phương trình lượng giác

Tài liệu Ôn thi Đại Học

LỜI NÓI ĐẦUCác em học sinh thân mến!Chắc rằng tất cả các em đều có mơ ước thành đạt trên con đường học vấn; Tuy nhiên không

phải dễ dàng bởi trước tiên các em phải bước vào được ngưỡng của Đại học, điều mà không dễ ai cũng làm được.

Bằng kinh nghiệm của bản thân, tôi viết tài liệu này ngõ hầu trang bị thêm cho các em những kiến thức, kĩ năng, phương pháp giải các phương trình lượng giác, giúp các em tự tin trước khi bước vào trường thi;

Mong rằng với kinh nghiệm của tôi cộng với lòng đam mê, khát khao của các em sẽ giúp các em thành đạt trên đường học vấn.Tài liệu chia làm 3 phần Trang

- Phần I : Tóm tắt lý thuyết : 2-6- Phần II : Phương pháp giải- 1- Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 6-8

2- Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx 8-113-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx 10-124-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậc 12-145-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân ba 14-166-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụ 16-217- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh 21-258- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước 25-279- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước

27-2910- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham số 29-3111- Bài toán hai phương trình tương đương 31-3412- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có

nhiều cách giải khác nhau tùy vào cách nhìn 34-37- Phần III: các bài tập tự luyện. 38-41

Nhâm Thìn 2012

Hoàng Kim Dĩnh

Hong Kim Dĩnh Trang : 1


PHẦN I :TÓM TẮT GIÁO KHOAI/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1) Dấu của hàm số lượng giác

Phần tưHSLG

I0ð/2

IIð/2ð

IIIð3ð/2

IV3ð/22ð

sin + + - -cos + - - +tan + - + -cot + - + -

2) Hệ thức cơ bản cos2 + sin2 = 1 ;

tan = , + kð, kZ ; cot = , kð, kZ

tan. cotn = 1, k kZ

= 1 + cot2 , kð, kZ

= 1 + tan2 , + kð, kZ

3) Cung liên quan đặc bie t

a) Cung đối nhau :cos(-) = cos ; sin(-) = - sin ; tan(-) = -tan ; cot(-) = -cot

b) Cung bù nha u sin (ð-) = sin ; cos(ð-)=-cos ; tan(ð-)= -tan ; cot(ð-)= -cot

c) Cung phụ nha u

sin( -) =cos ; cos( -) =sin; tan( -) =cot ; cot( -) =tan

d) Cung hơn kém nhau ðsin (ð+) = -sin ; cos (ð+) = -cos ; tan(ð+) = tan ; cot(ð+) = cot ;

e) Cung hơn kém nhau

sin( +) =cos ; cos( +) = -sin; tan( +) =-cot ; cot( +) =-tan

4) Công thức cộn gsin(a+b) = sinacosb + sinbcosa ; sin(a-b) = sinacosb - sinbcosa ;cos(a+b) = cosacosb – sinasinb ; cos(a-b) = cosacosb + sinasinb ;

tan(a+b) = ; tan(a-b) = .

cot(a+b) = ; cot(a-b) = .

5) Công thức nhân sin2a = 2sinacosa ; cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a

sin3a = 3sina – 4sin3a ; cos3a = 4cos3a – 3 cosa

tan2a =


Tài liệu Ôn thi Đại Học6) Công thức hạ bậc

sin2a = ; cos2a =

sin3a = ; cos3a =

7) Công thức chia đô i Đặt t= tan ( + kð)

sina = 2t/(1+t2 ) ; cosa = (1-t2)/ (1+t2 ) ; tana = 2t/(1-t2 )8) Công thức biến đổi

a- Tích thành tổng : sinacosb=[sin(a-b)+sin(a+b)]/2 cosacosb=[cos(a-b)+cos(a+b)]/2 sinasinb=[cos(a-b) -cos(a+b)]/2

b- Tổng thành tích :

sina + sinb = 2sin cos ; sina - sinb = 2cos sin ;

cosa + cosb = 2cos cos ; cosa - cosb = -2sin sin ;

tana + tanb = ; tana - tanb =

cota + cotb = ; cota - cotb =

9) Dạng đặc biệt

sinx + cosx = sin(x + ) = cos(x – )

sinx - cosx = sin(x – ) = cos(x + )

II/ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC1-Phương trình lượng giác cơ bản

Với u, v biểu thức của ẩn x.

sinu = sinv

cosu = cosv (k, l Z)

tanu = tanv

cotu = cotv 2-Phương trình trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

a) Dạng : asinx + b = 0 (1) với a0, b Racosx + b = 0 (2)atanx + b = 0 (3)acotax + b = 0 (4)

b) Cách giải :

(1) sinx = -

/- / > 1 thì phương trình vô nghiệm ;



* /- /≤ 1 thì đặt sinv= - ; v [- , ]

Ta được phương trình lượng giác cơ bản : sinx = sinv(2) tương tự (1) , v [0.ð]

(3) tanx = - , x + kð

tanx = tanv , v (- , )

(4) cotx = - , x kð

cotx = cotv , v (0,ð)3 -Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

a) Dạng : asin 2x + bsinx + c = 0 (5) với a, b,c Racos 2x + bcosx + c = 0 (6)atan 2x + btanx + c = 0 (7)acot 2x + bcotx + c = 0 (8)

b) Cách giải : Đặt t = cosx , sinx , tanx, cotx (5),(6),(7),(8) at2 + bt + c = 0 (9)

là phương trình bậc hai đối với t, giải phương trình (9) ta tìm tbiết t ta suy ra x với lưu ý :

t = cosx, sinx thì /t/ ≤ 14 -Phương trình bậc nhất đối với sin, cos

a) Dạng : asinx + bcosx = c (10) với a, b,c Rb) Cách giải :

Cách 1 Chia hai vế cho

Đặt cosv = ; b / sinv = ,v [0.2ð]

Lúc đó (10) sinxcosv + sinvcosx =

Sin(x + v) = là phương trình LG cơ bản.

Lưu ý (10) có nghiệm c2 ≤ a2 + b2 Cách 2

Chia hai vế cho a sau đó đặt tanv= ta được : sinx + tanv cosx =

sinx cosv + sinv cosx = cosv sin(x+v) = cosv là PT cơ bản.

Cách 3 Đặt ẩn phụ t=tan

Bước 1 : Xem các giá trị của x = ð + 2kð ,( k Z ) có phải là nghiệm của(10) hay không ?

Bước 2 : Với x ð + 2kð ,( k Z ), đặt t=tan

(10) (b+c)t2 – 2at +c – b = 0 phương trình bậc hai theo t .6 -Phương trình đối xứng đối với sin, cos

a) Dạng : a(sin x + cosx) + bsinx cosx + c = 0 (11) với a, b,c Ra/sin x + cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (12)

b) Cách giải : Đặt t = sin x + cosx = sin(x+ ) , /t/ ≤



t = /sin x + cosx/ = /sin(x+ )/ , 0≤/t/ ≤

khi đó : sinx cosx = (t2 – 1) /2 và phương trình (11),(12)trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó

giải phương trình lượng giác cơ bản sin(x+ ) = t hay /sin(x+ )/=t

Chú ý Tương tự với các phương trình gần đối xứnga(sin x - cosx) + bsinx cosx + c = 0 (13)a/sin x - cosx/ + bsinx cosx + c = 0 (14)

Đặt t = sin x - cosx = sin(x- ) , /t/ ≤

t = /sin x - cosx/ = /sin(x- )/ , 0≤/t/ ≤

khi đó : sinx cosx = (1 - t2 ) /2 và phương trình (13),(14)trở thành phương trình bậc hai theo t, chọn t thoả mãn điều kiện sau đó

giải phương trình lượng giác cơ bản sin(x- ) = t hay /sin(x- )/=t

6 -Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin, cosa) Dạng : asin 2x + b sinx cosx + c cos2x + d = 0 (15), với a, b,c,d Rb) Cách giải :

Cách 1 Sử dụng công thức hạ bậc :

sin2a = ; cos2a = ; sin2x = 2 sinx cosx

ta được phương trình bậc nhất đối với sin2x, cos2x đã biết cách giải.Cách 2 :

Bước 1 : Kiểm tra xem x = + kð ,(k Z) (tức là cosx=0) có

Phải là nghiệm của (15) hay không ?

Bước 2 : x + kð (k Z) chia hai vế của phương trình (15)

cho cos2x ta được phương trình : atan2x + b tanx + c +d( 1+ tan2x) = 0 (a+d) tan2x + b tanx + c +d = 0

là phương trình bậc hai theo tanx đã biết cách giải .Chú ý - Tất cả các PT đã nêu ở trên gọi là các phương trình chuẩn mực .

- Không được cộng độ và radian với nhau . Thí dụ không được viết

x = 900 + kð mà phải viết x = + kð hoặc x = 900 + k3600 .

