View
110
Download
3
Category
Preview:
DESCRIPTION
Notiune generale de Dinamica
Citation preview
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
95
11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE
GENERALE ALE DINAMICII
Rezolvarea problemelor de dinamică se face cu ajutorul unor teoreme, numite teoreme generale, deduse prin aplicarea principiilor mecanicii, folosind câteva noţiuni fundamentale: lucrul mecanic, puterea mecanică, randamentul mecanic, energia cinetică, energia potenţială, energia mecanică, impulsul sau cantitatea de mişcare, momentul cinetic.
11. 1. Lucrul mecanic
11.1.1. Lucrul mecanic al unei forţe care acţionează asupra unui punct material
Se consideră în figura 11.1 un punct material M care se deplasează pe traiectoria ( )Γ sub acţiunea unei forţe variabile F. La momentul t punctul material se află în poziţia M definită de vectorul de poziţie r , iar la momentul
dt t + punctul se află în poziţia 1M definită de vectorul de poziţie rdr + .
Fig. 11.1 Se numeşte lucru mecanic elementar al forţei F , corespunzător deplasării elementare rd , o mărime dL egală cu produsul scalar dintre forţa F şi deplasarea elementară rd rdFdL ⋅= (11.1)
( )BtB
v ( )dttM +1
( )tM
( )AtA( )00 =tM
rd α
a
F rdr +
z
k
i x y O
j
s
r
Dinamica
96
Deoarece dtvrd = şi vdtdsrd == expresia lucrului mecanic
elementar mai poate fi scrisă: cosα ds Fcosαdt vFdt vFdL ==⋅= (11.2) undeαeste unghiul dintre vectorul forţă şi vectorul viteză. Folosind expresia analitică a vectorilor F şi rd relaţia (11.1) devine: dtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFdL zzyyxxzyx ++=++= (11.3)
Din definiţia lucrului mecanic elementar rezultă câteva proprietăţi importante: - Lucrul mecanic elementar este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internaţional de unităţi joule-ul [J] ( mN1J1 ⋅= ).
- Lucrul mecanic elementar este pozitiv când
∈2
π0,α şi se numeşte
lucru mecanic motor.
- Lucrul mecanic elementar este negativ când ]π,2
πα
∈ şi se numeşte
lucru mecanic rezistent.
- Dacă 0dL ,2
α =π= şi se numeşte lucru mecanic nul.
Corespunzător unei deplasări finite a punctului între două poziţii A şi B pe traiectoria curbilinie ( )Γ sub acţiunea forţei variabile F , lucrul mecanic finit sau total are expresia:
(11.4) α cosdtvF
α cosdsFdtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFrdFL
B
A
B
A
t
t
B
A
B
A
B
A
t
tzzyyxxzyxBA
∫
∫ ∫ ∫∫
=
==++=++=⋅=−
Se demonstrează că lucrul mecanic elementar al unui cuplu de moment 0M , corespunzător unei rotaţii elementare θd este egal cu:
( )dtωMωMωMdtωMθdMdL zzyyxx00 ++=⋅=⋅= (11.5)
iar lucrul mecanic total sau finit:
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
97
( )dtωMωMωMβ dtcosωMβ cosθdMθdML2
1
2
1
2
1
2
1
21
t
t
t
tzzyyxx0
θ
θ
θ
θ
00θθ ∫ ∫∫ ∫ ++====−
(11.6) S-a notat cu β unghiul dintre 0M ( momentul cuplului) şi ω (viteza unghiulară)
şi s-a ţinut seama că dtωθd = . În general, lucrul mecanic finit al unei forţe depinde atât de modul cum variază forţa cât şi de forma traiectoriei. 11.1.2 Lucrul mecanic al forţelor conservative O forţă este conservativă dacă derivă dintr-o funcţie de forţă, adică
kz
Uj
y
Ui
x
UU UgradF
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇== (11.7)
( )zy,x,UU = se numeşte funcţie de forţă a forţei F şi depinde numai de coordonatele punctului de aplicaţie al forţei. Din (11.7) rezultă că:
z
UF ;
y
UF ;
x
UF zyx ∂
∂=∂∂=
∂∂= (11.8)
Pentru ca o forţă să admită o funcţie de forţă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy:
z
F
x
F ;
y
F
z
F ;
x
F
y
F xzzyyx
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂
=∂∂
(11.9)
În acest caz lucrul mecanic al forţei F este:
dUdzz
Udy
y
Udx
x
UrdFdL =
∂∂+
∂∂+
∂∂== (11.10)
Lucrul mecanic total va fi:
∫ ∫ −===−
B
A
B
AABBA UUdUrdFL (11.11)
Dinamica
98
unde ( ) ( )BBBBAAAA z,y,xU U, z,y,xUU == Rezultă că lucrul mecanic total al unei forţe conservative este independent de forma traiectoriei, depinzând numai de poziţiile ini ţială şi finală a punctului de aplicaţie al forţei. Un exemplu de forţă conservativă este forţa gravitaţională (fig. 11.2).
În acest caz:
.z
UGG ; 0GG zyx ∂
∂=−===
Rezultă: CGzU +−= (11.12)
( ) GhzzGL ABBA ±=−−=− (11.13) Prin urmare lucrul mecanic al unei greutăţi nu depinde de forma
traiectoriei pe care se deplasează punctul ei de aplicaţie, ci depinde numai de poziţiile extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile ini ţială şi finală şi având semnul (+) când deplasarea se face în sensul forţei şi semnul (-) când deplasarea se face în sens contrar.
