Università degli studi di Genova Facoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali

Università degli studi di GenovaFacoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali

METODI DI INTERPOLAZIONE ED ESTRAPOLAZIONE PER IMAGING A RAGGI X NELL’AMBITO DELLA MISSIONE

NASA RHESSI

Candidato: Silvia Allavena Relatori: Prof. Michele Piana Prof. Anna Maria Massone

Flares solari I flares o brillamenti sono

delle forti ed improvvise esplosioni che avvengono sulla superficie del Sole e coinvolgono enormi quantità di energie: ( erg).

Alla base dei flares c’è un’accelerazione di particelle, la cui causa è al momento sconosciuta.

3230 1010

RHESSI(Reuven Ramaty High Energy Solar Spectroscopic Imager)

Obiettivo scientifico della missione: studio dell’accelerazione di elettroni nei flares solari attraverso le radiazioni di raggi X e raggi gamma emesse durante lo sviluppo dei brillamenti.

RHESSI fornisce spettri nella banda dei raggi X e dei raggi gamma ad alta risoluzione di energia .

Struttura di RHESSI

9 coppie di Collimatori rotanti, ognuno è fornito di un set di griglie:

le griglie sono formate da barre di metallo , gli slats, separate da aperture, gli slits;

la somma delle larghezze di uno slat ed uno slit è diversa in ogni set di griglie.

9 rivelatori al germanio

Modulazione del flusso luminoso

Rotazione completa del satellite intorno al proprio asse: durata 4 s.

Mentre lo spacecraft ruota vengono ricevute le informazioni necessarie per l’imaging come rapide variazioni del flusso luminoso recepito.

VisibilitiesEffetto combinato di: 9 diversi set di griglie 9 collimatori Rotazione del satellite intorno al proprio asse.

Le misure fornite da RHESSI, attraverso uncomplicato processo di “data stacking”, sononumeri complessi corrispondenti alla trasformata diFourier spaziale del flusso di radiazione, dettevisibilities.

Le misure fornite da RHESSI, attraverso uncomplicato processo di “data stacking”, sononumeri complessi corrispondenti alla trasformata diFourier spaziale del flusso di radiazione, dettevisibilities.

Scopo della mia tesi

Lo scopo della mia tesi è quello di formulare edimplementare metodi per la ricostruzione diimmagini relative a flares solari a partire dadati nello spazio delle frequenze, le visibilities.

Gli strumenti computazionali utilizzati sono: interpolazione; trasformata di Fourier inversa; estrapolazione.

Campionamento dei dati

Ad ogni punto corrisponde una visibility.Ad ogni collimatore corrisponde un campionamento su una circonferenza.Pochi dati e sparsi dello spazio delle frequenze.

INTERPOLAZIONE

Tecniche di interpolazione

Interpolazione polinomiale lineare.

Interpolazione polinomiale con polinomi di quinto grado, conosciuti come polinomi di Akima.

Interpolazione con funzioni spline: Thin Plate Spline, generalizzazione in due variabili delle spline cubiche.

Interpolazione e IFT

Metodo rapido di imaging:

• Interpolazione cartesiana sul piano delle frequenze delle visibilities .

• Trasformata di Fourier inversa applicata ai dati interpolati, calcolata utilizzando un algoritmo basato sulla FFT.

Interpolazioni

Dati Interpolazione spline

Polinomiale lineare Polinomi di quinto grado

Interpolazioni

Ricostruzione della mappa utilizzando la FFT

Mappa originale Mappa ricostruita

Effetti indesiderati

Il metodo di imaging interpolazione + IFT ha mostratodue svantaggi:

1. Effetti di ringing: le ricostruzioni presentano oscillazioni indesiderate.

2. Banda limitata: abbiamo dati relativi alla trasformata di Fourier del flusso luminoso soltanto all’interno di un disco.

Inversione della trasformata di Fourier da dati limitati

Determinare la funzione a supporto limitato D data l’equazione

che applicando il teorema di convoluzione diventa

trasformata di Fourier inversa della funzione caratteristica sul disco B; operatore integrale di Hilbert-Schmidt compatto

mal posto

)(ˆ)()(ˆ fg B

))(()()())(()( xAfdyyfyxHxfHxgD

BB

)(xf

BH

)()(: 222 RLDLA

gAf

Metodo di Landweber

Utilizziamo questo metodo poiché: è un metodo regolarizzante che permette di risolvere problemi mal posti; esiste una sua variante che permette di risolvere il problema di estrapolazione fuori banda.

E’ un metodo iterativo il cui passo è il seguente

dove : - è l’operatore aggiunto di A - è detto parametro di rilassamento

A

)(1 nnn fAAgAff

Metodo di Landweber proiettato

Permette di esprimere informazioni a priori sullasoluzione cercata tramite dei vincoli che si traducono inuna proiezione della soluzione su un sottospazio chiusoe convesso C:

Il passo iterativo in questo caso èCC ffP

)(1Cn

Cn

CCn fAAgAfPf

Proiezioni utilizzate Proiezione sui positivi: la soluzione che stiamo cercando

rappresenta un flusso luminoso, perciò sappiamo che deve essere positiva.

Tale proiezione si applica nel modo seguente:

Proiezione sul sottospazio delle funzioni a supporto limitato: tale metodo, conosciuto come metodo di Gerchberg-Papoulis, ha la proprietà di estrapolazione fuori banda. Essa si esprime come proiezione su uno spazio limitato D:

Entrambe le proiezioni.

DxseDxsexf

xfPD 0)(

)()(

0)(00)()(

)()(xfsexfsexf

xfP

Dati simulati

Mappa originale Landweber senza vincoli

Dati simulati

Mappa originale Landweber con vincolo di positività

Costruzione del supporto a partire dalla mappa originale

Dati simulati

Mappa originale Landweber con vincolo sul supporto

Dati simulati

Mappa originale Landweber con entrambi i vincoli

Taglio lungo la congiungente dei centri dei foots della mappa simulata

Taglio Landweber Taglio Landweber con positività

Taglio Landweber con supporto Taglio Landweber con pos. e supp.

Taglio della trasformata di Fourier originale sovrapposto alla trasformate delle ricostruzioni

Landweber

Landweber con supporto

Caso reale: flare 23 Agosto 2005

Dati Interpolazione

Caso reale: flare 23 Agosto 2005

Trasformata di Fourier inversa

Landweber con positività

CONCLUSIONI

Interpolazione/estrapolazione: metodo rapido ed affidabile.

Il vincolo di positività permette l’eliminazione degli effetti di ringing.

I vincoli di positività e di supporto permettono un (moderato) effetto di estrapolazione fuori-banda.

PROBLEMI APERTI

Validazione sistematica su dati sintetici e misure reali fornite da RHESSI.

Confronto con altri metodi di ricostruzione di immagini (MEM, CLEAN...).

Utilizzo di altre tecniche di interpolazione.Applicazione di tecniche che utilizzino

conoscenze a priori sulle proprietà statistiche del rumore sul dato.

GRAZIE PER L’ATTENZIONE

In ogni secolo gli esseri umani hanno pensato di aver capito definitivamente l'Universo e, in ogni secolo, si è capito che avevano sbagliato. Da ciò segue che l'unica cosa certa che possiamo dire oggi sulle nostre attuali conoscenze è che sono sbagliate. Isaac Asimov(da Grande come l'universo, Saggi sulla scienza)