View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 1
Wykład 16
16.1 Zasada zachowania ładunku
Istnieją dwa rodzaje ładunków – dodatnie i ujemne; ładunki jednoimienne odpychają się,
a różnoimienne przyciągają się. Podczas elektryzowania za pomocą tarcia, zawsze
elektryzują się oba ciała, jedno z nich ładuje się ładunkiem dodatnim, a drugie takim samym
co do wartości, ale przeciwnym ładunkiem.
Doświadczalnie zostało udowodnione, iż ładunek elektryczny jest dyskretny, tzn. ładunek
dowolnego ciała składa się z całkowitej wielokrotności elektrycznego ładunku
elementarnego e:
𝐞 = 𝟏, 𝟔𝟎𝟐 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟗𝐂
Elektron (𝑚𝑒 = 9,11 ∙ 10−31𝑘𝑔) i proton (𝑚𝑝 = 1,67 ∙ 10−27𝑘𝑔) są nośnikami
odpowiednio ujemnego i dodatniego ładunku elementarnego.
Faraday uogólniając dane doświadczalne sformułował jedno z podstawowych praw
przyrody – prawo zachowania ładunku:
Suma algebraiczna ładunków elektrycznych dowolnego układu zamkniętego (układu
niewymieniającego się ładunkami z otoczeniem) pozostaje stała bez względu na zjawiska
zachodzące wewnątrz tego układu.
W zależności od tego czy ciało posiada nośniki ładunków (elektrony, jony), czy nie,
przewodzi lub nie przewodzi prądu elektrycznego. Ciała dzielą się w związku z tym na
przewodniki, dielektryki i półprzewodniki. W przewodnikach ładunek elektryczny może
poruszad się po całej jego objętości. Przewodniki dzielą się na dwie grupy: 1) przewodniki
pierwszego rodzaju (np. metale) – przenoszone w nich ładunki nie powodują reakcji
chemicznych; 2) przewodniki drugiego rodzaju (np. stopione sole, roztwory kwasów) –
przewodzenie w nich ładunków (dodatnich i ujemnych jonów) prowadzi do zmian
chemicznych substancji przewodzącej. Dielektryki (np. szkło, plastik) nie przewodzą prądu
elektrycznego; jeżeli nie jest do nich przyłożone zewnętrzne pole elektryczne, to praktycznie
nie zawierają one swobodnych ładunków. Półprzewodniki (np. german, krzem) zajmują
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 2
pośrednie położenie między przewodnikami i dielektrykami, przy czym ich przewodzenie
silnie zależy od warunków zewnętrznych np. temperatury.
Jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb (C) – jest to taki ładunek, który przepływa
przez poprzeczny przekrój przewodnika w ciągu 1s, gdy w przewodniku płynie prąd 1A ( jest
to jednostka pochodna, ponieważ jest określana przez jednostki podstawowe).
16.2 Prawo Coulomba.
Prawo oddziaływania nieruchomych ładunków punktowych zostało podane w 1785 roku
przez Coulomba (wcześniej prawo to odkrył Cavendish, jednak jego praca pozostawała
nieznana przez przeszło sto lat). Ładunkiem punktowym nazywamy ładunek skupiony w
ciele, którego rozmiary są zaniedbywalnie małe w porównaniu z odległościami do innych
naładowanych ciał, z którymi on oddziaływa. (patrz: punkt materialny)
Prawo Coulomba:
Siła oddziaływania F dwóch ładunków punktowych, znajdujących się w próżni jest wprost
proporcjonalna do ładunków Q1 i Q2 i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości
między nimi:
𝐅 = 𝐤𝐐𝟏𝐐𝟐
𝐫𝟐 16.1
gdzie k – współczynnik proporcjonalności zależny od wyboru układu jednostek.
Siła F jest skierowana wzdłuż prostej łączącej oddziaływujące ładunki (siła centralna) i
odpowiada przyciąganiu (F<0) w przypadku różnoimiennych ładunków i odpychaniu (F>0) w
przypadku jednoimiennych ładunków.
Prawo Coulomba zapisane w formie wektorowej przybierze postad:
𝑭 𝟏𝟐 = 𝒌𝑸𝟏𝑸𝟐
𝒓𝟐
𝒓 𝟏𝟐
𝒓 16.2
gdzie 12F
- siła działająca na ładunek Q1 pochodząca od ładunku Q2, 12r
- promieo wodzący ,
łączący ładunek Q1 z ładunkiem Q2, 12rr
(Rysunek 16.1 – Q1 > 0 i Q2 > 0).
Rysunek 16.1
𝑭 𝟏𝟐
Q1
>
Q2
𝑭 𝟐𝟏 𝒓 𝟏𝟐
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 3
Jeżeli oddziaływujące ładunki znajdują się w jednorodnym i izotropowym ośrodku to siła
wzajemnego oddziaływania ładunków dana jest wzorem:
𝐅 = 𝐤𝐐𝟏𝐐𝟐
𝛆𝐫𝟐
gdzie ε jest wielkością bezwymiarową zwaną względną przenikalnością elektryczną
ośrodka, wskazującą ile razy siła F wzajemnego oddziaływania ładunków w danym ośrodku
jest mniejsza od siły oddziaływania tych ładunków w próżni:
𝛆 =𝐅 𝟎
𝐅 16.3
W układzie SI współczynnik proporcjonalności jest równy:
𝒌 =𝟏
𝟒𝝅𝛆𝟎
Wtedy prawo Coulomba przyjmuje postad:
𝐅 =𝟏
𝟒𝝅𝛆𝟎
𝐐𝟏𝐐𝟐
𝐫𝟐 16.4
Wielkośd ε0 jest fundamentalną stałą fizyczną zwaną stałą elektryczną (przenikalnością
elektryczną próżni). Można ją obliczyd z łatwej do zapamiętania wartości k:
𝟏
𝟒𝝅𝛆𝟎= 𝟗. 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟗𝑵 ∙ 𝒎𝟐/𝑪𝟐
16.3 Pole elektryczne i natężenie pola elektrycznego.
Jeżeli w przestrzeo otaczającą ładunek elektryczny wprowadzid inny ładunek, to podziała
na niego siła kulombowska; oznacza to, że w przestrzeni
otaczającej ładunki istnieje pole sił. Zgodnie ze współczesnymi
poglądami w fizyce, takie pole istnieje realnie i jest jednym z
przejawów materii. Pole to jest odpowiedzialne za oddziaływanie
między cząstkami. W danym przypadku, pole elektryczne jest
pośrednikiem oddziaływania ładunków elektrycznych.
