View
223
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
DIPLOMSKO DELO
NINA VERDEL
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Studijski program: Matematika in fizika
Padanje kovinske kroglice v tekocini v merilnem
valju
DIPLOMSKO DELO
Mentor: doc. dr. Jurij Bajc Kandidatka: Nina Verdel
Ljubljana, september, 2013
UNIVERZA V LJUBLJANI
PEDAGOSKA FAKULTETA
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZJAVA O AVTORSTVU DIPLOMSKEGA DELA
Podpisana Nina Verdel, rojena 19.4.1989, studentka Pedagoske fakultete Univerze v
Ljbljani, smer matemtika in fizika, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom
Padanje kovinske kroglice v tekocini v merilnem valju
pri mentorju doc. dr. Juriju Bajcu avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni
viri in literatura korektno navedeni; teksti niso prepisani brez navedbe avtorjev.
Nina Verdel
Ljubljana, september, 2013
i
ZAHVALA
Zahvaljujem se doc. dr. Juriju Bajcu, ki je s strokovno pomocjo, nasveti in trudom
prispeval k nastanku diplomskega dela.
Zahvaljujem se tudi g. Gregorju Tarmanu za pomoc pri izvedbi eksperimentalnega
dela diplomskega dela.
Posebna zahvala gre mojim starsem za moralno pomoc in podporo med studijem.
ii
POVZETEK
V diplomskem delu raziscemo odvisnost vpliva sten merilnega valja na koncno hi-
trost padanja kroglice v viskozni tekocini. Kadar v soli delamo poskuse s padanjem
kroglice v viskozni tekocini, vedno privzamemo, da je tekocina neomejena. V di-
plomskem delu preverimo, v kaksnem razmerju smeta biti premer kroglice in premer
valja, da lahko se zanemarimo vpliv sten valja. Preverimo tudi ali je vpliv sten enak
pri tekocinah z razlicno viskoznostjo, ali je pri tekocinah z vecjo viskoznostjo vpliv
sten manjsi oziroma vecji. Eksperimentalni del opravimo z jeklenimi kroglicami z
razlicnim premerom, 4 razlicnimi merilnimi valji ter hitro video kamero. Enkrat
poskuse izvajamo v vodi in enkrat v tehnoloskem glicerinu. Podatke obdelamo v
prosto dostopnem racunalniskem programu Tracker. Podatke graficno predstavimo
in jih racunsko obdelamo s programoma Excel in Graph.
Kljucne besede: viskoznost, koncna hitrost, omejena tekocina, hitra kamera
iii
ABSTRACT
In the diploma thesis we study the dependance of the terminal velocity of a metal
spherical ball that is falling in a liquid in a graduated cylinder on the diameter of the
ball. When we are doing experiments in school we assume that the liquid is uncon-
strained. In the thesis we experimentally study under what conditions (in particular
for what ratios between the diameter of the ball and the inner diameter of the cylin-
der) the liquid may be considered as unconstrained. We also test, if for the liquids
with different viscosity the wall effect is more or less important. Experimental part
of this thesis is done with steel balls of different diameters, 4 different graduated
cylinders and a high-speed video camera. The experiment is done with two liquids,
the first is water and the second is glycerine. The data is processed in an open source
software called Tracker and for the visualisation programs Excel and Graph are used.
Keywords: viscosity, terminal velocity, confined liquid, high-speed camera
iv
Kazalo
1 Uvod 1
2 Teoreticni del 3
2.1 Tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Viskoznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Sila upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Padanje kroglice v neomejeni tekocini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Padanje kroglice v valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Eksperimentalni del 14
4 Rezultati 20
4.1 Hitrost padanja kroglice v valjih z vodo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Hitrost padanja kroglice v valju z glicerinom . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Zakljucek 36
v
Slike
2.1 Tokovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Laminarni in turbulentni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Tekocine z razlicno viskoznostjo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Koeficient upora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Karakteristike toka za razlicna Reynoldsova stevila . . . . . . . . . . 10
2.6 Profil hitrosti toka v cevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Sile na kroglico v neomejeni tekocini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Uporabljene kroglice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Postavitev poskusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Program Tracker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Padanje kroglice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Kroglica s premerom 2r = 3,48 mm v 100 ml valju . . . . . . . . . . . 21
4.2 Graf v(λ) za 100 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Graf v(λ) za 50 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4 Graf v(λ) za 25 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Graf v(λ) za 10 ml valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Hitrosti vseh kroglic v razlicnih valjih . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.7 Hitrosti kroglice v 10 ml valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.8 Hitrosti kroglice v 25 ml valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.9 Hitrosti kroglice v 50 ml valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.10 Hitrosti kroglice v 100 ml valju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.11 Hitrosti kroglice v 100 ml valju z efektivnim cu . . . . . . . . . . . . . 30
4.12 Padanje kroglice v glicerinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.13 Graf v(λ) v 50 ml valju z glicerinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
vi
4.14 Hitrosti kroglice v 50 ml valju z glicerinom . . . . . . . . . . . . . . . 35
vii
Tabele
3.1 Podatki o kroglicah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Pomembne dimenzije uporabljenih merilnih valjev . . . . . . . . . . . 16
3.3 Razmerje dD
= λ za razlicne kombinacije kroglic in valjev. . . . . . . . 17
3.4 Gostota in viskoznost vode pri izmerjenih temperaturah. . . . . . . . 18
4.1 Skrajne meje Reynoldsovega stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 10 ml valju. . . . . . . . . . 25
4.3 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 25 ml valju. . . . . . . . . . 26
4.4 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 50 ml valju. . . . . . . . . . 27
4.5 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 100 ml valju. . . . . . . . . 29
4.6 Maksimumi parabol za izracunane in izmerjene hitrosti kroglic. . . . . 30
4.7 Efektivni koeficienti upora cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8 Hitrost padanja kroglice v glicerinu in Reynoldsova stevila. . . . . . . 34
4.9 Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 50 ml valju z glicerinom. . . 35
viii
1
Uvod
Ko v soli delamo poskuse s padanjem kroglice (ali kaksnega drugega predmeta) v
tekocini, vedno privzamemo, da je tekocina neomejena, kar seveda ni res. Zato smo
se v diplomskem delu odlocili eksperimentalno preveriti, kaksnen je vpliv blizine
stene na koncno hitrost kroglice v vodi in glicerinu.
V diplomskem delu zelimo raziskati, kako stene valja vplivajo na koncno hitrost
padanja kroglice v tekocini in kako viskoznost tekocine vpliva na koncno hitrost pa-
danja kroglice. Za izvedbo diplomskega dela smo uporabili jeklene kroglice razlicnih
premerov (od 3 mm do 21 mm), razlicne merilne valje (10 ml, 25 ml, 50 ml in 100
ml) ter vodo in glicerin. Poskuse smo posneli s hitro video kamero. Kamero smo
nastavili tako, da je naredila 300 posnetkov na sekundo. Iz zaporednih posntekov
lahko zelo natancno sledimo hitremu gibanju kroglic, kar bi bilo z obicajnimi meto-
dami dela pri pouku tezko izvedljivo. Posnetke smo analizirali v prosto dostopnem
racunalniskem programu Tracker. Z vecanjem polmera kroglic se njihova koncna hi-
trost med padanjem v neomejeni tekocini povecuje. Kadar kroglice padajo v valju,
postane pomembno pretakanje tekocine, ki se mora umakniti padajoci kroglici. Ta
tekocina se mora preliti skozi prostor med kroglico in steno z mesta pod kroglico na
mesto nad kroglico. Ko polmer kroglice postaja primerljiv s polmerom valja, postaja
vse bolj pomembna viskoznost tekocine, ki zavira obtekanje padajoce kroglice. Zato
pricakujemo, da se bo koncna hitrost pri velikih polmerih kroglice v primerjavi s pol-
merom valja z narascanjem polmera kroglice manjsala. Iz obeh premislekov sledi,
da mora pri nekem vmesnem polmeru koncna hitrost doseci najvecjo vrednost.
