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ecânica dos Fluidos II
Soluções das Equações de
Navier-Stokes
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Equações de Navier-Stokes
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Equações de Navier-Stokes
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Equações de Navier-Stokes
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Cartesian Coordinates
Cylindrical Coordinates
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Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
L
hu
v=0 ; w=0
u=u( y)ê x⇒u .∇ u=0
O escoamento é unidirecional, mas bidimensional:
Escoamento Incompressível: ∇ .u=0⇔∂u∂ x
=0
Vamos assumir que o escoamento sedesenvolve na direço hori!ontal::
y
x
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Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas
Escoamento em "e#ime $ermanente:
Campo de Velocidade:
∂∂ t =0
u=u( y)→∂u
∂ x=0
Equaç%es de &avier'(to)es em coordenadas cartesianas, redu!em'se a:
y→∂ p
∂ y
=0
z →∂ p∂ z =0
0=− dpdx+μ d
2 u
d y2
p= p ( x)
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*n+lise de escalas aos termos de advecço e de diuso
u ∂ u∂ x
∼U 2
L∂2u∂ x2
∼U L
2
∂2 u
∂ y2∼
U
h2
∂2 u
∂ y2≫
∂2 u
∂ x2
0=− d p
d x +μ
d 2
u
d y2
Ento para a direço -./:
∂ p∂ x
= p L− p0
L =−G p0> p L=−G
μ d 2
ud y
2= d pd xInte#rando duas ve!esem relaço a y
u=− G2μ y2+C 1 y+C 2
As constantes de integração são encontradasatravs das condições de contorno do !ro"lema
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L
du
Caso I: Escoamento acontece por desli!amento da placa
superior e pela e.ist0ncia de um #radiente de presso
#
p0 p L
u=− G
2μ y
2+C 1 y+C 2
Condiç%es de Contorno
u ( y=d )=U ; u( y=0)=0
*plicando as Condiç%es de Contorno em:
u ( y=0)=
0⇒C 2=
0
u ( y=d )=U ⇒C 1=U
d +
G
2μ d
u ( y)= G
2μ y(d − y)+
U
d y
Este é o caso mais 1eral
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L
du
Caso II: Escoamento acontece por desli!amento da placa
superior2 no e.iste #radiente de presso
#
u=− G
2μ y
2+C 1 y+C 2
Condiç%es de Contorno
u ( y=d )=U ; u( y=0)=0
*plicando as Condiç%es de Contorno em:
u ( y=0)=
0⇒C 2=
0
u ( y=d )=U ⇒C 1=U
d
u ( y)=U
d y Conhecido como
escoamento de Couetteentre placas paralelas
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L
du
Caso III: Escoamento acontece pela e.ist0ncia de um
#radiente de presso 2 placa superior e inerior im3vel
p0 p L
u=− G
2μ y
2+C 1 y+C 2
Condiç%es de Contorno
u ( y=d )=0 ; u( y=0)=0
*plicando as Condiç%es de Contorno em:
u ( y=0)=
0⇒C 2=
0
u ( y=d )=0⇒C 1= G
2μ d
u ( y)= G
2μ y(d − y)
Conhecido como escoamento de4a#en'$oiseuille entre placas paralelas
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Escoamento em $u"o %a!ilar& 'agen-Poiseuille
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Escoamento em $u"o %a!ilar& 'agen-Poiseuille
r
(
)
p0 p L
Consideraç%es do problema
56 Comprimento 7L6 muito maior que o raio 7a6
86 Condiço de *.issimetria
96 Escoamento nidirecional
;6 Escoamento em "e#ime $ermanente
L≫a
∂∂θ
=0
uθ=0
∂
∂ t =0
u=u(r )ê z =u z (r )
O escoamento se desenvolve na direço !
