Prognozowanie z wykorzystaniem modeli ekonometrycznych

Prognozowanie z wykorzystaniem

modeli ekonometrycznych

Plan wykładu

I. Modelowanie ekonometryczne

1. Konstrukcja modelu

2. Weryfikacja modelu

II. Prognozowanie ekonometryczne

1. Założenia prognozy

2. Prognoza punktowa

3. Ocena dopuszczalności prognozy

4. Prognoza przedziałowa

Definicja modelu ekonometrycznego

Konstrukcja formalna, przedstawiająca za pomocą jednego równania lub układu równań zależność wyróżnionego zjawiska ekonomicznego od innych zjawisk je objaśniających.

Istotą modelowania ekonometrycznego jest konstrukcja modelu mającego na celu wyjaśnienie mechanizmu zmian zachodzących w prognozowanym zjawisku.

Model ekonometryczny

Y = f (X, ξ)

Y – wektor zmiennych objaśnianych

X – macierz zmiennych objaśniających

Liczba zmiennych objaśnianych jest równa liczbie równań modelu

Zmienne w modelu ekonometrycznym

n ieop ó źn ion e op ó źn ion e

en d og en iczn e(ob jaśn ian e)

n ieop ó źn ion e op ó źn ion e

eg zog en iczn e(ob jaśn ia jące)

zm ien n e

zmienne łącznie współzależne zmienne z góry ustalone

Model liniowy jednorównaniowy

ξxαxαxααy mm22110

Etapy budowy modelu ekonometrycznego

Wybór zmiennych objaśniających modelu Określenie postaci analitycznej Estymacja parametrów Weryfikacja modelu

Dobór zmiennych do modelu

1. Merytoryczna analiza zjawiska

2. Formalne metody statystyczne

Dobór zmiennych do modelu

n

1t

n

1t

2t

2t

t

n

1tt

xy,

xxyy

xxyyr

Analiza macierzy współczynników korelacji

Analiza macierzy współczynników korelacji

R0 R

y

x1

x2

xm

x1 x2 xm

m

2

1

xy,

xy,

xy,

r

r

r

1rr

r1r

rr1

m2m1

m221

m121

x,xx,x

x,xx,x

x,xx,x

x1

x2

xm

2nt

tr*

2α

2α

tα - rozkład t-Studenta,n-2 stopnie swobody,

poziom istotności α

Analiza macierzy współczynników korelacji

1. Usunięcie zmiennych Xi, dla których zachodzi: |ry,xi| ≤ r*.

2. Wybór zmiennej Xj najsilniej skorelowanej z Y.

3. Usunięcie zmiennych Xi, dla których zachodzi: |rxj,xi| ≥ r*.

4. Powtarzanie kroków 2 i 3 aż do wyczerpania zbioru zmiennych.

Wybór postaci analitycznej modelu

Merytoryczna analiza zjawiska Ocena wykresów korelacyjnych

y y

x x

Zależność liniowaZależność nieliniowa

Szacowanie parametrów

yXXXa T1T )(

0

1

m (m+1) 1

a

a

a´

é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û

aM

1,1 m,1

1,2 m,2

1,n m,n n (m+1)

1 x x

1 x x

1 x x´

é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û

X

L

L

M M O M

L1nn

2

1

y

y

y

y

Weryfikacja modelu

Dopasowanie modelu do danych empirycznych Oceny parametrów modelu:

statystyczna istotność, stabilność w czasie (test Chowa), koincydencja oraz zgodność z teorią.

Rozkład reszt modelu losowość, normalność, autokorelacja, heteroskedatyczność (test Harrisona – McCabe’a).

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Współczynnik determinacji

Skorygowany współczynnik determinacji

)R(11mn

1n1R

~ 22

n

1i

2i

n

1i

2i

2

)y(y

)yy(R

Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Współczynnik zmienności losowej

%100y

sW e

1mn

es

n

1tt

2e

se2 – wariancja błędu modelu:

1mns

T2e

ee

ttt yye Xaye

Ocena istotności parametrów

H0: αi = 0

H1: αi ≠ 0

ξxαx0xααy mmi110

)D(a

at

i

ii

| ti | ≤ t* H0

| ti | > t* H1

t* – rozkład t-Studenta,n – m – 1 stopni swobody, poziom istotności α

)(aD)a,cov(a)a,cov(a)a,cov(a

)a,cov(a)(aD)a,cov(a)a,cov(a

)a,cov(a)a,cov(a)(aD)a,cov(a

)a,cov(a)a,cov(a)a,cov(a)(aD

)(

m2

mimim0

mii2

i1i0

mii112

10

m0i01002

2

aD)(aD i

2

)D(a

at

i

ii

1T2e

2 )(s)( XXaD

)(aD i2 )D(a i

Koincydencja

sgn(ai) = sgn(ry,xi)