Fig. 11.2
k j
i
Az
G
h A
B
z
x
y BzO
�
�
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
99
11.1.3 Lucrul mecanic al unei forţe elastice Se consideră în figura 11.3 un arc ideal cu constanta elastică k. Se notează cu x -alungirea şi cu kxFe = -forţa elastică.
Fig. 11.3
Putem scrie: dx-kxdL ; idxrd ; ikxFe ==−= (11.14)
Lucrul mecanic total corespunzător unei alungiri x este:
∫ −=−=x
0
2kx2
1dxkxL (11.15)
iar lucrul mecanic total între 2 poziţii A şi B ale capătului arcului:
( )∫ −−=−=−
B
A
x
x
2A
2BBA xxk
2
1kxdxL (11.16)
11.1.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de for ţe care acţionează
asupra unui solid rigid
Se consideră în figura 11.4 un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe ( )n1,2,3,...,i Fi = care se reduce în punctul O al corpului la un torsor având elementele:
∑ ∑= =
×==n
1i
n
1iii0i FrM ; FR (11.17)
La un moment dat t rigidul are viteza unghiulară ω şi punctul O viteza 0v .
Se cere determinarea lucrului mecanic elementar al sistemului de forţe corespunzător deplasării elementare 10rd a punctului O şi rotaţiei elementare θd
a rigidului.
dx
Ax
0l
Bx O
x A
M B eF
i
Dinamica
100
Prin definiţie:
∑ ∑= =
⋅=⋅=n
1i
n
1iii1ii dtvFrdFdL (11.18)
Fig. 11.4 Dar, i0i rωvv ×+= (11.19)
Rezultă:
( ) ( )∑ ∑ ∑= = =
=×⋅+⋅=×+⋅=n
1i
n
1i
n
1iii0ii0i dtrωFdtvFdtrωvFdL
θdMrdRdtωMdtvRdtωFrdtvF 01000
n
1iii0
n
1ii ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅
×+⋅
= ∑∑
==
(11.20) 11.1.5. Lucrul mecanic al forţelor interioare Două puncte materiale Mi şi M j aparţinând unui sistem de puncte materiale interacţionează, forţele interioare fiind notate corespunzător cu ijF ,
respectiv jiF . Vectorii de poziţie ai punctelor în raport cu punctul fix O sunt
ri şi jr (fig. 11.5). Conform principiului acţiunii şi reacţiunii ijji FF −= .
Lucrul mecanic elementar aferent forţelor ijF şi jiF corespunzător
deplasărilor elementare ale celor două puncte este:
z
1F 1A
0M
iv 1ird
iF
iA
ir R y
nF nA
0v
10rdO
1ir1z
1y 1x
10r A.I.R.
(C)
ω θd
x
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
101
( )
( ) ( )jiijijij
jiijjijiijjjiiijint
MMdFMMdF
rrdFrdFrdFrdFrdFdL
⋅−=⋅=
=−⋅=⋅−⋅=⋅+⋅= (11.21)
Deoarece jiij MMλF = , rezultă:
( ) ( ) 2ji
2jijiji
int MMd2
λMMd
2
λMMdMMλdL −=−=⋅−= (11.22)
Dacă punctele materiale aparţin unui sistem material rigid
distanţa dintre puncte ji MM =
constant şi ca urmare 0dLint = . Putem spune că în cazul unui sistem material rigid suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor interioare este nulă pentru orice deplasare a sistemului.
Fig. 11.5
11. 2. Puterea mecanică
Prin puterea mecanică a unei maşini se înţelege cantitatea de lucru mecanic produsă de maşină în unitatea de timp.
ωMvRdt
dLP 00 ⋅+⋅== (11.23)
Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este watt-ul [W];
s
J11W = . În practică se mai foloseşte şi calul putere (CP); 1 kW=1,36CP.
Puterea este o mărime scalară pozitivă, negativă sau nulă constituind o caracteristică de bază a tuturor agregatelor energetice şi oricărei maşini.
În cazul motoarelor liniare: vRP= iar a celor rotative: MP c ω⋅= (s-a
notat Mc momentul cuplului). Dacă este cunoscută puterea unui motor P[W] şi turaţia n[rot/min],
momentul motor Mc [N.m] se obţine cu relaţia:
iMijF
jiFjM
jr
ir
O
Dinamica
102
Pnπ
30M c = (11.24)
Dacă puterea P este dată în CP, turaţia n în rot/min, momentul motor Mc
în N.m este
n
P7027M c = (11.25)
11.3. Randamentul mecanic
Orice maşină în timpul funcţionării ei în regim permanent primeşte un lucru mecanic motor mL , respectiv o putere motoaremP , care îi permite să
dezvolte un lucru mecanic util uL , respectiv o putere utilă uP , măsurate la
ieşirea din maşina respectivă. Diferenţa LL-L pum = se numeşte lucru
mecanic pierdut, iar PP-P pum = se numeşte putere pierdută.
Raportul dintre lucrul mecanic util şi cel motor, egal cu raportul dintre puterile utilă şi motoare se numeşte randament mecanic.
