 0 … 0 … 0 1+md … kd … nd
În ultima linie CTX0 este valoarea funcţiei obiectiv şi dk valorile calculate
după formula:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
77
k
m
iiikk ccd −=∑
=1
λ .
Pas 4.
După completarea tabelului se testează optimalitatea soluţiei cu ajutorul
teoremei 4. Dacă toţi 0≥kd problema este rezolvată - s-a determinat o soluţie
optimă, se trece la Pas 4 şi algoritmul se opreşte.
Dacă există 0<kd şi toţi termenii ce alcătuiesc coloana k sunt negativi
( 0<ikλ ) atunci programul liniar are optim infinit (teorema 5) şi determinarea ei
nu mai prezintă interes, algoritmul se opreşte.
Dacă există 0<kd şi există 0>ikλ soluţia nu este optimă, dar soluţia se
poate îmbunătăţi şi se trece la Pas 3. Se iniţiază prima iteraţie a algoritmului
simplex primal.
Pas 5.
Vom căuta o altă soluţie admisibilă de bază. Pentru aceasta vom schimba
baza şi acest lucru se face schimbând un vector din baza existentă şi introducem
un vector nou în bază.
Vectorul ce intră în bază (teorema 3) se determină după cantitatea dj
corespunzătoare lui care trebuie să fie negativă minimă.
{ }0/min <= kkj ddd .
Observaţie: Alegerea lui dj cel mai negativ nu este obligatorie, ea are ca efect
micşorarea numărului de iteraţii necesare rezolvării problemei de programare
liniară.
Vectorul ce iese din bază (teorema 2) corespunde indicelui pentru care
ik
i
ik
i xxik λλ λ
00
0 min>
= .
Se reia pas 4.
La intersecţia vectorului ce intră în bază cu vectorul ce iese din bază se
obţine pivotul ce va fi obligatoriu pozitiv. În continuare se recalculează
elementele tabelului utilizând regula dreptunghiului şi vom construi un tabel de
acelaşi tip corespunzător noii baze. După completarea noului tabel cu cantităţile dk
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
78
se testează optimalitatea noii soluţii. Dacă noua soluţie este optimă algoritmul se
opreşte, dacă nu se începe o nouă iteraţie.
Pas 6.
În cazul în care verificarea optimalităţii dă un răspuns afirmativ ultimul
tabel simplex conţine soluţia programului liniar: componentele din coloana X0
sunt chiar componentele bazice ale soluţiei optime (componentele ce nu apar în
coloană au valoare egală cu zero), iar CTX0 reprezintă valoarea optimă a funcţiei
obiectiv.
Observaţie.
1. Se poate formula un algoritm analog pentru minimizarea funcţiei obiectiv, dar
nu este necesar deoarece problema de minimizare se poate rezolva pe baza
aceluiaşi algoritm ţinând cont de egalitatea:
( ) ( )[ ]XzXz −−= maxmin .
2. Până în acest moment am rezolvat probleme de maximizare şi minimizare cu un
anumit tip de restricţie "≤ " . Pentru o problemă de programare liniară ce are toate
tipurile de restricţii metoda de lucru nu se schimbă. Diferenţele apar în momentul
în care aducem problema liniară la o formă standard.
EXEMPLU:
Să se rezolve folosind algoritmul simplex următoarea problemă de programare
liniară:
21 65max xxz += ,
⎩⎨⎧
≤+≤+
,26064,12023
21
21
xxxx
0, 21 ≥xx .
Rezolvare: Problema trebuie adusă la forma standard. Având în vedere că
restricţiile erau mai mic sau egal atunci trebuie să adunăm un termen pentru a face
egalitate în prima ecuaţie adunăm x3 şi în a doua x4. Aceste necunoscute vor primi
în funcţia obiectiv coeficientul zero.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
79
4321 0065max xxxxz +++= ,
⎩⎨⎧
=++=++
,26064,12023
421
321
xxxxxx
Matricea acestui sistem este:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
26010641200123
4321 baaaaA .
Baza este formată din vectorii { }43 , aaB = şi soluţia admisibilă de bază
este ( )260,120,0,00 =X . Construim tabelul simplex:
CB CJ → 5 6 0 0
↓ B X0 1a 2a 3a 4a
0 3a 120 3 2 1 0
0 4a 260 4 (6) 0 1
0 -5 -6 0 0
Acestă soluţie ( )260,120,0,0=X nu este una optimă deoarece în ultima
linie există termeni negativi. Alegem pe "cel mai negativ" şi coloana
corespunzătoare acestui termen intră în bază conform criteriului de intrare în bază.
Vectorul 2a intră în bază. Coloana 2a devine coloana cheie.
Urmează să determinăm ce vector iese din bază folosind criteriul de ieşire
din bază.
Vectorul ce iese din bază corespunde indicelui pentru care
kj
k
ij
i xxkj λλ λ
00
0 min>
= .
În acest caz 3.433
130,60min6
260,2
120min0
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>kjλ Intră în bază vectorul 2a
şi iese din bază vectorul 4a . La intersectia dintre cei doi vectori gasim noul pivot
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
80
pe care il transformăm în valoarea 1 prin împarţire la 6. Facem modificările în
tabel
CB CJ → 5 6 0 0
↓ B X0 1a 2a 3a 4a
0 3a 3
100⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
35
0 1 31
−
6 2a 3
13064 1 0
61
260 -1 0 0 1
Baza este formată din vectorii { }23 , aaB = şi soluţia admisibilă de bază
este ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 0,
3100,
3130,0X .
Această soluţie nu este soluţia optimă deoarece nu toti termenii kd sunt
pozitivi. Trecem la pasul următor. Căutăm o nouă soluţie admisibilă. Vectorul ce
intră în bază este a1 deoarece "cea mai negativă" valoare pentru dk este -1.
În acest caz { } 2065,20min
643
130
,
353
100
min0
==
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>kjλ. Vectorul care iese din bază
este 3a . La intersectia dintre cei doi vectori gasim noul pivot pe care îl
transformăm în valoarea 1 prin împarţire la pivot. Facem modificările în tabel
CB CJ → 5 6 0 0
↓ B X0 1a 2a 3a 4a
5 1a 20 1 0 53
51
−
6 2a 30 0 1 52
−103
280 0 0 53
51
Baza este formată din vectorii { }21, aaB = şi soluţia admisibilă de bază este
( )0,0,30,20=X . În linia coeficenţilor kd avem numai termeni pozitivi. Concluzia
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
81
este că am găsit soluţia optimă a problemei de programare liniară. Valoarea
maximă pentru funcţia obiectiv este z = 280 şi se obţine dacă 30,20 21 == xx .
3.6. Metoda celor două faze
Există probleme de programare liniară în care în matricea A a restricţiilor
nu conţine o matrice unitate. Vom încerca construirea unei matrice unitate,
utilizând variabile artificiale.
Vom arăta cum se poate determina, utilizând algoritmul simplex primal, o
soluţie admisibilă de bază pentru programul liniar standard
( )nnT xcxcxcxcXC ++++= 332211maxmax , (5)
0; ≥=⋅ XbXA , (6)
folosind metoda celor două faze.
Faza 1. Considerăm programul liniar
( )nyyyy ++++ 321min , (7)
0,0; ≥≥=⋅+⋅ YXbYIXA m , (8)
unde [ ]myyyY ...,,, 21= şi variabilele myyy ...,,, 21 se numesc variabile
artificiale.
Teoremă. Dacă X0 este o soluţie admisibilă a programului (5) - (6) atunci
[ ] mnRXX +∈= 0...,,0,~00 este soluţie a programului (7) - (8).
Reciproc, orice soluţie optimă a programului (7) - (8) care are
componentele artificiale egale cu 0 conduce la soluţia admisibilă X0 a programului
iniţial.
La sfârşitul fazei 1 vom avea una din următoarele 3 situaţii:
În cazul 1. Valoarea optimă este strict pozitivă;
Programul iniţial nu are nici o soluţie admisibilă pentru că dacă ar exista
X0 o soluţie admisibilă atunci [ ]0...,,0,~00 XX = ar fi soluţie problemei asociate de
unde ( )nyyyy ++++ 321min = 0 contrar ipotezei.
În cazul 2. Valoarea optimă este zero şi nici o componentă artificială nu
este bazică;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
82
Renunţând la componentele artificiale obţinem o soluţie admisibilă de
bază a problemei (4) - (5) şi continuăm cu faza 2.
În cazul 3. Valoarea optimă este zero şi cel puţin o componentă artificială
este bazică.
Soluţia de bază conţine şi componente artificiale, dar care vor fi egalate cu
zero. În acest caz obţinem o soluţie de bază degenerată a problemei iniţiale.
În situaţiile 2 şi 3 se trece la realizarea fazei a doua.
Faza 2.
Se trece la rezolvarea problemei de optimizare iniţială, luând ca soluţie de
bază de plecare soluţia determinată la sfârşitul primei faze şi folosim algoritmul
simplex.
Dacă suntem în situaţia 2 primul tabel al fazei a doua se obţine din ultimul
tabel al fazei întâi, renunţând la coloanele corespunzătoare variabilelor artificiale.
Dacă suntem în situaţia 3 primul tabel al fazei a doua se obţine din ultimul
tabel al primei faze, renunţând la coloanele tabelului corespunzătoare variabilelor
artificiale nebazice.
Funcţia obiectiv devine:
mnnT yyyyxcxcxcxcXC 0000 321332211 +++++++++= .
şi se continuă rezolvarea problemei de programare liniară folosind algoritmul
simplex.
EXEMPLU:
Să se rezolve programul liniar
5421 52max xxxxz +−−−= ,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++−
=+−−
=+−+−
,2423
,3312
,4226
54321
4321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
0,,, 54321 ≥xxxxx .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
83
Sistemul este adus la forma standard şi scriem matricea coeficienţilor
pentru a cerceta existenţa matricei unitate.
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
14213
011312
21126A .
Observăm că nu apare explicit o matrice unitate. Vom aplica metoda celor
două faze.
Faza 1. Considerăm programul liniar
( ) ( )321321 maxmin yyyyyy −−−−=++ ,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++++−
=++−−
=++−+−
,2423
,3312
,4226
354321
24321
154321
yxxxxx
yxxxx
yxxxxx
0,,,,,,, 32154321 ≥yyyxxxxx .
Matricea coeficienţilor este în acest caz:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
−−=
10014213
010011312
00121126~87654321 aaaaaaaa
A ,
unde baza este formată din { }876 ,, aaaB = şi [ ]TX 2,3,4,0,0,0,0,0~0 = soluţie
admisibilă de bază.
CB CJ → 0 0 0 0 0 -1 -1 -1
↓ B X0 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a
-1 6a 4 6 -2 1 -1 2 1 0 0
-1 7a 3 2 31
− -1 1 0 0 1 0
-1 8a 2 (3) -1 2 4 1 0 0 1
-9 -11 3
10 -2 -4 -3 0 0 0
-1 6a 0 0 0 -3 -9 0 1 0 -2
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
84
-1 7a 35 0 (
31 )
37
−35
−32
− 0 1 32
−
0 1a 32 1
31
−32
34
31 0 0
31
35
− 0 31
−3
16 3
32 32 0 0
311
-1 6a 0 0 0 -3 -9 0 1 0 -2
0 2a 5 0 1 -7 -5 -2 0 3 -2
0 1a 37 1 0
35
−31
−31
− 0 1 31
−
0 0 0 3 9 0 0 1 3
S-a obţinut soluţia optimă ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 0,0,0,0,0,0,5,
37~
0X a programului ajutător.
Ne aflăm în cazul 3 adică o componentă artificială este în bază. Trecem la
faza 2.
Alegem soluţia ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡= 0,0,0,5,
37
0X a programului de iniţiere faza 2.
Ultimul tabel de la programul ajutător este primul tabel de la faza 2.
CB CJ → -1 -2 0 -1 5 0
↓ B X0 1a 2a 3a 4a 5a 6a
0 6a 0 0 0 -3 -9 0 1
-2 2a 5 0 1 -7 -5 -2 0
-1 1a 37 1 0
35
−31
−31
− 0
3
37− 0 0
347
334
32
− 0
Programul nu are optim finit deoarece variabila d5 este negativă şi toate
componentele coloanei corespunzătoare ei din tabel sunt negative sau zero. Pe
coloana a5 termenul d5=-2/3 < 0 şi 31;2;0 352515 −=−== λλλ de unde rezulta ca
problema de programare liniară are optim infinit iar iteraţiile se opresc.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
85
Exerciţii
1. Să se rezolve PPL folosind algoritmul simplex:
a)
.0,,,2600432
,12003,1086max
321
321
21
321
≥⎩⎨⎧
≤++≤−
++=
xxxxxx
xxxxxz
b)
.0,,,80222,40422,240226
,235max
321
321
321
321
321
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−+≤+−≤++
+−=
xxxxxxxxxxxx
xxxz
c)
.0,,,,1843,63
,24422,30223
234max
4321
4321
421
4321
432
4321
≥
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤+++≤++≤+++≤++
+++=
xxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxz
d)
.0,,,,4322
,22222max
4321
4321
321
321
≥⎩⎨⎧
≤++−≤++
++=
xxxxxxxx
xxxxxxz
2. Să se rezolve P.P.L. folosind metoda celor doua faze.
5421 52max xxxxz +−−−=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++−
=+−−
=+−+−
,2423
,3312
,4226
54321
4321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
0,,, 54321 ≥xxxxx .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
86
Unitate de învăţare IV
Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică matematică
Cuprins U.I. IV
4.1. Noţiuni fundamentale
4.2. Operaţii cu evenimente
4.3. Noţiunea de probabilitate
4.4. Scheme probabilistice clasice
4.5. Variabile aleatoare.
4.6. Repartiţii clasice
4.7. Organizarea şi descrierea datelor
4.8. Reprezentarea grafică a datelor statistice
4.9. Caracteristici numerice ale seriilor statistice
4.10. Frecvenţa absolută, frecvenţa relativă şi frecvenţe
cumulate
4.11. Ajustarea datelor unei serii statistice
4.12. Intervale de încredere
----------------------------------------------------------------------------- Obiective: 1. Să identifice diferite tipuri de evenimente; 2. Să definească probabilitatea unui eveniment folosind cele 3 definiţii: clasică,
statistică, axiomatică; 3. Să utilizeze în probleme schemele probabilistice clasice şi formulele de calcul
ale probabilităţilor; 4. Să calculeze valorile tipice ale variabilelor aleatoare; 5. Să identifice şi să utilizeze repartiţiile clasice: discrete şi continue; 6. Să grupeze corect şi să descrie datele statistice; 7. Să reprezinte grafic datele statistice; 8. Să ajusteze liniar şi parabolic date statistice.
------------------------------------------------------------------------------------------
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
87
Multe fenomene din viaţa reală sunt caracterizate de incertitudine sau de
evoluţie întâmplătoare. Teoria probabilităţilor este un instrument matematic care
permite modelarea unor astfel de situaţii.
4.1. Evenimente
Teoria probabilităţilor se ocupă cu studiul modelelor matematice ce
descriu experienţe aleatoare. Exemple: controlul tehnic al calităţii produselor
alimentare, jocuri de noroc, asigurări, prognoza vremii etc.
Pentru a construi un model matematic se pleacă de la un experiment.
Definţie 1. Prin experiment aleator se înţelege o acţiune a cărui rezultat este
supus întâmplării, nu poate fi anticipat cu exactitate dar mulţimea rezultatelor
posibile este cunoscută.
EXEMPLE: aruncarea unui zar, aruncarea unei monede, extragerea unei bile dintr-o
urnă ce conţine bile de mai multe culori, observarea duratei de viaţă a unei maşini,
cercetarea duratei de viaţă a unui individ dintr-o populaţie umană sau biologică şi
altele.
Definiţie 2. Aplicarea experimentului asupra unei populaţii date se numeşte
probă iar rezultatul ei se numeşte eveniment.
Definiţie 3. Evenimentul reprezintă orice rezultat al unei experiment. Poate fi
elementar sau compus.
EXEMPLU: Se consideră aruncarea unui zar. Experimentul constă în acţiunea de
aruncare a unui zar care poate fi repetată în condiţii similare. Proba constă în
rezultatul obţinut. Evenimentele sunt asociate feţelor 1, 2, 3, 4, 5, 6. Un exemplu
de eveniment elementar sa apara fata cu numarul {6}. Un exemplu de eveniment
compus evenimentul sa apara fete cu numar par {2, 4, 6}.
Definiţie 4. Se numeşte spaţiu de selecţie al unui experiment aleator mulţimea
tuturor evenimentelor elementare (mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale
experimentului).
EXEMPLU: a) Spaţiul de selecţie la aruncarea unui zar este format din
{ }6,5,4,3,2,1=Ω .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
88
b). La verificarea unui fruct spaţiul de selecţie este alcătuit din
{ }stricatbun,=Ω .
Definiţie 5. Definim un eveniment ca fiind un element a mulţimii ( )ΩP . Vom
considera o submultime de evenimente relevante pentru experiment. ( )Ω⊂ PF
Notaţie: ( )ΩP este mulţimea formată din toate submulţimile mulţimii Ω .
