Análise Matemática do Problema de Navier-Stokes no R3

Universidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCurso de Mestrado em Matemática

Análise Matemática do Problemade Navier-Stokes no R3

Maria de Jesus Rodrigues da Silva

2007

Universidade Federal da ParaíbaCentro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em MatemáticaCurso de Mestrado em Matemática

Análise Matemática do Problemade Navier-Stokes no R3

por


sob orientação do

Prof. Dr. Marivaldo Pereira Matos

Dissertação apresentada ao corpo docente do

Programa de Pós-Graduação em Matemática-

CCEN-UFPB, como requisito parcial para a

obtenção do título de Mestre em Matemática.

Junho /2007

João Pessoa-Pb

ii

Análise Matemática do Problema de Navier-Stokes no R3

por


Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal da

Paraíba, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Área de Concentração: Análise Matemática

Aprovada por:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Prof. Dr. Marivaldo Pereira Matos (orientador)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Prof. Dr. Aldo Bezerra Maciel

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Prof. Dr. Nelson Nery de Oliveira Castro

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Prof. Dr. Fágner Dias Araruna (suplente)

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Ciências Exatas e da Natureza

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Curso de Mestrado em Matemática

iii

.

Ao meu esposo Ednaldo.

Aos meus pais José (in memorian)

e Antonia. Aos meus irmãos,

especialmente à Josineide.

iv

Agradecimentos

A DEUS que é minha fortaleza, por estar sempre presente em minha vida.

Ao meu orientador prof. Dr. MARIVALDO PEREIRA MATOS pela competente

orientação, por toda a atenção, dedicação, paciência, compreensão e apoio a mim dedicados.

Ao professor Dr. ALDO B. MACIEL pelas valiosas contribuições dadas a este trabalho,

além de todo apoio e incentivo a mim concedidos ao ingressar no mestrado e estímulo para

que eu continue seguindo o caminho acadêmico.

Ao professor Dr. NELSON NERY pelas sugestões e correções inerentes a este trabalho

e por toda a atenção e disponibilidade a mim dispensadas.

Ao professor Dr. FÁGNER D. ARARUNA por ter aceitado colaborar, de forma gentil,

com nosso trabalho.

A todos os professores do DM/UFPB, especialmente os professores da Pós-Graduação

pelos conhecimentos transmitidos com tanta presteza.

Aos professores da UEPB, em particular os que participaram da minha formação e de um

modo muito especial agradeço aos professores OSMUNDO A. LIMA, ISABELLE BORGES,

SAMUEL DUARTE, WANDENBERG e ALDO TRAJANO.

Ao meu amado esposo EDNALDO, que mesmo distante esteve sempre presente me

incentivando e apoiando, por toda compreensão e amor.

À toda minha família pelo constante incentivo, em particular aos meus pais JOSÉ

RODRIGUES FILHO (in memorian) e ANTONIA DOS SANTOS RODRIGUES e irmã

JOSINEIDE que são meu alicerce.

À dona MARIA que me acolheu em sua casa como uma �lha, a TOINHO, VIVIANE e

VENÍCIO por toda torcida e carinho.

Aos colegas da pós-graduação pela ótima convivência, especialmente às minhas amigas

CÉLIA E KALINA, modelo de amizade e companheirismo.

Aos órgãos �nanciadores PIBIC/CNPQ e CAPES, pelo apoio �nanceiro durante minha

vida acadêmica.

v

Ficha Catalográ�ca

vi

Resumo

No presente trabalho, estudamos a existência e unicidade de solução das equações

estacionárias de Navier-Stokes, as quais regem o escoamento de �uidos homogêneos,

incompressíveis e viscosos. Analisamos tanto o problema homogêneo quanto o não

homogêneo, sempre considerando um aberto limitado do R3, com fronteira bem regular.

Para garantirmos a existência de solução, usamos o método de Galerkin e para a unicidade,

o processo formal.

Palavras-Chave: Solução Fraca, Problema Estacionário, Navier-Stokes.

vii

Abstract

The aim of this work was to study the existence and uniqueness of solution of the

stationary Navier-Stokes equations, which govern the drainage of �uids homogeneous,

incompressible and viscous. We analyzed so much the homogeneous problem as well as

the not homogeneous, always considering an open limited of R3, with very regular border.

In order to guarantee the solution existence, we used the method of Galerkin and for the

uniqueness, the formal process.

Key-Words: Weak Solution, Stationary Problem, Navier-Stokes.

viii

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 10

1.1 Espaços Funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Distribuições Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.2 Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Resultados Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.2 Resultados de Existência, Convergência e Imersão . . . . . . . . . . . 20

1.2.3 Resultados Especí�cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 O Problema Homogêneo 33

2.1 Formulação Fraca do Problema (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Existência de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Etapa 1: O Problema Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Etapa 2: Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Etapa 3: Passagem ao Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Unicidade de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 O Problema Não Homogêneo 42

3.1 Formulação Fraca do Problema (P1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Existência de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

ix

3.3 Estimativas a Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 Passagem ao Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5 Unicidade de Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Referências Bibliográ�cas 50

x

.

Introdução

Desenvolvemos esta dissertação, tomando como base um dos diversos trabalhos de

J.L.Lions, ver [9]. Aqui vamos enfatizar o caso em que é um aberto limitado do R3,

que é o caso físico mais importante.

No primeiro capítulo, procuramos objetivamente, apresentar alguns conceitos, notações

básicas e demonstrar os principais resultados necessários aos demais capítulos.

No segundo capítulo, estudamos a existência e unicidade de solução para o Problema

Homogêneo de Navier-Stokes no R3. O método utilizado para garantirmos a existência de

solução foi o de Galerkin.

No terceiro capítulo, analisamos pelo mesmo método o Problema Não Homogêneo,

mostrando também a existência e unicidade de solução.

A seguir, apresentaremos uma dedução modelo matemático de Navier-Stokes para o

escoamento de �uidos homogêneos, incompressíveis e viscosos, por meio de argumentos

elementares e intuitivos, dirigido às pessoas interessadas em ciência, em geral. Esta dedução

é devida ao Prof. Luiz Adauto Medeiros [10].

Iniciamos com considerações físicas e geométricas, intuitivas para obter o que se entende

por �uxo de �uido através de uma superfície, para obter a equação de continuidade que

traduz, matematicamente, o princípio de conservação de massa. Por meio desta equação,

de�nimos o que entendemos por �uido incompressível. Da lei de conservação de quantidade

de movimento encontramos o modelo que procuramos, conhecido sob a denominação de

equações de Navier-Stokes.

1

1. Considerações Físicas e Geométricas

Consideremos um �uido em movimento. Para �xar idéia, pensamos em água �uindo

em um canal. Representemos por um aberto limitado contido no ambiente onde se

encontra o �uido. Pensamos cheio do �uido, com fronteira regular �. O espaço onde

está imerso é o R3, constituído de pontos x = (x1; x2; x3). Representamos por � a

fronteira de , a qual é uma superfície do R3. Com ~n representamos a normal unitária

externa à fronteira �. Denotamos por ~u o vetor de componentes (u1 (x; t) ; u2 (x; t) ; u3 (x; t)),

denominado velocidade do fuido, isto é, das partículas do �uido. Denotamos por ~u o vetor

~u (x; t) velocidade no ponto x no instante t.

Consideremos uma porção d� da superfície �. Denominamos �uxo através de d�, a

massa de �uido que atravessa d�, na direção da normal, ~n, na unidade de tempo. Calculamos,

de modo intuitivo, o �uxo, considerando a velocidade ~u das partículas. De fato, no instante

�t uma partícula se desloca de ~u�t, na direção de ~u. Considerando os pontos de d�, no

instante �t, o total de partículas atravessando d� é a massa de �uido contida no prisma de

altura u�t, onde u é o módulo de ~u, e base d�. Se desejarmos este �uxo na direção da normal

~n, projetamos ~u sobre ~n, obtendo un�t para a altura do prisma, sendo un = proj~n ~u = (~u; ~n),

onde (:; :) denota o produto escalar no R3. Portanto o total de partículas atravessando d�

na unidade de tempo �t, na direção da normal ~n, mede-se pelo total de partículas de �uido

contido no prisma de base d� e altura un�t, isto é, seu volume é dado por

d�� un�t.

O �uxo sendo a massa do �uido contida neste prisma, será dado por

� un �t d�,

onde por � = � (x; t) representamos a densidade do �uido, massa por unidade de volume.

2

Temos a visão geométrica na Fig.1

Convencionamos que o �uxo é positivo se calculado no sentido positivo de ~n e negativo

no sentido oposto.

Portanto, o �uxo através de �, no intervalo �t = 1, será o somatório dos �uxos

elementares � un �t d�, isto é: Z�

� (x; t)un (x; t) d�, (1)

integral sobre a superfície �.

2. Equação de Continuidade

Admitiremos o

Princípio de Conservação de Massa de Fluido: �a variação da massa de �uido

no interior de , em relação ao tempo, é igual ao �uxo de �uido através da fronteira � de

.�

Traduziremos, a seguir, matematicamente, este princípio. De fato, sendo � (x; t) a

densidade do �uido, a massa de �uido contida em é dada por:

M (t) =

Z

� (x; t) dx,

sendo dx = dx1dx2dx3 a medida no R3. A variação, em relação ao tempo, é:

dM (t)

dt=

Z

@�

@tdx. (2)

3

Suponhamos a variação devido ao �uido entrando em , isto é,

�Z�

� (x; t) un (x; t) d�. (3)

O princípio de conservação de massa diz que as integrais (2) e (3) são iguais, para todo

aberto limitado , com fronteira �. Notemos que se supõe limitado e do mesmo lado de

�. Algo como na �g. 2

Portanto, pelo princípio de conservação de massa, resulta, da igualdade das integrais

(2) e (3): Z

@�

@tdx+

Z�

� un d� = 0,

para todo . Usando o teorema da divergência, obtemos:Z

�@�

@t+ div (�~u)

�dx = 0

para todo . Supondo o integrando uma função contínua, obtemos:

@�

@t+ div (�~u) = 0, pontualmente, em . (4)

Notemos que a componente ui da velocidade ~u édxidt, x = (x1; x2; x3) vetor do R3, posição

da partícula x no tempo t, isto é, xi = xi (t) i = 1; 2; 3. Daí obtemos

d�

dt=@�

@t+

3Xi=1

@�

@xiui =

@�

@t+ (grad �; ~u) . (5)

Efetuando o cálculo, temos:

div (�~u) = � div ~u+ (grad �; ~u) (6)

4

Substituindo (5) e (6) em (4), obtemos:

d�

dt+ � div ~u = 0 em . (7)

É claro que (4) e (7) são equivalentes. A equação (7) (ou a (4)) é denominada lei de

conservação de massa (ou equação de continuidade).

