TEORI SIMULASI ANTRIAN

Embed Size (px)

Text of TEORI SIMULASI ANTRIAN

MODEL KEPUTUSAN ANTRIANDosen : Hadi Supratikta

Disusun Oleh :

Bahagi Pratama 2007050102Dani Iskandar 2008050651

FAKULTAS EKONOMI JURUSAN MANAJEMENUNIVERSITAS PAMULANG 2011TEORI SIMULASI ANTRIAN

Antrian adalah suatu kejadian yang biasa dalam kehidupan seharihari. Menunggu di depan loket untuk mendapatkan tiket kereta api atau tiket bioskop, pada pintu jalan tol, pada bank, pada kasir supermarket, dan situasisituasi yang lain merupakan kejadian yang sering ditemui. Studi tentang antrian bukan merupakan hal yang baru.Antrian timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kemampuan (kapasitas) pelayanan atau fasilitas layanan, sehingga pengguna fasilitas yang tiba tidak bisa segera mendapat layanan disebabkan kesibukan layanan. Pada banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah timbulnya antrian. Akan tetapi biaya karena memberikan pelayanan tambahan, akan menimbulkan pengurangan keuntungan mungkin sampai di bawah tingkat yang dapat diterima. Sebaliknya, sering timbulnya antrian yang panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan / nasabah.Salah satu model yang sangat berkembang sekarang ini ialah model matematika. Umumnya, solusi untuk model matematika dapat dijabarkan berdasarkan dua macam prosedur, yaitu : analitis dan simulasi.Pada model simulasi, solusi tidak dijabarkan secara deduktif. Sebaliknya, model dicoba terhadap harga harga khusus variabel jawab berdasarkan syarat syarat tertentu (sudah diperhitungkan terlebih dahulu), kemudian diselidiki pengaruhnya terhadap variabel kriteria. Karena itu, model simulasi pada hakikatnya mempunyai sifat induktif. Misalnya dalam persoalan antrian, dapat dicoba pengaruh bermacam macam bentuk sistem pembayaran sehingga diperoleh solusi untuk situasi atau syarat pertibaan yang mana pun.Dalam mengelompokkan model-model antrian yang berbeda-beda, akan digunakan suatu notasi yang disebut Kendalls Notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tetapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Kedua, hampir semua buku yang membahas teori antrian menggunakan notasi ini.Gambar berikut ini akan memperjelas penggunaan notasi tersebut, dan contoh model yang disajikan adalah model M/M/I/I/I.

Sumber tak terbatasTingkat kedatangan PoissonTingkat Pelayanan PoissonKeluar Populasi(I) Antrian (M) FCFS Fasilitas Pelayanan (M/I)

Kepanjangan Antrian Tak Terbatas (I)

Bentuk Model Umum : Tingkat Tingkat Jumlah Besarnya Kepanjangan Pelayanan Fasilitas Pelayanan Populasi Kedatangan AntrianNotasi yang sering dipakai adalah :SingkatanPenjelasanMTingkat kedatangan dan/atau pelayanan PoissonDTingkat kedatangan dan/atau pelayanan Deterministik (diketahui konstan)KDistribusi Erlang waktu antar kedatangan atau pelayananSJumlah fasilitas pelayananISumber populasi atau kepanjangan antrian tak-terbatas (infinite)FSumber populasi atau kepanjangan antrian terbatas (finite)

Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti distribusi probabilitas Poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem. Tanda keempat dan kelima ditambahkan untuk menunjukkan apakah sumber populasi dan kepanjangan antrian adalah tak-terbatas (I) atau terbatas (F). Lebih jelasnya model-model antrian yang ada adalah sebagai berikut :1. Single Channel dengan kedatangan Poisson dan waktu pelayanan EksponensialAntrian dengan saluran tunggal merupakan model antrian yang paling sederhana dan banyak dijumpai. Asumsi yang digunakan dalam model ini adalah : kedatangan digambarkan berdistribusi poisson kedatangan berasal dari populasi tak terbatas pelayanan didasarkan pada first come first served tak ada kasus balking atau renege laju kedatangan rata-rata konstan sepanjang waktu waktu pelayanan dideskripsikan berdistribusi eksponensial negatif rata-rata waktu pelayanan konstan rata-rata laju pelayanan lebih besar dari rata-rata laju kedatangan.Berdasar pada delapan asumsi ini, maka sejumlah persamaan yang menggambarkan kondisi antrian dengan single channel yang sudah steady-state dapat dikembangkan. Berikut ini notasi yang akan dipakai dalam persamaan : = rata-rata jumlah kedatangan per periode atau rata-rata tingkat/laju kedatangan = rata-rata jumlah customer yang dilayani per periode atau rata-rata tingkat/laju pelayananDengan menggunakan notasi tersebut, maka karakteristik operasi dari antrian single channel adalah sebagai berikut : Probabilitas bahwa sistem antrian idle = probabilitas bahwa tidak ada individu di dalam sistem antrian = P0 = (1-/) Probabilitas bahwa terdapat n individu dalam sistem antrian = Pn = (/)nP0 Jumlah individu rata-rata dalam sistem antrian = L = /( - ) Jumlah individu rata-rata dalam antrian = Lq = 2/( - ) = L - / Waktu tunggu rata-rata dalam sistem antrian = W = 1/( - ) = L/ Waktu tunggu rata-rata dalam antrian = Wq = /( - ) = Lq/ = W 1/ Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu untuk dilayani = faktor utilisasi sistem antrian = Pw = = /2. Model antrian Multiple channel dengan distribusi kedatangan Poisson dan waktu pelayananan eksponensialModel antrian ini digambarkan dengan adanya antrian tunggal dan kemudian dilayani satu stage, dimana ada s (lebih dari satu server) yang bekerja secara pararel.