W celu znalezienia i zbadania doświadczalnie pola elektrycznego
wykorzystuje się tzw. ładunek próbny q0. Jest to ładunek
punktowy, na tyle mały, że nie zakłóca swoim działaniem
badanego pola. Jeżeli do badanego pola wprowadzid ładunek Rysunek 16.2
b) ładunek q jest ujemny
a) ładunek q jest dodatni
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 4
próbny, to podziała na niego siła kulombowska 𝑭 różna w różnych punktach pola, która
zgodnie z prawem Coulomba będzie proporcjonalna do ładunku q0. Dlatego wielkośd F/q0
nie będzie zależała od ładunku próbnego i będzie charakteryzowad pole w punkcie, w którym
znajduje się ładunek próbny. Wielkośd ta nazywa się natężeniem pola elektrycznego.
Natężeniem 𝐄 pola elektrycznego w danym punkcie nazywamy wielkośd fizyczną,
określoną siłą jaka, działa na jednostkowy ładunek dodatni umieszczony w tym punkcie pola:
𝐄 =𝐅
𝐪𝟎 16.5
Natężenie pola elektrycznego.
Kierunek natężenia pola elektrycznego pokrywa się z kierunkiem siły działającej na dodatni
ładunek. Widad, że jednostką natężenia pola elektrycznego jest 1N/C = 1V/m.
Natężenie pola elektrycznego pochodzące od ładunku punktowego q w punkcie P odległym o r jest równe
𝐄 =𝟏
𝟒𝝅𝛆𝟎
𝑸
𝒓𝟐
𝒓
𝒓, 16.6
co wynika ze wzoru 16.1 (Rysunek 16.2).
Pole elektryczne można przedstawid graficznie za pomocą
linii sił pola. Linie sił pola prowadzi się w taki sposób, że w
każdym punkcie są one styczne do wektora natężenia pola
elektrycznego (Rysunek 16.3). Aby scharakteryzowad wartośd
natężenia pola, linie prowadzi się tak, aby gęstośd linii była
proporcjonalna do wartości pola; innymi słowy, im większa
wartośd pola elektrycznego w danym obszarze tym więcej linii przechodzi przez jednostkową
powierzchnię. Rysunek 16.4 przedstawia układ linii dla kilku najprostszych konfiguracji.
Rysunek 16.3 𝑬 𝟏
𝑬 𝟐
Rysunek 16.3
Rysunek 16.4
a) Linie pola elektrostatycznego
- ładunek punktowy. b) Linie pola elektrostatycznego
- dwa ładunki różnoimienne.
c) Linie pola elektrostatycznego
- dwa ładunki jednoimienne.
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 5
Z liniami sił pola elektrycznego związane jest ściśle pojęcie
strumienia pola elektrycznego. Strumieniem pola elektrycznego
nazywamy wyrażenie określone wzorem:
𝒅𝚽𝐄 = 𝐄⊥𝐝𝐀 = 𝐄𝐝𝐀⊥ = 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 = 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝝓 16.7
gdzie dA jest nieskooczenie małym polem powierzchni, 𝐄⊥ jest
składową natężenia pola elektrycznego prostopadłą do tej
powierzchni, a 𝐝𝐀 = 𝐝𝐀𝐧 określa wektor prostopadły do tej
powierzchni i równy wartości jej pola powierzchni (𝐧 - wersor
prostopadły do powierzchni dA) (Rysunek 16.5). Tak więc, aby
obliczyd wartośd strumienia pola elektrycznego należy na przykład
pomnożyd pole powierzchni przez wartośd składowej natężenia pola
elektrycznego prostopadłej do pla powierzchni.
Dla dowolnej powierzchni A, strumieo natężenia pola
elektrycznego przez tę powierzchnię dany jest wyrażeniem:
𝚽𝐄 = 𝐄⊥𝐝𝐀 = 𝐄𝐝𝐀⊥ = 𝐄 ∙ 𝐝𝐀 = 𝐄 ∙ 𝐝𝐀 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝛟 16.8 16.8
gdzie całkę liczymy po dowolnej powierzchni A. Dla zamkniętych
powierzchni zwrot wersora n wybiera się na zewnątrz tej
powierzchni.
16.4 Zasada superpozycji pól. Pole dipola.
Niech będzie dany układ nieruchomych ładunków punktowych Q1, Q2,...,Qn. Obliczmy
natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni. Doświadczenie pokazuje, że
do sił kulombowskich stosuje się zasada niezależności działania sił, tzn. wypadkowa siła 𝐹
działająca na ładunek próbny q0 jest równa sumie Fi sił pochodzących od każdego ładunku z
osobna:
𝐹 = F ini=1 16.9
Zgodnie z 16.5 F = q0E i F i = q0E i, gdzie E – natężenie pola wypadkowego, a E i –
natężenie pola wytwarzanego przez ładunek qi. Podstawiając powyższe do 1.7 otrzymujemy:
a. 𝑬 i 𝑨 są równoległe ϕ = 0,
strumień Φ𝐸 = 𝐸 ∙ 𝐴 = 𝐸𝐴
𝜱𝑬 = 𝑬 ∙ 𝑨 = 𝑬𝑨𝒄𝒐𝒔𝝓
b. 𝑬 i 𝑨 tworzą kąt ϕ,
𝜱𝑬 = 𝑬 ∙ 𝑨 = 𝑬𝑨𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎𝟎
= 𝟎
c. 𝑬 i 𝑨 tworzą kąt ϕ = 900,
Rysunek 16.5
𝒏
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 6
n
1i
iEE
16.10
Równanie 16.10 przedstawia zasadę superpozycji (nakładania) pól elektrycznych:
Natężenie wypadkowego pola elektrycznego E wytworzonego przez układ ładunków jest
równe sumie wektorowej natężeń pól wytwarzanych przez poszczególne ładunki z
osobna.
Zasada superpozycji pozwala obliczyd natężenia pól pochodzące od dowolnego układu
ładunków.
Dipolem elektrycznym nazywamy układ dwu jednakowych co do
wartości, ale różnoimiennych ładunków oddalonych od siebie na
odległośd l. Elektrycznym momentem dipolowym nazywamy
wyrażenie:
lQp
16.11
gdzie l jest wektorem, którego długośd jest równa odległości między
ładunkami, a zwrot wektora jest od ładunku ujemnego do
dodatniego (Rysunek 16.6).
Korzystając z zasady superpozycji wykaż, że jeżeli odległości r i r’
są dużo większe od l to natężenia pola elektrycznego w punktach A i
B wynoszą odpowiednio:
3
0
2
4
1
r
pEA
16.12
i
30 '4
1
r
pEB
16.13
16.5 Twierdzenie Gaussa.
Obliczenia natężenia pola elektrycznego układu ładunków można w znacznym stopniu
uprościd, jeżeli zastosowad twierdzenie Gaussa. Zgodnie z wyrażeniem 16.8 strumieo pola
elektrycznego przez sferyczną powierzchnię o promieniu r, której środek znajduje się w
punktowym ładunku Q dany jest wyrażeniem (Rysunek 16.7):
Rysunek 1.4
+Q
𝑬 +
𝒍
𝑬 𝑨
-Q
r
r’ l
𝑬 −
𝑬 +
𝑬 𝑩
𝑬 −
A
B
Rysunek 16.6
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 7
ΦE = E ∙ dA =𝑞
4𝜋𝜖04𝜋𝑟2 =
𝑞
𝜖0 16.14
Ten sam wynik otrzymamy oczywiście, gdy promieo czaszy będzie
wynosił nie r, a 4r. Otrzymany wynik jest również prawdziwy dla
powierzchni zamkniętej o dowolnym kształcie. Rzeczywiście, jeżeli
otoczyd sferę dowolną zamkniętą powierzchnią, to strumieo
przechodzący przez sferę przejdzie również przez te powierzchnię
(Rysunek 16.8) .