Dizemos que um �uido é incompressível e homogêneo quando sua densidade é constante

ou, equivalentemente, div ~u = 0 em todo , isto é,

div ~u = 0 em . (8)

3. Equações de Navier-Stokes

As Equações de Navier-Stokes constituem um modelo matemático para a descrição do

movimento de �uidos homogêneos (densidade � constante), incompressíveis (div ~u = 0) e

viscosos. A dedução deste modelo será obtida por meio do princípio de conservação de

quantidade de movimento. Estamos supondo

� constante e div ~u = 0 em . (9)

Consideremos um prisma de faces �x1, �x2, �x3 contido em , cujo volume é

�x = �x1.�x2.�x3 e massa ��x. A quantidade de movimento desta massa, é �(�x)~u,

sendo ~u a velocidade. Da de�nição de integral tripla, concluimos que a quantidade de

movimento da massa de é dada por:

m (t) =

Z

�~u (x; t) dx. (10)

Princípio de Conservação de Quantidade de Movimento: �a variação da

quantidade de movimento m (t) de , em relação ao tempo, é igual ao somatório das forças

aplicadas ao .�

A variação da quantidade de movimento de é:

dm (t)

dt=

Z

�d~u

dtdx. (11)

As forças aplicadas em , são de dois tipos:

5

(i) volumétricas aplicadas a de densidade ~f (x; t) = (f1 (x; t) ; f2 (x; t) ; f3 (x; t)).

(ii) tensões internas e viscosidades na fronteira � de , cujas componentes admitiremos da

forma:

Fi (x; t) =

3Xj=1

�ij (x; t) �j,

i = 1; 2; 3. Os números reais �j, j = 1; 2; 3, são as componentes da normal unitária ~n,

externa à �.

Suponhamos as funções �ij (x; t), x 2 e t � 0, contínuas e continuamente diferenciáveis

em relação a x, para todo t � 0. As funções fi (x; t) são supostas integráveis em para todo

t > 0. A matriz �ij (x; t), i; j = 1; 2; 3, é denominada �tensor de tensões�.

Deduzimos, do princípio de conservação da quantidade de movimento, a equação

seguinte: Z

�d~u

dtdx =

Z

�!f (x; t)dx+

Z�

F (x; t) d�. (12)

Escrevendo a (12) para as componentes dos vetores dos integrandos, obtemos:Z

�duidtdx =

Z

fi (x; t) dx+

Z�

3Xj=1

�ij (x; t) �jd�, (13)

para i = 1; 2; 3.

Do Lema de Gauss, obtemos:

3Xj=1

Z�

�ij (x; t) �jd� =

3Xj=1

Z

@

@xj�ij (x; t) dx,

que substituido em (13), resulta:Z

�duidtdx =

Z

fi (x; t) dx+

Z

3Xj=1

@�ij@xj

dx, (14)

para i = 1; 2; 3.

Para �uidos homogêneos, incompressíveis e viscosos encontramos que �ij (x; t) tem a

representação:

�ij (x; t) = �p (x; t) �ij + �

�@ui@xj

+@uj@xi

�. (15)

6

p (x; t) número positivo e � > 0 dita viscosidade do �uido, cf. Landau-Lifschitz[5]. Sendo

div ~u = 0, obtemos

3Xj=1

@�ij@xj

= �3Xj=1

@p

@xj�ij + �

3Xj=1

@

@xj

�@ui@xj

+@uj@xi

�.

Notemos que �ij = 0 se i 6= j e �ij = 1 se i = j. Logo,@p

@xj�ij = 0 se i 6= j restando

@p

@xi,

portanto:

�3Xj=1

@p

@xj�ij = �

@p

@xi. (16)

Temos: div ~u = 0 em , logo

�3Xj=1

@

@xj

�@ui@xj

+@uj@xi

�= ��ui. (17)

Substituindo (16) e (17) em (14) obtemos:Z

�duidtdx =

Z

fi (x; t) dx+

Z

�� @p

@xi+ ��ui

�dx; (18)

i = 1; 2; 3, para todo imerso no �uido, resultando, devido a continuidade dos integrandos

em (18):

�duidt= fi �

@p

@xi+ ��ui em ; i = 1; 2; 3. (19)

O sistema de equações (19) é denominado sistema de Navier-Stokes, para �uidos homogêneos,

incompressíveis e viscosos. Notemos queduidt

é a aceleração do �uido.

Modi�camos (19), observando que ~u (x; t) = (u1 (x; t) ; u2 (x; t) ; u3 (x; t)) para x =

(x1; x2; x3). Portanto, a velocidade das partículas é dada por uj (x; t) =dxjdt, e daí:

duidt=@ui@t+

3Xi=1

@ui@xj

uj,

que substituida em (19) resulta:

@ui@t� ��ui +

3Xj=1

uj@ui@xj

= fi �@p

@xiem , (20)

com i = 1; 2; 3, para t 2 (0; T ), T > 0. Podemos supor � = 1, pois ela é constante.

7

Trata-se de um sistema de três equações diferenciais parciais nas incógnitas u1; u2; u3 e

p. A questão matemática consiste em saber se um problema de valor inicial e de contorno,

para (20), é bem posto, no sentido de Hadamard. Isto signi�ca que devemos investigar se:

existe solução para o problema, é única e se depende continuamente dos dados.

De fato, dado aberto limitado, não vazio do R3, com fronteira � de classe C2,

de�namos o cilindro Q = � (0; T ), T > 0, do R4 = Rx � Rt, com fronteira lateral

� = � � (0; T ). O problema matemático consiste em determinar ui : Q �! R, para

i = 1; 2; 3, isto é, o vetor ~u (x; t) = (u1 (x; t) ; u2 (x; t) ; u3 (x; t)), solução do problema de

valor inicial e de fronteira seguinte:

��

@ui@t� ��ui +

3Xj=1

uj@ui@xj

= fi �@p

@xiem Q

ui = 0 em �

div ~u = 0 em Q

ui (x; 0) = u0i (x) em .

(21)

Seja ~u (x; t) = u (x; t) e representemos por rp o vetor grad p =�@p

@x1;@p

@x2;@p

@x3

�. Além

disso sejam@u

@t=

�@u1@t

;@u2@t

;@u3@t

�e �u = (�u1;�u2;�u3) .

Daí obtemos a expressão vetorial

3Xj=1

uj@u

@xj=

3Xj=1

uj@u1@xj

;

3Xj=1

uj@u2@xj

;

3Xj=1

uj@u3@xj

!.

Com esta notação, escrevemos o sistema de Navier-Stokes (21) sob a forma:

��

@u

@t� ��u+

3Xj=1

uj@u

@xj= f �rp em Q

div u = 0 em Q

u = 0 em �

u (x; 0) = u0 (x) em .

(22)

8

Neste trabalho estudamos o caso estacionário, isto é, o caso em que as variáveis

envolvidas não dependem do tempo. Desta forma, as equações (22) tornam-se:

��u+

3Xj=1

uj@u

@xj= f �rp em

div u = 0 em

u = 0 em �.

9

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo, apresentaremos algumas de�nições e notações da teoria das Equações

Diferenciais Parciais, bem como resultados relevantes que empregaremos nos capítulos

subsequentes. Por serem de uso frequente, omitiremos algumas demonstrações, contudo,

indicaremos as referências bibliográ�cas onde podem ser encontradas. Em seguida,

mostraremos os resultados que são mais especí�cos deste trabalho.

1.1 Espaços Funcionais

1.1.1 Distribuições Escalares

Denotemos por x = (x1; :::; xn) os pontos do Rn. Por um multi-índice entendemos

uma n-upla de números inteiros não negativos � = (�1; :::; �n) cuja ordem é de�nida por

j�j = �1 + :::+ �n e representamos por

D� =@j�j

@x�11 :::@x�nn

o operador derivação parcial de ordem �. No caso em que � = (0; 0; ::: ; 0) = 0, D0 denota

o operador identidade.

Sejam um aberto do Rn e u : �! R uma função real contínua. O suporte da

10

função u, anotado supp (u) ; é, por de�nição, o fecho em do conjunto fx 2 ; u (x) 6= 0g.

Em outras palavras, o supp (u) é o menor fechado de fora do qual a função u se anula.

Seguem as seguintes relações:

(a) supp (u+ v) � supp (u) [ supp (v) ;

(b) supp (uv) � supp (u) \ supp (v) ;

(c) supp (�u) = � supp (u) ; � 6= 0.

Mesmo que o suporte de uma função contínua seja fechado em , existem funções cujos

suportes não são compactos.

Exemplo 1.1 Seja u : (0; 1) �! R a função de�nida por u(x) = 1; 8 x 2 (0; 1). Notemos

que supp(u) = (0; 1); que não é um conjunto compacto da reta.

Como estamos interessados em trabalhar com funções cujo suporte seja um compacto

contido em e, além disto, possuindo derivadas contínuas de todas as ordens, consideraremos

o espaço C10 () das funções in�nitamente diferenciáveis com suporte compacto em . O

exemplo a seguir mostra que esta classe de funções é bastante ampla.

Exemplo 1.2 Sejam x0 2 Rn, r > 0 e Br (x0) a bola aberta de centro x0 e raio r, isto é,

Br (x0) = fx 2 Rn; kx� x0k < rg. Sendo x0 2 e r > 0 tal que Br (x0) � , de�nimos

' : �! R por

' (x) =

8><>:exp

�1

kx� x0k2 � r2

�, se kx� x0k < r

0 , se kx� x0k � r.