Dengan menggunakan notasi yang sama bisa diperoleh persamaan berikut Probabilitas bahwa sistem antrian idle = probabilitas bahwa tidak ada individu di dalam sistem antrian = P0

untuk s >2 Probabilitas bahwa terdapat n individu dalam sisem antrian = Pn =

untuk n s atau

untuk n > s Jumlah individu rata-rata dalam antrian = Lq =

Jumlah individu rata-rata dalam sistem antrian = L = Lq + / Waktu tunggu rata-rata dalam antrian = Wq = Lq/ Waktu tunggu rata-rata dalam sistem antrian = W = Wq + 1/ = L/ Faktor utilisasi sistem antrian = = /(s) Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus menunggu untuk dilayani = Pw

3. Model antrian Multiple channel-multiple stageModel antrian Multiple channel-multiple stage dapat dipandang sebagai proses produksi flow shops atau job shops. Proses produksi flow shop adalah proses poduksi dimana semua pekerjaan melalui urutan proses pengerjaan yang sama, sedangkan pada job shop, masing-masing pekerjaan mempunyai urutan pengerjaan yang berbeda-beda, tergantung dari jenis pekerjaan tersebut.Kondisi job shop yang ekstrim dinamakan randomly-routed job shop, dimana tidak ada pola yang umum bagi urutan pengerjaan dari mesin ke mesin untuk masing-masing pekerjaan. Flow shops dan job shops dapat divisualisasikan sebagai antrian dimana terdapat pengaturan terhadap multiple server (multiple stage) dengan konsumen mendatangi lebih dari satu server sebelum meninggalkan sistem. Hasil-hasil teori yang ada ditekankan pada identifikasi kondisi khusus pada mesin individu yang independent dan antrian pada tiap mesin dianalisa secara terpisah. Secara umum kondisi ini membutuhkan asumsi-asumsi sebagai berikut :a. Input proses berdistribusi Poissonb. Routing dari pekerjaan independen terhadap status sistemc. Waktu proses berdistribusi eksponensial (beberapa generalisasi masih dimungkinkan)d. Order pengurutan pekerjaan pada sebuah mesin, independen terhadap: waktu proses routing pekerjaan pengetahuan tentang kedatangan pekerjaan mendatang pada sebuah mesin Notasi dengan empat-parameter digunakan untuk mengidentifikasi permasalahan penjadwalan individual, yang dituliskan menjadi A/B/C/D, dimana :AMenggambarkan kedatangan pekerjaan. Untuk permasalahan dinamis, A mengidentifikasi distribusi probabilitas dari waktu antar kedatangan pekerjaan. Untuk permasalahan statis, menggambarkan jumlah pekerjaan, yang datang secara simultan. Jika dinotasikan dengan n maka berarti mengindikasikan sejumlah perkerjaan yang terbatas.BMenggambarkan jumlah mesin yang ada. Jika dinotasikan dengan m berarti menandakan sejumlah mesin tertentu yang terbatas.CMenggambarkan pola aliran pekerjaan. Simbol utama yang digunakan adalah :F untuk kasus flow shopR untuk kasus randomly-routed job shopG untuk kasus pola aliran yang umum secara totalDMenggambarkan kriteria evaluasi penjadwalanContoh : n/2/F/Fmax : urutan sejumlah pekerjaan pada 2 mesin untuk proses produksi flow shop yang bertujuan untuk meminimalkan maksimum flow time.n/m/G/Fmax : penjadwalan n pekerjaan pada m mesin sehingga pekerjaan terakhir dapat diselesaikan secepat mungkin

Minimasi BiayaTujuan dari model antrian adalah untuk minimasi biaya. Biaya dalam sistem antrian umumnya meliputi biaya menunggu dan biaya pelayanan. Jika biaya menunggu per unit waktu per individu sebesar cw dan biaya per periode waktu per fasilitas pelayanan sebesar cs, sedangkan dan S adalah jumlah fasilitas pelayanan; maka biaya total rata-rata

(expected total cost) = E(Ct) = E(Cs) + E(Cw) = Scs + Lcw

Pada umumnya pola kedatangan memiliki pola acak sehingga setiap kedatangan terbebas dari kedatangan lain dan tidak dapat diprediksi kapan suatu kedatangan terjadi. Distribusi Poisson adalah jenis distribusi yang paling mendekati pola kedatangan tersebut.Suatu peristiwa dikatakan mengikuti distribusi poisson jika:a. Kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dalam suatu waktu adalah rata-rata kedatangan yang dinotasikan sebagai b. Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam suatu satuan waktu tertentu adalah tidak tergantung banyaknya peristiwa yang terjadi dalam satuan waktu yang lain.c. Jumlah peristiwa rata-rata yang terjadi pada suatu satuan waktu adalah sebanding terhadap ukuran satuan waktu tersebutDistribusi Probabilitas Poiss