Definiţie 6. Se numeşte eveniment sigur, evenimentul care se realizează
întotdeauna ca rezultat al efectuării unui experiment.
Definiţie 7. Se numeşte eveniment imposibil evenimentul care nu se poate
realiza niciodată.
Notaţii: Ω – eveniment sigur şi ∅ - eveniment imposibil.
EXEMPLE: Se aruncă un zar, spaţiul de selecţie este { }6,5,4,3,2,1=Ω .
Evenimentul A să apară o faţă cu număr par: { }6,4,2=A , evenimentul B să apară
o faţă cu număr impar { }5,3,1=B sau evenimentul C să apară o faţă cu un număr
mai mare sau egal cu 4: { }6,5,4=C . Un eveniment imposibil este să apară o faţă
cu numarul 7. Evenimentul sigur este să apară o faţă cu unul dintre numerele
{ }6,5,4,3,2,1 .
Definiţie 8. Fie evenimentul A. Se numeşte evenimentul contrar lui A
evenimentul care se realizează ori de câte ori nu se realizează A. Notaţie A sau
cA .
Definiţie 9. Se spune că evenimentul A implică evenimentul B dacă B se
realizează ori de câte ori se realizează A. Notaţie BA⊂ .
Definiţie 10. Se spune că evenimentul A este echivalent cu evenimentul B dacă
A implică B şi B implică A. Adică BA⊂ şi AB ⊂ ⇔ A = B.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
89
4.2. Operaţii cu evenimente
Definiţie 11. Fie date două evenimente A şi B. Se numeşte reuniunea lui A cu B
evenimentul care se realizează atunci când are loc cel puţin unul dintre cele două
evenimente. Notaţie: BA∪ .
Proprietăţi: Reuniunea evenimentelor are următoarele proprietăţi:
1. ABBA ∪∪ = comutativitate;
2. ( ) ( )CBACBA ∪∪∪∪ = asociativitate;
3. BAA ∪⊂ şi BAB ∪⊂ legile absorbţiei;
4. AAA =∪ ;
5. Ω=Ω∪A ;
6. AA =∅∪ .
Definiţie 12. Fie date două evenimente A şi B. Se numeşte intersecţia lui A cu B
evenimentul care se realizează atunci când au loc simultan cele două evenimente.
Notaţie: BA∩ .
Proprietăţi: Intersecţia evenimentelor are următoarele proprietăţi:
1. ABBA ∩∩ = comutativitate;
2. ( ) ( )CBACBA ∩∩∩∩ = asociativiitate;
3. ( ) ( ) ( )CABACBA ∩∪∩∪∩ = distributivitatea intersecţiei faţă de
reuniune;
4. ( ) ( ) ( )CABACBA ∪∩∪∩∪ = distributivitatea reuniunii faţă de
intersecţiei;
5. ABABA =⇒⊂ ∩ ; ∅=∅=Ω= ∩∩∩ AAAAAA ,, ;
6. ,ABA ⊂∩ BBA ⊂∩ .
Definiţie 13. Două evenimente A şi B se numesc compatibile dacă ele se pot
realiza simultan, adică există probe comune care realizează atât pe A cât şi pe B.
Dacă evenimentele nu se pot realiza simultan se numesc incompatibile.
∅≠BA∩ - compatibile; ∅=BA∩ - incompatibile.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
90
Definiţie 14. Fie date două evenimente A şi B se numeşte diferenţa dintre A şi B
evenimentul care se realizează atunci când se realizează A, dar nu se produce B.
Notaţie: BA \ .
Proprietăţi:
1. ( ) AA =∅=ΩΩ=∅ ,, ;
2. ,Ω=AA ∪
3. ,∅=AA∩
2. ABBA ⊂⇒⊂ ;
3. Legile lui De Morgan
a). BABA ∩∪ = ;
b). BABA ∪∩ = .
Definiţie 15. Fie date două evenimente A şi B se numeşte diferenţa simetrică
dintre A şi B evenimentul notat ( ) ( )ABBABA \\ ∪=Δ .
Definiţie 16. Spunem că F ( )Ω⊂ P este un spaţiu de evenimente dacă
a) ∈A F atunci ∈A F,
b) ∈A F şi ∈B F atunci ∈BA∪ F şi ∈BA∩ F.
Proprietate: Un spaţiu de evenimente are următoarele proprietăţi:
1. ∈∅ F;
2. Dacă ∈A F, ∈B F şi BA⊂ atunci ∈− AB F;
3. Dacă ∈iA F, Ni∈ atunci:
∪n
iiA
1=
∈ F şi ∩n
iiA
1=
∈ F.
Definiţie 17. Fie spaţiul de evenimente F, o mulţime de evenimente NiAi ∈Ω∈ ,
formează un sistem complet de evenimente dacă sunt îndeplinite următoarele
condiţii:
(i). ∪n
iiA
1=
Ω= reuniunea tuturor evenimentelor dă evenimentul sigur;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
91
(ii). njijiAA ji ,...,2,1,,, =≠∅=∩ - evenimentele sunt incompatibile două câte
două.
4.3. Probabilităţi
Fiind dat un spaţiu de evenimente F se pune problema de a caracteriza
printr-un număr cuprins între 0 şi 1 şansa de apariţie a fiecărui eveniment. Se
poate spune că probabilitatea de apariţie a fiecărui eveniment este o expresie
cuantificată a previziunii de a se produce acel eveniment.
Definiţia statistică a probabilităţii
Fie A un eveniment asociat unui experiment E. Presupunem că
experimentul E a fost repetat de n ori şi că evenimentul A s-a realizat de An ori.
Numărul An se numeşte frecvenţa absolută de apariţie a evenimentului A.
Numărul
( )n
nAf An =
se numeşte frecvenţa relativă a evenimentului A în seria de repetări a
experimentului.
Observaţie: S-a constatat că dacă numărul de repetări a experimentului
creşte, numărul de apariţii a evenimentului A se grupează în jurul valorii ( )Afn
care dă probabilitatea de producere a evenimentului A.
EXEMPLU:
Se aruncă o monedă de 200 de ori şi se urmăreşte evenimentul apariţiei
feţei cu stemă. Presupunem că evenimentul a apărut de 75 de ori. Numărul
( )83
4015
20075
200 ===Af reprezintă frecvenţa relativă a evenimentului A.
Definiţie 18. Se numeşte probabilitatea evenimentului A numărul
( ) ( ) ( ) 1,lim >>≈=∞→
nAfAfAP nnn
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
92
care indică frecvenţa relativă de apariţie a evenimentului A într-o serie de n
repetiţii ale experimentului.
Definiţia clasică a probabilităţii
Această definiţie a probabilităţii este utilă pentru că este intuitivă şi poate
fi aplicată într-o clasă destul de largă de evenimente.
Presupunem ca numarul de cazuri posibile este finit si evenimentele
elementare sunt echiprobabile (au aceeasi probabilitate). In acest caz putem da
urmatoarea definitie.
Definiţie 19. Se numeşte probabilitatea evenimentului A, numărul P(A) care se
calculează ca raportul între numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului
şi numărul de cazuri posibile a apărea în urma efectuării experimentului.
( )posibilecazuridenr
favorabilecazuridenrNnAP
..
==
EXEMPLU: Fie o urnă U ce conţine 10 bile roşii şi 20 bile albastre. Din urnă se
extrage o bilă. Care este probabilitatea să obţinem o bilă albastră?
Notăm cu A evenimentul să obţinem o bilă albastră din extragere.
Numărul de cazuri favorabile evenimentului A este n = 20; numărul de cazuri
posibile N = 30.
Probabilitatea să obţinem o bilă albastră se calculează:
( ) %6666.032
3020
≈====NnAP
Definiţia axiomatică a probabilităţii
Funcţia de probabilitate cuantifică şansa de realizare a fiecărui eveniment
dintr-un experiment efectuat. În anul 1931 Kolmogorov10 a pus bazele axiomatice
ale teoriei probabilităţilor.
Definiţie 20. Se numeşte probabilitate pe spaţiul de evenimente F ( )Ω⊆ P o
funcţie [ ]1,0: →FP ce asociază fiecărui eveniment ( )Ω∈PA un număr real P(A)
cu proprietăţile: 10 Andrei Nikolaevici Kolmogorov (1903 ‐ 1987) ‐ matematician rus.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
93
1. ( ) 1=ΩP ;
2. ( ) ( )APcAP −=1 ; oricare ∈A F;
3. În cazul în care spaţiul de evenimente Ω este infinit
( ) ( ) ( ) ( )nn APAPAPAAAP +++=∪∪∪ 2121 ,
oricare nAAA ,,, 21 evenimente incompatibile.
Observaţie;
1). Din prima relaţie probabilitatea evenimentului sigur este egală cu 1;
2). Din a doua relaţie probabilitatea reuniunii a mai multor evenimente
incompatibile este egal cu suma probabilitaţilor acelor evenimente.
Proprietăţi: Dacă P este o probabilitate ( ) [ ]1,0: →ΩPP atunci are loc
1). ( ) 0=∅P ;
2). Oricare ∅=∩∈ BAFBA ,, , are loc :
( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ ;
3). ( ) ( ) ( ) ∈∀−= BABAPBPABP ,,\ ∩ F;
4). ( ) ( ) ( ) BAAPBPABP ⊂−= ,\ ;
5). ( ) ( )BPAP ≤ dacă ∈⊆ BABA ,, F regulă de monotonie
6). ( ) ( ) ( ) ( ) ∈∀−+= BABAPBPAPBAP ,,∩∪ F regulă de adunare pentru
evenimente nu neaparat incompatibile;
7). ( ) ( ) ( ) ( )
( ) niPA
AAAPAAPAPAP
i
jin
nji
n
ii
n
ii
,,1,
,1 211
11
∩∩∩∩∪=Ω∈∀
−++−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑∑<
+
==
Probabilităţi condiţionate
Există multe probleme în care evenimentul A urmărit este condiţionat de
realizarea unui alt eveniment B. Datorită acestui fapt probabilitatea evenimentului
A se va calcula în ipoteza că evenimentul B s-a realizat. Această probabilitate se
numeşte probabilitatea lui A condiţionată de evenimentul B şi se notează ( )APB .
Definiţie 21. Fie spaţiul F cu n evenimente elementare şi evenimentele BA∩ şi B
venimente elementare. În ipoteza că evenimentul B are loc si respecta ( ) 0>BP ,
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
94
se numeşte probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B
expresia:
( ) ( )( )BP
BAPAPB∩
= .
Observaţie: Formula a fost propusă de Moivre11 (1718). Se poate defini analog
daca A respecta ( ) 0>AP
( ) ( )( )AP
BAPBPA∩
= .
Vom obţinem din cele două relaţii formula care leagă probabilităţile
condiţionate reciproc de două evenimente:
( ) ( ) ( )APBPBAP B⋅=∩
şi
( ) ( ) ( )BPAPBAP A⋅=∩ .
Adică:
( ) ( ) ( ) ( )APBPBPAP BA ⋅=⋅ .
EXEMPLU: Analizăm defectele unor mere dintr-un lot cules de studenţi. A este
evenimentul ca un măr este mic, B este evenimentul ca mărul analizat este stricat.
Probabilitatea ca un măr ales să fie mic este ( )AP = 0,2 şi probabilitatea ca un
măr ales sa fie stricat stiind ca este mict este ( )BPA =0,3. Care este probabilitatea
ca mărul ales să fie şi mic şi stricat.
( ) ( ) ( ) 06,03,02,0 =⋅=⋅= BPAPBAP A∩ .
Evenimente independente
Definiţie 22. Se spune că A şi B sunt evenimente independente dacă
( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ .
11 Abraham de Moivre (1667 ‐ 1754) ‐ matematician francez.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
95
Dacă ∅≠BA∩ atunci ( ) ( )BPBPA = (şansa de realizare a lui B nu este influenţată
de şansa de realizare a lui A) şi ( ) ( )APAPB = (şansa de realizare a lui A nu este
influenţată de şansa de realizare a lui B).
Definiţie 23. Se spune că evenimentele A1, A2, … An sunt independente dacă
probabilitatea intersecţiei oricărora dintre ele este egală cu produsul
probabilităţilor evenimentelor respective.
( ) ( ) ( ) ( )imiiimii APAPAPAAAP ⋅⋅⋅=∩∩∩ 2121 .
Formule pentru calcularea unor probabilităţi
Definiţie 24. Fie spaţiu de evenimente F şi A1, A2, … An un sistem complet de
evenimente, ( ) 0≠iAP . Atunci probabilitatea oricărui eveniment A din F se
determină cu formula:
( ) ( ) ( ) ⋅⋅=∑=
n
iAi APAPAP
i1
Adică ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )APAPAPAPAPAPAPnAnAA ⋅++⋅+⋅=
21 21 se numeşte fomula
probabilităţii totale.
Definiţie 25. Fie A1, A2, … An un sistem complet de evenimente, ( ) 0≠iAP şi B un
eveniment oarecare. Presupunem că evenimentul B s-a realizat în acest caz care
este probabilitatea ca realizarea lui B să se datoreze cauzei Ai:
Formula lui Bayes12:
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑=
⋅
⋅= n
iAi
AiiB
BPAP
BPAPAP
i
i
1
.
Definiţie 26. Fie A1, A2, … An un sistem de evenimente care nu sunt independente.
Are loc inegalitatea
( ) ( )∑=
−≥n
iin APAAAP
121 1∩∩∩ .
12 Thomas Bayes (1701 ‐ 1761) ‐ matematician englez, a fost preot presbiterian.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
96
sau ( ) ( )∑=
+−≥n
iin nAPAAAP
121 1∩∩∩ (Inegalitatea lui Boole13).
EXEMPLU:
Doi sportivi aruncă independent aceeaşi greutate şi doresc să depăşească distanţa
de 10 metri. Probabilitatea ca primul să depăşească distanţa este 1/3, iar
probabilitatea ca al doilea să depăşească distanţa este 3/5. Cei doi sportivi au câte
o încercare. Să se calculeze probabilitatea ca limita să fie depăşită de:
1. cel puţin unul din sportivi;
2. ambii sportivi;
3. doar primul sportiv.
Care este probabilitatea ca nici un sportiv să nu depăşească distanţa propusă?
Rezolvare:
Vom considera evenimentele următoare:
A - evenimentul ca primul sportiv să depăşească distanţa;
B - evenimentul ca al doilea sportiv să depăşească distanţa;
( ) ( ) ( ) ( )52,
53,
32,
31
==== BPBPAPAP .
1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1511
52
31
53
31
53
31
=+=⋅−+=⋅−+=∪ BPAPBPAPBAP .
2. ( ) ( ) ( )51
53
31
=⋅=⋅=∩ BPAPBAP .
3. ( ) ( ) ( )152
52
31
=⋅=⋅=∩ BPAPBAP .
( ) ( ) ( )154
52
32
=⋅=⋅=∩ BPAPBAP .
Exerciţii
1. Un elev face parte dintr-o clasă de 25 elevi. El este elev în clasa I unde
sunt 82 elevi. Şcoala are în total 567 elevi. Elevul se întâlneşte în curtea şcolii cu
un coleg. Care este probabilitatea a) să fie coleg de clasă, b) să fie tot în clasa I.
2. O urnă conţine bile de trei culori. 3 albe, 4 negre şi 5 albastre. Din urnă
13 George Boole (1815 ‐ 1864) ‐ matematician, logician şi filozof englez, creatorul logicii matematicii moderne şi a algebrelor booleene.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
97
se extrage o bilă. Care este probabilitatea ca bila să fie albastră? Dar să fie neagră?
3. Doi arcaşi trag în aceeaşi ţintă. Probabilitatea ca primul să lovească ţinta
este 1/4, iar probabilitatea ca al doilea să lovească ţinta este 1/2. Cei doi sportivi
au câte o încercare. Să se calculeze probabilitatea ca ţinta să fie lovită de:
1. cel puţin unul dintre arcaşi;
2. ambii arcaşi;
3. numai primul arcaş.
Care este probabilitatea ca nici un arcaş să nu atingă ţinta?
4.4. Scheme probabilistice clasice
Extragerea aleatoare dintr-o populaţie este un procedeu de a alege la
întâmplare un element şi se poate face în mod repetat.
Există două moduri prin care se poate face extragerea respectivă şi anume:
cu revenire - elementul extras este repus în populaţie înainte de următoarea
extragere şi fără revenire - elementul extras este eliminat din mulţime după
extragere.
SCHEMA POISSON14
Se consideră un experiment E si n efectuari independente a experimentului
E1, E2, … En.
Fie A1, A2, … An evenimente asociate experimentelor E1, E2, … En , având
probabilităţi de realizare:
,)(,,)(,)( 2211 nn pAPpAPpAP === …
nnn qpAPqpAPqpAP =−==−==−= 1)(,,1)(,1)( 222111 … .
Să se determine probabilitatea ca la o efectuare a experimentului E să se
realizeze evenimentul A care constă în realizarea exact a k ( nk ≤≤0 ) din
evenimentele A1, A2, … An .
