Teori Probabilitas

Pendahuluan

• Dalam statistik inferensial sesuatu yang berjumlah sedikit berbicara kondisi yang lebih luas– Yang sedikit: sampel– Dalam pengaambilan sampel, mengandung unsur

Benar dan Salah (probabilitas benar & salah)– Tiap objek memiliki kemungkinan terambil dan

tidak terambil

Contoh 1:

• Kita ingin mengambil 10 siswa dari 100 siswa, terdiri dari 50 orang perempuan & 50 orang laki-laki

• Jika pengambilan sampel dilakukan secara random– Akan banyak kemungkinan pasangan– Bisa jadi 10 orang itu laki-laki semua, perempuan

semua

Contoh 2

• Permainan Dadu: ada 6 bidang• Jika dadu dilempar 1 kali, maka setiap bidang

memiliki probabilitas untuk muncul adalah 1/6 (ditulis P(x)=1/6 )

• Secara umum probabilitas suatu perlakuan atas N objek adalah : P (x) = 1/N

• Bagaimana jika melakukan perlakuan yang lebih dari 1 x ?

Contoh 3• Jika kita menghadapi 2 siswa (A dan B)• Ingin menentukan siswa mana yang akan maju mengerjakan soal

di papan tulis• Jika kita ingin mengambil sebanyak 3x dengan cara acak• Hasilnya:

– AAA– AAB– ABB– BBB– BBA– BAB– BAA

Probabilitasnya

• A:– Tidak tertunjuk = 1/8– Tertunjuk sekali = 3/8– Tertunjuk dua kali = 3/8– Tertunjuk tiga kali = 1/8

• B:– Tidak tertunjuk = 1/8– Tertunjuk sekali = 3/8– Tertunjuk dua kali = 3/8– Tertunjuk tiga kali = 1/8

Contoh 4

• Ada 100 siswa• Diambil 5 siswa secara random, tanpa pengembalian• Probabilitasnya:– Pengambilan I : Semua siswa mempunyai probabilitas

terpilih = 1/100– Pengambilan II: Jumlah siswa yg akan dirandom tidak

sebaanyak 100, tetapi tinggal 99 P = 1/99– Pengambilan III: P = 1/98– Pengambilan IV : P = 1/97– Pengambilan V : P = 1/96

Contoh 4 (lanjutan)

• Pada kasus tadi, probabilitas individu tidak sama, tetapi selalu berubah

Hukum Probabilitas: Aturan Penambahan

• Aturan penambahan mengenai probabilitas akan terjadi jika dua kejadian, akan mungkin muncul, dalam satu pengambilan– Dalam pelemparan dadu, masing2 bidang

mempunyai probabilitas muncul 1/6. Sekarang ingin menghitung:• Probabilitas munculnya bidang 3 atau 6• Probabilitas munculnya bidang 2 atau 4

– P (X atau Y) = P(X) + P(Y) – P(X dan Y bersama)

• Karena bidang2 dadu tidak mungkin muncul secara bersamaan/serentak Probabilitas bersama antara bidang satu dengan bidang satu dengan bidang yang lainnya tidak ada : P = 0

• Maka: P(X atau Y) = P(X) + P(Y)• Pada kasus di atas:– P(3 atau 6) = P(3)+P(6) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3– P(2 atau 4) = P(2)+P(4) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Aturan Perkalian

• Akan terjadi jika ada 2 atau lebih kejadian y terjadi secara beruntun/simultan

• Jika X dan Y adalah dua kemungkinan hasil, maka probabilitas X dan probabilitas Y merupakan hasil perkalian probabilitas X dengan probabilitas Y

• P(X dan Y) = P(X) * P(Y)– P(3 dan 6) = P(3) * P(6) = 1/6 * 1/6 = 1/36

1.Kemungkinan atas terjadinya sesuatu yang diinginkan ialah sama dengan perbandingan antara

sesuatu yang diinginkan itu terhadap keseluruhannya

K(X)=K=kemungkinanK(X)=besarnya kemungkinan utk mendapat(x)X+y=jumlah keseluruhannya.

2.Kemungkinan terjadinya dua peristiwa atau lebih, yang masing – masing berdiri sendiri ialah sama dengan hasil perkalian dari besarnya kemungkinan untuk peristiwa-

peristiwa itu.

