metode simpleks

LOGO

METODE SIMPLEKSModul #4

PENELITIAN OPERASIONAL-TEKNIK SIPIL UNTANMRK UNTAN@2011

Contoh PermasalahanPT.PVC memproduksi pipa pralon dengan ukuran standar 200”. Hari ini perusahaan tsb mendapat pesanan pipa dengan ukuran yg tidak standar, yaitu 50” sebanyak 150 batang,70” 200 batang dan 90” 300 batang. Untuk memenuhi pesanan tsb maka harus dilakukan pemotongan terhadap pipa standar. Ada 6 cara pemotongan yang dilakukan perusahaan, yaitu :1.dipotong menjadi 70” & 90”, sisa 40”2.dipotong menjadi 50”, 50” & 70”, sisa 30”3.dipotong menjadi 50”, 50” & 90”, sisa 10”4.dipotong menjadi 50”, 70” & 70”, sisa 10”5.dipotong menjadi 90” & 90”, sisa 20”6.dipotong menjadi 50”, 50”, 50” & 50”, tidak ada sisaTetapkan kombinasi cara pemotongan yang harus dilakukan supaya bisa memenuhi pesanan dengan meninggalkan sisa yang seminimum mungkin.

Solusinya…Panjang yang

diinginkanCara pemotongan Kebutuhan

(btg pipa)1 2 3 4 5 6

50”70”90”

011

210

201

120

002

400

150200300

Sisa pemotongan yg tidak dpt digunakan

lagi (“) 40 30 10 10 20 0

VK : x1 = cara pemotongan 1x2 = cara pemotongan 2x3 = cara pemotongan 3x4 = cara pemotongan 4x5 = cara pemotongan 5x6 = cara pemotongan 6

FT : min : Z = 40x1 +30x2+10x3 + 10x4 + 20x5

Kendala : 2x2 + 2x3+ x4 +4x6 ≤ 150 x1 +x2 + 2x4 ≤ 200 x1 + x3 + 2x5 ≤ 300 x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

Contoh PermasalahanPT. XYZ mempunyai 3 buah pabrik yang sedang menghadapi masalah pembuangan limbah. Selama ini limbah dibuang langsung ke sungai sehingga menimbulkan 2 macam polutan. Konsultan amdal menganjurkan agar limbah diproses dahulu dengan biaya Rp 150rb/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,1 ton dan polutan 2 sebanyak 0,45ton dari setiap 1 ton zat buangan dari pabrik X. Sedangkan pabrik Y dikenai biaya Rp 100rb/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,2 ton dan polutan 2 sebanyak 0,25ton. Pabrik Z dikenai biaya Rp 200rb/ton dengan kemampuan dapat mengurangi polutan 1 sebanyak 0,4 ton dan polutan 2 sebanyak 0,3ton. Peraturan pemerintah mengharuskan PT.XYZ untuk dapat mengurangi polutan 1 paling sedikit 30 ton dan polutan 2 40 ton. Formulasikan persoalan ini supaya mendapatkan ongkos total seminimum mungkin.

Solusinya…Polutan

Pabrik Peraturan kapasitas polutanX Y Z

12

0,10,45

0,20,25

0,40,3

≥ 30 ton≥ 40 ton

Ongkos pengurangan

polutan

Rp 150.000 Rp 100.000 Rp 200.000

VK : x1 = Pabrik Xx2 = Pabrik Yx3 = Pabrik Z

FT : min : Z = 150000x1 + 100000x2 + 200000x3

Kendala : 0,1x1 + 0,2x2 + 0,4x3 ≥ 30 0,45x1 + 0,25x2 + 0,3x3 ≥ 40 x1, x2, x3 ≥ 0

2 variabelx1 & x2

Metode geometri(Grafis + Matematika)

≥ 2 variabelx1, x2, x3, … xn

Metode Simpleks(Tabel iterasi)

George B. Dantzig1947

METODE SIMPLEKS

A. Definisi Metode Simpleks

B. Ciri-ciri Metode Simpleks

C. Bentuk Baku Metode Simpleks

D. Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks

E. Contoh Persoalan & penyelesaiannya

A. DEFINISI METODE SIMPLEKSMetode simpleks adalah suatu prosedur

aljabar (yang bukan secara grafik) untuk mencari nilai optimal dari fungsi tujuan dalam masalah optimasi yang terkendala.