Probabilitatea căutată este:
14 Simeon Denis Poisson (1781 ‐ 1840) ‐ matematician, fizician, astronom francez; în memoria sa numele i‐a fost scris pe Turnul Eiffel.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
98
( ) ( ) ( )nnk qxpqxpqxpadezvoltaredinxluiulcoeficientAP +++= 2211)( .
EXEMPLU:
Se dau 3 urne U1 ce conţine 2 bile albe si 3 bile negre, U2 ce conţine 4 bile
albe si 1 bilă neagră, U3 ce conţine 3 bile albe si 2 bile negre. Din fiecare urnă se
extrage câte o bilă.
Care este probabilitatea ca 2 bile să fie albe şi una neagră?
Rezolvare:
Evenimentul A1 - bila extrasă din prima urnă să fie albă,
Evenimentul A2 - bila extrasă din a doua urnă să fie albă,
Evenimentul A3 - bila extrasă din a treia urnă să fie albă,
n = 3, k = 2,
Conform definiţiei probabilitatea căutată este coeficientul lui x2 din
polinomul ( ) ( ) ( )332211 qxpqxpqxp +++ ,
,52
531,
53)(
,51
541,
54)(
,53
521,
52)(
333
222
111
=−===
=−===
=−===
qAPp
qAPp
qAPp
de unde rezultă că
( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+++
52
53
51
54
53
52
332211 xxxqxpqxpqxp =
( ) ( ) ( ) ( )6375824125
1231432125
1 23 +++=+++= xxxxxx .
Deci probabilitatea cătată este .464.012558)( ==AP
SCHEMA BINOMIALĂ
Această schemă este un caz particular al schemei Poisson.
Se consideră o urnă U care conţine a bile albe şi b bile negre. Din această urnă se
fac n extrageri cu repunerea bilei extrase in urna dupa extragere. Care este
probabilitatea sa obtinem k bile albe?
Alegem A evenimentul sa obtinem k bile albe. Probabilitatea evenimentului A se
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
99
calculeaza dupa formula:
( ) knkkn qpCAP −⋅⋅= .
unde p este probabilitatea evenimentului sa extragem o bila alba la prima
incercare iar q este probabilitatea evenimentului sa extragem o bila neagra.
Exemple: extragerea dintr-o urnă a unei bile cu repunere, aruncarea repetată a
unui zar sau aruncarea repetată a unei monede (toate aruncările se produc în
aceleaşi condiţii).
EXEMPLU:
Se consideră o urnă care conţine 15 bile albe şi 10 bile negre. Din această
urnă se fac 5 extrageri punându-se de fiecare dată bila extrasă înapoi.
Care este probabilitatea ca din 5 extrageri să obţinem 2 bile albe?
Rezolvare:
Evenimentul A – evenimentul ca din 5 extrageri să obţinem 2 bile albe, knkk
n qpCAP −⋅⋅=)( . Scriem n = 5, k = 2,
Numărul de bile albe a = 15, bile negre b = 10,
52
2510,
53
2515
==+
===+
=ba
bqba
ap .
Deci:
( ) %04.232304.0625144
258
259
!25!2!5
52
53)(
3225 ≈==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
−⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅= CAP .
SCHEMA HIPERGEOMETRICĂ
Se consideră o urnă U care conţine a bile albe şi b bile negre. Din această
urnă se fac n extrageri fără a pune bila extrasă înapoi în urnă.
Să se determine probabilitatea evenimentului A care constă în extragerea a
k ( nk ≤≤0 ) bile albe.
nba
knb
ka
CCCAP+
−⋅=)( .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
100
EXEMPLU:
Se consideră o urnă care conţine 5 bile albe si 5 bile negre. Din această
urnă se extrag 3 bile fără a le pune înapoi.
a). Care este probabilitatea extrageri a 3 bile albe?
b). Dar probabilitatea obţinerii a 2 bile albe şi o bilă neagră?
Rezolvare:
a) Evenimentul E1 – evenimentul ca din 3 extrageri să obţinem 3 bile albe,
nba
knb
ka
CCCEP+
−⋅=)( 1
a = 5, b = 5, a + b = 10,
n = 3, k = 3,
%3,8083,0121)( 3
10
05
35
1 ≈==⋅
=⋅
=+
−
CCC
CCCEP n
ba
knb
ka
b) Evenimentul E2 – evenimentul ca din 3 extrageri să obţinem 2 bile albe si o bilă
neagră,
nba
knb
ka
CCCEP+
−⋅=)( 2
a = 5, b = 5, a + b = 10
n = 3, k = 2,
%.6,41416,0125)( 3
10
15
35
2 ≈==⋅
=⋅
=+
−
CCC
CCCEP n
ba
knb
ka
SCHEMA HIPERGEOMETRICĂ GENERALIZATĂ
O urnă U conţine mi bile de culori ci, i=1, 2, ...p. Din această urnă se
extrag fără repunere n bile.
Probabilitatea ca dintre cele n bile extrase ki să fie de culoarea ci este dată
de formula:
kpkkmpmm
kpmp
km
kmkpk
mpm CCCC
AP +++++
⋅⋅⋅= 21
21
22
11....1
...1 )(
unde k1+k2+ ... +kp = n.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
101
EXEMPLU:
Se consideră o urnă care conţine 3 bile roşii, 2 bile albastre, 4 bile verzi şi
2 bile albe. Din această urnă se extrag 3 bile fără repunere. Care este
probabilitatea ca să obţinem o bilă roşie şi două verzi.
Rezolvare:
Evenimentul A – evenimentul ca din 3 extrageri să obţinem o bilă roşie şi două
verzi.
109.0556)( 3
11
24
13
02012423
02
24
02
130201
2423 ==⋅
=⋅⋅⋅
= ++++++ C
CCC
CCCCAP .
Tehnicile de numărare (permutări, aranjamente şi combinări) se vor
aminti la seminar, dar ele trebuie pregătite individual de fiecare student deoarece
au fost în progama analitică a clasei a X-a.
Amintim următoarele formule importante:
( ) ( ) ,!!
!!
,!
!,!321knk
nkAC
knnAnnP
knk
nknn −⋅
==−
==⋅⋅⋅⋅= … unde kn ≥ .
Exerciţii
1. Se aruncă o monedă de 15 ori. Se cere probabilitatea de a obţine de 3 ori
stema. (Indicaţie: se foloseşte schema binomială)
2. Într-o fabrică sunt 3 strunguri. Primul dă 1,3% rebuturi, al doilea 0,8%
şi al treilea 1%. Dacă luăm la întâmplare o piesă de la fiecare strung care este
probabilitatea ca două din piesele alese să fie bune şi una să fie rebut? (Indicaţie:
schema Poisson)
3. O urnă conţine 40 bile numerotate cu 1, 2, 3, … 40. Se extrag simultan
12 bile. Care este probabilitatea să obţinem 5 dintre numele 5, 13, 18, 24, 29, 30?
(Indicaţie: schema bilei neîntoarse).
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
102
4.5. Variabile aleatoare
Fie F mulţimea a Ai evenimente elementare ale unei experienţe (fiecare
eveniment iA se realizează printr-o probă şi numai una i = 1, 2, ... n). Fiecărui
eveniment elementar iA i se ataşează un număr real ix , deci experienţei i se
ataşează o mulţime de numere reale, fiecare număr având o anumită probabilitate
pi şi anume probabilitatea evenimentului elementar căruia îi corespunde.
Definiţie 26. O functie care ia valori dintr-o multime data si fiecarei valori fiindu-
i atasata probabilitatea cu care ia valoarea respectiva se numeşte variabilă
aleatoare.
Notaţie: RX →F:
Definiţie 27. Numim variabilă aleatoare discretă variabila aleatoare pentru care
mulţimea valorilor este un număr finit (experiment în care "numărăm": Numărul
fructelor stricate dintr-un lot; numărul studenţilor ce au trecut un examen).
Definiţie 28. Numim variabilă aleatoare continuă variabila aleatoare pentru care
mulţimea valorilor este un interval finit sau infinit (experiment în care "măsurăm":
timpul de aşteptare a unui student să intre la un examen etc).
Fie X o variabilă aleatoare şi valorile nxxx ,,, 21 ce apar cu probabilitatile
ip , i=1, 2, .., n. Spunem că ip este probabilitatea cu care variabila aleatoare X
ia valoarea ix .
Notaţie: ( ) ( ) ( );,;; 2211 nn xXPpxXPpxXPp ====== .
Schematic variabila aleatoare X se notează astfel:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
n
n
ppxx
X……
1
1: sau nipx
Xi
i ,1,: =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ .
Observaţii
1. Valorile xi se scriu în ordine crescătoare;
2. Scrierea de mai sus poartă denumirea de tablou de repartitie a variabilei
aleatoare X.
Putem să notăm variabila aleatoare şi în forma: ( )ii pxX , .
3. Suma tuturor probabilităţilor corespunzătoare X este egală cu 1.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
103
( ) { }( ) ( ) 1,,,1
211
=Ω=∈===∑∑==
PxxxXPxXPpn
ini
n
ii .
EXEMPLU 1:
Considerăm următorul experiment: se aruncă un zar. Să se găsească variabila
aleatoare X atasata experimentului.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
61
61
61
61
61
61
654321:X .
Se verifică uşor că ∑=
=n
iip
1
1 adică
161
61
61
61
61
61
654321 =+++++=+++++ pppppp .
EXEMPLU 2:
Un tratament împotriva obezităţii urmat timp de o săptămână, conduce cu
probabilitatea p = 0,75 la scăderea cu un kilogram a greutăţii corporale, ceea ce
înseamnă că tratamentul a avut succes. In celelalte cazuri nu se observa
modificari. Presupunem ca 4 pacienţi urmează acest tratament. Variabila
aleatoareatasata experimentului pentru care tratamentul a avut succes este de tip
binomial. Să se scrie tabloul de repartiţie al lui X.
Pornim de la faptul că variabila aleatoare este de tip binomial. De aici
rezultă că
43
1007575,0 ===p de unde
41
4311 =−=−= pq .
Variabila aleatoare notată X are următoarea formă:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
43210
43210:
pppppX
unde ( ) knkkn qpCkXP −⋅⋅== .
Pentru a completa variabila aleatoare prezentăm ce rezultate pot sa apară la
cei 4 pacienţi:
Probabilitatea ca pentru nici un pacient tratamentul să nu aibă rezultate:
( )2561
41
430
04004
0000 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⋅⋅===
−− CqpCXPp n
n = 0.0039;
Probabilitatea ca numai pentru un singur pacient să aibă rezultat:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
104
( )643
41
431
3114
1111 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n
n = 0.0468;
Probabilitatea ca tratamentul să aibă rezultat pentru 2 pacienţi:
( )12827
41
432
2224
2222 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n
n = 0.2109;
Probabilitatea ca tratamentul să aibă rezultat pentru 3 pacienţi:
( )6427
41
433
1334
3333 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n
n = 0.42187;
Probabilitatea ca toţi cei 4 pacienţi să răspundă pozitiv la tratament.
( )25681
41
434
0444
4444 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⋅⋅=== − CqpCXPp n
n = 0.3164.
De unde obţinem variabila aleatoare cerută în problemă:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
25681
6427
12827
643
2561
43210:X .
Verificare: 125681
6427
12827
643
2561
=++++ .
4.5.1. Operaţii cu variabile aleatoare
În cele ce urmează vom presupune că variabilele aleatoare X şi Y au
următoarele tablouri de distribuţie:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ni
ni
pppxxx
X1
1: şi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
mj
mi
qqqyyy
Y1
1: .
a) Adunarea variabilelor aleatoare
Variabila aleatoare X + Y are tabloul de distribuţie
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++++
nmij
mnji
ppppyxyxyxyx
YX…………
1211
2111: .
unde ( ) ( ) ( )[ ]jijiij yYxXPyxYXPp ===+=+= ∩ şi ∑∑= =
=n
i
m
jijp
1 1
1 .
In urma calculelor valorile se aseaza in ordine crescatoare iar daca exista
valori ce se repeta atunci valoarea va fi scrisa o singură dată iar probabilităţile
valorilor identice se vor aduna.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
105
Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci
( ) ( ) ( ) jijijiij qpyYPxXPyxYXPp ⋅==⋅==+=+= , Ceea ce conduce la scrierea:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+
+ji
ji
qpyx
YX : .
Variabila aleatoare X + Y se numeşte suma variabilelor aleatoare X şi Y.
În cazul în care Y = a constantă se obţine suma dintre o constanta şi o
variabilă aleatoare şi avem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +++++
ni
ni
ppppaxaxaxax
aX…………
21
21: .
b) Înmulţirea variabilelor aleatoare
Variabila aleatoare X Y are tabloul de distribuţie
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
nmij
mnji
ppppyxyxyxyx
YX…………
1211
2111:
unde ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) jijijijiij qpyYPxXPyYxXPyxYXPp ⋅==⋅=====⋅=⋅= ∩ şi
∑∑= =
=n
i
m
jijp
1 1
1 .
Variabila aleatoare X Y se numeşte produsul variabilelor aleatoare X şi Y.
În cazul în care Y = a constanta iar 0≠a se obţine produsul dintre o
constanta şi o variabilă aleatoare şi avem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ni
ni
ppppxaxaxaax
Xa…………
21
21: .
In urma calculelor valorile se aseaza in ordine crescatoare iar daca exista
valori ce se repeta atunci valoarea va fi scrisa o singura data iar probabilitatile
celor doua valori identice se vor aduna.
c). Ridicare la putere a unei variabile aleatoare:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ni
nn
ni
nnn
ppppxxxxX
…………
21
21: .
( ) ( ) 111 pxXPxXP nn ==== ,
( ) ( ) 222 pxXPxXP nn ==== ,
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
106
( ) ( ) iin
in pxXPxXP ==== ,
( ) ( ) nnn
nn pxXPxXP ==== .
EXEMPLU:
Fie următoarele două variabile aleatoare:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
105
103
102
420:X şi
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
107
103
21:Y .
Să se calculeze: ( ) XX ⋅−+ 4,2 , X3, X+Y, X Y.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ++++
105
103
102
642
105
103
102
422202:2 X ,
( ) ( )102022 ====+ XPXP ,
( ) ( )103242 ====+ XPXP ,
( ) ( )105462 ====+ XPXP .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅−⋅−⋅−⋅−
105
103
102
1680
105
103
102
442404:4 X ,
( ) ( )102004 ====⋅− XPXP ,
( ) ( )103284 ===−=⋅− XPXP ,
( ) ( )1054164 ===−=⋅− XPXP .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=+
107
103
21
105
103
102
420YX =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++++++
107
105
103
105
107
103
103
103
107
102
103
102
241422122010=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10035
10015
10021
1009
10014
1006
654321.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=⋅
107
103
21
105
103
102
420YX =
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
107
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
107
105
103
105
107
103
103
103
107
102
103
102
241422122010=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10035
10036
1009
10020
8420.
4.5.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare
În practică apare nevoia de a determina probabiliatea ca o variabilă
aleatoare să ia o valoare mai mică decât o valoare reală. Pentru a descrie acest
lucru vom defini în continuare funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare.
Definiţie 29. Fie RX →Ω: o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţie de
repartiţie a variabilei aleatoare X, notată XF , o funcţie RRFX →: cu
proprietatea că:
( ) ( )xXPxFX <= .
Observaţie: 1. Dacă variabila aleatoare este o constantă ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
:a
X atunci funcţia de
repartiţie este definită în modul următor:
( )⎩⎨⎧
>≤
=axax
xFX ,1,0
.
Fig. 3. - Reprezentare grafică a funcţiei de repartiţie
Dacă variabila aleatoare are tabloul de distribuţie: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pq
X A10
: , unde
( ){ }pAPXA === /1 . Funcţia de repartiţie este definită astfel:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
108
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>≤<
≤=
.1,1,10,
,0,0
xxq
xxFX
3. După cum am definit funcţia de repartiţie putem deduce în continuare
probabilitatea ca variabila X să ia valori într-un anumit interval (a, b].
( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<≤ .
Pentru aceasta pornim de la faptul că intervalele ( ) ( )bXaaX <≤< ; sunt disjuncte,
iar reuniunea lor dau intervalul ( )bX < :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bXaPaFbXaPaXPbXPbFdefinitie
<≤+=<≤+<=<= de unde rezultă
imediat
( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<≤ .
EXEMPLU 1:
Fie variabila aleatoare X:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ni
ni
ppppxxxx
X21
21: .
Funcţia de repartiţie pentru această variabilă aleatoare se determină astfel:
( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
<++++≤<+++
≤<+≤<
≤
=
−
−−
.,,,
,,,,
,,0
121
1121
3221
211
1
xxppppxxxppp
xxxppxxxp
xx
xF
nnn
nnn
X
EXEMPLU 2:
Se consideră variabila aleatoare X reprezentând rezultatul aruncării unui zar.
Tabloul de repartiţie va fi:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
61
61
61
61
61
61
654321:X .
