View
229
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
1/78
APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL
PADA UNIT PELAKSANA TEKNIS (UPT) PERPUSTAKAAN
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
SKRIPSI
Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1
untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama : Diah Puspitasari
NIM : 4150401031
Prodi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2005
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
2/78
ABSTRAK
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering terjadi suatu antrian apabila sedangmenunggu giliran. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang dilayani melebihikapasitas pelayanan. Pada penelitian ini mengambil kasus yang terjadi pada UPTPerpustakaan UNNES
Permasalahan dalam penelitian ini bagaimana model antrian di UPTPerpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem danantrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu didalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan berapa persentase waktumenganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan berapa jumlah pelayanideal. Tujuan dilakukan penelitian ini untuk mengetahui model antrian pada UPTPerpustakaan UNNES, untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata didalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata
waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket,dan untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal.
Penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini melalui beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan masalah. Untuk pemecahanmasalah dilakukan pengumpulan data selama 3 hari. Dari data yang dipeolehdilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam analisis data yaitu menentukandistribusi peluang dari data yang diperoleh dengan uji kebaikan suai khi kuadrat,menentukan model antrian, menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang beradadalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yangdihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, danmenghitung persentase menganggur para pelayan pada loket yang diteliti.
Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT PerpustakaanUNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Waktu antar kedatangan berdistribusiPoisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.1. Pada loket peminjaman buku
Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)
Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736 20,88
Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667 14,16
Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617 39,212. Pada loket pengembalian buku
Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)
Senin, 15 Agustus 2005 4,291 3,480 9,174 7,435 18,96
Selasa, 16 Agustus 2005 0,923 0,443 2,358 1,133 51,96Kamis, 18 Agustus 2005 1,146 0,612 2,544 1,358 46,62
Waktu menunggu yang diinginkan pengunjung tidak lebih dari 15 menit danwaktu menganggur pelayan yang diperbolehkan oleh UPT Perpustakaan UNNESadalah 10% maka banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun
pada loket pengembalian buku adalah satu orang.Saran yang dapat diberikan yakni perlu adanya peningkatan kualitas pelayanan
pada UPT Perpustakaan UNNES dan pada waktu terjadi antrian yang sangat panjangsebaiknya waktu pelayanan dipercepat sehingga tidak mengakibatkan waktumenunggu yang terlalu lama.
ii
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
3/78
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul “Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada
Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang”
ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada
Hari : Rabu
Tanggal : 21 Desember 2005
Panitia Ujian
Ketua, Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si
NIP. 130781011 NIP. 130815345
Pembimbing Utama Anggota Penguji
Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si
NIP. 131876228 NIP. 131763886
Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si
NIP. 131876228
Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si
NIP. 130815345 NIP. 130815345
iii
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
4/78
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
Allah tidak membebani seseorang melainkan dengan kesanggupannya (QS.
Al Baqarah : 286)
Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6)
Bertanyalah kamu kepada ahli ilmu jika kamu tidak tahu (QS. An Nahl : 43)
PERSEMBAHAN
Kedua orang tuaku tercinta
Adik-adikku
Mas Agus tersayang
Teman seperjuangan Mat ’01 B
Teman-teman kost Reyna
iv
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
5/78
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis
UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang” ini dengan baik.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu
dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. H. A.T. Soegito, SH, MM, Rektor UNNES
2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.
3. Bapak Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.
4. Ibu Dra. Nur Karomah, M. Si dan Bapak Drs. Supriyono, M. Si, yang telah
memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis dalam penyusunan
skripsi ini.
5. Bapak Drs. Murgono, SIP, Kepala UPT Perpustakaan UNNES yang telah
memberikan ijin kepada penulis dalam melaksanakan penelitian.
6.
Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini belum sepenuhnya
sempurna, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan
untuk kesempurnaan skripsi ini.
Semarang, Oktober 2005
v
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
6/78
Penulis
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL...................................................................................... i
ABSTRAK..................................................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN................................................................. iv
KATA PENGANTAR ................................................................................... v
DAFTAR ISI.................................................................................................. vi
DAFTAR TABEL.......................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... x
DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................. xi
BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah............................................................ 1
B. Permasalahan ............................................................................ 3
C. Batasan Masalah ....................................................................... 3
D.
Tujuan dan Manfaat .................................................................. 4
E. Sistematika Skripsi.................................................................... 4
BAB II LANDASAN TEORI...................................................................... 7
A. Distribusi Poisson dan Eksponensial ........................................ 7
B. Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial .............................. 9
C. Uji Kebaikan Suai ..................................................................... 13
D.
Proses Kelahiran-Kematian....................................................... 15
vi
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
7/78
E. Teori Antrian............................................................................. 17
BAB III METODE PENELITIAN................................................................ 36
A. Perumusan Masalah .................................................................. 36
B. Studi Pustaka............................................................................. 36
C. Pemecahan Masalah .................................................................. 36
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN .............................. 39
A. Hasil Penelitian ......................................................................... 39
B. Pembahasan............................................................................... 56
BAB V PENUTUP....................................................................................... 60
A.
Simpulan ................................................................................... 60
B. Saran.......................................................................................... 62
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 63
LAMPIRAN-LAMPIRAN............................................................................. 64
vii
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
8/78
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman
Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005......................................... 52
Tabel 4.2 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman
Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005........................................ 53
Tabel 4.3 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman
Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ........................................ 53
Tabel 4.4 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian
Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005.......................................... 53
Tabel 4.5 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian
Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005........................................ 54
Tabel 4.6 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian
Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ....................................... 54
Tabel 4.7 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari
Senin, 15 Agustus 2005 ........................................................... 55
Tabel 4.8 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari
Selasa, 16 Agustus 2005........................................................... 55
viii
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
9/78
Tabel 4.9 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari
Kamis, 18 Agustus 2005 .......................................................... 55
Tabel 4.10 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari
Senin, 15 Agustus 2005 ........................................................... 56
Tabel 4.11 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari
Selasa, 16 Agustus 2005 ........................................................ 56
Tabel 4.12 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari
Kamis, 18 Agustus 2005 ......................................................... 56
ix
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
10/78
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Struktur Dasar Antrian .............................................................. 18
Gambar 2.2 Sistem Antrian Dasar ................................................................ 21
Gambar 2.3 Skema Antrian Satu Saluran Satu Tahap .................................. 21
Gambar 2.4 Skema Antrian Banyak Saluran Satu Tahap ............................. 22
Gambar 2.5 Skema Antrian Satu Saluran Banyak Tahap ............................. 22
Gambar 2.6 Skema Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap ...................... 22
x
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
11/78
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Data Penelitian Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan
UNNES ..................................................................................... 64
Lampiran 2. Data Penelitian Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan
UNNES ..................................................................................... 70
Lampiran 3. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket
Pemunjaman buku..................................................................... 76
Lampiran 4. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket
Pengembalian buku ................................................................... 77
Lampiran 5. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung
Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES.............. 78
Lampiran 6. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung
Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES........... 80
Lampiran 7. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket
Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES........................ 81
Lampiran 8. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket
Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES ..................... 82
Lampiran 9. Tabel Distribusi Khi Kuadrat .................................................... 83
Lampiran 10 Angket Pengunjung UPT Perpustakaan UNNES..................... 84
xi
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
12/78
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul “Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada
Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang”
ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada
Hari : Rabu
Tanggal : 21 Desember 2005
Panitia Ujian
Ketua, Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si
NIP. 130781011 NIP. 130815345
Pembimbing Utama Anggota Penguji
Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si
NIP. 131876228 NIP. 131763886
Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si
NIP. 131876228
Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si
NIP. 130815345 NIP. 130815345
iii
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
13/78
ABSTRAK
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering ditemui suatu antrian apabilasedang menunggu giliran. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang
dilayani melebihi kapasitas pelayanan. Padapenelitian ini mengambil kasus
yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES
Permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana model antrian di
UPT Perpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam
sistem dan antrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu
pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket,
dan berapa jumlah pelayan ideal berdasarkan persentase waktu menganggur
untuk pelayan pada masing-masing loket. Tujuan dilakukan penelitian ini
adalah Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES,
untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem danantrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata waktu
pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket,
dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal berdasarkan persentase waktu
menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket
Metode Penelitian yang dilakukan dalam penelitianini meliputi
beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan
masalah. Untuk pemecahan masalah dilakukan pengumpulan data selama 3
hari. Dari data yang dipeoleh dilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam
analisis data yaitu menentukan distribusi peluang dari data yang diperoleh
dengan uji kebaikan suai khi kuadrat, menentukan model antrian, menghitung
rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan antrian pada loket
yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan
dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, dan menghitung persentase
menganggur para pelayan pada loket yang diteliti.
Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT
Perpustakaan UNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Kedatangan
berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
1. Pada loket peminjaman buku
Hari,tanggal L
(pengunjung
)
Lq(pengunjung)
W
(menit)
Wq(menit)
Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736
Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667
Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617
2. Pada loket pengembalian buku
Hari,tanggal L
(pengunjung)
Lq(pengunjung)
W
(menit)
Wq(menit)
Senin, 15 Agustus
2005
4,291 3,480 9,174 7,435
Selasa, 16 Agustus
2005
0,923 0,443 2,358 1,133
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
14/78
Kamis, 18 Agustus
2005
1,146 0,612 2,544 1,358
Banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun pada loket pengembalian buku adalah satu orang.
Saran yang dapat diberikan yakni sebaiknya waktu pelayanan dipercepat
sehingga tidak mengakibatkan waktu menunggu yang terlalu lama dalam
sistem maupun antrian
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
15/78
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari, setiap manusia pasti dihadapkan pada sebuah
situasi yang mengharuskannya untuk menunggu. Fenomena menunggu adalah
hasil langsung dari keacakan dalam operasi pelayanan. Sangat menyenangkan jika
diberi pelayanan tanpa ada keharusan untuk menunggu. Akan tetapi suka atau
tidak, menunggu merupakan bagian dalam kehidupan sehari-hari. Menunggu
dapat diidentikkan dengan suatu proses antrian yang tentunya memiliki
permasalahan yangt dapat dipecahkan.
Salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah antrian
adalah matematika. Secara garis besar matematika dibagi menjadi dua yaitu
matematika murni ( pure mathematics) dan matematika terapan (applied
mathematics). Teori antrian merupakan salah satu cabang dari matematika terapan
yang sering digunakan aplikasinya.
Teori antrian adalah teori yang mencakup studi matematis dari antrian-
antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu
saja merupakan suatu fenomena yang bisa terjadi apabila kebutuhan akan suatu
pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan
itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus
dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang
1
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
16/78
2
membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang
diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.
Pelaku-pelaku utama dalam sebuah situasi antrian adalah pelanggan
(customer ) dan pelayan (server ). Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan
dan pelayan adalah dalam kaitannya dengan periode waktu yang diperoleh
pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. Jadi, dari sudut pandang
kedatangan pelanggan yang diperhitungkan adalah interval waktu yang
memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga dalam pelayanan,yang
diperhitungkanadalah waktu pelayanan per pelanggan.
Dalam model-model antrian,kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan
diringkaskan dalam distribusi probabilitas yang umumnya disebut sebagai
distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan
(service time distribution).
Teori antrian dengan saluran tunggal merupakan teori tentang kedatangan
pelanggan dari satu barisan yang dilayani oleh seorang pelayan. Antrian dengan
saluran tunggal hanya membutuhkan satu pelayan dengan satu garis antrian.
Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang
(UNNES) merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki UNNES. Sarana
pelayanan tersebut bertujuan menyediakan bahan pustaka sesuai dengan
kebutuhan dan mengorganisasi bahan-bahan pustaka tersebut supaya mudah
digunakan. Bahan pustaka tersebut juga dapat mendorong mahasiswa untuk
belajar sesuai dengan kurikulumnya.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
17/78
3
UPT Perpustakaan UNNES memiliki dua ruang pelayanan perpustakaan
yaitu pelayanan sirkulasi dan pelayanan referensi. Dari pengamatan di UPT
Perpustakaan UNNES, pada ruang pelayanan sirkulasi ditemukan sejumlah
antrian. Antrian tersebut bersumber dari satu saluran. Melalui penelitian ini akan
dikaji sistem antrian di ruang pelayanan sirkulasi yaitu pada loket peminjaman
buku dan loket pengembalian buku.
B. Permasalahan
Permasalahan dalam penelitian ini sebagai berikut.
1. Bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES?
2. Berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada loket
peminjaman dan loket pengembalian buku?
3. Berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian
pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku?
4.
Berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada loket peminjaman
dan loket pengembalian buku?
5. Berapa jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket pengembalian
buku?
C. Batasan permasalahan
Batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah
1. Permasalahan dan data yang diambil hanya pada loket peminjaman buku dan
pengembalian buku pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang.
2. Penelitian dilakukan selama 3 hari pada pukul 09:00 – 11:00 di UPT
Perpustakaan Universitas Negeri Semarang.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
18/78
4
D. Tujuan dan Manfaat
1. Tujuan
Berdasarkan rumusan permasalahan, penelitian ini bertujuan
a. Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES.
b. Untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem
dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku.
c. Untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem
dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku.
d. Untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada
loket peminjaman dan loket pengembalian buku.
e. Untuk mengetahui jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket
pengembalian buku.
2. Manfaat
Manfaat dari penelitian yang dilakukan adalah
a. Sebagai penerapan teori yang diperoleh selama kegiatan perkuliahan ke
dalam praktik yang sebenarnya, serta sebagai pengalaman dalam
menganalisis suatu masalah secara ilmiah.
b. Sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan keputusan dalam
menentukan jumlah pelayan ideal pada UPT Perpustakaaan Universitas
Negeri Semarang.
E. Sistematika Skripsi
Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi menjadi tiga
bagian yaitu bagian awal skripsi, bagian isi skripsi, dan bagian akhir skripsi.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
19/78
5
1. Bagian Awal Skripsi
Bagian awal skripsi ini berisi halaman judul skripsi, abstrak, halaman
pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel,
daftar gambar, dan daftar lampiran.