- Phải chỉ rỏ các giá trị k, l, m, n … trong nghiệm.- Cần nhớ gía trị đặc biệt của các hàm lượng giác để làm toán cho nhanh.

PHẦN II : PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Bài 1 Giải các phương trình sau :

a) 2 + cos2x = -5sinx (Đề thi ĐHQG Hà Nội 97 khối D)b) cos2x + 3cosx + 2 = 0 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 97 khối D)c) cos2x + sinx +1 = 0 (Đề thi ĐH Đà Lạt 2001 khối D)

d) = 1 + sinx (Đề thi ĐH Huế 97 khối D1)

e) + 2sinx = 0 (Đề thi ĐHSP Hà Nội 97 )f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (Đề thi ĐH Thủy sản 2000)



g) tan2x = (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2001 khối B- đợt2)

h) cos(2x + ) + cos(2x- ) + 4sinx = 2 + (1-sinx)

(Đề thi ĐH Hàng Hải 2001 )

i ) sin4 + cos4 = 1 – 2sinx (Đề thi ĐH Công Đoàn 2001 )

Trước khi giải các phương trình này các em hãy đọc qua tất cả các phương trình để tập nhận xét, rồi nhận dạng trên cơ sở đó chọn cách biến đổi sử dụng công thức thích hợp cho từng phương trình để chuyển từng phương trình về dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác

Bài giảia) 2 + cos2x = -5sinx Nhận xét : Chỉ chứa sinx, cos2x ta nghĩ ngay ra rằng biến đổi cos2x về sinx bằng công thức nhân đôi cos2x=1-2sin2x thì ta được phương trình bậc hai theo sinx.

Giải2 + cos2x = -5sinx 2 + (1 – 2sin2x ) = -5 sinx 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 (1) ;(1) là phương trình bậc hai đối với sinx , ta đã biết cách giải bằng cách đặt t = sin x ,

/t/ ≤ 1 ta được phương trình bậc hai : 2t2 – 5t – 3 = 0 , Với 2 giá trị t tìm được

chúng ta nhớ phải kiểm tra lại điều kiện /t/ ≤ 1,như vậy t=3 loại;Vậy chỉ có nghiệm t=-1/2 thoả mãn .

Với t = -1/2 ta có sinx = -1/2 = sin (- )

(k Z)

Vậy : Nghiệm của phương trình là : , (k Z) .

b) cos2x + 3cosx + 2 = 0Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cosx và cos2x nên ta sử dụng công thức nhân đôi cos2x = 2cos2x – 1 thì ta được phuơng trình bậc hai theo cosx :

cos2x + 3cosx + 2 = 0 2cos2x –1 + 3cosx +2 = 0 2cos2x + 3cosx +1 = 0 (các em tự giải tiếp)

c) cos2x + sinx +1 = 0Nhận xét : Phương trình chỉ chứa cos2x và sinx ta biết ngay biến đổi cos2x = 1-sin2x ta được phương trình bậc hai theo sinx (các em tự giải)

d) = 1 + sinx (*)

Nhận xét Đây là phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên trước tiên ta phải đặt điều kiện, sau đó ta thấy nếu quy đồng thì vế phải là : 1 – sin2x = cos2x , phương trình trở thành phương trình bậc hai theo cosx.

Giải

Điều kiện : sinx 1 x + k2ð, (k Z)

Với điều kiện trên (*) cosx = 1-sin2x cosx = cos2x cos2x- cosx = 0 cosx(1-cosx)= 0

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn điều kiện sinx 1 Với cosx = 1 ta có : cosx = cos0 x = 2kð , (k Z)Vậy : Nghiệm phuơng trình : x = 2kð , (k Z)

e) + 2sinx = 0 (*)


Tài liệu Ôn thi Đại HọcNhận xét Phương trình có ẩn trong căn bậc hai, nên thường ta tìm cách làm mất căn bậc hai,

nếu ta chuyển 2sinx về vế phải rồi bình phương thì ta được phương trình chứa cosx, cos2x, sin2x dễ dàng chuyển về phương trình bậc hai theo cosx, tuy nhiên chúng ta lưu ý rằng :

= B A = B2 , B ≥ 0Giải

+ 2sinx = 0 = - 2sinx 5cosx – cos2x = 4sin2x (1) , sinx ≤ 0

(1) 5cosx –(2cos2x – 1) =4(1-cos2x)

2cos2x +5cosx -3 = 0 ( cosx= -3 loại)

Với cosx= 1/2 , (k Z)

Do sinx ≤ 0

Vậy : Nghiệm của phương trình là x = - + k2ð , (k Z)

f) 3sinx + 2/cosx/ - 2 = 0 (*)Nhận xét Phương trình có ẩn trong gí trị tuyệt đối , nên thường ta tìm cách phá giá trị tuyệt đối bằng định nghĩa, nhưng đối với bài toán này ta có thể bình phương thì quá trình giải đơn giản hơn:

Giải (*) 2(/cosx/ - 1) = -3sinx

4(/cosx/ - 1)2 = 9sin2x (1) , 0 ≤ sinx(1) 4cos2x –8/cosx/ + 4 = 9(1-cos2x)

13/cosx/2 –8/cosx/ - 5 = 0 /cosx/=1, hoặc /cosx/=-5/13 (loại) x = kð ,(k Z) thỏa mãn 0 ≤ sinx

Vậy Nghiệm của phương trình là x = kð ,(k Z)

g) tan2x = (*)

Nhận xét Phương trình có chứa ẩn ở mẫu số nên cần đặt điều kiện trước, sau đó ta thấy vế trái biến đổi về được cos2x , lúc đó ta được phương trình bậc hai theo cosx:

GiảiĐiều kiện : cosx 0(*) sin2x = cosx(1+cosx)

1-cos2x = cosx(1+cosx) 2cos2x + cosx - 1 = 0

(thoả mãn điều kiện bài toán)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = (2k+1)ð

x = + + 2lð (k,l,m Z)

x = - +2mð

h) cos(2x + ) + cos(2x- ) + 4sinx = 2 + (1-sinx) (*)

Nhận xét Vế trái của phương trình có chứa (2x + ) , (2x - )

nếu [(2x + ) + (2x - )]/2 = 2x , [(2x + ) - (2x - )]/2 = nên áp dụng công thức biến

đổi tổng thành tích thì ta được phương trình chứa cos2x, sinx đã biết cách giải.

i ) sin4 + cos4 = 1 – 2sinx


Tài liệu Ôn thi Đại HọcGiải

sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 1- sin2x = 1 –2sinx sin2x –4 sinx = 0

sinx(sinx –4) = 0 sinx = 0 x=kð (k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x= kð (k Z)

Bài 2 Giải các phương trình sau : (các em tự giải)a) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 76 )

b) cosx - sin +1 = 0 (Đề thi ĐH – khốiA 82 )

c) 6 cos24x + 11cos4x - 2 = 0

d) cos6x + sin6x = (cos2x – sin2x)tan2x (Đề thi ĐH - khối A-B-D 84 )

2-Phương trình đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosxNều trong phương trình chỉ có sinx+cosx và sin2x thì ta đưa về phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.Lưu ý Khi đặt t=sinx+cosx , /t/ ≤ thì :

sinx cosx = (t2-1)/2 và một số biểu thức đối xứng cần nhớ sin3x + cos3x = (-t3 + 3t) /2 ; sin4x + cos4x = (-t4 +2t2 +1)/2

Đương nhiên vì sinx và cosx đều có thể biểu diễn theo t=tan nên ta có the biểu diễn

phương trình theo t , rồi giải tìm được t, ta sẽ đưa về dạng cơ bản tan =m.

Bài 3 Giải các phương trình sau :a) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2 (Đề thi ĐH Huế 2000 - A)

c) =1 (Đề thi ĐH DL VL 1997)

d) sin2x +4(cosx-sinx) =4 (Đề thi Tây Nguyên 2000 - D)e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Đề thi ĐH DL Đông Đô 1997)

f) sin2x + sin(x- ) =1 (Đề thi ĐH Nnghiệp 2000 - A)

g) /sinx+cosx/+3sin2x =1 (Đề thi ĐH ĐNẵng 1998 - A)h) 1+cos3x – sin3x = sin2x(Đề thi ĐH Nnghiệp I 2000 -)

Bài giảia) sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)Nhận xét Đây là phương trình đối xứng đối với sinx, cosx rất rõ ràng, ta chỉ cần thực hiện theo đúng cách giải thì không khó khăn gì.

sinx cosx = 6(sinx+cosx-1)

* Đặt t = sinx+cosx = sin(x+ ) , điều kiện /t/ ≤ thì phương trình viết lại :

(t2 – 1)/2 = 6(t-1) t2 – 12t +11 = 0

t = 1 hoặc t = 11 (loại ) sin(x+ ) = 1

sin(x+ ) = 1/ sin(x+ ) =sin

(k,l,m Z)

b) sinx cosx +2sinx +2cosx =2sinx cosx +2sinx +2cosx =2


Tài liệu Ôn thi Đại Học sinx cosx +2(sinx +cosx) =2 ( cách giải như trên )

c) =1

Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx + cosx và sin2x ta đặt t như trên. Tuy nhiên lưu ý chứa ẩn ở mẫu số nên trước khi giải cần đặt điều kiện sin2x 1 .