W przypadku ogólnym dla powierzchni zamkniętej o dowolnym
kształcie i zawierającej w sobie n ładunków, natężenie 𝐄
wytworzone przez wszystkie ładunki, zgodnie z zasadą superpozycji
16.10, jest równe sumie natężeo Ei wytwarzanych przez poszczególne
ładunki: i
iEE
. Dlatego:
AdEAdEAdEi S
i
S S i
iE
16.15
Zgodnie z 16.14 każda z całek stojąca za znakiem sumy jest
równa Qi/ε0. w rezultacie:
S S
n
i
iE QdAEAdE10
1
16.16
Wyrażenie 1.14 wyraża twierdzenie Gaussa dla pola elektrycznego w próżni:
Strumień pola elektrycznego w próżni przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy
algebraicznej sumie ładunków zawartych wewnątrz tej powierzchni podzielonej przez ε0:
𝚽𝐄 = 𝐄 ∙ 𝐝𝐀 =𝐐𝐳𝐚𝐰𝐚𝐫𝐭𝐞
𝛜𝟎
Twierdzenie Gaussa.
Korzystając z twierdzenia Gaussa pokaż, że:
Rysunek 16.8
Rysunek 16.7
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 8
1. Natężenie pola elektrycznego od nieskooczonej, równomiernie naładowanej płaszczyzny
wynosi:
02εσ/E 16.17
2. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz dwu nieskooczonych równoległych płaszczyzn
naładowanych przeciwnymi ładunkami wynosi:
0εσ/E 16.18
gdzie σ =q/A – jest gęstością powierzchniową ładunku, czyli ładunkiem przypadającym na
jednostkę powierzchni.
16.6 Cyrkulacja wektora pola elektrycznego.
Jeżeli w polu elektrycznym ładunku punktowego Q z punktu 1 do punktu 2 wzdłuż
dowolnego toru przesuwad inny ładunek q0 (Rysunek 16.9), to siła przyłożona do tego
ładunku będzie wykonywad pracę. Praca ta na nieskooczenie małym (elementarnym)
odcinku będzie równa:
cosαdl
r
4ππ
1FdlcosαdW
2
0
0
Ponieważ drdlcosα , to
drr
4ππ
1dW
2
0
0
.
Praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku q0 z położenia 1
do punktu 2 wyniesie:
2
0
1
0
0
2
0
021
4
1
4
2
1
2
1r
r
r
drQqdWW
r
r
r
r
16.19
i jak widad nie zależy od kształtu toru, po którym przemieszcza się ładunek, a jedynie od
położenia punktu początkowego i koocowego. W rezultacie pole wytworzone przez ładunek
Q nazywamy potencjalnym, a siły działające w tym polu nazywają się zachowawczymi.
Z równania 16.19 wynika, że praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku w
zewnętrznym polu po dowolnym torze zamkniętym (konturze) L będzie równa zero:
L
dW 0 16.20
1
2
𝒓 𝟏
𝒓 𝟐
𝒓
𝑭
q0
Q
dr
Rysunek 16.9
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 9
Jeżeli jako ładunek przenoszony w zewnętrznym polu wziąd dodatni ładunek jednostkowy, to
elementarna praca sił pola na drodze dl będzie równa Edl = Eldl, gdzie El = Ecosα – jest
rzutem wektora 𝐄 na kierunek elementarnego przemieszczenia. W rezultacie wzór 1.18
można przepisad w postaci
0dlEldEL L
l
16.21
Całkę we wzorze 1.19 nazywamy cyrkulacją wektora natężenia pola elektrycznego 𝐄 . Tak,
więc cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego po dowolnej drodze zamkniętej jest
zawsze równa zero; linie pola elektrycznego muszą byd zawsze zamknięte. Pomimo, iż pole
to często nazywamy krócej polem elektrycznym, musimy pamiętad, że jest ono wytworzone
przez ładunki stacjonarne (nieruchome). W przypadku pola wytworzonego przez ładunki
będące w ruchu sytuacja ulega zamianie (patrz – Wykład 19).
16.7 Potencjał pola elektrycznego.
Ciało znajdujące się w potencjalnym polu sił (pole elektrostatyczne jest polem
potencjalnym) posiada energię potencjalną. Kosztem tej energii wykonywana jest praca
przez siły pola (patrz semestr I). Lub innymi słowy; siły zachowawcze wykonując pracę
powodują zmniejszenie energii potencjalnej układu. Dlatego pracę (16.19) sił pola
elektrycznego można przedstawid w postaci różnicy energii potencjalnych jakie posiada
ładunek punktowy q0 w początkowym i koocowym punkcie pola wytworzonego przez
ładunek Q (Rysunek 16.9):
21
2
0
01
0
0
21 UUr
4π
1
r
4π
1W
16.22
Z powyższego wynika, że energia potencjalna ładunku q0 w polu ładunku Q jest równa:
Cr
4π
1U 0
0
,
która podobnie jak w mechanice nie jest określona jednoznacznie, a tylko z dokładnością do
stałej całkowania C. Jeżeli przyjąd, że po oddaleniu ładunku na nieskooczonośd ( r ) jego
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 10
energia będzie wynosiła zero, to C = 0 i energia potencjalna ładunku q0 znajdującego się w
polu ładunku Q w odległości r od niego wyniesie:
r
4π
1U 0
0 16.23
Elektrostatyczna energia potencjalna dwu ładunków punktowych.
Dla ładunków jednoimiennych Qq0 > 0 i energia potencjalna ich oddziaływania (odpychania)
jest dodatnia, dla ładunków różnoimiennych Qq0 < 0 i energia potencjalna ich oddziaływania
(odpychania) jest ujemna.
Jeżeli pole jest wytworzone przez układ n ładunków punktowych Q1, Q2, ...,Qn,
(uwzględniając zasadę superpozycji pól (16.10), to energia potencjalna U ładunku q0
znajdującego się w tym polu jest równa sumie jego energii potencjalnych Ui, wytworzonych
przez poszczególne ładunki:
n
1i 0
i0
n
1i
irε4
QqUU
16.24
Ze wzorów 16.23 i 16.24 wynika, że stosunek U/q0 nie zależy od ładunku q0 i przez to jest
cechą charakterystyczną samego pola elektrycznego, którą nazywamy potencjałem:::
𝐕 =𝐔
𝐪𝟎 16.25
Potencjał elektryczny.