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Equaço da Continuidade
1
r
∂(r u r )
∂ r +
∂u z ∂ z =0 r ∼a ; z ∼ L ; u z ∼U u r ∼U
a
L⇒ur ≪1⇒ur ≈0
ovimento icam :
1
r
∂(r u r )
∂ r +
∂u z ∂ z =0
r →0=−∂ p∂ r
θ→0=−∂ p∂θ
z →0=−∂ p∂ z +μ ∂
2
u z
∂ r 2 + 1
r ∂ u z ∂ r
1
r
d
dr
(r
d u z
dr
)=1
r
[r
d 2
u z
d r 2 +
d u z
dr
]=
d 2
u z
d r 2 +
1
r
d u z
d r
&ota que:
∂ p∂ z = p L− p0
L =−G p0> p L=−G
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1
r
d
d r r
d u z
d r =−
Gμ *ssim escreve'se que:
Inte#rando uma ve!:∫ d r d u z
d r =−∫ Gμ r dr ⇔
d u z
d r =−
Gμ
r
2+
C 1
r
Inte#rando de novo: u z =− G4μ
r 2+C 1 ln r +C 2 &ote que: C5 tem que ser nulo para que
em r?@ no obtenhamos um valorininito para u
! 7inconsist0ncia ísica6
u z (r )=− G
4μ r 2
+C 2
*ssim o campo de velocidades é dado por:
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u z (r )=− G
4μ r
2+C 2
Condiço de Contorno
u z (r =a)=0
O problema a ser resolvido é:
*+ u z (r )=G a
2
4μ
[1−
(
r
a
)
2
]● Velocidade >+.ima 7centro do capilar6
u z (r =0)=G a2
4μ
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● Va!o
Q=∫ u .dA=∫0
a
u(r )2π r dr
a 2π r d r
d r
Q=∫0
a
[ G4μ (a2−r 2)2 ] dr =πG a
4
8μ
Q=πG a4
8μ * conhecida Equação de 'agen-Poiseuille
$or outro lado: Q=U A⇔Q=U π a2
I#ualando A EqB de 4a#en'$oiseuille: U =G a
2
8μ
Comparando a velocidade média com a m+.ima: U =1
2u z (r =0)
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● enso de Cisalhamento na $arede
Δ p τW
Δ pπa2=τW 2πa L⇔τW =1
2 G a
1
r
d
d r r
d u z
d r =−
Gμ ⇔0=G+
1
r
d
dr (r τrz )
Outra orma de obter a tenso de cisalhamento na parede é pelas equaç%es de &avier'(to)es
τrz =μ ∂ur ∂ z +∂u z ∂ r
Inte#rando, obtém'se τrz =−G r
2+C
1
r
Em r?@ a tenso é inita e como tal C5 deve de ser nulo τrz =−G
r
2
$ara r?a 7parede6 a tenso é: τrz (r =a)=τw=1
2G a
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&'"()
● Dator de *trito no Capilar
Q=π a4G8μ
⇔π a2U =π a4Δ p8μ L
⇔Δ p=8μ L U
a2 ⇔Δ p=
1
2
64 νρ L U
d 2
Δ p=1
2
64νρ L U
d 2 ⇔Δ p=
1
2ρ(U )2
64ν L
d 2
U ⇔̃Δ p=
64
U d ν
d
L
⇔̃Δ p=64
R e x
R e x=
U d ν
d
L= R e
d
L≪1
ν=μρ Viscosidade cinem+tica
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$u"o %a!ilar& ,iscosmetro
>edindo a Va!o e a
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τrz (r =a)=τw=1
2G a
τrz =−G r
2
Lembrando que:
r =−a τrz τw
⇔dr =−a τw
d τrz
Q=−π∫0
a
r 2˙ γdr =−π [∫
0
τw
˙ γa2 τ rz
2
τw2 (− a τw d τ rz )]
(e#ue que:
Q τw3
π a3 =∫0
τw
˙ γ τrz 2
d τ rz
˙ γw=1
τw2
d
d τw
Q τw3
π a3"elaço de eissenber'"abinoFitsch
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˙ γw=1
τw2
d
d τw
Q τw3
π a3
˙ γw=1
πa31
τw2 [3 τw2 Q+τw3 dQd τw ]
Eetuando a derivada, se#ue'se que:
˙ γw= Q
πa3 [3+ dQ /Qd τw / τw ] τw=− 12 Δ P L a
˙ γw= Qπa3 [
3+ d ln Qd ln Δ p ]
ln Q
ln Δ p
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Prevendo a va(ão.!ressão de um fluido Não-Ne/toniano
Ima#ine que a viscosidade de um luido é aGustada por uma Lei de $ot0ncia do tipo:
μ( ˙ γ)=C ˙ γ n−1
0=G+1
r
d
dr (r τrz )⇔
dp
dz =
1
r
d
dr (r τrz )
(e#ue que: τrz =dp
dz
r
2 τrz =μ( ˙ γ) ˙ γ=C ˙ γ
n=C ( dudr )n
du
dr =(dp
dz
r
2C
)1/n
u z (r )= n
1+n ( dpdz r 2C )1/n
r
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Q=2π∫0
a
u z (r )r dr
Q=2π n
2
(1+n)(1+3n) ( dpdz a2C )1/n
a3
$ara n?5, recupera'se a e.presso de 4a#en'$oisseuille 7Dluido &eFtoniano6
Q=π a4
8C
dp
dz
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
*nalisando o problema:
56 Cilindro e.terno paradoB
86 Cilindro interno em movimento circular
96 em principio, em re#ime laminar, o escoamento no teminstabilidades para que ocorra na direço !B *ssim u
!?@B
;6 * velocidade na direço θ 7uθ6 depende de r uma ve!
