Simplemente gauss

SIMPLEMENTE GAUSS

ALGEBRA LINEAL

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 93𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7

2 3 −13 −1 11 1 1

917

ESTE ES UN METODO SIMILAR AL METODO DE GAUSS-JORDAN PERO ESTE LLEVA PASOS QUE AL FINAL VAN GENEREANDO 2 ECUACIONES Y EL VALOR DE UNA VARIABLE.

1 𝑎 𝑏0 1 𝑐0 0 1

𝑅𝑅𝑅

𝑧 = 𝑅

𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑅

𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 = 𝑅

DONDE a, b y c SON LOS COEFICIENTES DE CADA VARIABLES Y R ES EL RESULTADO DE LA 4ta COLUMNA DE LA MATRIZ. ESTE METODO TAMBIEN ES LLAMADO ELIMINACION GAUSSIANA

ESTE METODO ES MUCHO MAS RAPIDO QUE EL METODO DE GAUSS- JORDAN AUNQUE ESTE YA MUESTRA LOS VALORES DE LAS VARIABLES MIESTRAS QUE EL METODO DE GAUSS NADAMAS ENCUENTRA EL VALOR DE LA VARIABLE Z E IR USANDOLO PARA LAS ECUACIONES QUE SE VAN

CREANDO EN LA MATRIZ.

VEAMOS EL EJEMPLO SIGUIENTE PARA IR COMPRENDIENDO ESTE TEMA.

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 2𝑦 + 𝑧 = −2

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1

𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 2

𝑦 + 𝑧 = −2

2 1 −31 6 10 1 1

−12−2

Y COMENZAMOS. REALIZAREMOS LOS PASOS SIGUIENTES. ESTOS SERAN IDENTICOS AL METODO DE GAUSS-JORDAN. VAMOS A MULTIPLICAR TODA LA FILA CON EL 1er VALOR DE LA 1ra FILA SU

INVERSO MULTIPLICATIVO, ES DECIR:

1

2..

2 1 −31 6 10 1 1

−12−2

=1

1

2−

3

2

1 6 10 1 1

−1

2

2−2

COMO VEMOS QUE YA HAY UN CERO EN LA 1ra COLUMNA DE LA 3ra FILA, SOLO NOS ENCARGAREMOS POR EL INVERSO ADITIVO DE LA 2da COLUMNA DE LA 1ra FILA, ES DECIR:

−1..

11

2−

3

2

1 6 10 1 1

−1

2

2−2

=

11

2−

3

2

011

2

5

2

0 1 1

−1

25

2

−2

CONVERTIREMOS EL 11

2DE LA 2da FILA Y COLUMNA EN LA UNIDAD. PARA ELLO USAREMOS EL

INVERSO MULTIPLICATIVO ESE NUMERO, ES DECIR:

.2

11.

11

2−

3

2

011

2

5

2

0 1 1

−1

25

2

−2

=

11

2−

3

2

0 15

11

0 1 1

−1

25

11

−2

LO QUE SIGUE ES EN QUE CONVERTIREMOS ESE NUMERO EN CERO. PARA ELLO MULTIPLICAREMOS EL 1 DE LA 2da FILA Y COLUMNA POR EL VALOR INVERSO ADITIVO DE LA 3ra

FILA 2da COLUMNA (-1), ES DECIR:

.−1.

11

2−

3

2

0 15

11

0 1 1

−1

25

11

−2

=

11

2−

3

2

0 15

11

0 06

11

−1

25

11

−27

11

Y PARA FINALIZAR HAREMOS QUE EL VALORE DE LA 3ra FILA Y COLUMNA SEA LA UNIDAD Y PARA

ELLO SE MULTIPLICARA EL INVERSO MULTIPLICATICO DE 6

11, ES DECIR:

.

.11

6

11

2−

3

2

0 15

11

0 06

11

−1

25

11

−27

11

=

11

2−

3

2

0 15

11

0 0 1

−1

25

11

−27

6

AHORA POR UN LADO TENEMOS CEROS Y POR EL OTRO NUMEROS. LO SIGUIENTE ES HACER ECUACIONES MEDIANTE ESOS NUMEROS Y SE VA OBTENIENDO LO SIGUIENTE:

0𝑥 + 0𝑦 + 1𝑧 = −27

6

𝑧 = −27

6

DE LA 2da FILA, SE OBTIENE LA SIGUIENTE ECUACION:

0𝑥 + 1𝑦 +5

11𝑧 =

5

11

𝑦 +5

11𝑧 =

5

11

Y PARA LA 1ra FILA:

1𝑥 +1

2𝑦 −

3

2𝑧 = −

1

2

𝑥 +1

2𝑦 −

3

2𝑧 = −

1

2

Y COMENZAMOS A RESOLVER:

1) 𝑧 = −27

6

2) 𝑦 +5

11𝑧 =

5

11

3) 𝑥 +1

2𝑦 −

3

2𝑧 = −

1

2

1) 𝑧 = −27

6

2) 𝑦 +5

11𝑧 =

5

11

𝑦 +5

11−

27

6=

5

11

𝑦 −135

66=

5

11

𝑦 =135

66+

5

11

𝑦 =135

66+

30

66

𝑦 =135+30

66

𝑦 =165

66=

5

2

3) 𝑥 +1

2𝑦 −

3

2𝑧 = −

1

2

𝑥 +1

2

5

2−

3

2−

27

6= −

1

2

𝑥 +5

4+

81

12= −

1

2

𝑥 = −5

4−

81

12−

1

2

𝑥 = −15

12−

81

12−

6

12

𝑥 =−15−81−6

12

𝑥 =−102

12= −

17

2

Y POR LO TANTO:

𝑥 = −17

2𝑦 =

5

2𝑧 = −

27

6

DONDE ESTOS VALORES LOS PODEMOS COMPROBAR MEDIANTE LAS ECUACIONES DEL EJERCICIO:

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1

2 −17

2+

5

2− 3 −

27

6= −1

−34

2+

5

2+

27

2= −1

−2

2= −1

−1 = −1

𝑥 + 6𝑦 + 𝑧 = 2

−17

2+ 6

5

2+ −

27

6= 2

−17

2+

30

2−

27

6= 2

13

2−

27

6= 2

39

6−

27

6= 2

12

6= 2

2 = 2

𝑦 + 𝑧 = −2

5

2+ −

27

6= −2

15

6−

27

6= −2

−12

6= −2

−2 = −2

ESTO QUIERE DECIR QUE LOS VALORES DE LAS VARIABLE ESTAN CORRECTOS. RECORDAR QUE NO SIEMPRE UNA ECUACION NO LOS TIENE QUE CONVENCER DE QUE LOS VALORES DE LAS

VARIABLES SON CORRECTOS PUEDE HABER ERRORES, POR ESO ES NECESARIO QUE HAGAN LA COMPROBACION PARA TODAS LAS ECUACIONES QUE LES ESTE DANDO EL EJERCICIO.

BIBLIOGRAFIAS

Larson, Edwards, “INTRODUCCION AL ÁLGEBRA LINEAL”, 2006, Editorial LIMUSA, México, 752 Págs.