View
2
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103
METODY NUMERYCZNE
Gliwice 2010
wykład
konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30
www.kwmimkm.polsl.pl
Program przedmiotu
wykład: 15 godzin w semestrze
laboratorium: 30 godzin w semestrze
Warunki zaliczenia
zaliczenie na ocenę pozytywną laboratorium (L)
zaliczenie na ocenę pozytywną kolokwium z wykładu (W)
Ocena końcowa
O=0.5 W+0.5 L
Gliwice 2010
Literatura podstawowa
Majchrzak E., Mochnacki B.:
Metody numeryczne. Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy,
Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, wyd. IV, Gliwice 2004.
Gliwice 2010
Gliwice 2010
Układy równań liniowych
Gliwice 2010
Układy równań liniowych
Algorytmy obliczeniowe
Metody dokładne
Metoda Cramera
Metoda Thomasa
Metoda eliminacji Gaussa
Metody iteracyjne
Metoda iteracji prostej
Metoda Gaussa-Seidla
Metoda nadrelaksacji
Gliwice 2010
Metody dokładne rozwiązywania układów równań
Gliwice 2010
Rozpatruje się układ n - równań liniowych
zawierających n - niewiadomych
Układy równań liniowych
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
który można zapisać w postaci macierzowej
A X B
Gliwice 2010
Układy równań liniowych
gdzie:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...................
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
1
2
n
x
x
x
X
1
2
n
b
b
b
B
macierz głównaukładu
wektorniewiadomych
wektor wyrazówwolnych
Gliwice 2010
Układy równań liniowych
Układ równań posiada jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy
jest oznaczony
UWAGA:
macierz główna układu równań A nie jest osobliwa(wyznacznik z tej macierzy jest różny od zera)
Gliwice 2010
Zastosowanie macierzy odwrotnej
Gliwice 2010
Przedstawiony powyżej układ równań liniowych zapisanyw postaci macierzowej
Zastosowanie macierzy odwrotnej
A X B
można rozwiązać obliczając macierz odwrotną domacierzy głównej układu.
1 X A B
Jeżeli macierz główna układu równań nie jest osobliwato wektor niewiadomych oblicza się z zależności:
Gliwice 2010
Trójkątne układy równań liniowych
Gliwice 2010
Trójkątny układ równań
Jeżeli układ równań ma następującą postać
11 1 1 2 2 1 1
22 2 2 2
...
...
..........................
n n
n n
nn n n
a x a x a x b
a x a x b
a x b
trójkątny układ równań
Gliwice 2010
ALGORYTM ROZWIĄZANIA:
Trójkątny układ równań
nn
nn
bx
a
1
, 1 , 2, ... , 1
n
i i s s
s i
i
i i
b a x
x i n na
Zakładamy, że 0 , 1, 2, ... ,i ia i n
Gliwice 2010
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Gliwice 2010
Metoda Thomasa
Algorytm Thomasa bywa nazywany w literaturzemetodą progonki (przeganiania).
Rozpatrujemy liniowy, trójprzekątniowy układ równań
1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
. . . . .
n n n n n
n n n n
b c x d
a b c x d
a b c x d
a b c x d
a b x d
Gliwice 2010
Metoda Thomasa
który można zapisać również w następujący sposób
1
1
1 , 1, 2,
0
... ,
, ,0n
i i i i i i ia x b x c x d i n
a c
Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci
1β γi i i ix x
(1)
(2)
lub inaczej zapisując
1 1 1β γi i i ix x
gdzie i są nieznanymi współczynnikami.βiγi
Gliwice 2010
Metoda Thomasa
Po podstawieniu (2) do (1) i uporządkowaniu otrzymujemy:
1
ββ
ii
i i i
c
a b
1
1
γγ
β
i i i
i
i i i
d a
a b
Gliwice 2010
Metoda Thomasa
Z danych przedstawionych w równaniu (1) można wyznaczyć
wartości początkowe (dla i = 1)
11
1
β ,c
b 1
1
1
γd
b
oraz wartość ostatniej niewiadomej (dla i = n)
1
1
γγ
β
n n n
n n
n n n
d ax
a b
Po wyznaczeniu wartości kolejne niewiadome obliczamyz równania
nx
1β γi i i ix x dla i = n1, n2, ... , 1
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Układ równań liniowych
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...................