Giải Điều kiện : sin2x 1 Với điều kiện trên phương trình viết lại : cosx + sinx = sin2x + 1

Đặt t = sinx+cosx = sin(x+ ) , điều kiện /t/ ≤ thì ta có :

t = t2 – 1 +1 ta dễ dàng giải (các bạn tự làm – lưu ý kiễm tra điều kiện)d) sin2x +4(cosx-sinx) = 4Nhận xét : Phương trình chỉ chứa sinx - cosx và sin2x ta đặt t Đặt :

t = sinx-cosx = sin(x- ) , điều kiện /t/ ≤ thì phương trình viết lại :

1- t2 - 4 t = 4 t2 + 4t + 3 = 0 t= -1 hoặc t = -3 (loại)

sin(x- ) = -1 (dễ dàng giải- các em tự giải)

e) sinx – cosx +7sin2x =1 (Các em giải tương tự bài d)

f) sin2x + sin(x- ) =1

Nhận xét : Trong phương trình chứa sin(x- ) = sinx - cosx và sin2x , sau khi biến đổi ta

có phương trình giống bài d,e . (Các em tự giải) g) /sinx+cosx/+3sin2x =1Nhận xét : Trong phương trình chứa /sinx+cosx/ và sin2x nên theo cách giải ta đặt :

t= /sinx+cosx/ = /sin(x+ )/ với điều kiện 0≤t ≤

GiảiVới cách đặt như trên thì phương trình /sinx+cosx/+3sin2x =1 viết lại như sau :

t + 3(t2 – 1 ) = 1 3t2 + t – 4 = 0 t = 1 hoặc t = (loại)

Với t = 1 /sin(x+ )/ = 1 /sin(x+ )/ = 1 hoặc /sin(x+ )/ = -1

Đến đây các em đã biết cách giải .h) 1+cos3x – sin3x = sin2xNhận xét : Trong phương trình chứa cos3x – sin3x và sin2x ta biến đổi cos3x – sin3x = (cosx – sinx)( sin2x + sinx cosx + cos2x) =(cosx – sinx)( 1 + sinx cosx )như vậy phưong trình chỉ chưá cosx-sinx và sinx cosx ta đã biết cách giải.

Giải1+cos3x – sin3x = sin2x 1+ (cosx – sinx)( 1 + sinx cosx ) = 2sinx cosx

Đặt t = sinx – cosx = sin(x- ) , điều kiện /t/ ≤ thì phương trình viết lại :

1-t[1+(1-t2)/2]=1-t2 t=0 hoặc t2 + 2t + 3 = 0 (vô nghiệm)

sin(x- ) = 0 đây là phương trình cơ bản các em đã biết cách giải.

Bài 4 Giải các phương trình sau (tự giải)

a) sin2x +sinx + cos3x = 0 (ĐS : x= - + 2mð,x = - + a + 2lð,



x = - cosa + 2mð ,trong đó sina = ( -2)/2 (k,l,m Z)

b) 1+sin3x +cos3x = sin2x (ĐS : x = - +2mð , x = -ð+ 2lð )

c) sin2x -4(sinx – cosx) = 4 (ĐS : x = - +2mð , x = 2lð )

d) /xinx-cosx/ + 4sin2x = 1 (ĐS : x = +2mð , x = ð+ 2lð )

x = - +2nð , x = 2kð )

3-Phương trình đưa về phương trình đẵng cấp bậc n đối với sinx và cosx

Bài 5 Giải các phương trình sau :a) 2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1 (Đề thi ĐH Nông N1 1997 - A)b) 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0 (Đề thi ĐH QGHCM 1998 – A)c) 4(cos4x+ sin4x) + sin4x = 0 (Đề thi ĐH DL VLang 1998 - A)d) cos3x+ sin3x = sinx-cosx (Đề thi ĐH Đ Nẵng 1999 - A)

Bài giảia) 2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1Nhận xét Đây là dạng toán cơ bản ta chỉ cần chuyển –1 về trái (hoặc thay sin2x + cos2x = 1 rồi chuyển về vế trái) thì được một phương trình đơn giản.

Giải 2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1 2sin2x – cosx sinx +1– cos2x = 0

2sin2x – cosx sinx +sin2x = 0 3sin2x – cosx sinx = 0

sinx( 3sinx – cosx ) = 0 ,đây là hai phương trình

đã biết cách giải.Lưu ý Ta có thể giải cách khác

2sin2x – cosx sinx – cos2x = -1 3sin2x – cosx sinx = 0

cosx = 0 x = + kð (k Z)

cosx 0 chia hai vế cho cos 2x ta được phương trình bậc hai theo tanx2tan2x – tanx –1 = 0 đã biết cách giải.

b) 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0Nhận xét Đây là phương trình đẵng cấp bậc 4 theo sinx và cosx , nên khi cos x 0Chia hai vế cho cos4x ta được phương trình bậc 4 theo tanx .

Giải cosx = 0 không phải là nghiệm . cosx 0 chia hai vế cho cos 4x ta được phương trình bậc 4 theo tanx

tan4x – 4tan 2x +3 = 0 đặt t = tan2x , 0 ≤ t thì phương trình viết lại :t2 - 4 t + 3 = 0 t=1 hay t = 3

+ Với t = 1 ta có tan2x = 1 (k,l Z)

+ Với t = 3 ta có tan2x = 3 tanx = hay tanx = -

Vậy : Nghiệm của phương trình là : ( k,l,m.n Z )

c) 4(cos4x+ sin4x) + sin4x = 0


Tài liệu Ôn thi Đại HọcNhận xét : Trong phương trình thoạt nhìn vào ta thấy không phải là phương trình đẵng cấp đối với sinx và sinx. Tuy nhiên nếu biến đổi :

cos4x+ sin4x=1-2sin2xcos2x =1- sin22x , sin4x=2sin2x cos2x thì ta dễ thấy đây là phương

trình đẵng cấp bậc hai theo sin2x và cos2xGiải

4(cos4x+ sin4x) + sin4x = 0 4(1-2sin2xcos2x) + 2sin2x cos2x = 0 4-2sin22x + 2 sin2x cos2x = 2 -2sin22x +2 sin2x cos2x+2 = 0 2cos22x +2 sin2x cos2x = 0 đây là phương trình đã biết cách giải.

Lưu ý Thử giải phương trình trên theo hai cách khác nhau để rèn luyện kỷ năng.d) cos3x+ sin3x = sinx-cosxNhận xét Vế trái cos3x+ sin3x vế phải sinx-cosx thoạt nhìn ta thấy chúng không có liên quan gì với nhau , nhưng để ý :

sinx-cosx = (sinx-cosx)(sin2x + cos2x) =sin3x –cos3x – cosx sin2x + sinx cos2x thì sau khi biến đổi ta được phương trình đẵng cấp bậc ba .

Giảicos3x+ sin3x = sinx-cosx cos3x+ sin3x = sin3x –cos3x – cosx sin2x + sinx cos2x 2cos3x + cosxsin2x – sinxcos2x = 0 cosx= 0 hay 2cos2x + sin2x –sinxcosx =0

cosx = 0 x = + kð (k Z)

2cos2x + sin2x –sinxcosx = 0 2 + tan2x – tanx = 0 (vô nghiệm)

Vậy : Nghiệm của phương trình là : x = + kð (k Z)

Bài 6 Giải các phương trình sau : (tự giải)

a) 3sin2x – 2sinx cosx – cos2x = 0 (ĐS : x = + kð, x=a + lð với tana = 3)

b) sin3x – 7sin2xcosx + 11sinxcos2x – 6cos3x = 0

(Đs : x = + kð, x=a + lð với tana = 2, x=b + mð với tana = 2)

c) 2sin3x =cosx (Đs : x= + kð) (mặc dầu đây là phương trình mới nhìn vào ta thâý không

thuộc loại đẵng cấp nhưng nếu chúng ta biến đổi vế phải : cosx=cosx(cos2x + sin2x ) thì ta được phương trình đẵng cấp bậc ba )

d) 5sin4x + 3cos3xsinx +6cos2xsin2x-cosxsin3x+cos4x = 2 (Đs : x = + kð, x= lð)

e) 4(sin3x+cos3x) = cosx + 3sinx (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2004-A)

4-Phương trình lượng giác dùng công thức hạ bậcKhi gặp các phương trình có chứa sin2x, cos2x , sin4x, cos4x , sin6x, cos6x ,… hay sin22x, cos22x, sin24x, cos24x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân đôi hoặc công thức hạ bậc để giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.