Potencjał φ w dowolnym punkcie pola elektrycznego jest to taka wielkośd fizyczna, której
wartośd jest równa energii potencjalnej jednostkowego, dodatniego ładunku umieszczonego
w tym punkcie.
Z równania 16.23 i 16.25 wynika, że potencjał pola wytworzonego przez ładunek
punktowy Q jest równy:
r
Q
4π
1
0V 16.26
Praca wykonana przy przemieszczeniu ładunku q0 z punktu 1 do punktu 2 (równania
16.22, 16.24) może byd przedstawiona w postaci:
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 11
)(qUUW 2102121 VV 16.27
i jak widad, jest równa iloczynowi przenoszonego ładunku i różnicy potencjałów w
punkcie początkowym i koocowym.
Praca sił pola przy przemieszczeniu ładunku q0 może byd również zapisana w postaci
2
1
012 ldEqW
16.28
Porównując wzory 16.27 i 16.28 otrzymujemy wyrażenie:
𝐕𝟏 − 𝐕𝟐 = 𝐄 ∙ 𝐝𝐥 𝟐
𝟏 16.29
Związek między różnicą potencjałów a natężeniem pole elektrycznego.
gdzie całkowanie można prowadzid po dowolnej krzywej łączącej punkty 1 i 2.
Jeżeli przemieszczad ładunek q0 z dowolnego punktu pola poza granice pola, tzn. w
nieskooczonośd, gdzie z założenia potencjał jest równy zero, to praca sił pola, zgodnie z
16.27 będzie równa:
VqW 01
lub
𝐕 =𝐖𝟏→∞
𝐪𝟎 16.30
Interpretacja potencjału w danym punkcie.
W rezultacie widad, że potencjał w danym punkcie jest równy pracy jaką wykonują siły pola
przy przemieszczeniu jednostkowego, dodatniego ładunku z tego punktu do
nieskooczoności. Praca ta jest równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne (równoważące
siły pola) przy przemieszczeniu jednostkowego, dodatniego ładunku z nieskooczoności do
danego miejsca pola.
Jednostką potencjału jest 1 volt (V). Z 16.30 widad, że 1V = 1J/1C.
16.8 Natężenie jako gradient potencjału.
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 12
Znajdźmy zależnośd między natężeniem pola elektrycznego, a potencjałem pola. Praca
wykonana podczas przemieszczenia jednostkowego, punktowego ładunku z jednego punktu
pola do drugiego wzdłuż osi x, przy założeniu, że punkty położone są nieskooczenie blisko
siebie x2 – x1 = dx, jest równa: Exdx. Jednocześnie ta praca jest równa: V1 – V2 = - dV.
Porównując oba wyrażenia otrzymujemy:
x
Ex
V 16.31
gdzie symbol pochodnej cząstkowej podkreśla, że liczymy pochodną tylko po x. Powtarzając
analogiczne rozważania dla osi y i z można znaleźd wektor E:
k
z
Vj
y
Vi
x
VE
16.32
gdzie i, j, k – wersory osi x,y,z.
Z wyrażenia 1.30 wynika, że natężenie pola jest gradientem potencjału wziętym ze
znakiem minus:
gradVE
lub VE
16.33
Znak minus wskazuje, że natężenie pola jest skierowane w kierunku malejącego
potencjału.
Dla zobrazowania potencjału pola elektrycznego wprowadza się pojęcie powierzchni
ekwipotencjalnych. Są to powierzchnie posiadające we wszystkich miejscach tę samą
wartośd potencjału V.
Jeżeli pole jest wytworzone przez ładunek punktowy, to potencjał dany jest wyrażeniem
16.26. Tak więc, powierzchniami ekwipotencjalnymi, w tym wypadku, są koncentryczne
sfery . Z drugiej strony, linie sił natężenia pola są promieniami. W rezultacie linie sił w tym
wypadku są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych.
Dalsza analiza prowadzi do wniosku, że linie natężenia pola są zawsze prostopadłe do
powierzchni ekwipotencjalnych. Rzeczywiście wszystkie punkty powierzchni
ekwipotencjalnej mają jednakowy potencjał, dlatego praca przy przemieszczeniu ładunku
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 13
wzdłuż dowolnej drogi po powierzchni
ekwipotencjalnej jest równa zero; a to oznacza, że
siły elektrostatyczne są skierowane zawsze
prostopadle do powierzchni ekwipotencjalnej. W
rezultacie wektor E jest zawsze normalny
(prostopadły) do powierzchni ekwipotencjalnej.
Znając położenie linii sił natężenia pola
elektrycznego można narysowad powierzchnie
ekwipotencjalne, i na odwrót znając kształt
powierzchni ekwipotencjalnych można poprowadzid zawsze linie sił pola, a tym samym
określid wartośd i kierunek natężenia pola. Dla przykładu na rysunku 16.10 pokazany jest
kształt linii natężenia pola elektrycznego i kształt powierzchni ekwipotencjalnych.
Pokaż: Różnica potencjałów między dwiema nieskooczonymi naładowanymi płaszczyznami
wynosi: 021 σd/εVV 16.34
16.9 Rodzaje dielektryków. Polaryzacja dielektryków.
Dielektryk, jak każda substancja, składa się z atomów i cząsteczek. Ładunek dodatni
skupiony jest w jądrach atomów, a ujemny w otoczkach elektronów wokół atomów i
cząsteczek. Ponieważ ładunek dodatni wszystkich jąder cząsteczki jest równy sumarycznemu
ładunkowi elektronów, to cząsteczka jako całośd jest obojętna. Jeżeli zamienimy dodatnie
ładunki jąder cząsteczki na sumaryczny ładunek +Q, znajdujący się w środku „ciężkości”
ładunków dodatnich, a ładunki wszystkich elektronów sumarycznym ładunkiem ujemnym,
znajdującym się w środku „ciężkości” ładunków ujemnych, to cząsteczki można rozpatrywad
jako dipole elektryczne o momencie
dipolowym danym wyrażeniem 16.11.
Pierwszą grupę dielektryków stanowią
substancje (N2, H2, O2, CO2, CH4,...), których
cząsteczki mają budowę symetryczną, tzn.
środki „ciężkości” ładunków dodatnich i
ujemnych pokrywają się pod nieobecnośd
zewnętrznego pola elektrycznego, a tym
Rysunek 16.10
a. Cząsteczki niepolarne
bez pola.
b. Cząsteczki niepolarne
w polu.
Rysunek 16.11
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 14
samym ich moment dipolowy wynosi zero. Cząsteczki takich dielektryków nazywają się
niepolarnymi (Rysunek 16.11). Pod działaniem zewnętrznego pola elektrycznego ładunki
cząsteczek niepolarnych ulegają przemieszczeniu w przeciwne strony
i cząsteczka uzyskuje moment dipolowy.
