TIKIMYB IŲ TEORIJA 3

TIKIMYBIŲ TEORIJA 3

VIENMAČIAI ATSITIKTINIAI DYDŽIAI

Atsitiktiniu dydžiu vadinamas dydis, kuris bandymo metu gali gauti tik vieną iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę iš galimų reikšmių aibės.Pvz.: 1) Kavinėje apsilankiusių klientų skaičius per valandą. 2) Matuojamų detalių matmenys.Atsitiktinis dydis žymimas graikiškomis raidėmis, o jo įgyjamos reikšmės mažosiomis lotyniškomis raidėmis:

... dzeta, -

eta, -

ksi, -

,...,, zyx

Tikimybinėje erdvėje (,F,P) atsitiktinis dydis tai elementarių įvykių funkcija ξ=ξ(ω) .(ω- elementarus įvykis)

A

A

Atsitiktinis dydis vadinamas diskrečiuoju, jei visos jo galimos reikšmės yra baigtinė arba skaiti aibė.

A

Nagrinėkime diskretų atsitiktinį dydį ξ, kuris įgyja reikšmes x1,x2,...,xn . Atlikus bandymą atsitiktinis dydis gali įgyti tik vieną reikšmę, vadinasi įvykiai ξ=x1, ξ=x2,..., ξ=xn sudaro pilnąją įvykių grupę, t.y. jei pažymėsime

nn pxPpxPpxP ,...,, 2211

Tada

11

n

iip

Atsitiktinio dydžio pasiskirstymu vadinama bet kokia priklausomybė, kuri nurodo ryšį tarp atsitiktinio dydžio reikšmių ir jų tikimybių.Jis gali būti nusakomas lentele, grafiku arba analizine išraiška:1) Lentelė- pasiskirstymo lentelė (skirstinys)

A

xi x1 x2 ... xn

pi p1 p2 ... pn

2) Grafiku, pvz. pasiskirstymo daugiakampiu:

xi

pi

x1 x2 xn

p1

p2

Atsitiktinio dydžio ξ pasiskirstymo funkcija vadinama funkcija, kuri yra apibrėžta visom realiom x reikšmėms ir lygi tikimybei, kad ξ įgis reikšmes mažesnes už x, t.y.

)()( xPxF SAVYBĖS:

. 1)(lim 5.

; 0)(lim 4.

; )()( 3.

; )()()P(a .2

; 1)(0 .1

2121

xF

xF

xFxFxx

aFbFb

xF

x

x

A

Pavyzdys:Šaulio pataikymo tikimybė 0,3. Pataikęs šaulys gauna (+5) taškus, o nepataikęs (-2). Parašykite diskretaus ats.d. ξ- “gautų taškų skaičius” pasiskirstymo dėsnį ir pasiskirstymo funkciją atlikus 4 šūvius. Sprendimas:Pažymėkime pataikymo tikimybe p=0,3, o nepataikymo q=1-0,3=0,7. Turime Bernulio eksperimentą, vadinasi:

24.07.03.0)0( 400440 CPp (Nė karto nepataikė)

Analogiškai apskaičiuojamos ir kitos tikimybės ir surašomos į lentelę:

ξ -8 -1 6 13 20

pi 0,24 0,41 0,26 0,08 0,01 1

20 kai , 1

2013 kai , 99.0

136 kai , 91.0

61 kai , 65.0

18 kai , 24.0

8 kai , 0

)(

x

x

x

x

x

x

xF

ξ -8 -1 6 13 20

pi 0,24 0,41 0,26 0,08 0,01 1

Skaitinės charakteristikos:1) Vidurkis

iii pxM

.)( ominepriklaus yra ir ats.d. Jei )4

;)( )3

;)( )2

; , )1

MMM

MMM

CMCM

constCCMC

2) Dispersija

nuokrypis isstandartin-

)( 22

D

pMxMMDi

ii

SAVYBĖS:

Savybės:

.)( ominepriklaus yra ir ats.d. Jei 5)

;)( )4

;)( )3

;0 )2

;0 )1

22

2

DDD

MMD

DCCD

DC

D

3) Moda- ats.d. reikšmė, kuri dažniausiai pasikartoja, t.y p(M0)=pmax

ξ- unimodalusis ats.d. jei moda viena ir daugiamodalusis jei modų daugiau nei dvi.4) Mediana- ats.d. vidurinė reikšmė, t.y.