ϕ−=−
=−
=== 1P
PP
L
LL
P
P
L
Lη
m
pm
m
pm
m
u
m
u (11.26)
Coeficientul
m
p
u
p
P
P
L
L==ϕ
se numeşte coeficient de pierdere. Randamentul total al unui lanţ de n maşini sau mecanisme legate în serie este egal cu produsul randamentului maşinilor lanţului:
∏=
=n
1iiη η (11.27)
Randamentul total al unui agregat format din n maşini sau instalaţii montate în paralel este egal cu suma produselor dintre randamentele maşinilor şi cotele părţi din puterea absorbită de fiecare maşină din totalul puterii motoare ce alimentează întregul agregat.
∑ ∑= =
==n
1i
n
1iiii 1α;αηη (11.28)
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
103
11.4. Energia cinetică 11.4.1. Definiţii
Fig. 11.6 Fig. 11.7
Se consideră în figura 11.6 un punct material M de masă m care se deplasează sub acţiunea forţei F pe o traiectorie curbilinie ( )Γ având la momentul t viteza v .
Se numeşte energie cinetică a punctului material mărimea scalară egală cu semiprodusul dintre masa şi pătratul vitezei punctului:
( )22222c zyxm
2
1mv
2
1vm
2
1E &&& ++=== (11.29)
Energia cinetică este o mărime scalară strict pozitivă care caracterizează starea de mişcare a punctului la un moment dat. Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este joule-ul [J]. Prin definiţie energia cinetică a unui sistem de puncte materialeiM de
mase im (fig.11.7) având vitezele iv n) ..., 2, 1,(i = este egală cu suma energiilor cinetică ale punctelor componente:
( )∑ ∑∑= ==
++===n
1i
n
1i
2i
2i
2ii
n
1i
2ii
2iic zyxm
2
1vm
2
1vm
2
1E &&& (11.30)
Un solid rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă elementară dm având viteza v (fig. 11.8). Pentru calculul
v
t
m
z,y,x
M
( )Γa r
z
x y
x
y z O F
( )11 mM
1v
iz
iv
t
m
z,y,x
M i
( )Γiair
z
ixiy
x
yO iF
( )nn mM
nv
Dinamica
104
energiei cinetice se poate utiliza relaţia (5.30) în care semnul ∑ se înlocuieşte
cu semnul ∫ , viteza iv cu viteza v şi masa im cu dm.
( ) ( )
∫∫ ==C
2
C
2c dmv
2
1dmv
2
1E (11.31)
Fig. 11.8 11.4.2. Teorema lui König pentru energia cinetică
Fig. 11.9
v
t
dm
z,y,x
M
( )Γr
z
y x
y zO
( )C
x
1z
1x 1y1O
1cr
v cv
O'
C
cvr
ω
r ω×δ
( ) A.I.R.R∆c ≡
(C)
M(dm)
α
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
105
În figura 11.9 este reprezentat un solid rigid (C ) aflat în mişcare generală. Se cunoaşte masa M a corpului, viteza cv a centrului de masă, viteza
unghiulară instantanee ω şi momentul de inerţie mecanic c∆
J al corpului faţă
suportul vectorului ω plasat în centrul C de masă al corpului. Se demonstrează relaţia:
2∆
2cc ωJ
2
1Mv
2
1E
c+= (11.32)
numită teorema lui König pentru energia cinetică:’’Energia cinetică a unui solid rigid în mişcare generală este egală cu suma dintre energia cinetică a centrului de masă al solidului rigid în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului şi energia cinetică a solidului rigid în mişcarea relativă faţă de centrul maselor’’.
Din Cinematică se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.33)
Folosind relaţiile (11.31) şi (11.33) se obţin succesiv
( ) ( )( )( )( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫ ∫ ∫
+⋅×+=×+
+×⋅+=×+==
C C C
222c
{C}
2c
2
C C C Cc
2c
2c
2c
dmαsinrω2
1dmrωvdmv
2
1dmrω
2
1
dmrωvdmv2
1dmrωv
2
1dmv
2
1E
(11.34)
S-a ţinut seama că ( ) αsinrωrωrω 22222 =×=×
Întrucât,
( )( )( )( )
∫ ∫ ∫ ∫ ==α===C C C C
∆222
c CJdmδdmsinr ; 0rMdmr ; Mdm
relaţia (11.34) devine:
2∆
2cc ωJ
2
1Mv
2
1E
C+= (11.35)
Dinamica
106
11.4.3. Energia cinetică în cazul unor mişcări particulare ale unui solid rigid a) Solid rigid în mişcare de translaţie
Fie un solid rigid (C) , având masa M şi viteza centrului de masă cv ,
aflat în mişcare de translaţie (fig. 11.10).