V diplomski nalogi eksperimentalno raziscemo, pri koliksnem razmerju med polme-
1
1. UVOD 2
rom kroglice in polmerom valja je dosezena najvecja koncna hitrost kroglice. Zani-
mivo je vedeti, ali je to razmerje odvisno od absolutne velikosti valja oziroma ali je
to razmerje odvisno od viskoznosti tekocine, skozi katero pada kroglica. Tudi tega
vprasanja se dotaknemo v diplomski nalogi.
Diplomsko delo je sestavljeno iz pricujocega uvoda, ki mu sledi kratek po literaturi
povzet teoreticni okvir, znotraj katerega smo racunsko obdelali opravljene meritve,
opis meritev v tretjem poglavju in predstavitev rezultatov v cetrtem poglavju. Delo
koncamo z zakljuckom in seznamom uporabljene literature.
2
Teoreticni del
V tem poglavju zberemo in zapisemo poglavitne zakone, ki veljajo za gibanje tekocin
in padanje kroglice v realni tekocini. Vecina zapisanega v poglavju je povzetega iz
knjige Fizika, 1. del [1] in knjige Contemporary college physics [7].
2.1 Tok
Tok tekocine opisemo tako, da za vsak del tekocine povemo tri komponente hitrosti
v izbranem inercialnem koordinatnem sistemu. V splosnem so koordinate odvisne
tudi od casa:
vx = vx(x, y, z, t) vy = vy(x, y, z, t) vz = vz(x, y, z, t)
Tak tok je nestacionaren. Tok pa je stacionaren, ce je hitrost v vsaki tocki neodvisna
od casa:
vx = vx(x, y, z) vy = vy(x, y, z) vz = vz(x, y, z)
Posebno nas zanimata dve vrsti tokov: laminarni in turbulenti tok [1].
Tokovnica
Tokovnica je crta, ki v vseh tockah prostora spaja smeri hitrosti tekocine in s tem
opisuje smer gibanja tekocine. Tangenta na tokovnico kaze smer hitrosti tekocine v
dolocenem trenutku (slika 2.1) [3].
3
2. TEORETICNI DEL 4
Slika 2.1: Tokovnice: tangente na tokovnice kazejo smeri hitrosti v dolocenem tre-
nutku [2].
Laminarni tok
Laminarni tok je gibanje tekocine v medsebojno vzporednih slojih, zato pri taksnem
toku ni mesanja delcev tekocine med posameznimi sloji. Tokovnice spominjajo na
pocesane lase, (slika 2.2). Laminarni tok je lahko tako stacionaren kot nestacionaren.
Pojavlja se pri majhnih hitrostih gibanja [1].
Turbulentni tok
Pri turbulentnem toku opazimo vrtince, ki se selijo po toku. Tokovnice spreminjajo
svoj polozaj in spominjajo na razkustrane lase v vetru (slika 2.2). Turbulentni tok
je vedno nestacionaren [1].
Slika 2.2: Laminarni in turbulentni tok [4].
2. TEORETICNI DEL 5
2.2 Viskoznost
Viskoznost je lastnost tekocine, ki si jo lahko prestavljamo kot notranje trenje v
tekocini. V vsakdanjem zivljenju velikokrat zamenjujemo pojma gostota in visko-
znost. Veckrat slisimo, da je olje gostejse od vode, kar ni res, lastnost na katero
mislimo, ko izrecemo ta stavek, se imenuje viskoznost. Gotota olja je manjsa od
gostote vode, saj olje plava na vodi. Na sliki 2.3 vidimo tekocine z razlicno visko-
znostjo.
Slika 2.3: Fotografija iztekanja tekocin z razlicno viskoznostjo. Viskoznost tekocin
se veca od leve proti desni [6].
V fiziki tekocine pogosto obravnavamo kot idelane. Kot idealno tekocino lahko
obravnavamo taksno tekocino, pri kateri velja, da se molekule gibljejo prosto, ne-
odvisno ena od druge in na molekule ne vplivajo sile kohezije. Idealna tekocina je
popolnoma nestisljiva in temperaturne spremembe nanjo nimajo nikakrsnega vpliva.
Prav tako v idealni tekocini ni striznih sil. Plasti tekocine polzijo druga ob drugi
brez trenja [5].
Tekocina, ki jo opazujemo v naravi, seveda ne ustreza pojmu idelane tekocine, ampak
jo imenujemo realna tekocina. V realni tekocini zaradi viskoznosti hitrejse plasti
vlecejo pocasnejse in zadrzujejo se hitrejse [5].
2. TEORETICNI DEL 6
Predstavljajmo si kapljo medu med dvema steklenima ploscama, pri cemer naj bo
razmik med ploscama majhen glede na druge razseznosti kaplje. Ce zelimo plosci po-
mikati eno vzdolz druge, se pokaze, da je za enakomerno premikanje plosc potrebna
sila. Sila linearno narasca z narascajoco hitrostjo. Pri nespremenjenem razmiku
med ploscama in nespremenjeni hitrosti je sila sorazmerna s ploscino sticne ploskve
med tekocino in premikajoco se plosco. Pri nespremenjeni sili in nespremenjenem
preseku se hitrost podvoji, ce se podvoji razmik med ploscama. Plast kapljevine,
ki je v stiku s trdno steno, glede na steno miruje. Ko imamo dve vzporedni plosci,
med katerima je kapljevina, se plast kapljevine, ki je v stiku s premikajoco se plosco,
giblje s hitrostjo plosce, plast kapljevine, ki je v stiku z mirujoco plosco, tik ob
plosci miruje, kot bi se na njo lepila. Hitrost plasti v kapljevini, merjena glede na
mirujoco plosco, je sorazmerna z oddaljenostjo plasti od mirujoce plosce, hitrost
linearno narasca v smeri od mirujoce plosce proti premikajoci se plosci.
Te ugotovitve zdruzimo v zakon o viskoznosti
dF
dS= η
dvxdz
, (2.1)
kjer je z razmik med ploscama, F sila, s katero vlecemo plosco, S povrsina, s katero se
kaplja dotika plosce, dF/dS ja strizna napetost, dvx/dz strizna hitrost in η koeficient
viskoznosti z enoto 1 Ns/m2 = 1 kg/ms. Zakon o viskoznosti pravi, da je strizna
sila sorazmerna s strizno hitrostjo. Taksna zveza velja v vsakem laminarnem toku,
le da ploskvi nista vedno ravnini [1].
2.3 Sila upora
Na telo, ki se giblje v tekocini, deluje sila upora, ki ima nasprotno smer od smeri
gibanja. O uporu govorimo tudi pri pretakanju tekocin skozi cevi, ko na stene deluje
sila tekocine oz. je potrebna sila, da tekocina tece po cevi. Locimo linearni in
kvadratni zakon upora. Za katere primere je uporaben linearni zakon in za katere
primere kvadratni zakon nam pove Reynoldsovo stevilo. Pri proucevanju upora teles
se ne oziramo na vzgon, ki je enak v gibajoci se tekocini in v mirujoci tekocini [1].
