View
247
Download
7
Category
Preview:
DESCRIPTION
sdsd
Citation preview
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
1
2. SPEKTRALNA ANALIZA SIGNALA
Svaku periodiÄnu funkciju š¦(š”) može se prikazati s pomoÄu Fourierova reda kao suma
sinusnih i kosinusnih Älanova Äije su frekvencije cjelobrojni viÅ”ekratnici osnovne frekvencije:
š¦(š”) = š“(0) +ā[ļæ½Ģļæ½(š) cos(ššš”) + ļæ½Ģļæ½(š) sin(ššš”)]
ā
š=1
Gdje je:
š¦(š”) ā trenutna vrijednost funkcije/signala
š“(0) - srednja vrijednost funkcije
ļæ½Ģļæ½(š), ļæ½Ģļæ½(š) ā tjemena vrijednost n-tog kosinusnog/sinusnog Älana
š - osnovna frekvencija
š“(0) =1
šā«š¦(š”)šš”
š
0
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¦(š”) cos(ššš”) šš”
š
0
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¦(š”) sin(ššš”) šš”
š
0
Bitno je naglasiti kako je moguÄe Fourierov red zapisati i na druge naÄine.
š¦(š”) = š“(0) +ā ļæ½Ģļæ½(š) sin(ššš” + š(š))
ā
š=1
= š“(0) +ā ļæ½Ģļæ½(š) cos (ššš” + š(š) āš
2)
ā
š=1
ļæ½Ģļæ½(š) = āļæ½Ģļæ½2(š) + ļæ½Ģļæ½2(š)
š(š) = š”šā1ļæ½Ģļæ½(š)
ļæ½Ģļæ½(š)
ļæ½Ģļæ½(š) ā vrÅ”na vrijednost n-tog harmonijskog Älana
š(š) ā fazni pomak n-tog harmonijskog Älana
Parsevalov teorem
Kada je potrebno iz poznatih koeficijenata Fourierovog reda (ļæ½Ģļæ½(š), ļæ½Ģļæ½(š), ļæ½Ģļæ½(š) ) izraÄunati
efektivnu vrijednost tada je najjednostavnije koristiti Parsevalov teorem, tj. efektivna
vrijednost signala je:
š = āš“2(0) +1
2ā[ļæ½Ģļæ½2(š) + ļæ½Ģļæ½2(š)]
ā
š=1
= āš“2(0) +1
2ā ļæ½Ģļæ½2(š)
ā
š=1
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
2
Faktor harmonijskog izobliÄenja
Faktor harmonijskog izobliÄenja odreÄuje se kao omjer efektivne vrijednosti napona svih
viÅ”ih harmonika i efektivne vrijednosti osnovnog Älana. Ukupni faktor harmonijskog
izobliÄenja THD (Total Harmonic Distortion) definira se na sljedeÄi naÄin:
šš»š· =āā š¶2(š)ā
š=2
š¶(1)
PojedinaÄni faktori izobliÄenja definiraju se kao:
š·š =š¶(š)
š¶(1)
Zadatak 2.1.
Za funkciju danu izrazom:
š¢(š”) = 10š šš (0š” +š
2) + 5š šš (314š” +
š
4) + 3š šš (628š” ā
š
6) treba nacrtati fazno-
frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izraÄunati ukupni faktor
harmoniÄkog izobliÄenja te odrediti faktor oblika.
RjeŔenje:
Funkcija se prvo pretvotri u oblik Fourierova reda sa sinusnim Älanovima:
š¢(š”) = 10š šš (0š” +š
2) + 5š šš (314š” +
š
4) + 3š šš (628š” ā
š
6)
Vremenski dijagram izgleda prema slici:
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-5
0
5
10
15
20
t (ms)
u(t
) V
u(t)=10+5sin(314t+pi/4)+3sin(628t-pi/6)
u1(t)=5sin(314t+pi/4)
u2(t)=3sin(628t-pi/6)
ud=10
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
3
Amplitudno-frekvencijska karakteristika
f0 fo 2fo
Um
10
3
5
Fazno-frekvencijska karakteristika
f0 fo2fo
2
4
6
Srednja ispravljena vrijednost funkcije:
10U U V
Efektivna vrijednost funkcije:
š = āš2(0) + š2(1) + š2(2) = ā102 + (5
ā2)2
+ (3
ā2)2
ā 10,82 V
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
4
Faktor oblika:
10 821 082
10
U ,f ,
U
Ukupni faktor harmoniÄkog izobliÄenja:
2
2
1
3
2 0 65
2
UTHD ,
U
Zadatak 2.2.:
Za funkciju danu izrazom: u(t) = sin(Ļ0t) ā 0,5cos(3Ļ0t) treba nacrtati vremenski
dijagram, fazno-frekvencijski dijagram, amplitudno-frekvencijski dijagram, izraÄunati
ukupni faktor harmoniÄkog izobliÄenja te odrediti faktor oblika.
