лекц7,8

Лекц 7,8

Статистикт судалж буй объектын зарим нэг хэсгийг

нарийвчлан судалж түүгээр ерөнхий объектын шинж

төрхийг тодорхойлохыг түүвэр судалгаа гэдэг.

Түүвэр судалгааг эдийн засаг, улс төр, социологийн

шинжилгээнд өргөн хэрэглэдэг.

Түүвэр судалгаа нь хэсэгчилсэн ажиглалтын нэг төрөл

бөгөөд ялгагдах хоѐр онцлогтой.

Судалж буй нийдмийн бүрэлдэхүүний зарим нэг

хэсгийг хамарна

Судалгааны үр дүнг ашиглан ерөнхий нийдмийн гол

үзүүлэлтийг ойролцоолон тодорхойлох зорилго тавьдаг

Түүвэр судалгаа нь мэдээлэл цуглуулах гол арга зам юм.

Дараах ач холбогдолтой.

Статистик судалгаанд заримдаа судалж буй үзэгдлийн

бүрэлдэхүүнд орсон нэгж бүрийг нарийвчлан судлах

бололцоогүй тохиолдол гардаг. Ийм нөхцөлд зайлшгүй

түүвэр судалгаа явуулна.

Богино хугацаанд хийх шаардлагатай яаралтай

судалгааг түүврийн аргаар хийх нь ач холбогдолтой

байдаг.

Түүвэр судалгааг хэрэглэх нь их хүч, хөдөлмөр хөрөнгө

хэмнэх боломжийг олгоно.

Түүвэр судалгаанд ерөнхий ба түүвэр нийдэм гэсэн

салшгүй хоѐр ойлголт байдаг.

Судалж буй үзэгдлийг бүхэлд нь ерөнхий нийдэм гэнэ.

Тусгайлан судалж буй хэсгийг нь түүвэр нийдэм гэнэ.

Ерөхний Түүвэр

Нийдмийн

нэгжийн тоо

Дундаж

Харьцангуй

хэмжигдэхүүн

Стандарт

хэлбэлзэл

N n

x

P P

S

Түүвэр нийдэм ерөнхий ниидмийн хэдэн хувийг эзэлж

байх нь судалгааны зорилго, судалж буй үзэгдлийн

шинж чанараас хамаарна.

Түүвэр судалгаа нь ерөнхий нийдмийг харьцангуй болон

дундаж хэмжигдэхүүний тусламжтайгаар илэрхийлнэ.

Ерөнхий нийдмээс түүвэр нийдмийг сонгон бүрдүүлэх

Тодорхой программын дагуу сонгож авсан түүвэрнийдэмдээ судалгаа хийх

Түүвэр нийдмийн үндсэн үзүүлэлтүүдийг тооцоолж гаргах

Түүврийн стандарт алдааг тодорхойлох

Түүвэр судалгааны үр дүнг ерөнхий нийдэмд тархаах

Судалгаа явуулж гарган авсан материалд дүн шинжилгээхийх

Энгийнтүүвэр

Механиктүүвэр

Нэгтөрлийнтүүвэр

Серийн түүвэр

Энгийн түүвэр – Нийдмийн дотроос түүвэр судалгаанд

зориулан сугалааны журмаар аль тааралдсан нэгжийг

сонгон авч түүвэр бүрдүүлж байвал энгийн буюу

тохиолдлын чанартай түүвэр

Механик түүвэр – Ерөнхий нийдмийн бүрэлдэхүүнд

орсон нэгжүүдийг ямар нэг шинжээр нь дэс

дараалуулан байрлуулж эхнээс нь ижил

интервалтайгаар түүврээ бүрдүүлбэл

Нэг төрлийн түүвэр – Ерөнхий нийдмийг төрөл төрлөөр

нь хэсэг бүлгүүд болгон хуваасны дараа бүлэг тус

бүрээс тодорхой тооны нэгжүүдийг авч түүврээ

бүрдүүлэхийг хэлнэ. Ингэхдээ бүлэг бүрээс сонгон

авсан нэгжийн тоо бүлгийн хэмжээтэй пропорциональ

ба пропорциональ биш байдаг. Пропорциональ үед

бүлэг бүрээс сонгох нэгжийн тоог дараах томъѐогоор

тодорхойлно.