2. TEORETICNI DEL 7
Linearni in kvadratni zakon upora pri gibanju telesa po tekocini
• Linearni zakon
Po zakonu o viskoznosti lahko sklepamo, da deluje tekocina na gibajoce se telo s
silo, ki je sorazmerna viskoznosti tekocine. Ce se telo giblje dovolj pocasi, je upor
sorazmeren s hitrostjo telesa. Za kroglico z radijem r je sila upora
F = 6πηrv , (2.2)
kjer je η koeficient viskoznosti, r polmer kroglice in v hitrost kroglice. To je Stokesov
zakon. Za upor drugih teles velja enacba
F = kηlv , (2.3)
kjer je k koeficient, odvisen od oblike telesa in je l izbrana znacilna linearna razseznost
v celnem preseku telesa. To je linearni zakon, v njem nastopa hitrost v prvi po-
tenci [1].
• Kvadratni zakon
Stokesov zakon velja v primerih, v katerih je tok tekocine laminaren, a ne velja, kadar
je tok turbulenten. V tem primeru sila ni odvisna od hitrosti, kot pri Stokesevem
zakonu, temvec od kvadrata hitrosti.
Predstavljajmo si, da precno na tok postavimo plosco s presekom S. Pred oviro
tekocina zastaja. V zastojni tocki je hitrost enaka nic. Razlika med tlakom p′ v
nemotenem toku in tlakom p v zastojni tocki je po Bernoullijevi enacbi enaka tako
imenovanemu zastojnemu tlaku
p− p′ =1
2ρv2 . (2.4)
Z zastojnim tlakom si pomagamamo pri racunanju sile upora. Sila upora je priblizno
enaka (p−p′)S = 12ρv2S. Enacbo opremimo s koeficientom upora cu, ki ga dolocimo
z merjenjem. Tako dobimo enacbo za kvadratni zakon upora
F =1
2cuρv
2S , (2.5)
2. TEORETICNI DEL 8
kjer je v hitrost tekocine v nemotenem toku, merjena glede na telo. Za S vstavimo
celni presek, cu je koeficient upora in je odvisen od oblike telesa in od njegove lege
proti smeri relativne hitrosti. Za kroglo je pri velikih Reynoldsovih stevilih cu ≈ 0,4.
V neomejeni tekocini je vseeno ali se giblje tekocina in miruje telo ali se giblje telo
in miruje tekocina [1].
• Reynoldsovo stevilo
Ne vemo se, za katere primere je uporaben linearni zakon in za katere kvadratni
zakon upora. Do odgovora pridemo, ce zapisemo linearni in kvadratni zakon kot
clena v potencni vrsti v odvisnosti od relativne hitrosti. Za kroglo je sila
F = 6πrηv + 0,41
2ρv2πr2 . (2.6)
Pri majhnih hitrostih prevlada prvi clen in pravimo, da velja linearni zakon upora,
pri velikih hitrostih prevlada drugi clen in pravimo, da velja kvadratni zakon upora.
Razmerje med prvim in drugim clenom doloca tako imenovano Reynoldsovo stevilo
Re =2rρv
η. (2.7)
Za kroglo velja linearni zakon, ce je Reynoldsovo stevilo manjse kot 0,5, in kvadratni
zakon, ce je Reynoldosovo stevilo vecje kot 103 [1].
• Koeficient upora cu
Pri Reynoldsovih stevilih Re� 1 je viskoznost pomembna v podrocju okoli krogle,
kot tudi v okolici (obarvano podrocje na sliki 2.5a). Tokovnice se ne locijo in tekocina
se ”lepi” na kroglo. V tem rezimu je koeficient upora priblizno obratno sorazmeren
Re in ga dobro opise relacija [8]
cu =24
Re. (2.8)
Pri srednjih Reynoldsovih stevilih (103 < Re < 105) je mejna plast blizu krogle.
Viskoznost je pomembna v obmocju znotraj mejne plasti (slika 2.5b). Na sliki 2.4
vidimo, da se koeficient upora zmanjsuje z narascanjem Reynoldsovega stevila in je
skoraj konsantent (cu ≈ 0,4) za Reynoldsova stevila med 103 in 2 · 105 [8].
2. TEORETICNI DEL 9
Slika 2.4: Graf koeficienta upora v odvisnosti od Reynoldsovega stevila [11].
Linearni in kvadratni zakon upora pri pretakanju tekocin po
valjastih ceveh
Linearni zakon upora velja za laminarni tok, kvadratni zakon upora velja za turbu-
lentni tok.
• Linearni zakon upora
Pri gibanju tekocine po valjasti cevi stene cevi delujejo z zaviralno silo na sosednje
plasti tekocine. Te plasti upocasnjujejo njim sosednje in tako naprej. Rezultat tega
je, da je tok tekocine najhitrejsi na sredini cevi in najpocasnejsi ob stenah. Tik ob
steni je hitrost toka tekocine glede na steno enaka nic (slika 2.6). Za tok tekocine
velja, da je razlika tlakov vzdolz cevi odvisna od radija cevi. Prav tako je razlika
tlakov v dveh tockah odvisna od viskoznosti tekocine. Razliko tlakov nam pove
Poiseuillov zakon
p2 − p1 = −8ΦvηL
πR4, (2.9)
kjer je φv je prostorninski tok, R polmer cevi, η viskoznost tekocine in L = x2 − x1
razdalja med izbranima tockama. Tekocina vedno tece z mesta, kjer je vecji tlak,
na mesto, kjer je manjsi tlak, kar v enacbi (2.9) pove predznak minus [7].
2. TEORETICNI DEL 10
Slika 2.5: Karakteristika toka tekocine ob krogli pri razlicnih Reynoldsovih stevilih:
a) Re� 1, b) 103 < Re < 2 · 105, c) Re > 2 · 105 [8].
Hitrost ima v laminarnem toku po valjasti cevi parabolicen profil. Linearni zakon
upora zapisemo v obliki
p2 − p1L
= −8ηvsR2
, (2.10)
kjer je vs povprecna hitrost in je pri laminarnem toku po valjasti cevi enaka vs = 12v0,
kjer z v0 oznacimo najvecjo hitrost v osi cevi (slika 2.6) [1].
• Kvadratni zakon upora
Profil hitrosti v turbulentnem toku je drugacen kot v laminarnem. Ob steni je zelo
tanka mejna plast, v kateri je tok laminaren. V tej plasti, tako kot pri laminarnem
toku, hitrost tekocine narasca sorazmerno z razdaljo od stene. Na sredini cevi je
strzen, v katerem se tekocina mocno vrtinci, (slika 2.6). V njem je casovno povprecje
hitrosti skoraj neodvisno od razdalje od osi. V turbulentnem toku je razmerje med
srednjo in najvecjo hitrostjo precej vecje kot v laminarnem. Kvadratni zakon upora
zapisemo v obliki
2. TEORETICNI DEL 11
Slika 2.6: Profil hitrosti pri laminarnem (rdeca crta) in turbulentnem toku (crtkana
crna crta) v cevi [9].
p2 − p1L
= −cuρv2
R. (2.11)
Vrednost novo vpeljanega koeficienta upora pri toku po valjasti cevi je velikokrat
cu ≈ 0,006. Koeficient upora izracunamo po enacbi cu = 16Re
[1, 7].