Drugą grupę dielektryków stanowią substancje ( H2O, NH3, SO2,
CO,...), których cząsteczki mają niesymetryczną budowę, tzn. środki
„ciężkości” ładunków dodatnich i ujemnych nie pokrywają się. W
rezultacie, cząsteczki te w nieobecności zewnętrznego pola
elektrycznego posiadają już niezerowy moment elektryczny.
Cząsteczki takich dielektryków nazywają się polarnymi (Rysunek
16.12) . Jeżeli jednak nie ma pola elektrycznego, to momenty
dipolowe cząsteczek polarnych, w wyniku ruchów cieplnych, są
zorientowane chaotycznie i ich wypadkowy moment jest równy zero.
Jeżeli dielektryk taki umieścid w zewnętrznym
polu, to siły tego pola będą dążyły do
ustawienia dipoli wzdłuż pola.
Trzecią grupę dielektryków stanowią
substancje (NaCl, KCl, KBr,...), których
cząsteczki posiadają budowę jonową.
Kryształy jonowe (Rysunek 16.13) są
siatkami przestrzennymi, w węzłach których
na przemian umieszczone są jony dodatnie i
ujemne. W kryształach tych nie można
wydzielid oddzielnych cząsteczek, można
jednak kryształy te traktowad jako układ dwu
podsiatek nałożonych na siebie. Po
przyłożeniu do kryształu jonowego
zewnętrznego pola 𝐄 następuje pewna deformacja siatki krystalicznej lub wzajemne
przesunięcie podsiatek i w rezultacie tworzy się niezerowy moment dipolowy.
W ten sposób, wprowadzenie tych trzech grup dielektryków w zewnętrzne pole
elektryczne prowadzi do powstania różnego od zera, wypadkowego momentu dipolowego
lub innymi słowami do polaryzacji dielektryka.
a. Cząsteczki polarne
bez pola.
b. Cząsteczki polarne
w pola.
Rysunek 16.12
Rysunek 16.13
Na+
Cl -
𝑬
-
-
-
+
+
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 15
16.10 Wektor polaryzacji. Natężenie pola elektrycznego w dielektryku.
Jeżeli umieścid dielektryk w zewnętrznym polu elektrostatycznym, to ulega on
polaryzacji, tzn. uzyskuje różny od zera moment dipolowy i
iV pp
, gdzie ip
- moment
dipolowy cząsteczki. W celu ilościowego opisania polaryzacji dielektryka wprowadza się
wielkośd zwaną wektorem polaryzacji (polaryzacją), określoną jako moment dipolowy
jednostki objętości dielektryka:
i
iV /Vp/VpP
16.35
Z doświadczenia wynika, że dla zdecydowanej większości dielektryków (oprócz
ferroelektryków) polaryzacja 𝐏 zależy liniowo od natężenia pola elektrycznego 𝐄 . Jeżeli
dielektryk jest izotropowy, to
EκεP 0
16.36
gdzie κ – podatnośd elektryczna substancji, charakteryzująca własności dielektryka. κ jest
wielkością bezwymiarową i dla większości substancji jej wartośd jest rzędu kilku jednostek,
chociaż np. dla wody wynosi 80.
W celu znalezienia ilościowych prawidłowości pola w dielektryku wprowadźmy w
jednorodne pole (wytworzone przez dwie równoległe, jednorodnie i różnoimiennie
naładowane, nieskooczone płytki) płytkę z jednorodnego dielektryka usytuowaną jak na
Rysunku 16.14. Pod wpływem pola dielektryk ulega polaryzacji, tzn. zachodzi przesunięcie
ładunków: dodatnie przesuwają się zgodnie z polem, a ujemne przeciwnie do kierunku pola.
W rezultacie na prawej ścianie dielektryka, zwróconej w kierunku ujemnej płaszczyzny,
pojawi się nadmiar ładunku dodatniego o gęstości powierzchniowej +σi, a na lewej nadmiar
ładunku ujemnego, o gęstości powierzchniowej -σi. Te nie skompensowane ładunki
nazywamy związanymi (indukowanymi). Ponieważ ich gęstośd powierzchniowa σi jest
mniejsza od gęstości powierzchniowej σ ładunków swobodnych na płytkach, to nie całe pole
elektryczne 𝐄 będzie skompensowane: częśd linii sił pola będzie przechodzid przez dielektryk.
W rezultacie polaryzacja dielektryka spowoduje zmniejszenie w nim pola elektrycznego. Na
zewnątrz dielektryka 𝐄 = 𝐄 𝟎.
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 16
W rezultacie, pojawienie się ładunków związanych prowadzi do
powstania dodatkowego pola 𝐄′ , które skierowane jest przeciwnie niż
pole zewnętrzne 𝐄 𝟎 i powoduje osłabienie tego ostatniego. Wypadkowe
pole wewnątrz dielektryka wyniesie:
'
0 EEE
Pole 0
' /εE i , dlatego
00 /εEE i 16.37
Obliczmy gęstośd powierzchniową ładunków związanych σ’. Z
równania 16.35 wynika, że całkowity moment dipolowy płytki będzie
wynosił pV = PV = PSd, gdzie S pole powierzchni ściany dielektryka, a d –
jego grubośd. Z drugiej strony całkowity moment dipolowy, zgodnie z
16.11 będzie równy iloczynowi związanego ładunku Q’ = σiS i odległości
między nimi, tzn. pV = σ’Sd. W ten sposób:
SdσPSd i
lub
Pσi 16.38 1.36
tzn. gęstośd powierzchniowa ładunków związanych σ’ równa jest
polaryzacji P.
Podstawiając do 16.37 wyrażenie 16.36 i 16.38 otrzymujemy
κEEE 0
skąd natężenie wypadkowego pola wewnątrz dielektryka
κ1/EE 0 16.39
Zgodnie z 16.3 przenikalnośd dielektryczna ośrodka ε wskazuje ile razy siła F oddziaływania
dwu ładunków w danym ośrodku jest mniejsza od siły F0 ich oddziaływania w próżni, tzn.
ε = F0/F. Wtedy
/εEE 0 16.40
Ze wzorów 16.39 i 16.40 wynika, że
b. Dielektryk między
płytami.
a. Próżnia między
płytami.
Rysunek 16.14
𝑬′
𝑬 𝟎
𝑬 𝟎
d
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 17
κ1ε 16.41
16.10 Przesunięcie elektryczne. Twierdzenie Gaussa dla pola elektrycznego
w dielektryku (Opcjonalnie).
Z powyższych rozważao wynika, że wektor natężenia pola elektrycznego na granicy dwu
dielektryków przechodzi skokową zmianę, powodując tym samym utrudnienia podczas
wyliczeo pól elektrycznych. Dlatego okazało się koniecznym wprowadzenie, oprócz wektora
natężenia pola elektrycznego, dodatkowo wektora przesunięcia elektrycznego, który w
przypadku izotropowego ośrodka jest równy
EεεD 0
16.42
Korzystając ze wzoru 16.41 i 16.36 otrzymujemy
PEεD 0
16.43
Jak stwierdziliśmy wcześniej, wektor 𝐄 zależy od własności dielektryka (inne jest ε dla
powietrza, a inne dla dielektryka na rysunku 16.14). Wektor 𝐃 nie zależy od własności
dielektryka (nie zależy od ε); w rezultacie opisuje on pole elektryczne wytworzone przez
ładunki swobodne.