2. Bagian Inti Skripsi
Bagian inti merupakan bagian pokok dalam skripsi yang terdiri dari lima
bab, yaitu :
BAB I Pendahuluan
Bab ini berisi latar belakang masalah, permasalahan, batasan
masalah, tujuan dan manfaat, dan sistematika skripsi.
BAB II Landasan Teori
Di dalam landasan teori ini akan dibahas tentang distribusi Poisson
dan Eksponensial, peran distribusi Poisson dan Eksponensial, uji
kebaikan-suai, proses kelahiran kematian, dan teori antrian.
BAB III Metode Penelitian
Di dalam bab ini dikemukakan metode penelitian yang berisi
langkah-langkah yang ditempuh untuk memecahkan masalah yaitu,
perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah.
BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan
Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasan.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
20/78
6
BAB V Penutup
Bab ini berisi simpulan dan saran
3. Bagian Akhir Skripsi
Bagian ini berisi daftar pustaka yang digunakan sebagai acuan dan
lampiran-lampiran yang melengkapi uraian bagian isi.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
21/78
7
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Distribusi Poisson dan Eksponensial
1. Distribusi Poisson
Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada
interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen
Poisson. Interval waktu tersebut dapat merupakan menit, hari, minggu, bulan,
maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi,
maupun sebuah material.(Dimyati, 1999:309)
Sifat suatu eksperimen Poisson (Dimyati, 1999:309) adalah sebagai berikut.
a. Jumlah sukses yang tejadi pada interval waktu atau daerah yang tertentu
bersifat independen terhadap yang terjadi pada interval waktu atau daerah
tertentu yang lain.
b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah
tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu ataupun
ukuran daerah terjadinya sukses tersebut.
c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval waktu
yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan.
Variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan
parameter λ jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.
7
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
22/78
8
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
=
−
lainyang, 0
...2,1,0,, !(x)f
x
x x
e x λ λ
(Djauhari, 1997:163-164)
Parameter λ merupakan rata- rata banyaknya sukses dalam suatu
selang. Parameter λ juga merupakan mean dan variansi dari X.
2. Disribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi
waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat acak.
Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak tergantung pada pada
banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang
sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang
menunggu untuk dilayani.
Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan
parameter( )
∑
∑∞
=
∞
=
∞
=
−=
=
1n 0n
nn
1n
nq
Pn
P1-nL
, jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.
⎩⎨⎧ >>
=lainyanguntuk; 0
0,0untuk; e)(
-
x
x x f
xλ λ λ
(Djauhari, 1997:175-176 )
disini, X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali
sukses dengan λ= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
23/78
9
B. Peranan Distribusi Poisson dan Eksponensial
Pada situasi antrian dimana kedatangan dan kepergian (kejadian) yang
timbul selama satu interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut ini.
Kondisi 1: Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan kepergian) yang
timbul antara t dan t + Δt bergantung hanya pada panjangnya Δt, yang
berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah
kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t).
Kondisi 2: Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat
kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu.
Kondisi 3: Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang
sangat kecil h
Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah kejadian
selama interval waktu yang berturut-turut adalah Ekponensial. Dengan kasus
demikian, dapat dikatakan bahwa kondisi-kondisi tersebut mewakili proses
Poisson.
Definisikan
Pn(t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t
Kemudian, berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang timbul
selama t + h adalah
P0(t + h) = P0(t)P0(h) ( 2.1 )
(Taha, 1999:179)
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
24/78
10
Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukkan bahwa 0 < P0(h) < 1.
Berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan sebagai berikut.
P0(t) = e-αt
, t ≥ 0 ( 2.2 )
dimana α adalah konstanta positif.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa proses yang dijabarkan dengan Pn(t),
interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial.
Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara Eksponensial dan Poisson,
kemudian dapat disimpulkan bahwa Pn(t) pastilah poisson.
Anggaplah f(t) merupakan fungsi kepadatan peluang dari interval waktu antar
pemunculan kejadian yang berturut-turut, t ≥ 0
Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir,
maka pernyataan berikut ini berlaku
⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ =⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛
Tsebelum kejadianadaTidakP
Tmelebihi kejadianantarWaktuP
Pernyataan ini dapat diterjemahkan menjadi
∫∞
=T
T Pdt t f )()( 0 ( 2.3 )
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 dengan persamaan 2.3, maka akan
diperoleh
∫∞ −=
T
T edt t f α )( , T > 0 ( 2.4 )
atau
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
25/78
11
T edt t f α −−=∫ 1)(T
0, T > 0 ( 2.5 )
dengan mengambil derivatif dari kedua sisi dalam kaitannya denagan T pada
persamaan 2.5, diperoleh
f(t) = αe-αt, t ≥ 0 ( 2.6 )
yang merupakan sebuah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial
dengan mean ( )α
1tE = unit waktu.
Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi Eksponensial,
teori peluang dapat menjelaskan bahwa Pn(t) adalah fungsi kepadatan peluang
dari distribusi Poisson,yaitu:
,!
)()(
n
et t P
t n
n
α α −= n = 0, 1, 2, … ( 2.7 )
Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n | t} = α t
kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian.
Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa jika interval waktu antara
beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial dengan meanα
1 unit
waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah Poisson
dengan laju pemunculan rata-rata (kejadian per unit waktu) α, dan sebaliknya.
Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak (completely
random process), karena memiliki sifat bahwa interval waktu yang tersisa sampai
pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak bergantung pada interval
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
26/78
12
waktu yang telah berlalu. Sifat ini setara dengan pembuktian pernyataan
probabilitas berikut ini.
P (t > T + S | t > S) = P (t > T) ( 2.8 )
Dimana S adalah interval waktu antara pemunculan kejadian terakhir.
Karena t bersifat Eksponensial, maka
)St|STt(P >+> =)S(tP
S) t,STt(P
>>+>
=)St(P
)ST(tP>
+>
=S
)ST(
α
α
−
+−
e
e
= e-α T
= P ( t > T ) ( 2.9 )
Sifat ini disebut sebagai forgetfullness atau lack of memory dari distribusi
eksponensial, yang menjadi dasar untuk menunjukkan bahwa distribusi poisson
sepenuhnya bersifat acak.
Satu ciri unik lainnya dari distribusi poisson adalah bahwa ini adalah
merupakan distribusi dengan mean yang sama dengan varian. Sifat ini kadang-
kadang digunakan sebagai indikator awal dari apakah sebuah sampel data ditarik
dari sebuah distribusi poisson.
(Taha, 1999: 178-180)
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
27/78
13
C. Uji Kebaikan-Suai
Uji kebaikan-suai (goodness of fit test ) adalah uji yang dilakukan untuk
menentukan distribusi probabilitas dari data yang dipereoleh dengan
membandingkan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan (Guttman,
1982:287)
Gagasan untuk membandingkan distribusi empiris dan distribusi teoritis
adalah dasar untuk uji Kolmogorov-Smirnov (K-S). Uji ini hanya dapat
diterapkan untuk variabel acak kontinu, memanfaatkan sebuah statistik untuk
menerima atau menolak distribusi yang dihipotesiskan dengan tingkat signifikansi
tertentu. Uji statistik lainnya yang berlaku untuk variabel diskrit maupuin kontinu
adalah uji khi-kuadrat. Uji ini didasari oleh perbandingan fungsi kepadatan
probabilitas, daripada fungsi kepadatan kumulatif seperti dalam uji K-S (Taha,
1997: 10-11).