Para esta função temos que supp (') = Br (x0) é compacto. Temos também que

' 2 C10 (). De fato: observemos que a função f : R �! R de�nida por

f(t) =

8<: e�1=t, t > 0

0, t � 0

11

pertence a C1(R) e se � : �! R for de�nida por �(x) = r2�kx� x0k2, então � 2 C1(R).

Logo ' = f � � 2 C1(R) e como supp(') = Br (x0), o qual é compacto, temos que

' 2 C10 ().

A seguir estabeleceremos a noção de convergência no espaço vetorial C10 (), tornando-

o um espaço vetorial topológico. Tal noção foi introduzida por Schwartz como segue.

Dizemos que uma sequência ('n)n2N de funções em C10 () converge para ' 2 C10 (),

quando forem satisfeitas as seguintes condições:

(i) Existe um conjunto compacto K � tal que

supp(') � K e supp('n) � K, 8 n 2 N;

(ii) D�'n ! D�' uniformemente em K, para todo multi-índice �.

Representamos por D (), o espaço C10 () munido da convergência de�nida acima e

o denominamos espaço das funções testes.

Por distribuição escalar sobre entendemos toda aplicação linear contínua sobreD (),

isto é, toda aplicação T : D ()! R satisfazendo:

(i) T (�'+ � ) = �T (') + �T ( ), para todo �; � 2 R e '; 2 D ();

(ii) T é contínua, ou seja, se 'n ! ' em D (), então T'n ! T' em R.

Normalmente, denotamos o valor da distribuição T na função teste ' por hT; 'i.

Representamos por Lqloc () ; 1 � q < 1, o espaço vetorial das (classes de) funções

u : ! R tais que jujq é integrável sobre qualquer compacto K de . Em Lqloc ()

consideramos a seguinte noção de convergência: (u�)�2N converge para zero em Lqloc ()

quando�ku�kLq(K)

��2N

convergir para zero, 8 K � , compacto.

De�nição 1.1 De�nimos D0 () como sendo o espaço vetorial das distribuições escalares

sobre , com a seguinte noção de convergência: Dizemos que a sequência (Tn)n2N em D0 ()

converge para T em D0 () quando, para toda ' 2 D (), a sequência (hTn; 'i)n2N convergir

para hT; 'i em R. Com esta noção de convergência, D0 () passa a ser um espaço vetorial

topológico.

12

Simbolicamente temos

D0 () = fT : D ()! R linear e contínuag .

Exemplo 1.3 Seja u 2 L1loc (), isto é, uma função de em R, integrável à Lebesgue em

todo compacto K � . Então, o funcional linear Tu : D ()! R de�nido por

hTu; 'i =Z

u (x)' (x) dx; 8 ' 2 D ()

é uma distribuição escalar sobre .

De fato, seja ('n)n2N uma seqüência de funções testes sobre que converge para uma

função teste ' em D(). Temos:

jhTu; 'ni � hTu; 'ij = jhTu; 'n � 'ij =��Z

u(x)('n � ')(x)dx

�� Z

ju(x)j j('n � ')(x)j dx �

� maxx2K

j('n � ')(x)jZK

ju(x)j dx �! 0;

onde K é um compacto de que contém supp('n � '); 8 n.

A distribuição Tu, de�nida no exemplo anterior é dita gerada pela função localmente

integrável u. E além disso, Tu é univocamente determinada por u, no seguinte sentido:

Tu = Tv se, e somente, se u = v quase sempre em . Com efeito: segue do Lema de Du Bois

Raymond, o qual enunciaremos na próxima seção, que:

Tu = Tv () hTu; 'i = hTv; 'i ; 8 ' 2 D()

()Z

u(x)'(x)dx =

Z

v(x)'(x)dx

()Z

(u� v)(x)'(x)dx = 0; 8 ' 2 D()

() u� v = 0 q. s. em .

Por essa razão, identi�camos u à distribuição por ela de�nida, nos referindo a u como

uma distribuição de L1loc (). Desta forma, podemos ver o espaço das funções localmente

integráveis como uma parte do espaço das distribuições D0 (), ou seja, L1loc () � D0 ().

Mostremos que esta inclusão é própria.

13

Exemplo 1.4 Consideremos o funcional �0 : D ()! R, com 0 2 , de�nido por

h�0; 'i = ' (0) .

Este funcional é linear e contínuo em D (), logo uma distribuição sobre . No entanto, �0não é gerado por uma função de L1loc (), isto é, não existe u 2 L1loc() tal que �0 = Tu. A

distribuição �0 é denominada medida de Dirac concentrada no ponto zero.

De fato, se existisse u 2 L1loc() tal que �0 = Tu, então

h�0 ; 'i =Z

u(x)'(x)dx, 8 ' 2 D().

Como (x) = x'(x) também pertence a D() temos:

0 = (0) = h�0 ; i =Z

u(x) (x)dx =

Z

xu(x)'(x)dx; 8 ' 2 D().

Pelo Lema de Du Bois Raymond, temos que xu(x) = 0 q.s. em . Logo u(x) = 0 q.s em

e portanto,

'(0) =

Z

u(x)'(x)dx =

Z

0'(x)dx = 0, 8 ' 2 D(),

um absurdo, pois nem toda função teste ' leva zero no zero.

Destes dois últimos exemplos, concluímos que toda função localmente integrável

identi�ca-se a distribuição por ela de�nida, entretanto, nem toda distribuição é de�nida

por uma função localmente integrável.

De�nição 1.2 Seja u 2 L1loc (), dizemos (segundo Sobolev) que u possui derivada fraca

(derivada no sentido das distribuições), quando existir uma h 2 L1loc () tal queZ

u (x)'0 (x) dx = �Z

h (x)' (x) dx; 8 ' 2 D () .

A função h é denominada derivada fraca de u.

Notemos que a noção de derivada fraca, segundo Sobolev, serve apenas para as funções

que são localmente integráveis. Todavia, vimos anteriormente que existem distribuições que

não são geradas por uma função localmente integrável e, portanto, para essas funções, tal

noção de derivada não serve. Baseando-se nessa di�culdade Schwarz formulou o seguinte

conceito de derivada distribucional.

14

De�nição 1.3 Sejam T uma distribuição sobre e � um multi-índice. A derivada

distribucional de ordem � de T é o funcional de�nido em D () por

hD�T; 'i = (�1)j�j hT;D�'i ; 8 ' 2 D () .

Este conceito de derivada distribucional generaliza o conceito de derivada dado na

de�nição precedente e, neste sentido o operador derivada é linear e contínuo de D0 () em

D0 ().

Apresentaremos na próxima seção uma importante classe de espaços para o estudo das

Equações Diferenciais Parciais, que são os Espaços de Sobolev.

1.1.2 Espaços de Sobolev

Dado um aberto do Rn denotamos por Lp (), 1 � p < 1, o espaço vetorial das

(classes de) funções mensuráveis u : ! R tais que jujp é integrável no sentido de Lebesgue

em , equipado da norma:

kukLp() =�Z

ju (x)jp dx�1=p

.

No caso p =1, denotamos por L1 () o espaço vetorial das (classes de) funções mensuráveis

à Lebesgue e essencialmente limitadas em , isto é, existe uma constante C > 0 tal que

ju (x)j � C; q:s em .

Neste espaço, consideremos a seguinte norma

kukL1() = supessx2

ju (x)j , 8 u 2 L1 () .

O espaço Lp (), 1 � p � 1, com sua respectiva norma, torna-se um espaço de

Banach. No caso particular, onde p = 2 temos que L2 () é um espaço de Hilbert, cuja

norma e produto interno são de�nidos, respectivamente, por

jujL2() =�Z

ju (x)j2 dx�1=2

e (u; v) =

Z

u (x) v (x) dx.

15

Como Lp () � L1loc (), para todo 1 � p � 1, concluímos que toda função u 2 Lp ()

pode ser identi�cada a uma distribuição por ela de�nida e temos a seguinte cadeia de injeções

contínuas e densas:

D () ,! Lp () ,! L1loc () ,! D0 () , 1 � p <1.

Observemos que, se u 2 Lp (), então sua derivada no sentido das distribuições

não pertence necessariamente a Lp (). Motivado pela idéia de conhecer o espaço onde

jaz as derivadas de determinadas funções, Sobolev (em 1936) introduziu novos espaços,

naturalmente denominados Espaços de Sobolev, os quais passaremos a descrever.

Sejam m > 0 um número inteiro e 1 � p � 1. O espaço de Sobolev de ordem m sobre

, denotado por Wm;p () é por de�nição, o espaço vetorial das distribuições de Lp () para

as quais sua derivada de ordem �, no sentido das distribuições, pertence a Lp (), para todo

multi-índice �, com j�j � m. Simbolicamente escrevemos

Wm;p () = fu 2 Lp () ;D�u 2 Lp () ; j�j � mg .

O espaço Wm;p () equipado da norma

kukWm;p() =

0@Xj�j�m

kD�ukpLp()

1A1=p

,

quando 1 � p <1, ou

kukWm;1() =Xj�j�m

kD�ukL1() ,

quando p =1, é um espaço de Banach re�exivo se 1 < p <1 e separável se 1 � p <1.

Quando p = 2; os espaços Wm;2 () são representados por Hm (). Em símbolos,

temos:

Hm () =�u 2 L2 () ; D�u 2 L2 () , j�j � m

;

cuja norma e produto interno são dados, respectivamente, por

kukHm() =

0@Xj�j�m

jD�uj2L2()

1A1=2

16

e

(u; v)Hm() =Xj�j�m

(D�u;D�v)L2() .

Esta estrutura topológica, torna Hm () um espaço de Hilbert separável continuamente

imerso em L2 ().

Para que tenhamos uma idéia melhor desses espaços, descreveremos alguns casos

particulares. Em dimensão n = 1, temos

H1(a; b) =�u 2 L2(a; b); u0 2 L2(a; b)

,

neste caso

kuk2H1(a;b) =

Z b

a

ju (t)j2 dt+Z b

a

ju0 (t)j2 dt,

((u; v))H1(a;b) =

Z b

a

u (t) v (t) dt+

Z b

a

u0 (t) v0 (t) dt:

Em dimensão n � 2, teremos

H1() =

�u 2 L2(); @u

@xi2 L2(); i = 1; :::; n

�com norma e produto escalar

kuk2H1() =

Z

ju (x)j2 dx+nXi=1

Z

�� @u@xi (x)��2 dx.