Podobnie jak pole 𝐄 pole 𝐃 można przedstawid za pomocą linii przesunięcia
elektrycznego. Linie wektora𝐄 mogą zaczynad się i kooczyd na dowolnych ładunkach –
swobodnych i związanych, tymczasem linie wektora D tylko na ładunkach swobodnych.
Zgodnie z powyższym twierdzenie Gaussa dla strumienia wektora przesunięcia
elektrycznego można zapisad w postaci
S S
n
1i
iD QdSDSdDΦ
16.44
gdzie uwzględniamy tylko ładunki swobodne. Równanie 16.44 wyraża twierdzenie
Gaussa dla pola elektrycznego w dielektryku:
Strumieo wektora elektrycznego przesunięcia w dielektryku przez dowolną powierzchnię
zamkniętą jest równy sumie algebraicznej zamkniętych wewnątrz tej powierzchni
swobodnych ładunków elektrycznych.
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 18
Dla próżni Dn = ε0En (ε = 1), wtedy strumieo wektora natężenia E przez dowolną
powierzchnię zamkniętą będzie równy
S i
in0 QdSEε
Ponieważ źródłem pola E w ośrodku są zarówno ładunki swobodne jak i związane, to
twierdzenie Gaussa w najbardziej ogólnej postaci można zapisad w postaci
S S
n
i
izw
n
i
in QQdSESdE11
00
gdzie
n
i
iQ1
i
n
i
izwQ1
- odpowiednio sumy ładunków swobodnych i związanych zawartych
wewnątrz zamkniętej powierzchni S. Jednak równanie to nie może byd zastosowane do
opisania pola E w dielektryku, ponieważ wzór ten określa własności nieznanego pola E
poprzez ładunki związane, które z kolei, są określone tym polem. To jeszcze raz udowadnia
celowośd wprowadzenia wektora przesunięcia.
16.11 Przewodniki w polu elektrycznym.
Jeżeli przewodnik umieścid w zewnętrznym polu elektrycznym lub, jeżeli dostarczyd do
przewodnika pewien ładunek, to na ładunki w przewodniku będzie działad pole elektryczne
powodujące przemieszczanie się ładunków. Przemieszczanie ładunków będzie zachodzid
dopóty, dopóki nie ustali się stan równowagowego rozłożenia ładunków, dla którego pole
elektryczne wewnątrz przewodnika będzie równe zero. Zachodzi to w bardzo krótkim
czasie (ułamek sekundy). Rzeczywiście, gdyby pole nie było równe zero, to w przewodniku
powstałby uporządkowany ruch ładunków bez użycia energii z zewnętrznego źródła, co
przeczy zasadzie zachowania energii. W rezultacie natężenie pola we wszystkich punktach
wewnątrz przewodnika jest równe zero:
0E
Zerowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika oznacza, że potencjał we
wszystkich punktach przewodnika jest jednakowy (φ = const.), a to z kolei oznacza, że
powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną. W rezultacie natężenie pola
na zewnętrznej powierzchni przewodnika musi byd prostopadłe w każdym punkcie
przewodnika. Jeżeli by tak nie było, to pod działaniem składowej stycznej pola 𝐄 ładunki
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 19
poruszałyby się po powierzchni, co z kolei przeczyłoby równowagowemu rozłożeniu
ładunków.
Jeżeli do przewodnika dostarczyd pewien ładunek Q, to nieskompensowane ładunki
mogą znajdowad się tylko na powierzchni przewodnika. Wynika to bezpośrednio z
twierdzenia Gaussa, zgodnie z którym, ładunek Q znajdujący się wewnątrz przewodnika w
pewnej objętości ograniczonej dowolną zamkniętą
powierzchnią jest równy strumieniowi natężenia pola
elektrycznego. Ponieważ E = 0, to Φ = 0 i Q = 0 (Rysunek
16.15.
Znajdźmy zależnośd pomiędzy natężeniem pola E w
pobliżu powierzchni naładowanego przewodnika, a
gęstością powierzchniową ładunków na powierzchni. W
tym celu zastosujmy twierdzenie Gaussa do powierzchni
cylindra o podstawie ds. (jedna z nich niech znajduje się
wewnątrz, a druga na zewnątrz przewodnika) i którego oś
jest równoległa do wektora D (Rysunek 16.16). Ponieważ
pole wewnątrz przewodnika nie istnieje, to strumieo
wektora D przez zamkniętą powierzchnię cylindra będzie
równy tylko strumieniowi przez zewnętrzną podstawę
cylindra. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa (16.16), strumieo
ten (EdS) jest równy sumie ładunków razy 1/ϵ0 (Q = σdA)
zawartych wewnątrz tej powierzchni: EdA = σdA/ϵ0 tzn.
E = σ/(ε0) 16.45
W ten sposób natężenie pola elektrycznego przy powierzchni przewodnika jest określone
przez gęstośd powierzchniową ładunków. Zależnośd 16.45 jest prawdziwa dla przewodnika o
dowolnym kształcie.
Jeżeli do zewnętrznego pola wprowadzid obojętny przewodnik, to ładunki swobodne
będą się przemieszczad tak długo aż ustali się stan równowagi. Na jednym koocu
przewodnika zgromadzą się ładunki ujemne, a na drugim ładunki dodatnie. Ładunki te, tak
jak w przypadku dielektryków, nazywamy indukowanymi. W sranie równowagi natężenie
wewnątrz przewodnika osiągnie wartośd równą zeru, a linie na zewnątrz przewodnika będą
prostopadłe do niego.
b)
Powierzchnia Gaussa
wewnątrz przewodnika
(przekrój)
Przewodnik
(przekrój)
Ładunek na
powierzchni.
Rysunek 16.15
Powierzchnia
przewodnika
dA
dA
σ
𝐄
Rysunek 16.16
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 20
Ponieważ w warunkach równowagi wewnątrz
przewodnika nie ma ładunków to, jeżeli usunąd częśd
wnętrza przewodnika – wytworzyd w nim wnękę, to
nie spowoduje to zmiany konfiguracji ładunków, a
tym samym nie wpłynie to na pole elektryczne. W
rezultacie wewnątrz wnęki nie będzie pola
(Rysunek 16.17). Jeżeli następnie taki przewodnik z
wnęką uziemid, to potencjał we wszystkich punktach
wnęki będzie równy zero, a to oznacza, że wnęka
będzie całkowicie izolowana od wpływu zewnętrznych pól elektrostatycznych. Na tym
polega elektrostatyczne ekranowanie ciał, np. osłona czułych przyrządów pomiarowych od
wpływu zewnętrznych pól elektrostatycznych. Zamiast jednorodnego przewodnika, w
charakterze ekranu, może byd użyta gęsta metalowa siatka, która mówiąc nawiasem jest
dobrym ekranem również dla zmiennych pól elektrycznych.