• Reynoldsovo stevilo
Zopet vpeljemo Reynoldsovo stevilo, ki nam pove ali prevlada linearni ali kvadratni
zakon upora
Re =2Rρvsη
, (2.12)
kjer je R notranji premer cevi, vs hitrost tekocine na sredini cevi, ρ gostota tekocine
in η viskoznost tekocine. Samo Reynoldsovo stevilo se ne odloca o tem, ali je tok
laminaren ali turbulenten. Upostevati moramo tudi, kako gladka oziroma hrapava
je stena v cevi, ter zvrtincenost tekocine v opazovanem odseku v cevi. V literaturi
so podatki o mejni vrednosti Reynoldsovega stevila precej razlicni. Strnad pravi:
”V gladkih ceveh je tok laminaren pri Reynoldsovih stevilih, ki so manjsa kot 2300.
Posreci se dobiti laminarni tok se pri mnogo vecjih Reynoldsovih stevilih. Poskrbeti
je treba, da je tok tekocine pred vstopom v opazovani del cevi popolnoma lamina-
ren” [1, str. 134].
2. TEORETICNI DEL 12
2.4 Padanje kroglice v neomejeni tekocini
Diplomska naloga temelji na eksperimentalnem delu. Glavni del diplomskega dela je
eksperimentalno preveriti teoreticne napovedi, pri katerem λ kroglica doseze najvecjo
koncno hitrost. Ker je poglavitni del eksperimentalni del, se v diplomskem delu ne
ukvarjamo podrobno s tem, kako izpeljati enacbe, zapisane v tem poglavju, ampak
jih le povzamemo iz literature.
Ko kroglica pada v neomejeni tekocini (tekocina ni omejena s stenami, slika 2.7), na
kroglico delujejo sila teze Fg, sila vzgona Fvzg in sila upora Fu
Fg = Fvzg + Fu . (2.13)
Slika 2.7: Sile, ki delujejo na kroglico, ki pada v neomejeni tekocini. Oznake Fd, Fb
in Fg po vrsti oznacujejo silo upora, silo vzgona in silo teze [10].
Linearni zakon upora
Sile, ki delujejo na kroglico v rezimu linearnega zakona upora, so po vrsti sila teze
Fg = mg = 43πr3ρg, sila vzgona Fvzg = 4
3πr3ρ′g in sila upora Fu = 6πηrv.
Iz teh enacb izrazimo koncno hitrost kroglice v neomejeni tekocini
v∞ =2r2g
9η(ρ− ρ′) , (2.14)
2. TEORETICNI DEL 13
kjer je r polmer kroglice, η viskoznost tekocine, ρ gostota kroglice in ρ′ gostota
tekocine.
Kvadratni zakon upora
Pri velikih Reynoldsovih stevilih (Re > 103), velja kvadratni zakon upora [1, 7]. Sila
teze je Fg = mg, sila vzgona Fvzg = m′g in sila upora Fu = 12cuρv
2S. Za koncno
hitrost kroglice v neomjeni tekocini dobimo
v∞ =
(8(ρ− ρ′)gr
3ρcu
) 12
. (2.15)
2.5 Padanje kroglice v valju
Pri padanju kroglice v valju na koncno hitrost kroglice vplivajo tudi stene valja.
Stene valja delujejo z zaviralno silo na kroglico, ki pada v viskozni tekocini. Vpliv
sten pogosto opisemo z brezdimenzijskim parametrom fw (s tujko ”wall factor”),
ki je v najenostavnejsi interpretaciji definiran kot razmerje med dejansko koncno
hitrostjo kroglice v in koncno hitrostjo kroglice v neomejeni tekocini v∞, fw = vv∞
[12].
Majhna Reynoldsova stevila
Pri majhnih Reynoldsovih stevilih za padanje kroglice v viskozni tekocini velja
linearni zakon upora - Stokesov zakon. Po dostopnih objavljenih raziskavah fw
izracunamo kot
fw =v
v∞=
(1 − λ
1 − 0, 475λ
)4
, (2.16)
kjer je λ = dD
, d premer kroglice in D notranji premer valja [12].
Velika Reynoldsova stevila
Pri velikih Reynoldsovih stevilih fw izracunamo kot [12]
fw =v
v∞= 1 − λ1,5 . (2.17)
3
Eksperimentalni del
Pri eksperimentalnem delu diplomskega dela smo poskuse izvajali s stirimi razlicnimi
merilnimi valji (10 ml, 25 ml, 50 ml in 100 ml), ki imajo razlicen notranji premer,
in z jeklenimi kroglicami s premeri od 3 mm do 21 mm (slika 3.1).
Slika 3.1: Kroglice z razlicnim premerom.
Premere kroglic in valjev smo izmerili z digitalnim kljunastim merilom. Za tekocino
smo uporabljali vodo in tehnoloski glicerin. Pred, med in po poskusu smo vedno
merili temperaturo tekocine z digitalnim termometrom, saj je viskoznost odvisna
tudi od temperature. Zaradi dodatnih luci, ki smo jih uporabljali, se je tekocina
segrevala. Dodatne luci smo uporabili zaradi boljse vidnosti na posnetku (predvsem
manjsih kroglic), zadaj smo postavili belo platno. Poskuse smo posneli s hitro
kamero in jo nastavili tako, da je naredila 300 posnetkov na sekundo. Hitro kamero
smo postavili pred merilni valj ter nastavili povecavo, tako da smo spremljali le
padanje kroglice v tekocini. Uporabili smo tudi elektromagnet, ki na zacetku drzi
jekleno kroglico. Ko tok skozi elektromagnet prekinemo, zacne kroglica padati.
Postavitev poskusa vidimo na sliki 3.2. Posnetke smo obdelali s prosto dostopnim
14
3. EKSPERIMENTALNI DEL 15
Slika 3.2: Postavitev poskusa.
racunalniskim programom Tracker.
Kroglice, s katerimi smo delali poskuse, so jeklene, njihovo gostoto smo izracunali
iz formule ρ = mV
, kjer je V = 4πr3
3. Maso smo izmerili z digitalno tehtnico z
natancnostjo 0,01 gram, polmer z digitalnim kljunastim merilom. V tabeli 3.1 so
zapisani premeri, masa in gostota vseh kroglic. Iz teh podatkov smo izracunali
povprecno gostoto ρ′ = 7,9 · 103 kg/m3, kot mediano izmerjenih vrednosti.
Razlicne valje smo uporabili, ker imajo razlicen notranji premer in smo tako dobili
razlicna razmerja med premerom kroglice in premerom valja λ = dD
. Poskuse smo
delali za vrednosti 0,10 < λ < 0,95. Tabela 3.2 prikazuje pomembne dimenzije
uporabljenih valjev. V tabeli 3.3 vidimo, kaksna so bila razmerja dD
v razlicnih
valjih. Poskuse z vodo smo delali z vsemi valji, poskuse z glicerinom le s 50 ml
valjem, saj ima λ najvecji razpon v 50 ml valju.