((u; v))H1() =

Z

u (x) v (x) dx+nXi=1

Z

@u

@xi(x)

@v

@xi(x) dx.

Apresentaremos a seguir os espaços Wm;p0 () e W�m;p() os quais são de grande valia

no tratamento moderno das Equações Diferenciais Parciais e, em particular, neste trabalho.

Um fato importante é que o espaço das funções testes C10 () é denso em Lp() =

W 0;p(), 1 � p < 1, ver [4]. Todavia, não é verdade que C10 () seja denso em Wm;p(),

m � 1, inteiro. Motivado por esta razão, de�ne-se o espaço Wm;p0 () como sendo o fecho de

C10 () em Wm;p(); isto é:

Wm;p0 () = C10 ()

Wm;p().

17

Quando p = 2; o espaço Wm;p0 () será representado por Hm

0 ().

O espaço dual de Wm;p0 (), 1 � p < 1, denotado por W�m;q(),

1

p+1

q= 1 é

constituido dos funcionais lineares e contínuos,

T : Wm;p0 () �! R.

Consequentemente, representamos o dual topológico de Hm0 () por H

�m().

Quando for um aberto do Rn com fronteira �, bastante regular, representaremos por

H10 () o espaço de Sobolev das (classes de) funções u 2 H1 () ; com u = 0 sobre a fronteira

de .

Por (L2 ())n, representamos o produto cartesiano de n cópias de L2 (), munido do

produto escalar

(u; v) =nXi=1

�u(i); v(i)

�L2()

e norma

jvj2 =nXi=1

��v(i)��2L2()

.

Aqui uma função vetorial u 2 (L2 ())n é representada por u =�u(1); u(2); :::; u(n)

�.

Analogamente, (H10 ())

nrepresenta o produto cartesiano de n cópias de H10 (), cujo

produto escalar e norma são dados por

((u; v)) =nXi=1

�u(i); v(i)

�H10 ()

e kuk = ((u; u))1=2 .

Da desigualdade de Poincaré, a qual enunciaremos mais adiante, segue que esta norma

é equivalente à

kuk2 =nXi=1

��ru(i)��2L2()

, u 2�H10 ()

�n.

Consideremos as formas bilinear e trilinear respectivamente:

a (u; v) =

nXi;j=1

Z

@u(i)

@xj

@v(i)

@xjdx,

b (u; v; w) =nX

i;j=1

Z

u(i)Div(j)w(j)dx.

18

De�namos agora o espaço

V = f' 2 (D ())n ; div' = 0g .

Representando por H a aderência de V em (L2 ())n, resulta que H é um subespaço

fechado de (L2 ())n e, portanto, um espaço de Hilbert.

Seja V a aderência de V em (H1 ())n. É claro que V é também um espaço de Hilbert

e, como veremos adiante, V é caracterizado por:

V =�v 2

�H10 ()

�n; div v = 0

;

onde div u =nXi=1

Diu(i) =

@u(1)

@x1+@u(2)

@x2+ :::+

@u(n)

@xn.

De�nição 1.4 Seja H um espaço de Hilbert real e h:; :i : H�H �! R seu produto interno.

Uma sequência (un) de vetores de H, tal que

(i) kunk = 1, 8 n 2 N, hum; uni = 0, 8 m;n 2 N; m 6= n;

(ii) Se F é o subespaço de H gerado por (ui)i2N, então �F = H, ou seja, as combinações

lineares �nitas dos un são densas em H,

é denominada Base de Hilbert de H.

1.2 Resultados Preliminares

Com o intuito de não sobrecarregar a notação, usaremos aqui e no decorrer do trabalho

a letra C para representar diversas constantes.

1.2.1 Desigualdades

Enunciaremos algumas desigualdades importantes e de grande utilidade na

demonstração de alguns resultados relevantes deste trabalho.

19

Lema 1.1 (Desigualdade de Hölder) Sejam f 2 Lp () e g 2 Lq (), com 1

p+1

q= 1 e

1 � p � 1. Então f � g 2 L1 () eZ

jf � gj � kfkLp() kgkLq() .

Demonstração: Ver [2]. �

Lema 1.2 (Desigualdade de Hölder Generalizada) Sejam p1; p2; : : : ; pk números reais

� 1 e tais que 1/p1 + 1=p2 + : : : + 1=pk = 1. Se ui 2 Lpi () ; i = 1; 2; : : : k, então

u1 � u2 � � � � � uk 2 L1 () e Z

ju1 � u2 � � � � � ukj �kYi=1

kuikLpi () :


Lema 1.3 (Desigualdade de Minkowsky) Se f , g 2 Lp (), 1 � p � 1, então:

kf + gkLp() � kfkLp() + kgkLp() .


Lema 1.4 (Desigualdade de Poincaré) Seja um aberto limitado do Rn. Se v 2 H10 (),

então

jvjL2() � C jrvjL2() ,

onde a constante C depende de .


1.2.2 Resultados de Existência, Convergência e Imersão

Lema 1.5 (Du Bois Raymond) Seja u 2 L1loc(). Então,Z

u(x)'(x)dx = 0, 8 ' 2 D ()

se, e somente se, u = 0 quase sempre em .

20


Lema 1.6 (Lions) Sejam um aberto limitado do Rn, (gm)m e g funções de Lq (),

1 < q <1, tais que:

kgmkLq() � C e gm ! g q.s em :

Então, gm * g (convergência fraca) q.s em Lq ().


Teorema 1.1 Todo espaço de Hilbert separável admite uma base Hilbertiana.


Teorema 1.2 (Imersão de Sobolev) Seja um aberto limitado do Rn com fronteira

bastante regular

(1) Se1

p� m

n= 0, então Wm;p () ,! Lq (), onde 1 � q <1;

(2) Se1

p� m

n< 0, então Wm;p () ,! C0

��,! L1 ();

(3) Se1

q=1

p� m

n> 0, então Wm;p () ,! Lq ().


Teorema 1.3 (Ponto Fixo de Brouwer) Seja B a bola fechada de centro 0 e raio 1 em

Rn+1. Toda aplicação f : B ! B contínua possui (pelo menos) um ponto �xo, ou seja, existe

x0 2 B tal que f (x0) = x0.


Teorema 1.4 Sejam f 2 L1 () e g 2 Lp () com 1 � p <1. Então para quase todo x 2

a função y 7! f (x� y) g (y) é integrável sobre . De�namos o produto da convolução de f

com g por

(f � g) (x) =Z

f (x� y) g (y) dy.

Então, (f � g) 2 Lp () e kf � gkLp() � kfkL1() kgkLp().

21


Proposição 1.1 Sejam um aberto do Rn e f =�f (1); : : : ; f (n)

�, f (i) 2 D0 (),

i = 1; : : : ; n: Uma condição necessária e su�ciente para que f = grad p, para algum

p 2 D0 (), é que hf; vi = 0, 8 v 2 V.


Proposição 1.2 Seja um conjunto aberto limitado do Rn

(i) Se uma distribuição p tem todas as derivadas de primeira ordem Dip; 1 � i � n em

L2 (), então p 2 L2 () e kpkL2()=R � C () kgrad pk(L2())n.

(ii) Se uma distribuição p tem todas as suas derivadas primeiras Dip, 1 � i � n emH�1 (),

então p 2 L2 () e kpkL2()=R � C () kgrad pk(H�1())n.

Onde L2 () =R = fp 2 L2();Rp(x)dx = 0g.


Observação 1.1 Combinando os resultados das proposições 1.1 e 1.2 vemos que se f 2

(H�1 ())n (ou (L2loc ())

n) e hf; vi = 0, 8 v 2 V, então f = grad p com p 2 L2loc (). Se

além disso, é um conjunto aberto limitado, então p 2 L2 () (ou H1 ()).

Proposição 1.3 Sejam � Rn um aberto, 1 � p � 1; u 2 Lp() e (uk)k2N uma sequência

em Lp() com uk ! u em Lp(). Então existe uma subsequência de (uk); ainda denotada

por (uk), tal que:

(i) uk(x)! u(x), q.s. em ;

(ii) juk(x)j � h(x), q.s. em ; 8 k, com h 2 Lp().


Proposição 1.4 Se vi 2 L2(), i = 0; 1; :::; n então f = v0 +nXi=1

@vi@x

é uma forma linear e

contínua sobre H10 (), isto é, f 2 H�1 ().

22


Teorema 1.5 Se 1 � p < 1 e1

p� m

n= 0, n � 2, então Wm;p (Rn) ,! Lqloc () para todo

q � 1, sendo a injeção contínua.


Teorema 1.6 (Rellich) Seja um aberto, limitado e bem regular. Então a imersão do

H1 () no L2 () é compacta.


1.2.3 Resultados Especí�cos

A partir de agora, �xaremos n = 3 e mostraremos os resultados mais especí�cos deste

trabalho.

Observação 1.2 Sobre a caracterização do espaço V , mostraremos que as seguintes

a�rmações são equivalentes:

(a) V é a aderência de V em (H1 ())3;

(b) V =nv 2 (H1

0 ())3 ; div v = 0

oDemonstração: Seja eV =

nv 2 (H1

0 ())3 ; div v = 0

o. Para mostrar que V � eV ,

consideremos v 2 V . Por (a) existe (vk) em V tal que v = limk!1

vk; onde o limite é considerado

na norma de (H1 ())3. Assim, div vk ! div v e sendo vk 2 V temos que div vk = 0, logo

div v = 0. Agora observemos que v 2 (H10 ())

3, pois v 2 V(H1())

3

��D ()3

�(H1())3

=

(H10 ())

3. Portanto v 2 eV .Para veri�car a inclusão contrária, mostraremos que toda forma linear e contínua sobreeV nula sobre V , também é nula sobre eV .

23

Seja L uma forma linear e contínua sobre eV ; nula sobre V . Como eV é um subespaço

fechado de (H10 ())

3 podemos estender L, via teorema de Hahn-Banach, a uma forma linear

e contínua sobre (H10 ())

3, isto é, a uma forma L : (H10 ())

3 �! R, sendo

hL; vi =3Xi=1

L(i); v(i)

�H�1(); H1

0 ().