Bài 7 Giải các phương trình sau a) cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = 2 (Đề thi học sinh giỏi THPT 1985)

b) sin2x + sin22x + sin23x = (Đề thi ĐHQG HN -D - 2000)

c) sin 2x + sin23x -3 cos22x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)

d) sinxcos4x +2sin22x = 1-4sin2( - ) (Đề thi ĐH Cảnh Sát ND – 2001)

e) sin6x + cos6x =cos4x (Đề thi HV Ngân Hàng – 1998)Bài giải

a) cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = 2


Tài liệu Ôn thi Đại HọcNhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác cos của góc x,2x,3x,4x cách tốt nhất để giải là chúng ta hạ bậc .

Giải

cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = 2 + + + =2

cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 (cos2x+ cos8x) +(cos4x+cos6x) = 0 2(cos5xcos3x+cos5xcosx) = 0 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5xcos2xcosx= 0

(k,l,m Z)

Vậy Nghiệm phương trình là : (k,l,m Z)

b) sin2x + sin22x + sin23x =

Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin của góc x,2x,3x cách tốt nhất để giải là chúng ta hạ bậc .

Giải

sin2x + sin22x + sin23x = + + =

cos2x + cos4x + cos6x = 0 (cos2x + cos6x) + cos4x = 0 2cos4x cos2x + cos4x = 0 cos4x(2cos2x+1) = 0

(k,l,m Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : (k,l,m Z)

c) sin 2x + sin23x -3 cos22x = 0 (Đề thi ĐH Kế toán – TC - 2001)Nhận xét : Đây là phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác sin , cos của góc x,2x,3x chúng ta cũng làm như trên .

sin 2x + sin23x -3 cos22x = 0 + -3 = 0

cos6x +cos4x+cos2x +1 = 0 ( cos6x +cos2x )+(cos4x +1) = 0 2 cos4xcos2x+2cos22x = 0 2 cos2x(cos4x +cos2x) = 0

4 cos2xcos3x cosx) = 0

(k,l,m Z)

Vậy Nghiệm của phương trình : (k,l,m Z)

d) sinxcos4x +2sin22x = 1-4sin2( - )


Tài liệu Ôn thi Đại HọcNhận xét Nếu để ý kĩ thì chúng ta thấy 2sin2x biến đổi được về cos4x như vậy vế trái chưá tích cos4x(sinx –1), còn vế phải con đường tốt nhất là hạ bậc

2sin2( - )= 1-cos2 ( - ) = 1-cos ( -x) = 1-sinx đến dây ta có thể giải được .

Giải

sinxcos4x +2sin22x = 1-4sin2( - ) sinxcos4x –(1-2sin22x) = -2[1-cos2 ( - )]

sinxcos4x –cos4x = -2[1-cos ( -x)] sinxcos4x –cos4x = -2(1-sinx)

cos4x(sinx –1) -2(sinx-1) = 0 (sinx-1)( cos4x –2) = 0 sinx-1 = 0

sinx = 1 (vì cos4x –2 = 0 vô nghiệm) x= + k2ð (k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình : x= + k2ð (k Z)

e) sin6x + cos6x =cos4x

Giảisin6x + cos6x =cos4x sin4x + cos4x – sin2xcos2x =cos4x

1-3 sin2xcos2x =cos4x 1- sin22x =1-2sin22x sin2x=0

2x = kð (k Z) x = kð/2 (k Z)

Bài 8 Giải các phương trình sau : (tự giải)a) sin 2x = cos22x+ cos23x (Đề thi ĐHQG HN -B - 1998)

b) cos2x + cos22x+ cos23x +cos24x = (Quan hệ Quốc Tế 1997)

c) 2cos2x + 2cos22x+ 2cos23x –3=cos4x(2sin2x+1) (Đề thi ĐHSP2 -DE – 2000)d) sin 2x + sin23x = cos22x+ cos24x (Đề thi ĐHKT HN - 2000)

e) 2cos2( cos2x) = 1 cos(ðsin2x) (Đề thi ĐH Tây Ng -A – 1998)

f) sin 4x + sin4(x+ )+cos4(x+ )= (Đề thi ĐHGTVT - 2001)

g) sin6x + cos6x = (Đề thi học sinh giỏi THPT 1979)

h) sin6x + cos6x = 1+sin4x (Đề thi ĐHDL Hải Phòng – 2000)i) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (Đề thi ĐH năm 2002-B)k) cos23x.cos2x – cos2x = 0 (Đề thi ĐH 2005-A)l) cos2x +cos4x – 2= 0 (Đề thi CĐ TC-KT năm 2005)m) cos4x – 2sin2x + 2 = 0 (Đề thi CĐ xây dựng số 2-2005)n) 3cos4x – 8 cos6x + 2cos2x + 3 =0 (Đề thi dự bị ĐH -2003-B)

o) (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2005-A)

5-Phương trình lượng giác đưa về dạng chuẩn dùng công thức nhân baKhi gặp các phương trình có chứa sin3x, cos3x , sin6x, cos6x , ….. hay sinx , sin3x hoặc cosx, cos3x….thì đầu tiên các em thử dùng công thứcnhân ba để giải thử xem , sau đó mới tìm cách giải khác.

Bài 9 Giải các phương trình sau a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1) (Đề thi QGHN – A - 1995)b) sin3x + 2cos2x –2 = 0 (Đề thi Đà Nẵng– A - 1998)c) 4cos2x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x) (Đề thi Thái Nguyên– D -1997)


Tài liệu Ôn thi Đại Họcd) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x (Đề thi NN Hà Nội– 1998)

BÀI GIẢI

a) 4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1) Nhận xét : Phương trình chứa sin3x , cos2x và sinx gợi ý cho ta biến đổi sin3x và cos2x về sinx .

Giải4sin3x –3cos2x = 3(4sinx – 1) 4(3sinx- 4sin3x) –3(1-2sin2x) =12sinx –3

-16sin3x + 6sin2x = 0 sinx = 0 hay sinx =

.


b) sin3x + 2cos2x –2 = 0Nhận xét : Bài này hoàn toàn giống bài trên với lưu ý 2cos2x-2= -2(1-cos2x)=-4sin2x

Giảisin3x + 2cos2x –2 = 0 3sinx – 4sin3x –2(1-cos2x) =0 3sinx – 4sin3x –4sin2x =0 sinx(3 – 4sinx –4sin2x) =0 sinx = 0 hay 4sin2x + 4sinx – 3 = 0 .* Với sinx = 0 x = kð (k Z)

* Với 4sin2x + 4sinx – 3 = 0 (k,l Z)

(phương trình sinx= - vô nghiệm)


c) 4cos2x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x)Nhận xét Phương trình cos3x, cos2x, cos2x, cosx gợi ý cho ta biến đổi cos3x, cos2x về cosx .

Giải4cos2x – cos3x = 6cosx –2(1+cos2x) 4cos2x –(4cos3x – 3cosx) = 6cosx –4cos2x -4cos3x + 8cos2x – 3cosx = 0 cosx(-4cos2x +8cosx –3)= 0 cosx=0 hay 4cos2x –8cosx +3 = 0

* Với cosx = 0 x = + kð (k Z)

* Với 4cos2x –8cosx +3 = 0 cosx = (vì cosx = vô nghiệm)

(k,l Z)


d) sin3x + cos2x = 1+2sinxcos2xNhận xét Đây cũng là phương trình có sin3x cho nên gợi ý cho ta biểu diễn toàn bộ các biểu thức còn lại theo sinx.

Giảisin3x + cos2x = 1+2sinxcos2x 3sinx – 4sin3x + 1- 2sin2x = 1+ 2sinx cos2x


Tài liệu Ôn thi Đại Học 3sinx – 4sin3x - 2sin2x = 2sinx cos2x sinx (3-4sin2x – 2sinx – 2cos2x) = 0 sinx [3-4sin2x – 2sinx – 2(1-2sin 2x)] = 0 sinx(1-2sinx) = 0

(k,l,m Z)


Bài 10 Giải các phương trình sau (tự giải)a) 4(sin3x - cos2x) = 5(sinx-1) (Đề thi ĐH Luật - 1999)b) 4sin 3x –1 = 3sinx - cos3x (Đề thi Hải Quan - 1998)c) cos3x – 2cos2x = 2 (Đề thi ĐH CSND - 2000)d) sin3x + sin2x = 5sinx (Đề thi ĐH Y Hải Phòng– 2000)e) cos10x+2cos24x + cos3xcosx=cosx+8cosxcos33x

(Đề thi ĐH KT-KT –1998)f) cos3x + cos2x – cosx -1 = 0 (Đề thi ĐH – 2006-D)

6-Phương trình lượng giác dùng phương pháp đặt ẩn phụa) Đây là là một dạng toán hay, đòi hỏi chúng ta phải biết quan sát, phân tích sau đó chọn ẩn phụ thích hợp.