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
A
1
2
n
b
b
b
B
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych:
zapisujemy w postaci macierzy C, w której macierz główną Auzupełnia się dodatkową kolumną zawierającą wektor wyrazów
wolnych B.
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
11 12 1 1, 1
21 22 2 2, 1
1 2 , 1
n n
n n
n n nn n n
c c c c
c c c c
c c c c
C
i jaib
i ja
ib
n - pierwszych kolumn stanowią elementy
n + 1 - kolumnę stanowią elementy
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Podstawowy wariant metody eliminacji Gaussa:
Pierwszy etap
Przekształcenie macierzy C w taki sposób,
aby n pierwszych kolumn tworzyło macierz trójkątną
Drugi etap
Rozwiązanie trójkątnego układu równań
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Jeżeli 11 0c
Pierwsze równanie mnożymy przez:1
11
ic
c
Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego i - tego
równania (i = 2, 3, …, n)
Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.
Pierwszy etap
Krok 1
Gliwice 2010
Otrzymujemy następujący układ równań
Metoda eliminacji Gaussa
11 1 12 2 13 3 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2, 1
(1) (1) (1) (1)
32 2 33 3 3 3, 1
(1) (1) (1)
2 2 3 3 ,
...
...
...
...................................................
...
n n n
n n n
n n n
n n nn n n n
c x c x c x c x c
c x c x c x c
c x c x c x c
c x c x c x c
(1)
1
Gliwice 2010
Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C do C1
Metoda eliminacji Gaussa
11 12 13 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 23 2 2, 1
(1) (1) (1) (1)
32 33 3 3, 11
(1) (1) (1) (1)
2 3 , 1
0
0
0
n n
n n
n n
n n nn n n
c c c c c
c c c c
c c c c
c c c c
C
za pomocą wzorów określających nowe współczynniki
1(1)
1
11
i
i j i j j
cc c c
c
2, 3, ... ,i n
2, 3, ... , 1j n dla
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Jeżeli(1)
22 0c
Drugie równanie mnożymy przez:
(1)
2
(1)
22
ic
c
Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego i - tego
równania (i = 3, 4, …, n)
Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.
Krok 2
Gliwice 2010
Otrzymujemy następujący układ równań
Metoda eliminacji Gaussa
11 1 12 2 13 3 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2, 1
(2) (2) (2)
33 3 3 3, 1
(2) (2) (2)
3 3 , 1
...
...
...
........................................
...
n n n
n n n
n n n
n nn n n n
c x c x c x c x c
c x c x c x c
c x c x c
c x c x c
Gliwice 2010
Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy C1 do C2
Metoda eliminacji Gaussa
za pomocą wzorów określających nowe współczynniki
11 12 13 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 23 2 2, 1
(2) (2) (2)
33 3 3, 12
(2) (2) (2)
3 , 1
0
0 0
0 0
n n
n n
n n
n nn n n
c c c c c
c c c c
c c c
c c c
C
3, 4, ... ,i n
3, 4, ... , 1j n dla
(1)
2(2) (1) (1)
2(1)
22
i
i j i j j
cc c c
c
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Kontynuując takie postępowanie, po wykonaniu n kroków
dochodzimy do trójkątnego układu równań
11 1 12 2 13 3 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 2 23 3 2 2, 1
(2) (2) (2)
33 3 3 3, 1
( 1) ( 1)
, 1
...
...
...
.......................................
n n n
n n n
n n n
n n
n n n n n
c x c x c x c x c
c x c x c x c
c x c x c
c x c
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
któremu odpowiada przekształcona macierz Cn1
11 12 13 1 1, 1
(1) (1) (1) (1)
22 23 2 2, 1
(2) (2) (2)
33 3 3, 11
( 1) ( 1)
, 1
0
0 0
0 0 0
n n
n n
n nn
n n
nn n n
c c c c c
c c c c
c c c
c c
C
Gliwice 2010
Metoda eliminacji Gaussa
Przejście od układu równań liniowych do układu trójkątnegorealizowane jest za pomocą następującego ciągu wzorów
( 1)
( ) ( 1) ( 1)
( 1)
1 , 2 , ... , 1
1 , 2 , ... ,
, 1, 2, ... , 1
s
i ss s s
i j i j s js
s s
s n
i s s n
cc c c j s s n
c
Gliwice 2010
Recommended