ni – бүлэг бүрээс сонгох нэгжийн тоо

n – түүвэр нийдмийн нийт нэгжийн тоо

Ni – бүлэг тус бүрийн нэгжийн тоо

N – ерөнхий нийдмийн тоо

N

Nnn i

i

Серийн түүвэр – Түүвэр бүрэлдэхүүнд орох нэгжүүдийг

сонгохдоо ерөнхий нийдмийг адил хэмжээтэй бүлгүүд

болгон хуваагаад дараа нь нэгжээр биш бүхэл бүтэн

бүлгээр нь сонголт хийвэл.

Түүврийн бүх төрлүүд нь сонголт давтагдах, үл давтагдах

гэсэн 2 хэлбэртэй байдаг.

Түүвэрт орсон тухайн нэгж дахин сонголтонд орохгүй

бол үл давтагдах сонголт гэдэг.

Дараа дараагийн сонголтонд тухайн нэгж дахин

давтагдаж байвал давтагдах сонголт гэдэг.

Түүвэр судалгаа явуулахдаа ерөнхий нийдмийн нэгж

бүрийг бүртгэж судлахгүй учраас түүвэр нийдмийн

дундаж болон харьцангуй хэмжигдэхүүний

тусламжтайгаар ерөнхий нийдмийн гол үзүүлэлтүүдийг

ойролцоолон тодорхойлж дүгнэлт гаргадаг. Ийм учраас

түүвэр судалгааны үед тодорхой хэмжээний алдаа

(зөрүү) үүснэ.

Учир нь түүвэр нийдмийн дундаж, ерөнхий нийдмийн

дундаж, харьцангуй хэмжигдэхүүнүүд тохирохгүй. Энэ

зөрүүг түүврийн алдаа гэнэ.

Түүвэр судалгааны алдааг стандарт алдаа гэсэн

үзүүлэлтээр хэмжинэ. Ерөнхий нийдмийн үзүүлэлтүүд

нь түүвэр нийдмийн зохих үзүүлэлтүүдээс дунджаар

ямар хэмжээтэй хэлбэлзэж болохыг стандарт алдаа

харуулдаг.

Ерөнхий нийдмээс түүвэр нийдэм бүрдүүлэх асуудлыг

статистикт авч үзэхдээ сонголтын бүх боломжит

хувилбаруудаас тооцсон дундажуудаар нь байгуулсан

түүвэр тархалтын цуваа гэсэн ойлголтоор тодорхойлдог

Сонгогдсон

нэгжүүд

Түүврийн дундаж Сонгогдсон

нэгжүүд

Түүврийн дундаж

10.10 10 30.40 35

10.20 15 30.50 40

10.30 20 40.10 25

10.40 25 40.20 30

10.50 30 40.30 35

20.10 15 40.40 40

20.20 20 40.50 45

20.30 25 50.10 30

20.40 30 50.20 35

20.50 35 50.30 40

30.10 20 50.40 45

30.20 25 50.50 50

30.30 30 Дүн 750

Түүврийн

дундаж

Давталт Магадлал

10 1 0.04

15 2 0.08

20 3 0.12

25 4 0.16

30 5 0.20

35 4 0.16

40 3 0.12

45 2 0.08

50 1 0.04

Дүн 25 1.00

x

305

150

N

x

3025

750

f

fxx

1.14

5

10002

N

x

10

25

25002

f

fxx

Стандарт хэлбэлзлүүдийн хооронд ямар хамаарал байгааг

σx- түүвэр нийдмийн стандарт хэлбэлзэл буюу

түүвэр дундажуудын стандарт алдаа

σ- ерөнхий нийдмийн стандарт хэлбэлзэл

n- түүврийн хэмжээ

nx

102

1.14

nx

Сонголт үл давтагдах болон ерөнхий нийдмийн нэгжийн

тоо тодорхой хязгаартай байх нөхцөлд түүврийн

стандарт алдааг тодорхойлохдоо

үржүүлэгчийг ашиглан дараах байдлаар тодорхойлно.