Fig. 11.10 Deoarece 0ω = , expresia (11.35) devine
2cc Mv
2
1E = (11.36)
În conformitate cu (11.36) energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare translaţie este egală cu energia centrului de masă şi care se consideră concentrată întreaga masă a corpului. b) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe
În figura 11.11 este reprezentat unui solid rigid (C) aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe ( )∆ cu viteza unghiulară ω . Se presupune de asemenea
cunoscut şi momentul de inerţie mecanic ∆J al corpului în raport cu axa ( )∆ . Din Cinematică se cunoaşte că viteza unui punct oarecare al rigidului are
expresia: rωv ×= (11.37)
z
y x
1x
1z
1y1O
C
cv
1cr C
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
107
α r
O
ω
δ
rωv ×=
dm
2O
( )∆
1O
Fig. 11.11
( )( )
( )( )( )
( )(11.38)ωJ
2
1dmδω
2
1
dm αsinrω2
1dmrω
2
1dmrω
2
1 dmv
2
1E
C
2∆
22
C C C
22222
C
2c
∫
∫ ∫ ∫∫
==
==×=×==
c) Solid rigid în mişcare de roto-translaţie
Fig. 11.12
0vα r
O
ω
δ
rωvv 0 ×+=
dm
( )∆
Dinamica
108
Se consideră în figura 11.12 un solid rigid aflat în mişcare elicoidală în lungul şi în jurul axei( )∆ cu viteza liniară cv şi viteza unghiulară ω . Se
cunoaşte masa M a corpului şi momentul de inerţie mecanic ∆J al acestuia faţă
de axa mişcării de roto-translaţie ( )∆ . Se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.39)
Energia cinetică a rigidului în acest caz este:
( )
( )( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( )∫∫∫∫
∫∫∫∫
×+×+=×+
+×+=×+==
C0
C
2
C
20
C0
C
2
C
20
C
20
C
2c
dmrωvrω2
1dmv
2
1dmrωv
dmrω2
1dmv
2
1dmrωv
2
1dmv
2
1E
(11.40) Deoarece,
( ) ( ) ( ) ( ) 0ωv ; Jωdmδωdm αsinrωdmrω ; Mdm 0∆
2
C
22
C
222
C
2
C
=×===×= ∫∫∫∫
expresia energiei cinetice dată de (11.40) devine:
2∆
20c ωJ
2
1Mv
2
1E += (11.41)
Se poate afirma că energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare de roto-translaţie este egală cu suma dintre energia cinetică de translaţie cu viteza
0v şi cea provenită din mişcarea de rotaţie în jurul axei fixe cu viteza
unghiulară ω . d) Placă aflată în mişcare plană O placă având masa M şi momentul de inerţie mecanic cJ∆ în raport cu
axa c∆ , normală în centrul de masă C pe planul plăcii, se află în mişcare într-un
plan fix cu viteza centrului de masă cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.13).
Energia cinetică plăcii este dată de formula lui König:
2c∆
2cc ωJ
2
1Mv
2
1E += (11.42)
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
109
Între cv şi ω subzistă relaţia:
dωICωvc ⋅=⋅= (11.43) Înlocuind (11.43) în (11.42) se obţine relaţia:
( ) 2∆
2∆c
2c ωJ
2
1MdJω
2
1E
I=+= (11.44)
în care I∆
J este momentul de inerţie mecanic al plăcii în raport cu axa
instantanee de rotaţie I∆ .
Fig. 11.13
e) Solid rigid în mişcare sferică (mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix)
Fig. 11.14
r x ωv =
z
x
y
(C) rω
( ) A.I.R.∆ ≡
δ
α
O
dm
⋅
1Cr
C∆z ≡1z
1y
1x
( )mP
1O
A.I.R.∆ I =
y
x
I Ir
C Cv ω
ω
h
h
Dinamica
110
Se consideră în figura 11.14 un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O cu viteza unghiulară ω ( )zyx ω ,ω ,ω . Se
presupun cunoscute momentele de inerţie mecanice ale rigidului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy. În mişcarea sferică viteza unui punct oarecare are expresia:
rωv ×= (11.45) Energia cinetică a rigidului cu punct fix se determină cu relaţia:
( )
( )( ) ( )
=×=×== ∫∫∫C
2
C
2
C
2c rω
2
1dmrω
2
1dmv
2
1E
( )
2∆
22
C
222 ωJ2
1dmδω
2
1dmαsinrω
2
1 == ∫∫
(11.46) Ţinând seama de legea de variaţie a momentelor de inerţie mecanice în raport cu axe concurente,
γα2Jβγ2J-βα2JγJβJαJJ zxyzxy2
z2
y2
x∆ −−++= , (11.47)
unde γβ, α, sunt cosinusurile directoare ale suportului ∆ al vectorului ω , şi de relaţiile: zyx ωωγ ;ωωβ ;ωωα === (11.48)
se obţine:
( )xzzxzyyxyxxy2zz
2yy
2xxc ωω2Jωω2Jωω2JωJωJωJ
2
1E −−−++= (11.49)
Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, momentele de inerţie centrifugale sunt nule, iar (11.49) ia forma simplificată:
2zz
2yy
2xxc ωJ
2
1ωJ
2
1ωJ
2
1E ++= (11.50)
11.5. Energie potenţială. Energie mecanică Se întâlnesc sisteme materiale (o greutate situată la o anumită înălţime, un arc întins sau comprimat, un recipient cu gaz sub presiune, etc.) care au energie datorită poziţiei pe care o ocupă, fiind capabil să producă lucru mecanic
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
111
dacă se suprimă legăturile ce menţin sistemul în poziţia respectivă. Energia de poziţie a unor astfel de sisteme se numeşte energie potenţială. Energia potenţială a unui corp aflat într-o poziţie oarecare este egală cu lucrul mecanic consumat pentru a aduce corpul dintr-o poziţie în care energia potenţială se consideră nulă în poziţia dată, luat cu semn schimbat.