Această variabilă aleatoare are funţia de repartiţie
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
109
Fig. 4. - Reprezentare grafică a funcţiei de repartiţie
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤<
≤<
≤<
≤<
≤
=
.6,1
,65,65
,54,64
,43,63
,32,62
,21,61
,1,0
x
x
x
x
x
x
x
xFX
Proprietăţi:
P1. Funcţia de repartiţie F este crescătoare;
P2. ( ) ( ) 0lim ==∞−−∞→
xFFx
;
( ) ( ) 1lim ==∞+∞→
xFFx
;
P3. Funcţia de repartiţie F este continuă la stânga, adică
( ) ( ) RxxFxF ∈∀=− ,0 ;
P4. Fie X o variabilă aleatoare şi ( )xF funcţia de repartiţie. Atunci au loc:
( ) ( ) ( ) ( )bXPaFbFbXaP =+−=≤≤ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )bXPaXPaFbFbXaP =+=−−=≤< .
( ) ( ) ( ) ( )aXPaFbFbXaP =−−=<< .
Demonstraţie:
2. ( ) ( ) ( ) ( ) 0lim =∅=−∞<==∞−−∞→
PXPxFFx
,
( ) ( ) ( ) ( ) 1lim =Ω=+∞<==∞+∞→
PXPxFFx
.
Observaţie:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
110
1. Pentru o variabilă aleatoare discretă X ce ia valorile ,...,, 321 xxx cu
probabilităţile ,...,, 321 ppp se defineşte funcţia de densitate de repartiţie prin:
( )⎩⎨⎧ =
=.,0
,,restin
xxdacapxf ii
Astfel funcţia de distribuţie poate fi determinată în modul următor:
( ) ( ) ∑∑≤≤
==xx
ixx
iii
pxfxF .
Definiţie 30. Fie F funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare X. Se numeşte
densitate de repartiţie (densitate de probabilitate) a variabilei aleatoare X orice
funcţie +→ RRf : integrabilă pe R cu probabilitatea ( ) ( )∫∞−
=x
dttfxF .
Deoarece funcţia de densitate este continuă cu excepţia eventual a unui
număr finit de puncte de discontinuitate de specia întâi vom spune că variabila
aleatoare este de tip continuu. Mai mult ea este şi derivabilă şi conform definiţiei
30 obţinem prin derivare în raport cu x:
( ) ( )xfxF =' . Rx∈∀
Această relaţie ne permite să cunoaştem funcţia densitate de repartiţie f
când cunoaştem funcţia de repartiţie F.
Proprietăţi: Dacă X este variabilă aleatoare continuă cu funcţia densitate de
reparţie f şi funcţia de repartiţie F atunci au loc proprietăţile:
1. Dacă RI ⊆ :
( ) ( )∫=∈I
dttfIXP ;
2. Dacă ( ]baI ,= :
( ) ( ) ( ) ( )∫=−=<≤b
a
dttfaFbFbXaP ;
3. Dacă I este R:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
111
( ) ( ) ( ) 1=Ω=+∞<<∞−=∫+∞
∞−
PXPdttf .
4. Pentru variabile aleatoare continue are loc:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∈−==<<=
=<≤=≤<=≤≤b
a
RbaoricareaFbFdttfbXaP
bXaPbXaPbXaP
.,,
EXEMPLU:
Se consideră variabila aleatoare continuă X având funcţia densitate de repartiţie:
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.3,1
,31,4
,1,0
x
xxx
xf
Să se determine funcţia de distribuţie F şi să se calculeze ( )31 <≤ XP .
Rezolvare: Folosind definiţia calculăm:
Pentru intervalul 1≤x , ( ) ( ) 00 === ∫∫∞−∞−
xx
dtdttfxF ,
Pentru intervalul 31 ≤< x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )181
41 2
11
1
−==+== ∫∫∫∫∞−∞−
xdttdttfdttfdttfxFxxx
.
Pentru intervalul 3>x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11981
41 3
1
3
1
1
=−==+== ∫∫∫∫∞−∞−
dttdttfdttfdttfxFx
.
Am obţinut ( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
.3,1
,31,181
,1,0
2
x
xx
x
xF
Vom calcula ( ) ( ) 14131
3
1
3
1
===<≤ ∫∫ dttdttfXP
sau folosim definiţia funcţiei F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 108811
8119
811331 =+=−−−=−=<≤ FFXP .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
112
4.5.3 Valori tipice ale unei variabile aleatoare
Analiza unui fenomen sau experiment se realizează cu dificultate pe baza
analizei valorilor sau a probabilităţilor de apariţie. De aici apare necesitatea
utilizării a unor valori standard ale unei variabile aleatoare numite în continuare
valori tipice.
I. Caracteristici numerice ce exprimă tendinţa centrală a valorilor unei
variabile aleatoare.
a) Media
Definiţie 31. Fie X o variabilă aleatoare discretă având tabelul de repartiţie:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
px
X : , i= 1,n. Se numeşte media variabilei aleatoare discrete numărul
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=n
iiinn xfxxfxxfxxfxXM
12211 .
Dacă se ţine seama de definiţia funcţiei densitate de probabilitate f atunci
media variabile se poate calcula după formula:
( ) ∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=n
iiinn pxpxpxpxXM
12211 .
Observaţie: Media se notează ( )Xμμ şi caracterizează tendinţa centrală a
valorilor variabilei aleatoare.
Definiţie 32. Fie X o variabilă aleatoare continuă. Se numeşte media variabilei
aleatoare continue (dacă există):
( ) ( )∫ ⋅=R
dxxfxXM .
Proprietăţi: Fie Ra∈ , X şi Y două variabile aleatoare:
1. ( ) ,aaM =
2. ( ) ( ),XMaXaM =
3. ( ) ( ) ( ),YMXMYXM +=+
4. ( ) ( ) ,aXMaXM +=+
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
113
5. ( ) ( ) ( ),YMXMYXM = X şi Y variabile aleatoare independente.
Demonstraţie:
1. a constantă ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛1
:a
a conform definiţiei ( ) aaaM =⋅= 1 ;
2. ( ) ( )XMapxapxaaXMn
iii
n
iii ⋅=⋅⋅=⋅⋅= ∑∑
== 11
;
3. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
i
i
px
X : şi ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
j
j
qy
Y : şi conform definiţiei ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+
+ji
ji
qpyx
YX :
( ) ( ) =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=+ ∑∑∑∑∑∑= == == =
n
i
m
jjij
n
i
m
jjii
n
ij
m
jiji qpyqpxqpyxYXM
1 11 11 1
( ) ( ) ( ) ( )YMXMqypqpxm
jjj
n
ii
m
jj
n
iii +=⋅+⋅⋅= ∑∑∑∑
==== 1111
, deoarece
∑=
=n
iip
1
1 şi ∑=
=m
jjq
1
1.
4. demonstraţie este imediată deoarece alegem la relaţia anterioară
variabila aleatoare Y constantă.
5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YMXMqypxqpyxYXMm
jjj
n
iii
n
ij
m
jiji ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ ∑∑∑∑
=== = 111 1
.
Exemple:
Observaţii: Media unei variabile aleatoare discrete X are următoarea
interpretare: ( )XM este valoarea în jurul căreia se grupează valorile variabilei
aleatoare X.
b) Mediana
Definiţie 33. Mediana unei variabile aleatoare discrete este o valoare
numerică, notată ( )XM e , care împarte valorile variabilei X în două grupe de
probabilităţi egale:
( )( ) ( )( )21
=≥=< XMXPXMXP ee .
Pentru a determina mediana unei variabile aleatoare continue folosim funcţia
de repartiţie ( ) ( )xXPxF <= . Proprietatea din definiţia anterioară se scrie
( )( ) ( )( )XMXPXMXP ee ≥=<
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
114
Dar ( )( ) ( )( )XMFXMXP e
definitie
e =<
( )( ) ( )( )XMFXMXP e
definitie
e −=≥ 1 de unde obţinem:
( )( ) ( )( )XMFXMF ee −=1 şi de aici ( )( )21
=XMF e .
Pentru variabilă aleatoare continua X relaţia ( )21
=xF conduce la
( )21
=∫Me
a
dxxf .
Având în vedere că funcţia F este continuă şi crescătoare rezultă o soluţie unică.
EXEMPLU: Fie variabila aleatoare continua X cu ( ) [ ]2,1,8
12∈
+= xxxf . relaţia
( )21
=xF conduce la
( ) ( )2112
81
812
11
=+=+
= ∫∫xx
dttdttxF
de unde:
( ) [ ] [ ] ( ) 22,12;2,1306212
81
2122 =⇒∈=∉−=⇒=−+⇒=−+ XMxxxxxx e .
c. Cuantile (de ordin n)
Alte valori ce analizează gruparea valorilor sunt cuantilele de ordin n. Ele sunt
valori ale unei variabile aleatoare care împart repartiţia în n părţi egale. Trebuie
iniţial ca valorile să fie ordonate crescător. În funcţie de valorile lui n identificăm
mai multe cazuri:
n = 4, atunci vorbim despre cuartile, în număr de 3: prima 0.25x sau Q1 -
cuartila inferioară, 0.50x sau Q2 este chiar mediana, 0.75x sau Q3 cuartila
superioară iar diferenţa Q3 - Q1 reprezintă intervalul intercuartilic.
n = 10, atunci vorbim despre decile (în număr de 9);
n = 100, atunci vorbim despre percentile (în număr de 99).
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
115
d) Valoarea modală
Valoarea modală sau dominantă este valoarea variabilei X cu funcţie
densitate de repartiţie ( )ixf care are probabilitatea cea mai mare de apariţie.
Notaţia este ( )XM 0 .
( ) ( )iikk xfppundexXM maxmax0 === i =1, 2, …n.
Dacă variabila aleatoare are două valori cu probabilitaţi egale maxime
spunem că variabila este bimodală. Dacă are trei valori cu probabilitaţi egale
maxime trimodală, dacă toate valorile au aceeaşi probabilitate de apariţie atunci
variabila nu are valoare modală.
e) Momentul simplu şi centrat
În momentul în care am definit valoarea medie a unei variabile aleatoare
se poate defini cu uşurinţă o altă valoare importantă şi anume momentul simplu.
Definiţie 28. Se numeşte momentul iniţial de ordin r ( *Nr∈ ) al variabilei
aleatoare discrete X, numărul:
( ) ( ) ∑=
==n
ii
ri
rr pxXMXM
1
.
În particular
( ) ( )XMXM =1 .
Pentru varibile aleatoare continue se defineşte în mod analog (daca integrala
există):
( ) ( )∫∞
∞−
⋅= dxxfxXM rr .
Definiţie 29. Se numeşte momentul centrat de ordin r al variabilei aleatoare X
numărul:
( )( ) ( )( )[ ] ( )( )∑=
−=−=−=n
ii
ri
rrr pXMxXMXMXMXMm
1
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
116
II. Caracteristici numerice ce caracterizează gradul de împrăştiere a
valorilor unei variabile aleatoare.
f) Amplitudinea
Amplitudinea este valoarea egală cu diferenţa dintre cea mai mare şi cea
mai mică dintre valorile variabilei X.
( ) { } { }nn xxxxxxXA ,...,,min,...,,max 2121 −= .
Media unei variabile aleatoare poate da o idee greşită asupra mărimii
majorităţii valorilor dacă în seria de valori apar valori extreme (foarte mici sau
foarte mari). Astfel introducem următoare definiţie.
g). Abaterea individuală
Definiţie 30. Abaterea individuală se calculează ca diferenţa dintre
valoarea variabilei aleatoare minus media valorilor:
( )XMxd ii −=
sau, în mărime relativă:
( )( ) 100% ⋅
−=
XMXMxd i
i .
h) Abaterea medie liniară
Definiţie 31. Abaterea medie liniară reprezintă valoarea obţinută ca o
medie aritmetică a abaterilor individuale faţă de medie:
( )
n
XMxd
n
ii∑
=
−= 1
g). Dispersia
Definiţie 32. Se numeşte dispersia (varianţa) lui X momentul centrat de ordin
doi al variabilei aleatoare discrete X.
Dispersia unei variabile aleatoare X se notează cu ( )XD 2 sau 2Xσ .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
117
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )( )∑=
⋅−=−==n
iii pXMxXMXMXmXD
1
222
2 .
Observaţie: 1. Dacă urmărim raţionamentul de mai jos observăm că
nipx
Xi
i ...1,: =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ , ( ) ( )ni
pXMx
XMXi
i ...1,: =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
de unde ( )( ) ( ) ( )( ) 0=−=− XMMXMXMXM . Astfel dispersia se defineşte ca
fiind media pătratelor abaterii de la medie.
2. În calcule este mai uşor de utilizat expresia:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )=+⋅⋅−=−= XMXMXXMXMXMXD 2222 2 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XMXMXMXMXMXM 2222 2 −=+⋅⋅−= .
( ) ( ) ( )XMXMXD 222 −= .
Proprietăţi: Dispersia unei variabile aleatoare are proprietăţile Ra∈ :
1. ( ) ;02 =aD
2. ( ) ( );222 XDaXaD =
3. ( ) ( );22 XDXaD =+
4. ( ) ( ) ( );222 YDXDYXD +=+ dacă X şi Y sunt independente.
5. Inegalitatea lui Cebîşev15: Fie X o variabilă aleatoare, iar a un număr
pozitiv oarecare atunci
( )( ) ( )2
2
1a
XDaXMXP −≥<−
Adică probabilitatea ca X să se abată de la medie trebuie să fie mai mică
decât ( )2
2
aXD .
15 Pafnuti Lvovici Cebîşev (1821 ‐ 1894 ) ‐ matematician rus; este cunoscut pentru teorema limită centrală şi legea numerelor mari.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
118
Demonstraţie:
1. ( ) ( ) ( ) ;0222 =−= aMaMaD
2. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ;222222
2222
XDaXMaXMa
XaMXaMXaD
⋅=−⋅=
=⋅−⋅=⋅
3. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) =+−+⋅⋅+=+−+=+ YXMYYXXMYXMYXMYXD 222222 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) =+−+⋅⋅−= 222 2 YMXMYMYMXMXM
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )=+⋅+−+⋅⋅−= YMYMXMXMYMYMXMXM 2222 22( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )YDXDYMXMYMXM 222222 +=+−+=
4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( );0 22222 XDXDXDaDXaD =+=+=+
Dacă X este o variabilă aleatoare continuă cu funtia densitate de
repartitie ( )xf spunem că dispersia se calculează în modul următor (dacă integrala
există):
( ) ( ) ( )2
22⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−= ∫∫
b
a
b
a
dxxfxdxxfxXD .
h) Abaterea medie pătratică (deviaţia standard)
Definiţie 31. Abaterea medie pătratică este definită ca fiind rădăcina pătrată a
dispersiei. Se notează cu D(X) sau Xσ .
( ) ( )XDXD X2==σ .
adică:
( ) ( )( )∑=
⋅−==n
iiiX pXMxXD
1
2σ .
Observaţie: 1. Cantităţile precum media şi dispersia care indică anumite
proprietăţi ale distribuţiei se numesc parametrii distribuţiei.
2. Abaterea medie pătratică reflectă într-o măsură mai mare influenţa factorilor
aleatori comparativ cu abaterea medie liniară. Deoarecel abaterile extreme prin
ridicare la pătrat au o influenţă mai mare decât abaterile intermediare, mai
apropiate de medie.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
119
i). Coeficientul de variaţie
Acest coeficient este utilizat în scopul stabilirii gradului de omogenitate a unui
eşantion şi se obţine din raportul dintre abaterea medie pătratică şi media
variabilei.
( ) ( )( ) 100.. ⋅=XMXDXVC
Observaţie: Interpretarea rezultatelor se face în felul următor (Jaba, 2005):
1. pentru variabila aleatoare X variabilitatea caracteristică se consideră mică
atunci când ( ) %17%.. <XVC . În acest caz împrăştierea valorilor este mică de
unde rezultă că media este strict reprezentativă.
2. variabilitatea caracteristică se consideră medie atunci când ( ) %35%.. <XVC .
În acest caz împrăştierea datelor este medie de unde rezultă că media este suficient
de reprezentativă.
3. variabilitatea caracteristică se consideră mare atunci când ( ) %50%.. <XVC . În
acest caz media este reprezentativă în sens larg.
4. variabilitatea caracteristică se consideră foarte mare atunci când
( ) %50%.. >XVC . Împrăştierea valorilor este foarte mare şi media nu mai este
reprezentativă pentru reprezentarea tendinţei centrale a datelor. În acest caz se
recomandă utilizarea medianei în analiza statistică.
j). Coeficientul de asimetrie – skewness (Fisher)
( ) ( )( )3
31
X
XmXσ
β = ,
unde ( )Xm3 reprezintă momentul centrat de ordin 3, iar 2Xσ varianţa.
Dacă valoarea mărimii ( )X1β este zero atunci variabila are distribuţia simetrică,
iar dacă valoarea coeficientului de asimetrie este pozitivă atunci distribuţia este
asimetrică.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
120
k). Coeficientul de boltire – kurtosis (Pearson)
( ) ( )( )22
42
X
XmXσ
β = ,
unde ( )Xm4 reprezintă momentul centrat de ordin 4, iar 2Xσ varianţa variabilei
aleatoare X.
Observaţie: pentru o distribuţie normală acest coeficient va avea valoarea 3.