Ta własnośd ładunków sytuowania się na zewnętrznej
powierzchni przewodnika jest wykorzystywana do budowy
generatorów elektrostatycznych, przeznaczonych do zbierania
dużych ładunków, i wytwarzania tym samym dużych różnic
potencjałów (rzędu milionów woltów). Generator
elektrostatyczny, po raz pierwszy zbudowany przez
amerykaoskiego fizyka van de Graaff’a, składa się z przewodnika
w kształcie sfery (Rysunek 16.18), zamocowanego na izolatorach.
Ruchoma, wykonana z materiału izolacyjnego taśma jest
ładowana przez źródło ładunków za pomocą układu ostrzy.
Uziemiona płyta wzmacnia proces spływania ładunków z ostrzy
na taśmę. Inny układ ostrzy zdejmuje ładunki z taśmy i
przekazuje je do powierzchnię czaszy metalowej.
16.12 Pojemnośd odosobnionego przewodnika.
Rozważmy odosobniony przewodnik, tzn. taki, który znajduje się daleko od innych
przewodników, ciał i ładunków. Jego potencjał, zgodnie z równaniem 16.26, jest wprost
proporcjonalny do ładunku przewodnika. Z doświadczenia wiadomo, że różne przewodniki,
Rysunek 16.17
Pole jest prostopadłe do powierzchni przewodnika
Pole przesuwa elektrony
na lewą stronę
Po prawej stronie zostaje
wypadkowy ładunek dodatni
Taśma
Izolowana
podpora
Przewodząca
czasza
Rysunek 16.18
Silnik napędzający
taśmę
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 21
które są jednakowo naładowane przyjmują różne potencjały. Dlatego dla odosobnionego
przewodnika można zapisad:
𝑄 = 𝐶 ∙ 𝑉
Wielkośd
𝐂 =𝐐
𝐕 16.46
nazywana jest pojemnością odosobnionego przewodnika. Pojemnośd odosobnionego
przewodnika równa jest takiemu ładunkowi, który przekazany na ten przewodnik powoduje
zwiększenie jego potencjału o jednostkę (1V).
Pojemnośd przewodnika zależy od jego rozmiarów i kształtu, nie zależy od kształtu i
rozmiarów wnęki wewnątrz przewodnika. Jest to związane z tym, że ładunek nadmiarowy
lokalizuje się na zewnętrznej powierzchni przewodnika.
Jednostką pojemności jest farad (F): 1F jest to pojemnośd takiego odosobnionego
przewodnika, którego potencjał zmienia się o 1V, jeżeli wprowadzid na niego ładunek 1C.
Zgodnie z 16.26, potencjał odosobnionej kuli o promieniu R znajdującej się w ośrodku
jednorodnym o przenikalności dielektrycznej ε jest równy:
εR
Q
4π
1V
0
Korzystając z 16.46 otrzymujemy wzór na pojemnośd kuli
εR4πC 0 16.47
Wynika stąd, że pojemnośd 1F posiada kula znajdująca się w próżni i mająca promieo
km1094πC/R 9
0 tzn. 1400 razy większy niż promieo Ziemi (pojemnośd Ziemi
0,7mFC ). Oznacza to oczywiście, że farad jest jednostką bardzo dużą i w związku z tym
praktycznie używa się – milifarad – 10-3F (mF), mikrofarad – 10-6F (μF), nanofarad (nF) – 10-
9F, pikofarad – 10-12F (pF).
16.13 Kondensatory.
Jak wynika z powyższego paragrafu, aby przewodnik posiadał dużą pojemnośd musi
posiadad bardzo duże rozmiary. W praktyce jednak potrzebne są urządzenia, które przy
niewielkich rozmiarach i niewielkich potencjałach względem otaczających ciał, byłyby w
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 22
Okładka a
o powierzchni A
Rysunek 16.19
Okładka b o
powierzchni A
Różnica
potencjałów = Vab
stanie gromadzid duże wartości ładunków, innymi słowy posiadałyby dużą pojemnośd.
Urządzenia te noszą nazwę kondensatorów.
Jeżeli do naładowanego przewodnika zbliżyd inne ciała, to na ich powierzchni powstaną
ładunki indukowane (na przewodniku), lub indukowane (w dielektryku), przy czym najbliżej
usytuują się ładunki mające znak przeciwny niż ładunek Q na przewodniku. Ładunki te,
oczywiście, osłabią pole wytworzone przez ładunek Q, tzn. obniżą jego potencjał, a tym
samym zwiększą jego pojemnośd (patrz 16.46).
Kondensator składa się z dwu przewodników (okładek), które są rozdzielone
dielektrykiem. Aby na pojemnośd kondensatora nie wpływały otaczające ciała,
kondensatorom nadaje się taki kształt, aby pole wytworzone przez zgromadzony ładunek
było zawarte w wąskim obszarze między okładkami
kondensatora. Takiemu warunkowi odpowiadają np. dwie
płaskie płytki i taki kondensator nazywamy płaskim
(Rysunek 16.19a).
Ponieważ pole zawarte jest wewnątrz kondensatora, to
linie sił pola zaczynają się na jednej okładce, a kooczą na
drugiej, dlatego ładunki swobodne powstające na
okładkach są równe co do modułu i mają przeciwne znaki.
Pojemnością kondensatora nazywamy taką wielkośd
fizyczną, która jest równa stosunkowi ładunku Q
zgromadzonego na jednej z okładek do różnicy
potencjałów między jego okładkami:
𝐂 =𝐐
𝐕𝟏−𝐕𝟐 16.47
Pojemnośd kondensatora.
Rozważmy pojemnośd kondensatora płaskiego składającego się z dwóch równoległych
metalowych płytek a i bo powierzchni A, oddalonych od siebie na odległośd d i posiadających
ładunki +Q i –Q (Rysunek 16.19b). Jeżeli odległośd między płytkami jest mała w porównaniu
z ich rozmiarami liniowymi, to efekty brzegowe można zaniedbad i pole wewnątrz
kondensatora można uważad za jednorodne. Zgodnie ze wzorem 16.34, zakładając, że
między okładkami znajduje się dielektryk o ε otrzymujemy:
a.
b.
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 23
021 εεσd/VV 16.48
Wtedy z równania 16.47 otrzymujemy, że pojemnośd kondensatora płaskiego wynosi (Q =
σA)
d
AεεC 0
16.49
Widad, że pojemnośd kondensatora płaskiego jest wprost proporcjonalna do ε. Tak jest
również dla kondensatorów o innych kształtach. Dlatego też wypełnienie kondensatora
ferroelektrykiem (dielektrykiem o dużym ε), znacznie
zwiększa jego pojemnośd. Aby zwiększyd powierzchnię
okładek, a tym samym zwiększyd pojemnośd
kondensatorów wykonuje się je w ten sposób, że
między dwie długie wstęgi przewodzącej foli umieszcza
się cienką folię plastikową (dielektryk) i następnie zwija
się je razem (Rysunek 16.20).