Bài 9 Giải các phương trình sau

a) 8cos3( x+ ) = cos3x (Đề thi ĐH QGHN A – 1999)

b) sin3(x- ) = sinx (Đề thi ĐH QGHCM A – 1998)

c) sin(3x – ) = sin2x sin(x+ ) (Đề thi HVBC VT – 1999)

d) sin3(x+ ) = sinx (Đề thi ĐH SP Hải Phòng B – 2001)

e) sin( - ) = sin( + ) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)

BÀI GIẢI

a) 8cos3( x+ ) = cos3x

Nhận xét Giữa hai đại lượng ( x+ ) và cos3x có mối liên hệ 3(x + ) = 3x + ð như vậy nếu

ta đặt t = x+ thì 3x = 3t -ð lúc đó cos3x = cos(3t –ð) = - cos3t ta dễ dàng giải.

Giải

Đặt đặt t = x+ thì 3x = 3t –ð lúc đó ta có :

8cos3( x+ ) = cos3x 8cos3t = - cos3t 8cos3t = -(4cos3t – 3cost)

12cos3t– 3cost = 0 cost = 0 hay cos 2 t = .

Với cost = 0 t = +kð x+ = + kð x = + kð

cos2t =



Vậy Nghiệm của phương trình là : (k,l,m,n Z)

b) sin3(x- ) = sinx

Giải

Đối với bài toán này ta thấy nếu đặt t = x- thì x = t + lúc đó phuơng trình viết lại:

sin3t = sin(t+ ) sin3t = (sint cos +sin cost) sin3t –sint = cost

sint(sin2t – 1) = cost -cos2t sint = cost

Với cost = 0 t = + kð x- = + kð x = + kð (k Z)

-costsint = 1 sin2t = -2 Vô nghiệm .

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = + kð (k Z)

c) sin(3x – ) = sin2x sin(x+ )

Giải

Đặt t = x+ suy ra 2x = 2t – , 3x – = 3t – ð nên phương trình viết lại :

sin(3t – ð) = sin(2t- ) sint -sin3t = -cos2t sint 4sin3t – 3sint + cos2t sint=0

sint(4sin2t – 3 + cos2t) = 0 sint= 0 hay sin2t = 1 t = k (k Z)

x+ = k x = - + k (k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = - + k (k Z)

Bài 10 Giải các phương trình sau : (tự giải)

a) sin3(x+ ) = sinx (Đề thi ĐH SP Hải Phòng B – 2001)

b) sin( - ) = sin( + ) (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 2001)

b- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa sinx, cosx, tanx, cotx, tan2x, cot2x thường chúng

ta đặt ẩn phụ t = tanx với điều kiện x + kð (k Z)

Bài 11 Giải các phương trình sau :a) 1 + 3tanx = 2sin2x (Đề thi ĐH QGHN D – 2000)b) 3 (sinx+ 2cosx) = 5(sinx + 3cosx) (Đề thi ĐH QGHCM – A2 –98)c) cot2x = tan2x + 2tan2x+1 (Đề thi ĐH An Ninh – 1999)

d) tan2x + sin2x = cotx (Đề thi ĐH Thủy Lợi – 1997)

e) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)f) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)g) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)h) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)

BÀI GIẢIa) 1 + 3tanx = 2sin2x


Tài liệu Ôn thi Đại HọcGiải

* Điều kiện x + kð đặt t = tanx thì :

1 + 3tanx = 2sin2x 1+ 3t = 4t/(1 + t2) (t+1)(3t2 – 2t +1) = 0

t+1= 0 hay 3t2 –2t + 1= 0 (vô nghiệm) t = -1 tanx = -1 x= - +k ,k Z

* Vậy Phương trình có nghiệm : x= - +k , (k Z)

b) 3 (sinx+ 2cosx) = 5(sinx + 3cosx)

Nhận xét : Điều kiện x +k chia hai vế cho cosx ta được phương trình theo tanx do đó

nếu đặt t = tanx ta có thể tìm t suy ra x.Giải

Với cách đặt như trên phương trình viết lại : 3 (t+2) = 5(t+3) ( -2)[3(t+1) + + 5] = 0 =2 t = 3 tanx = tana (tana =3) x = a +k , k Z (vì 3(t+1) + +5 >0 )Vậy Nghiệm của phương trình : x = a +k , k Z với tana = 3.c) cot2x = tan2x + 2tan2x+1

Giải

Điều kiện : 2x k , 2x+1 + k (k Z)

Với điều kiện trên đặt t = tan2x phương trình viết lại :(t – 1)3(t+1) = 0 t = -1 hay t = 1

+ Với t = 1 ta có : tan2x = 1 2x = + k (k Z+) x = log2( + k )

+ Với t = -1 ta có : tan2x = -1 2x = - + k (l Z+) x = log2(- +l )

Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện của bài toán .

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = log2( + k ), x = log2(- +l ),(k,l Z+)

d) tan2x + sin2x = cotx

Giải

Điều kiện : 2x k , k Z x k , k Z

Với điều kiện trên đặt t = tanx thì phương trình viết lại :3t4 + 8t2 – 3 = 0 t2 = 1/3 hay t2 = -3 (loại) t = 1/ hay t = - 1/

+ Với t = 1/ tanx = 1/ x = + k , ( k Z)

+ Với t = - 1/ tanx = - 1/ x = - + l , (l Z)

Vậy Nghiệm của phương trình : x = + k , x = - + l , (l,k Z)

Bài 12 Giải các phương trình sau (tự giải)a) sin2x + 2tanx = 3 (Đề thi ĐH Bách Khoa –A –2001)b) tanx + 2cot2x = sin2x (Đề thi Học Viện HCQG – 2001)c) 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx (Đề thi Học Viện Quân Y –2001)d) tanx +2cot2x = sin2x (Đề thi ĐHSP Hà Nội –2001)e) sinx + cosx + =2 (Đề thi ĐHSP2 Hà Nội –200-DE)



c- Khi gặp những phương trình chỉ có chứa tanx+cotx , + , tan 2x+cot 2x ,

+ đặt ẩn số phụ t = tanx + cotx = với điều kiện x k (k Z), /t/ 2 .

Bài 13a) 2cot2x + 2/cos2x + 5tanx + 5 cotx + 4 = 0 (Cao Đẵng SP Hà Nội a 2001)b) 3/sin2x + 3tan2x + 4(tanx + cotx ) – 1 = 0 (Đề số 13 trong bộ đề thi đại học)

BÀI GIẢIa) 2/cos2x +2cot2x + tanx + 5 cotx + 4 = 0

Điều kiện : x k

Đặt t = tanx + cotx , /t/ 2 phương trình viết lại :

2t2 + 5t + 2 = 0 t = - (loại) hay t = -2

Với t = -2 tanx + cotx = -2 sin2x = -1 x = - + k

Vậy Nghiệm của phương trình : x = - + k , k Z.

b) 3/sin2x + 3tan2x + 4(tanx + cotx ) – 1 = 0Giải

Điều kiện : Điều kiện : x k , k Z

Với điều kiện trên phương trình viết lại :3(tan2x + cot2x) + 4(tanx + cotx) – 1 = 0 . Đặt Đặt t = tanx + cotx , /t/ 2 ta có :

3(t2 – 1) +4t – 1 = 0 3t2 + 4t – 4 = 0 t = -2 hay t = (loại)

t = -2 x = x = - + k , k Z.

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = - + k , k Z.

d- Khi gặp những phương trình chứa sin3x ,sinx ,cos3x, cos x hoặc những phương trình sau khi biến đổi đưa về dạng như trên , thường ta xét cosx = 0,rồi khi cosx 0 ta chia hai vế cho cos3x

Bài tập 14a) 9sin3x – 5 sinx + cos3x = 0 (Đề thi ĐHSP Quy Nhơn – 2001)b) sinx sin2x + sin3x = 6cos3x (Đề thi ĐH Y Khoa HCM – 1997)c) sin3x = cosx cos2x(tan2x + tan2x) (Đề thi HV Ngân Hàng – 1999)d) sinx – 4 sin3x + cosx = 0 (Đề thi ĐH Y Khoa HN – 1999)

BÀI GIẢIa) 9sin3x – 5 sinx + cos3x = 0Ta thấy cosx 0 , nên chia hai vế cho cos3x với lưu ý 1+ tan2x = 1/cos2x thì phương trình viết lại như sau :9 tan3x –5tanx(1+tan2x) +1 = 0 4tan3x –5tanx +1 = 0 (tanx-1)(4tan2x + 4tanx – 1) = 0Tới đây ta đã biết cách giải.Lưu ý Phương trình trên có thể biến đổi để đưa về phương trình đẵng cấp bậc ba đối với sin và cos như sau : 9sin3x – 5sinx(sin2x + cos2x) + cos3x = 0 4sin3x –5sinxcos2x + cos3x = 0 ta dễ dàng làm như trên.

b) sinx sin2x + sin3x = 6cos3x 2sin2xcosx + 3sinx – 4sin3x = 6cos3x (*)Nhận xét cosx 0 , nên chia hai vế cho cos3x ta được phương trình :2tan2x +3tanx(1+tan2x) –4tan3x = 6 tan3x – 2tan2x – 3tanx +6= 0 (tan2x-3)(tanx – 2) = 0



trong đó k,l,m Z và tana = 2.