Ker smo poskuse delali v vodi in glicerinu, moramo poznati tudi gostoto in visko-
znost obeh tekocin. V tabeli 3.4 so zapisane zacetne in koncne temperature vode v
posameznem valju, ter viskoznost in gostota vode za pripadajoco temperaturo vode,
povzeti iz literature [13]. Ker so podatki v virih podani le za dolocene tempera-
ture, na primer 20 ◦C, 25 ◦C, 30 ◦C smo glede na meritve z linearno interpolacijo
izracunali podatke za nase vrednosti. Ker vidimo, da se podatki o gostoti s tempera-
turo le malo spreminjajo, lahko privzamemo ρ = 999 kg/m3. Podatkov o viskoznosti
ne bomo potrebovali, saj kvadratni zakon upora ni odvisen od viskoznosti, smo pa
vseeno preverili, koliko se je viskoznost spremenila.
3. EKSPERIMENTALNI DEL 16
Tabela 3.1: Podatki o kroglicah. V prvem stolpcu so izmerjeni premeri, sledi izmer-
jena masa, izracunana gostota in na koncu odstopanje izmerjene gostote od ocenjene
vrednosti gostote za jeklo, ki smo jo izbrali kot mediano izmerjenih vrednosti, zao-
krozeno na eno decimalno mesto.
2r [mm] m [g] ρi[kg/m3] ρi − ρ [kg/m3]
2,98(1 ± 0,007) 0,11(1 ± 0,09) 7,9 · 103 0
4,98(1 ± 0,004) 0,50(1 ± 0,02) 7,7 · 103 −0,2 · 103
5,50(1 ± 0,004) 0,68(1 ± 0,01) 7,8 · 103 −0,1 · 103
5,98(1 ± 0,003) 0,89(1 ± 0,01) 8,0 · 103 0,1 · 103
7,48(1 ± 0,003) 1,73(1 ± 0,006) 7,9 · 103 0
7,98(1 ± 0,003) 2,10(1 ± 0,005) 7,9 · 103 0
10,48(1 ± 0,002) 4,75(1 ± 0,002) 7,9 · 103 0
10,98(1 ± 0,002) 5,43(1 ± 0,002) 7,9 · 103 0
11,98(1 ± 0,002) 7,07(1 ± 0,001) 7,9 · 103 0
12,26(1 ± 0,002) 7,57(1 ± 0,001) 7,9 · 103 0
12,68(1 ± 0,002) 8,38(1 ± 0,001) 7,9 · 103 0
15,08(1 ± 0,001) 14,03(1 ± 0,0007) 7,8 · 103 −0,1 · 103
15,86(1 ± 0,001) 16,36(1 ± 0,0006) 7,9 · 103 0
15,98(1 ± 0,001) 16,74(1 ± 0,0006) 7,9 · 103 0
19,04(1 ± 0,001) 28,27(1 ± 0,0004) 7,8 · 103 −0,1 · 103
19,98(1 ± 0,001) 32,60(1 ± 0,0003) 7,8 · 103 −0,1 · 103
20,62(1 ± 0,001) 35,87(1 ± 0,0003) 7,8 · 103 −0,1 · 103
Tabela 3.2: Pomembne dimenzije uporabljenih merilnih valjev. V prvem stolpcu je
oznaka valja, v drugem notranji premer valja in v tretjem visina valja.
valj 2R [mm] h [mm]
10 ml 11,7 120
25 ml 15,9 190
50 ml 21,8 180
100 ml 27,5 240
3. EKSPERIMENTALNI DEL 17
Tabela 3.3: Razmerje dD
= λ za razlicne kombinacije kroglic in valjev. V prvem
stolpcu je polmer kroglice, v preostalih stolpcih so vrednosti parametra λi v i-tem
valju, kjer indeks i pomeni oznako valja (10 pomeni 10 ml, in podobno). V desnem
delu tabele ni stolpca s parametrom λ10, ker so kroglice v tem delu tabele prevelike
za 10 ml valj.
2r [mm] λ10 λ25 λ50 λ100
2,98 0,25 0,19 0,14 0,11
3,50 0,30 0,22 0,16 0,13
4,75 0,41 0,30 0,22 0,17
4,98 0,43 0,31 0,23 0,18
5,50 0,47 0,35 0,25 0,20
5,97 0,51 0,38 0,28 0,22
7,47 0,64 0,47 0,34 0,27
7,98 0,68 0,50 0,37 0,29
10,47 0,90 0,66 0,48 0,38
10,97 0,94 0,69 0,50 0,40
2r [mm] λ25 λ50 λ100
11,97 0,75 0,55 0,44
12,25 0,77 0,56 0,45
12,67 0,80 0,58 0,46
15,07 / 0,69 0,55
15,85 / 0,73 0,58
15,97 / 0,73 0,58
19,04 / 0,87 0,69
19,98 / 0,92 0,73
20,61 / / 0,75
Za glicerin smo podatke o gostoti povzeli iz literature [15], ρg = 1250 kg/m3. Visko-
znost smo dolocili eksperimentalno z merjenjem hitrosti padanja kroglice v neome-
jeni tekocini. Uporabili smo najmanjso kroglico s premerom 2,98 mm in 250 ml caso
s premerom 66,7 mm, kar da relativno majhno vrednost parametra λ = 0,04. Enacba
(2.14) velja natancno le, ce je gibanje zelo pocasno in tekocina neomejena. Ker smo
pri meritvi uporabljali caso (tekocina ni neomejena), je potrebno η = 0, 685 kg/ms,
ki ga po enacbi (2.14) izracunamo iz izmerjene hitrosti v, se popraviti. Popravljeno
vrednost viskoznosti za glicerin ocenimo po viru [14] z enacbo
η =2g(ρ− ρ′)r2
9v(1 + 316Re)(1 + 2, 1 r
R)(1 + 3, 3 r
H), (3.1)
kjer je 2R notranji premer case (v nasem primeru 250 ml), H visina case, v kateri
smo merili viskoznost glicerina in Re Reynoldsovo stevilo, ki ga izracunamo po (2.7).
Ker je Re odvisno od η, ne moremo takoj racunati z enacbo (3.1), ampak izracunamo
3. EKSPERIMENTALNI DEL 18
Tabela 3.4: Gostota in viskoznost vode pri izmerjenih temperaturah.
valj Tz [◦C] ρz [kg/m3] ηz [Pa· s] Tk [◦C] ρk [kg/m3] ηk [Pa· s]
10ml 22,9 999,0 9,4 · 10−4 25,2 998,4 8, 9 · 10−4
25ml 21,2 999,5 9,7 · 10−4 24,5 998,6 9, 1 · 10−4
50ml 24,3 998,7 9,1 · 10−4 25,0 998,5 9, 0 · 10−4
100ml 22,9 999,0 9,4 · 10−4 25,5 998,4 8, 9 · 10−4
η najprej iz poenostavljene enacbe (2.14). S to priblizno vrednostjo izracunamo Re,
ga vstavimo v enacbo (3.1) in izracunamo popravljeni η.
Najprej posnetek padanja kroglice v glicerinu obdelamo v racunalniskem programu
Tracker, meritve o odmiku in casu padanja kroglice nato prenesemo v Excel. V
Excelu narisemo graf x(t) in dolocimo hitrost padanja kroglice v glicerinu. Na
sliki 3.3 vidimo del obdelave posnetka v programu Tracker. Ker na posnetku pada
kroglica proti koordiantnem izhodiscu, je hitrost na grafu prikazana kot negativna.
Na sliki 3.4 vidimo graf x(t) in hitrost padanja kroglice v = 4,7 cm/s.