Agora, observemos que o vetor distribuição L =�L(1); L(2); L(3)

�2 (H�1 ())

3 e hL; vi = 0,

8 v 2 V, pois L é nula sobre V . Usando as proposições 1.1, 1.2 e a Observação 1.1 podemos

concluir que L = grad p, p 2 L2 (). LogoL(i); v(i)

�H�1(),H1

0 ()=Dip; v

(i)�H�1(),H1

0 ()=

= ��p;Div

(i)�L2()

, 8 v(i) 2 H10 () .

E, portanto

hL; vi =3Xi=1

L(i); v(i)

�H�1(), H1

0 ()= �

3Xi=1

�p;Div

(i)�L2()

=

= � p;

3Xi=1

Div(i)

!L2()

= � (p; div v)L2() = 0;8 v 2 eV . �Lema 1.7 A forma trilinear de�nida por b (u; v; w) =

3Xi;j=1

Z

u(i)Div(j)w(j) dx é contínua

sobre V � V � V .

Demonstração: Do teorema de Imersão de Sobolev, no caso em que p = 2 e n = 3,

concluímos que H10 () está continuamente imerso em L6 (), e isto signi�ca que existe

C > 0 tal que: kvkL6() � C kvkH10 ()

. Assim, usando a Desigualdade de Hölder com a

combinação1

6+1

3+1

2= 1, obtemos:

jb (u; v; w)j �3X

i;j=1

��Z

u(i)Div(j)w(j)dx

�� 3Xi;j=1

Z

��u(i)Div(j)w(j)

�� dx ��

3Xi;j=1

u(i) L6()

��Div(j)��L2()

w(j) L3()

.

24

Usando imersão de Sobolev, obtemos

jb (u; v; w)j �3X

i;j=1

u(i) L6()

��Div(j)��L2()

w(j) L3()

�

� C3X

i;j=1

u(i) H10 ()

��Div(j)��L2()

w(j) L3()

�

� C

3Xi;j=1

u(i) H10 ()

v(j) H10 ()

w(j) H10 ()

.

Logo,

jb (u; v; w)j � C3X

i;j=1

u(i) H10 ()

v(j) H10 ()

w(j) H10 ()

.

Observando que v(i)

H10 ()

� kvkV (pois kvk2V =3Xi=1

v(i) 2H10 ()

) e substituindo na

desigualdade anterior, deduzimos que:

jb (u; v; w)j � C3X

i;j=1

kukV kvkV kwkV � C kukV kvkV kwkV . �

Lema 1.8 A forma trilinear b (u; v; w) de�nida no Lema 1.7 satisfaz a seguinte igualdade

b (u; v; w) + b (u;w; v) = 0.

Demonstração: Por de�nição, temos

b (u; v; w) + b (u;w; v) =

3Xi;j=1

�Z

u(i)Div(j)w(j)dx+

Z

u(i)Diw(j)v(j)dx

�=

=

3Xi;j=1

Z

u(i)�Div

(j)w(j) +Diw(j)v(j)

�dx =

=

3Xi;j=1

Z

u(i)Di

�v(j)w(j)

�dx =

=3X

i;j=1

Z

Di

�u(i)v(j)w(j)

�dx�

3Xi;j=1

Z

Diu(i)�v(j)w(j)

�dx:

25

Então,

b (u; v; w) + b (u;w; v) =3Xj=1

Z

3Xi=1

Di

�u(i)v(j)w(j)

�dx�

3Xj=1

Z

3Xi=1

�Diu

(i)�v(j)w(j)dx =

=

3Xj=1

Z

div�u v(j)w(j)

�dx�

3Xj=1

Z

v(j)w(j)div u dx.

Do teorema da Divergência de Gauss, segue que

b (u; v; w) + b (u;w; v) =3Xj=1

Z�

u v(j)w(j)� d��3Xj=1

Z

v(j)w(j)div u dx = 0;

porque u; v; w 2 V =nv 2 (H1

0 ())3 ; div v = 0

o. �

Observação 1.3 Notemos que se v = w no Lema 1.8, então b (u;w;w) = 0 e

consequentemente b (u; u; u) = 0.

Lema 1.9 Sejam X um espaço de Hilbert de dimensão �nita com produto escalar (� ; �),

norma j�j e P uma aplicação contínua de X em X tal que

(P (�) ; �) > 0 para j�j = k > 0.

Então, existe � 2 X; com j�j � k, tal que P (�) = 0.

Demonstração: Mostraremos por absurdo.

Suponhamos que P (�) 6= 0 na bola �Bk = f� 2 X; j�j � kg, então, a aplicação

S : �Bk ! �Bk, de�nida por:

S (�) = �k P (�)jP (�)jé contínua e usando o teorema do Ponto Fixo de Brouwer, existe �0 2 �Bk tal que S (�0) = �0,

isto é:

�k P (�0)jP (�0)j= �0 (1.1)

e, conseqüentemente, j�0j = k. Tomando o produto escalar de (1.1) por �0, encontramos:

�kP (�0; �0)jP (�0)j= j�0j2 = k2, ou seja, (P (�0) ; �0) = �k jP (�0)j < 0

o que contradiz a hipótese. Portanto P (�) = 0 para algum � 2 �Bk � X. �

26

Lema 1.10 Qualquer que seja � > 0, podemos escolher G veri�cando��G 2 (H1 ())

3

divG = 0 em

G = F sobre �

(1.2)

de modo que

jb (v;G; v)j � � kvk2 . (1.3)

Onde F = rot com =� (1); (2); (3)

�, (i) 2 H2 () ;

@ (i)

@xj2 L3 () e (i) 2 L1 ().

Demonstração: Para provarmos o Lema 1.10 precisaremos de dois outros lemas.

Lema 1.11 Ponhamos � (x) = d (x;�), isto é, distância de x a fronteira de . Para todo

" > 0 (su�cientemente pequeno), existe uma função �" 2 C2��tal que8>>>><>>>>:

�" = 1 numa vizinhaça de �(variável com ")

�" = 0, se � (x) � � (") , onde � (") = exp (�1=")�� @�"@xk(x)

�� "

� (x), se � (x) � � (") ;8 k.

(1.4)

Demonstração: De�namos primeiro a função � 7! �" (�) para � � 0 por:

�" (�) =

8>>><>>>:1, se � < � (")2

" log (� (") =�) , se � (")2 < � < � (")

0, se � > � (")

e então de�namos �" por

�" (x) = �" (� (x)) .

Desde que a função � 2 C2��, �" veri�ca (1.4). Agora, consideremos uma função

� 2 C2��e obtemos �" = � � �" 2 C2

��. Mais detalhes ver [6]. �

Lema 1.12 Existe uma contante C1 tal que��1�v��L2()

� C1 kvkH10 ()

.

27

Demonstração: Sendo � R3 um aberto bem regular, podemos considerar

=�(x0; x3) ; x3 > 0 e x0 = (x1; x2) 2 R2

.

Neste caso, � (x) = x3 > 0 e é su�ciente mostrar queZ

v (x)2

x23dx � C1

Z

jDnv (x)j2 dx, 8 v 2 D () .

Esta desigualdade é veri�cada, se provarmos a seguinte desigualdade unidimensional:Z 1

0

��v (s)s��2 ds � 4Z 1

0

jv0 (s)j2 ds, 8 v 2 D (0;+1) . (1.5)

Passaremos a demonstrar (1.5) que é conhecida como desigualdade de Hardy.

Façamos s = e�, t = e� ev (s)

s=1

s

Z s

0

w (t) dt, onde w = v0. Então,

Z 1

0

��v (s)s��2 ds = Z 1

0

�1

s

Z s

0

w (t) dt

�2ds = (1.6)

=

Z 1

�1

�1

e�

Z e�

0

w (t) dt

�2e�d� =

=

Z 1

�1e��

�Z e�

0

w (t) dt

�2d�.

Considerando a função de Heaviside

� (�) =

8<: 1, se � > 0

0, se � < 0;

obtemos

Z 1

�1e��

�Z e�

0

w (t) dt

�2d� =

Z 1

�1

�Z 1

�1� (� � �) e

�(��)2 w (e� ) e

�2 d�

�2d�. (1.7)

Agora, usaremos em (1.7), o Teorema 1.4, considerando f (x) = � (x) e�x=2 2 L1 (R) e

g (z) = w (ez) ez=2 2 L2 (R).

28

Assim,Z 1

�1

�Z 1

�1� (� � �) e

�(��)2 w (e� ) e

�2 d�

�2d� =

Z 1

�1j(f � g) (�)j2 d� =

= j(f � g)j2L2(R) � jf j2L1(R) jgj

2L2(R) =

=

�Z 1

�1f (�) d�

�2 Z 1

�1jg (�)j2 d� =

=

�Z 1

�1� (�) e

��2 d�

�2 Z 1

�1jw (e� )j2 e�d� =

= 4

Z 1

0

jw (t)j2 dt.

Logo, Z 1

�1

�Z 1

�1� (� � �) e

�(��)2 w (e� ) e

�2 d�

�2d� � 4

Z 1

0

jw (t)j2 dt,

substituindo a última desigualdade em (1.7) e em seguida em (1.6), obtemos (1.5). �

Demonstração do Lema 1.10:

Provaremos com o auxílio dos Lemas 1.11 e 1.12 que G = rot (�" ) veri�ca (1.2) e

(1.3).

De fato: Notemos que, se �" 2 C2��e (i) 2 H2 (), então �" (i) 2 H2 () o que

implica que �" 2 (H2 ())3. Como G envolve as derivadas parciais de primeira ordem de

�" , temos que G = rot (�" ) 2 (H1 ())3. Com isto mostramos (1.2)1.

Observemos que divG = div rot (�" ) = 0, e por (1.4) temosG = rot (�" ) = rot = F

sobre �. Logo (1.2) é satisfeita.

Queremos agora, mostrar que G = rot (�" ) satisfaz (1.3), para isto, consideremos

B" = fx 2 ; � (x) � � (")g e observemos o vetor

G = rot (�" ) =

266666664

@

@x2

��"

(3)�� @

@x3

��"

(2)�

@

@x3

��"

(1)�� @

@x1

��"

(3)�

@

@x1

��"

(2)�� @

@x2

��"

(1)�

377777775.

