محاسبات عددی

به نام خدا

محاسبات عددی

مهدی شاداب فر

CASIO fx2کالس ماشین حساب

(NESF)فصل دوم – روش نصف کردن فاصله ها

)(3403323-ص1.2مثال xxxxf

213)2(4)1(

rff

مرحله x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3)

1 1 2 1.5 -4 3 -1.875

2 1.5 2 1.75 -1.875 3 0.17187

3 1.5 1.75 1.625 -1.875 0.17187 -0.94335

4 1.625 1.75 1.6875 -0.94335 0.17187 -0.40942

5 1.6875 1.75 1.71875 -0.40942 0.17187 -0.12478

6 1.71875 1.75 1.73437 -0.12478 0.17187 0.02198

7 1.71875 1.73437 1.72656      

(DARON-LN)فصل دوم – روش درون یابی خطی

38-ص2.2مثال

( و درون یابی وتری DARON-SLاجرای برنامه روش درون یابی اصالح شده )(DARON-VT.نیز مشابه روش درون یابی خطی می باشند )

03323)( xxxxf

213)2(4)1(

rff

مرحله x1 x2 x3 f(x1) f(x2) f(x3)

1 1 2 1.57142 -4 3 -1.36449

2 1.57142 2 1.7054 -1.36449 3 -0.24784

3 1.7054 2 1.72788 -0.24784 3 -0.03936

4 1.72788 2 1.7314 -0.03939 3 -0.00615

5 1.7314 2 1.73194      

43-ص4.2مثال

(TEKRAR-T)فصل دوم – روش تکرار تابعی

0322)( xxxf

32 xx232

xx

bxaxgxgxif 1)()(

004.33011.32)4(5

011.33104.32)3(4

104.33316.32)2(3

316.3342)1(241

xgx

xgx

xgx

xgxx

13

0322)(xx

xxxf

2303)2(

x

xxx

x1=4 x2=1.5  x3=-6  x4=-0.375  x5=-0.263  x6=-0.919  x7=-1.028  x8=-3.991  x9=-1.003

فصل دوم – روش تسریع ایتکن

48-ص5.2مثال

nxnxnxnxnxnxr

122

212

0322)( xxxf 32 xx

104.33316.32)2(3

316.3342)1(241

xgx

xgxx

009.34316.32104.3

2316.3104.34

r

(NIOTON)فصل دوم – روش نیوتن 50xexxxf-ص6.2مثال sin3)(

xexxf cos3)(

nxenx

nxenxnxnxnxnxfnxfnxnx

cos3

sin31)(

)(1

363217.0)363017.0()363017.0(363017.04

363017.054934.2068418.0333.0

)333.0()333.0(333.03

333.0310

)0()0(0201

ffx

ffx

ffxx

(MULLER) فصل دوم – روش مولر 0)( xf

12

202011

102 hh

xxhxxh

xxx

)1(21

2)1(01

h

fffa1

2101

hhaff

b

0fc

acbb

cxr42

20

60-ص8.2مثال

2sin)( xxxf

x0=2 f(x0)=-0.09070 h1=0.2x1=2.2 f(x1)=-0.29150 h2=0.2x2=1.8 f(x2)=0.07385 γ=1

a=-0.45312 b=-0.91338 c=-0.0907r=1.89526

x0=1.89526 f(x0)=1.9184e-4 h1=0.10474x1=2 f(x1)=-0.0907 h2=0.09526

x2=1.8 f(x2)=0.07385 γ=0.9095a=-0.4728 b=-0.81826 c=1.9184e-4

r=1.895494

(GUSE HZF) فصل سوم – روش حذفی گوس 101-ص1.3مثال

- ضرب کرده با سطر دوم جمع می کنیم.2سطر اول را در - ضرب کرده و با سطر سوم جمع می کنیم.7سطر اول را در

ضرب و با سطر سوم جمع می کNنیم.20سطر دوم را در

512

321

3171872431

xxx

932

321

252001010431

xxx

7485.01

9428.02

3942.03

69317520103310210

234231

6932

321

175001010431

xxx

xxxxxxxxx

xxx

( و گاوس سایدل JAKOOBI)~ فصل سوم – روش ژاکوبی ~(GOASSID)

نکته: شرط همگرائی این است که ماتریس ضرائب قطری مسلط باشد.