RjeŔenje: 0 69U , V ; Uef = 0,79 V; Um = 1,5 V; f =1,12; THD = 0,5
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
5
Zadatak 2.3.
Odredite amplitudno-frekvencijsku i fazno-frekvencijsku karakteristiku za prva Äetiri nenulta
harmonika signala zadanog slikom, ako je š¼ =1
4. Odredite valovitost i pojedinaÄne faktore
distorzije za prva Äetiri nenulta harmonika.
MatematiÄki zapis valnog oblika zadan je prema:
š¢(š”) = { ļæ½Ģļæ½ 0 ā¤ š” ā¤ š¼šāļæ½Ģļæ½ š¼š ā¤ š” ā¤ š
Srednju vrijednost zadanog signala raÄuna se prema:
š(0) = š“(0) =1
šā«š¢(š”)šš”
š
0
=1
š[ā« ļæ½Ģļ潚š” ā
š¼š
0
ā« ļæ½Ģļ潚š”
š
š¼š
] = (2š¼ ā 1)ļæ½Ģļæ½
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¢(š”) cos(ššš”) šš”
š
0
=2
š[ā« ļæ½Ģļæ½ cos(ššš”) šš”
š¼š
0
ā ā« ļæ½Ģļæ½ cos(ššš”) šš”
š
š¼š
] =
2ļæ½Ģļæ½
š[ā« cos(ššš”) šš”
š¼š
0
ā ā« cos(ššš”) šš”
š
š¼š
] =2ļæ½Ģļæ½
š[1
ššsin(ššš”)|0
š¼š ā1
ššsin(ššš”)|š¼š
š ] =
2ļæ½Ģļæ½
ššš[sin(ššš¼š) ā sin(0) ā sin(ššš) + sin(ššš¼š)] =
2ļæ½Ģļæ½
2šš[sin(2ššš¼) ā sin(0) ā sin(2šš) + sin(2ššš¼)] =
šļæ½Ģļæ½
šš š¬š¢š§(šš šš¶)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¢(š”) sin(ššš”) šš”
š
0
=2
š[ā« ļæ½Ģļæ½ sin(ššš”) šš”
š¼š
0
ā ā« ļæ½Ģļæ½ sin(ššš”) šš”
š
š¼š
] =
2ļæ½Ģļæ½
š[ā« sin(ššš”) šš”
š¼š
0
ā ā« sin(ššš”) šš”
š
š¼š
] =2ļæ½Ģļæ½
š[ā
1
ššcos(ššš”)|0
š¼š +1
ššcos(ššš”)|š¼š
š ] =
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
6
2ļæ½Ģļæ½
ššš[ā cos(ššš¼š) + cos(0) + cos(ššš) ā cos(ššš¼š)] =
ļæ½Ģļæ½
šš[ā cos(2ššš¼) + cos(0) + cos(2šš) ā cos(2ššš¼)] =
ļæ½Ģļæ½
šš[2 ā 2cos(2ššš¼)] =
2ļæ½Ģļæ½
šš[1 ā cos(2ššš¼)] =
šļæ½Ģļæ½
šš šššš(š šš¶)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
š(š) = (šš¶ ā š)ļæ½Ģļæ½ +ā [šļæ½Ģļæ½
šš š¬š¢š§(šš šš¶) ššØš¬(ššš) +
šļæ½Ģļæ½
šš šššš(š šš¶) š¬š¢š§(ššš)]
ā
š=š
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ļæ½Ģļæ½(š) = āļæ½Ģļæ½2(š) + ļæ½Ģļæ½2(š) = ā(2ļæ½Ģļæ½
ššsin(2ššš¼))
2
+ (4ļæ½Ģļæ½
ššš šš2(ššš¼))
2
=
=2ļæ½Ģļæ½
ššā(sin(2ššš¼))2 + (2š šš2(ššš¼))
2=
2ļæ½Ģļæ½
ššā(2 sin(ššš¼) cos(ššš¼))2 + (2š šš2(ššš¼))
2=
4ļæ½Ģļæ½
