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확 률
Probability
학습내용
실험, 사건과 표본공간
확률의 정의
확률의 계산
경우의 수
결합확률
확률의 계산 법칙
Bayes 정리
류문찬 quality@korea.ac.kr
확률실험
(확률)실험(random experiment)
process of obtaining an observation
조사(uncontrollable)
실험(controllable)
결과(outcome)
result of an experiment
류문찬 quality@korea.ac.kr
사건(event)
확률실험을 통하여 얻은 결과(outcome)의 집합
단순 사건(simple event)
실험을 통하여 얻을 수 있는 가장 기본적인 결과
더 이상 분해가 안됨
복합사건(compound event)
단순사건으로 분해 가능한 사건
류문찬 quality@korea.ac.kr
표본공간(sample space)
발생할 수 있는 모든 결과의 집합
결과들은 상호배반(mutually exclusive)이어야 함
사건 : 표본공간의 부분집합
S
A
E1
E3
E2
En
류문찬 quality@korea.ac.kr
실험과 표본공간(예)
실험 표본공간
동전 1회 던지기
동전 2회 던지기
카드 1장 선택
제품 검사
야구시합
주사위 2개 던지기
류문찬 quality@korea.ac.kr
실험과 사건(예)
표본공간
실험 : 동전 2회 던지기
류문찬 quality@korea.ac.kr
S = {HH, HT, TH, TT}
{HT, TH} 사건 : Head 1회
{HT, HH} 사건 : 첫번째가 Head
{HH, HT, TH} 사건 : 적어도 1개의 Head
{HH} 사건 : 둘 다 Head
확률이란 ?
사건이 발생할 가능성(likelihood)에 대한 수치적 측도(measure)
P(Event)
P(A)
0 P(A) 1
Σ P(event)=1
1
0
Certain
Impossible
0.5
류문찬 quality@korea.ac.kr
확률의 정의
선험적 확률
경험적 확률
주관적 확률 What is the
probability?
류문찬 quality@korea.ac.kr
Prior knowledge of process
Before experiment
P(Event) = X / T
X = 사건에 포함된 단순사건의 수
T = 표본공간내의 단순사건의 수
Each of T outcomes is equally likely(동등발생정의)
선험적 방법
류문찬 quality@korea.ac.kr
경험적 방법
Actual data collected
After experiment
P(Event) = X / T
X = 사건의 발생 회수
T = 총실험 회수
상대도수(relative frequency) 정의
류문찬 quality@korea.ac.kr
주관적 방법
Individual knowledge of situation
Before experiment
Unique process
Not repeatable
Different probabilities from different people
류문찬 quality@korea.ac.kr
확률 계산
각 단순사건의 발생 가능성이 동등하다면,
P(A) = X / T
X = 사건 A에 속하는 단순사건의 수
T = 표본공간내의 단순사건의 수
combinatorial analysis 경우의 수
류문찬 quality@korea.ac.kr
경우의 수
덧셈의 법칙
n(A or B)=n(A)+n(B)-n(A and B)
주사위 던질 때 홀수 혹은 2이하인 경우의 수
곱셈의 법칙(mn rule)
주사위 두개 던지는 실험에서 모든 경우의 수?
자동차의 설계에서 엔진(1500cc, 1800cc), 변속기(자동,수동), 색(흑,백,녹)이면 총 차종의 수?
류문찬 quality@korea.ac.kr
경우의 수
service call을 받은 5명의 고객 중에서 오전에 서비스가 가능한 3명의 서비스 순서
45명의 학생 중에서 3명 뽑아 첫번째 학생은 UBC, 두번째 학생은 UC-Davis, 세번째 학생은 UC-Fresno 교환학생으로 선정하는 경우, 모든 경우의 수?
18명의 야구 선수 중에서 출장선수를 선정하는 경우의 수?
18명의 야구 선수 중에서 타순을 정하는 경우의 수?
류문찬 quality@korea.ac.kr
순열(permutation)
류문찬 quality@korea.ac.kr
)1)(2()2)(1(!
)!(
!)1()2)(1(
nnnn
rn
nrnnnnPrn
조합(combination)
n개의 대상 중에서 r개를 뽑는 경우의 수
n개의 대상을 n1, n2, …, nk 씩 k 그룹으로 나누는 경우의 수
!!!
!
21 knnn
n
)!(!
!
rnr
n
r
n
류문찬 quality@korea.ac.kr
경우의 수
8팀이
round robin 토너먼트로 경기를 할 경우 총 게임 수
knock-down 방식으로 경기를 할 경우의 총 게임 수
4자리 숫자의 비밀번호
같은 수를 사용할 수 있는 경우
같은 수를 사용할 수 없는 경우
서로 다른 네 숫자만 택해도 되는 경우
류문찬 quality@korea.ac.kr
여사건
complement
P(Ac) = 1 - P(A)
A
S
P(X>=1)
=1-P(X=0)
=1-(4/6)(3/5)(2/4)
=1-1/5=4/5
X=무작위로 뽑힌 3개중 불량품 수
Ex:
6개의 제품중 2개가 불량품:
3개를 무작위로 뽑을 때 이중 적어도
하나의 불량품이 포함될 확률?