Pentru valori mai mari distribuţia poartă denumirea de distribuţie leptocurtică
("leptos" = subţire), iar pentru valori mai mici poartă denumirea de distribuţie
platicuritcă ("platus" = lat).
Covarianţa (corelaţia)
Definiţie 32. Fie X şi Y două variabile aleatoare ce admit medie. Se numeşte
covarianţă (corelaţie) a celor două variabile valoarea:
( ) ( )( ) ( )( )[ ]YMYXMXMYX −⋅−=,cov .
Observaţii:
1. Covarianţa este o măsură a variaţiei simultane a celor două variabile.
2. Dacă variabilele aleatoare X, Y sunt independente atunci ( ) 0,cov =YX .
Reciproca nu este adevărată adică dacă două variabile aleatoare au
corelaţia 0 nu rezultă că sunt independente.
3. Daca covarianta este pozitiva variabilele X si Y cresc sau descresc
impreună (datele sunt corelate).
În practică coeficientul de corelaţie a două variabile este calculat astfel:
( ) ( )YX
YXYXσσ
ρ⋅
=,cov, .
Coeficientul ( )YX ,ρ este adimensional si ( ) 1,1 ≤≤− YXρ .
EXEMPLU 1:
Să se calculeze caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare X
determinată de suma punctelor obţinute la aruncarea a două zaruri.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
121
Rezolvare: Se cer media, mediana, dominanta, dispersia, abaterea medie
pătratică, amplitudinea. Vom folosi definiţiile anterioare. Trebuie să determinăm
iniţial valorile variabilei aleatoare.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
361
362
363
364
365
366
365
364
363
362
361
12111098765432:X .
Modul de calcul a fost următorul: valoarea 2 o obţinem când pe ambele
zaruri apare faţa cu numărul 1. Probabilitatea de apariţie a acestui caz se
determină folosind definiţia probabilităţilor: există un singur caz favorabil şi 36
cazuri posibile (6 feţe are un zar şi 6 feţe al doilea zar).
Media: formula este ( ) ∑=
⋅=11
1iii pxXM :
( )
736112
36211
36310
3649
3658
3667
3656
3645
3634
3623
3612
=⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=XM.
Mediana: ( ) 7=XM e verificăm dacă îndeplineşte condiţiile din definiţie:
( )21
3615
365
364
363
362
3617 ≤=++++=<XP ,
( )21
366
36157 >+=≤XP (adevărat).
Dominanta: ( ) 70 =XM valoarea are probabilitatea cea mai mare.
Dispersia: Folosim formula ( ) ( ) ( )( )222 XMXMXD −= .
Trebuie să mai calculăm media lui X2:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
361
362
363
364
365
366
365
364
363
362
361
14412110081644936251694:2X .
( )
.36
1974361144
362121
363100
36481
36564
36649
36536
36425
36316
3629
36142
=⋅+⋅+⋅+⋅+
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=XM
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
122
( ) ( ) ( )( ) 83.5736
1974 2222 =−=−= XMXMXD .
Abaterea pătratică medie:
( ) 41.283.52 === XDXσ .
EXEMPLU 2:
Se consideră variabila aleatoare X cu următorul tablou de repartiţie:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
31
31
101: αX .
a) Să se determine tabloul de repartiţie al variabilei aleatoare 22 XXY += ;
b) Să se calculeze ( )YM 3 şi ( )YD 220112 − .
Rezolvare:
a) Folosim proprietatea ∑=
=n
kkp
1
1 pentru a găsi valoarea α :
.31
31
3111
31
31
=−−=⇒=++ αα .
De unde obţinem ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
31
31
31
101:X . Calculăm valoarea ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
31
31
31
202:2X
unde am folosit realaţiile:
( ) ( )31122 =−==−= XPXP ,
( ) ( )31002 ==== XPXP ,
( ) ( )31122 ==== XPXP .
Calculăm variabila aleatoare ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
32
31
10:2X ; ( ) ( )
31002 ==== XPXP şi
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )32
31
31101012 =+=−=+==−==== XPXPXXPXP ∪ .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−+=
92
91
92
91
92
91
321012:2 2XXY .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
123
Modul de calcul pentru probabilităţile ce apar în variabila aleatoare Y este
următorul:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )91
31
310220222 22 =⋅==−===−==−= XPXPXXPYP ∩ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92
32
311221221 22 =⋅==−===−==−= XPXPXXPYP ∩ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )91
31
310020020 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92
32
311021021 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )91
31
310220222 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92
32
311221223 22 =⋅======== XPXPXXPYP ∩ .
b) Pentru a calcula media folosim proprietăţile mediei ( ) ( )YMYM ⋅= 33 unde
( ) ( ) ( ) ( )32
962222
923
912
921
910
921
912 =
+++−−=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−+⋅−=YM .
Deci media ce trebuia calculată este ( ) 23233 =⋅=YM .
Pentru a calcula dispersia variabilei aleatoare folosim proprietăţile
dispersiei ( ) ( ) ( ) ( ) ( )YDYDYDYD 22222 42222011 ⋅=⋅−=−=− unde
( ) ( ) ( )[ ]222 YMYMYD −= .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
92
92
94
91
9410:2Y .
Modul de calcul pentru probabilităţile ce apar în variabila aleatoare Y2 este
următorul:
( ) ( )91002 ==== YPYP ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )94
32
32111112 =+==+−===−=== YPYPYYPYP ∪ ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )92
31
31222242 =+==+−===−=== YPYPYYPYP ∪ ,
( ) ( )92392 ==== YPYP ,
( )3
10930
91884
929
924
941
9102 ==
++=⋅+⋅+⋅+⋅=YM ,
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
124
( )[ ]94
32 2
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=YM . Înlocuim valorile găsite în definiţia dispersiei:
( ) ( ) ( )[ ]926
9430
94
310222 =
−=−=−= YMYMYD .
De unde obţinem în final: ( ) ( )9
1049264422011 22 =⋅=⋅=− YDYD .
EXEMPLUL 3:
Un partid a estimat că un anumit candidat are 35% şanse să câştige alegerile
locale. Câţi alegători trebuie să chestionăm dacă vrem să verificăm poziţia
partidului cu o probabilitate de cel puţin 0.97, ştiind că procentul de alegători ce
intenţionează să-l voteze pe candidat se încadrează între 30% şi 40%?
Rezolvare: Considerăm o variabilă aleatoare Xn este numărul celor care
votează candidatul din n participanţi aleşi aleator. Vom calcula numărul cel mai
mic n pentru care
97,04,03.0 ≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ≤≤
nXP n .
Variabila aleatoare X are repartiţia de tip binomial ( )25.0,nB unde n este
numărul de oameni pe care vrem să-l determinăm.
Frecvenţa relativă cu care este votat candidatul se calculează uşor n
X n .
Media este dată ( ) pnXM n ⋅= , dar 35.0===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ p
nnp
nXM n , iar pentru a calcula
dispersia folosim proprităţile ( )nn XD
nnXD 2
22 1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ de unde rezultă
nnpq
n 4009165.035.01
2 =⋅= . Aplicăm inegalitatea lui Cebîşev pentru a = 0.05.
97,005.0
105.035,0 2
2
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤−
nXD
nXP
n
n , de aici putem determina numărul
n:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
125
97,005.0
40091
1 2 ≥− n adică 97,025400
10000911 ≥⋅
⋅−
nde unde 03,091
≤n
30333
9100≅≥⇒ n .
Concluzia: chestionarul trebuie făcut pe un minim de 3033 de alegători.
Exerciţii
1. Fie X şi Y două variabile aleatoare cu repartiţiile:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−6.04.0
32:X ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛2.05.03.0
640:Y .
a) Să se determine tabloul de repartiţie pentru următoarelor variabile
aleatoare: 22,412 YXYX ++ , 22, YXYX ⋅+ ;
b) Să se calculeze
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XYDXDYDXDYMXMYMXM 222222 ,4,,,,,, .
2. Fie X şi Y două variabile aleatoare cu repartiţiile:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
31
35
202: ppX , ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
51
53
101: qqY .
a) Să se determine valorile p şi q;
b) Să se calculeze ( )YXD 232 + .
3. Fie X şi Y două variabile aleatoare cu repartiţiile:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
31
31
31
21:
aX , ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
21
41
41
211:
aY .
Să se determine valoarea lui a dacă ( )322 =+ YXD .
4. Se aruncă o monedă de 9 ori. Să se calculeze caracteristicile numerice
ale variabilei aleatoare X ce reprezinta numărul de apariţii ale stemei.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
126
4.6 Repartiţii clasice
A. Repartiţii de tip discret
Vom defini câteva variabile aleatoare cu un număr finit de valori mai des
întâlnite în aplicaţii.
1) Repartiţia uniformă discretă U(n)
Definiţie 33. Spunem că variabila aleatoare X are repartiţie uniformă U(n)
dacă valorile lui X au aceeaşi probabilitate de apariţie:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
npppn
X……
21
21: ,
unde ( ) .,,1,1 nkn
kXPpk …====
În acest caz media este
( )2
12
12111211)( +=
+⋅=
+++=⋅+⋅+⋅==
nn
nnn
nn
nnn
XMXμ .
Calculăm ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
npppn
X……
21
2222 21
: de unde
( )( ) ( )( )6
1216
121
2111211)(222
2222
++=
++⋅=
=+++
=⋅+⋅+⋅=
nnn
nnnn
nn
nnn
XM
Dispersia este
( ) ( ) ( )( ) ( )12
141
6121)(
222222 −
=+
−++
=−==nnnnXMXMXDXσ .
2) Repartiţia Bernoulli de parametru p
Definiţie 34. Variabila aleatoare X are repartiţie Bernoulli de parametru p
dacă ia valorile 0 şi 1 cu probabilităţile: ( )1== XPp şi ( )0== XPq :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛pq
X10
: unde p + q = 1, şi X2 este identic cu X.
( ) ( ) ppqXMXMX =⋅+⋅=== 102μ ;
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
127
( ) ( ) ( ) ( ) qpppppXMXMXDX ⋅=−=−=−== 122222σ .
Notaţie: ( )pB ,1 .
3) Repartiţia binomială de parametrii n şi p ( ( )pnB , )
Definiţie 35. Variabila aleatoare X are repartiţie Bernoulli de parametrii n
şi p dacă ia ca valori numărul de realizări ale unui eveniment A în n încercări cu
probabilitatea: ( ) knkkn qpCkXP −⋅⋅==
Variabila X are următorul tablou de distribuţie:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−− nknkk
nn
nn
nn pqpCqpCpqCq
nkX
………
22211
210:
unde ( )∑=
− =+=n
k
nknkkn qpqpC
1
1 .
Notaţie: ( )pnB , .
În acest caz media este pnXMX ⋅== )(μ şi dispersia este
qpnXDX ⋅⋅== )(22σ .
Observaţie: 1. Variabila aleatoare X poate fi considerată ca suma a n
variabile Bernoulli de parametru p.
2. În practică este folosită la experimentele în care extragerile se
efectuează cu repunere.
4). Repartiţia hipergeometrică de parametrii n, a, b
Definiţie 35. Variabila aleatoare X are repartiţie hipergeometrică cu
parametrii n, a, b (n – numarul de extrageri, a numarul de bile albe, b numarul de
bile negre) dacă poate lua orice valoare întreagă cuprinsă între ( )bn −,0max şi
( )an,min cu probabilitatea ( ) nba
knb
ka
CCCkXP+
−⋅== , ban +≤ .
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅⋅⋅
++
−
+
−
+
−
+n
ba
bna
nba
knb
ka
nba
nba
nba
nba
nba
nba
CCC
CCC
CCC
CCC
CCC
nkX 022110
210: …
……
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
128
şi ∑= +
−
=⋅n
kn
ba
knb
ka
CCC
0
1 .
În acest caz media este pnXMX ⋅== )(μ şi dispersia este
1)(22
−+−+
⋅⋅⋅==ba
nbaqpnXDXσ , unde ba
ap+
= , ba
bq+
= , n reprezintă numărul
de extrageri şi N = a+ b.
Observaţie 1. Această repartiţie se utilizează în practică la experimentele
în care extragerile se efectuează fără revenire.
Notaţie ( )pnNH ,, .
2. În practică se aproximează repartiţia hipergeometrică cu o repartiţie
binomială dacă are loc relaţia: 101
<Nn .
X are următorul tablou de distribuţie:
În acest caz media este pnXMX ⋅== )(μ şi dispersia este
11)(2
−−
=−+−+
=N
nNnpqba
nbanpqXD , N >> n.
EXEMPLU: Se ştie că 150 din cei 1500 de studenţi, din anul I, ai unei
universităţi sunt cetăţeni străini. Dacă se aleg la întâmplare 9 studenţi, care este
probabilitatea ca ei sa nu fie studenţi străini?
Demonstraţie:
Variabila aleatoare ce rezultă din problemă este ( )pHX ,9,1500∈ .
a = 150, b = 1500-150=1350, n = 9, N = 1500.
În acest caz se respectă regula 101
15009
< de aici rezultă că repartiţia
hipergometrică se aproximeaxă cu o repartiţie binomială ( )pnBX ,∈ .
Probabilitatea ca să alegem un student străin 1,01500150
==p şi
9,01,011 =−=−= pq de unde ( )1,0,9BX ∈ .
Alegem A evenimentul ca cei 9 studenţi aleşi să nu fie străini.
( ) ( ) 3467,09,0 99009 ==⋅⋅= qpCAP
Dacă folosim formulele de la repartiţia hipergeometrică obţinem:
( ) 347.010034.110996.31
23
22
91500
91350
0150 =
⋅⋅⋅
=⋅
=C
CCAP .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
129
5) Repartiţia Poisson de parametru λ (repartiţia evenimentelor rare)
Definiţie 36. Variabila aleatoare X are repartiţie Poisson de parametru λ, λ
> 0, dacă
( ) Nkk
ekXPk
∈∀== − ,!
λλ .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅⋅ −−−−−
!!!2!1
210: 2
ne
keeee
nkX nk λλλλ λλλλλ …
…….
În acest caz media este λμ == )(XMX şi dispersia este λσ == )(22 XDX .
Notaţie: ( )λPX ∈ .
Observaţii: 1. Această repartiţie este utilizată în practică în situaţii diferite:
numărul de studenţi ce intră la un examen într-un interval dat, numărul de animale
cu efecte negative la acelaşi tratament etc.
2. Repartiţia Poisson de parametru λ poate fi o bună aproximare a
repartiţiei binomiale atunci când n > 40.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
130
B. Repartiţii continue
1. Repartiţia uniformă U(a,b)
Definiţie 36. Variabila aleatoare X are repartiţie uniformă U(a, b) dacă
funcţia sa de densitate este definită:
( ) ( )
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
∉
∈−=
baxdaca
baxdacaabbaxf
,,0
,,1,, .
În acest caz media este 2
)( baXMX+
==μ şi dispersia este
( )12
)(2
22 abXDX−
==σ .
Fig. 5. - Reprezentare grafică a repartiţiei
2. Repatiţia normală ( )σμ,N
Definiţie 37. Variabila aleatoare X are repartiţie normala ( )σμ,N dacă
funcţia sa densitate de probabilitate este defintă astfel:
( )( )
Rxdacaexfx
∈=−
−,
21,, 2
2
2σμ
πσσμ .
În acest caz media este μμ == )(XMX şi dispersia este 222 )( σσ == XDX .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
131
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fig. 6. Reprezentare grafică a funţiei densitate de probabilitate
pentru diferite valori ale dispersiei şi media 0
Această repartiţie poartă denumirea de repartiţia gaussiană deoarece
graficul funcţiei de densitate este clopotul lui Gauss.
Dacă pentru medie şi dispersie alegem valorile 0 şi 1 atunci funcţia de
densitatea de repartiţie devine:
( ) Rxdacaexfx
∈=−
,211,0, 2
2
π.
Aceasta poartă denumirea de repartiţie normală standard notată ( )1,0N .
Observaţie: Deoarece în analiza statistică este asociată diverselor
caracteristici ale unei populaţii, repartiţia normală este considerată o repartiţie
importantă.
Considerăm o variabilă aleatoare ( )1,0NX ∈ . Atunci funcţia de repartiţie
RRF →: se defineşte astfel:
( ) ( ) ∫∞−
−=<=
x t
dtexXPxF 2
2
21π
de unde prin calcule obţinem:
( ) ( )xdtedtedtexFx tx tt
Φ+=+=+= ∫∫∫−−
∞−
−
21
21
21
21
21
0
2
0
20
2
222
πππ.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
132
În continuare funcţia notată ( ) ∫−
=Φx t
dtex0
2
2
21π
se numeşte funcţia
Laplace.
Observaţie: 1. Funcţia Laplace este o funcţie impară:
( ) ( )xx Φ−=−Φ .
2. În urma notaţiei obţinem:
( ) ( )xxF Φ+=21 .
La finalul materialului de curs în anexa 2 se găsesc valorile pentru funcţia
Laplace.
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fig. 7. Curba lui Gauss pentru diferite valori ale dispersiei şi media 0, -3, +3
Proprietăţi:
Fie o variabilă aleatoare X cu repartiţie ( )1,0NX ≈ atunci:
1. ( ) ( ) ( )abbXaP Φ−Φ=<≤ .
