Probabilitas

Konsep probabilitas dan asas perhitungan

probabilitas

Dadan SupriatnaDian Sulasmy

Liana Kartika Sari

Pengertian probabilitas (peluang)

B. Konsep-konsep probabilitas

1. Pandangan klasik/intuitifdidalam pandangan klasik ini probabilitas atau peluang adalah harga angka yang menunjukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa yang terjadi.

Contoh: - sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H dan T), kalau mata uang tersebut dilambungkan 1kali, peluang untuk keluar sisi H adalah 1:2. - rumus P (E) = X/N* P = Probabilitas* E = Event (kejadian)* X = jumlah kejadian yang di inginkan (peristiwa)* N = keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Cont....• Contoh soal: dalam suatu pabrik ada 30 wanita dan 70 laki-

laki. Sehabis makan siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan apakah makanan tadi cukup baik. Untuk itu akan di acak siapa orang yang akan ditanyakan pendapatnya. Probabilitas akan terambil seorang buruh wanita adalah: P(E)= 30/100= 0,3 (peluang).

2. Pandangan empiris/probabilitas relatif

• Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkan observasi, pengalaman, atau kejadian yang telah terjadi.

Contoh : • Pelemparan 100x koin 59x keluar sisi H, maka dikatakan P(H)=

59%• Distribusi relatif

upah (Rp 1000) jumlah %200-499 90 30500-749 165 55750-999 45 15

*hubungan pandangan klasik dan pandangan empiris P(E) = X/N dan P(E) = Lim X/N akan sama besarnya bila N tak

terhingga.rumus

P(E) = lim X/N

3. Pandangan subjektif

• Di dalam pandangan subjektif probabilitas ditentukan oleh pembuat pernyataa,misalnya seorang buruh/karyawan meyakini bahwa kalau ada kesempatan untuk pendidikan lanjut, yang akan dikirim adalah dirinya (misalnya diyakininya 95% = 0,95).

C. Unsur-unsur probabilitas Dalam mengambil kesimpulan atau informasi dari

sekumpulan data perlu dilakukan percobaan atau sampel. Konsep probabilitas berhubungan dengan pengertian eksperimen (percobaan) yang menghasilkan hasil yang tidak pasti. Artinya, eksperimen yang di ulang-ulang dalam kondisi yang sama akan menghasikan “hasil” yang dapat berbeda-beda. Istilah eksperimen dalam laboratorium, tetapi eksperimen sebagai prosedur yang di jalankan pada kondisi tertentu, dimana kondisi itu dapatdi ulang-ulang sebanyak kali pada kondisi yang sama dan dapat di amati.

Beberapa contoh eksperimen Eksperimen Hasil

1. Pengukuran Rx kimia Lama Rx

2. Interview petani Jumlah produksi padi /hari

3. Hasil suatu produksi Adanya produksi yang cacat

4. Pemberian obat terhadap penyakit Lama penyembuhan

Beberapa definisi dan contoh yang di gunakan dalam proses eksperimen

1. Ruang sampeladalah himpunan yang elemen-elemennya merupakan hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen. Lambangnya “S” , jika suatu esperimen a₁, a₂,a₃,a₄,a₅...... an. Menunjukan semua hasil yang terjadi, maka ruang sampel dituliskan sebagai berikut.

S= (a₁, a₂,a₃,a₄,a₅...... an)

2. Titik sampel• Titik sampel adalah semua elemen yang ada

didalam suatu ruang sampel, yaitu a₁, a₂,a₃,a₄,a₅......an.

3. peristiwa/kejadian/eventperistiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Peristiwa ditulis dengan lambang huruf besar A, B, dan seterusnya dan dituliskan peristiwa yang ,mungkin muncul dalam hasil misalnya a2,a4, sebagai hasil peristiwa, maka yang dituliskan:

A= hasil yang diterima {a2,a4}

Contoh...• Penggunaan definisi diatas adalah sebagai

berikut: 1. Eksperimen : pelemparan sebuah dadu

Hasil : mata dadu yang tampak ruang sampel : S=(1,2,3,4,5,6,) suatu peristiwa : A titik ganjil yang tampak {1,3,5}

B titik genap yang tampak {2,4,6}

Cont...

Peristiwa- peristiwa baru dapat dibentuk dari peristiwa-peristiwa yang sudah ada dengan menggunakan tigaoprasi dasar, yaitu union, interaksi, dan komplementasi yang timbul dari penggunaan kata-kata “atau”,”dan”,serta”tidak”. Berikut ini uraiannya lebih lanjut.

Cont...

a. Union peristiwa A dan B adalah himpunan semua elemenyang ada dalam himpunan A maupun B, ditulis A ᴗ B.

b. Interaksi dua peristiwa A dan B, di tulis A ᴖ B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan juga B.

c. Komponen peristiwa A ditulis Ac adalah himpunan semua elemen yang tidak didalam A.