29

Usando as propriedades de �" vemos que��G(2) (x)�� =

�� @x3 ��" (x) (1) (x)�� @

x1

��" (x)

(3) (x)��

�� @x3 �" (x)

�� (1) (x)��+ j�" (x)j �� @x3 (1) (x)��+

+

�� @x1 �" (x)�� (3) (x)��+ j�" (x)j �� @x1 (3) (x)

�� "

� (x)

�� (1) (x)��+ �� (3) (x)��+ supx2

j�" (x)j�� @x3 (1) (x)

��+ �� @x1 (3) (x)�� ,

se � (x) � � ("). Consequentemente,��G(2) (x)�� C

�"

� (x)j (x)jR3 + jD (x)j

�,

se � (x) � � ("), onde jD (x)j =

3Xi;j=1

��Di (j) (x)

��2!1=2 e C = maxx2

�1; supx2

j�" (x)j�. O

mesmo ocorre quando fazemos j = 1; 3 e, dessa forma, temos��G(j) (x)�� C

�"

� (x)j (x)j+ jD (x)j

�;

se � (x) � � (") ; para j = 1; 2; 3 e G(j) = 0, se � (x) > � ("), pois nesse caso �" = 0.

Como (i) 2 L1 () ; então:��G(j) (x)�� C

�"

� (x)supessx2

j (x)j+ jD (x)j�,

ou seja, ��G(j) (x)�� C

�"

� (x)+ jD (x)j

�; j = 1; 2; 3 (1.8)

com � (x) � � (") e C = max�supessx2

j (x)j ; 1�.

Multiplicando (1.8) por��v(i) (x)�� e elevando ao quadrado, obtemos

��v(i)G(j) (x)��2 � C

"2��v(i) (x)� (x)

��2 + ��v(i) (x)��2 jD (x)j2!; � (x) � � (") , j = 1; 2; 3.

Integrando sobre B" e observando queZ

��v(i)G(j) (x)��2 dx = ZB"

��v(i)G(j) (x)��2 dx,30

pois fora de B", sabemos que G(j) = 0. Chegamos aZ

��v(i)G(j) (x)��2 dx = ZB"

��v(i)G(j) (x)��2 dx �� C

"2ZB"

��v(i) (x)� (x)

��2 dx+ ZB"

��v(i) (x)��2 jD (x)j2 dx! �� C

"2Z

��v(i) (x)� (x)

��2 dx+ ZB"

��v(i) (x)��2 jD (x)j2 dx! ,� (x) � � ("), j = 1; 2; 3. Logo

��v(i)G(j)��2L2()

� C

"2��v(i)�

��2L2()

+

Z��(")

��v(i)��2 jD j2 dx! ,o que implica

��v(i)G(j)��L2()

� C

""

��v(i)��L2()

+

�Z��(")

��v(i)��2 jD j2 dx�1=2# .Agora, usando a Desigualdade de Hölder, com p = 3 e q = 3=2, resulta:�Z

��(")

��v(i)��2 jD j2 dx�1=2 � (�Z��(")

��v(i)��6 dx�1=3�Z��(")

jD j3 dx�2=3)1=2

=

=��v(i)��

L6()' (") ;

onde ' (") =�Z

��(")jD j3 dx

�1=3. Notemos que ' (")! 0 se "! 0, pois Di

(i) 2 L3 () e

daí obtemos ��v(i)G(j)��L2()

� C

"

��v(i)��L2()

+��v(i)��

L6()' (")

!. (1.9)

Usando (1.9) e o Lema (1.12), deduzimos que

��v(i)G(j)��L2()

� C

"

��v(i)��L2()

+��v(i)��

L6()' (")

!�

� C

"

��v��L2()

+ kvk' (")!�

� C (" kvk+ kvk' (")) =

= C ("+ ' (")) kvk .

31

Portanto, do Lema 1.8 e da Desigualdade de Hölder, segue:

jb (v;G; v)j = jb (v; v;G)j �3X

i;j=1

Z

��v(i)Div(j)G(j)

�� dx ��

3Xi;j=1

��Div(j)��L2()

��v(i)G(j)��L2()

�3X

i;j=1

v(j) ��v(i)G(j)��L2()

�

�3X

i;j=1

kvk��v(i)G(j)��

L2()= kvk

3Xi;j=1

��v(i)G(j)��L2()

�

� kvk3X

i;j=1

C ("+ ' (")) kvk = kvk2C ("+ ' (")) = � kvk2 ;

com � = C ("+ ' (")). �

32

Capítulo 2

O Problema Homogêneo

O objetivo deste capítulo é estudar a existência e unicidade de solução para o problema

homogêneo de Navier-Stokes. Dividiremos o capítulo em três seções: na primeira seção

apresentaremos a formulação fraca do problema; na segunda estudaremos a existência de

solução e, por �m, estabeleceremos, sob certas condições, a unicidade de solução.

Seja um aberto limitado do R3, cuja fronteira representamos por �, a qual admitimos

bem regular. Dado um campo vetorial u = (u(1); u(2); u(3)) de�nido em , adotaremos as

seguintes notações:

Diu = (Diu(1); Diu

(2); Diu(3)) =

�@u(1)

@xi;@u(2)

@xi;@u(3)

@xi

�, i = 1; 2; 3;

�u =��u(1);�u(2);�u(3)

�;

div u =3Pi=1

Diu(i) =

@u(1)

@x1+@u(2)

@x2+@u(3)

@x3.

O problema estacionário de Navier-Stokes consiste em determinar um campo vetorial

u = (u(1); u(2); u(3)) de�nido em ; e p veri�cando

(P )

��u+

3Xi=1

u(i)Diu+ grad p = f em ;

div u = 0 em ;

u = 0 sobre �

33

onde u é uma função vetorial e p uma função escalar que representam, respectivamente, a

velocidade e pressão do �uido.

2.1 Formulação Fraca do Problema (P )

Procedendo formalmente, multiplicamos (P )1 por v 2 V e integramos sobre para

encontrarmos:

�Z

��u v dx+

Z

3Xi=1

u(i)Diu v dx+

Z

grad p v dx =

Z

fvdx,

isto é:

(��u; v) +

3Xi=1

u(i)Diu; v

!+ (grad p; v) = (f; v) ; com v 2 V .

Agora, usamos a Fórmula de Green e obtemos:

(��u; v) = ��Z

v (x)�u (x) dx =

= �

Z

ru (x)rv (x) dx� �

Z�

v (x)@u

@�d� =

= �

Z

�@u

@x1;@u

@x2;@u

@x3

��@v

@x1;@v

@x2;@v

@x3

�dx =

= �

Z

3Xj=1

@u

@xj

@v

@xjdx = �

3Xi;j=1

Z

@u(i)

@xj

@v(i)

@xjdx = �a (u; v) .

Da de�nição de b (u; v; w), obtemos: 3Xi=1

u(i)Diu; v

!=

Z

3Xi=1

u(i)Diu v dx =3X

i;j=1

Z

u(i)Diu(j)v(j)dx =

= b (u; u; v) .

Finalmente, para todo v 2 V , temos:

(grad p; v) =

��@p

@x1;@p

@x2;@p

@x3

�;�v(1); v(2); v(3)

��=

=

3Xj=1

(@p

@xj; v(j)) = �

3Xj=1

�p;Djv

(j)�= �(p;

3Xj=1

Djv(j)) = � (p; div v) = 0.

34

Isto motiva a formulação do seguinte problema:�� Dado f 2 V0, encontrar u 2 V tal que

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi , 8 v 2 V ,

que é a formulação fraca do Problema (P).

2.2 Existência de Solução

A seguir, estudaremos o Problema (P) em sua formulação fraca, cuja solução u

denominaremos solução fraca do Sistema Homogêneo de Navier-Stokes.

Teorema 2.1 Dado f em V 0, existe u em V solução de

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi , 8 v 2 V . (2.1)

Demonstração: A demonstração é baseada no Método de Galerkin, o qual consiste de três

etapas: (i) o problema aproximado; (ii) estimativas a priori e (iii) passagem ao limite.

2.2.1 Etapa 1: O Problema Aproximado

Consideremos uma base hilbertiana fw�g�2N de V e seja Vm = [w1; :::; wm] o subespaço

de V gerado pelos m primeiros vetores de fw�g�2N.

O Problema Aproximado (PA) associado a (2.1) consiste do seguinte:

(PA)

��Encontrar um : ! R da forma um (x) =

mPj=1

�jmwj (x) , �jm 2 R, tal que

�a (um; v) + b (um; um; v) = hf; vi , 8 v 2 Vm.(2.2)

No Lema 1.9, consideremos X = Vm e seja P = Pm : Vm ! Vm, de�nida por: Pm (u) é

o vetor de Vm satisfazendo a identidade

((Pm (u) ; v)) = �a (u; v) + b (u; u; v)� hf; vi , 8 v 2 Vm.

O próximo passo é veri�car que Pm é contínua e ((Pm (u) ; u)) > 0.

35

(i) Pm é contínua.

De fato: Se u está próximo de u0, isto é, ju� u0j < �, então

j(u; u; v)� (u0; u0; v)j = j(u� u0; u� u0; 0)j �

� ju� u0j+ ju� u0j < 2�:

Sendo dimVm <1, temos Vm ' V 0m ' V 00

m e, conseqüentemente:

kPm (u)� Pm (u0)k = supkvk�1v2Vm

j((Pm (u)� Pm (u0) ; v))j =

= supkvk�1v2Vm

j((Pm (u) ; v))� ((Pm (u0) ; v))j =

= supkvk�1v2Vm

j�a (u; v)� �a (u0; v) + b (u; u; v)� b (u0; u0; v)j �

� j�j supkvk�1v2Vm

ja (u; v)� a (u0; v)j+ supkvk�1v2Vm

jb (u; u; v)� b (u0; u0; v)j :

Logo:

kPm (u)� Pm (u0)k � �,

pois a (u; v) é contínua, o que implica que

ja (u; v)� a (u0; v)j <�

2 j�j

sempre que j(u; v)� (u0; v)j < �; e j(u; u; v)� (u0; u0; v)j < 2� acarreta

jb (u; u; v)� b (u0; u0; v)j ��

2.

