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Sistemas Lineares-
- -Métodos Iterativos
Sistemas Lineares-
- -Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
Métodos Iterativos
Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:
Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares
𝑨=𝑫−𝑳−𝑼𝑫=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍𝑳=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝑼=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓
Métodos Iterativos
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𝑫=𝒂𝟏𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝒂𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝒂𝟑𝟑
𝑫=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍
Métodos Iterativos
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𝑳=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑰𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓
𝑳=𝟎 𝟎 𝟎𝒂𝟐𝟏 𝟎 𝟎𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝟎
Métodos Iterativos
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𝑼=𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑻𝒓𝒊𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓
𝑼=𝟎 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝟎 𝟎 𝒂𝟐𝟑
𝟎 𝟎 𝟎
Exemplos
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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
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3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9
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10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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Exercícios
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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-Jacobi, tendo como para X1=0, X2=0 e X3=0 e ε=0,05.
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
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Métodos Iterativos
Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma algébrica:
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Métodos Iterativos
Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas de iterações, na forma matricial:
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𝒙𝒌+𝟏=(𝑵 ¿¿−𝟏)𝒃+(𝑵 ¿¿−𝟏𝑷 )𝒙𝒌 ¿¿
𝑨=𝑵 −𝑷
N
(com diagonal zero)
Métodos Iterativos
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N
𝑵=𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑
𝟎 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑
𝟎 𝟎 𝒂𝟑𝟑
Métodos Iterativos
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(com diagonal zero)
𝑷=𝟎 𝟎 𝟎𝒂𝟐𝟏 𝟎 𝟎𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝟎
Métodos Iterativos
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. =
Métodos Iterativos
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2º) Calcula os Cofatores;3º) Trabalha a regra dos sinais dos cofatores;4º) Multiplica pelo inverso do det;5º) Acha .
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Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
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• Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:
ii
n
ijj
ij aa 1
, para i=1, 2, 3, ..., n.
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Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que:
Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel
0.1048.02.14.0
0.12.02.01.0
8.73.06.036.0
4.02.02.02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
4.28.02.14.04
5.02.02.01.01
5.13.06.06.03
4.12.02.012
43424144
34323133
24232122
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ii
n
ijj
ij aa 1
para i=1, 2, 3, 4.
29
Distância entre duas iterações
d(k) = max xi(k) - xi
(k-1)
Critério de parada
dr(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
30
EXEMPLO
Seja o sistema 10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
31
Com x0 = 0,7
-1,6
0,6
e = 0,05
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
32
obtemos x(1) =
-0,56
-1,86
-0,26
= 0,05
|x1(1) – x1
(0)| = 1,26
|x2(1) – x2
(0)| = 0,26
|x3(1) – x3
(0)| = 0,86
dr(1) = 1,26/ (max xi(1) )
= 0,677 >
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33
x(2) =-0,25
-1,44
0,07
= 0,05
dr(2) = 0,42/ 1,44 = 0,29 >
x(3) =-0,43
-1,56
-0,11
dr(3) = 0,18/ 1,56 = 0,12 >
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
34
x(4) =-0,35
-1,49
-0,04
= 0,05
dr(4) = 0,08/ 1,49 = 0,054 >
x(5) =-0,39
-1,52
-0,08
dr(5) = 0,04/ 1,52 = 0,03 <
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
35
SOLUÇÃO10 x1 + 2x2 + 3x3 = -7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = -6
x* =
-0,39
-1,52
-0,08
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Métodos Iterativos - Critério de Parada
Exemplos
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2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.
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3) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
6x + y + 2z = 10
x – 3y + 0,5z = 2,80,75x + 3y – 10z = -6,9
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10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 + 5x2 + x3 = -8
2x1 + 3x2 + 10x3 = 6
6) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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Exercícios
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1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.
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4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,03.
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5) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,
tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,06.
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