류문찬 quality@korea.ac.kr
결합확률
Joint Probability
결합 사건이(두개 이상의 사건이 동시에) 발생할 확률
류문찬 quality@korea.ac.kr
한계확률(Marginal Probability)
결합확률표에서 행과 열의 확률의 합
B1 B2 P(Ai)
A1 .11 .29 .40
A2 .06 .54 .60
P(Bj) .17 .83 1.00
P(B1) = .11 + .06=.17
P(A2) = .06 + .54=.60
“뮤추얼펀드수익률이 시장수익률보다 높을 확률”
“펀드매니저가 상위20위 이외 MBA를 졸업하였을 확률”
한계확률의 합은 1
류문찬 quality@korea.ac.kr
조건부확률(Conditional Probability)
다른 사건이 발생했다는 조건에서 어떤 사건의 발생확률
원래의 표본공간이 수정된다.
Eliminates certain outcomes
P(B)
BAPBAP
) and ()|(
류문찬 quality@korea.ac.kr
조건부 확률 - 예
상황
경영통계 수강생 - 남 30명, 여 10명
당번 1명 선발
문제
A 양이 뽑힐 확률은 ?
선발 자격을 여학생으로 제한한다면 A 양이 뽑힐 확률은 ?
남학생
(30)
여학생
(10) A
류문찬 quality@korea.ac.kr
조건부 확률 - 예
A와 B중 하나 선택 후, 공을 하나 꺼냄
P(R|A)
P(R)
P(A|R)
Red 7
Blue 3
A B
Red 5
Blue 5
류문찬 quality@korea.ac.kr
조건부확률 …
펀드매니저가 상위 20위 MBA프로그램을 졸업하였다는 조건에서 뮤추얼펀드의 수익률이 시장수익률보다 높을 확률은?
B1 B2 P(Ai)
A1 .11 .29 .40
A2 .06 .54 .60
P(Bj) .17 .83 1.00
류문찬 quality@korea.ac.kr
확률적 독립
Statistical Independence
사건의 발생 여부가 다른 사건의 발생확률에 영향을 주지 않는다.
e.g., toss 1 coin twice
Tests for independence
P(A | B) = P(A) ?
류문찬 quality@korea.ac.kr
복원추출과 비복원추출
복원추출(sampling with replacement)
비복원추출 (sampling without replacement)
Red 7
Blue 3
1st draw
2nd draw
P(R1) = ?
P(R2) = ?
P(R2|R1) = ?
류문찬 quality@korea.ac.kr
P(R2)는 전확률정리로 계산
독립사건 …
P(B1 | A1) = .275 ≠ P(B1) = 0.17
B1 B2 P(Ai)
A1 .11 .29 .40
A2 .06 .54 .60
P(Bj) .17 .83 1.00
류문찬 quality@korea.ac.kr
상호배반 사건
mutually exclusive events
P(A and B) = 0
A, B가 상호배반 A, B 가 서로 독립인가 ?
A B
류문찬 quality@korea.ac.kr
곱셈법칙
P(A and B) =P(AB) = P(A)*P(B|A) = P(B)*P(A|B)
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
독립사건일 경우; P(A and B) = P(A)*P(B)
류문찬 quality@korea.ac.kr
A B
AB
덧셈 법칙
P(A or B) = P(A)+P(B)-P(A and B)
상호배반사건일 경우 ; P(A or B) = P(A)+P(B)
P(AB C)=P(A)+P(B) +P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)
류문찬 quality@korea.ac.kr
예제-Bayes 정리
3대의 기계(A1,A2,A3)에서 제품 생산 : P(A1) = 0.4, P(A2) = 0.5, P(A3) = 0.1
각 기계의 불량품(D) 생산률은 각각 0.05, 0.03, 0.01; 즉 P(D|A1)=0.05, P(D|A2)=0.03, P(D|A3)=0.01
1. 랜덤하게 뽑은 제품 하나가 불량품일 확률은?
2. 제품 하나를 랜덤하게 뽑았더니 불량품이었다. 그 제품은 어느 기계에서 만들어졌을 가능성이 큰가?
Ai P(Ai) P(D|Ai) P(DAi) P(Ai|D)
A1
A2
A3
0.4
0.5
0.1
.05
.03
.01
.4*.05=.020
.5*.03=.015
.1*.01=.001
.036
.020/.036=.555
.015/.036=.417
.001/.036=.028
P(D) 류문찬 quality@korea.ac.kr
Bayes 정리
)(
)()|( )2(
)|()(),()( )1(
, )(
0)( with )(
1 1
1
XP
XAPXAP
AXPAPAXPXP
jiAAb
iAPASa
kk
n
i
i
n
i
ii
ji
i
n
i
i
P(Ai) = 사전확률(prior probability)
P(Ai|X) = 사후확률(posterior probability)
A1
A3
A2 An
… ... X
S P(A1X) P(A2X)
P(A3X)
P(AnX)
전확률정리
류문찬 quality@korea.ac.kr
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