Часові ряди: випадкова складова

ЧАСОВІ РЯДИ: МОДЕЛІВИПАДКОВОЇ СКЛАДОВОЇ

Володимир БахрушинПрофесор, д.ф.-м.н.

Vladimir.Bakhrushin@gmail.com

Основні визначення

Часовий ряд та його випадкову компоненту можна розглядати як реалізації певного випадкового процесу.

Основні визначення

21 2 1 1 2cov Y t ,Y t M Y t m t Y t m t

t cov Y t ,Y t

2D t t cov Y t ,Y t

Математичне сподівання та стандартне відхилення

Кореляційна функція

1 21 2

1 2

cov Y t ,Y tY t ,Y t

t t

cov Y t ,Y t

D t

Автокореляційна функція

Y(t) = sin(t/2) + ε;ε = N(0, 2)

Рекомендується обмежуватися значеннями

Автокореляційна функція має такі властивості:

Автокореляційна функція

Вибіркові оцінки значень автокореляційної функції можна отримати за формулою:

1

2

1

n

tn

t

n y t y y t y

t y

.

n y

1; 0 1; .

4n / .

Чисельник цієї формули є оцінкою автоковаріації.

Частинна автокореляційна функція

Значення частинної автокореляційної функції є очищеними від опосередкованого впливу проміжних членів ряду, що розташовані між y(t) та y(t + τ). Їхні оцінки можна отримати за формулами:

2

part 2

2 12

1 1

1 2 3part

2 2

2 3

31 1

12 2

3 1 2

1 1 1 2

2

2 2

2 1

1 1

32 2

1 1 2

1 1 1 2

Для розрахунку наступних значень будують послідовність:

де ε(t) є білим шумом.

Коефіцієнти ij оцінюють за методом найменших квадратів і беруть

Частинна автокореляційна функція

На практиці для розрахунку значень частинної автокореляційної функції використовують такий алгоритм.

t 1j t 1 2 j t 2 jj t j ty y y ... y

part jjp j

Значення ρpart(1) = ρ(1).

Стаціонарність часових рядів

Часовий ряд називають строго стаціонарним, якщо сумісний розподіл n спостережень y(t1), y(t2), …, y(tn) є таким самим, як і для n спостережень y(t1 + τ), y(t2 + τ), …, y(tn + τ) за будь-яких m, t1, t2, …, tn, τ.

Часовий ряд називають слабко стаціонарним, якщо його математичне сподівання, дисперсія та коваріація не залежать від часу.

Стаціонарні часові ряди є ергодичними: для них середнє за часом збігається із середнім за спостереженнями. Тому основні характеристики процесу можна оцінити за однією реалізацією.

Стаціонарність часових рядів

Білий шум

Прикладом стаціонарного процесу є білий шум. Він задовольняє такі вимоги:

Білий шум

ARMA (АРКС) моделі

Модель Рівняння моделі

МА(1)

МА(2)

МА(q)

АR(1)

АR(2)

АR(p)

ARMA(1,1)

ARMA(p,q)

t t 1 t 1u

t t 1 t 1 2 t 2u

t t 1 t 1 2 t 2 q t qu ...

t 1 t 1 tu u

t 1 t 1 2 t 2 tu u u

t 1 t 1 2 t 2 p t p tu u u ... u

t 1 t 1 t 1 t 1u u

t 1 t 1 2 t 2 p t p tu u u ... u

1 t 1 2 t 2 q t q...

ARMA (АРКС) моделі

Модель АКФ ЧАКФ

Білий шум Усі нулі Усі нулі

МА(1) Нулі після ρ(1) Згасає після h(1)

МА(q) Нулі після ρ(q) Згасає після h(p)

АR(1) Геометрично згасає після ρ(1)

Нулі після h(1)

АR(p) Геометрично згасає після ρ(p)

Нулі після h(р)

ARMA(1,1) Геометрично згасає після ρ(1)

Згасає після h(1)

ARMA(p,q) Геометрично згасає після ρ(p)

Згасає після h(p)

Марковський процес

Марковський процес є авторегресією першого порядку і може бути описаний формулою:

де t є білим шумом, а | | < 1.

t t 1 t

Марковським називають процес, значення якого для всіх моментів часу ti залежать від значень у попередні моменти ti – 1, але не залежать від більш ранніх моментів часу ti – 2, ti – 3, …

Марковський процес

Дисперсія марковського процесу:

де – дисперсія білого шуму.

2 20 1D( t ) / ,

20

20D( t ) ,

Марковський процес

Автокореляційна функція марковського процесу:

Звідсі:

Марковський процес

Графік марковського процесу є рядом більш-менш регулярних осциляцій. Середня відстань між піками:

2d

arccos 0,5 1

1

Значення частинної автокореляційної функції марковськогопроцесу дорівнюють нулю для всіх , крім = 1.