1.
Uji Kebaikan-Suai Kolmogorov-Smirnov
Nilai K-S hitung dalam pengujian statistik dengan uji K-S diberi
simbol D yang dapat diperoleh dengan menggunakan rumus
D = max | f e - f o | ( 2.10 )
(Siegel, 1994:59)
D adalah deviasi absolut yang tertinggi, berupa selisih tertinggi antara
frekuensi harapan (f e) dengan frekuensi teoritis (f o)
Dalam uji Kolmogorov-Smirnov, H0 diterima apabila nilai D hitung
lebih kecil dari nilai kritis D (D tabel). Nilai kritis D dapat diketahui melalui
tabel Kolmogorov-Smirnov.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
28/78
14
2.
Uji Kebaikan Suai Khi-Kuadrat
a.
Uji Kebaikan-Suai Khi- Kuadrat terhadap peristiwa yang berdistribusi
Poisson.
Misalkan variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk
menghitung frekuensi harapan (f e) digunakan fungsi kepadatan
probabilitas dari distribusi Poisson.
m,...,2,1,0x
x!
e p(x)
-x
==λ λ
( 2.11 )
sehingga untuk sejumlah n frekuensi observasi (f 0), maka
f e = n p(x) ( 2.12 )
Nilai khi-kuadrat hitung (χ2) dihitung dengan rumus sebagai
berikut.
∑=
−=
m
0x e
2
e02
f
)f (f χ ( 2.13 )
dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam
mengembangkan fungsi kepadatan empiris.
(Agus Setiawan, 2003:16)
b. Uji Kebaikan-Suai Khi-Kuadrat terhadap kejadian yang berdistribusi
Eksponensial
Misalkan variabel acak X berdistribusi Eksponensial. Frekuensi
teoritis (f e) yang berkaitan dengan interval [Ii –1, Ii] dihitung sebagai
m...,2,1,i ,dtf(t)nf
i
1-i
e == ∫ ( 2.14 )
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
29/78
15
dengan m adalah banyaknya interval yang digunakan. Sedangkan f(t)
adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial dengan
parameter μ.
f(t) = μ e-μt t > 0, μ > 0 ( 2.15 )
Dengan demikian diperoleh
)en(ef )(I-)(I-ei1-i μ μ −= ( 2.16 )
Nilai khi-kuadrat hitung diperoleh dengan menggunakan rumus berikut.
∑=
−=
m
0x e
2
e02
f
)f (f χ ( 2.17 )
(Taha, 1997:11-12)
Dalam uji kebaikan-suai khi-kuadrat, keputusan diambil
berdasarkan hipotesis penelitian yang telah dirumuskan sebelumnya. H0
diterima jika harga χ2
tabel dengan derajat kebebasan dk = m - k – 1 dan
dengan tingkat signifikansi α, dengan m adalah jumlah baris yang
digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari data
mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi teoritis yang
bersangkutan.
D. Proses Kelahiran-Kematian
1. Proses Kelahiran-Kematian Markov
Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses Markov jika
probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu keadaan ke
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
30/78
16
keadaan lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada
bagaimana keadaan sekarang dicapai. Secara lebih formal, suatu proses
kelahiran-kematian Markov memenuhi kriteria-kriteria sebagai berikut.
a. Distribusi-distribusi probabilitas yang menentukan jumlah kelahiran dan
kematian dalam suatu selang waktu tertentu hanya bergantung pada
panjang selangnya dan tidak ada titik awalnya.
b. Probabilitas untuk terjadi satu kelahiran saja dalam suatu selang waktu ∆t
jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota
adalah λ n∆t + 0(∆t), dengan λ n adalah suatu konstanta, yang dapat saja
berbeda untuk n yang berbeda.
c. Probabilitas untuk terjadi satu kematian saja dalam selang waktu Δt jika
pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota adalah μn
Δt + 0 (Δt), dengan μn
adalah suatu konstanta, yang dapat saja berbeda
untuk n yang berbeda.
d. Probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kelahiran atau kematian dalam
suatu selang waktu adalah 0 (Δt).
Untuk Δt→0 maka kriteria proses kelahiran-kematian Markov
menurunkan persamaan Kolmogorov. Persamaan Kolmogorov untuk peluang
keadaan sebagai berikut.
=dt
(t)Pd n -(λ n + μn) Pn (t) + μn+1 Pn+1 (t) - (λ n-1 + μn-1) Pn-1 (t) ( 2.18 )
(Wospakrik, 1996:297)
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
31/78
17
b. Proses Kelahiran-Kematian Poisson
Suatu proses kelahiran-kematian Poisson adalah suatu proses
kelahiran-kematian Markov dimana probabilitas dari suatu kematian dan
probabilitas dari suatu kelahiran kedua-duanya dalam sebarang selang waktu
yang kecil tidak bergantung pada ukuran populasinya, yakni λn = λ dan μn = μ
untuk semua n. (Wospakrik, 1996:300)
E. Teori antrian
Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian
atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja
merupakan suatu fenomena yang biasa terjadi apabila kebutuhan akan suatu
pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan
itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus
dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi
yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan
datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan
pelayanan itu (Dimyati, 1999:349).
Suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang
berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas
pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika seua pelayannya
sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
32/78
18
suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan
para pelanggan. (Wospakrik, 1996:302)
Sebuah sistem antrian adalah suatu proses kelahiran-kematian dengan
suatu populasi yang terdiri atas pelanggan yang sedang menunggu mendapatkan
pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila seorang
pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila pelanggannya
meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian. Keadaan sistem
adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996:302)
1. Struktur Dasar Model Antrian
Proses yang terjadi pada proses antrian dapat digambarkan sebagai
berikut
unit-unit yang unit-unitmembutuhkan yang telah
pelayanan dilayanim
(pelanggan)
sistem antrian
Gambar 2.1
Struktur dasar antrian
Unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan diturunkan dari
suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam
waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini
didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin pelayanan.
Sumber input antrianekanisme
pelayanan
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
33/78
19
Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu mekanisme pelayanan
tertentu. Setelah itu unit (langganan) tersebut meninggalkan sistem antrian.
Suatu karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini ialah
ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan
dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan potensial. Ini bisa
dianggap terbatas atau tidak terbatas. Karena perhitungannya akan lebih
mudah untuk jumlah unit yang tidak terbatas, asumsi ini sering digunakan.
Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan pelayanan ini
harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa digunakan adalah
unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses Poisson, artinya sampai
suatu waktu tertentu jumlah unit yang diturunkan ini mempunyai distribusi
Poisson. Ini adalah suatu kasus dimana kedatangan pada sistem antrian terjadi
secara random, tetapi dengan tingkat rata-rata tertentu. Asumsi berikutnya
adalah bahwa distribusi kemungkinan dari waktu antar kedatangan adalah
distribusi Eksponensial
Karakteristik suatu antrian ditentukan oleh jumlah unit maksimum yang
boleh ada di dalam sistemnya. Antrian ini dikatakan terbatas atau tidak
terbatas, bergantung pada jumlah unitnya terbatas atau tidak terbatas.Disiplin
pelayanan berkaitan dengan cara memilih anggota antran yang akan dilayani.
Sebagai contoh, disiplin pelayanan ini dapat berupa first come-first served
(yang datang lebih dahulu dilayani lebih dahulu), atau random, atau dapat pula
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
34/78
20
berdasarkan prosedur prioritas tertentu. Jika tidak ada keterangan apa-apa
maka asumsi yang biasa digunakan adalah first come first served.
Mekanise pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan yang
masing-masing terdiri atas satu atau lebih aturan pelayanan paralel. Jika ada
lebih dari satu fasilitas pelayanan maka unit-unit yang memerlukan pelayanan
akan dilayani oleh serangkaian fasilitas pelayanan ini (saluran pelyanan seri).
Pada fasilitas pelayanan seperti ini,unit yang memerlukan pelayanan
memasuki salah satu saluran pelayanan paralel dan dilayani sepenuhnya oleh
pelayan yang bersangkutan. Suatu model antrian harus menetapkan urutan-
urutan fasilitas semacam itu sekaligus dengan jumlah pelayanan pada masing-
masing saluran paralelnya. Kebanyakan model-model dasar mengasumsikan
satu fasilitas pelayanan dengan satu atau beberapa pelayan.
Waktu yang digunakan sejak pelayanan dimulai sampai satu unit selesai
dilayani disebut sebagai waktu pelayanan. Biasanya diasumsikan bahwa
distribusi kemungkinan dari waktu pelayanan ini adalah distribusi
Eksponensial.
(Dimyati, 1999:349-352)
2. Proses Antrian Dasar
Suatu garis penungguan tunggal (yang pada suatu saat bisa juga kosong)
terbentuk di depan suatu fasilitas pelayanan tunggal dimana ada satu atau
beberapa pelayan. Setiap unit (langganan) yang diturunkan oleh suatu sumber
input dilayani oleh salah satu dari pelayan-pelayan yang ada, mungkin setelah
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
35/78
21
unit itu menunggu dalam antrian (garis penungguan). Sistem antrian semacam
itu dapat digambarkan sebagai berikut.(Dimyati, 1999:352)
Langganan yang telah
dilayani
Langganan yang telahdilayani
C
C
C C C C C
CC
P
P
fasilitasP pelayanan
P
Gambar 2.2Sistem antrian dasar
3.
Model-model Sistem Antrian
Menurut Mulyono (2002:287), proses antrian pada umumnya
dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas
pelayanan, yaitu:
a. Satu saluran satu tahap
kedatangan
pelanggan
sistem antrian
antrian pelayan
Gambar 2.3Skema antrian satu saluran satu tahap
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
36/78
22
b. Banyak saluran satu tahap
kedatangan
pelangganantrian
pelayan
sistem antrian
Gambar 2.4Skema antrian banyak saluran satu tahap
c. Satu saluran banyak tahap
kedatangan
pelangganantrian pelayan
sistem antrian
Gambar 2.5
Skema Antrian satu saluran banyak tahap
d. Banyak saluran banyak tahap
antrian
pelayan
kedatangan
pelanggan
sistem antrian
Gambar 2.6
Skema antrian banyak saluran banyak tahap
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
37/78
23
4. Terminologi dan notasi
Terminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah
sebagai berikut.
Keadaan sistem : jumlah pelanggan pada sistem antrian.
Panjang antrian : jumlah pelanggan yang menunggu pelayanan
En : keadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian.
Pn(t) : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem
antrian pada saat t
s : jumlah pelayan pada sistem antrian.
λ n : laju kedatangan rata-rata (ekspektasi jumlah kedatangan
per satuan waktu) dari pelanggan baru jika ada n
pelanggan dalam sistem.
n : laju pelayanan rata-rata (ekspektasi jumlah pelanggan
yang dapat selesai dilayani per satuan waktu) jika ada
n pelanggan dalam sistem.
Jika λ n adalah konstan untuk semua n, maka dapat ditulis sebagai λ . Jika n
konstan untuk semua n ≥ 1, maka dapat ditulis sebagai . Disini
n = s jika n ≥ s sehingga seluruh pelayan (sejumlah s) sibuk. Dalam hal
iniλ
1 menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan
μ
1
menyatakan ekspektasi waktu pelayanan.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
38/78
24
μ
λ ρ
s= adalah faktor penggunaan (utilisasi) untuk fasilitas pelayanan,
yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan.
Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem (jumlah
unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan) awal dan
waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam
kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan sistem akan independen
terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya.
Keadaan sistem seperti ni dikatakan berada dalam kondisi steady state. Teori
antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady state, sebab kondisi
transien lebih sukar dianalisis.
Notasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi steady
state:
Pn : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian.
L : rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem
Lq : rata-rata panjang antrian
W : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam
sistem
Wq : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam
antrian
W(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t
dalam sistem
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
39/78
25
Wq(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t
dalam antrian
Berikut ini akan di uraikan hubungan antara L dan W. Asumsikan
bahwa λ n adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis λ . Maka
dalam proses antrian yang steady state didapat
L = λ W ( 2.19 )
Lq = λ Wq ( 2.20)
Kemudian diasumsikan bahwa waktu pelayanan rata-rata adalah konstan
untuk semua n ≥ 1 sehingga cukup ditulis sebagaiμ 1 , maka
W = Wq +μ
1 ( 2.21 )
kalikan dengan λ , didapat:
L = Lq + ρ ( 2.22 )
(Dimyati, 1999:353-355)
5.
Notasi Kendall
Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari
masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas.
Notasi tersebut dituliskan dengan
(a / b / c) : (d / e / f)
dimana simbol-simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari model
antrian sebagai berikut.
a : distribusi kedatangan
b : distribusi waktu pelayanan
c : jumlah pelayan
d : peraturan pelayanan (misalnya PMPK, TMPK, Prioritas)
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
40/78
26
e : jumlah pelanggan maksimum (dalam antrian dan sistem)
f : ukuran sumber pemanggilan.
(Mulyono, 2002:293)
Notasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi kedatangan
dan keberangkatan sebagai berikut.
M : kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson (waktu antar
kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusieksponensial).
D : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau
deterministik
Ek : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang atau
Gamma dengan parameter k.
GI : distribusi independen umum dari kedatangan.
G : distribusi umum dari keberangkatan.
(Taha, 1997:186)
Notasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan adalah
umum (GD) dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat PMPK, TMPK,
Prioritas, atau prosedur apapun yang dapat digunakan oleh para pelayan untuk
memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian.
6. Peluang keadaan tunak
Jika sistem antrian telah mencapai kondisi steady state (kedaan tunak),
maka probabilitas {Pn(t)} menjadi konstan dan independen terhadap waktu.
Solusi steady state untuk Pn ini bisa didapat dengan menetapkan 0dt
t)(Pd n
= .