ššsin(ššš¼)ā(cos(ššš¼))2 + (š šš(ššš¼))
2=šļæ½Ģļæ½
šš š¬š¢š§(š šš¶)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
š(š) = š”šā12ļæ½Ģļ潚š sin
(2ššš¼)
4ļæ½Ģļ潚š š šš
2(ššš¼)
= š”šā1sin(2ššš¼)
2š šš2(ššš¼)= š”šā1
2 sin(ššš¼) cos(ššš¼)
2š šš2(ššš¼)
= š”šā1cos(ššš¼)
š šš(ššš¼)= š”šā1(šš”š(ššš¼)) = š”šā1 (š”š (āššš¼ +
š
2)) = āš šš¶+
š
š
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
š(š) = (šš¶ ā š)ļæ½Ģļæ½ +šļæ½Ģļæ½
š ā [
š¬š¢š§(šš š¶)
šš¬š¢š§ (š(šš ā š š¶) +
š
š)]
ā
š=š
Za š¼ =1
4 slijedi:
š¢(š”) = āļæ½Ģļæ½
2+ā[
4ļæ½Ģļæ½
ššsin (
šš
4) sin (š (šš” ā
š
4) +
š
2)]
ā
š=1
Aproksimacija signala s prva Äetiri nenulta harmonika:
š¢(š”) āļæ½Ģļæ½
2š šš (ā
š
2) +
2ļæ½Ģļæ½
š(ā2š šš (šš” +
š
4) + 2š šš(2šš”) + ā2š šš (3šš” ā
š
4))
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
7
Amplitudno-frekvencijska karakteristika
Fazno-frekvencijska karakteristika
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
8
š¤š¢ = āš2
š2(0)ā 1 = ā3 ā 1,73
Gdje je:
š - efektivna vrijednost š = ļæ½Ģļæ½
š(0) ā srednja vrijednost š(0) = āļæ½Ģļæ½ 2ā
š = ā1
šā«š¢2(š”)šš”
š
0
= ā1
š[ā« ļæ½Ģļæ½2šš”
š¼š
0
+ ā«(āļæ½Ģļæ½)2šš”
š
š¼š
] = ļæ½Ģļæ½
PojedinaÄni faktori distorzije su:
š·0 =š¶(0)
š¶(1)=
ļæ½Ģļæ½22ļæ½Ģļ潚
=š
4
š·2 =š¶(2)
š¶(1)=
2ā2ļæ½Ģļ潚2ļæ½Ģļ潚
= ā2
š·3 =š¶(3)
š¶(1)=
2ļæ½Ģļ潚2ļæ½Ģļ潚
= 1
Zadatak 2.4.
Odredite prva tri nenulta harmonika zadane funkcije i THDU.
n š·š
0 š
4ā 0,79
1 1
2 ā2 ā 1,41
3 1
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
9
MatematiÄki zapis funkcije:
š¢(š”) =
{
2ļæ½Ģļæ½
šš” š” ā [0,
š
2]
ā2ļæ½Ģļæ½
š(š” ā
š
2) + ļæ½Ģļæ½ š” ā [
š
2,3š
2]
2ļæ½Ģļæ½
š(š” ā
3š
2) ā ļæ½Ģļæ½ š” ā [
3š
2, 2š]
Period zadane funkcije je 2š, dok je kružna frekvencija š = 1.
Zadana funkcija je neparno simetriÄna, tj. centralno simetriÄna s obzirom na ishodiÅ”te.
Svojstvo neparnosti zadanog valnog oblika može se zapisati kao š¢(āš”) = āš¢(š”).
Bez raÄunanja može se zakljuÄiti da je srednja vrijednost signala nula, tj. š(0) = 0. U pravilu
srednja vrijednost je nula zbog neparnosti funkcije š¢(š”).
