методы решения логарифмических уравнений

Методическая разработка учащихся 10 класса МОУ «Бельская СОШ»г. Белого Тверской области

Основные методы решений логарифмических уравнений

Определение

Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, , называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

a1

1. Использование определения логарифма.

2. Метод потенцирования.

Пример 2.

lg ( x 2– 9 ) = lg (4x + 3) ОДЗ:

09

0342x

x

3

34

3

x

x

x

x > 3

x 2– 9 = 4x + 3 x 2– 4x – 12 = 0

2

6

x

x

x= –2 - не входит в ОДЗ Ответ: 6.

3. Введение новой переменной.

Пример 3.

log 24x – 2log 4x – 3 = 0 ОДЗ: x > 0

Пусть log 4x = t t 2– 2t – 3 = 0

1

3

t

t

1log

3log

4

4

x

x

4

1

64

x

x

Ответ: 4

1; 64.

4. Приведение логарифмов к одному основанию.

Формулы перехода: Пример 4. log 3 x – 6log x 3 = 1 ОДЗ: x > 0, x 1 log 3 x –

x3log

6 = 1

Пусть log 3 x = t t –

t

6 = 1

t 2 – t – 6 = 0

3

2

t

t

3log

2log

3

3

x

x

279

1

x

x

Ответ: 9

1; 27.

1) log a b = a

b

c

c

log

log 2) log a b = ablog

1

5. Метод логарифмирования.Пример 5.

x x2log = 64x ОДЗ: x > 0 логарифмируем обе части уравнения по основанию 2 log 2x x2log = log 264x log 2x log 2x = log 264x log 2

2x = log 264 + log 2x log 2

2x – log 2x – 6 = 0 Пусть log 2x = t t 2– t – 6 = 0

3

2

t

t

3log

2log

2

2

x

x

84

1

x

x

Ответ: 4

1; 8.

6. Применение формулы a bclog = b aclog

Пример 6.

9xlglog3 = 2lg x + 3

ОДЗ:

0lg

0

x

x

1

0

x

x x > 1

(lg x) 9log3 = 2lg x + 3 lg 2x – 2lg x – 3 = 0 Пусть lg x = t t 2– 2t – 3 = 0

3

1

t

t

3lg

1lg

x

x

1000

1,0

x

x x = 0,1- не входит в ОДЗ

Ответ: 1000.

Каждому уравнению поставьте в соответствие

метод его решения

10.04.23 10

по определению логарифма

метод потенцирования

метод подстановки

метод логарифмирования

решение по формуле

Функциональные методы решения логарифмических

уравнений

10.04.23 11

Использование области допустимых значений

уравнения

ОпределениеОбластью допустимых значений уравнения называется общая область определения всех функций, входящих в уравнение

Утверждение1 Если область допустимых значений уравнения пустое множество, то уравнение не имеет корней.Например:

ОДЗ

Ответ : корней нет.

Утверждение 2.

Если область допустимых значений уравнения состоит из конечного числа значений, то корни уравнения содержатся среди этих значений.Это условие является необходимым, но не является достаточным.Поэтому необходима проверка. Пример. + ОДЗ

Проверка:

При х = -1 получаем 0=2. Равенство неверно. Значит х = -1 не является корнем уравнения.

При х=1 получаем 0=0. Значит х=1 - корень уравнения. Ответ:1

Алгоритм решения

1) Находим ОДЗ уравнения.

2) Если ОДЗ - пустое множество, то уравнение не имеет корней. Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения

надо подставить в уравнение.

Использование монотонности функций.

10.04.23 18

Теорема.

Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного корня.

Пример:

log3 x + log8 (5 + x) = 2

ОДЗ: х > 0

5 + x > 0 0 < x < 5

Подбором находим корень уравнения x = 3.

Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая.

Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.

  Ответ: 3.

Теорема.

Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня.

Пример:

log0,5 8/х = 2 – 2х

ОДЗ: x > 0

Подбором находим корень уравнения x = 2.

Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие

Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая

(как убывающая функция от убывающей)

Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая

Тогда данное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2

10.04.23 19

Алгоритм решения

• Найти ОДЗ.

• Подбором найти корень уравнения.

• С помощью монотонности функции доказать, что корень единственный.

10.04.23 20

Использование множества значений

(ограниченности) функций

10.04.23 22

f(x) и g(x)- элементарные функции, Е(f) и Е(g) – множества значений этих функций.

Утверждение 1. Если пересечение множеств значений функций f(x) и g(x)

пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней.

Пример:Рассмотрим функции f(x)= и g(x)= Найдём их области значений.Е(f): Е(g):

E(ƒ)∩ E(g)=Ø

Ответ: нет корней

Утверждение 2.Если E(ƒ)∩E(g)= и f(x)≤ M, а g(x)≥M, то уравнение f(x)= g(x) равносильно системе уравнений Пример

10.04.23 23

Ответ: 0

X=0

Алгоритм решения

1.Оценить обе части уравнения

2.Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут равны M, т.е.

f(x)= g(x)• Можно решить одно уравнение системы и полученный

корень подставить в другое уравнение.

10.04.23 24

Проверьте свои знания тестированием

Пройдите по ссылке: Логарифмические уравнения.exe

10.04.23 25

Критерии оценки

3 б. – «3», 4-5 б. – «4», 6 б. – «5»

Ну кто придумал эту математику !

У меня всё получилось!!!

Надо

решить ещё

пару

примеров.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.