( )∑ ∑∫=
−=−=++−=−=n
1iiiiziiyiixp UUdzFdyFdxFLE (11.51)
unde U este funcţia de forţe a sistemului. Unitatea de măsură pentru energia poteniţială în SI este joule-ul [ ]J . În cazul unui sistem material suma dintre energia cinetică şi energia potenţială se numeşte enrgie mecanică. pcm EEE += (11.52)
11.6. Impulsul Se consideră un punct material M de masă m care se deplasează pe traiectoria ( )Γ , având la un moment dat viteza v (fig. 11.15). Se defineşte impulsul sau cantitatea de mişcare a punctului material un vector egal cu produsul dintre masa punctului şi viteza sa. vmp = (11.53)
( )mMvmp =
v r
0k
y
x
z
O
Fig. 5.15
Alegând un sistem de referinţă cartezian Oxzy şi proiectând (11.53) pe axele acestuia se obţin relaţiile: zmp ;ymp ;xmp zyx &&& === (11.54)
Dinamica
112
în care z ,y ,x &&& sunt componentele carteziene ale vitezei punctele M. Unitatea de măsură a impulsului în SI este metrukilogram⋅ pe scundă
[ ]m/skg ⋅ .
0K
nv
( )nn mMy
cvMP =
cvC
crir
iii vmp =iv
z
( )11 mM
1v
O
x
Fig. 11.16
În cazul unui sistem de puncte matriale aflat în mişcare (fig.5.16)
impulsul sistemului este egal cu suma impulsurilor punctelor.
∑=
=n
1iii vmP (11.55)
Această relaţie se poate pune şi sub o altă formă ţinând seama că viteza instantanee a punctului este egală cu derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului.
( )∑∑==
=====n
1icccii
n
1i
ii vMrMrM
dt
drm
dt
d
dt
rdmP && (11.56)
Aşadar impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul centrului de masă al sistemului în care se presupune concentrată în întreaga masă a acestuia. Componentele carteziene ale impulsului se obţin proiectând relaţia (11.56) pe axele sistemului de referinţă Oxzy. czcycx zMP ;yMP ;xMP &&& === (11.57)
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
113
Solidul rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă dm şi viteză v (fig. 11.17). Ca urmare impulsul total se obţine cu relaţia
( )∫=C
dmvP (11.58)
Fig. 11.17
Ca şi în cazul precedent
( ) ( )
( ) c1C1cC
1C
1 vMrMrMdt
ddmr
dt
ddm
dt
rdP ===== ∫∫ & (11.59)
Relaţia (11.59) arată că impulsul unui rigid este egal cu impulsul centrului de masă în care ar fi concentrată întreaga masă a rigidului. 11.7. Momentul cinetic 11.7.1. Definiţii a) Momentul cinetic al unui punct material Prin definiţie momentul cinetic al unui punct material aflat în mişcare (fig. 11.15) în raport cu un pol fix O este egal cu momentul vectorului impuls faţă de acelaşi pol O.
vmrkO ×= (11.60)
ωcK
z
dmv
r
c1r
1rC cv
cvMP =
y
1z
1O
1OK
1x x
1y
Dinamica
114
Proiecţiile acestui vector pe axele unui sistem de axe cu originea în punctul O vor fi:
( ) ( ) ( )xyyxmk ;zxxzmk ;yzzymk zyx &&&&&& −=−=−= (11.61) Unitatea de măsură pentru momentul cinetic în SI este
secundăpemetrukilogram 2⋅ /s]m[kg 2⋅ . b) Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale
Prin definiţie momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale aflat în mişcare (fig. 11.16) în raport cu un punct fix O este egal cu suma momentelor cinetice ale punctelor în raport cu acelaşi O.
∑=
×=n
1iiiiO vmrK (11.62)
c) Momentul cinetic al unui solid rigid
În cazul unui solid rigid (fig. 11.17) se defineşte momentul cinetic faţă de punctul fix 1O , prin relaţia:
( )
dmvrKC
1O1 ∫ ×= (11.63)
şi momentul cinetic al rigidului în mişcarea relativă faţă de centrul maselor prin relaţia:
( )( )
( )( )∫∫ ××=−×=CC
cC dmrωrdmvvrK (11.64)
Relaţia (11.64) poate fi transcrisă matriceal:
[ ] [ ] [ ]ωJKsau ;
ω
ω
ω
JJJ
JJJ
JJJ
K
K
K
C
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
⋅=
⋅
−−−−−−
=
(11.65)
Matricea:
−−−−−−
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
JJJ
JJJ
JJJ
]J[ (11.66)
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
115
se numeşte matricea momentelor de inerţie sau tensor inerţial. 11.7.2. Teorema lui König pentru momentul cinetic Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare generală faţă de un sistem de referinţă fix 1111 zyxO , având la un moment dat t viteza centrului de masă cv şi
viteza unghiulară ω (fig.11.17). Fiind cunoscută masa M a corpului şi momentele de inerţie mecanice ale acestuia în raport cu sistemul de axe Oxyz, legate de corp, se cere determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului faţă de punctul fix 1O şi momentul cinetic al corpului în mişcarea relativă faţă de centrul de masă. Înlocuim în (11.63) egalităţile rωvv ;rrr C1c1 ×+=+=
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
( )=××+×+
+××++×=×ω+×+=
∫∫
∫∫∫
CCc
C1c
Ccc1
Ccc1O
dmrωrdmvr
dmrωrdmvrdmrvrrK1
( ) ( ) ( )
( )( )∫∫∫∫ ××+×
+
××+×=
Cc
CC1c
Cc1c dmrωrvdmrdmrωrdmvr
(11.67) Întrucât,
( ) ( )
( )( )
cC
CCC
Kdmrωr 0;rMdmr M;dm =××=== ∫∫∫ ,
relaţia (11.67) devine: cc1cO KvMrK
1+×= (11.68)
Relaţia (11.68) exprimă teorema lui König pentru momentul cinetic conform căreia, momentul cinetic al unui solid rigid (sistem material) în raport cu un punct fix 1O este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului de masă în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului (sistemului material) şi momentul cinetic cK rezultat din mişcarea relativă a corpului
(sistemului material) în raport cu centrul maselor.
