Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja

ZavodZavod zaza unapređivanjeunapređivanje obrazovanja i obrazovanja i

vaspitanjavaspitanjaAutor rada:Autor rada:

Nastavni predmetNastavni predmet::

ТемаТема::

UzrastUzrast::

PotrebnaPotrebna tehnologija:tehnologija:

MikloMikloš Kovačš Kovač, , Elektrotehnička Škola Elektrotehnička Škola “Mi“Mihajlo hajlo PupinPupin”” Novi Sad Novi Sad

MatematikaMatematika

JednaJednaččina elipseina elipse

Treći razredTreći razred

Računar, projektor i platno za projekcijuRačunar, projektor i platno za projekciju

Prikaz časa u Word

dokumentu

Analitička Analitička geometrijageometrija

ElipsaElipsa

JednaJednačina elipsečina elipse

Kakav je oblik planetarnih putanja (orbita)?

Grčki astronom, matematičar i geograf Klaudije Ptolomej koji je živeo u prvoj polovini 2. veka, je smatrao da se Zemlja nalazi u središtu svemira i da se planete, Mesec pa i Sunce okreću oko nje.

Zanimljiva matematikaZanimljiva matematika

Neravnomerno kretanje planeta po nebeskom svodu objasnio je kretanjem po epiciklima. Epicikl je kružnica po kojoj se kreće planeta, a centar kružnice se kreće oko Zemlje.

Ptolomejev sistem korišćen je posle njega punih četrnaest vekova, sve do Kopernikovih otkrića 1543. godine.

Njegov sistem planetarnih kretanja zasnivao se na geocentričnom modelu univerzuma.

Poljski sveštenik i astronom Nikola Kopernik (1473-1543) je doveo u pitanje Ptolomejevo shvatanje Sunčevog sistema i tvrdio da se Zemlja zajedno sa svim planetama okreće oko Sunca, a da se oko Zemlje okreće jedino Mesec.

Jedina greška u Kopernikovom shvatanju Sunčevog sistema je bila u tome što je on smatrao da se planete okreću oko Sunca po savršenim kružnicama.

U dugom periodu od Ptolomeja do Kopernika astronomi su imali jednostavan, ali netačan stav: putanje planeta su kružnice. Mislili su da je kružno kretanje "savršeni" oblik kretanja koje je Bog kao takvo izabrao za kretanja planeta. Tek je nemački astronom Johannes Kepler na osnovu preciznih dugogodišnjih posmatranja 1609. godine izneo stav da su orbite planeta elipse.

Johannes Kepler (1571-1630)

I Keplerov zakon:

Keplerovi zakoni kretanja planeta odnose se i na kretanje drugih nebeskih tela (prirodni i veštački sateliti, komete itd.).

Planete oko Sunca opisuju eliptične putanje, pri čemu se Sunce nalazi u zajedničkoj žiži.

Tačka u kojoj je planeta najudaljenija od Sunca naziva se afel, a najbliža perihel.

Prvi Keplerov zakon se može predstaviti i jednačinom elipse u polarnim koordinatama:

/(1 cos )r const

- radijus-vektor- polarni ugao računat od perihela- ekscentričnost orbite

r

Malo prave matematike...Definicija Pod elipsom podrazumevamo skup svih tačaka u ravni takvih da je za svaku od njih zbir rastojanja od dveju datih tačaka konstantan.

Date tačke nazivamo žižama ili fokusima elipse.

1( ,0)A a 2 ( ,0)A a

x

y

( , )M x y2 (0, )B b

1(0, )B b

0

1r 2r

1( , )F e o 2 ( , )F e o

1( , )F e o 2 ( , )F e oi - žiže ili fokusi elipse- rastojanje između žiža je 2e, to je žižno rastojanje elipse- označimo sa 2a (a>0) zbir rastojanja proizvoljne tačke elipse od žiža, koji je prema definiciji elipse konstantan

- neka je M proizvoljna tačka elipse

1 2Kako je 2 , po pravilu o odnosu stranica trou l :g aFM F M a

1 2 1 22 2 , pa je . Neka je .a FM F M FF e a e a e

ekscentritetom eliOdnos nazivamo ; taj broj je uvek manji od se .p 1e

a

Za 0, tj. u slučaju kružnice, dobija se da je 0. e

ea

2 22 21 1 2 2Uočimo i ,MF r x e y MF r x e y

2 22 2 2 (rastojanje između dve tačke).x e y x e y a

Ovaj oblik jednačine elipse može se uprostiti sledećim

transformacijama:

2 22 2 2

2 2 22 2 2 2

22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

22 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2

2

2 /

4 4

2 4 4 2

/

2

2 2

2 2

x e y a x e y

x e y a a x e y x e y

x xe e a a x e y x xe e

a x e y a xe

a x e a y a a xe x e

a x xe e a y a a xe x e

a x a xe a e a y a a xe x e

x a

2 2 2 2 2 2 2 ;e a y a a e

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

0, uvodimo smenu ,

, , .1

a e a e b a e

x b a y a b by

ax

a be

Ovo je kanonski oblik jednačine elipse.