1012

321

64121406074

xxx

1012

3

12

61241460047

xxx

0112

3

12

14606124047

xxx

(LEVERIE1) فصل چهارم – روش لوریه-فادیو

141-ص4.4مثال

1634310232

A

100010001

I

1634310232

1 AA 6)1(16132)1( AtrCAtr

5634310234

.11 ICA

25351124526928

).11(2 ICAAA 49)2(21

2 AtrC

2435112426921

.22 ICA

660006600066

).22(3 ICAAA 66)3(31

2 AtrC

321

0322

13

CCC

(TAVANI1) فصل چهارم – روش توانی

142-ص5.4مثال

1634310232

A

17010177

)0()0(

111

)0(0

AZyZN

4708.918236.74708.95

)1()1(

5882.014118.0

0

)0()1(1

AZyyZN

583.112062.7583.11708.5

)2()2(

8260.015279.0

1

)1()2(2

AZyyZN

i(LAGRANJ) فصل پنجم– روش الگرانژ x(i) fi=Pi0 1 0.76521 1.3 0.620092 1.6 0.45543 1.9 0.281824 2.2 0.11036

)()()( xExnPxf

i

n

iin fxxP

0

)()(

)(...)()()(...)()()(...)()()(...)()(

)(21110

21110

niiiiiiiii

niiii xxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

i x(i) fi=Pi0 1.3 0.620091 1.6 0.4554

?)5.1( f

5102986.04554022.03.16.13.16200860.0

6.13.16.15.1

1)5.1(10)5.1(0)5.1(1)5.1(

3.16.13.1

010)(1,

6.13.16.1

101)(0

1)(10)(0)(10

)()(1

x

ffPf

xxxxxxx

xxxxx

fxfxxP

ifn

ixixP

i x(i) fi=Pi0 1.3 0.620091 1.6 0.45542 1.9 0.28182

511287.0)5.1()6.19.1()3.19.1()6.1()3.1()(,

)9.16.1()3.16.1()9.1()3.1()(,

)9.13.1()6.13.1()9.1()6.1()(

)5.1()5.1()5.1()5.1()5.1(

2

210

2211002

P

xxxxxxxxx

fffPf

نقطNه داریNم حداکثNر مNی توانیNم یNک چنNد جملNه ای الگرانژ 5در ایNن مثال چون تقریب بزنیم.4درجه

یکی از مشکالت اصلی روش الگرانژ این است که کار الزم برای محاسبه تقریب به وسیله چند جمله درجه دو کار الزم برای محاسبه تقریب سه را

کم نمیکند.

(NIVIL) فصل پنجم– روش نیویل

iji

jijijiiji xx

PxxPxxP

1,1,1 )()(

i x(i) fi=Pi Pi1 Pi2 Pi3 Pi40 32 0.52992 0.46009 0.462 0.46174 0.457541 22.2 0.37784 0.456 0.46071 0.47901 2 41.6 0.66393 0.44524 0.55843 3 10.1 0.17537 0.37379 4 50.5 0.63608

44524.06.411.10

66393.0)5.271.10(17537.0)6.415.27(12

P

55843.06.415.50

44524.0)5.275.50(37379.0)6.415.27(22

P

(TAFAZOLM) فصل پنجم– روش تفاضل محدود i x(i) fi0 x0 f(x0)1 x1 f(x1)2 x2 f(x2)3 x3 f(x3)4 x4 f(x4)