Izracun viskoznosti:
V enacbo (2.14) vstavimo izmerjene podatke in dobimo
η ≈ 0,685 kg/ms.
Sedaj izracunamo Reynoldsovo stevilo po enacbi (2.7) in dobimo
Re ≈ 0,256.
To nam da koncno viskoznost iz enacbe (3.1)
η ≈ 0,56 kg/ms.
3. EKSPERIMENTALNI DEL 19
Slika 3.3: Posnetek v Trackerju. Z vijolicno je oznacen koordinatni sistem, ki ga
v programu sami nastavimo. Prav tako dolocimo merilo na sliki in cas med zapo-
rednimi posnetki, da so hitrosti pravilno izracunane. Na desni zgoraj vidimo graf
x(t), spodaj pa tabelirane podatke o casu in legi (x in y koordinata) kroglice na
zaporednih posnetkih. Vec o programu Tracker in navodila za delo s programom
najdemo v pomoci (Help) samega programa.
Slika 3.4: Graf x(t) za padanje kroglice s premerom 2r = 2,98 mm v 250 ml casi.
Ob grafu je enacba prilegajoce se premice in korelacijski koeficent. Enote so izbrane
tako, da je velikost naklona enaka hitrosti kroglice v cm/s.
4
Rezultati
4.1 Hitrost padanja kroglice v valjih z vodo
Za vsako kroglico v vsakem valju smo najprej eksperimentalno dolocili koncno hitrost
padanja kroglice. Posnetke, ki jih posnamemo, najprej obdelamo v racunalniskem
programu Tracker, nato podatke prenesemo v Excel in Graph, kjer narisemo grafe in
dolocimo koncno hitrost padanja kroglice. Ker na posnetku kroglica pada navpicno
navzdol (proti koordiantnemu izhodiscu, ki ga narisemo), je posledicno hitrost kro-
glice, ki jo dolocimo iz grafa, negativna, saj se y koordinata s casom manjsa. Da
dobimo velikost hitrost kroglice, le spremenimo predznak hitrosti.
Eksperimentalno dolocanje hitrosti
V tabeli 3.2 vidimo lastnosti valjev, v tabeli 3.3, katere kroglice smo uporabili v po-
sameznem valju in razmerje med polmerom valja in polmerom kroglice λ. Na slikah
od 4.2 do 4.5 vidimo slike grafov, ki jih narisemo v programu Graph iz podatkov, ki
jih dobimo z obdelavo posnetkov v Trackerju. Za vsako kroglico posebej narisemo
graf in dolocimo hitrost padanja kroglice, primer je narisan na sliki 4.1. Podatke
o hitrostih vseh kroglic v posameznem valju nato zdruzimo na en graf za vsak valj
(slike od 4.2 do 4.5).
20
4. REZULTATI 21
Slika 4.1: Graf hitrosti padanja kroglice s premerom 2r = 3,48 mm v 100 ml valju,
kot primer rezultata analize posnetkov s programom Tracker. Za vse kombinacije
kroglic in valjev je bil postopek enak. Ob grafu je enacba prilegajoce se premice in
korelacijski koeficient.
Slika 4.2: Graf v(λ) za 100 ml valj.
4. REZULTATI 22
Slika 4.3: Graf v(λ) za 50 ml valj.
Slika 4.4: Graf v(λ) za 25 ml valj.
Slika 4.5: Graf v(λ) za 10 ml valj.
4. REZULTATI 23
Slika 4.6: Hitrosti vseh kroglic v razlicnih valjih. Zelena krivulja prikazuje padanje
kroglic v 10 ml valju, rumena v 25 ml valju, modra v 50 ml valju in rdeca krivulja
v 100 ml valju.
Na grafih na slikah 4.2 do 4.5 opazimo, da je najvecja koncna hitrost kroglice vedno
pri podobnem razmerju λ = rR
. Ker odvisnost v(λ) spominja na parabolo, ma-
ksimum dolocimo tako, da skozi tocke poiscemo najbolje prilegajoco se kvadratno
funkcijo (poskusili smo tudi s tretjo in cetrto potenco, a korelacijski koeficient R2 ni
bil bistveno vecji) in izracunamo njen maksimum. Na sliki 4.6 vidimo hitrosti vseh
kroglic v razlicnih valjih in opazimo, da se maksimum vedno pojavi pri razmerju
polmerov okoli 0,4.
Na vseh grafih lahko opazimo, da imamo dva rezima hitrosti padanja kroglice. V
prvem rezimu hitrost kroglice narasca z narascajocim polmerom kroglice (λ manj
od priblizno 0,4). V drugem rezimu hitrost kroglice pada z narascajocim polmerom
kroglice (λ vec od priblizno 0,4).
Teoreticno dolocanje hitrosti
Najprej moramo ugotoviti ali smo v rezimu linearnega zakona upora ali kvadratnega
zakona upora. To nam pove Reynoldsovo stevilo, ki ga izracunamo po enacbi (2.7).
Za hitrost vzamemo podatke, ki smo jih dolocili eksperimentalno, da ugotovimo, v
katerem rezimu smo. Reynoldsova stevila izracunamo le za najmanjso in najvecjo
kroglico v 10 ml in 100 ml valju, saj je to dovolj, da ugotovimo ali za gibanje kroglic
velja linearni ali kvadratni zakon upora, ter ali se vse kroglice gibajo v enakem
rezimu. Podatki o gostoti in viskoznosti vode so zbrani v tabeli 3.4.
4. REZULTATI 24
Tabela 4.1: Skrajne meje Reynoldsovih stevil za padanje kroglic v valjih z vodo.
valj 2r [mm] Re
10 ml 2,98 2037,1
10 ml 10,98 1377,6
100 ml 15,85 16921,0
100 ml 20,61 15538,1
V tabeli 4.1 vidimo, da so vsa Reynoldsova stevila 103 < Re < 2 · 105, kar pomeni,
da za gibanje kroglic velja kvadratni zakon upora. Na podlagi zbranih podatkov
iz literature [1, 11] za koeficient upora privzamemo vrednost cu = 0,4. Tudi za
ostale kombinacije premerov kroglic in premere valjev vemo, da so kroglice padale v
enakem rezimu upora, saj so vse vrednosti med skrajnimi mejami, zbranimi v tabeli
4.1.
Hitrost kroglice v neomejeni tekocini izracunamo iz enacbe (2.15), hitrost kroglice z
upostevanjem vpliva stene izracunamo iz enacbe (2.17). Podatki o masi in polmeru
kroglic so zapisani v tabeli 3.1, gostota vode v tabeli 3.4, razmerje med polmerom
kroglice in polmerom valja λ v tabeli 3.3, za koeficient upora privzamemo vrednost
cu = 0,4.
V tabelah 4.2 do 4.5 so zapisane vrednosti izracunanih in izmerjenih koncnih hitrosti
posameznih kroglic v valjih. Na slikah 4.7 do 4.10 vidimo slike grafov izracunanih
in izmerjenih koncnih hitrosti kroglic v odvisnosti od λ v posameznih valjih. Na
grafih so zapisane tudi enacbe parabol za izracunane in izmerjene vrednosti koncnih
hitrosti. Ker opazimo, da je koncna hitrost kroglice vedno najvecja pri λ ≈ 0,4,
lahko iz enacb parabol izracunamo, kje ima parabola maksimum, oz. pri katerem λ
je koncna hitrost kroglice najvecja, tabela 4.6.