(ii) ((Pm (u) ; u)) > 0.

Com efeito: usando o Lema 1.8 e a hipótese de f 2 V 0 obtemos

((Pm (u) ; u)) = �a (u; u) + b (u; u; u)� hf; uiV 0;V =

= �a (u; u)� hf; uiV 0;V � � kuk2V � kfkV 0 kukV .

36

resultando em,

((Pm (u) ; u)) � kukV (� kukV � kfkV 0) .

Daí, segue que ((Pm (u) ; u)) > 0 para kuk = k e k su�cientemente grande: mais precisamente

k >1

�kfkV 0. Com isto, as hipóteses do Lema 1.9 são satisfeitas e, portanto, existe um solução

de (2.2).

2.2.2 Etapa 2: Estimativas a Priori

Façamos em (2.2)2 v = um 2 Vm e obtemos

�a (um; um) + b (um; um; um) = hf; umi ,

usando o Lema 1.8, temos

� kumk2V = hf; umi ,

e como hf; umi � kfkV 0 kumkV , chegamos a

kumkV �1

�kfkV 0 . (2.3)

2.2.3 Etapa 3: Passagem ao Limite

Segue de (2.3) que (um) é limitada em V � (H10 ())

3, que é re�exivo, então �BV é

fracamente compacta, e isto acarreta que (um) possui uma subsequência, ainda denotada

por (um), fracamente convergente, isto é,

um * u em V . (2.4)

Sendo V � (H10 ())

3,! (H1 ())

3, temos que (um) é limitada em (H1 ())3 e o

Teorema de Rellich nos diz que (H1 ())3 está imerso compactamente em (L2 ())

3. Assim,

existe uma subsequência de (um) que denotamos da mesma forma tal que

um ! u em�L2 ()

�3. (2.5)

37

Pela Proposição 1.3, existe ainda uma subsequência de modo que

um ! u q:s em . (2.6)

De (2.4), segue que

a (um; v)! a (u; v) , 8 v 2 Vm (2.7)

e para estabelecer a convergência

b (um; um; v)! b (u; u; v) , 8 v 2 Vm (2.8)

usaremos o Lema 1.8. De fato:

b (um; um; v) = �b (um; v; um) = �3X

i;j=1

Z

u(i)mDiv(j)u(j)m dx �!

�! �3X

i;j=1

Z

u(i)Div(j)u(j) dx = �b (u; v; u) = b (u; u; v) .

O que precisamos mostrar, na verdade, é a convergênciaZ

u(i)mDiv(j)u(j)m dx �!

Z

u(i)Div(j)u(j)dx.

Para isto, mostremos primeiro que

u(i)m u(j)m é limitada em L2 () , 1 � i; j � 3. (2.9)

De fato, segue de (2.3) que (um) é limitada em V e assim, u(i)m ; u(j)m são limitadas em

H10 () ,! L6 () ,! L4 (). Logo,Z

��u(i)m u(j)m ��2 dx = Z

��u(i)m ��2 ��u(j)m ��2 dxe usando a Desigualdade de Hölder na última igualdade, temosZ

��u(i)m u(j)m ��2 dx � �Z

��u(i)m ��4 dx�1=2�Z

��u(j)m ��4 dx�1=2 == u(i)m 2L4() u(j)m 2L4() � C:

38

Por (2.9) e passando a uma subseqüência, se necessário for, podemos admitir que

u(i)m u(j)m * �ij em L2 () . (2.10)

Notemos que: �ij = u(i)u(j). Com efeito: segue de (2.9) que��u(i)m u(j)m ��

L2()� C, e em (2.6)

temos um ! u q:s em , logo u(i)m ! u(i) q:s em , implicando u(i)m u(j)m ! u(i)u(j) q:s em .

Assim as hipóteses do Lema de Lions são satisfeitas, e portanto

u(i)m u(j)m * u(i)u(j) em L2 () . (2.11)

De (2.10), (2.11) e a unicidade do limite, temos �ij = u(i)u(j). Sendo v(j) 2 H10 (), então

Div(j) 2 L2 (), e portanto obtemos

�Div

(j); u(i)m u(j)m

�L2()

!�Div

(j); u(i)u(j)�L2()

,

com esta convergência, temos mostrado (2.8).

Fixado m0 e considerando m0 � m, temos que:

�a (um; v) + b (um; um; v) = hf; vi , 8 v 2 Vm0.

Com as convergências (2.7) e (2.8), podemos passar o limite quando m!1 na última

equação para obtermos

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi , 8 v 2 Vm0, 8 m0. (2.12)

Como as combinações lineares �nitas dos fw�g�2N são densas em V , temos que (2.12) vale

para todo v 2 V , isto é,

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi ;8 v 2 V . �

2.3 Unicidade de Solução

Mostraremos agora um teorema que garante, sob certas condições, a unicidade de

solução para o Problema Homogêneo de Navier-Stokes.

39

Teorema 2.2 Se n = 3 e � su�cientemente grande ou f su�cientemente pequeno de modo

que

�2 � C kfkV 0 . (2.13)

Então existe uma única solução u de

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi , 8 v 2 V . (2.14)

A contante C em (2.13) é a mesma da demonstração do Lema 1.7.

Demonstração: Sejam u e u duas soluções de (2.14), então

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi , 8 v 2 V ,

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; vi , 8 v 2 V .

Consideremos w = u� u e obtemos

�a (w; v) + b (u; u; v)� b (u; u; v) = 0, 8 v 2 V ,

ou ainda,

�a (w; v) + b (u;w; v) + b (w; u; v)� b (w;w; v) = 0, 8 v 2 V . (2.15)

Agora, fazendo v = w em (2.15) e usando novamente o Lema 1.8, obtemos

� kwk2V + b (w; u; w) = 0,

resultando em,

� kwk2V � jb (w; u; w)j .

Assim, pelo Lema 1.7

� kwk2V � C kwk2V kukV . (2.16)

Como temos

�a (u; v) + b (u; u; v) = hf; viV 0;V , 8 v 2 V ,

façamos v = u, para obtermos

� kuk2V = hf; ui � kfkV 0 kukV ,

40

isto é,

kukV �1

�kfkV 0 (2.17)

substituindo (2.17) em (2.16), obtemos:

� kwk2V �C

�kwk2V kfkV 0 ,

ou melhor,

kwk2V�� C

�kfkV 0

�� 0.

Desta forma, usando a hipótese (2.13), concluimos que w = 0 e isto signi�ca que u = u.

Portanto, obtemos a unicidade para o Sistema de Navier-Stokes.

41

Capítulo 3

O Problema Não Homogêneo

Neste capítulo estamos interessados no estudo do problema não homogêneo de Navier-

Stokes, ainda no caso em que é um aberto limitado do R3 com fronteira � bastante regular.

O método consiste basicamente em transformar o problema não homogêneo em um problema

homogêneo equivalente e, usando o mesmo procedimento do capítulo 2, mostrar a existência

e unicidade de solução.

Consideremos um campo vetorial =� (1); (2); (3)

�com as seguintes propriedades:

(i) 2 H2 () ;@ (i)

@xj2 L3 () ; (i) 2 L1 () . (3.1)

Com auxílio das Imersões de Sobolev (Teorema 1.2), observamos que a primeira condição

em (3.1) implica nas outras duas. De fato: lembremos que

H2 () =W 2;2 () ,! L1 () , pois1

2� 23< 0,

de modo que: se (i) 2 H2 (), então (i) 2 L1 ().

Agora, se

(i) 2 H2 () ; então@ (i)

@xj2 H1 () =W 1;2 () ,! L6 () , pois

1

6=1

2� 13> 0,

como L6 () ,! L3 () temos que:

(i) 2 H2 () acarreta@ (i)

@xj2 L3 () .

42

Observemos que sendo F = rot , resulta de (3.1) que

F 2�H1 ()

�3. (3.2)

Teorema 3.1 Suponhamos f =�f (1); f (2); f (3)

�com f (i) 2 H�1 () ; i = 1; 2; 3 e F =

rot ; (i) veri�cando (3.1). Então, existem U 2 (H1 ())3 e uma distribuição p 2 D0 ()

satisfazendo

(P1)

��U +

3Xi=1

U (i)DiU = f � grad p em ,

divU = 0 em ,

U � F 2 (H10 ())

3 .

Notemos que a condição não homogênea (P1)3 signi�ca que:

U (i) = F (i) sobre �, i = 1; 2; 3.

Demonstração: Trabalharemos com o mesmo método utilizado para provar o Teorema 2.1

e iniciaremos com a formulação fraca do Problema (P1).

3.1 Formulação Fraca do Problema (P1)

De acordo com o Lema (1.10), existe um vetor G com as seguintes propriedades:��G 2 (H1 ())

3 ,

divG = 0 em ,

G = F sobre �,

(3.3)

e consideremos u = U �G.

Fazendo U = u+G em (P1)1, obtemos

��(u+G) +

3Xi=1

(u(i) +G(i))(Diu+DiG) = f � grad p,

ou seja,

��u� ��G+3Xi=1

u(i)Diu+

3Xi=1

u(i)DiG+

3Xi=1

G(i)Diu+

3Xi=1

G(i)DiG = f � grad p.

43

Desta forma,

��u+3Xi=1

u(i)Diu+

3Xi=1

u(i)DiG+

3Xi=1

G(i)Diu = ~f � grad p, (3.4)

onde ef = f + ��G �3Pi=1

G(i)DiG está em (H�1 ())3. De fato: basta observarmos que

f 2 (H�1 ())3; G 2 (H1 ())

3 e �G 2 (H�1 ())3.

Por outro lado,

div u = 0. (3.5)

Pois, div u = div (U �G) = divU � divG = 0.

Em (P1)3 temos U�F 2 (H10 ())

3, mas com U = u+G obtemos u+G�F 2 (H10 ())

3,

como G = F sobre � conseguimos

u 2�H10 ()

�3. (3.6)

Segue de (3.5) e (3.6) que u 2 V , onde V =nv 2 (H1

0 ())3 ;div v = 0

o. Portanto, temos o

seguinte

Problema: Encontrar u 2 V tal que

�a (u; v) + b (u; u; v) + b (u;G; v) + b (G; u; v) =D ef; vE , 8 v 2 V . (3.7)

que é a formulação fraca do problema (P1).