Rozkład reszt: losowośćTest serii:

H0: reszty są losoweH1: reszty nie są losowe

1. Obliczamy reszty et.2. Reszty równe 0 są pomijane, resztom dodatnim nadaje się symbol A,

resztom ujemnym symbol B.3. Wyznaczamy:

- k – liczbę serii,- n1 – liczbę symboli A , - n2 – liczbę symboli B .

AAABBBAAABABBAAAA BBB AAA B A BB A

k = 7n1 = 8n2 = 6

4. Z tablic liczby serii odczytuje się dwie wartości krytyczne: kD (α/2, n1, n2 ) i kG (1 – α/2, n1, n2 ) .kD < k < kG H0

k ≥ kG v k ≤ kD H1 (np. zła postać analityczna, autokorelacja)

Rozkład reszt: normalnośćTest Shapiro – WilkaH0: F(ξ) ~ FN

H1: F(ξ) ≠ FN

1. Reszty porządkujemy niemalejąco w ciąg: e(1), e(2), … e(n).2. Obliczamy statystykę empiryczną:

n

1t

2t

2

2

n

1t(t)1)t(n1tn

)e(e

)e(ea

W

ai są stablicowane W* – z tablic Shapiro – Wilka dla przyjętego poziomu istotności

W ≥ W* H0

W < W* H1

Rozkład reszt: autokorelacja

Test Durbina – Watsona:H0: ρ1 = 0H1: ρ1 ≠ 0

n

1t

2t

n

2t

21tt

e

eed

Autokorelacja dodatnia

Autokorelacja ujemna

d’ = 4 – d

Z tablic testu Durbina – Watsona dla przyjętego poziomu istotności α, liczby obserwacji n oraz liczby zmiennych m odczytujemy dwie wartości: dl i du.

d > du H0

d < dl H1

dl ≤ d ≤ du brak możliwości podjęcia decyzji

Założenia prognozy ekonometrycznej

Znany jest „dobry model” w sensie wcześniej podanych kryteriów (dopasowania, istotności parametrów, rozkładu reszt).

Występuje stabilność relacji strukturalnych w czasie. Oznacza to, że postać modelu i wzajemne oddziaływanie zmiennych są stałe, aż do momentu lub okresu prognozowanego włącznie (związki między badanymi zmiennymi występujące w przeszłości będą takie same w przyszłości).

Składnik losowy ma stały rozkład w czasie (nie pojawią się nowe ważne zmienne oddziałujące na prognozowane zjawisko, dotychczasowe zaś nie zmienią swego oddziaływania).

Znane są wartości (lub prognozy) zmiennych objaśniających w momencie prognozowanym.

Można ekstrapolować model poza próbę.

Źródła wartości dla zmiennych objaśniających

a) decyzyjnych - decyzje sejmu, rządu, innych organów administracji, regulatorów poszczególnych rynków, także decyzje kierownictwa przedsiębiorstwa,

b) niedecyzyjnych makroekonomicznych – istniejące prognozy lub założenia, które określają ich przyszłe wielkości (np. wskaźnik inflacji, stopa bezrobocia, wskaźnik koniunktury),

c) niedecyzyjnych mikroeokonomicznych – prognoz budowane przez przedsiębiorstwo,

d) opóźnionych w czasie – rzeczywiste wartości o ile opóźnienie nie jest mniejsze od horyzontu prognozy,

e) zmiennych zero-jedynkowych – wartości 0 lub 1,f) czasowej - numer okresu, na który wyznaczana jest prognoza

Prognoza punktowa

*Tm,m

*T,110

*T xaxaay

ax*T

*Ty

*T m,

*T 2,

*T 1,

*T xxx1 x

Ocena dopuszczalności

1m

0i

m

1ijji

*Tj,

*Ti,

m

0ii

22*Ti,

2e

2T )a,cov(axx2)(aDxsv

*TT

2*T

2e

2T )(sv xaDx

%100y

vη

*T

TT

ηT ≤ η* prognoza dopuszczalnaηT > η* prognoza niedopuszczalna

Prognoza przedziałowa

P{ y*T – uvT ≤ yT ≤ y*T + uvT} = p

u – rozkład t-Studenta n – m – 1 stopni swobody, poziom istotności α = 1 – p