Dinamica
116
11.7.3. Momentul cinetic în cazul unor mişcări particulare ale rigidului a) solid rigid aflat în mişcare de translaţie
Fie un solid rigid aflat în mişcare de translaţie (fig.11.18), având masa M şi viteza instantanee a centrului de masă cv .
z
y
1x
1z
1y1O
C
cv1cr C
1OK
x
Fig. 11.18
Întrucât 0=ω 0K c = (11.69)
c1cO vMrK1
×= (11.70)
b) Solid ridig aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix
Se consideră un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O (fig.11.19) cu viteza unghiulară ω . Se cunosc momentele de inerţie mecanice ale corpului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy, solidar cu rigidul.
Conform (11.63), dacă OO1 = şi rr1 = ,
( )∫ ×=C
O dmvrK (11.71)
Având în vedere legea distribuţiei vitezelor în mişcarea sferică a
rigidului rωv ×= (11.72)
( )( )
( )( )( )
∫ ∫∫ ⋅−=××=C C
2
CO dmrrωdmωrdmrωrK (11.73)
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
117
y
x
O
z
ωr
OK
v
(C)
( )A.I.R
∆
dm
zy,x,M
Expresiile analitice ale vectorilor care intervin (11.73) sunt kωjωiωω ;kzjyixr ;kKjKiKK zyxzyxO ++=++=++= (11.74)
Înlocuind (11.74) în (11.73) şi ţinând seama de expresiile momentelor de inerţie mecanice axiale şi centrifugale, prin identificarea coeficienţilor versorilor din cei doi membri, se obţin proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de rferinţă mobil Oxzy. Acestea pot fi exprimate sub formă matriceală:
⋅
−−−−−−
=
z
y
x
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
y
x
ω
ω
ω
JJJ
JJJ
JJJ
K
K
K
(11.75)
sau restrâns [ ] [ ] [ ]ωJK O ⋅= (11.76)
Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, atunci momentele de inerţie centrifugale sunt nule şi: zzzyxyxxx ωJK ;ωJK ;ωJK === (11.77)
c) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix
În figura (11.20) este reprezentat un solid rigid aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix oarecare ( )∆ . Se cunosc viteza unghiulară ω şi momentele
Fig. 5.19
Dinamica
118
de inerţie axiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu sistemul de referinţă Oxzy, legat invariabil de solidul rigid.
Momentul cinetic al rigidului în raport cu punctul fix O de pe axa ( )∆ se poate calcula ca şi în cazul mişcării sferice deoarece mişcarea de rotaţie în jurul unui ax fix este un caz particular al mişcării sferice în care axa instantanee de rotaţie devine fixă. Astfel, proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de referinţă mobil Oxzy sunt date de (11.75) sau (11.77), după cum acest sistem nu este sau este sistem de axe principale de inerţie.
Fig. 5.20
Dacă axa ( )∆ coincide cu axa Oz, atunci ωJK ;ωJK ;ωJK zzyzyxzx =−=−= (11.78)
Dacă în plus axa ( ) Oz≡∆ este axă principală de inerţie, atunci: kωJK ω;JK 0;KK zOzzyx ==== (11.79)
d) Placă aflată în mişcare plană Se consideră o placă mobilă ( )mP în mişcare în planul fix 1111 zyxO cu
viteza centrului de masă cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.21). Se cunoaşte
masa plăcii şi momentul de inerţie zJ faţă de axa Cz, normală în centrul de masă al plăcii pe planul plăcii.
Din punctul de vedere al distribuţiei de viteze mişcarea plană reprezintă o suprapunere a două mişcări: o mişcare de translaţie cu viteza cv a centrului
de masă C şi o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe perpendiculare în C pe planul mişcării.
0K
z
x
y
( )C
ω
( )∆
r
v
O
dm
z,y,xM
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
119
Fig. 11.21 Momentul cinetic în mişcarea relativă faţă de centrul de masă este dat de
relaţia (11.79) ωJK ;kωJK zCzC == (11.80)
iar momentul cinetic faţă de 1O de formula lui König. ( )[ ] kωJvyvxMKvMrK zCx1CCy1CCC1CO 111
+−=+×= (11.81)
11.8. Teorema de variaţie a energiei cinetice
inti
exti FF +
ia
intiF
extiF
( )iΓ
iv
( )ii mM
ir
O
z
y
x
( )11 mM
ext1F
1a
( )nn mM
extnF
na
Fig. 11.22
z1z
1y
1x
( )mP
1O
( )I∆
y
x
I
CK
C Cv
ω1Cr
10K
1k
1i
C1yj
1j
i
k
A.I.R.