Vậy Nghiệm của phương trình là : trong đó k,l,m Z và tana = 2.

d) sinx – 4 sin3x + cosx = 0 (tự rèn luyên bằng cách giải theo cách ở trên).Riêng đối với bài này chúng ta có thể làm cách sau : Ta thấy cosx = 0 không phải là nghiệm Với cosx 0 ta nhân hai vế của phương trình với cosx ta được :

cosx sinx –4cosx sin3x + cos2x = 0 sin2x –2sin2x(1-cos2x) + 1+cos2x = 0 sin2x + cos2x –2sin2xcos2x +1 = 0 đây là phương trình bậc nhất đối xứng đối với sin2x, cos2x nên ta đặt t = sin2x+cos2x , /t/ được : t –(t2 –1) +1 = 0 t2 –t –2 = 0 t = -1 hay t = 2 loại

Với t = -1 ta có sin(x+ ) = -1/ ta đã biết cách giải.

7- Phương trình lượng giác dùng phương pháp so sánh Đây là loại bài toán ít phổ biến, muốn giải các phương trình này chúng ta cần lưu ý :

/sinx/ 1 ; /cosx/ 1A1

2 + A22 + A3

2 + … An2 = 0 A1

2 = A22 =A3

2 = … =An2 = 0

Ngoài ra cần nhớ lại các bất đẵng thức đã học : Bất đẵng thức CÔSI : a1, a2, a3 … ,an không âm ta có : (a1+ a2 + a3+ … +an) /n (a1 a2 a3 …an)1/ n

Dấu bằng xảy ra a1= a2 = a3 = … = an

Trường hợp đặc biệt Với hai số không âm a, b :

Dấu bằng xảy ra a = b . Bất đẵng thức BUNHIACOPSKY (Svacxơ): a1, a2, a3 … ,an , b1, b2, b3 … ,bn ta có ( a1 b1 + a2 b2 + a3 b3+ …+an bn ) 2 (a1

2 +a2

2 +a32 +…+an

2) (b12 +b2

2 + b32 +….+ bn

2)Dấu bằng xảy ra a1/b1= a2 /b2 = … = an / bn Trường hợp đặc biệt Với bốn số a,b, c, d : (ac+bd)2 (a2 + b2)(c2 +d2)

Dấu bằng xảy ra a /c = b/d .Bài 15 Giải các phương trình sau :

a) 4cos2x + 3tan2x – 4 cosx + 2 tanx + 4 = 0 (Đề 32.III.2 Bộ đề thi ĐH)b) sin2000x + cos2000x = 1 (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2000)c) (cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x (Đề thi ĐH An Ninh 1997)

d) cos4x + sin4x + 1/sin4x + 1/cos4x = 8 + (Đề thi ĐH Y Hà Nội 1996)

e) tanx + cotx = (sinx+cosx) (Đề thi ĐH DL ĐĐ 1997) f) 2cosx + sin10x = 3 + 2 cos28x sinx (Đề thi ĐH An Ninh A 2001)g) cos2x – cos6x +4(3sinx-4sin3x + 1)=0 (Đề 83.III.1 Bộ đề thi đại học)

BÀI GIẢIa) 4cos2x + 3tan2x – 4 cosx + 2 tanx + 4 = 0 (Đề 32.III.2 Bộ đề thi ĐH)

GiảiNhận xét Đây là phương trình tương đối phức tạp ta thử nhóm các số hạng cùng chứa hàm lượng giàc như nhau thử xem. Qủa thật lúc đó gợi ý cho ta đưa vế trái về tổng các bình phương .

4cos2x + 3tan2x – 4 cosx + 2 tanx + 4 = 0


Tài liệu Ôn thi Đại Học 4cos2x -4 cosx + 3tan2x + 2 tanx + 4= 0 4cos2x -4 cosx + ( )2 + 3tan2x + 2 tanx + 1= 0 (2cosx – )2 + ( tanx + 1)2 = 0

x = + k2 (k

Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = + k2 (k Z) .

b) sin2000x + cos2000x = 1 Nhận xét Đây là bài toán có dạnh sinnx + cosnx = 1 thường ta thay 1=sin2x + cos2x sau đó biến đổi thành sin 2x (1-sinn-1x) + cos2x(1-cosnx) = 0 với nhận xét sin 2x (1-sinn-1x) 0 và cos2x(1-cosnx) 0 nên sin 2x (1-sinn-1x) + cos2x(1-cosnx) = 0 sin 2x (1-sinn-1x) = 0 và cos2x(1-cosnx) = 0 từ đây ta tìm được nghiệm.

Giảisin2000x + cos2000x = 1 sin2x(1-sin1998) + cos2x(1-cos1998x) = 0

sin2x (1-sin1998x) = 0 và cos2x(1-cos1998x) = 0

x = k (k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = k (k Z)

c) (cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3xNhận xét Để ý vế phải ta thấy 6 + 2sin3x 4 , còn vế trái (cos2x – cos4x)2 4Nên ta có thể giải như sau :

Giải(cos2x – cos4x)2 = 6 + 2sin3x

sinx = 1 x = + k2 (k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = + k2 (k Z)

d) cos4x + sin4x + 1/sin4x + 1/cos4x = 8 + (Đề thi ĐH Y Hà Nội 1996)

Giải

Biến đổi vế trái với lưu ý : a4 + b4 + + =( a4 + b4)(1+ )

ta được (cos4x + sin4x)(1 + )=(1-2sin2xcos2x)(1+ )

(1- )(1+16) = 17/2 .

Vế phải 8 + 8 + = 17/2

Từ đó ta có : cos4x + sin4x + 1/sin4x + 1/cos4x = 8 +

( k,l Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : ( k,l Z)

e) tanx + cotx = (sinx+cosx)

Nhận xét Vế trái tanx + cotx = = còn vế trái



(sinx+cosx) = 2sin(x+ ) do ta được :

tanx + cotx = (sinx+cosx) sin2x sin(x+ ) =1

x = + 2k ( k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = + 2k ( k Z)

f) 2cosx + sin10x = 3 + 2 cos28x sinx Nhận xét Nhìn vào phương trình này chúng ta thấy khó có thể tìm một mối quan hệ nào giữa các hàm lượng giác các góc x, 10x, 28x. Tuy nhiên ta có thể chuyển vế để rồi so sánh :

Giải2cosx + sin10x = 3 + 2 cos28x sinx 2(cosx- cos28x sinx)= 3 - sin10x

Lúc đó : Vế trái áp dụng bất đẵng thức Bunhiacopski cho 4 số cosx, -sinx, 1, cos28x 2(cosx- cos28x sinx) 2 2

Vế phải 3 - sin10x 3 - =2 Suy ra : 2(cosx- cos28x sinx)= 3 - sin10x

Giải hệ phương trình này ta được x = + 2k (k Z)

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = + 2k (k Z)

g) cos2x – cos6x +4(3sinx-4sin3x + 1)=0

Bài 16 Giải các phương trình sau (tự giải)a) sinx+ cosx = (2-sin3x) (Đề 35.II.1 Bộ đề thi đại học)b) cos2x + cos4x + cos6x = cosx cos2x cos3x + 2 (Đề thi ĐH Y Hà Nội 2000) c) cos3x + = 2(1 + sin22x) (Học Viện Ngân Hàng - A – HCM)

d) Cho phương trình 2sin15x + cos5x + sin5x=k (Đề ĐH SP Hải Phòng 2001)Giải phương trình khi k = 0 và k = 2

e) sinx + 2sin2x = 3 + sin3x (Bộ đề thi Đai Học)f) sin3x + cos3x = 2 – sin4x (Đề 120.II.I Bộ đề thi Đai Học)g) sinx + +sinx =3 (Đề 146 III.I)

Hướng dẫn a) sinx+ cosx = (2-sin3x)

Biến đổi vế trái sinx+cosx = sin(x + )