N

n1

N

n

nx

1

Ерөнхий нийдэм нь түүвэр нийдэмтэй харьцуулахад

маш том үед үржүүлэгчиин нөлөө багасаж

үржүүлэгчийн утга нэг рүү тэмүүлнэ.

Иймд түүвэр нийдмийн эзлэх хувийн жин

0.05-аас бага үед дээрх үржүүлэгчийг ашиглах

шаардлагагүй болдог.

N

n1

N

n

ҮзүүлэлтСонголт

давтагдахҮл давтагдах

Дундаж

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

Харьцангуй

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

nx

2

N

n

nx

12

n

pPp

1

N

n

n

pPp

11

ҮзүүлэлтСонголт

давтагдахҮл давтагдах

Дундаж

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

Харьцангуй

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

nx

2

N

n

nx

12

n

pPp

1

N

n

n

pPp

11

ҮзүүлэлтСонголт

давтагдахҮл давтагдах

Дундаж

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

Харьцангуй

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

V

x

x

2

)1(2

R

V

V

x

x

V

p

p

2

)1(

2

R

V

V

p

p

Түүвэр судалгааг ерөнхий нийдмийн гол

үзүүлэлтүүдийг ойролцоолон тодорхойлж үнэлэлт өгөх

болон үзүүлэлтүүд нь тодорхой мэдэгдэж буй ерөнхий

нийдмээс түүвэрлэн авсан тархалтын үзүүлэлтүүдийг

үнэлэхэд тус тус ашигладаг.

Тухайн утга дундажаасаа хэр зэрэг хазайсныг

Дундаж хэмжигдэхүүний хазайлт

Харьцангуй хэмжигдэхүүний хазайлт

x

xZ

p

PPZ

Хадгаламж банкны валютын хувийн хадгаламжийн

дансны дундаж нь 2000 доллар, стандарт хэлбэлзэл нь

600 доллар байв. Энгийн түүврийн аргаар 100 данс

түүвэрлэн авахад түүврийн дундаж 1900-2050 долларын

хооронд байх магадлалыг тодорхойлж үнэлэлт өг.

Түүврийн стандарт алдааг тодорхойлно.

түүврийн дундаж нь 1900 доллар байх нөхцөлд

60100

600

nx

67.160

20001900

x

xZ

4525.0xP

Түүврийн дундаж нь 2050 доллар байх нөхцөлд

түүврийн дундаж 1900-2050 долларын хооронд байх

нийт магадлал

Энгийн түүврийн аргаар валютын хадгаламжийн 100

данс сонгон авахад хадгаламжийн дундаж хэмжээ 1900-

2050 доллар байх магадлал нь 75 хувь байна.

83.060

20002050

x

xZ

2967.0xP

7492.02967.04525.0 xP

Түүвэр судалгааны үндсэн зорилго нь ерөнхий

нийдмийн үндсэн үзүүлэлтүүдийг ойролцоолон

тодорхойлж үнэлэлт өгөх явдал юм. Энэ үнэлгээний

үндсэн тулгуур нь түүврийн стандарт алдаа, гурван σ-

ийн (сигмагийн) зарчим юм.

Түүврийн хэмжээ /n/

30 болон түүнээс дээш

Хэвийн тархалт

30-аас бага

хэвийн нийдэм

σ мэдэгдэхгүй байх үед

Хэвийн тархалт /z/

σ нь S -ээр тодорхойлогдо

х нөхцөлд

Стьюдентын тархалт /t/

хэвийн бус нийдэм

Параметрийн бус

үнэлгээний аргаар

Энэ нөхцөлд түүвэр судалгааны стандарт хэлбэлзэл (S)-

ийг ерөнхий нийдмийг үнэлэхэд ашиглана.

Үүний дараа түүврийн стандарт алдааг дараах

томъѐогоор тодорхойлно

эсвэл

1

2

n

xxS

nn

Sx

N

n

nN

n

n

Sx

11

Түүврийн стандарт алдааг тодорхойлох нэмэлт нөхцөл

нь түүврийн хэмжээ харьцангуй их байх явдал юм.