2. Dacă ( )σμ,NX ≈ atunci are loc relaţia:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Φ−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Φ=<≤σμ
σμ abbXaP .
3. ( ) ( )kkXP Φ⋅=≤ 2 sau ( ) ( )kkXkP Φ⋅=≤≤− 2 .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
133
Demonstraţie:
1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ababaFbFbXaP Φ−Φ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ+−Φ+=−=<≤
21
21
2. Dacă variabila aleatoare X are repartiţie normală ( )XXNX σμ ,≈ atunci
prin procedeul de normalizare noua variabilă aleatoare ( )1,0NXYX
X ≈−
=σμ .
Astfel obţinem:
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −Φ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −Φ=
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −<
−≤
−=<≤
X
X
X
X
prop
X
X
X
X
X
X
ab
bXaPbXaP
σμ
σμ
σμ
σμ
σμ 1
.
3. dacă ( )1,0NX ≈ şi kbka =−= , atunci ( ) ( ) ( )kkkXkP −Φ−Φ=≤≤− .
Funcţia Laplace fiind impară atunci:
( ) ( ) ( ) ( )kkkkXkP Φ⋅=Φ+Φ=≤≤− 2
EXEMPLU 1:
Să determinăm prin calcul câteva din valorile importante pentru o
repartiţie normală
În intervalul [ ]XXXX σμσμ +− , se găsesc aproximativ 68% din valorile
variabilei.
În acest caz XXXX ba σμσμ +=−= , . Aplicăm proprietatea de mai sus:
( ) ( ) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −Φ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −Φ=+<≤−=<≤
X
X
X
XXXXX
abXPbXaPσμ
σμσμσμ
( ) ( )
( ) %686826.03413.0212
11
2≈=⋅=Φ⋅=
=−Φ−Φ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−Φ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+Φ
anexa
X
XXX
X
XXX
σμσμ
σμσμ
În mod analog pentru intervalul [ ]XXXX σμσμ ⋅+⋅− 2,2 se găsesc aproximativ
95% din valorile variabilei:
( ) ( ) ( )
%95954.04772.02
222222
2≈=⋅=
=Φ⋅=−Φ−Φ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅−Φ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅+Φ
anexa
X
XXX
X
XXX
σμσμ
σμσμ
În mod analog pentru intervalul [ ]XXXX σμσμ ⋅+⋅− 3,3 se găsesc aproximativ
99% din valorile variabilei:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
134
( ) ( ) ( )
%73,99997.04985.02
323333
2≈=⋅=
=Φ⋅=−Φ−Φ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅−Φ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅+Φ
anexa
X
XXX
X
XXX
σμσμ
σμσμ
EXEMPLU 2:
Se presupune că greutatea la naştere a unui copil urmează o distribuţie
normală de medie 3.3=μ kg şi o dispersie 0324.02 =σ . Se cere:
a) să se determine probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea mai
mică decât 3.4 kg.
b) să se determine probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea
cuprinsă între 3.1 şi 3.4 kg.
Rezolvare:
Notăm cu X variabila aleatoare care reprezinta greutatea la naştere a unui
copil.
Variabila X are distribuţie normală de medie 3.3 şi dispersie 0.0324 adică
( )0324.0,3.3NX ≈
Abaterea medie standard este 18.00324.02 === σσ
a) ( ) ( )5556.021
18.03.34.3
21
18.03.34.3
18.03.34.3 Φ+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Φ+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<−
=<Φdefnormalizam XPXP
din tabelul Anexă 1 obţinem valoarea funcţiei ( )5556.0Φ de unde obţinem:
( ) +=<214.3XP 0.2088 = 0.7088.
Probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea mai mică decât 3.4 kg este de
70,88%.
b) ( )
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ <
−<−=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
<−
<−
=<<Φ
5556.018.0
3.31111.1
18.03.34.3
18.03.3
18.03.31.34.31.3
XP
XPXPdefnormalizam
( ) ( ) ( ) ( )5753.03665.02088.0
1111.15556.01111.15556.0=+=
=Φ+Φ=−Φ−Φ=imparafct
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
135
Probabilitatea de a se naşte un copil cu greutatea cuprinsă între 3.1 şi 3.4
kg este 57,53%.
3. Repartiţia exponenţială ( )λexp
Variabila aleatoare X are repartiţie ( )λexp dacă funcţia sa de densitate
este defintă astfel:
( )⎩⎨⎧
≤>
=−
.0,0,0,,
xdacaxdacaexf
xλλλ
În acest caz media este λ1)( =XM şi dispersia este 2
2 1)(λ
=XD .
4. Repartiţia Hi pătrat ( )n2ℵ
Fie n variabilele aleatoare independente nXXXX ,,,, 321 cu distribuţie
normală standard. Variabila aleatoare obţinută prin însumarea pătratelor lor 22
322
21 nXXXXX ++++= are o repartiţie ( )n2ℵ (hi pătrat cu n grade de
libertate).
Funcţia densitate de probabilitate se defineşte astfel:
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤
>
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ=
−−
.0,0
,0,2
2
1
,
21
2
2
xdaca
xdacaexnnxf
xn
n
unde Γ este funcţia lui Euler16 dată de relaţia:
( ) R→∞−Γ ,1: şi ( ) ∫∞
−− ⋅=Γ0
1 dtetx tx
În acest caz media este nXM =)( şi dispersia este nXD 2)(2 = .
Dacă ( )XnX σ2ℵ∈ atunci ( )122 nX
XY ℵ∈=σ
16 Leonhard Euler (1707 ‐ 1783) ‐ matematician şi fizician elveţian. Secolul al XVIII a fost dominat de Euler în mai multe domeniii cum ar fi: analiza matematică, teoria numerelor, mecanică, astronomie, logică şi principii filozofice.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
136
5. Repatiţia Student ( )nt
Fie două variabile aleatoare ( )nX n2ℵ∈ şi ( )1,0NY ∈ atunci variabila
aleatoare Z are repartiţie ( )nt (repartiţie Student cu n grade de libertate):
( )nt
nX
YZ ∈= .
Funcţia densitate de probabilitate este defintă astfel:
( ) Rxdacanx
nn
n
nxf
n
∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
Γ=
+−
,1
2
21
,2
12
π.
În acest caz media este 0)( =XM şi dispersia este 2
)(2
−=
nnXD ,
n > 2.
Observaţii 1. distribuţia Student cunoscută ca "distribuţia t" fost publicată
de W.S. Gosset17 sub pseudonimul Student. Această lege este folosită în
descrierea distribuţiilor în cazul unor eşantioane cu volum mai mic de 30
elemente.
2. pentru distribuţia student cu numărul gradelor de libertate mai mare de
30 se poate aproxima cu o distribuţie normală.
EXEMPLU:
În urma unui sondaj s-a obţinut că 52% din absolvenţii unei şcoli de şoferi
sunt bărbaţi şi 48% sunt femei. Să se determine cu o probabilitate de 0.99
intervalul în care variază numărul de bărbaţi la 1000 de absolvenţi.
Rezolvare:
Xn variabila aleatoare care ia drept valori numărul de bărbaţi din n
absolvenţi.
Xn are o repartiţie binomială ( )pnB , cu n=1000 şi p = 0,52 şi q = 1 - p =
0.48.
Aducem variabila aleatoare la o variabilă normală:
( ) ( )1,0, NqpnpnXYpnBX n
nn ≈⋅⋅⋅−
=→≈ .
17 William Sealy Gosset (1876 ‐ 1937) ‐ statistician britanic.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
137
Ştim din ipoteză că ( ) 99.02 =Φ⋅=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛≤
⋅⋅⋅− kkqpnpnXP n .
Din tabelul Anexa 1 (de la sfârşitul cărţii) calculăm valoarea lui k.
( ) 99.02 =Φ⋅ k de unde ( ) 4955.0=Φ k , k = 2.58.
58.248.052.0100052.0100058.2
58.248.052.0100052.01000
1000
1000
≤⋅⋅⋅−
≤−
⇔≤⋅⋅⋅−
⇔≤⋅⋅⋅−
X
XkqpnpnX n
.
Continuăm calculele:
⇔≤−≤−⇔
≤−
≤−⇔≤−
≤−
76.4052076.40
58.2798.15
52058.258.26.24952058.2
1000
10001000
X
XX
76.56076.47976.4076.40 10001000 ≤≤⇔≤≤− XX .
Deci intervalul în care variază numărul de bărbaţi din 1000 de absolvenţi
este ( )76.560,76.479=I .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
138
4.7 Organizarea şi descrierea datelor
Statistica matematică este acea ramură a matematicii care isi propune sa
răspunda la întrebările următoare:
- proprietăţile unei părţi a unei mulţimi de indivizi sunt sau nu şi
proprietăţi ale populaţiei?
- se poate prevedea desfăşurarea viitoare a unei fenomen pe baza unor
observaţii făcute în trecut şi prezent?
EXEMPLE:
Fenomenul de apariţie a unei epidemii într-o populaţie de animale,
fenomenul de apariţie a unor piese rebut într-o mulţime de piese fabricate de
aceeaşi maşină, evoluţia precipitaţiilor atmosferice în ultimii zeci de ani.
Analiza statistica presupune a studia o mulţime de obiecte care au una sau
mai multe proprietăţi comune.
Noţiunea fundamentală în statistică este cea de grup sau mulţime de
obiecte echivalente care se numeşte populaţie sau colectivitate.
Elementele unei populaţii statistice se vor numi indivizi sau unităţi
statistice.
Statistica studiază proprietăţile populaţiilor, nu cele ale indivizilor
particulari.
Analiza statistică poate avea în vedere una sau mai multe caracteristici.
EXEMPLE: a) o populaţie de brazi dintr-o plantaţie se poate cerceta după înălţimea
brazilor şi vârsta lor; b) la o populaţie de 10000 de pui nou născuţi se pot cerceta
sexul şi greutatea lor.
Caracteristicile care se pot măsura se numesc cantitative. Exemplu:
înălţimea, talia, vârsta.
Aceste caracteristici apar ca funcţii definite pe populaţia statistică cu valori
numerice. Aceste caracteristici le vom numi variabile.
Spre deosebire de caracteristicile cantitative există caracteristici care nu se
pot măsura: starea civilă, culoarea feţei care se numesc calitative.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
139
Caracteristicile cantitative care pot lua numai valori întregi se numesc
discrete sau discontinue.
Caracteristicile cantitative care pot lua orice valoare dintr-un interval finit
de numere reale se numesc continue.
Modul de lucru al analizei statistice este următorul: mai întâi acţionează
statistica descriptivă, care culege datele asupra unui fenomen analizat apoi
intervine statistica matematică, care grupează datele, le analizează şi le
interpretează.
Dorim să analizăm ce buget să alocăm pentru bursele viitorilor studenţi din
anul II dar problema pe care o întâmpinăm este că nu putem şti ce note vor lua în
anul I. Putem însă să analizăm rezultatele obţinute de studenţii actuali din anul I şi
să prognozăm că următorii studenţi vor lua note asemănătoare.
În această problemă trebuie să colectăm notele de la toţi studenţii din anul
I. Binenţeles, că pot să apară erori de aproximare deoarece noii studenţi pot fi mai
buni sau mai slabi decât colegii lor pe care i-am evaluat.
Statistica ne poate ajuta să introducem metode de predicţie şi analiză
pornind de la datele pe care le avem colectate.
Din punct de vedere etimologic Statistica este o "ştiinţă care culege,
sintetizează, descrie şi interpretează date referitoare la fenomene generale"
(http://dexonline.ro/definitie/statistica).
În agricultură folosim statistica pentru a analiza ce soiuri, specii de culturi
sunt cele mai bune pentru a fi cultivate în funcţie de solul pe care îl avem.
Statistica descriptivă este ramura statisticii ce se ocupă cu descrierea
trăsăturilor unei populaţii (colectivităţi). Elementele care alcătuiesc o populaţie
statistică le vom numi unităţi statistice sau indivizi.
O caracteristică a unei colectivităţi poate fi cantitativă (poate fi măsurată
sau apreciată prin numere) şi calitativă (nu poate fi măsurată de exemplu: blond,
brunet, roşcat).
Caracteristicile cantitative pot fi împărţite în variabile discrete (numărul de
elevi ce se înscriu la facultate) sau continue (timpul de aşteptare a unui student la
înscriere să depună dosarul). Deoarece numărul de elevi ce se înscriu la
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
140
universitate este suficient de mare nu putem să-i chestionăm pe toţi (ar trebui să
organizăm un referendum). De aceea vom extrage dintre ei doar un eşantion (să
facem o selecţie) ales la întâmplare.
Selecţiile eşantionului de studenţi se pot face prin diferite metode de
selecţie (Stoleriu, 2010):
- selecţie simplă - de un volum dat prin care toţi indivizii ce compun
populaţia au aceeaşi şansă;
- selecţie sistematică - presupune aranjarea populaţiei studiate după o
anumită schemă (aleg primul student aleatori apoi pe ceilalti dupa schema din 5 în
5 candidaţi înscrişi);
- selecţie stratificată - în care populaţia este separată pe categorii şi
alegerea se face la întâmplare din fiecare categorie (aleg un număr de studenţi din
fiecare judeţ în funcţie de cât de mare ese populaţia judeţului);
- selecţie ciorchine - populaţia este împărţită pe categorii şi selectăm
indivizi din fiecare categorie (alegem studentii dupa anumite categorii – alegem
studenţii din anumite judeţe);
- selecţia de tip experienţă - care ţine cont de elementul temporar în
selecţie (encefalogramă);
- selecţie de convenienţă - alegem dintre studenţii care se înscriu la
facultatea de Agricultură;
- selecţie de judecată - profesorul decide ce student intră în selecţie şi cine
nu;
- selecţie de cotă - se selecţionează de către profesor după un anumit
criteriu (alegerea in urma unui vot cine a primit mai multe voturi primeste mai
mult locuri).
Gruparea datelor statistice
Pentru caracteristici discrete
Să presupunem că am analizat anul I de la cursul de matematică după
înălţime. Rezultatele obţinute le vom aduna într-un şir în ordinea în care au
apărut: 176, 178, 179, 180, 150, 155, 159, 165, 168, 170, 176, 178, 165, 168, 176,
180, 150, 155, 165, 168, 170, 176, 178, 179, 180, 150, 155, 159, 165, 176, 178,
179, 180, 150, 165, 168.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
141
Se observă uşor că în acest mod de prezentare nu putem obţine informaţii
utile pentru analiza statistică. Vom face o nouă grupare a acestor date într-un
tabel.
Tabel 1 xi = Cm ni = Nr. de
studenţi 176 5 178 4 179 3 180 4 150 4 155 3 159 2 165 4 168 4 170 2
În prima coloană am trecut înălţimea studenţilor în centimetri şi în a doua
coloană numărul de studenţi ce au această înălţime. Observăm că înălţimea de 176
cm este cea mai des întâlnită, iar înălţimile de 159 şi 170 sunt cele ce apar de cele
mai puţine ori.
În tabelul 2 sunt prezentate rezultatele obţinute de studenţi la prima
sesiune din iarnă la disciplina Matematică şi Statistică. Observăm că analiza unui
fenomen în raport cu o singură caracteristică ne conduce la o serie de perechi de
valori pe care o vom numi serie statistică.
Tabel 2. Nota Nr. de studenţi
2 1 3 1 4 5 5 12 6 16 7 12 8 21 9 15 10 10
Putem nota această serie statistică ( )ii nx , unde 1 < i < p asociată acestui
studiu statistic.
Pentru caracteristici continue
La un strung se fac piese rotunde cu diametrele cuprinse în diferite
intervale de măsură în cm. Vom face gruparea acestor date într-un tabel.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
142
Tabel 3 xi = Cm ni = Nr. de piese
[2, 5) 5 [5, 10) 4 [10, 15) 3 [15, 20) 4 [20, 25) 4 [25, ∞) 3
În continuare vom prezenta tot o serie cu caracteristici cantitative, dar cu
două caracteristici ale studenţilor: culoarea ochilor şi culoarea părului. În acest caz
citirea tabelelor devine greoaie şi este necesară o nouă grupare a datelor.
Tabel 4 Culoarea ochilor negri căprui verzi albaştri Total Culoarea părului Negru 145 285 30 11 471 Castaniu 62 431 87 67 647 Blond 33 36 185 128 382 Total 240 752 302 206 1500
4.8. Reprezentarea grafică a datelor statistice
Reprezentarea grafică a unei serii statistice este importantă deoarece ea
contribuie la o interpretare intuitivă a datelor precum şi sugerează însăşi legea pe
care o urmează fenomenul studiat.
Reprezentarea grafică prin puncte
Diferitele reprezentări grafice ce apar aici sunt ale datelor din paragraful
anterior. De exmplu la reprezentarea grafică prin puncte am ales să reprezentăm
numărul de studenţi în funcţie de notele pe care le-au obţinut.
Fig. 8. -Grafic prin puncte
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
143
Reprezentarea grafică cu bare
Fig. 9 - Grafic prin bare
Reprezentarea grafică cu histograme
Exemplu: Reprezentarea grafică cu ajutorul histogramelor se face luând pe
axa orizontală o succesiune de segmente egale, reprezentând aplitudinea claselor
şi ridicând, pe fiecare segment, dreptunghiuri de înălţimi proporţionale cu
frecvenţele claselor respective.
