View
1
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Pitagorejska matematika
Milan Hladnik
Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani
10. oktober 2012
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Viri za zgodnjo grško matematiko
Kasnejši zapisi in komentarji (Platon, Evdemus)
Prvi zgodovinar matematike: Evdemus z Rodosa (∼ 350-290pnš.), Aristotelov ucenec, ki je opisal cas nekako do leta 335pnš., a se je na žalost njegov spis izgubil.
Evdemov povzetek napisal neoplatonist Proclus (410-485 nš.)v svojem Komentarju o Evklidu okrog leta 450 nš. To je najboljzanesljiv vir za starejšo grško matematiko, vsebuje tudi podatkeo Pitagori in Pitagorejcih.
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Tales iz Mileta (∼ 624-546 pnš.)
Slika: Tales iz Mileta
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Talesove ugotovitve
premer razpolavlja krog
v enakokrakem trikotniku sta kota ob osnovnici enaka
trikotnika sta skladna, ce imata enaka dva kota in enostranico
v polkrog vcrtan kot je pravi
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Pitagora s Samosa (∼ 572-495 pnš.)
Slika: Pitagora s Samosa
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Pitagorejska šola
Ustanovljena v Krotoni v južni Italiji.Filozofska, znanstvena, matematicna in verska šola.Notranji krog približno 600 študentov so bili ti. matematiki,zunanji, okrog 2000 študentov, pa akuzmatiki. Aristokratskazaprtost in misticizem. Znanje na tajnih sestankih širili samoustno.Gojili so vero v moc števil (ki sestavljajo svet), njihove znanostiso bile aritmetika, geometrija, glasba in astronomija(kvadrivium).Pregnani iz Krotone so delovali še 200 let, nekateri zelo vplivni,npr. Filolaj, Arhit.
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Prijateljska števila
Definicija: Vsako od dveh števil je vsota pravih deliteljevdrugega.
Pitagora: (284, 220)Euler: (2620,2924) leta 1747 (skupaj 30 parov, kasneje vsaj šetoliko)Nicolo I. Paganini: (1184, 1210) leta 1866Do leta 1946: 390 parovDo leta 2007: skoraj 12.000.000 (z racunalnikom)
Odprti problemi: Ali obstaja par prijateljskih števil nasprotneparnosti (eno sodo, eno liho) ali brez skupnega faktorja?
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Popolna števila
Definicija: Enaka vsoti vseh svojih pravih deliteljev.
Grki: 6, 28, 496, 8128Neznani matematik: (33.550.336) leta 1456Do leta 1952: samo 12 popolnih številDo junija 2010: 47 popolnih števil.
Odprti problemi:
Ni znano, ali je popolnih števil neskoncno mnogo.Prav tako ni znano, ali obstaja liho popolno število; ce je, jegotovo zelo veliko, vecje od 101500.
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Soda popolna števila
Evklid v IX. knjigi Elementov (metoda za iskanje sodih popolnihštevil):
Trditev
Ce je 2n −1 praštevilo (Mersennovo praštevilo), je 2n−1(2n −1)popolno število.
Euler: Velja tudi obratno.
Bijekcija med popolnimi števili in Mersennovimi praštevili. Npr.211 −1 = 2047 = 23 ·89 ni praštevilo, torej 210(211 −1) nipopolno število.
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Figurativna števila
Definicija: Števila tock v neki gemetrijski konfiguraciji
Npr. trikotna, kvadratna, petkotna števila (slika).
( )a
1 3 6 10
( )b
1 5 12 22
Slika: Trikotna in petkotna števila
Razlicne zveze: 1+3+5+ ...+(2n−1)= n2, Sn = Tn +Tn−1,Pn = n +3Tn−1
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Pitagorejske trojice
Definicija: Cela števila a,b,c, za katera velja a2 +b2 = c2.
Pitagora jih je znal generirati s formulo(2m)2 +(m2−1)2 = (m2 +1)2, kjer je m lih, tako da je a = m,b = (m2 −1)/2 in c = (m2 +1)/2.
Današnja reprezentacija a = 2uv , b = u2 −v2, c = u2 +v2.
Ce sta u,v tuji si števili razlicne parnosti, dobimo na ta nacinvse primitivne pitagorejske trojice, tj. pitagorejske trojice brezskupnega faktorja.
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Algebraicne identitete
(1) (AQ)(QB)+ (PQ)2 = (PB)2
(2) Vstavimo AB = p in AQ = x , pa velja x2 −px +q2 = 0, ceq ≤ p/2.