Vế phài (2-sin3x) b) cos2x + cos4x + cos6x = cosx cos2x cos3x + 2

Biến đổi vế phaỉ : cosx cos2x cos3x + 2 = cos2x(cos4x+cos2x)+2 = cos2x cos4x

+ cos 22x +2 = (cos6x+cos2x) + (1+ cos4x) +2 = (cos2x+cos4x+cos6x +1) +2

Lúc đó phương trình viết lại : 4(cos2x + cos4x + cos6x) = cos2x + cos4x + cos6x + 9 cos2x + cos4x + cos6x = 3 sau đó sử dụng tính chất /cosx/ 1, ta sẽ được hệ.c) cos3x + = 2(1 + sin22x)Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopski cho 4 số 1,1,cos3x, ta có :

cos3x + = 2còn vế trái 2(1+sin22x) 2 suy ra phương trình đã cho tương đương với hệ :


Tài liệu Ôn thi Đại Học Giải hệ này ta có nghiệm x = 2k (k Z)

d) Cho phương trình 2sin15x + cos5x + sin5x=k (Đề thi ĐH SP Hải Phòng 2001)Giải phương trình khi k = 0 và k = 2.1) khi k = 0 phương trình viết lại : 2sin15x + cos5x + sin5x=0

sin15x + cos5x + sin5x = 0 sin15x + sin( +5x) = 0

sin15x = - sin( +5x) sin15x = sin(- -5x) đây là phương trình cơ bản.

2) Khi k=2 phương trình viết lại : sin15x + sin( +5x) = 2 , dưạ vào tính chất của

/sinx/ 1 , ta sẽ được hệ, giải hệ này ta tìm được nghiệm.e) sinx + 2sin2x = 3 + sin3x

Biến đổi ta được phương trình : sin2x – cos2x sinx =

Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopski ta được phương trình vô nghiệm.f) sin3x + cos3x = 2 – sin4x

Ta có vế trái sin3x + cos3x 1 còn vế phải 2 – sin4x 1 , suy ra cách giải.g) sinx + +sinx =3

Ap dụng bất đẵng thức B.N.C cho bốn số 1,1, sinx, :sinx + 2 , và sinx /sinx/ áp dụng bất đẵng thức cô si

cho hai số không âm /sinx/ =1

Do đó phương trình tương đương với hệ : giải hệ phương trình

naỳ ta có nghiệm phương trình là : x = + k2 (k Z)

8- Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trướcTa thường gặp nhữnng bài toán tìm nghiệm của phương trình thoả mãn một vài điều kiện cho

trước . Để giải quyết những bài toán dạng này ta thường tìm nghiệm của phương trình trong trường hợp tổng quát sau đó dựa vào điều kiện của bài toán ta tìm nghiệm thỏa mản.Bài 17

a) Tìm nghiệm của phương trình : sin(2x+ ) –3cos(x - ) =1 + 2sinx.

Thuộc đoạn [ ,3 ]. (Đề 16.III.2 Bộ đề thi ĐH)

b) Tìm các nghiệm của phương trình : sinx cos4x – sin22x = 4 sin2( - ) –

Thoả mãn điều kiện : /x-1/ .(Đề thi ĐH SP Hà Nội – 2000 – A)

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos[ = 1

(Đề thi ĐH SP2 Hà Nội – 2000 )

d) Cho phương trình cos2x – tan2x = .Tính tổng các nghiệm của phương

trình thoả 1 x 70 .(Bộ đề thi Đ H)

BÀI GIẢI



a) Tìm nghiệm của phương trình : sin(2x+ ) –3cos(x - ) =1 + 2sinx.

thuộc đoạn [ ,3 ]. (Đề 16.III.2 Bộ đề thi ĐH)

Giải

sin(2x+ ) –3cos(x - ) =1 + 2sinx cos2x +3sinx –1- 2sinx = 0

sinx(2sinx-1) = 0 (k,m,n Z)

vì nghiệm của phương trình thuộc đoạn [ ,3 ] nên chỉ nhận được các giá trị :

x = , 2 , 3 , , , .

Vậy Nghiệm của phương trình là : x = , 2 , 3 , , , .

b) Tìm các nghiệm của phương trình : sinx cos4x – sin22x = 4 sin2( - ) –

Thoả mãn điều kiện : /x-1/ .Giải

sinx cos4x – sin22x = 4 sin2( - ) – sinx cos4x-sin22x =2-2cos( - ) –

sinx cos4x- = 2-2sinx – cos4x(sinx+ ) = -2(sinx+ )

(cos4x +2) (sinx+ ) = 0 sinx = - (k, l Z)

Do /x-1/ 3 -2

* Với x= - +k2 , đk -2 - +k2 4 k = 0 x = -

* Với x= +2l , đk -2 +l2 4 k = 0 x =

Vậy Phương trình có 2 nghiệm : x = - , x = thoả mãn điều kiện.

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos[ = 1

Giải

cos[ = 1 = 2k

= 3x-16k

Ta có x= 9x = 24k – 40 -

K nguyên, x nguyên nguyên 3k+5 = -1,+1,-5,+5,-25,+25 x= -7, -31 .

Vậy Nghiệm của phương trình là : x= -7, -31 .

d) Cho phương trình cos2x – tan2x = .Tính tổng các nghiệm của phương

trình thoả 1 x 70 .Giải


Tài liệu Ôn thi Đại Học Điều kiện : cosx 0 phương trình viết lại :

cos2x – tan2x = 1-cosx - cos2x + cosx = 0 2cos2x + cosx – 1 = 0

x = + (k Z)

Vì 1 x 70 nên 0 k 32 . Do đó tổng các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện trên là :

S = 33. + (1+2+3+…32) = 363

Bài 18 a) Tìm nghiệm của phương trình : cos7x – sin7x = -

thoả mãn điều kiện : .

(Đề thi ĐH Kinh tế Hà Nội – 1997)

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos[ = 1

(Đề thi ĐH An Ninh -2000 –A)

c) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2 ) của phương trình : = sin2x+cos2x

(Đề thi ĐH Y Dươc HCM hệ cử nhân – 2001)d) Tìm x [0;14] nghiệm đúng phương trình : cos3x-4cos2x+3cosx -4 =0 (2002-D)

9- Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trướcBài 19

a) Cho phương trình 2cos2x + sin2x cosx + sinx cos2x = m(sinx+cosx) (1)

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0, ]

(Đề thi Đaị Học Luật – TP HCM – 2001)b) Cho phương trình sin3x = msinx + (4-2m)sin 2 x

Tìm tất cả m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc [0,3 ](Đề thi Đaị Học SP2 – D+E – 2000)

c) Cho phương trình cos4x + 6sinx cosx = m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0, ]

(Đề thi Đaị Học QG HCM –A1 – 1999)d) Cho phương trình (cosx+1)(cos2x-mcosx) = sin 2x

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [0, ]

(Đề thi Đaị Học QG HCM – B – 1999)

BÀI GIẢI a) Cho phương trình 2cos2x + sin2x cosx + sinx cos2x = m(sinx+cosx) (1)

Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0, ]

Giải(1) 2(cosx-sinx)(cosx+sinx) + sincosx(sinx+cosx)-m(sinx+cosx) = 0

(sinx+cosx)[2(cosx-sinx) +sinxcosx – m] = 0 sinx+cosx= 0 hay 2(cosx-sinx)+sinxcosx – m = 0

* cosx + sinx = 0 sin(x+ ) = 0 x + = k x = - + k



( k Z) , không có nghiệm thuộc [0, ] .

2(cosx-sinx)+sinxcosx – m = 0 2(sinx-cosx)-sinxcosx + m = 0

đặt t = sinx – cosx = sin(x – ) , /t/ , do x [0, ]

t [-1,1] .

ta có 2(sinx-cosx)-sinxcosx + m = 0 2t – + m = 0 t2+4t+2m-1=0

(t + 2) 2 = 5-2m do t [-1,1] nên 1 (t+2)2 = 5 – 2m 9 -4 -2m 4 -2 m 2 .Vậy Với m [-2,2] thì phương trình có ít nhất một nghiệm thoả mãn điều kiện bài toán .

b) Cho phương trình sin3x = msinx + (4-2m)sin 2 x Tìm tất cả m để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc [0,3 ]

GiảiNhận xét Chúng ta thấy vế phải là biểu thức theo sinx , nên vế trái cũng tìm cách biểu diễn theo sin x theo công thức nhân 3 .sin3x = msinx + (4-2m)sin 2 x 3sinx-4sin3x – msinx –(4-2m)sin2x = 0

sinx[3-4sin2x –m –(4-2m)sinx] = 0

* Ta có : sinx = 0 x = k , do x [0,2 ] x=0, x= , x= 2 Để phương trình có đúng 5 nghiệm trong [0,2 ] thì phương trình :4sin2x+(4-2m)sinx + m –3 = 0 có 2 nghiệm khác 0, , 2 .* Với m=3 (sinx=0) phương trình có nghiệm 0, , 2 , /6 , 5 /6 thỏa mãn điều kiện bài toán . * Với m 3 (sinx 0) , đặt t = sinx , /t/ 1 , f(t) = 4t2 + (4-2m)t +m –3 (*) ’= (2-m)2 -4(m-3) = m2 –4m +4 – 4m +12= m2 – 8m +16 = (m-4)2

Với m = 4 thì ’= 0 lúc đó phương trình có nghiệm t = sinx =

có hai nghiệm x= , 5 thoả mãn.