Өөрөөр хэлбэл N>30 байх шаардлагатай бөгөөд түүвэр

тархалтын хувьд нормаль тархалтыг ашиглан тодорхой

магадлалтайгаар ерөнхий нийдмийн дундаж болон

харьцангуй хэмжигдэхүүнийг ойролцоолон тооцоолж

үнэлнэ.

Ерөнхий нийдмийн дундаж хэмжигдэхүүнийг

Ерөнхий нийдмийн харьцангуй хэмжигдэхүүнийг

xxZxZx

ppZpZp

Захиалгаар пицца хүргэж үйлчилдэг компаний

борлуулалтын менежер нэг удаагийн захиалгын дундаж

орлогын түвшинг тодорхойлохыг хүсчээ. Ингээд энгийн

түүврийн аргаар 36 захиалгыг сонгон авч дунджийг нь

тодорхойлоход 14.37$, стандарт хэлбэлзэл нь 4.02$ байв.

95 хувийн магадлалтайгаар нэг захиалгын орлогын

хэмжээг тодорхойл.

P(x)=0.95 үед Z=1.96 байна.

Тус компаний нэг захиалгын дундаж хэмжээ нь 13,06-

15,68 байна.

36

02.496.137.14

n

SZx

68.1506.13

Үйлдвэрийн 3 цехийн ажилчдын дунд 10хувийн үлдавтагдах, нэг төрлийн түүвэр судалгаа явуулж дараахмэдээлэл цуглуулав

Цех Ажилчдын

тоо

Түүвэрт

хамрагдсан

ажилчин

Жилийн хугацаанд

хөдөлмөрийн

чадвараа түр алдсан

өдөр

дундаж дисперси

1 1000 100 18 49

2 1400 140 12 25

3 800 80 15 16

Бүлгийн дундаж дисперси

0,954 магадлал ашиглан түүдрийн стандарт алдаа,

алдааны хязгаарыг тооцвол

Түүврийн дундаж хэмжигдэхүүн нь

Ерөнхий нийдмийн дундажийг үнэлбэл

25.3080140100

801614025100492

2

i

ii

f

f

29.03200

3201

320

25.301

2

N

n

nx

58.029.02

xxZ

6.14320

80151401210018

i

ii

f

fXX

58.08.1458.06.14

Үйлдвэрийн хэмжээнд өнгөрсөн жилийн байдлаар нэг

ажилчны хөдөлмөрийн чадвараа түр алдасан хугацаа

дунджаар 14-15өдөр байгааг 95,4%-ийн

магадлалтайгаар тогтоов.

Бага түүврийн нөхцөлд ерөнхий нийдмийн гол

үзүүлэлтүүдийг үнэлэхдээ Стьюдентын тархалтыг

ашиглана.

Ерөнхий нийдмийн дунджийн орших завсрыг дараах

ббайдлаар тодорхойлно.

t- Стьюдентын тархалтын тархалтын хүснэгтийн утгаn

Stx

Стьюдентын тархалтыг ашиглахдаа чөлөөт гишүүдийн

тоог тодорхойлох хэрэгтэй байдаг. Чөлөөт гишүүдийн

тоо нь ажиглалтын нэгжийн тооноос нэгээр цөөн (n-1)

байна.

Үүний дараа тодорхой хэмжээний (0.90; 0.95; 0.98; 0.99)

магадлалтайгаар t-г сонгон авч ерөнхий нийдмийн

зохих үзүүлэлтүүдийг үнэлнэ.

Багаж төхөөрөмжийн үйлдвэрийн цехийн чанар

шалгагч 12 эд ангийг түүвэрлэн авч халаалт даах

чадварыг нь шалгав. Тэр 12 эд ангийг гэмтэл автал нь

улайсгаж халаасан байна. Ингээд гэмтэл авах дундаж

температур нь 178° С, стандарт хэлбэлзэл нь 8° С гэж

тогтоогджээ. Нийдэм хэвийн тархалттай болно. 90

хувийн магадлалтайгаар үйлдвэрлэсэн бүх

төхөөрөмжийн халаалтаас гэмтэх дундаж температурыг

тодорхойл

Чөлөөт гишүүдийн тоо = 12-1=11 F(t)=0.9 үед t=1.796

Бүх эд ангийн хувьд 174.9-181.1°С температурын

халалтаас эвдрэх нь 90 хувийн магадлалтай бөгөөд олон

эд анги шалгахгүйгээр ихээхэн хэмжээтэй

үйлдвэрлэлийн хувьд үүнийг ашиглаж болно.