2

1ir )()( F(Me)MePMeP

Atsitiktinį dydį ξ vadinamas tolydžiuoju, jei jo pasiskirstymo funkcija F(x) yra tolydi ir diferencijuojama, be to P(ξ=xi)=0.

A

Tolydaus atsitiktinio dydžio ξ tankiu (tankio funkcija) vadinama jo pasiskirstymo funkcijos išvestinė, t.y.

A

)()( xFxp

.1)( )4

;)()( )3

; )2

;0)( )1

dxxp

dxxpbaP

p(x)dxF(x)

xp

b

a

x

-

SAVYBĖS:

Skaitinės charakteristikos:1) Vidurkis

dxxxpM )(

2) Dispersija

dxxpMxMMD )()( 22

3) Moda

4) Mediana

Pavyzdys: Duota pasiskirstymo funkcija

Raskite: a, b, P(ξ>2).Sprendimas:

3 , 1

31 ,

1 , 0

)( 2

x

xbax

x

xF

1020

1)(

kitur , 0

31 , 2)(

3

3

1

1

dxaxdxdx

dxxp

xaxxp

8

1

18

12

23

1

2

a

a

xa

Kadangi F(x) tolydi, tai kai x=3 turi F(3)=1

8

1

1)3(8

1 2

b

b

3 , 1

31 , 8

1

8

11 , 0

)( 2

x

xx

x

xF

8

5

8

14

8

11)2(1

)2(21)2(1)2(

F

PPPP

DISKRETIEJI SKIRSTINIAI

Binominis skirstinys

• Sakome, kad atsitiktinis dydis X yra pasiskirstęs pagal binominį dėsnį su parametrais n ir 0<p<1, jei jis įgyja reikšmes 0, 1, 2, ..., n su tikimybe

• Pavyzdžiui, jei gamybos procesas stabilus, tai gaminių su defektais skaičius gali būti laikomas binominiu atsitiktiniu dydžiu.

pqqpCkXP knkkn 1,

Binominis skirstinys

• Panaudojus reklamą, prekių pardavimas padidėja arba nepadidėja.

• Išdygusių sėklų skaičius iš n pasėtų.• Teigiamų rezultatų, gautų gydant 25 ligonius, skaičius.

Binominis skirstinys

• Vidurkis

• Dispersija

• Binominio atsitiktinio dydžio X labiausiai tikėtina reikšmė randama iš nelygybių

npqpkCkXkPMX knkn

k

kn

n

k

00

npqDX

pnkpn 111 0

0k

Puasono skirstinys

• Jei atsitiktinis dydis gali įgyti reikšmes ir tų reikšmių tikimybės yra

sakoma, kad skirstinys yra Puasono. Žymima taip:

kek

kXPk

0,!

,2,1,0k

PX ~

Puasono skirstinys

• Puasono atsitiktinio dydžio vidurkis ir dispersija atitinkamai yra lygios

DXMX ,

Puasono skirstinys

• Ekonomikoje Puasono skirstinys naudojamas retiems įvykiams aprašyti:– banke yra daug sąskaitų, o stebimą valandą ateina tik maža

dalis visų klientų, todėl klientų skaičių galima aprašyti Puasono skirstiniu;

– požeminio elektros kabelio gedimų skaičius vieno kilometro intervale, taip pat aprašomas Puasono skirstiniu;

– brokuotų tam tikros produkcijos gaminių skaičiaus skirstinys taip pat Puasono;

Puasono skirstinys (pavyzdys)

• Vidutiniškai pirmadieniais į darbą neateina 3 darbuotojai. Kokia tikimybė, kad šį pirmadienį į darbą neateis ne mažiau kaip 2 darbuotojai?

