Penentuan luas bulatan oleh Archimedes

PENENTUAN ARCHIMEDES UNTUK LUAS BULATANOleh:

ME!

PISMP MATEMATIK SEMESTER 8

AMBILAN JANUARI 2010

Measurement of a Circle

0Archimedes telah membuktikan (dalam Measurement of A Circle) bahawa luas bagi sebuah bulatan yang mempunyai jejari, r adalah sama dengan luas segi tiga bersudut tegak.

0Segi tiga tersebut mempunyai tinggi, r dan tapak, C iaitu sama dengan lilitan bulatan tersebut.

0Walau bagimanapun, Archimedes tidak mengetahui cara untuk membina segi tiga bersudut tegak ini.

Ketahui teorem ini terlebih dahulu……

0Teorem 1:0 Luas poligon sekata ialah .

0Di mana h = jarak tegak dari pusat hingga ke titik tengah sisi poligon tersebut.

0Q = perimeter bagi poligon sekata tersebut.0 Contoh: Heksagon: Perimeter, Q = 6bLuas, P = = = 3bh h

br

0Teorem 2:0 Poligon sekata 2n-gon, n 2, boleh dilukis di dalam

bulatan (inscribed). 0 Semakin besar nilai n , luas poligon semakin mendekati,

tetapi masih lebih kecil daripada luas bulatan.0 Perimeter poligon juga makin menghampiri nilai lilitan

bulatan tetapi masih lebih kecil.

0Teorem 3:0 Poligon sekata, 2n-gon, n 2, boleh dilukis di luar bulatan

(circumscribed).0 Semakin besar nilai n , luas/perimeter poligon di luar

bulatan, 2n-gon, semakin mendekati tetapi masih lagi lebih besar daripada luas bulatan.

0 Perimeter poligon juga makin menghampiri nilai lilitan bulatan tetapi masih lebih besar.

Pembuktian…

0Bagi menunjukkan A = T, Archimedes telah memberikan kes berikut:

Kes 1 : A TKes 2: A T

0Berdasarkan ‘law of trichotomy’:A mesti sama dengan T.

¿𝟏𝟐𝒓𝑪

Kes 1 : A T

0Luas poligon (dodekagon), P ialah .

r

b

h

Kes 2 : A <T

0Luas poligon (dodekagon), P ialah .

b

r

h

0Berdasarkan hukum Trikotomi:0 Jika , maka tepat satu diantara berikut adalah benar :

a < b a = ba > b

0 Dalam kes ini, A<T dan A>T adalah tidak benar, maka A=T.

Maka, luas segitiga, T =

Kaedah Exhaustion0Luas bulatan merupakan had kepada luas po ligon di

dalam bulatan dengan bilangan sisi hingga ketakterhinggaan (infiniti).

0Prinsip Asas:0 Luas poligon dengan sisi n (n-gon) yang dilukis di dalam

bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi () apabila nilai n meningkat.

0 Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi poligon bertambah.

0 Perimeter poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisinya bertambah.

0Secara ringkas, setelah melakukan banyak percubaan bagi menentukan luas bulatan dengan poligon di dalam bulatan, bilangan sisi digeneralisasikan kepada n.

0Luas poligon dengan n sisi ialah:0 P = n (luas segitiga) = 0 Jika disusun semula rumus tersebut:

0nb = perimeter poligon = semakin meningkat n, ia semakin menghampiri lilitan

bulatan (2r). = semakin bertambah n, h juga semakin

menghampiri nilai jejari bulatan, r . maka….

Kesimpulannya…

0Semakin bertambah bilangan segitiga (bilangan sisi poligon), luas poligon akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan.

0 Ia melibatkan nilai tetap , yang mana wujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan.

0Luas bulatan = .