Motode simpleks bersifat iteratif (bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel/ruang solusi, menuju ke titik ekstrem yang optimum)

B. CIRI-CIRI METODE SIMPLEKSSemua kendala berupa persamaan

dengan sisi kanan nonnegatifSemua Variabel nonnegatifFungsi Tujuan dapat memaksimumkan

atau meminimumkan.

C.BENTUK BAKU MSVK : x1 = … x2=… x3=… xn=…FT : maks/min : Z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + … + cnxnKendala : a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ ; = ; ≥ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ ; = ; ≥ b2…. Dstx1, x2, x3, …, xn ≥ 0

C.BENTUK BAKU MSKENDALAKendala dengan pertidaksamaan ≤ dapat

diubah menjadi persamaan (=) dengan cara menambahkan variabel slack (s ≥ 0) ke sisi kiri kendala.Contoh : x1 + 2x2 ≤ 6 tambahkan slack pada ruas kiri sehingga diperoleh : x1 + 2x2 + s1 = 6

SLACK VARIABELSlack Variabel adalah variabel yang

berfungsi untuk menampung sisa kapasitas pada kendala yang berupa pembatasSlack Variabel pada setiap kendala

yang aktif pasti bernilai nolSlack variabel pada setiap kendala

tidak aktif pasti bernilai positif

C. BENTUK BAKU MSKENDALAKendala dengan pertidaksamaan ≥ dapat diubah

menjadi persamaan (=) dengan cara mengurangkan variabel surplus (e ≥ 0) dan menambahkan variabel artifisial (a ≥ 0) ke sisi kiri kendala.Contoh : 3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ 5 kurangkan surplus dan tambahkan artifisial pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3x1 + 2x2 – 3x3 – e2 + a2 = 5

SURPLUS VARIABELSurplus Variabel adalah variabel yang berfungsi untuk menampung kelebihan nilai ruas kiri pada kendala yang berupa syarat.

Surplus variabel pada setiap kendala aktif pasti bernilai nol

Surplus variabel pada setiap kendala tidak aktif pasti bernilai positif

Kendala-kendala aktif pada setiap macam kendala pasti memiliki slack variabel atau surplus variabel yang bernilai nol

C. BENTUK BAKU MSKENDALAKendala dengan persamaan (=) harus diubah

dengan cara menambahkan variabel artifisial (a ≥ 0) ke sisi kiri kendala.Contoh : 2x1 - 3x2 + 4x3 = 5 tambahkan artifisial pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 2x1 - 3x2 + 4x3 + a3 = 5

C. BENTUK BAKU MSKENDALASisi kanan suatu persamaan dapat selalu dibuat

nonnegatif dengan mengalikan ke-2 sisi dengan -1.Contoh : -5x1 + 2x2 – x3 = -4 adalah ekuivalen secara matematik dengan 5x1 - 2x2 + x3 = 4

Arah pertidaksamaan dibalik jika ke-2 sisi dikalikan -1 ( ≥ ≤ begitu juga ≤ ≥) -3x1 + 2x2 – 3x3 ≥ -5 3x1 - 2x2 + 3x3 ≤ 5

C. BENTUK BAKU MSVARIABELSebagian atau semua variabel dikatakan tidak

terbatas dalam tanda (unrestricted) dapat dinyatakan sebagai dua variabel non negatif dengan menggunakan subtitusi.

FUNGSI TUJUANWalaupun model standar dapat berupa maksimasi

atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Maksimisasi dari suatu fungsi adalah ekuivalen dengan minimisasi dari negatif fungsi yang sama, begitu juga sebaliknya.

D.TAHAPAN PENYELESAIAN1. Formulasi dalam bentuk standar metode simpleks.2. Buat tabel dengan kolom sebanyak variabel yang ada

dalam persoalan dengan menambahkan 3kolom yaitu kolom untuk iterasi, basis dan rasio .

3. Masukkan angka/nilai yang ada pada variabel kedalam tabel sesuai dengan variabelnya.

4. Menentukan kolom kunci dengan melihat nilai terbesar (jika FT maksimalkan, angka dengan nilai negatif terbesar. Jika FT minimalkan, angka dengan nilai positif terbesar)

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 … xn RK Rasio

0 ZS1 / a1S2 / a2

D.TAHAPAN PENYELESAIAN

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

0 ZS1S2S3S4

10000

-608420

-3062

1,51

-201

1,50,50

01000

00100

00010

00001

0482085

48/820/48/25/0

5. Menentukan baris kunci dengan cara mengambil nilai positif terkecil di kolom rasio (rasio = RK / kolom kunci). Perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci/elemen pivot.

