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UNIDAD: Teoremas de
Pitágoras, Euclides y Tales
Docente: Camilo Castillo
Objetivos
• Conocer los teoremas de Pitágoras,
Euclides y Tales, su relación con las
proporciones entre elementos de
triángulos y sus aplicaciones.
¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Establece la relación que existe entre
los catetos y la hipotenusa de un
triángulo rectángulo.
– Recordar que los catetos son los lados que
formar el ángulo recto y la hipotenusa el
lado opuesto a dicho ángulo.
¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Los suma de las áreas de los cuadrados
que se pueden dibujar a partir de los
catetos del triángulo rectángulo es igual
al área del cuadrado que se puede
dibujar a partir de su hipotenusa.
¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Matemáticamente:
a2 + b2 = c2
Donde a y b son la medida de los catetos y
c la medida de la hipotenusa
¿Qué es el Teorema de
Pitágoras?
• Ejemplo: Determinar la medida de la
hipotenusa (c) de un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 12u y
5u.𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐
𝟏𝟐𝟐 + 𝟓𝟐 = 𝒄𝟐
𝟏𝟒𝟒+ 𝟐𝟓 = 𝒄𝟐
𝟏𝟔𝟗 = 𝒄𝟐
𝒄 = 𝟏𝟔𝟗 = 𝟏𝟑𝒖
Números Pitagóricos
Números Pitagóricos
• Los números pitagóricos o tríos
pitagóricos, son ternas de números que
satisfacen el teorema de Pitágoras. Los
más usados son el 3-4-5 y el 5-12-13
aunque existen muchos más
• También sirven sus múltiplos como el 6-
8-10, el 10-24-26, el 1,5-2-2,5; etc
• El número mayor corresponde a la
hipotenusa y los restantes a los catetos
Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
• El Teorema de Euclides relaciona las
medidas de los lados de un triángulo
rectángulo, su altura y las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa
Teorema de Euclides
• “m”: proyección del cateto “b” sobre
la hipotenusa “c”
• “n”: proyección del cateto “a” sobre la
hipotenusa “c”
Teorema de Euclides
• Dos de las fórmulas del Teorema de
Euclides relacionan el cuadrado de cada
cateto con el producto de su
proyección y la hipotenusa
Teorema de Euclides
𝒃𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒄
𝒂𝟐 = 𝒏 ∙ 𝒄
Teorema de Euclides
• Otra de las fórmulas del Teorema de
Euclides relaciona el cuadrado de la
altura con el producto de ambas
proyecciones sobre la hipotenusa
Teorema de Euclides
𝒉𝟐 = 𝒎 ∙ 𝒏
Teorema de Euclides
• Una última fórmula nace a partir de las
tres anteriores y relaciona la altura con
los lados del triángulo
Teorema de Euclides
𝒉 =𝒂 ∙ 𝒃
𝒄
Teorema de Euclides
• Ejemplo: determinar el valor de x en el
siguiente triángulo
Teorema de Euclides
• Entonces, m=5 y n=4, por tanto la
hipotenusa c=9
𝒙𝟐 = 𝒏 ∙ 𝒄
𝒙𝟐 = 𝟗 ∙ 𝟒
𝒙𝟐 = 𝟑𝟔
𝒙 = 𝟑𝟔
𝒙 = 𝟔
Teorema de Tales
Teorema de Tales
• Relaciona las medidas entre segmentos
de rectas paralelas que son
intersectadas por un par de rectas
secantes
• Eventualmente, las rectas decante
pueden terminar formando un triángulo
Teorema de Tales
• L1//L2//L3 son intersectadas por dos
rectas secantes
L1
L2
L3
Teorema de Tales
• En este caso, se pueden describir una serie de proporcionalidades entre los distintos segmentos de rectas:
𝑨𝑩
𝑩𝑪 =
𝑨´𝑩´
𝑩′𝑪′
𝑨𝑩
𝑩𝑩′ =
𝑨𝑪
𝑪𝑪′
𝑨𝑩
𝑨𝑪 =
𝑨′𝑩′
𝑨′𝑪′
𝑨′𝑩′
𝑩′𝑩 =
𝑨′𝑪′
𝑪′𝑪
𝑩𝑪
𝑨𝑪 =
𝑩′𝑪′
𝑨′𝑪′
Teorema de Tales
• Algunas de las fórmulas mostradas, no son más que las proporciones de los segmentos homólogos
• El teorema de Tales se basa en el concepto de semejanza, por lo que es mejor deducir las fórmulas relacionando los lados de las figuras semejantes que pueden observarse
Teorema de Tales
• El teorema de Tales también puede
aplicarse en triángulos
Teorema de Tales
• O también puede aplicarse en rectas
que se cruzan de la siguiente manera
Teorema de Tales
• En este caso, las proporciones que
pueden describirse son:
𝑨𝑩
𝑩𝑬 =
𝑪𝑫
𝑫𝑬
𝑨𝑬
𝑬𝑪 =
𝑩𝑬
𝑬𝑫
𝑨𝑬
𝑨𝑪 =
𝑩𝑬
𝑩𝑫
Teorema de Tales
• Ejemplo: Determinar x
𝑨𝑬
𝑬𝑪 =
𝑩𝑬
𝑬𝑫
𝟖
𝟒=
𝟐
𝒙
𝒙 =𝟒 ∙ 𝟐
𝟖
𝒙 = 𝟏
Teorema de Tales
• Ejemplo: Determinar x
𝑨𝑩
𝑩𝑩′=
𝑨𝑪
𝑪𝑪′
𝟐
𝟒=
𝟖
𝒙
𝒙 =𝟖 ∙ 𝟒
𝟐
𝒙 = 𝟏𝟔
Ahora debes ejercitar…
¡Éxito!
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