K(X+Y)= K(x) x K(y)

3.Kemungkinan terjadinya dua peristiwa atau lebih, yang saling mempengaruhi ialah sama dengan jumlah dari besarnya kemungkinan

untuk peristiwa – peristiwa itu. (Pay, C. Anna. 1987)

K(x atau y) = K(x) + K(y)

Dasar Teori Peluang

• Ruang Sampel• Kejadian dan Operasinya• Menghitung Titik Sampel :– Permutasi– Kombinasi

Peluang (Probabilitas)• Probabilitas/peluang secara umum dapat diartikan sebagai ukuran

matematis terhadap kecenderungan akan munculnya sebuah kejadian.• Secara matematis peluang memiliki kisaran nilai dari 0 hingga 1. Seperti terlihat

pada gambar di bawah, nilai peluang 0 berarti bahwa munculnya kejadian tersebut sangat tidak mungkin, dan nilai peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti muncul.

• Sebagai contoh, peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada mahasiswa yang abadi dan peluang bahwa manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat.

• Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut diatas, ataudengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yangdiharapkan dan hasil yang tidak diharapkan.

Peluang (Probabilitas)-(Lanjutan)• Sebuah koin dengan sisi muka dan sisi belakang. Peluang

mendapat sisi muka pada pelemparan koin tersebut satu kali adalah 1/2 = 0.5

• Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan gambar 4 adalah 1/6

• Dua buah dadu dilempar satu kali. Berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu sembilan.

• Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah:(3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9.

Ruang sampel

o Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S

o Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

Kejadian

• Dari setiap percobaan kita mungkin inginmengetahui munculnya elemen-elemen dariruang sampel yang mempunyai ciri tertentu.Sekelompok titik sampel itu membentukhimpunan bagian dari S• Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin

Operasi dengan kejadian

• Definisi 1 :Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan denganlambang A B ialah kejadian yang unsurnyatermasuk A dan B.

• Gambar diagram Venn

• Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8}

• A∩ B= {2,4}

Operasi dengan kejadian (Lanjutan)

• Definisi 2Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian

bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.

Operasi dengan kejadian (Lanjutan)

Definisi 3Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakandengan lambang A B ialah kejadian yang∪mengandung semua unsur yang termasuk A dan B• Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A ={1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}

Operasi dengan kejadian (Lanjutan)

Definisi 4Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialahhimpunan semua unsur S yang tidak termasuk Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'.

Contoh : Q menyatakan kejadian bahwaseorang karyawan yang dipilih secara acak darisuatu pabrik adalah seorang perokok. Nyatakankejadian komplemen Q ?

Menghitung Titik Sampel

Teorema 1 :Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapatdikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasiitu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2cara.• Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruangsampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

Teorema 2

• Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, danbila untuk setiap cara ini operasi kedua dapatdikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap keduacara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakandengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasidapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara.

• Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikanjika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop,nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macamsop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4macam soto.

Definisi 5

• Suatu permutasi ialah suatu susunan urutanyang dapat dibentuk dari suatu kumpulan bendayang diambil sebagian atau seluruhnya.• Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c.

Teorema 3

• Banyak permutasi n benda yang berlainanadalah n!• Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan dadalah 4!=24

Teorema 4

• Banyak permutasi n benda berlainan biladiambil r sekaligus adalahnPr = n !

(n-r)!

• Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untukhadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyaktitik sampel dalam ruang S.

Teorema 5

• Banyak permutasi n benda berlainan yangdisusun melingkar adalah (n-1)!

• Contoh : Dalam suatu permainan bridge adaempat pemain duduk melingkar. Berapasusunan duduk yang berlainan dalam permainan

tersebut?

Teorema 6

• Banyak permutasi yang berlainan dari n bendabila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjeniskedua,…, nk berjenis ke k adalah

• Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa caramenyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranyaberwarna merah, empat kuning dan dua biru?

Teorema 7

• Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel,masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2dalam sel ke dua dst, adalah:

Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n.• Contoh : Berapa banyak cara untuk menampungtujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila satu kamarbertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyaidua tempat tidur ?

Teorema 8

• Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainanbila diambil sebanyak r adalah

• Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tigafisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orangyang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawandan satu fisikawan.

Teorema 8

• Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainanbila diambil sebanyak r adalah

• Contoh : Bila ada empat kimiawan dan tigafisikawan, carilah banyaknya panitia tiga orangyang dapat dibuat beranggotakan dua kimiawandan satu fisikawan.

Probabilitas Dalam Distribusi Frekuensi

ContohX 40 50 60 70 80 90 100

F 3 4 5 8 2 2 1

• Data di atas adalah daftar nilai mahasiswa, dengan N= 25 orang• Jika kita mengambil 1 skor dari populasi secara random, berapa probabilitas akan

keluar nilai di atas 70 ?• Ada 2+2+1=5 orang mahasiswa yang nilainya lebih daripada 70 (>70)• P (>70) = 5/25 = 1/5• P(X<80) = 20/25 = 4/5

Probabilitas Dalam Distribusi Normal