ϕ
ϕ
C1x
Dinamica
120
Se consideră un sistem de puncte materiale iM , având masele im ,
vitezele iv , acceleraţiile ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă Oxyz, aflat în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
extiF (i=1,2,…,n). Asupra punctului iM acţionează forţa ext
iF şi rezultanta
forţele interioare ,FFn
1jij
inti ∑
== n,1j ÷= ij ≠ , cu care celelalte n-1 puncte
interacţionează cu punctul iM (fig. 11.22). Pentru fiecare punct material putem scrie legea fundamentală a dinamicii:
inti
extiii FFam += (11.82)
Înmulţind scalar ambii membri ai relaţiei (11.82) cu ird şi însumând relaţiile obţinute pentru n1i ÷= , rezultă
∑∑∑===
⋅+⋅=⋅n
1ii
inti
n
1iii
n
1iiii rdFrdFrdam (11.83)
Dar
C
n
1i
2ii
n
1i
2ii
n
1iiii
n
1ii
ii
n
1iiii dEvm
2
1
dt
dvm
2
1
dt
dvdvmrd
dt
vdmrdam ==
=⋅=⋅=⋅ ∑∑∑∑∑=====
(11.84)
extn
1iii dLrdF =⋅∑
=; int
n
1ii
inti dLrdF =⋅∑
=, (11.85)
unde extdL şi intdL reprezintă reprezintă lucrul mecanic al forţelor exterioare, respectiv al forţelor interioare. Se obţine:
intextC dLdLdE += (11.86)
relaţie ce exprimă matematic teorema de variaţie a energiei cinetice sub formă elementară sau diferenţială în cazul unui sistem de puncte materiale: variaţia elementară a energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare şi lucrul mecanic al forţelor interioare, corespunzător deplasării elementare a sistemului material în intervalul de timp dt. Integrând relaţia (11.86) se obţine forma finită sau integrală a teoremei de variaţie a energiei cinetice.
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
121
int21
ext21C1C2 LLEE −− +=− (11.87)
în care C1E este energia cinetică a sistemului la momentul 1t , C2E este energia
cinetică a sistemului la momentul 2t , ext21L − reprezintă lucrul mecanic total al
forţelor exterioare în intervalul de timp 12 tt − şi int21L − reprezintă lucrul mecanic
total al forţelor interioare în acelaşi interval de timp. În cazul solidului rigid, având în vedere că
0dL ; 0dL int21
int == − (11.88) forma diferenţială a teoremei de variaţie a energiei cinetice este:
extC dLdE = (11.89)
iar cea finită:
ext21C1C2 LEE −=− (11.90)
11.9. Teorema de variaţie a impulsului
Fig. 11.23 Această teoremă va fi demonstrată tot în cazul unui sistem de puncte
materiale, rezultatele fiind apoi extinse pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. Fie un sistem de puncte materiale iM de mase im aflat în mişcare cu
vitezele iv şi acceleraţiile ia sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare extiF ( )n1i ÷= . Asupra punctului iM acţionează atât forţa ext
iF cât şi rezultanta
( )ii mMia
inti
exti FF +
extiF
intiFiv
ca
crcaMP =&
extR
OK&ext1F
extnF
( )nn mMO
( )11 mM
ir
z
x
yC
extOM
Dinamica
122
∑=
=n
1jij
inti FF ( )ijn,1j ≠÷= a forţelor interioare cu care celelalte puncte
interacţionează cu punctul iM (fig. 11.23). Pentru fiecare punct separat din sistem este valabil principiul al doilea al mecanicii scris sub forma:
inti
extiii FFam += (11.91)
Scriind relaţii de forma (11.91) pentru toate punctele sistemului şi însumându-le membru cu membru obţinem:
∑∑∑===
+=n
1i
inti
n
1i
exti
n
1iii FFam (11.92)
Dar,
( ) ( ) PPdt
dvm
dt
dvm
dt
d
dt
vdmam
n
1iii
n
1iii
n
1i
ii
n
1iii
&===== ∑∑∑∑====
, adică derivata
în raport cu timpul a vectorului impuls total;
extn
1i
exti RF =∑
= -vectorul rezultant al forţelor exterioare;
0Fn
1i
inti =∑
= -deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,
având acelaşi suport şi sensuri contrarii. Rezultă:
extRP =& (11.93) Relaţia (11.93) exprimă teorema de variaţie a impulsului pentru un sistem de puncte materiale: derivata în raport cu timpul a vectorului impuls total al unui sistem de puncte materiale este egală cu vectorul rezultant al forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului. Deoarece CvMP = ,
CC aMvMP == && , (11.94)
unde: M-este masa sistemului de puncte materiale; Cv -este viteza centrului de masă al sistemului de puncte materiale;
Ca -este acceleraţia aceluiaşi centru de masă,
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
123
se obţine:
extC RaM = (11.95)
Teorema de variaţie a impulsului sub forma (11.95) poartă numele de teorema mişcării centrului de masă cu următorul enunţ: centrul de masă al unui sistem de puncte materiale are mişcarea unui singur punct a cărui masă este egală cu masa totală a sistemului când asupra căruia ar acţiona vectorul rezultant al forţelor exterioare. Echivalenţele scalare ale ecuaţiilor vectoriale (11.93) şi (11.95) sunt:
extxCx RxMP == &&& ; ext
yCy RyMP == &&& ; extzCz RzMP == &&& (11.96)
Integrând (11.93) pentru două configuraţii la momentele 1t şi 2t obţinem forma finită a teoremei de variaţie a impulsului:
∫=−2
1
t
t
ext12 dtRPP (11.97)
unde: 1C1 vMP = ,
2C2 vMP =
Dacă vectorul rezultant al forţelor exterioare este nul sau proiecţia sa pe
o axă fixă este permanent nulă ( 0Rext = , respectiv de exemplu 0Rextx = ),
impulsul total, respectiv proiecţia impulsului pe acea axă este invariabil în timp (se conservă). Se obţin astfel integralele prime:
ct.vMP C == , respectiv ct.xMP Cx == & (11.98) În acest caz centrul de masă are o mişcare rectilinie şi uniformă sau, în particular, rămâne în repaus, respectiv proiecţia centrului maselor pe acea axă se mişcă uniform sau, în particular, rămâne pe loc. Rezultatele obţinute sunt valabile şi pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide.