A P Q B
C DE
FHG L
( )A ( )B
Q
A BP Q
E
EQ = PB
q
Slika: Evklidovo reševanje kvadratne enacbe
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Geometrijsko reševanje kvadratne enacbe po Carlyleu
Thomas Carlyle (1795-1881), škotski pisec in uciteljmatematike
(0,1)
( , )a b
0 ( )x
( )y
x 2x1
Slika: Carlyleova geometrijska metoda reševanja kvadratne enacbe
x2 −ax +b = 0
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Pitagorov izrek
Slika: Pitagorov dokaz
Uporaba enakosti po dopolnitvi
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Evklidov dokaz Pitagorovega izreka
Slika: Evklidov dokaz Pitagorovega izreka
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Še dva dokaza Pitagorovega izreka
( )a ( )b
Slika: Ibn Qurrov in Dudeneyev dokaz Pitagorovega izreka
Primer enakosti po razdelitvi
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Številni drugi dokazi
Vec kot 400 razlicnih dokazovE.S. Loomis zbral in objavil leta 1927 kar 371 dokazov
E. Maor, The Pythagorean Theorem, a 4,000-year history,Princeton Science Library, Princeton University Press,Princeton and Oxford, 2007.
A.S. Posamentier, The Pythagorean Theorem, The Story ofIts Power and Beauty, Prometheus Books, New York 2010.
A. Bogomolny, The Pythagorean Theorem and Its ManyProofs, spletna stran (www.cut-the-knot.org).
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Platonska telesa
Slika: Platonska telesa
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Kriza: odkritje iracionalnih števil
Najverjetneje so odkrili, da√
2 ni racionalno število.Geometrijski dokaz malce bolj zapleten, s protislovjem.
B
CD
C 1
B1
A P
Q
Slika: Geometrijski dokaz iracionalnosti kvadratnega korena iz 2
Nastal je velik logicni škandal.
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Škandal in njegova razrešitev
Pitagorejska filozofija je temeljila na racionalnih razmerjih daljic(in števil). Pitagorejci so odkritje hoteli obdržati v tajnosti.Hipasus izdal skrivnost in bil zato kaznovan.
Evdoks iz Knida razrešil škandal leta 370 pnš. z novodefinicijo proporcionalnosti (Evklid vkljucil v V. knjigoElementov).
Richard Dedekind leta 1872 predstavil svojo teorijoiracionalnih števil (po Evdoksovem zgledu)
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Zenonovi paradoksi
Dihotomija: Ce hocemo priti do konca odseka, moramonajprej doseci polovico, še prej cetrtino itd. ad infinitum.Ali sploh lahko zacnemo?
Pušcica: v vsakem trenutku pušcica miruje, ker ima fiksnopozicijo. Ali se sploh lahko zacne gibati?
Ahil in želva: Ahil je dvakrat hitrejši od želve, ki ima prednjim doloceno prednost; ko pride Ahil do mesta, kjer je bilaželva v zacetku, je le-ta že pol poti naprej itd.Ali jo sploh kdaj ujame?
Stadion: V treh vrstah so ljudje A v prvi pri miru, v drugi seB gibljejo z doloceno hitrostjo v desno, v tretji C z istohitrostjo v levo; ce potrebuje B do naslednjega A enotocasa, potrebuje do naslednjega C le pol enote casa.Ali potem lahko obstaja najmanjši nedeljiv del casa?
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Evdoks iz Knida (408-347 pnš.)
Slika: Evdoks iz Knida, Arhitov in Platonov ucenec
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Evdoksova teorija sorazmernosti
Vsaka (tudi nesoizmerljiva) kolicina (npr. λ ) je dolocena, cepoznamo njeno pozicijo med kolicinami (npr. a), ki so vracionalnem razmerju z dano kolicino: Torej
λ = µ , ce iz a < λ sledi a < µ in obratnoλ < µ , ce lahko najdemo soizmerljivo kolicino a, da je λ < a < µ
Danes: iracionalno število poznamo, ce poznamo vsa manjšain vsa vecja racionalna števila (Dedekindovi rezi).
Zacetki grške matematike Pitagorejska matematika Naloge
Evdoksova metoda izcrpavanja
Posplošitev teorije sorazmernosti na plošcine likov inprostornine teles, ki so prav tako dolocene z aproksimacijami.Krog npr. aproksimiramo z vcrtanimi ali ocrtanimi veckotniki,piramido s stopnicasto naloženimi prizmami ipd. Pri temzadošca koncno mnogo približkov.
A B
M
Slika: Vcrtavanje veckotnikov v krog
Recommended