16.13.1 Równoległe łączenie kondensatorów. (Rysunek 16.21)
Dla równoległego połączenia kondensatorów różnica potencjałów na okładkach
kondensatorów jest jednakowa i równa BA .
Jeżeli pojemności poszczególnych kondensatorów
wynoszą C1, C2, ...,Cn, to zgodnie z 1.47
BA11 VVCQ
BA22 VVCQ
. . . . . . . . . . .
BAn VVCQn ,
i całkowity ładunek baterii kondensatorów
wyniesie:
n
1i
BAn21i VVC...CCQQ
Całkowita pojemnośd takiego układu kondensatorów – pojemnośd ekwiwalentna:
n
1i
in21BA CC...CCVVQ/C
Rysunek 16.20
Przewodnik
(folia metalowa)
Przewodnik
(folia metalowa) Dielektryk
(warstwa plastiku)
Rysunek 16.20
C1
C2
Cn
+Q1
+Qn
-Q1
-Q2
-Qn
VB VA
+Q2
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 24
tzn. jest równa sumie pojemności poszczególnych kondensatorów.
1.13.2 Szeregowe łączenie kondensatorów. (Rysunek 16.22)
Przy szeregowym połączeniu kondensatorów ładunki na wszystkich okładkach są równe
co do wartości bezwzględnej, a różnica potencjałów na zaciskach takiej baterii
n
1i
iΔVΔV
gdzie dla dowolnego z kondensatorów
ii Q/CΔV
Z drugiej strony,
n
1i
i1/CQQ/CΔV
i w rezultacie pojemnośd
całkowita:
n
1i i21 C
1...
C
1
C
1
C
1
tzn. przy szeregowym łączeniu kondensatorów sumują się odwrotności pojemności. Wynika
stąd, że przy szeregowym łączeniu kondensatorów sumaryczna pojemnośd C jest zawsze
mniejsza od najmniejszej pojemności występującej w baterii.
16.14 Energia układu ładunków, naładowanego odosobnionego
przewodnika i naładowanego kondensatora. Energia pola elektrostatycznego.
1. Energia układu nieruchomych ładunków. Siły elektrostatyczne są siłami zachowawczymi,
a w związku z tym układ ładunków posiada energię potencjalną. Znajdźmy energię
potencjalną układu dwu nieruchomych ładunków punktowychQ1 i Q2 znajdujących się w
odległości r od siebie. Każdy z tych ładunków znajdując się w polu drugiego posiada energię
potencjalną:
1211 VQU ,
C1 C2 C3 Cn
+Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q
VA VB
ΔV1 ΔV2 ΔV3 ΔVn
Rysunek 16.22
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 25
2122 VQU
gdzie V12 i V21 - odpowiednio potencjały wytworzone przez ładunek Q2 w punkcie położenia
ładunku Q1 i przez ładunek Q1 w punkcie położenia ładunku Q2. Zgodnie z 1.24
r
Q
4ππ
1V 2
0
12 i r
Q
4ππ
1V 1
0
21
Dlatego
UUU 21
i
212121212121 VQVQ2
1QVQU
Dodając do układu dwu ładunków następne Q3, Q4, ... można zauważyd, że dla n
nieruchomych ładunków ich całkowita potencjalna energia oddziaływania wyniesie:
n
1i
iiVQ2
1U 16.50
gdzie Vi jest potencjałem w miejscu gdzie znajduje się ładunek Qi wytworzonym przez
wszystkie ładunki oprócz i-tego.
2. Energia naładowanego odosobnionego przewodnika. Niech będzie dany odosobniony
przewodnik posiadający ładunek Q, potencjał V i pojemnośd C. Zwiększmy ładunek tego
przewodnika o dQ. W tym celu należy przenieśd ładunek dQ z nieskooczoności na
powierzchnię przewodnika i wykonad pracę równą
CVdVVdQdW .
Aby naładowad przewodnik od zerowego potencjału do potencjału φ należy wykonad pracę
0
2CV2
1CVdW 16.51
Energia naładowanego przewodnika jest równa takiej pracy, która jest konieczna do
naładowania tego przewodnika, tzn. 16.51 jest jednocześnie wyrażeniem na energię
naładowanego przewodnika:
C
Q
2
1QV
2
1CV
2
1U
22 16.52
Piotr Posmykiewicz –Wykład z fizyki 26
Wzór 16.52 można otrzymad przypominając sobie, że potencjał przewodnika jest
wszędzie jednakowy. Przyjmując potencjał równy V z równania 1.50, otrzymujemy:
QV2
1QV
2
1U
i
i
gdzie i
iQQ jest ładunkiem przewodnika.
1. Energia naładowanego kondensatora. Jak każdy naładowany przewodnik kondensator
posiada energię, która zgodnie z ze wzorem 16.52 jest równa
𝐔 =𝟏
𝟐𝐂 ∆𝐕 𝟐 =
𝟏
𝟐𝐐∆𝐕 =
𝟏
𝟐
𝐐𝟐
𝐂 16.53
gdzie Q – ładunek kondensatora, C – jego pojemnośd, ΔV – różnica potencjałów między
okładkami.
Znajdź, że siła przyciągania się okładek kondensatora płaskiego wynosi
S2εε
QF
0
2
4. Energia pola elektrostatycznego. Przekształdmy wzór 16.53, opisujący energię
kondensatora płaskiego, podstawiając pojemnośd kondensatora płaskiego (C = εε0A/d) i
różnicę potencjałów między okładkami (Δφ = Ed). Otrzymamy wtedy
V2
EεεSd
2
EεεU
2
0
2
0 16.54
gdzie V = Sd jest objętością kondensatora.
Wzór 16.54 pokazuje, że energia kondensatora jest wyrażona poprzez wielkośd
charakteryzującą pole – natężenie E. Wskazuje to, że pole elektryczne posiada energię i, że w
związku z tym można mówid o energii pola elektrostatycznego. Takie pole posiada energię o
gęstości:
2
ED
2
EεεU/Vw
2
0 16.55
Wzór 1.53 określa energię poprzez ładunki, a wzór 1.54 poprzez natężenie pola E. Powstaje
zatem pytanie, czy energię posiadają ładunki, czy pole elektryczne? Na gruncie elektrostatyki
nie można dad na to pytanie odpowiedzi. Okazuje się jednak, że zmienne pola elektryczne
mogą istnied niezależnie od wzbudzających je ładunków elektrycznych i mogą
rozprzestrzeniad się w przestrzeni w postaci fal elektromagnetycznych przenoszących
energię. To przekonywująco udowadnia, że nośnikiem energii jest pole elektryczne.
Recommended