11.10. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu un punct fix
Fie un sistem de puncte materiale iM de mase im , având vitezele şi
acceleraţiile instantanee iv şi ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă fix Oxyz. Punctele se află în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe
Dinamica
124
exterioare ( )n1iFexti ÷= . Asupra punctului iM acţionează forţa exterioară ext
iF
şi rezultanta ( )ijn,1j,FFn
1jij
inti ≠÷==∑
= a forţelor exterioare cu care celelalte
n-1 puncte interacţionează cu iM (fig. 11.23).
Scriem pentru punctul iM legea fundamentală a dinamicii
inti
extiii FFam += (11.99)
Înmulţim vectorial la stânga cei doi membri ai relaţiei (11.99) cu ir şi însumăm relaţiile obţinute dând lui i valori de la 1 la n. Se obţine:
∑∑∑===
×+×=×n
1i
intii
n
1i
extii
n
1iiii FrFramr (11.100)
În relaţia (5.100):
( ) OO
n
1iiii
n
1iii
iiii
n
1iiii KK
dt
dvmr
dt
dvm
dt
rdvmr
dt
damr &==×=
×−×=× ∑∑∑===
,
adică derivata în raport cu timpul a momentului cinetic faţă de punctul O;
extO
exti
n
1ii MFr =×∑
= - momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de polul O.
0Fr inti
n
1ii =×∑
= - deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,
având acelaşi suport şi sensuri opuse. Rezultă:
extOO MK =& (11.101)
Relaţia (11.101) exprimă teorema momentului cinetic în raport cu un punct fix pentru un sistem de puncte materiale, conform căreia: derivata vectorială în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale calculat faţă de un punct fix O este egală cu momentul rezultant al sistemului forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului, calculat faţă de acelaşi punct fix O.
Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu un punct fix
este nul ( )0M extO = atunci
0K O =& şi deci ct.K O = (11.102)
11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii
125
adică momentul cinetic se conservă. Ecuaţia (11.102) este o integrală primă a teoremei momentului cinetic. Echivalentele scalare ale ecuaţiei (11.101) sunt
extxx MK =& ; ext
yy MK =& ; extzz MK =& (11.103)
Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu o axă fixă (de exemplu Oy) este nul atunci faţă de axa respectivă momentul cinetic se conservă:
0M exty = ; 0K y =& şi deci ct.K y = (11.104)
Integrând (11.101) se ajunge la forma finită a teoremei de variaţie a momentului cinetic
∫=−2
1
t
t
extOO1O2 dtMKK (11.105)
Rezultatele obţinute sunt valabile şi în cazul sistemelor de corpuri rigide. 11.11. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare în raport cu un sistem de referinţă fix 1111 zyxO sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
( )n1,2,...,iFexti = . De corp este invariabil legat de sistemul de referinţă Cxyz, cu
originea în centrul de masă (fig. 11.24). Se urmăreşte determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului în
mişcarea relativă faţă de centrul de masă şi momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de acelaşi punct. Scriem teorema lui König pentru momentul cinetic şi o derivăm în raport cu timpul
CC1CC1CO KaMrvMrK1
&&& +×+×= (11.106)
Conform teoremei momentului cinetic faţă de punctul fix 1O şi teoremei
mişcării centrului de masă se poate scrie:
extOO
11MK =& ; ext
C RaM = (11.107)
unde:
Dinamica
126
∑=
×=n
1i
exti1i
extO FrM
1este momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de 1O şi
∑=
=n
1i
exti
ext FR este vectorul rezultant al forţelor exterioare.
Termenul, =× C1C vMr& 0vMv CC =×
Fig. 11.24 Astfel, relaţia (11.106) devine:
Cext
1CextO KRrM
1
&+×= sau ext1C
extOC RrMK
1×−=& (11.108)
Conform legii de variaţie a momentului rezultant la schimbarea polului de reducere :
extC
ext1C
extO MRrM
1=×− ; ∑
==
n
1i
extii
extC FxrM (11.109)
Se obţine:
extCC MK =& , (11.110)
relaţie ce exprimă teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor conform căreia: derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem material în mişcarea relativă faţă de centrul de masă al sistemului este egală cu momentul rezultant al forţelor exterioare calculat în raport cu acelaşi centru de masă.
1O
extOO 11
MK =&
1x
1z
1OK
1y
1r
dm v1A
1F
εω
y
cK
extcc MK =&
1ir
iF
1cr
iA ir
( )CnFnA
P
cv
ca
extc RaMP ==&
x
z
r
Recommended