nnn axxxxxxaxxxxaxxaxP )(...)()(...)()()()( 110210100

01

011101011

00000

)()()()()(

)()()(

xxxfxf

aaxxaxPxf

xfaaxPxf

n

n

12

10212102

01

0110

01

011

000

],[],[],,[

][][],[

)()(

][)(

xxxxfxxf

xxxfa

xxxfxf

xxfxxxfxf

a

xfxfa

03

21032132103

],,[],,[],,,[

xxxxxfxxxf

xxxxfa

04

32104321432104

],,,[],,,[],,,,[

xxxxxxfxxxxf

xxxxxfa

0

]1,...,1,0[],...,1[],...,2,1,0[ xnxnxxxfnxxf

nxxxxf

فصل پنجم– روش حداقل مربعات

x Y1 2.52 3.253 -24 5.65 7

y

x

n

iyYe

1

2)(2

cbxaxy 2

5

1

2)2(2

icbxaxYe

5

10)2342(

5

10)2(220

2

icxbxaxYx

icbxaxYx

ae

5

10)2342(

5

10)2(220

2

icxbxaxYx

icbxaxYx

ae

5

10)2342(

5

10)2(220

2

icxbxaxYx

icbxaxYx

ae

YxYYx

cba

nxxxxxxxx

YcnxbxaxYxcxbxa

yxxcxbxa 2

223

234

223

2234

bxAybxLnaLnybxeay

x 2 3 4 5 6Y 5 8 2 0.5 7

x 2 3 4 5 6Ln Y 1.6094 2.07944 0.69315 -0.6931 1.94591

n

izZecbyaxz

1

2)(2

ZOZANAG1

فصل هفتم– روش ذوزنقه

ZOZANAG2

1.01

0 HdxxeI x y

0 0.20.1 10.2 1.30.3 1.50.4 1.90.5 2.30.6 2.7

می کنیم.A ها را وارد ماتریس yفقط

3/8 و 1/3 فصل هفتم – روش سیمپسون

SIMP1/3 SIMP-1/3 SIMP3/8 SIMP-3/8

تابع عدد تابع عدد

تعداد پانل ها باید زوج باشد.

تعداد پانل ها باید فرد باشد.

( RAMBERG )روش رامبرگ

( OILR~DIF) فصل هشتم– روش اویلر ),( yxfy

?)(00)0(

nxyhhyxy

334-ص2.8مثال ?)4.0(,1.0,1)0(,2 yhyyxy

),()()()()1( nynxfhnxynxyhnxynxy

xn yn y. h y.0 -1 1 0.1

0.1 -0.9 0.7 0.070.2 -0.93 0.43 0.0430.3 -0.787 0.187 0.01870.4 -0.7683 -0.0317

( RANG~K2) 2 فصل هشتم– روش رانج کوتای مرتبه

)1,(2),(1

211

),(

knyhnxfhknynxfhk

bkkanynyyxfy

342-ص9.8مثال ?)4.2(,1.0,1)2(, yhyxyy

xn yn k1 k22 1 0.2 0.252

2.1 1.226 0.2574 0.32632.2 1.5179 0.3339 0.42592.3 1.8978 0.4365 0.56022.4 2.3962

( RANG~K4) 4 فصل هشتم– روش رانج کوتای مرتبه

)321,(4)21,(3

)1,(2),(1

43211

),(

kkknyhnxfhkkknyhnxfhk

knyhnxfhknynxfhk

dkckbkkanynyyxfy

343-ص10.8مثال ?)5.0(,1.0,1)0(,2 yhyyxy

xn yn k1 k2 k3 k40 -1 0.1 0.085 0.0858 0.0714

0.1 -0.9145 0.0715 0.0579 0.0586 0.04560.2 -0.8562 0.0456 0.333 0.034 0.02220.3 -0.8225 0.0222 0.0111 0.0117 0.00110.4 -0.811 0.0011 -0.009 -0.0085 -0.01810.5 -0.81959

Pفرمول پیش بینی را به کار می بریم E را محاسبه می کنیم f(x,y)مقدار

Cفرمول تصحیح را بکار می بریم P(EC)عملیات را تا رسیدن به نتیجه مطلوب ادامه می دهیم

MILEN) فصل هشتم– روش میلن سیمپسون یا پیش بینی تصحیح S )

),( yxfy

),(,)1,1(,)2,2(,)3,3( nynxnynxnynxnynx

)),(2)1,1()2,2(2(34

31 nynxfnynxfnynxfhnyny

))1,1(),(4)1,1((311 nynxfnynxfnynxfh

nyny

345-ص11.8مثال

?)4.2(,1.0,1)2(, yhyxyy

38378.490599.13)3.2(34831.352196.12)2.2(57781.222753.11)1.2(

fyyfyyfyy

41094.2)2(4

:2)(

41094.2)2(4:

78609.5))1(4,4(:

4108727.2)1(4:

4108727.2)1(4:

78395.5)4)0(,4(:

40998.2)0(4:

yECP

yC

yxfE

yPEC

yC

yxfE

yP