Oprasi ini dapat digambarkan dengan diagram Venn berikut

A ᴗ B A ᴖ B

• Ac

A B A ᴖ B

Ac

A

D. Asas Perhitungan Probabilitas• Asas dalam perhitungan probabilitas memiliki dua

macam perhitungan, yaitu hukum pertambahan dan hukum pekalian. Biasanya dalam hukum pertambahan jika kita memerlukan probabilitas dalam dua peristiwa, kita menggunakan kata kunci “atau” pada kalimatpernyataan tersebut. Sebagai contoh, probabilitas untukkeluar mata dua atau mata lima dalam pelemparan satu kali dadu. Sementara itu hukum perkalian memiliki kata kunci “dan”. Sebagai contoh, sebuah dadu dan sebuah koin dilambungkan bersama-sama, berapakah peluang untuk terjadinya hasil lambungan sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu?.

• Rumus: 0 ≤ P ≥ 1nilai probabilitas selalu menghasilkan nilai yang positif, tidak pernah negatif.P ( x/n ) bilangan positif (+)misalnya probabilitas keluar angka ganjil dalam pelemparan dadu P (ganjil / mata dadu)= 3/6

1. Hukum Pertambahan

Hukum pertambahan memiliki dua kondisi yang disebut sebagai peristiwa mutually exclusive ataupun nonmutually exclusive.

a. Contoh kejadian mutually exclusive adalah sebagai berikut1. permukaan sebuah koin 2. permukaan dadu3. kelahiran anak laki/perempuan pada seorang ibu dengan kehamilan tunggal.

• Contoh: probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5

pada perlemparan 1 kali sebuah dadu adalah: P (2 ᴗ 5)= P(2)+P(5)=1/6+1/6=2/6

A BP(A ᴗ B)-P(A)+P(B)

P(A ᴖ B)=0

b.Contoh Peristiwa nonmutually exclusive

• 1. penarikan kartus AS dan berlian• 2. seorang laki-laki dan dokter

CONTOH:Pada penarikan satu kartu dari satu set kartu bridge, peluang akan terambil kartu AS atau berlian adalah : P (as)= 4/52p (berlian) = 13/52

Ada sebuah kartu as dan berlian : P (as ᴖberlian)= 1/52P ( as ᴗ berlian) = P (as) + P (berlian)- P (as ᴖberlian)= 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52

A AB BP(A ᴗ B)-P(A)+P(B)

-P(A ᴖ B)

2. Hukum Perkalian

Dalam hukum perkalian terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat.Dengan adnya peristiwa bebas dan peristiwa bersyarat, maka perhitungan probabilitas untuk peristiwa itu adalah hukum perkalian. Hukum perkalian sebenarnya untuk mengetahui probabilitas peristiwa joint (intersect= irisan) antara peristiwa.

a. Peristiwa Bebas (Independent)

Sebagai contoh, sebuah koin dilambungkan 2 kali, maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada pelemparan kedua saling bebas. P(A ᴖ B) = P (A) x P(B)

Contoh soal: Sebuah dadu dilambangkan dua kali, peluang keluarnya

mata lima untuk kedua kalinya: P (5 ᴖ5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

b. Peristiwa tidak bebas (conditional pobability = peristiwa bersyarat)

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A).... Probabilitas B pada kondisi AProbabilitas bersyarat tidak terdapat pada peristiwa P (A)= P (A│B)P (B)= P (B│B)

P(A ᴖ B) = P (A) x P (B│A)Contoh soal : dua kartu di tarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk

yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut : Puluang AS I adalah 4/52 P(As I) = 4/52Peluang As II dengan syarat As I sudah tertarik adalah 3/51 P(as II/as I) = 3/51P(As I ᴖ As II) = P(As I) x P (As II/AsI)

4/52 x 3/51 = 1/221

E. Permutasi/kombinasi• Contoh pada pelemparan 2 kali 2 mata uang, berapa

kemungkinan kombinasi dari ke 2 mata uang tersebut? H = head T = tail. Pada diagram pohon dibawah ini, kemungkinan kombinasi 2 mata uang tersebut adalah yang muncul 4 maca: HH, HT, TH, TT.

• Diagram pohon

H T

H T H T

HH HT TH TT

Dalil 1: (kaidah umum pergandaan)

Contoh : • satu coin dilambungkan 2 kali,maka hasilnya

adalah 2x2 (ruang sampel)• Sebuah dadu dilambungkan 3 kali, makahasil

ruang sampelnya adalah 6x6

• Dalil II Permutasi

Urutan dipentingkann P r = n!

(n-r)!

P= jumlah permutasi (urutannya dipentingkan)n=banyaknya objekR= jumlah anggota pasangan != faktorial (3!=3x2x1), 0!= 1, 1!=1

• Dalil III kombinasi

Urutan tidak dipentingkan n C r = n! r!(n-r)!

C= jumlah kombinasi (yang urutannya tidak penting)