• Taikysime Puasono skirstinį, kai ,t.y. 3MX 3

,!

3 3 ek

kXPk

8,0311012 33 eexPxPxP

Geometrinis skirstinys

• Tegu vieną kartą daromo bandymo sėkmės tikimybė . Nepriklausomus bandymus kartojame tol, kol sulaukiame pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis X yra bandymų skaičius iki pirmos sėkmės. Sakysime, kad X turi geometrinį skirstinį.

10 p

,2,1,1 1 kppkXP k

Geometrinis skirstinys

• Vidurkis ir dispersija

2

1,

1

p

pDX

pMX

Geometrinis skirstinys (pavyzdys)

• Naftos kompanijos atstovai žino, kad tiriamajame rajone 80% gręžinių naftos neturi. Kokia tikimybė rasti naftos gręžiant penktą kartą? Kiek vidutiniškai gręžimų reiks išgręžti, kol bus rasta nafta?

• Tegu X – padarytų gręžinių skaičius iki naftos radimo. Atsitiktinis dydis X turi geometrinį skirstinį su parametru Todėl ieškomoji tikimybė

o vidurkis

2,0p

08192,08,02,05 4 XP

52,0

1MX

TOLYDIEJI SKIRSTINIAI

Normalusis (Gauso) skirstinys

• Atsitiktinis dydis X pasiskirstęs pagal normalųjį skirstinį su parametrais m ir σ, jei jo tankio funkcija

o pasiskirstymo funkcija

2

2

2

2

1

mx

exp

Rx

x mx

dxexF2

2

2

2

1

Normalusis (Gauso) skirstinys

• Normalusis skirstinys žymimas

• Kai normalusis skirstinys vadinamas standartiniu normaliuoju skirstiniu.

2,mN

1,0 m

2

2

2

1x

exp

x x

dtexF 2

2

2

1

Normalusis (Gauso) skirstinys

• Normalusis dėsnis nusako skirstinį tokio atsitiktinio dydžio, kuris gaunamas sumuojant didelį skaičių kitų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tarp kurių nėra dominuojančių.

• Normalusis skirstinys gerai aprašo žmonių ūgį, svorį, vidutinę oro temperatūrą, vidutinį pelną, intelekto koeficientą.

Normalusis (Gauso) skirstinys

• Normaliojo atsitiktinio dydžio vidurkį ir dispersiją skaičiuojame pagal formules

mdxexMX

mx

2

2

2

2

1

222 2

2

2

1

dxemxDX

mx

Normalusis (Gauso) skirstinys

• Normaliojo skirstinio tankio funkcijos grafiko padėtis plokštumoje priklauso nuo vidurkio dydžio, o forma nuo dispersijos

Normalusis (Gauso) skirstinys

• Apskaičiuosime tikimybę, kad atsitiktinis dydis :

• Skaičiavimuose kartais naudojama Laplaso funkcija

baX ,

x t

dtex0

2

2

2

1)(

)()( xx

2

1)()( xx

mambbxaP )(

Normalusis (Gauso) skirstinys. Trijų σ taisyklė

• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne daugiau kaip σ lygi 0,68

• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne daugiau kaip 2 σ lygi 0,95

• Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis nukryps nuo vidurkio ne daugiau kaip 3 σ lygi 0,997

3,997.0

2,95.0

1,68.0

tkai

tkai

tkai

tmXP

Eksponentinis skirstinys

• Sakome, kad atsitiktinis dydis pasiskirstęs pagal eksponentinį dėsnį, jei :

.0,

,0,0

xe

xxp x

xxxx

xx

x eexdedxexF

10

0

.0,1

,0,0

xe

xxF x

Eksponentinis skirstinys

• Eksponentinis pasiskirstymas plačiai taikomas patikimumo teorijoje, masinio aptarnavimo teorijoje.