Maksimum - izracunane vrednosti (10 ml valj):
v = −2,2561λ2teo + 1,769λteo + 0,4791
0 = −4,5122λteo + 1,769
λteo = 0,39
4. REZULTATI 25
Tabela 4.2: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 10 ml valju.
λ vizm [m/s] vizr [m/s]
0,25 0,621 0,780
0,43 0,658 0,819
0,47 0,699 0,812
0,51 0,693 0,, 803
0,64 0,600 0,684
0,68 0,500 0,637
0,90 0,195 0,243
0,94 0,112 0,150
Slika 4.7: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 10 ml
valju. Ob grafu sta zapisani enacbi prilagjocih se krivulj in korelacijska koefici-
enta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ, zelena graf
izacunanih hitrosti v odvisnosti od λ.
4. REZULTATI 26
Tabela 4.3: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 25 ml valju.
λ vizm [m/s] vizr [m/s]
0,19 0,698 0,816
0,31 0,817 0,939
0,35 0,834 0,950
0,38 0,826 0,967
0,47 0,818 0,954
0,50 0,810 0,938
0,66 0,683 0,772
0,69 0,631 0,725
0,75 0,518 0,622
0,77 0,479 0,582
0,80 0,426 0,519
Slika 4.8: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 25 ml
valju. Ob grafu sta zapisani enacbi prilagjocih se krivulj in korelacijska koefici-
enta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ, zelena graf
izacunanih hitrosti v odvisnosti od λ.
4. REZULTATI 27
Tabela 4.4: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 50 ml valju.
λ vizm [m/s] vizr [m/s]
0,14 0,702 0,843
0,23 0,904 1,009
0,25 0,907 1,048
0,28 0,925 1,076
0,34 0,961 1,128
0,37 0,891 1,125
0,48 0,911 1,110
0,50 0,907 1,097
0,55 0,839 1,051
0,56 0,825 1,043
0,58 0,850 1,019
0,69 0,697 0,848
0,73 0,659 0,767
0,87 0,321 0,421
0,92 0,211 0,268
4. REZULTATI 28
Slika 4.9: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 50 ml
valju. Ob grafu sta zapisani enacbi prilagjocih se krivulj in korelacijska koefici-
enta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ, zelena graf
izacunanih hitrosti v odvisnosti od λ.
Slika 4.10: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 100
ml valju. Ob grafu sta zapisani enacbi prilagjocih se krivulj in korelacijska koefici-
enta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ, zelena graf
izacunanih hitrosti v odvisnosti od λ.
4. REZULTATI 29
Tabela 4.5: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 100 ml valju.
λ vizm [m/s] vizr [m/s]
0,11 0,727 0,857
0,18 0,931 1,048
0,20 0,930 1,091
0,22 1,016 1,132
0,27 1,032 1,210
0,29 1,008 1,224
0,38 1,098 1,274
0,40 1,062 1,268
0,44 1,037 1,257
0,45 1,004 1,253
0,46 1,001 1,256
0,55 0,983 1,176
0,58 0,927 1,143
0,69 0,803 0,952
0,73 0,720 0,859
4. REZULTATI 30
Tabela 4.6: Maksimumi parabol za izracunane in izmerjene hitrosti kroglic.
valj λmax,izr λmax,izm
10 ml 0,39 0,39
25 ml 0,41 0,41
50 ml 0,41 0,40
100 ml 0,41 0,40
Ker na vseh slikah grafov opazimo, da so izracunane vrednosti koncnih hitrosti,
nekoliko vecje od izmerjenih vrednosti koncnih hitrosti, lahko sklepamo, da upora-
bljena vrednost za koeficient upora cu = 0,4 ni povsem ustrezna. Na sliki 2.4 vidimo,
kako se spreminja koeficient upora v odvisnoti od Reynoldsovega stevila. V tabeli
4.7 vidimo, koliksna mora biti vrednosti koeficient upora cu, da se vrednosti izmer-
jenih in izracunanih koncnih hitrosti kroglic ujemajo. Iz teh podatkov vidimo, da
pri cu ≈ 0,55 dobimo zelo dobro ujemanje med teoreticno napovedjo v literaturi in
meritvami. Na sliki 4.11 vidimo paraboli izmerjenih in izracunanih vrednosti koncne
hitrosti kroglice v 100 ml valju s popravljenimi koeficientom vrednosti cu.
Slika 4.11: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnosti od λ v 100
ml valju v vodi s popravljenim koeficientom upora cu. Rdeca krivulja prikazuje graf
izmerjenih hitrosti v odvisnoti od λ, zelena graf izracunanih hitrosti v odvisnoti od
λ.
4. REZULTATI 31
Tabela 4.7: Efektivni koeficienti upora cu, tako da se vrednosti izmerjenih in
izracunanih koncnih hitrosti kroglic ujemajo.
valj cu
10 ml 0,55
25 ml 0,53
50 ml 0,57
100 ml 0,58
4. REZULTATI 32
4.2 Hitrost padanja kroglice v valju z glicerinom
Eksperimantalno dolocanje hitrosti
Za glicerin poskuse naredimo le v 50 ml valju. Eksperimentalno hitrost dolocilmo
na enak nacin, kot pri poskusih z vodo. Na sliki 4.12 vidimo graf koncnih hitrosti
za kroglico s premerom 15,07 mm. Enako naredilmo za vse kroglice. Na sliki 4.13
vidimo graf hitrosti za vse razlicne kroglice v odvisnoti od razmerja polmera kroglice
in polmera valja. Prav tako, kot pri padanju kroglice v vodi vidimo, da imamo
dva rezima hitrosti padanja kroglice. Pri prvem rezimu, hitrost kroglice narasca
z narascajocim polmerom kroglice (λ manj od priblizno 0,4). Pri drugem rezimu,
hitrost kroglice pada z narascajocim polmerom kroglice (λ vec od priblizno 0,4).
Slika 4.12: Graf lege v odvisnoti od casa padanja kroglice za kroglice s premerom
2r = 15,07 mm v 50 ml valju z glicerinom. Ob grafu je zapisana enacba prilegajoce
se premice in korelacijski koeficient.
Teoreticno dolocanje hitrosti
Najprej moramo ugotoviti ali smo v rezimu lineranega zakona upora ali kvadra-
tnega zakona upora za padanje kroglice. To nam pove Reynoldsovo stevilo, ki ga
izracunamo po (2.7). Za hitrost bomo vzeli podatke, ki smo jih dolocili eksperimen-
talno, viskoznost smo izracunali v 2. poglavju.
V tabeli 4.8 vidimo izracunane vrednosti Reynoldsovih stevil za padanje kroglic v
50 ml valju z glicerinom. Vrednosti Reynoldsovih stevil zavzemajo vrednosti od 0,6
4. REZULTATI 33
Slika 4.13: Graf v(λ) v 50 ml valju z glicerinom.
do 5,1, kar po zapisanem v 2. poglavju pomeni, da ne velja niti linearni, niti kvadra-
tni zakon upora. Ker pri padanju kroglice v tekocini, upostevamo tudi pretakanje
tekocin po cevi, lahko privzamemo, da za nase vrednosti se velja linearni zakon
upora. To lahko privzamemo, ker vemo, da pri pretakanju tekocin po cevi, velja li-
nearni zakon se pri Reynoldsovih stevil okoli 2300. Teoreticno bomo koncne hitrosti
kroglic izracunali iz enacbe (2.16). Gostota kroglic je podana v tabeli 3.1, poda-
tek za gostoto tehnicnega glicerina povzamemo po literaturi [15] ρg = 1250kg/m3,
viskoznost glicerina smo izracunali v 3. poglavju, ηg = 0,56 kg/ms.
