Системы эконометрических уравнений

• 1. система независимых уравнений

.εxaxaxay

,εxaxaxay

,εxaxaxay

nmnmnnn

mm

mm

2211

222221212

112121111

543211 xxxxxfy ,,,, 54312 xxxxfy ,,, 5323 xxxfy ,,

5434 xxxfy ,,

2. системы рекурсивных уравнений:

.

,

,

,

nmnmnnnnnnnn

mm

mm

mm

xaxaxaybybyby

xaxaxaybyby

xaxaxayby

xaxaxay

2211112211

332321312321313

222221211212

112121111

• Пример: модель производительности труда и фондоотдачи вида:

• где - производительность труда;• - фондоотдача;• - фондовооруженность труда;• -энерговооруженность труда;• - квалификация рабочих.

23232221211212

13132121111 ,

xaxaxayby

xaxaxay

1y

2y

1x2x

3x

• 3. система взаимозависимых уравнений- структурная форма модели (системы совместных, одновременных уравнений,).

.

,

,

2211112211

2222212123321122

1121211113312211

nmmnnnnnnnnn

mmnn

mmnn

xaxaxaybybyby

xaxaxaybybyby

xaxaxaybybyby

• Пример: модель динамики цены и заработной платы вида

• - темп изменения месячной заработной платы;• - темп изменения цен;• - процент безработных;• - темп изменения постоянного капитала;• - темп изменения цен на импорт сырья.

,

,

23232221212

11112121

xaxayby

xayby

1y2y

1x2x

3x

• В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим.

• Система совместных, одновременных уравнений обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

• Эндогенные переменные (y). Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

• Экзогенные переменные (x). Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

• структурные коэффициенты модели:

• - коэффициент при эндогенной переменной,

• - коэффициент при экзогенной переменной

ib

ja

• для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

• -коэффициенты приведенной формы модели.

,ˆ

,ˆ

,ˆ

mnmnnn

mm

mm

xxxy

xxxy

xxxy

2211

22221212

12121111

i

• Пример:• Для модели вида

• приведенная форма модели имеет вид

.

,

2221212

1112121

xayby

xayby

.

,

2221212

2121111

xxy

xxy

• из первого уравнения получаем:

• Тогда

.12

11112 b

xayy

.

,

2221212

12

11112

xayby

b

xayy

• Отсюда:

22212121121111 xabybbxay

22212111121121 xabxaybby

22112

22121

2112

111 11

xbb

abx

bb

ay

• Отсюда

.2121111 xxy

2112

1111 1 bb

a

.2

2112

221212 1

xbb

ab

• Аналогично получаем:

2112

211121 1 bb

ba

.2112

2222 1 bb

a

• Проблема идентификации.

• Идентификация - единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

• С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;• неидентифицируемые;• сверхидентифицируемые.

• Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

• Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

• Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Необходимое условие идентификации (счетное правило):

• H -число эндогенных переменных в уравнении системы,

• D - число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение,

то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде:

• —уравнение идентифицируемо;• — уравнение неидентифицируемо;• — уравнение сверхидентифицируемо.

HD 1

HD 1HD 1

Достаточное условие идентифицикации:

Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в уравнении, не равен 0 и ранг матрицы не меньше числа эндогенных переменных системы без единицы, то это уравнение точно идентифицируемо.

Пример:

• Определить, идентифицируемо ли каждое из уравнений модели и идентифицируема ли модель в целом.Записать в общем виде приведенную форму модели.

.

,

,

4343332231133

3232221211122

2121113312211

xaxaybyby

xaxaxаyby

xaxaybyby