Asumsikan nnt
P(t)Plim =∞→
sehingga
0dt
(t)Pdlim nt
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∞→
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
41/78
27
Untuk maka persamaan di atas menjadi∞→t
Untuk n =0 maka diperoleh
0 = – (λ0 + μ0) P0 (t) + μ1 P1 + λ-1 P-1 ( 2.23 )
Karena λ-1 = 0 dan μ0 = 0 maka persamaan di atas menjadi
0 = - λ0 P0 + μ1 P1 ,
⇔ 01
01 PP
μ
λ = ( 2.24 )
Untuk n > 0 diperoleh
0 = -(λ n + μn) Pn (t) + μn+1 Pn+1 (t) - (λ n-1 + μn-1) Pn-1 (t)
⇔ 1
1-n1nn
1
1n
PPPP
+
−
++
−+=
n
nn
n
n
μ
λ
μ
λ ( 2.25 )
Pada persamaan 2.25, perhatikan ruas kanan yang kedua. Jika n > 1 maka:
1-n1
n
2-n2-n1-n1-n1-n
n
1n1-n1nn P
PPPPP −
−− −⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡ −+=− n
nn λ
μ
λ μ
μ
λ μ λ μ
2-n2-n1-n1-n PP λ −= ( 2.26 )
Ulangi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh
00111-n1-nnn PPPP λ λ −=− ( 2.27 )
dari persamaan untuk 2.24 diperoleh
Pn = 1-n1 P
n
n
μ
λ −
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−2-n
1-n
2-n1 Pμ
λ
μ
λ
n
n
= …
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
42/78
28
sehingga diperoleh
0
11n
02-n1-nn P
... ...Pμ μ μ λ λ λ
−=
n
( 2.28 )
Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai:
0n
1i
1-n
0i
i
n PP
∏
∏
=
==λ
untuk n = 1, 2, … ( 2.29 )
Karena maka1P0n
n =∑∞
=
∑∏
∏∞=
=
−
=+
=
1
1
1
0
0
1
1P
nn
i
i
n
i
i
μ
λ
( 2.30 )
(Dimyati, 1999:361-363)
Ukuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah
mencapai kondisi steady state yang dipergunakan untuk menganalisis situasi
antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian (
Lq), rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian (Wq), dan
persentase pemanfaatan sarana pelayanan yang diperkirakan.
Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan
paralel, maka dari definisi Pn diperoleh
∑∞
=
=0
nPnLn
( 2.31 )
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
43/78
29
∑∞
=
=0
nq Ps)-(nLn
( 2.32 )
Hubungan yang lain adalah sebagai berikut.
LW
λ = ( 2.33 )
λ
q
q
LW = ( 2.34 )
λ adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang dimana
∑∞
=
=0
nPn
nλ λ ( 2.35 )
(Taha, 1997: 190)
Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan
yang paralel dapat diperoleh sebagai berikut.
Persentase pemanfaatan = 00100 xμ
λ
s ( 2.36 )
(Taha, 1997: 191)
Solusi steady state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-
parameter λn dan μn adalah sedemikian sehingga kondisi steady state dapat
tercapai. Asumsi ini terjadi jika 1s
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
44/78
30
kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanan bersifat PMPK atau
pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, begitu
seterusnya hingga peminjam terakhir yang datang mendapatkan pelayanan
terakhir.
Sistem model ini dapat digambarkan seperti pada gambar 2.4 sebagai
berikut.
kedatangan pelanggan
sistem antrian
Pada sistem ini, diasumsikan bahwa laju kedatangan tidak bergantung
pada jumlah pada sistem tersebut, yaitu λn = λ untuk semua n. Demikian pula
diasumsikan bahwa pelayan tunggal dalam sistem tersebut menyelesaikan
pelayanan dengan kecepatan konstan, yaitu μn = μ untuk semua n. akibatnya
model ini memiliki kedatangan dan keberangkatan dengan mean λ dan μ
Jika λ = laju kedatangan rata-rata (jumlah pelanggan per satuan waktu)
= laju pelayanan pelanggan rata-rata
maka waktu antar kedatangan yang diharapkan adalah
λ
1 dan waktu
pelayanan adalahμ
1
antrian pelayan
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
45/78
31
Keadaan tunak tercapai jika 1 ρ tidak terdapat keadaan tunak pada sistem tersebut, karena
banyaknya pelanggan yang datang lebh cepat dari kemampuan pelayanan
sehingga terjadi penumpukan pelanggan dalam sistem. Sedangkan apabila
nilai 0= ρ tidak terjadi keadaan tunak, karena tidak terdapat antrian sama
sekali.
Ukuran-ukutan efektif pada keadaan tunak pada sistem antrian
(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞) sebagai berikut.
a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)
( )
∑
∞
=
=0
n-1nLn
ρ ρ
( ) ( )∑∞
=
−=0n
n
d
d 1 ρ
ρ ρ ρ
( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∑
∞
=0n
n d
d 1 ρ ρ
ρ ρ
( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
−−=
ρ ρ ρ ρ
1
1
d
d 1
ρ
ρ
−=
1
λ μ
λ
−= ( 2.37 )
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
46/78
32
b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)
( )
∑ ∑
∑∞
=
∞
=
∞
=
−=
=
1n 0n
nn
1n
nq
PPn
P1-nL
( 2.38 )
( )
ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
=
−−
=
−=
=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=
∑
∑
∑ ∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
11
)1(
Pn
PnPnPnL-L
1n
n
1n
n
0n 0n 1n
nnnq
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ
−=
−−
=
=
1
1
-LL
2
q
Jadi ρ
ρ
−=
1L
2
q ( 2.39 )
c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W)
Menurut rumus Little WL λ =
pada sistem M / M / 1, λ λ = maka
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
47/78
33
( )
λ μ
μ
λ λ
μ
λ
ρ λ ρ
λ
−=
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
=
−=
=
1
1
1
LW
Jadiλ μ −
= 1W ( 2.40 )
d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)
( )
λ μ
ρ
ρ λ ρ
λ
λ
−=
=
=⇔
=
-1
LW
WL
2
q
q
q
q
Jadiλ μ
ρ
−=qW ( 2.41 )
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
48/78
34
8. Model Antrian (M / M / s) : (GD / ∞ / ∞)
Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut input
Poisson dengan parameter λ, dan bahwa waktu pelayanan untuk masing-
masing unit mempunyai distribusi Eksponensial dengan rata-rataμ
1.
(Dimyati, 1999:373)
Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah tingkat
rata –rata dimana unityang sudah dilayani meninggalkan sistem. Tingkat
pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk adalah μ, karena itu tingkat
pelayanan keseluruhan adalah μn = nμ jika n ≤ s. Jika n ≥ s, berarti semua
pelayan sibuk sehingga μn = sμ. Jadi model ini adalah kasus khusus dari
proses kelahiran-kematian dengan λn = λ (untuk n = 0, 1, 2, …) dan
⎩⎨⎧
≥
≤≤=
sn jika, s
sn0 jika, n
μ
μ μ n
Jika λ < sμ (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari tingkat
pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah sebagai
berikut.