que o cilindro est+ #irandoB
H6 Escoamento com ei.o de simetria
Escalas: uθ∼ R1 ; r ∼! ; z ∼ L
R0− R1 L ≪1 u=uθ(r )êθ
∂
∂θ=0
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
Equaço da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas
1
r
∂(r ur )
∂r +
1
r
∂uθ∂θ +
∂u z ∂ z
=0⇒ur =0
Equaç%es da =uantidade de >ovimento
r →uθ
2
r =
1ρ∂ p∂ r
z →∂ p
∂ z =0
θ→0=∂2 uθ∂ r 2
+ 1
r 2
∂uθ∂ r −
uθ
r 2⇔0=
d
dr [1r d (r uθ)dr ]
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
0=∂2 uθ
∂ r 2 + 1
r 2∂2 uθ∂θ2
− uθr 2
d
d r
1
r
d (r uθ)
dr
= d
d r
1
r
+1
r
d
d r
d (r uθ)
dr
=−uθ
r 2+1
r
d
dr
dr
dr
uθ+r d uθ
dr
−uθ
r 2+1
r
d uθdr +
d 2
uθ
d r 2
?
d
d r
1
r
d (r uθ)dr =0
Ento escreve'se que:
Inte#rando duas ve!es em relaço a r: uθ=C 1r
2+
C 2
r
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
Condiç%es de Contorno uθ(r = R0)=0 ; uθ(r = R1)= R1
0=C 1 R0
2 +
C 2
R0
R1=C
1
R1
2 +
C 2
R1
C 1=−2 R1
2
R02− R1
2
C 2= R0
2 R1
2
R02− R1
2
*ssim a e.presso para o peril de velocidades é:
uθ(r )=− R1
2r
R02− R1
2+ R0
2 R1
2
R02− R1
2
1
r
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
● enso de Cisalhamento na parede e.terna do cilindro interno
τr θ=μ [r ∂∂ r ( uθr )+1r ∂u r ∂θ ]
&este problema τr θ=μ [r ∂∂ r (
uθr )]=μ [−
2 R02 R12
R02− R1
2
1
r 2 ]
&a parede e.terna do cilindro interno τr θ(r = R1)=−2μ r R0
2
R02− R1
2
Dorça an#encial que o Liquido e.erce no Cilindro
F θ=τ r θ A=τ r θ(2π R1 L)=−4πμ L R0
2 R1
R02− R1
2
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
● Dorça an#encial que o Liquido e.erce no Cilindro
F θ=τ r θ A=τ r θ(2π R1 L)=−4πμ L R0
2 R1
R02− R1
2
● Dorça an#encial que o Cilindro e.erce no Liquido
F θ=4πμ L R02 R1 R0
2− R12
● orque T = F θ R1=4πμ L R0
2 R1
2
R02
− R12
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
● orque T = F θ R1=4πμ L R02 R12
R02− R1
2
T =4πμ L R0
2 R1
2
( R0− R1)( R0+ R1)
(e R0≈ R1⇒ R0− R1=!⇒ R0+ R1≈2R 1
T =2πμ L R0
2 R1
2
R1! =2πμ L
R02 R1
R1
R1!
T =2π L R02μ
R1! =2π L R0
2μ ˙ γ
T =C μ ˙ γ
Em que C s3 depende de parmetros #eométricos
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Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2
T =C μ ˙ γ
56 Em que C s3 depende de parmetros #eométricos
86 E.presso id0ntica ao cisalhamento simples entre placas corri#ido por um ator
96 O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade
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Escoamento entre Pratos 3otativos
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Escoamento entre Pratos 3otativos 1%ouette2
4ip3tese: O movimento impostoA haste é controlado de tal ormaque no haGa escoamento nadireço vertical nem radialBEscoamento somente na direço
an#ularB
r →−ρuθ
2
r =−
∂ p∂ r
θ→0=−1
r
∂ p∂θ +μ
∂2uθ∂ z 2
z →0=−∂ p∂ z +ρ g
p=∫ ρuθ2(r , z )
r dr +h(θ , z )Inte#rando
(ubstituindo θ→0=−1
r ∂∂θ [∫ ρ
uθ2(r , z )
r dr +h(θ , z )]+μ ∂
2 uθ
∂ z 2
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θ→0=−1
r ∂∂θ [∫ ρuθ
2(r , z )r
dr +h(θ , z )]+μ ∂2
uθ
∂ z 2
∂∂θ [∫ ρuθ
2(r , z )r
dr +h(θ , z )]=0⇒∂ p∂θ =0θ→0=μ
d 2
uθ
d z 2
Condiç%es de Contorno uθ(r , z =0)=0 ; uθ(r , z =!)= r
uθ=C 1 z +C 2Inte#rando duas ve!es
uθ= r ! z
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● enso de Cisalhamento
τ z θ=μ [∂uθ∂ z + 1r ∂ u z ∂θ ] τ z θ=μ [ r ! ]● orque sobre o disco devido a resist0ncia imposta pela lmina de luido
dF θ=τ z θ2π r dr
T =∫0
R
dF θ . r =μπ R4
2!