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2

Posmatrajmo jednačinu: i rešimo je po y:

za 0, ; 0, ; 0, ;

b x a y a b

a b b x ba y a b b x y y a x

a ab

x y a b x y b x y ba

1 2

1 2 1 2

0, i 0, su tačke na elipsi, a takođe i na osi ;

znači elipsa seče osu u tačkama B 0, i B 0, .

Tačke i su temena elipse, a 2 je

elip

manja osa

se.

y

y

b b O

O b b

B B B B b

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2

2

1 2

1 2

Rešimo jednačinu elipse po , dobijamo

temena na osi :

;

za 0, ,

elipsa seče x-osu u tačkama ,0 i ,0

2 je elipse.veća osa

x

b x a y a b x

O

a b a y ax x b y

b ba

y x b ab

A a A a

A A a

1(0, )B b

2 (0, )B b

1( ,0)A a2 ( ,0)A a0

x

y

-a i b su poluose elipse, a veza koja postoji između veće poluose, polovine žižnog rastojanja i manje poluose elipse je

2 2 2.a e b

Elipsa je simetrična u odnosu na obe koordinatneose.

Ako su poluose elipse jednake, ona je onda krug.

Zadaci:

2 2 2 2 2 2

1 2

1. Pokazati da su rastojanja proizvoljne tačke ( , ) koja

pripada elipsi od žiža date elipse jednaka:

, .

M x y

b x a y a b

e er a x r a x

a a

2 22 21 1 2 2

22 2 2 2 21 2

22 2 2 2 21 2

221 2 1 2

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

,

( ) ,

( )

( )

2 2

24 2 4 ;

2 ,

MF r x e y MF r x e y

r x e y r x e y

r r x e y x e y

r r r r x e x e

r r r r x ex e x ex e

exr r r r ex r r a ex r r

aex

r r r ra

1

2 2

1

2

22 2 2 , ;

2 2

.

exa r a

ae

er a x

aee

a x r a r a a xa

raa

a x

2 22. Odrediti koordinate one tačke elipse 9 25 225, čije

je rastojanje od desnog fokusa četiri puta veće od rastojanja od

levog fokusa.

x y

2 2

2 2 2 2

Poluose su: 9 3 i 25 5.

25 9 4.

b b a a

a e b e e

2 (5,0)A1( 5,0)A

2 (0,3)B

1(0, 3)B

1( 4,0)F 2 (4,0)F

( , )M x y

2r1r

0 x

y

2 1

1 2 1 2

2 2

4 - uslov zadatka

4 4 , 5 5

5 54 4 4 16

5 4 5 , 5 205 5 5 5

2015 4 15 .

515

Drugu koordinatu tačke dobijamo zamenom u4

9x 25 225

15

4

.

r r

e er a x r a x r x r x

a a

x x x x

x x x

M x

y

22 2

2 2

15 2259 25 225 9 25 225

4 16

3600 2025 6325 , .

16 16

63

4

y y

y y y

2 23. U elipsi 4 4 upisan je jednakostraničan trougao.

Jedno teme tog trougla pripada desnom temenu na velikoj

osi elipse. Odrediti koordinate ostala dva temena trougla.

x y

2

2

1

4

b

a

1( 2,0)A 2 (2,0)A

2 (0,1)B

1(0, 1)B

y

x0 30

D

C

30

1l

2

1

1 2

Trougao je jednakostraničan. Teme se nalazi u

preseku prave i elipse, pa moramo odrediti jednačinu

prave . Ona prolazi kroz tačku 2,0 i gradi ugao od

150 sa pozitivnim smerom ose .x

A CD C

l

l A

O

1 1 1: ( );l y y k x x 3150 ;

3k tg

1

2 2

2

2

3 3 2 3: 0 2

3 3 3

3 2 34 4

3 3

3 2 34 4;

3 3

l y x y x

x y y x

x x

2 2

1 2

2 2 2 2

21,2

22

3 2 3 2 3 4 34 4

9 3 3 9

1 4 4 4 16 164 4 4 / 3

3 3 3 3 3 3

16 256 1127 16 4 0 , ;

14

4 48, ;

4 4

2, 2

7

4 3

9 7

x x x

x x x x x x

x x x

xy y

x x

2 4 3, ,

7 7C

2 4 3, .

7 7D

Koordinate temena su:

Zadaci za vežbu:

1 2

1. Odrediti jednačinu elipse u kanonskom obliku ako elipsa

prolazi kroz tačke (1,3) i (4,1).M M

2 2

2. Odrediti dužinu tetive, koja sadrži žižu i normalna je na

veću osu elipse 1.64 16

x y

2 2

3. Na pravoj 5 odrediti tačku podjednako udaljenu od

leve žiže i temena koje pripada pozitivnom delu ordinatne

ose elipse 5 20.

x

x y

2 2

4. Na elipsi 1 odrediti tačku čiji su radijus vektori20 4

uzajamno normalni.

x y

Hvala na pažnji