O próximo passo é garantir para (3.7) a existência de solução.

3.2 Existência de Solução

O método de demonstração do Teorema 2.1, nos assegura a existência de u solução de

(3.7) se pudermos escolher G de forma que

((P (v) ; v)) = �a (v; v) + b (v; v; v) + b (v;G; v) + b (G; v; v)�D~f; vE

� � kvk2 , � > 0, 8 v 2 V .

44

Mas, podemos garantir a escolha de G veri�cando (3.3) pelo Lema 1.10, de modo que

jb (v;G; v)j � � kvk2 para qualquer � > 0. Supondo � > �, temos que = � � � > 0 e

considerando >jj ~f jjV 0kvkV

obtemos

((P (v) ; v)) = �a (v; v) + b (v;G; v)�D~f; vE�

� � kvk2V � � kvk2V � jj ~f jjV 0 kvkV =

=

� jj

~f jjV 0kvkV

!kvk2V = � kvk2 , com � = � jj

~f jjV 0kvkV

> 0.

Dessa forma, garantimos a existência de solução para o problema aproximado:

�a (um; v) + b (um; um; v) + b (um; G; v) + b (G; um; v) =D~f; vE, 8 v 2 Vm. (3.8)

3.3 Estimativas a Priori

Fazendo em (3.8), v = um (x) 2 Vm deduzimos que

�a (um; um) + b (um; um; um) + b (um; G; um) + b (G; um; um) =D~f; um

E.

Pelo Lema 1.10, obtemos b (um; G; um) � �� kumk2 e usando o Lema 1.8, chegamos aD~f; um

EV 0;V

= �a (um; um) + b (um; G; um) � � kumk2V � � kumk2V ,

o que implica,

(� � �) kumk2V �D~f; um

EV 0;V

� jj ~f jjV 0 kumkV ,

considerando � > �, onde � é dada pelo Lema 1.10 temos

kumkV �1

(� � �)jj ~f jjV 0. (3.9)

3.4 Passagem ao Limite

Segue de (3.9) que (um) é limitada em V , assim temos

um * u em V . (3.10)

45

Sendo V � (H10 ())

3,! (H1 ())

3, temos que (um) é limitada em (H1 ())3 e o Teorema

de Rellich garante a existência uma subsequência de (um), que denotamos da mesma forma,

tal que

um ! u em�L2 ()

�3e q.s. em . (3.11)

No caso homogêneo, já obtivemos as convergências:

a (um; v)! a (u; v) , 8 v 2 Vm, (3.12)

e

b (um; um; v)! b (u; u; v) , 8 v 2 Vm (3.13)

e, agora, mostraremos que:

b (um; G; v)! b (u;G; v) , 8 v 2 Vm, (3.14)

e

b (G; um; v)! b (G; u; v) , 8 v 2 Vm. (3.15)

Para mostrar (3.14), observemos inicialmente que (u(i)m ) é limitada em H10 () ,! L6 () ,!

L4 () e como v 2 Vm teremos v(j) 2 L4 (). Logo, pela Desigualdade de HölderZ

��u(i)m v(j)��2 dx = Z

��u(i)m ��2 ��v(j)��2 dx ��Z

��u(i)m ��4 dx�1=2�Z

��v(j)��4 dx�1=2 == u(i)m 2L4() v(j) 2L4() � C.

Assim, Z

u(i)mDiG(j)v(j)dx �!

Z

u(i) DiG(j)v(j)dx

e, portanto:

b (um; G; v) =

3Xi;j=1

Z

u(i)mDiG(j)v(j) dx �!

3Xi;j=1

Z

u(i) DiG(j) v(j) dx =

= b (u;G; v) .

46

A demonstração de (3.15) é análoga a anterior. Basta observarmos que b (G; um; v) =

�b (G; v; um).

Fixado m0 e considerando m0 � m, resulta:

�a (um; v) + b (um; um; v) + b (um; G; v) + b (G; um; v) =D~f; vE, 8 v 2 Vm0.

Podemos agora, passar o limite quando m!1 na equação anterior para obtermos

�a (u; v) + b (u; u; v) + b (u;G; v) + b (G; u; v) =D~f; vE, 8 v 2 Vm0, 8 m0 (3.16)

e sendo as combinações lineares �nitas dos fw�g�2N densas em V , temos que (3.16) vale para

todo v 2 V , isto é,

�a (u; v) + b (u; u; v) + b (u;G; v) + b (G; u; v) =D~f; vE, 8 v 2 V . �

3.5 Unicidade de Solução

A seguir mostraremos, sob certas condições, a unicidade de solução para o Problema

Não Homogêneo de Navier-Stokes.

Teorema 3.2 Suponhamos n = 3 e que a norma de F em (L3 ())3 é su�cientemente

pequena de modo que:

jb (v; F; v)j � �

2kvk2 , 8 v 2 V , (3.17)

e � é su�cientemente grande tal que

�2 > 4Cjj ~f jjV 0, (3.18)

onde C é uma constante e ~f = f + ��F �3Xi=1

FiDiF . Então existe uma única solução U do

problema:

(P1)

��U +

3Xi=1

U (i)DiU = f � grad p em ,

divU = 0 em ,

U = F sobre �.

(3.19)

A função p é única a menos de constante.

47

Demonstração: Se U1 é solução de (P1), então u1 = U1 � F é uma solução de

�a (u; v) + b (u; u; v) + b (u;G; v) + b (G; u; v) =D~f; vE, 8 v 2 V . (3.20)

Consideremos G = F e obtemos

�a (u1; v) + b (u1; u1; v) + b (u1; F; v) + b (F; u1; v) =D~f; vE, 8 v 2 V . (3.21)

Tomando v = u1 em (3.21) e aplicando o Lema (1.8), teremos

� ku1k2V + b (u1; F; u1) =D~f; u1

Eimplicando na seguinte desigualdade

� ku1k2V � jb (u1; F; u1)j+��D ~f; u1E�� ,

usando a hipótese (3.17) e o fato de ~f ser linear e contínua, deduzimos que:

� ku1k2V ��

2ku1k2V +

~f V 0ku1kV ,

e daí ��

2

�ku1k2V � jj ~f jjV 0 ku1kV ,

logo,

ku1kV �2

�jj ~f jjV 0. (3.22)

Suponhamos U0 e U1 soluções de (P1) e sejam u0 = U0 � F , u1 = U1 � F , w = u0 � u1, u0 e

u1 satisfazendo (3.20) com G = F :

�a (u0; v) + b (u0; u0; v) + b (u0; F; v) + b (F; u0; v) =D~f; vE; 8 v 2 V .

�a (u1; v) + b (u1; u1; v) + b (u1; F; v) + b (F; u1; v) =D~f; vE; 8 v 2 V .

Tomando v = w nestas equações e subtraindo, temos

�a (w;w) + b (u0; u0; w)� b (u1; u1; w) + b (u0; F; w)� b (u1; F; w)+

+b (F; u0; w)� b (F; u1; w) = 0.

48

Expandindo, isto é, w = u0 � u1, obtemos

� kwk2 = �b (w; u1; w)� b (w;F;w)

ou melhor,

� kwk2 � jb (w; u1; w)j+ jb (w;F;w)j

do Lema (1.7) e das desigualdades (3.17) e (3.22), segue

� kwk2 � C kwk2 2�jj ~f jjV 0 +

�

2kwk2 .

Assim,

��

2� C

2

�jj ~f jjV 0

�kwk2 � 0,

sendo �2 > 4Cjj ~f jjV 0, temos kwk = 0. Logo u0 = u1 acarretando U0 = U1.

Se u0 = u1, é claro que grad p0 = grad p1 e a diferença entre p0 e p1 é constante.�

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Referências Bibliográ�cas

[1] Adams, Robert A., Sobolev Spaces, New York, Academic Press, 1975.

[2] Brézis, H., Analyse Fonctionelle, Théorie et Aplications, Paris, Masson, 1983.

[3] Carvalho, Ricardo Rodrigues, Análise Matemática das Equações de Navier-Stokes:

Existência, Unicidade e Periodicidade. João Pessoa: DM/UFPB, 2000.

[4] Cavalcante, M. M., Cavalcante, V. N. D., Introdução à Teoria das Distribuições e aos

Espaços de Sobolev, vol. 1 e vol. 2. Maringá: Universidade Estadual de Maringá. Notas.

Maringá, 2000.

[5] Go¤man, C., Pedrick, G., First Course in Functional analysis, United States, Prentice-

Hall, 1965.

[6] Hopf, E., On nonlinear partial di¤erential equations, Lecture Series of the Symposium

on Partial Di¤erential Equations, Berkeley, 1955, the Univ. of Kansas(1957), p.1-29.

[7] Lima, E. L., Curso de Análise vol.2, Rio de Janeiro: IMPA, 2005.

[8] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis With Apllications. New York, Wiley e

Sons, 1989.

[9] Lions, J. L., Quelques Méthodes de Résolutions des Problèmes aux Limites Non Lineares,

Paris, Dunod, 1969.

[10] Medeiros, L. A., Sobre o modelo matemático do sistema de Navier-stokes. Notas de aula,

IM-UFRJ.

50

[11] Medeiros, L. A. & Miranda, M.M., Introdução aos Espaços de Sobolev e às EDP, Rio

de Janeiro, I. M., 1989.

[12] Medeiros, L. A. & Rivera, P.H., Textos e Métodos Matemáticos: Espaços de Sobolev e

EDP, Rio de Janeiro, I. M., 1975.

[13] Medeiros, L. A., Mello, E. A., A Integral de Lebesgue, Rio de Janeiro, I. M.,2003.

[14] Medeiros, L. A., Equações Diferenciais Parciais, Rio de Janeiro, 1981.

[15] Temam, R., Navier-Stokes Equations, Theory and Numerical Analysis, New York,

North-Holland, 1979.

51

Documents

Análise Matemática do Problema de Navier-Stokes no R3