12

8796.1178

n

Stx 1.1819.174

Түүвэр судалгааны үр дүнгээр ерөнхий нийдмийгүнэлэх өөр нэг хэлбэр нь таамаглал /гипотез/ дэвшүүлэншалгах арга юм.

Гипотез нь нэг ба хоѐр талт гэсэн байдлаар хийгддэг.Гипотезын үнэлгээ хийхдээ ерөнхий нийдмийнүзүүлэлтүүдийн талаар урьдчилан тодорхой магадлалынүндсэн дээр таамаглал дэвшүүлж шалгана.

Но – дэвшүүлсэн гипотез

Н1 – альтернатив гипотез

Таамаглалыг шалгасны эцэст дэвшүүлсэн гипотезыгхүлээн зөвшөөрч эсвэл няцааж ерөнхий нийдмийнбайдлыг үнэлнэ

Хэрэглэгчдийн эрх ашгийг хамгаалах нийгэмлэгээс

кофе үйлдвэрлэдэг компанид шалгалт хийв. Жингийн

хувьд стандартад нийцэж буй эсэхэд түүвэр судалгаа

хийж 36 контейнерээс тус бүр нэг сав кофе авч

шалгахад нийдмийн стандарт хэлбэлзэл 0,18 фунт

түүврийн дундаж х=3.02 фунт байв. Дараах

гипотезуудыг дэвшүүлсэн

I хэлбэр II хэлбэр III хэлбэр

H0:μ≥3 H0:μ≤3 H0:μ=3

H1:μ<3 H1:μ>3 H1:μ≠3

I хэлбэрийг сонгоно. Учир нь хэрэглэгчдийн хувьд

кофены жин 3 фунттэй тэнцүү буюу илүү байвал

зохимжтой.

Гипотез Гарах дүгнэлт

H0:μ≥3 Кофены жин стандарт хангана. Ямар нэг арга хэмжээ авах

шаардлагагүй.

H1:μ<3 Кофены жин стандартад тохирохгүй байгаа учраас

зөвшөөрөл олгохгүй. Үйлдвэрлэл хэриуцсан

менежер бүтээгдэхүүн савлалтын талаар арга хзмжээ

авах шаардлагатай.

Түүврийн стандарт алдааг тооцно

Үйлдвэрийн менежер 98 хувийн магадлалтай Но

гипотезыг үнэлэх санал гаргасан. Тэгвэл ерөнхий

нийдмийн үзүүлэлтийг /дунджийг/ үнэлэх эгзэгтэй

түвшин C=3-Zσx, 98%-ийн магадлалын үед

/0.98/2=0.49дээр/ Z=2.33, C=2.33 фунт болно.

Судалгаанд тул Но гипотез зөвшөөрөгдөнө

03.036

18.0

nx

93.202.3 Cx

Гипотезийн үнэлгээг Z шинжүүрийн утгаар

Но гипотез батлагдаж байна.

0H

онолтооцZZ

1H онолтооц

ZZ

33.2онол

Z

67.003.0

302.3

x

тооц

xZ

:

:

,

1H

0H

0 1 2 3123

33.2Z

Жишээ - Үйлдвэрлэлийн технологийн горимоор бэлэн

бүтээгдэхүүн 16 кг-аар савлагдах ѐстой. Хэрвээ энэ

хэмжээнээс бага бол хэрэглэгчдээс гомдол ирнэ.

Хэтрүүлэн савлах нөхцөлд үйлдвэрийн хувьд

алдагдалтай байх болно.