Fig. 10 - Histograma
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
144
Reprezentarea grafică cu diagrame de tip structură radială
Fig. 11 - Grafic de tip structură radială
Reprezentarea grafică a două caracteristici
Fig. 12 - Grafic pentru două caracteristici-
Exemplu:
La o bancă s-au înregistrat depunerile efectuate într-o lună şi s-a obţinut tabelul:
Sume depuse mil. lei [1, 7) [7, 11) [11, 20) [20, 27) [27,30)
Număr deponenţi 34 19 18 28 12
Să se reprezinte grafic datele numerice folosind diferite modele.
Valoarea medie a clasei apoi calcule ……………
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
145
Exerciţii
1. Să se reprezinte grafic următorele date numerice ce reprezintă viteza
maximă a masinilor de serie:
Nr. de maşini Viteze maxime24 180 36 190 30 200 23 210 10 250 2 300
2. La o bancă s-au înregistrat depunerile efectuate într-o lună şi s-a obţinut tabelul:
Sume depuse mil. lei [1, 7) [7, 11) [11, 20) [20, 27) [27,30)
Număr deponenţi 34 19 18 28 12
Să se reprezinte grafic datele numerice folosind diferite modele.
4.9 Caracteristici numerice ale seriilor statistice;
În cele de urmează considerăm o serie statistică formată din valorile măsurate în
urma unui experiment, nxxxx ,,,, 321 . Vom învăţa să determinăm cei mai
cunoscuţi şi utlizaţi parametrii necesari în analiza statistică: media, abaterile
individuale, abaterea medie liniară, dispersia, abaterea medie pătratică (deviaţia
standard) şi coeficientul de variaţie.
Definiţie 1. Numim media valorilor unei serii statistice valoarea x calculată după
formulele:
Media simplă
n
x
nxxxx
n
ii
n∑==
+++= 121 ... .
Media ponderată (unde kn – reprezintă ponderea fiecărui element xn)
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
146
∑
∑
=
=
⋅=
++++++
= n
ii
n
iii
n
nn
k
kx
kkkkxkxkxx
1
1
21
2211
...... .
Media pătratică
n
x
nxxx
x
n
ip
in
∑==
+++= 1
2222 ...
21 .
Definiţie 2. Abaterea individuală se poate calcula după următoarele formule:
xxd ii −= respectiv 100% ⋅−
=x
xxd ii , i=1, ... n.
Definiţie 3. Abaterea medie liniară reprezintă variaţia valorilor individuale faţă de
valoarea medie pe ansamblul datelor.
n
xxd
n
ii∑
=
−= 1
Respectiv abaterea medie liniară ponderată
∑
∑
=
=
⋅−= n
ii
n
iii
k
kxxd
1
1
Definţie 4. Dispersia este media aritmetică a pătratelor abaterilor faţă de medie
ale valorilor seriei statistice.
( ) ( ) ( ) ( )
n
xx
nxxxxxx
n
ii
n∑=
−=
−++−+−= 1
222
22
12 ...σ
Respectiv
( ) ( ) ( ) ( )
∑
∑
=
=
⋅−=
+++−++−+−
= n
ii
n
iii
n
nn
k
kxx
kkkkxxkxxkxx
1
1
2
21
22
221
212
......σ
Definiţie 5. Abaterea medie pătratică (deviaţia standard) a valorilor este numărul
σ ce se calculează:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
147
( )
n
xxn
ii∑
=
−= 1
2
2σ
Respectiv
( )
∑
∑
=
=
⋅−= n
ii
n
ii
k
kxx
1
1
2
σ
Pe baza abaterii medii liniare şi pătratice se pot determina intervalele medii de
variaţie:
[ ]dxdxId +−= , , respectiv [ ]σσσ +−= xxI ,
Definiţie 6. Raportul dintre abaterea medie pătratică şi valoarea medie a unei serii
statistice se numeşte coeficient de variabilitate (variaţie) notat C.V.
100)%.(. ⋅=x
XVC σ
Acest indicator dă posibilitatea aprecierii gradului de omogenitate a unei
serii statistice. Un coeficient sub 15% (Burtea, 2005) indică o omogenitate
semnificativă a repartiţiei unui fenomen.
Exemplu:
Un sac de porumb, hibrid AMADEUS se vinde în 5 magazine. Preţul de
vânzare (lei/sac) diferă în funcţie de zona de vânzare astfel: 350, 360, 370, 380,
390. Să se determine toţi parametrii statistici definiţi.
Rezolvare: Pentru rezolvarea acestui exemplu vom construi un tabel
ajutator:
ix xxi − 100⋅−x
xxi xxi − ( )2xxi −
350 -20 -5.405 20 400 360 -10 -2.702 10 100 370 0 0 0 0 380 10 2.702 10 100 390 20 5.405 20 400 1850 0 - 60 1000
370=x ...=d ...2 =σ
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
148
Media 3705
18501 ===∑=
n
xx
n
ii
lei /sac
Abaterile individuale sunt calculate în tabel coloanele a doua şi a treia.
Abaterea medie liniară 125601 ==
−=∑=
n
xxd
n
ii
lei /sac
Folosind această valoare determinăm primul interval mediu de variaţie:
[ ] [ ] [ ]382,35812370,12370, =+−=+−= dxdxId lei /sac
Varianţa ( )
2005
10001
2
2 ==−
=∑=
n
xxn
ii
σ lei/sac
Deviaţia standard ( )
142,142001
2
2 ==−
=∑=
n
xxn
ii
σ lei/sac
Folosind această valoare determinăm al doilea interval mediu de variaţie:
[ ] [ ] [ ]142.384,855.355142.14370,142.14370, =+−=+−= σσσ xxI lei /sac
Coeficientul de variaţie
%82.31000382.0100370
142.14100)%.(. =⋅=⋅=⋅=x
XVC σ .
Interpretare:
Preţul mediu de vânzare a unui sac de porumb în cele 5 magazine este de
370 lei/sac şi se abate în medie de la preţul mediu cu 12 lei /sac. Din al doilea
interval mediu de variaţie constatăm că 68% din vânzători au un preţ cuprins între
355,855 lei/sac şi 384.142lei/sac. Coeficientul de variaţie arată o dispersie mică
(<17%) ceea ce reprezintă un set de date cu distribuţie omogenă şi media este
reprezentativă pentru datele analizate.
În cazul în care datele adunate în urma experimentului sunt grupate în
intervale atunci se va folosi pentru calculele anterioare valoarea din mijlocul
fiecarui interval ( *ix ). În continuare prezentăm un asemenea exemplu.
EXEMPLU:
Se efectuează un sondaj asupra unui eşantion de 60 de unităţi de cazare din
zona oraşului Iaşi, obţinându-se următoarele date:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
149
Capacitate de cazare (locuri de cazare)
[20,40) [40,60) [60,80) [80,100) [100,120)
Număr de unităţi turistice
8 10 32 7 3
Să se caracterizeze datele din tabel folosind dispersia, abateria medie pătratică şi
coeficientul de variabilitate.
Rezolvare: Construim tabelul următor pornind de la datele din ipoteză:
ix ik ∗ix ii kx ∗ xxi −∗ ( )2xxi −∗ ( ) ii kxx ⋅−∗ 2
[20,40) 8 30 240 -35.67 1272.11 10176.89 [40,60) 10 50 500 -15.67 245.44 2454.44 [60,80) 32 70 2240 4.33 18.78 600.89 [80,100) 7 90 630 24.33 592.11 4144.78 [100,120) 3 110 330 44.33 1965.44 5896.33
suma 60 3940 23273.33
601
==∑=
n
iikN , media: 66.65
6039401
*
===∑=
N
kxx
n
iii
locuri de cazare,
Varianţa: ( )
89.38760
33.232731
2
2 ==⋅−
=∑=
N
kxxn
ii
σ ,
Deviaţia standard: ( )
69.1960
33.232731
2
==⋅−
=∑=
N
kxxn
ii
σ locuri de
cazare. Coeficientul de variaţie
%3098.291002998.010066.6569.19100.%. ≈=⋅=⋅=⋅=
xVC σ .
Interpretare: În cazul acestui sondaj numărul de locuri de cazare mediu la
unităţile verificate este de 65,66 locuri. Abaterea media pătratică este de 19,69
locuri de cazare faţă de media de 65,66 locuri de cazare. Coeficientul de variaţie
este de aprovimativ 30% ceea ce înseamnă că fenomenul are o repartiţie slab
omogenă şi că valoarea medie este slab reprezentativă.
Exerciţiu
1. Se efectuează un sondaj aspra unui eşantion de 60 de şcoli din zona
oraşului Vaslui, obţinându-se următoarele date:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
150
Nr. de elevei în clasă [15, 18) [18, 20) [20, 23) [23, 25) [25, 30) Nr. de şcoli 3 9 29 11 8
Să se caracterizeze datele din tabel folosind dispersia, abateria medie
pătratică şi coeficientul de variaţie.
4.10 Frecvenţa absolută. Frecvenţa relativă. Frecvenţe cumulate
Numărul total de indivizi al unei populaţii se numeşte efectivul total al
acelei populaţii.
Definiţie 5. Se numeşte frecvenţa absolută a unei valori x numărul de apariţii ale
acelei valori.
EXEMPLU:
În tabelul 2 valoarea pentru nota 6 a caracteristicii are frecvenţa absolută egală cu
16. De aici rezultă că suma frecvenţelor absolute ale tuturor valorilor
caracteristice este egală cu efectivul total al populaţiei.
Tabel 5.
Nota Nr. de studenţi= Frecvenţa absolută
Frecvenţa relativă
2 1 01,0100
1==
3 1 01,0 4 5 05,0 5 14 14,0 6 16 16,0 7 17 17,0 8 21 21,0 9 15 15,0 10 10 10,0
Total 100
Definiţie 6. Se numeşte frecvenţă relativă a unei valori x raportul dintre
frecvenţa absolută a valorii x şi efectivul total al selecţiei.
Notăm:
( )nnxf x= .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
151
unde f(x) este frecvenţa relativă a valorii x, nx este frecvenţa absolută a acestei
valori, iar n este efectivul total.
În cazul caracteristicilor cantitative aceste tabele scot în evidenţă o
corespondenţă între două mulţimi de numere: mulţimea valorilor caracteristicii şi
mulţimea frecvenţelor corespunzătoare, asemănător cu corespondenţa de la
variabilele aleatoare:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
n
n
pppxxx
X……
21
21: ,
unde pe prima linie sunt trecute valorile variabilei, iar în cea de-a doua linie
probabilităţile corespunzătoare acelei valori.
Tabel 6
Valori Frecvenţa x1 p1 x2 p2 x3 p3 ... ... xn pn
Observaţie: Suma frecvenţelor relative ale tuturor valorilor variabilei este 1.
Tabel 7 Nota Frecvenţa
absolută Frecvenţa relativă
Frecvenţa absolută cumulată
crescătoare
Frecvenţa absolută cumulată
descrescătoare
Frecvenţa relativă
cumulată crescătoare
Frecvenţa relativă
cumulată descrescătoare
2 1 01,0 1 100 0,01 1 3 1 01,0 2 99 0,02 0,99 4 5 05,0 7 98 0,07 0,98 5 14 14,0 21 93 0,21 0,93 6 16 16,0 37 79 0,37 0,79 7 17 17,0 54 63 0,54 0,63 8 21 21,0 75 46 0,75 0,46 9 15 15,0 90 25 0,90 0,25 10 10 10,0 100 10 1 0,10
Definiţie 7. Se numeşte frecvenţa absolută cumulată crescătoare a unei valori x
suma frecvenţelor absolute ale tuturor valorilor variabilei care apar până la x
inclusiv.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
152
Definiţie 8. Se numeşte frecvenţa absolută cumulată descrescătoare a unei
valori x suma frecvenţelor absolute ale tuturor valorilor variabilei care apar de la x
inclusiv.
Definiţie 9. Se numeşte frecvenţă relativă cumulată crescătoare a unei valori x
suma tuturor frecvenţelor relative ale valorilor care apar până la x inclusiv.
Definiţie 10. Se numeşte frecvenţă relativă cumulată descrescătoare a unei
valori x suma tuturor frecvenţelor relative ale valorilor care apar de la x inclusiv.
Putem interpreta acest tabel în felul următor: pe linia 5 şi coloana 4 ne
spune că există 21 de studenţi cu note mai mici sau egale cu 5. Putem interpreta,
de asemenea, datele din coloana 7 că există 0,10 = 10% studenţi cu note de 10.
Exemplu:
Intr-un cartier al unui oras distribuţia familiilor dupa numărul de copii este
dată de tabelul:
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
ni 18 30 32 28 22 10 12 11
Pentru analiza datelor utilizăm informaţiile din tabelul următor:
1 2 3 4 5 6 7 8
xi ki frecventa relativa
frecventa absoluta crescator
frecventa absoluta
descrescator
frecventa relativa
crescator
frecventa relativa
descrescator
xi . ki
0 18 0.110 18.000 163.000 0.110 1.000 0 1 30 0.184 48.000 145.000 0.294 0.890 30 2 32 0.196 80.000 115.000 0.491 0.706 64 3 28 0.172 108.000 83.000 0.663 0.509 84 4 22 0.135 130.000 55.000 0.798 0.337 88 5 10 0.061 140.000 33.000 0.859 0.202 50 6 12 0.074 152.000 23.000 0.933 0.141 72 7 11 0.067 163.000 11.000 1.000 0.067 77
total 163 Total 465
a. Să se calculeze numărul de familii care au cel puţin 4 copii şi cel mult 3 copii,
b. Să se calculeze ponderea familiilor cu 5 copii, ponderea familiilor cu cel mult 4
copii şi ponderea familiilor cu cel puţin 3 copii.
c. Să se calculeze numărul mediu de copii pe familie în acest cartier.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
153
Rezolvare:
a. numărul de familii care au cel puţin 4 copii = 55 familii (coloana 5);
numărul de familii care au cel mult 3 copii = 108 familii (coloana 4);
b. ponderea familiilor cu 5 copii = 0.061 * 100 = 6,1% (coloana 3);
ponderea familiilor cu cel mult 4 copii = 0.798 * 100 = 79.8 % (coloana 6);
ponderea familiilor cu cel puţin 3 copii = 0.509 * 100 = 50.9 % (coloana 7);
c. numărul mediu de copii pe familie = 852.2163465
7
1
7
1 ==⋅
∑
∑
=
=
ii
iii
k
kxcopii pe familie.
Exerciţiu
Repartiţia frecvenţelor absolute ale elevilor olimpici dintr-un total de 100
de scoli este dată de tabelul:
x (nr. de olimpici) 2 3 4 5 6 7 8 y (frecvenţa
absolută) 5 6 7 10 23 24 25
Se cere să se determine frecvenţele absolute şi relative simple şi cumulate;
4.11 Ajustarea datelor unei serii statistice
În cadrul unor sondaje apar serii numerice ce trebuie analizate din punct de
vedere al evoluţiei în timp a sistemului.
La momentul t0 am obţinut prin măsurare o valoare n0. La fel şi pentru
celelalte valori măsurate adică: la momentul ti obţinem valori măsurate ni. Rezultă
că putem să scriem matematic că am obţinut punctele ( )iii ntP , . Problema este să
determinăm o funcţie al cărui grafic să treacă foarte "aproape" de valorile
determinate prin măsurare.
Acest procedeu a fost introdus de C. F. Gauss şi este cunoscut sub numele
de "metoda celor mai mici pătrate".
Pentru a înţelege mai uşor aceste noţiuni alegem un exemplu: să notăm
punctele ( )iii yxP , , i=1... n.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
154
Primul procedeu este să căutăm o funcţie liniară al cărei grafic este o
drepată:
( ) ybaxxfRRf =+=→ ,: .
astfel încât funcţia ( ) ( )∑=
−−=n
iii baxybah
1
2, să fie minimă.
Utilizăm notaţiile (Burdujan, 2006):
( ) ( ) ( ) ∑∑∑===
===n
ii
n
ii
n
ii x
nxMy
nyMx
nxM
1
22
11
1;1;1 .
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∑=
⋅=⋅−=n
iii yx
nyxMxMxMxD
1
222 1; .
( ) ( ) ( ) ( ) ., yMxMyxMyxS ⋅−⋅=
Le putem utiliza în formula:
( )( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
=
).(
,,
00
20
xMayMbxDyxSa
unde a0 şi b0 sunt valorile pentru care h (a, b) devine minimă.
Funcţia obţinută folosind cele două valori ( ) 00,: bxaxfRRf +=→ se
numeşte funcţia liniară de ajustare a datelor.
Al doilea procedeu este să căutăm o funcţie polinomială de forma
(Burdujan, 2006):
( ) 00
11
22
11 ...,: xaxaxaxaxaxfRRf n
nn
nn
n +++++=→ −−
−− .
ai cărei coeficienţi minimizează expresia:
( ) ( )∑=
−−
−− −−−−−−=
n
i
nn
nn
nnin xaxaxaxaxayaaah
0
200
11
22
1110 ...,...,, .
