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MÉTODOS MATEMÁTICOSMÉTODOS MATEMÁTICOS
55aa AulaAula
Claudia Mazza Dias
Sandra Mara C. Malta
2
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAISSISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
F Motivação: Modelo Logístico de Competição entre duas Espécies
Partindo-se da equação logística (mesma do exemplo de aplicação de EDO),
O modelo a ser considerado incorpora não só a competição intraespecífica como também a competição interespecífica.
Seja y1 a população da espécie original, com capacidade de transporte k1 e taxa de crescimento r1. E seja y2uma segunda espécie, com k2 e r2.
−
=k
ykyr
dt
dy
3
Vamos supor que 10 indivíduos da espécie 2 tenham os mesmos efeitos de competição e inibição da espécie 1. O efeito competitivo total será equivalente a,
Chamamos a constante 1/10 de coeficiente de competição, ou seja, α12= 1/10, uma vez que ela mede o efeito competitivo das espécies 1 e 2. Logo, se α12 <1, a espécie 2 tem menor efeito inibidor do que a espécie 1, e se α12 > 1, ocorre o oposto.Assim, para a espécie 1,
(1)
Procedendo-se da mesma forma paea a espécie 2,
(2)
+
10
yy 2
1
α−−=
α+−=
1
2121111
1
1
2121111
1
k
)yykyr
dt
dy
k
)yy(kyr
dt
dy
α−−=
2
1212222
2
k
)yykyr
dt
dy
4
Temos então definido um sistema de equações diferenciais dado por(1) e (2),
α−−=
α−−=
2
1212222
2
1
2121111
1
k
)yykyr
dt
dy
k
)yykyr
dt
dy
5
F Definição:
Ao considerarmos um sistema de equações diferenciais, estaremos procurando um conjunto de funções que satisfaçam simultaneamenteas várias equações diferenciais que compõem o sistema. Procuramos também a solução geral do sistema.
Ou ainda,
Se B for nulo, o sistema é dito homogêneo.
+
=
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n
2
1
b
b
b
y
y
y
.
aaa
aaa
aaa
y
y
y
dt
d
MM
L
MOMM
L
L
M
BXAX
+= .dt
d
XAX
.dt
d=
6
Uma solução será uma matriz,
cujos elementos são funções que solucionam o sistema. XAX
.dt
d=
=
n
1
x
x
MX
F Exemplo:
−=
−=
y4x5dt
dy
y3x4dt
dx
=
=
−−
==
dt
dydt
dx
dt
d
y
x
45
34.
dt
d
XX
AXAX
7
Para solucionar o sistema, vamos proceder da seguinte forma: combase na solução geral da equação, que é
espera-se que a solução do sistema seja do tipo,Então,
Podemos assim reescrever o sistema,
Ou seja,
Pensando em como um autovetor de A,
que é exatamente a equação de autovalores e autovetores de A.
x.adt
dx=
teb
a
y
x λ
=
=X
t
t
t
t
t
eb
a
eb
ea
eb
ea
dt
d
y
x
dt
d
dt
d λλ
λ
λ
λ
λ=
λλ
=
=
=
X
tt eb
ae
b
a λλ
=
λ A
=
λ
b
a
b
aA
b
a
8
Vamos então procurar os autovalores de A
Assim, temos
que são os autovalores procurados. Vamos procurar então pelos autovetores de A . Para λ1, temos
Note que o sistema acima é indeterminado já que as duas equações são idênticas. Se tomarmos x = 1, como conseqüência y = 1, e teremosassim definido o autovetor,
045
34=
λ−−−λ−
1e10
0)5)(3()4)(4(
212 −=λ=λ∴=λ
=−−λ−−λ−
=−=−
=−−+=−−
0y5x5
0y3x3
0y)14(x5
0y3x)14(
=
1
11v
9
Repetindo-se a operação para λ2, e tomando-se x = 3, teremos que y = 5, e assim definiremos o segundo autovetor,
Logo, as soluções do sistema são,
e a solução geral do sistema será,
=
5
32v
t.1t.1 e5
3yee
1
1x −
=
=
++
=
+
=
−
−
−
t2
t1
t2
t1
t2
t1
eC5eC
eC3eC
e5
3Ce
1
1C
X
X
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