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Exerccios
"
"
μ1,ρ1
μ2,ρ2
Escoamento entre placas paralelas ininitas
I 6 Escoamento indu!ido por um#radiente de presso
II 6 Escoamento indu!ido pelomovimento da placa superior com
velocidade 0.
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I 6 Escoamento indu!ido por um #radiente de presso
u=− G
2μ y
2+C 1 y+C 2
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u1(2b)=0⇒C 2= G
2μ1(2b)2−C 1(2b)
u2(0)=0⇒C 4=0
τ1()=τ2()⇔C 1=μ2μ1 C 3
u1( y )= G
2μ1((2b)2− y2)+μ2μ1 C 3( y−2b) u2( y)=−
G
2μ2 y
2+C 3 y
u1()=u2()⇔C 3= μ1μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 ]
u1( y)= G
2μ1((2b)2− y2)+( y−2b)
μ2μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 ]
u2( y)=− G
2μ2 y
2+ μ1μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 ] y
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tt!:""###.vorte$.un%.%r"nuno"
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II 6 Escoamento indu!ido pelo movimento da placa superior com velocidade 0.
u=− G
2μ y
2+C 1 y+C 2
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tt!:""###.vorte$.un%.%r"nuno"
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u1(2b)=0⇒C 2=U +C 1( y−2b)
u2(0)=0⇒C 4=0
τ1()=τ2()⇔C 1=μ2μ1 C 3
u1( y )=U +μ2
μ1 C 3( y−2b) u2( y)=C 3 y
u1()=u2()⇔C 3= μ1μ1+μ2
U
u1( y)=U [1− μ2μ1+μ2 (2− y )] u2( y)= μ1μ1+μ2 y U
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u
p0 p1
μ1μ2
R !a
Escoamento de dois luidos em tubo capilarB O luido 5 tem comportamento neFtonianoBO luido 8 tem comportamento no'neFtonianoB * viscosidade do luido 8 é descrito poruma Lei de $ot0nciaB Calcule o peril de velocidades para cada luido e a va!oB
L
μ2( ˙ γ)=C ˙ γ
n−1
r
z
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$ela an+lise de escala na equaço da continuidade e da quantidade de movimento,che#a'se a:
1
r
d
dr (r τrz )=
dp
dz
1
r
d
dr (r τrz 2)=dp
dz
1
r
d
dr (r τrz 1)=
dp
dz
0"r " R !
R !"r "a
τrz 2=μ( ˙ γ) ˙ γ
τrz 1=μ ˙ γ ˙ γ=
du
dr
τrz 2=dp
dz
r
2+
C 1
r C 1=C 2=0
τrz 1=dp
dz
r
2+
C 2
r enso Dinitaem r?@
du
dr =( 1C dpdz r 2 )
(1/n)
du
dr =
1
μ1
dp
dz
r
2
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Inte#rando encontra'se o peril de velocidade para cada luido
u2(r )=( 1C dpdz r 2 )(1/n)
n r
n+1+C 1
u1(r )=
1
μ1dp
dz
r 2
4 +C 2
* velocidade dos luidos é i#ual em r?"J
u1(r =a)=0⇒u
1(r )=
1
4μ1
dp
dz (r 2−a2)
u2(r )=
( 1
C
dp
dz
r
2
)
(1/n)n r
n+1−
( 1
C
dp
dz
R !
2
)
(1/n)n R !
n+1+ 1
4μ1
dp
dz
( R !2−a2)
* va!o é calculada como:
Q=∫0
R !
(u2(2π r ))dr +∫ R
!
a
(u1(2π r ))dr
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u
p0 p1
a R !
m luido de Jin#ham é um luido que permanece em estado de repousose a tenso de cisalhamento or menor que uma tenso crítica que a partirda qual o luido começa a escoarB * viscosidade de um luido de Jin#ham
pode ser descrita da se#uinte orma:
L
μ=#⇒τ"τ0
μ=μ0+ τ0
(2 " : ")1/2⇒τ>τ0
0"r " R !
R !"r "aCalcule a va!oB
r
z
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Q= π R0
4
16μ(1+5$)
G
$ R0
R( z )
Escoamento incompressível de luido neFtoniano em capilarcom seço vari+velB Calcule a va!o em unço de 1B
R0
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L
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$ U
y
x
Dluido escoando em plano inclinado
!=( C ρ g cos$ )(1/(2n+1))
[ 2n+1n Q L ](n/(2n+1))
* viscosidade do luido em unço da
ta.a de cisalhamento é descrita poruma lei de pot0ncia
μ( ˙ γ)=C ˙ γ(n−1)
!>ostre que
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