Astfel de ajustări se numesc ajustări polinomiale ale seriilor statistice.
În caz particular alegem puterea a doua pentru polinom şi obţinem o
ajustare parabolică: ( ) 012
2,: axaxaxfRRf ++=→ cu graficul o parabolă.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
155
Coeficienţii se vor determina după rezolvarea următorului sistem de
ecuaţii:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
====
====
===
.
,
,
1
2
1
42
1
31
1
20
11
32
1
21
10
11
22
110
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxaxana
unde coeficienţii minimizează expresia: ( ) ( )∑=
−−−=m
ii axaxanaaah
0
20
11
22210 ,, .
EXEMPLU:
Într-o cercetare s-au numărat păstăile de pe o plantă şi s-a măsurat
înălţimea plantei respective. S-au obţinut următoarele rezultate:
Înălţimea plantei 25 30 40 50 55 Număr de păstăi pe plantă 5 9 8 10 11
Să se determine funcţia de ajustare liniară ( ) 00,: bxaxfRRf +⋅=→ .
Se construieşte tabelul următor:
ix iy ii yx 2ix 45.215.0~ +⋅= ii xy ii yy ~− ( )2~
ii yy −
25 5 125 625 6.2923 -1.2923 1.6701 30 9 270 900 7.0615 1.9385 3.7576 40 8 320 1600 8.6000 -0.6000 0.3600 50 10 500 2500 10.1385 -0.1385 0.0192 55 11 605 3025 10.9077 0.0923 0.0085
∑=
5
1iix
200
∑=
5
1iiy
43
∑=
5
1iii yx
1820
∑=
5
1
2
iix
8650
( )∑=
−5
1
2~i
ii yy
( )xM 40
( )yM 8.6
( )xyM 364
( )2xM 1730
= 5.8154
Obţinem ( ) ( ) ( )[ ] 13016001730401730 2222 =−=−=−= xMxMxD ,
( ) ( ) ( ) ( ) 203443646.840364., =−=⋅−=⋅−⋅= yMxMyxMyxS .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
156
Deci ( )( )
( ) 4461.21520.66.8401538.06.8)(
,1538.013020,
00
20
=−=⋅−=−=
===
xMayMbxDyxSa
.
Funcţia de ajustare liniară este ( ) 45.215.0,: +⋅=→ xxfRRf .
Deci ( ) ( ) 8154.545.215.0,1
200 =−⋅−=∑
=
n
iii xybah .
Exerciţii
1. Să se ajusteze liniar următoarele date:
x 0.25 0.35 0.46 0.54 0.57
y 5 9 8 10 11
2. Să se ajusteze liniar următoarele date:
x 33 29 22 12 9
y 144 81 49 36 9
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
157
4.12 Intervale de încredere
Estimarea prin interval de încredere constă în determinarea unui interval în
care, cu o probabilitate dată, se situează valoarea unui parametru necunoscut
pentru întreaga populaţie.
Cei mai importanţi parametrii ce pot fi estimaţi prin intervale de încredere
sunt media ( μ ), varianţa ( 2σ ) şi proporţia (p).
Modul de lucru pentru determinarea intervalului de încredere este
următorul: se pleacă de la o estimaţie a valorii parametrului pentru un eşantion al
populaţiei şi se determină extremităţile intervalului de încredere.
Intervalul de încredere va acoperii valorile parametrului cu o probabilitate
dată (cu un coeficient de risc α având cel mai des valorile 01.0,02.0;05.0 ).
Dacă θ este parametrul pe care dorim să-l analizăm atunci prin interval de
încredere înţelegem un interval ( )21,tt :
( ) αθ −=<< 121 ttP .
unde α se numeşte nivel de semnificaţie sau nivel de risc.
Acest nivel de semnificaţie, arată care este şansa ( ( ) %1001 ⋅−α ) ca
parametrul θ să se găsească în intervalul de încredere. Cu cât valoarea lui α este
mai mică cu atât şansa este mai mare.
Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru media variabilei
aleatoare cu repartiţie normală cu dispersia cunoscută ( 2σ ), având nivelul de
semnificaţie α :
n>=30
Pas. 1. Calculez x ;
Pas.2 Calculez z :
( ) α−=Θ⋅ 22 0t .
Pas. 3.
( )1,0N
n
x≈
−σμ . (*)
Pas. 4. Scriem intervalul de încredere:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
158
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
nzx
nzxI σσ , .
Interpretare: Cu o probabilitate de ( ) %1001 ⋅−α se poate considera că
valorile parametrului θ sunt acoperite de intervalul de încredere determinat.
Există un risc de 100⋅α % ca valorile parametrului θ să nu aparţină acestui
interval.
EXEMPLU:
Să se estimeze printr-un interval de încredere, cu nivel de încredere
05.0=α , producţia medie a unui soi de plante medicinale ştiind că variabila
aleatoare X (producţie medie pe parcele de 10 m2) are repartiţie normală cu
abaterea standard de 84.1=σ . Se mai ştie că producţiile medii de pe 8 parcele (de
10 m2) sunt: 8kg, 10kg, 12kg, 8kg, 11kg, 14kg, 10kg, 12kg.
Rezolvare:
Pas. 1. Calculăm ( ) 95.05.0222 0 =−=−=Θ⋅ αt rezultă că ( ) 475.00 =Θ t .
Mergem la tabelul din anexa doi şi căutăm valoarea funcţiei 0.475. O găsim pe
linia 1.9 şi coloana 6 deci 96.1=z .
Pas. 2. Calculăm media estimată a eşantionului ales:
( ) 625.101210141181210881
=+++++++=x .
Pas. 3. Intervalul de încredere este:
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
nzx
nzx σσ , =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅−
884.196.1625.10,
884.196.1625.10
[ ]65.096.1625.10,65.096.1625.10 ⋅+⋅−=
[ ] [ ]899.11,351.9274.1625.10,274.1625.10 =+−= .
Deci [ ]899.11,351.9=I kg.
Interpretare: Cu o probabilitate de 95% se poate considera că media
producţiei de plante medicinale pe parcele de 10 m2 este acoperită de intervalul
[ ]899.11,351.9=I .
Există un risc de 5% ca media producţiei să nu aparţină acestui interval.
Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru medie când
dispersia 2σ este necunoscută, având nivelul de semnificaţie α :
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
159
n<30
În acest caz dispersia 2σ este necunoscută şi din această cauză ea trebuie
estimată.
( ) ( )[ ]221
2 ...1
1 xxxxn
s n −++−−
=
Pentru a estima media μ necunoscută se normalizează variabila aleatoare
X:
( )1*
−≈− nt
n
xσμ , (*)
repartiţie de tip student cu n-1 grade de libertate.
Intervalul de încredere se determină în mod asemănător cu problema
anterioară:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
−− ntx
ntxI
nn*
1;2
*
1;2
* , σσαα .
Exemplu:
Fie un eşantion de volum n=5 firme dintr-un oras T cu cheltuieli în luna
august X: 10, 8, 12, 6, 4. (mii lei). Să se estimeze prin interval de încredere
cheltuielile firmelor din oraşul T considerând un nivel de risc 05,0=α .
Trebuie să observăm că volumul este mai mic decât 30 şi că varianţa este
necunoscută.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=
−− ntx
ntxI
nn
*
1;2
*
1;2
* , σσαα .
8540
546128101 ==
++++==
∑=
n
xx
n
ii
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 83.284
8486812888101
222221
2
* ==−+−+−+−+−
=−
−=∑=
n
xxn
ii
σ
.
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
160
Pentru a calcula valorea 4;025.01;2
ttn
=−
α se utilizeaza tabelul din Anexa 2.
776.24;025.0 =t , de unde obţinem pentru intervalul de încredere următoarele valori:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅+⋅−=
23.283.2776.28,
23.283.2776.28*I .
Adică
[ ]26.1776.28,26.1776.28* ⋅+⋅−=I .
[ ]497.38,497.38* +−=I .
[ ]497.11,503.4* =I .
Interpretare:
Cu o probabilitate de 95% se poate considera că firmele din oraşul T vor cheltui în
luna august o sumă ce se va situa în intervalul [ ]497.11,503.4* =I mii lei. Există un
risc de 5% ca media cheltuielilor să nu aparţină intervalului determinat.
Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru dispersie 2σ
când media μ este cunoscută
Pas. 1. Se alege selecţia { } nixi ,1, = .
Pas. 2. Se determină numerele 21,tt din Anexa 3 astfel încât:
( ) ασ −=<< 122
1 ttP .
Pas. 3. Pentru estimarea lui 2σ se determină estimaţia:
( ) ( ) ( )[ ]222
21
2* ...1 μμμ −++−+−= nxxx
ns ,
( )nsn 22*2 ℵ≈
σ reprezintă o repartiţie Χ2 cu n grade de libertate
Pas. 4. Intervalul de încredere este:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
2*
2
2* ,
tsn
tsnI
Procedeu de determinare a intervalului de încredere pentru dispersie 2σ
când media μ este necunoscută
Nu se cunoaşte dispersia şi trebuie estimată punctual ceea ce conduce la
pierderea unui grad de libertate:
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
161
( ) ( ) ( )[ ]222
21
2 ...1
1 xxxxxxn
s n −++−+−−
= ,
( )1222 −Χ≈ nsn
σ.
Intervalul de încredere este:
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
1
2
2
2 1,1t
snt
snI .
Intervalele de încredere sunt folosite la testarea ipotezelor statistice.
Aceste teste ne permit ca să putem valida anumite estimări de parameterii cum ar
fi media sau dispersia.
Exerciţii
1. În scopul estimării producţie unei cereale se cultivă 8 parcele a 10 m2 şi
se obţine media aritmetică a producţiei de 10=x kg şi o abatere standard de
g500=σ . Să se determine intervalul de încredere pentru producţia medie cu
nivel de încredere de 05.0=α .
2. Să se determine greutatea medie a unei pâini cu nivel de încredere de
02.0=α ştiind că pe un eşantion de 500 de pâini s-a obţinut gx 500= şi
g25.15=σ .
3. Studiind proporţia de bărbaţi si de femei ce devin absolvenţi la o
universitate s-au cercetat 150 de absolvenţi şi am găsim 69 sunt femei. Se cere să
se determine intervalul de încredere al proporţiei de bărbaţi cu un nivel de
semnificaţie de 05.0=α .
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
162
Anexa 1
Funcţia Laplace ( ) ∫−
=Θu t
dteu0
2
2
21π
.
Exemplu: ( ) 4131.036.1 =Θ , se verifică intersecţia dintre linia u = 1.3 şi coloana cu valoarea ultima zecimală a lui u adică 6. Invers: Dacă ( ) 4808.0=Θ u care se găseste la intersecţia dintre linia 2.0 şi coloana 7 atunci u = 2.0.
u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.02790.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.06750.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.10640.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.14430.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.18080.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.21570.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.24860.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.27940.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.30780.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.33400.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.35770.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.37900.3810 0.38301.2 0.3549 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.39800.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.41470.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.42920.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.44180.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.45250.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.46160.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.46930.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.47560.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.48080.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.48500.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4571 0.4875 0.4872 0.4881 0.48840.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.49110.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.49320.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.49490.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.49620.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.49720.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.49790.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.49850.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.49890.4990 0.49903.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.49930.4993 0.49933.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.49950.4995 0.49953.3 0.4995 0.4991 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.49960.4996 0.49973.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49970.4997 0.49983.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.49980.4998 0.49983.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49990.4999 0.49993.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49990.4999 0.49993.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.49990.4999 0.49993.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.50000.5000 0.5000
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
163
Anexa 2 Tabel Student T este o variabilă cu repartitie student cu v grade de libertate, Acest tabel dă valorile indicate de t care verifică relaţia ( ) PtTP =≥ . (Jaba, 2000).
Grade de libertate 1.0t 05.0t 025.0t 01.0t 005.0t
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 17 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 ∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
164
BIBLIOGRAFIE
1. Aldea Florica, Matematici aplicate în ştiinţele agricole şi silvice, Editura
Risoprint, Cluj Napoca, 2006. 2. Bunu I. coord. colectiv de autori, Matematici economice, Departamentul
Editorial Poligrafic al Academiei de Studii Economice a Moldovei, Chişinău, 2012.
3. Burdujan I., Elemente de algebră cu aplicaţii în biologie, Ed. Pim, Iaşi, 2006. 4. Burtea M., Burtea Georgeta, Matematică, clasa a X-a, Ed. Carminis, Piteşti,
2005. 5. Diaconiţa V., Spînu M., Rusu Ghe., Matematici aplicate în economie, Ed.
Sedcom Libris, Iaşi, 2004. 6. Diaconiţa V., Spînu M., Rusu Ghe., Amariei M., Matematici aplicate în
economie - Teste grilă, Ed. Sedcom Libris, Iaşi, 2004 7. Donciu N., Flondor D., Simionescu, Gh., Algebră şi analiză matematică -
culegere de probleme, vol. 1, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967.
8. Donciu N., Flondor D., Simionescu, Gh., Algebră şi analiză matematică - culegere de probleme, vol. 2, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965.
9. Jaba Elisabeta, Statistică - ediţia a doua - Editura Economică, Bucureşti, 2000. 10. Jaba Elisabeta, Statistică descriptivă - manual pentru învăţământ deschis la
distanţă, Ed. Univ. Al. I. Cuza, Iaşi, 2005. 11. Jaba Elisabeta, Pintilescu Carmen, Statistică - teste grilă şi probleme, ediţia a
doua, Ed. SedcomLibris, Iaşi, 2007. 12. Mihoc Gh., Micu, N., Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică
matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1988. 13. Ott Lyman R., Longnecker M., An Introduction to Statistical Methods and
Data Analysis - fifth edition - Thomson learning Academic Resourse Centre, Duxbury, USA, 2001.
14. Reischer C., Sâmboan A., Culegere de probleme de teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972.
15. Schneider Gheorghe-Adalbert, Culegere de probleme de algebră, Editura Hyperion, Craiova, 1994.
16. Stoleriu I., Statistică prin Matlab, Ed. Matrixrom, Iaşi, 2010. 17. Tamaş V., Matematică pentru studenţi economişti, Ed. Junimea, Iaşi, 2001
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
165
Cuprins
Pag. Unitate de învăţare I. Elemente de algebră liniară
1.1. Matrice şi determinanţi .......................................................... 51.1.1. Cazuri particulare ........................................................... 61.1.2. Operaţii cu matrice ........................................................ 71.1.3. Înmulţirea cu scalar ........................................................ 81.1.4. Transpusa unei matrice .................................................. 91.1.5. Determinanţi .................................................................. 91.1.6. Rangul unei matrice ....................................................... 111.1.7. Matrice inversabilă ......................................................... 12
1.2. Sisteme de ecuaţii liniare ....................................................... 141.2.1. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii ................................... 16
1.2.1.1. Sistem Cramer ....................................................... 161.2.1.2. Metoda eliminării parţiale Gauss .......................... 171.2.1.3. Metoda eliminării totale Gauss Jordan ................. 221.2.1.4. Explicitarea unui sistem de ecuaţii ........................ 27
1.2.2. Calcularea inversei unei matrice folosind metoda eliminării totale ............................................................................. 29
Unitate de învăţare II. Elemente de algebră abstractă 2.1. Lege de compoziţie ................................................................ 332.2. Structuri algebrice .................................................................. 352.3. Spaţii vectoriale ...................................................................... 402.4. Tranformări liniare ................................................................. 50
Unitate de învăţare III. Elemente de programare liniară 3.1. Introducere în programare liniară ......................................... 563.2. Structura unei probleme de programare liniară (P.P.L.) ........ 573.3. Metoda grafică de rezolvare a P.P.L. ...................................... 603.4. Metoda simplex de rezolvare a P.P.L. .................................... 653.5. Descrierea algoritmului simplex primal ................................. 753.6. Metoda celor două faze ......................................................... 81
Unitate de învăţare IV. Elemente de probabilităţi şi statistică 4.1. Evenimente ............................................................................ 874.2. Operaţii cu evenimente ......................................................... 894.3. Probabilităţi ........................................................................... 914.4. Scheme probabilistice clasice ................................................ 974.5. Variabile aleatoare ................................................................. 102
4.5.1. Operaţii cu variabile aleatoare ..................................... 1044.5.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare ........... 1074.5.3. Valori tipice ale unei variabile aleatoare ..................... 112
4.6. Repartiţii clasice ..................................................................... 1264.7. Organizarea şi descrierea datelor ........................................... 1384.8. Reprezentarea grafică a seriilor statistice .............................. 1424.9. Caracteristici numerice ale seriilor statistice ......................... 1454.10. Frecvenţa absolută, frecvenţa relativă şi frecvenţa cumulată ... 1504.11. Ajustarea datelor unei serii statistice ................................... 1534.12. Intervale de incredere .......................................................... 157
Dr. Ciprian Chiruţă Suport de curs
166
Anexa 1 ..................................................................................................... 162Anexa 2 ...................................................................................................... 163 Bibliografie ................................................................................................. 164Cuprins ....................................................................................................... 165
Recommended