LEAVING VARIABLEFt : MAKS (- TERBESAR)

MIN (+ TERBESAR) KOLOM KUNCI

NILAI + TERKECILBARIS KUNCIANGKA KUNCI

(ELEMEN PIVOT)

D.TAHAPAN PENYELESAIAN6. Di iterasi selanjutnya dimasukkan elemen

persamaan pivot baru, dengan cara semua angka yang ada di baris kunci iterasi awal (sebelumnya) dibagi dengan angka kunci(elemen pivot)

7. Setelah itu semua persamaan yang lain termasuk persamaan Z juga dilengkapi, dengan cara :

8. Proses ini akan diulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik ditemukan.

9. Iterasi akan berhenti jika dibaris Z tidak ada lagi nilai negatif jika FT maksimalkan (kecuali kolom RK), begitu juga sebaliknya.

Elemen persamaan = Elemen persamaan - Elemen entering x Elemen persamaanIterasi baru iterasi lama coloum pivot iterasi baru

CONTOH SOALFungsi Tujuan : Maksimumkan :

Z = 60x1+30x2+20X3Kendala :

8X1 + 6X2 + X3 ≤ 48 4X1 + 2X2 + 1.5X3 ≤ 202X1 + 1.5X2 + 0.5X3 ≤ 8

x2 ≤ 5x1,x2,x3 ≥ 0

SOLUSINYA…Z = 60x1+30x2+20X3 Z – 60x1 – 30x2 – 20x3 = 08x1 + 6x2 + x3 ≤ 48 8x1 + 6x2 + x3 + S1 = 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20 4x1 + 2x2 + 1,5x3 + S2 = 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3 + S3 = 8 x2 ≤ 5 x2 + S4 = 5x1,x2,x3 ≥ 0

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

0 ZS1S2S3S4

10000

-608420

-3062

1,51

-201

1,50,50

01000

00100

00010

00001

0482085

SOLUSINYA…

Angka kunci (Elemen Pivot) = 2 di iterasi selanjutnya semua angka dibaris kunci dibagi angka

kunci awal.

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

0 ZS1S2S3S4

10000

-608420

-3062

1,51

-201

1,50,50

01000

00100

00010

00001

0482085

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

0 ZS1S2S3S4

10000

-608420

-3062

1,51

-201

1,50,50

01000

00100

00010

00001

0482085

654-

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

1 ZS1S2x1S4

0 1 0,75 0,25 0 0 0,5 0 4

SOLUSINYA…Angka lain didapat dari

Contoh : baris Z elemen entering coloum = -60(-60 x baris kunci baru ) Lama : 1 -60 -30 -20 0 0 0 0 0

0 -60 -45 -15 0 0 -30 0 -240 –

Baru : 1 0 15 -5 0 0 30 0 240

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

1 ZS1S2x1S4

10000

00010

150-1

0,751

-5-10,5

0,250

01000

00100

30-4-20,50

00001

24016445

Elemen persamaan = Elemen persamaan - Elemen entering x Elemen persamaanIterasi baru iterasi lama coloum pivot iterasi baru

SOLUSINYA…Karena masih ada yang negatif lanjutkan iterasi

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

1 ZS1S2x1S4

10000

00010

150-1

0,751

-5-10,5

0,250

01000

00100

30-4-20,50

00001

24016445

-168160

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

2 ZS1x2x1S4

10000

00010

5-2-2

1,251

00100

01000

1022

-0,50

10-8-41,50

00001

28024820

SOLUSINYA…

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

1 ZS1S2x1S4

10000

00010

150-1

0,751

-5-10,5

0,250

01000

00100

30-4-20,50

00001

24016445

-168

16-

Iterasi Basis Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

2 ZS1x2x1S4

10000

00010

5-2-2

1,251

00100

01000

1022

-0,50

10-8-41,50

00001

28024820

Iterasi Basis Z X1 x2 x3 S1 S2 S3 S4 RK Rasio

1 ZS1S2S1S4

10000

-608420

-3062

1,51

-201

1,50,50

01000

00100

00010

00001

0482085

654

LOGOIlmu Itu Tidak akan pernah habis sampai kapanpun... Jadi Carilah Ilmu kemanapun kita berada... Tapi... Jangan Lupa, Gandengkanlah Imu Dunia dengan Ilmu Akhirat... Maka kita akan Selamat Dunia Akhirat... Insya Allah Aminnn!

rpv@03.2011