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¢(š”) cos(ššš”) šš”
š
0
=2
šā« š¢(š”) cos(ššš”) šš”
š 2ā
āš 2ā
= 0
Älanovi ļæ½Ģļæ½(š) jednaki su nuli jer je podintegralna funkcija neparna, tj. množenjem neparne
š¢(š”) i parne cos(ššš”) funkcije dobiva se neparna funkcija.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¢(š”) sin(šš”) šš”
š
0
=2
šā« š¢(š”) sin(šš”) šš”
š 2ā
āš 2ā
=4
šā« š¢(š”) sin(šš”) šš”
š 2ā
0
Navedene relacije vrijede jer je funkcija š¢(š”) neparna, tj. podintegralna funkcija je parna jer
je umnožak dvije neparne funkcije parna funkcija.
ļæ½Ģļæ½(š) =2
šā«š¢(š”) sin(šš”) šš”
š
0
=2
š
[
ā«2ļæ½Ģļæ½
šš” sin(šš”) šš”
š2
0
+ ā«(ā2ļæ½Ģļæ½
šš” + 2ļæ½Ģļæ½) sin(šš”) šš”
š
š2 ]
=
2
š
[
ā«2ļæ½Ģļæ½
šš” sin(šš”) šš”
š2
0
ā ā«2ļæ½Ģļæ½
šš” sin(šš”) šš”
š
š2
+ ā«2ļæ½Ģļæ½ sin(šš”) šš”
š
š2 ]
=
4ļæ½Ģļæ½
š
[ 1
š
(
ā« š” sin(šš”) šš”
š2
0ā š¼
ā ā« š” sin(šš”) šš”
š
š2
)
+ ā« sin(šš”) šš”
š
š2 ]
=
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
10
š¼ = ā« š” sin(šš”) šš” = |š¢ = š”šš¢ = šš”
|šš£ = sin(šš”) šš”
š£ = ā1
šššš (šš”)
| =
āš”
šššš (šš”) +
1
šā« ššš (šš”) šš” = ā
š”
šššš (šš”) +
1
š2š šš(šš”)
ļæ½Ģļæ½(š) =4ļæ½Ģļæ½
š[1
š((ā
š”
šššš (šš”) +
1
š2š šš(šš”))|
0
š2
ā (āš”
šššš (šš”) +
1
š2š šš(šš”))|
š2
š
)
ā1
šššš (šš”)|š
2
š] =
4ļæ½Ģļæ½
š
[ 1
š
(
ā
š2šššš (š
š
2) +
1
š2š šš (š
š
2) + 0 ā 0
ā (āš
šššš (šš) +
1
š2š šš(šš)ā
0
+
š2šššš (š
š
2) ā
1
š2š šš (š
š
2))
)
ā1
š(ššš (šš) ā ššš (š
š
2))
]
=
4ļæ½Ģļæ½
š[1
š(š
šššš (š
š
2) +
2
š2š šš (š
š
2) +
š
šššš (šš)) ā
1
š(ššš (šš) ā ššš (š
š
2))] =
4ļæ½Ģļæ½
š[1
š
2
š2š šš (š
š
2)] =
8ļæ½Ģļæ½
š2š2š šš (š
š
2)
š¢(š”) ā8ļæ½Ģļæ½
š2(sin(š”) ā
1
9sin(3š”) +
1
25sin(5š”))
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Efektivna vrijednost se raÄuna prema:
š = ā1
šā«š¢2(š”)šš”
š
0
= ā4
šā« š¢2(š”)šš”
š 4ā
0
=
ā2
š[ā« (
2ļæ½Ģļæ½
šš”)
2
šš”
š 2ā
0
] = āļæ½Ģļæ½2
3=ļæ½Ģļæ½
ā3
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
11
šš»š· =āā š¶2(š)ā
š=2
š¶(1)=āš2 ā š2(1)
š(1)=
ā(ļæ½Ģļæ½
ā3)2
ā (8ļæ½Ģļæ½
š2ā2)2
8ļæ½Ģļæ½
š2ā2
ā 0,12 = 12%
Gdje je
š(1) ā efektivna vrijednost osnovnog harmonika
Zadatak 2.5.
Odredite spektar punovalno ispravljenog sinusnog signala zadanog slikom. Odredite
valovitost.
Osnove Mjerenja AV Spektralna analiza signala mr. sc. Venco Äorluka, Ivan BiondiÄ
12
RjeŔenje:
š¢(š”) =2ļæ½Ģļæ½
šā4ļæ½Ģļæ½
šā
cos (2šš”)
(2š ā 1)(2š + 1)
ā
š=1
š¤š¢ = āš2
8ā 1
Recommended