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dinâmica das estruturas
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Dinâmica das EstruturasVibrações Forçadas
Resposta não amortecida a um carregamento harmônico:
( ) ( ) ( ) tptx ktx ctx m 0 ωsin=++ &&&
( ) ( ) tptx ktx m 0 ωsin=+&&
1) Solução homogênea: vibração livre não-amortecida
2) Solução particular: resposta harmônica e em fase com o carregamento
( ) tCtxp ωsin=
( ) t Bt Atxh ωω sincos +=
Vibrações ForçadasResposta não amortecida a um carregamento harmônico
Solução particular: resposta harmônica e em fase com o carregamento:
( ) tCtxp ωsin= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= 2
0
11
kpC
β
Deflexão estática
Fator de amplificação“Magnification Factor – MF”(estruturas não-amortecidas)
ωωβ ≡
Vibrações ForçadasResposta não amortecida a um carregamento harmônico
( ) ( ) ( ) ( )t t 1
1kptxtxtx 2
0ph ωβω
βsinsin −⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=+=
máx
ωωκπ−
≡2t
Batimento:
Solução geral para :( ) ( ) 00x0x == &
Vibrações ForçadasResposta não amortecida a um carregamento harmônico
Início “suave” do movimento...
ωωβ ≡
Batimento:
ω
ω
seg192t ≅−
≡ωωπ
Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico
Solução homogênea: vibração livre amortecida
( ) ( ) t h e t Bt Atx ωξωω −+= sincos
Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico
Solução particular: resposta harmônica defasada do carregamento:
( ) ( )θω −= tDkptx 0
p sin ( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=
222 21
1 Dξββ
Fator de amplificação dinâmica“Dynamic Magnification Factor – D”
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 21
2βξβθ arctan
Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico
resposta forçada
Vibração livre amortecida
Regime permanenteTransiente
defasagem
força
Vibrações ForçadasForma exponencial complexa da resposta permanente:
( ) ( )[ ]θω
ρ
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= tiD
kptx 0
p exp43421
força elástica
força de inércia
força de amortecimento
deslocamento
θ
D1ξβ2
21 β−
Vibrações ForçadasResposta amortecida a um carregamento harmônico
( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−=
222 21
1 Dξββ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−= 21
2βξβθ arctan
( ) ( )θω −= tDkptx 0
p sin
ωωβ ≡
ωωβ ≡
θ
D1ξβ2
21 β−
Isolamento de vibraçõesConforto humano;Proteção de estruturas;Proteção de equipamentos sensíveis;
( ) ( )θω −= tDkptx 0
p sinResposta no regime permanente:
Força elástica: Dp0 ( )θω −tsin
Força de amortecimento: ( ) ( ) =⋅= txctfD & Dp2 0 ⋅⋅⋅ βξ ( )θω −tcos
( ) ( ) =⋅= txktfs
Força total: ( ) ( )tftf 2D
2sDs +=+= fff
rrr
( )20
21
1Dpfξβ+
=⇒ max
Estrutura 1 GL( )2
0
21Dp
fTR ξβ+=≡ maxTransmissibilidade:
1º caso: excitação sobre base rígida
Isolamento de vibrações
1º caso: excitação sobre base rígida
( )20
21Dp
fTR ξβ+=≡ maxTransmissibilidade:
TR
2mk2
2ωβ ≤⇒>⇒Isolamento: (molas macias)
β
( )1
1TR2 −
≅β
amortecimento pequeno:
TR1IE −=
Isolamento de vibrações
2º caso: excitação pela base
Estrutura 1 GL
( )221Dbase desloc amplitude
máximo total deslocTR ξβ+=≡
Isolamento de vibrações
Transmissibilidade × β
Isolamento de vibraçõesSuportes isoladores
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