Eksponentinis skirstinys (pavyzdys)• Gatvių apšvietimo lempų tarnavimo laiko vidurkis lygus 500

dienų, o standartinis nuokrypis 50 dienų. Kam lygu tikimybė, kad lempa švies:

a) nuo 400 iki 600 dienų;

b) trumpiau negu 400 dienų;

954,01977,02122

2250

500400

50

500600600400

F

FFFFXP

.023,0977,0121010121102

50

5000

50

5004004000400

FFFFFF

FFXPXP

Tolygusis skirstinys

• Atsitiktinio dydžio X skirstinys vadinamas tolygiuoju intervale , jei ba,

.,,0

,1

bax

bxaabxp

.,1

,,

,,0

bx

bxaab

axax

xF

χ2 (chi kvadratu) skirstinys

• χ2 (chi kvadratu) skirstinį su n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

• čia yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai

222

21

2nn XXX

nXXX ,,, 21

1;0~ NX i

χ2 (chi kvadratu) skirstinys

• Nors χ2 skirstinio tankio funkcija gana sudėtinga, tačiau jo parametrai nusakomi paprastomis formulėmis:

nDnM 2, 22

χ2 (chi kvadratu) skirstinys

• Kvantilis parenkamas taip, kad neužbrūkšniuotos dalies plotas būtų lygus .• χ2 skirstinio reikšmės priklausomai nuo ir laisvės

laipsnių skaičiaus n pateikiamos lentelėje

1P

p(t)

x 2;1 n

2n;-1

1

χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)

• Chi kvadrato skirstinio laisvės laipsnių skaičius lygus 20, o

Kaip rasti tokius dydžius c1 ir c2, kai

• Kadangi

95,0122201 ccP

22201

220 cPcP

122202

22011

220 cPccPcP

1122201

220 cPcP

025,022

2201

220

cPcP

χ2 (chi kvadratu) skirstinys (pavyzdys)

Taigi c1 yra lygmens kvantilis2

59,9220;025,01 c

2

1 22202

220

cPcP

975,0025,012

12220

cP

.2,34220;975,02 c

Stjudento skirstinys

• Tarkime, kad nepriklausomi atsitikt. dydžiai X ir yra standartiniai normalieji dydžiai:

• Atsitiktinio dydžio t skirstinys vadinamas Stjudento skirstiniu su n laisvės laipsniu.

niX i ,,2,1

1;0~,1;0~ NXNX i

n

X

Xt

n

ii

1

2

Stjudento skirstinys

• Stjudento skirstinio reikšmių lentelė sudaryta priklausomai nuo tikimybės α ir laisvės laipsnių skaičiaus n.

• Joje pateiktos kvantilių reikšmės.n

t;

21

1P

f(t)

x n

t;

21

n

t;

2

n

t;

2

nntt

;2

1;2

Stjudento skirstinys

• Atsitiktinis dydis X turi Stjudento skirstinį su 12 laisvės laipsnių. Lygmenį atitinka kvantilis

• Kitaip sakant

975,0p

18,212;975,0 t

975,018,2 tP

Fišerio skirstinys

• Fišerio skirstinį su m ir n laisvės laipsnių turi atsitiktinis dydis

čia yra nepriklausomi, standartinį normalųjį skirstinį turintys atsitiktiniai dydžiai .

Fišerio skirstinio 1-α lygmens kvantilius galima rasti lentelėje.

nX

mX

nXXX

mYYY

Fn

m

n

m

nm 2

2

222

21

222

21

;

nm XXXYYY ,,,,,,, 2121

1;0~, NXY ij

AČIŪ UŽ DĖMESĮ