Үйлдвэрлэлийн технологийн горимоор бэлэн

бүтээгдэхүүн 16 кг-аар савлагдах ѐстой. Хэрвээ энэ

хэмжээнээс бага бол хэрэглэгчдээс гомдол ирнэ.

Хэтрүүлэн савлах нөхцөлд үйлдвэрийн хувьд

алдагдалтай байх болно.

:

: буюу энэ нь хоѐр талт гипотез юм.

Хэрвээ гипотез няцаагдвал үйлдвэрлэлийг зогсоож

дүүргэлт савлалтын технологийг засварлах

шаардлагатай болно. Савлалтын цехэд түүвэр судалгаа

хийхэд бэлэн бүтээгдэхүүн: 16.02 16.22 15.82 15.92

16.22 16.32 16.12 15.92 кг-аар савлагдаж байв.

0H 16

1H 16

Үнэлгээний холбогдлын утга α=0.05

батлагдлаа. Савлалтанд асуудал байхгүй

07.16

n

xx

18.0

1

2

n

xxS

06.0n

Sx

71 nDF 05.0 365.2онол

t

17.106.0

1607.16

x

тооц

xt

365.2365.2

тооцt

0H

1H

0H

0 1 2 3123

95.0

1H

Түүвэр судалгаа явуулахын тулд түүвэрлэлтийн

стандарт алдаа ямар хязгаарын дотор багтаж байвал

судалгааны шаардлага хангахыг урьдчилан тогтооно.

Түүвэр судалгааны дундаж болон харьцангуй

хэмжигдэхүүн ерөнхий нийдмийн зохих

хэмжигдэхүүнээс ±5 хувиас хэтрэхгүй зөрүүтэй бол

түүвэр судалгааны үр дүнг хангалттай гэж үздэг

Судалгаанд шаардлагатай нэгжийн тоо нь дараах хүчин

зүйлүүдээс хамаарна.

магадлалын түвшин

түүврийн алдааны зөвшөөрөгдөж болох хамгийн их

хэмжээ

нийдмийн стандарт хэлбэлзэл

Түүврийн алдааны зөвшөөрөгдөж болох дээд хэмжээ нь

стандарт алдаа болон магадлалын тодорхой

түвшингүүдээс хамаарна. Үүнийг алдааны хязгаар гэх

ба дараах томъѐогоор олно

nZZ

xx

2

n

ppZZ

pp

1

дундаж хэмжигдэхүүний алдааны хязгаар

харьцангуй хэмжигдэхүүний алдааны хязгаар

Үзүүлэлт Сонголт давтагдах Үл давтагдах

Дундаж

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

Харьцангуй

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

2

22

x

x

Zn

222

22

ZN

NZn

x

x

2

2 1

p

p

ppZn

ppZN

NppZn

p

p

1

122

2

Үзүүлэлт Сонголт давтагдах Үл давтагдах

Дундаж

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

Харьцангуй

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

2

22

x

x

Zn

222

22

ZN

NZn

x

x

2

2 1

p

p

ppZn

ppZN

NppZn

p

p

1

122

2

Үзүүлэлт Сонголт давтагдах Үл давтагдах

Дундаж

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

Харьцангуй

хэмжигдэхүүний

стандарт алдаа

2

22

x

x

x

ZV

222

22

xx

x

x

ZR

RZV

2

22

p

p

p

ZV

222

22

pp

p

p

ZR

RZV

Түүврийн хэмжээг 30-с бага байлгах тохиолдолд

Стьюдентийн t тархалтыг ашиглана.

Хотын бичил дүүрэгт 500 гэр бүл амьдардаг. Сонголт үл

давтагдах энгийн түүвэр судалгаа явуулж ам бүлийн

дундаж тоог тогтоох болов. Энэ тохиолдолд 0,954

магадлалын түвшинтэйгээр түүврийн алдааны хязгаар

0,8-с хэтрэхгүй, стандарт хэлбэлзэл нь 3 хүн байх

нөхцлийг хангахын тулд хичнээн өрхийг судлах вэ?

Р=0,954 үед Z=2 /0,954/2=0,477

56328.0500

50032222

22

222

22

ZN

NZn

x

x