V tabeli 4.9 vidimo, da so odstopanja izmerjenih in izracunanih koncnih hitrosti
kroglice v glicerinu vecja kot v vodi. Odstopanja so vecja, ker je hitrost manjsa in
so zato napake vecje, pogleg tega smo viskoznost glicerina izmerili, kjer je tudi prislo
do napake.
Na sliki 4.14 vidimo graf izracunane in izmerjene koncne hitrosti kroglice v odvisno-
sti od λ v 50 ml valju z glicerinom. V tabeli 4.9 so zapisane vrednosti izracunanih
in izmerjenih koncnih hitrosti posameznih kroglic. Na grafu sta zapisani tudi enacbi
parabol za izracunane in izmerjene vrednosti koncnih hitrosti. Opazimo, da je hi-
trost kroglice vedno najvecja pri λ ≈ 0,4. Iz enacbe parabole lahko izracunamo, kje
ima parabola maksimum, oz. pri katerem λ je koncna hitrost kroglice najvecja.
4. REZULTATI 34
Tabela 4.8: Hitrost padanja kroglice v glicerinu in Reynoldsova stevila.
2r [mm] v [cm/s] Re
3,50 7,7 0,60
4,75 11,4 1,21
4,98 12,5 1,38
5,50 15,0 5,10
7,98 22,0 5,11
10,47 21,0 4,07
10,97 20,9 3,22
11,97 19,2 3,90
15,07 12,1 4,90
15,97 9,1 1,84
Maksimum - izracunane vrednosti:
v = −164,8λ2teo + 149,7λteo − 12,5
λteo = 0,45
Maksimum - izmerjene vrednosti:
v = −120,2λ2eks + 105,8λeks + 8,7
λeks = 0,44
4. REZULTATI 35
Tabela 4.9: Izmerjene in izracunane hitrosti kroglic v 50 ml valju z glicerinom.
λ vizm [cm/s] vizr [cm/s]
0,16 7,7 5,4
0,22 11,4 8,5
0,23 12,5 9,0
0,25 15,0 10,2
0,36 22,0 14,3
0,48 21,0 14,6
0,50 20,9 14,1
0,55 19,2 12,8
0,69 12,1 6,6
0,73 9,1 4,7
Slika 4.14: Graf izracunane in izmerjene hitrosti kroglice v odvisnoti od λ v 50 ml
valju z glicerinom. Ob grafu sta zapisani enacbi prilegajoicih se krivulj in koleracijska
koeficienta. Rdeca krivulja prikazuje graf izmerjenih hitrosti v odvisnosti od λ,
zelena graf izracunanih hitrosti v odvisnosti od λ.
5
Zakljucek
V diplomskem delu smo eksperimentalno preverili vpliv blizine stene na koncno
hitrost padajoce jeklene kroglice v vodi in v glicerinu. Poskuse smo posneli s hitro
video kamero, ki smo jo nastavili tako, da je naredila 300 posnetkov na sekundo.
Posnetke smo analizirali v prosto dostopnem racunalniskem programu Tracker in jih
graficno predstavili ter racunsko obdelali s programoma Excel in Graph. Iz podatkov
smo ugotovili, da je najvecja koncna hitrosti kroglice neodvisno od premera valja
vedno pri razmerju premera kroglice proti premeru valja priblizno 0,4, ne glede
na to ali kroglica pada v vodi ali v glicerinu. Pri glicerinu je prislo do nekoliko
vecje napake, ker smo morali viskoznost glicerina eksperimentalno dolociti, podatke
za viskoznost vode smo poiskali v literaturi. Poleg tega smo poskuse z glicerinom
opravili le v 50 ml valju, saj je meritev potrdila obnasanje, podobno tistemu v vodi.
V diplomskem delu smo ugotovili, da ze 3 mm kovinska kroglica v casi glicerina s
premerom skoraj 70 mm pada prehitro, da bi lahko zanemarili vpliv sten. Ceprav
pada kroglica s hitrostjo manj kakor 5 cm/s, popravek zaradi vpliva sten prinese
okoli 20 % spremembo vrednosti viskoznosti. Z drugimi besedami to pomeni, da je
potrebno za kolikor toliko natancne meritve viskoznosti praviloma upostevati tudi
koncne dimenzije posode, v kateri padajo kroglice.
Opravljeni poskusi so primerni tudi za izvajanje v soli, saj so tehnicno in izvedbeno
relativno enostavni, hkrati lahko smiselno uporabimo hitro kamero, ki je za sole
dandanes cenovo dostopna. Ker gre pri padanju s koncno hitrostjo za enakomerno
gibanje, so osnovne analize meritev primerne tako za osnovno kot za srednjo solo.
Podrobnejsa obravnava je primerna za srednjo solo, medtem ko se je potrebno pri
36
5. ZAKLJUCEK 37
interpretaciji v osnovni soli drzati kvalitativne razlage.
Literatura
[1] J. Strnad, Fizika, 1. del (Ljubljana: Drustvo matematikov, fizikov in
astronomov Slovenije, 1995).
[2] Kinematics and stress strain relation in fluids. Prideobljeno dne 1. 8. 2013 s
spletnega mesta http://www.transtutors.com/homework-help/mechanical-
engineering/fluid-dynamics/mathematical-model-fluid-motion/kinematics-
stress-strain-relationships-in-fluids/.
[3] Tokovnica. Pridobljeno dne 1. 8. 2013 s spletnega mesta
http://sl.wikipedia.org/wiki/Tokovnica.
[4] Precision meters. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://precisionmeters.co.za/wp-content/uploads/2011/08/Laminar-
Turbulent-flow-web.jpg
[5] Hidravlika. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://zapiski.fmf.si/data/Hidravlika.pdf.
[6] AEROL. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://www.aerolgroup.com/images/1afra-silicone-dmps-fluids-500x500-
500x500.jpg.
[7] E. Jones, R. Childers, Contemporary college physics, (Boston: McGraw-Hill,
1990).
[8] eCourses. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://www.ecourses.ou.edu/cgi-
bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap sec=09.1&page=theory.
38
LITERATURA 39
[9] Fundamentals! Pumps that is. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://www.pumpfundamentals.com/help17.html.
[10] Department of Chemical Engineering the University of Utah. Pridobljeno dne
28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://www.che.utah.edu/outreach/module?p id=10.
[11] J. M. Cimbala, Drag on sphere, Penn State University, (2012)
[12] C. H. Ataide, F. A. R. Pereira, M. A. S. Barrozo,”Wall effects on the
terminal velocity of spherical particles in Newtonian and non-Newtonian
fluids,“ Braz. J. Chem. Eng. 4, (1999)
[13] Fluid Viscosity Tables. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://home.global.co.za/fluid/GWIS%20Fluid Viscosity Table.htm
[14] Viskoznost. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega mesta
http://ucilnica.fmf.uni-
lj.si/pluginfile.php/3441/modpage/content/5/vaja22.pdf.
[15] Density of Glycerine-Water Solutions. Pridobljeno dne 28. 6. 2013 s spletnega
mesta http://msdssearch.dow.com/PublishedLiteratureDOWCOM/dh 0032/
0901b80380032282.pdf
Recommended