( ) ( )∑ ∑
−
=
∞
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
=1
0n
s-n0
ss!n!
1P
s
sn
sn
μ
λ μ λ μ λ
( ) ( )∑
= −+
=1-s
0n
sn
s1
1
!n!
n
1
μ
λ
μ λ λ
s
dan
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
49/78
35
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≤≤
=sn jika ,P
s s!
sn0 jika ,Pn!
P0s-n
n
0
n
n μ λ
μ λ
(2.44)
Denganμ
λ ρ
s= , maka
a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)
( )( )2
0q
-1s!
PL
ρ
ρ μ λ s
= (2.45)
b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)
μ
λ += qL L (2.46)
c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)
λ
q
q
LW = (2.47)
d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W)
μ
1WW q += (2.48)
(Dimyati, 1999:374)
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
50/78
36
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa
tahap sebagai berikut.
A. Perumusan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga
mempermudah pembahasan selanjutnya.
B. Studi Pustaka
Studi pustaka adalah menelaah sumber pustaka yang relevan yang
digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian.
Studi pustaka diambil dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa
buku, teks, makalah, dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul
dilanjutkan dengan penelaahan dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya
sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.
C. Pemecahan Masalah
1.
Pengumpulan data
Dalam penelitian ini pengambilan data dilaksanakan pada sistem
antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES yang dilaksanakan
selama 3 hari.
36
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
51/78
37
Pengumpulan data berkenaan dengan kedatangan dan kepergian
pengunjung dengan menggunakan metode observasi, yaitu:
a.
Mengukur waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan.
Pelanggan dalam hal ini adalah pengunjung perpustakaan.
b. Menghitung jumlah kedatangan (kepergian) selama satu unit waktu yang
dipilih. Dalam penelitian ini satuan waktu yang dipilih adalah 5 menit.
Sedangkan untuk mengetahui waktu tunggu yang dikehendaki pengunjung
digunakan metode angket.
2. Analisis Data
a.
Langkah-langkah yang digunakan dalam analisis data sebagai berikut.
Dalam penelitian ini kedatangan nasabah diasumsikan berdistribusi
Poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi Eksponensial.
Untuk menguji kebenarannya dilakukan Uji Kebaikan-Suai Khi Kuadrat
Hipotesis tentang kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan
Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.
H0 : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri
Semarang pada masing-masing loket berdistribusi Poisson
Ha : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri
Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi Poisson
Hipotesis tentang waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan
Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.
H0 : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas
Negeri Semarang pada masing-masing loket berdistribusi
Eksponensial
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
52/78
38
Ha : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas
Negeri Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi
Eksponensial
b. Menentukan model antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan
Universitas Negeri Semarang
c. Menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan
antrian pada masing-masing loket yang diteliti
d. Menghitung rata-rata waktu pengunjung berada dalam sistem dan antrian
pada masing-masing loket yang diteliti
e.
Menentukan rata-rata waktu menganggur bagi pelayan pada masing-
masing loket
3. Pengambilan Keputusan
Pengambilan keputusan tentang jumlah pelayan ideal pada masing-
masing loket yang diteliti didasarkan pada waktu menunggu dan persentase
waktu menganggur pelayan
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
53/78
39
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Hasil Penelitian
1. Gambaran Umum UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang
UPT Perpustakaan UNNES merupakan unit sarana pelayanan yang
dimiliki oleh UNNES. UPT Perpustakaan UNNES menyediakan bahan
pustaka yang diperlukan bagi mahasiswa sesuai dengan kebutuhannya.
UPT Perpustakaan UNNES terdiri dari dua ruang pelayanan yakni
ruang sirkulasi dan ruang referensi. Pelayanan pada ruang sirkulasi
meliputi pelayanan peminjaman buku, pengembalian buku serta
penelusuran bahan pustaka. Pelayanan pada ruang referensi meliputi
skripsi, thesis, serta karya ilmiah yang dapat di fotocopy dengan ijin
petugas perpustakaan.
Sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES
mengikuti sistem antrian dengan saluran tunggal. Pada sistem antrian
dengan saluran tunggal, pengunjung yang datang untuk meminjam atau
mengembalikan buku membentuk antrian di depan pelayan sampai pada
gilirannya dan setelah itu meninggalkan sistem. Situasi antrian yang terjadi
pada UPT Perpustakaan UNNES dapat digambarkan dengan sistem antrian
sebagai berikut.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
54/78
40
kedatangan pengunjung
sistem antrian
Gambar 4.1
antrian pelayan
Skema situasi antrian yang terjadi pada
UPT Perpustakaan UNNES
2.
Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung.
Kedatangan pengunjung pada UPT Perpustakaan UNNES
diasumsikan berdistribusi Poisson. Untuk meyakinkan bahwa kedatangan
pengunjung berdistribusi Poisson, maka dilakukan uji kebaikan suai khi
kuadrat
Dari data hasil penelitian, dapat dibuat rekapitulasi kedatangan
pengunjung per interval waktu lima menit (lampiran 3 dan 4 ). Selanjutnya
data lampiran 3 dan 4 digunakan untuk melakukan uji kebaikan suai khi
kuadrat kedatangan pengunjung.
a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan
Pengunjung pada Loket Peminjaman
1)
Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 5.1 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 3,167 pengunjung setiap lima menit (0,633 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,6. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;5) adalah 15,09. Dengan demikian
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
55/78
41
χ2hitung < χ2(0,01;5). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Pada tabel 5.2 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 3 pengunjung setiap lima menit (0,600 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 7,782 Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ
2
(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 5.3 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 2,917 pengunjung setiap lima menit (0,583 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,303 Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;6) adalah 16,81. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;6). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan
Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku
1) Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 6.1 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 2,333 pengunjung setiap lima menit (0,466 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,049. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
56/78
42
χ2hitung < χ2(0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Pada tabel 6.2 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan
(λ) sebesar 1,958 pengunjung setiap lima menit (0,392 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 5,215. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ
2
(0,01;3) adalah 11,34. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;3). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 6.3 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 2,25 pengunjung setiap lima menit (0,45 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 7,558. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
3. Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan
Dari hasil pengamatan sistem antrian pada UPT Perpustakaan
Universitas Negeri Semarang diperoleh waktu pelayanan t, yaitu waktu
yang diperlukan untuk melayani satu orang pengunjung. Untuk
menentukan rata-rata waktu pelayanan dapat dihitung dengan ∑=
=m
i
ii f xt
1
,
dengan i adalah batas-batas interval [I1-I
, Ii] dan x
i adalah nilai tengah dari
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
57/78
43
interval ke-i, serta f i adalah frekuensi relatif yaitu frekuensi observasi (f 0)
pada interval i dibagi dengan jumlah frekuensi keseluruhan (n). Laju
pelayanan pengunjung (μ) adalah rata-rata jumlah pengunjung yang dapat
dilayani per satuan waktu. Dengan demikian hargat
1=μ .
Dari data penelitian pada lampiran 7 dan 8 maka didapatkan data
waktu pelayanan yang akan diuji dengan dengan uji kebaikan suai khi
kuadrat.
a.
Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan
Pengunjung pada Loket Peminjaman Buku
1) Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 7.1 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,25 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,8 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 9,08. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
2)
Selasa , 16 Agustus 2005
Pada tabel 7.2 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,431 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,699 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 8,43. Dari tabel khi kuadrat
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
58/78
44
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 7.3 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,043 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,959 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ
2
hitung adalah 5,954. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan
Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku
1)
Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 8.1 (lampiran 8), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,739 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,575 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 6,706. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Pada tabel 8.2 (lampiran 8), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,225 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,816 pengunjung per-menit.
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
59/78
45
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 2,25. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 8.3 (lampiran 8), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,186 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,843 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 1,697. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
4.
Menentukan Model Antrian
Dalam penelitian ini, antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan
UNNES diasumsikan mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞ / ∞).
Pada model ini kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan
berdistribusi Eksponensial, terdapat satu pelayan dengan peraturan
pelayananan yang pertama masuk dilayani lebih dulu (PMPK), serta
dengan kapasitas sistem dan sumber kedatangan tak terbatas.
Dari hasil penelitian yang dilakukan ternyata pola kedatangan
berdistribusi Poisson sedangkan waktu pelayanan berdistribusi
Eksponensial. Pada UPT Perpustakaan UNNES pada loket peminjaman
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
60/78
46
maupun loket pengembalian masing-masing ditempatkan satu orang
pelayan dengan peraturan pelayanan yang pertama kali datang akan
dilayani terlebih dahulu. Jumlah pengantri dalam sistem dan antrian serta
sumber kedatangan pengunjung tak terbatas. Jadi sistem antrian pada UPT
Perpustakaan UNNES mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞ /∞)
5. Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung Dalam Antrian dan Sistem
Untuk menghitung besar faktor kegunaan untuk mengetahui rata-rata
jumlah pengunjung yang menunggu di dalam antrian dan sistem, maka
terlebih dahulu harus diketahui besar rata-rata laju kedatangan (λ) dan laju
pelayanan (μ).
Untuk menghitung faktor kegunaan, digunakan rumus
μ
λ ρ =
a.
Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem
Rata-rata jumlah pengunjung dalam system dapat dihitung dengan
menggunakan rumus ρ
ρ
-1L =
1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket
Peminjaman
a) Senin, 15 Agustus 2005
==μ
λ ρ 791,0
8,0
633,0=
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
61/78
47
ρ
ρ
-1L = = 785,3
791,01
791,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 3,785
b) Selasa, 16 Agustus 2005
==μ
λ ρ 858,0
699,0
6,0=
ρ
ρ
-1L = = 042,6
858,01
858,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 6,042
c) Kamis, 18 Agustus 2005
==μ
λ ρ 608,0
959,0
583,0=
ρ
ρ
-1
L = = 551,1
608,01
608,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 1,551
2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket
Pengembalian
a) Senin, 15 Agustus 2005
== μ
λ
ρ 811,0575,0
466,0
=
ρ
ρ
-1L = = 291,4
811,01
811,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 4,291
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
62/78
48
b) Selasa, 16 Agustus 2005
==μ λ ρ 480,0
816,0392,0 =
ρ
ρ
-1L = = 923,0
480,01
480,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 0,923
c) Kamis, 18 Agustus 2005
== μ λ ρ 534,0
843,0450,0 =
ρ
ρ
-1L = = 146,1
534,01
534,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 1,146
b.
Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian
Rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian dapat dihitung dengan
menggunakan rumus ρ
ρ
−=
1L
2
q
1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket
Peminjaman
a) Senin, 15 Agustus 2005
ρ ρ −
=1
L2
q = ( ) 994,2791,01
791,02
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 2,994
b) Selasa, 16 Agustus 2005
ρ
ρ
− =
1L
2
q = ( )
184,5858,01
858,02
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 5,184
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
63/78
49
c) Kamis, 18 Agustus 2005
ρ
ρ
−=
1L
2
q = ( ) 943,0
608,01
608,0 2 =−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 0,943
2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket
Pengembalian
a)
Senin, 15 Agustus 2005
ρ
ρ
−=
1L
2
q = ( )
480,3811,01
811,02
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 3,480
b) Selasa, 16 Agustus 2005
ρ
ρ
−=
1L
2
q = ( )
443,0480,01
480,022
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 0,443
c) Kamis, 18 Agustus 2005
ρ
ρ
−=
1L
2
q = ( )
612,0534,01
534,02
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 0,612
6.
Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem dan Antrian
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem dapat dihitung dengan
menggunakan rumusλ μ -
1W =
a.
Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem
1) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket Peminjaman
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
64/78
50
a) Senin, 15 Agustus 2005
==λ μ -
1W 988,5633,08,0
1 =−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 5,988
menit
b) Selasa, 16 Agustus 2005
λ μ -
1W = 101,10
6,0699,0
1=
−
=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 10,101
menit
c) Kamis, 18 Agustus 2005
λ μ -
1W = 660,2
583,9590,0
1==
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,66 menit
2) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket
Pengembalian
a) Senin, 15 Agustus 2005
λ μ -
1W = 174,9
466,0575,0
1=
−=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 9,174
menit
b)
Selasa, 16 Agustus 2005
λ μ -
1W = 358,2
392,0816,0
1=
−=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,358 menit
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
65/78
51
c) Kamis, 18 Agustus 2005
λ μ -1W = 544,2
450,0843,01 =−
=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,544 menit
b. Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
Rata-rata waktu menunggu dalam antrian dapat dihitung menggunakan
rumus
λ μ
ρ
-
Wq =
1) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket
Peminjaman
a) Senin, 15 Agustus 2005
λ μ
ρ
-Wq = = 736,4
633,08,0
791,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 4,736 menit
b) Selasa, 16 Agustus 2005
λ μ
ρ
-Wq = = 667,8
6,0699,0
858,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 8,667 menit
c) Kamis, 18 Agustus 2005
λ μ
ρ
-Wq = = 617,1
583,0959,0
608,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 1,617 menit
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
66/78
52
2) Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket
Pengembalian
a)
Senin, 15 Agustus 2005
λ μ
ρ
-Wq = = 435,7
466,0575,0
811,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 7,435 menit
b) Selasa, 16 Agustus 2005
λ μ
ρ
-Wq = = 133,1
392,0816,0
480,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 1,133 menit
c) Kamis, 18 Agustus 2005
λ μ
ρ
-Wq = = 358,1
450,0843,0
534,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 1,358 menit
7. Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian Untuk Berbagai Nilai s.
Dengan cara yang sama, rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk
berbagai nilai s adalah sebagai berikut.
a. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada
loket peminjaman buku
1) Senin, 15 Agustus 2005
Tabel 4.1
Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 284 14
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
67/78
53
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Tabel 4.2Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 520 19
3)
Kamis, 18 Agustus 2005
Tabel 4.3
Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 97 6
b.
Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada
loket pengembalian buku
1)
Senin, 15 Agustus 2005
Tabel 4.4
Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 446 20
8/17/2019 Matematika==APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL.pdf
68/78
54
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Tabel 4.5
Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 68 4
3)
Kamis, 18 Agustus 2005
Tabel 4.6
Hasil Penghitungan
Recommended