Với m 4 thì f(t) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn điều kiện bài toán -1 t1 1 t2 hoặc t1 -1 t2 1

Trường hợp 1 : -1 t1 1 t2 5 m

Trường hợp 2 : t1 -1 t2 1 m 1Vậy m (- ,1) {3} {4} (5,+ ) thì phương trình đã cho có 5 nghiệm thoả mãn điều kiện bài toán . c) Cho phương trình cos4x + 6sinx cosx = m

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên đoạn [0, ]

GiảiNhận xét Ta có thể biến đổi cos4x, sinxcosx theo sin2x được phương trình bậc hai theo sin2x.cos4x + 6sinx cosx = m 1-2sin22x + 3sin2x = m 2sin22x – 3sin2x +m –1 = 0Đặt t = sin2x , 0 t 1 ta có :f(t) = 2t2 – 3t +m –1 = 0 0, f(0) 0,f(1) 0 , 0 S/2 1 2 m 17/8

Vậy Với m [2, ] thì phương trình có nghiệm thoả mãn đề bài .

Lưu ý Chúng ta có thể giải bằng cách chuyển m về vế phải, sau đó tìm GTLN, GTNN của hàm g(t) = 2t2 –3t trên đoạn [0,1] từ đó suy ra m.


Tài liệu Ôn thi Đại Học d) Cho phương trình (cosx+1)(cos2x-mcosx) = sin 2x (1)

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [0, ]

GiảiNhận xét Quan sát ta thấy vế trái có thừa số cosx+1 vế phải sin2x =(1-cosx)(1+cosx)Lúc đó ta được phương trình tích .(cosx+1)(cos2x-mcosx) = sin 2x (1+cosx)(2cos2x –1 – mcosx –1+cosx)= 0

(1+cosx)[2cos2x –(m-1)cosx-2]= 0

cosx = -1 x= (2k+1) , do x [0, ] không có nghiệm thoả mãn.

(1) có đúng 2 nghiệm trên [0, ] 2cos2x –(m-1)cosx-2=0 có đúng 2 nghiêm .

đặt t = cosx ,ta có x [0, ] t [- ,1] f(t)= 2t2 –(m-1)t –2 = 0 có hai

nghiệm phân biệt thuộc [- ,1] -1/2 t1 t2 1

-1 m -1/2Vậy Với -1 m -1/2 thì phương trình có đúng hai nghiệm thoả mãn bài toán.

Bài 20 (Tự giải)

a) Cho phương trình cos3x – sin3x = m .

Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [- , ]

(Đề thi Đaị Học QG HCM – A – 2000) b) Cho phương trình sin3x – mcos2x – (m+1)sinx + m = 0

Tìm m để phương trình có đúng 8 nghiệm phân biệt thuộc (0,3 )(Đề thi Đaị Học SP2 – D+E – 2000)

c) Cho phương trình cos2x = m cos 2x

Tìm m để phương trình có nghiệm trong [0, ]

(Đề thi HV Quân Sự – 2000) d) Cho phương trình cos3x – cos2x +mcosx - 1 = 0

Tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm phân biệt thuộc (- ,2 )

(Đề thi Đaị Học Y Khoa HCM – 1999)

10- Giải và biện luận phương trình lượng giác theo tham sốBài 21

a) Với giá trị nào của m thì phương trình : sin2x + 4(cosx-sinx) = m có nghiệm .(Đề thi ĐH Thái Nguyên 2000 – D)

b) Biện luận theo a nghiệm của phương trình : sinx + cosx=/a+1/ +/a-1/

(Đề thi ĐH BK Hà Nội 1998)

c) Với giá trị nào của k thì phương trình 2sin2x+6cos2 =5-2k có nghiệm.

(Đề thi ĐH An Ninh 2000 D-G)d) Xác định m để phương trình :2sin2x – sinxcosx-cos2x = m có nghiệm .

(Đề thi ĐH Nông Nghiệp 1 1997) Hong Kim Dĩnh Trang : 26

Tài liệu Ôn thi Đại HọcBÀI GIẢI

a) Với giá trị nào của m thì phương trình : sin2x + 4(cosx-sinx) = m có nghiệm .Nhận xét Đây là dạng phương trình phản đôí xứng đối với sinx và cosx ta chuyển về phương trình bậc hai theo t=sinx-cosx , /t/ . Sau đó dựa và sự tồn tại của t mà suy ra m.

Đặt t= sinx-cosx = sin(x- ) , /t/ thì phương trình viết lại 1-t2 + 4t = m

t2 - 4t + m-1 = 0 (1) (t-2)2 = -m+5 do t [- , ] nên ( -2)2 m-3 ( +2)2 -5+( -2)2 -m ( +2)2 -5 -1-4 m -1+4 Vậy Vậy m [-1-4 , -1+4 ] thì phương trình có nghiệm.Lưu ý Bài toán còn có cách giải khác :

(1) có ’= 4 –m + 1=5-m m 5 thì phương trình vô nghiệm m 5 thì phương trình có t1= 2 + , t2 = 2 - do t [- , ]

- 2 - 2- 2 + -1-4 m -1+4 . b) Biện luận theo a nghiệm của phương trình :

sinx + cosx=/a+1/ +/a-1/ (*)Nhận xét Vế phải /a+1/ +/a-1/ =/a+1/ +/1-a/ /a+1+1-a/ = 2.Vế trái áp dụng bất đẵng thức Bunhiacopsky cho bốn số : , ,sinx, cosx

Ta được : sinx + cosx 2

Dấu bằng xảy ra

Xét hàm f(x) = x2 – 2cosx trên đoạn [0, ] thì f(x) tăng trên [0, ] ; ngoài ra f(0) f( ) 0 nên phương trình f(x) = 0 có duy nhất 1 nghiệm trên [0, ].Vì vậy phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình :

theo lập luận trên hệ phương trình luôn có nghiệm duy

nhất.Vậy /a/ 1 phương trình có nghiệm duy nhất

/a/ 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.Lưu ý Ta có thể giải bài toán theo cách khác dựa vào điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với sin và cos. Ta thấy phương trình có nghiệm 4 (/a+1/+/a-1/)2 /a+1/+/a-1/ 2, mà :/a+1/ +/a-1/ =/a+1/ +/1-a/ /a+1+1-a/ = 2 /a+1/+/a-1/ =2 /a/ 1Lúc đó phương trình tương đương sinx + cosx =2 sinx + cosx –2 = 0 . Xét f(x) = sinx + cosx –2ta thấy tăng trên đoạn [- , ] nên phương trình có nghiệm duy nhất khi /a/ 1

c) Với giá trị nào của k thì phương trình 2sin2x+6cos2 =5-2k có nghiệm.

Nhận xét Vế trái có thể biến đổi vế trái về phương trình bậc hai theo cosx, sau đó dựa vào đó ta tìm điều điều kiện của k để phương trình có nghiệm.

2sin2x+6cos2 =5-2k 2cos2x – 3cosx -2k = 0 tới đây ta đặt t = cosx, /t/ 1, phương trình

viết lại : 2t2 – 3t – 2k =0 2(t2- t) = 2k (t2 – 2. t+ ) = k+

(t - )2 =k + do /t/ 1 nên 0 k+ (1+ )2

0 k+ 0 16k+9 49 -9 16k 40 - k .


Tài liệu Ôn thi Đại HọcLưu ý Bài toán này có thể giải theo cách khác nhau : Ta xét hàm f(t) = 2t2 – 3t , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn [-1,1] , fmin= - , fmax=5 suy ra - 2k 5 suy ra - k .

d) Xác định m để phương trình :2sin2x – sinxcosx-cos2x = m (*) có nghiệm .Nhận xét Đây là phương trình đẵng cấp bậc hai đối với sinx và cosx ta đã biết cách giải.2sin2x – sinxcosx-cos2x = m 2sin2x – sinxcosx-cos2x = m(sin2x + cos2x) (2-m)sin2x – sinxcosx-(m+1)cos2x = 0

cosx = 0 : (*) (2-m)sin2x = 0 phương trình có nghiệm khi m=2 . cosx 0,m 2 chia 2 vế của phươn trình cho cos2x tađược : (2-m)tan2x –tanx-(m+1) = 0 Phương trình có nghiệm =1+4(2-m)(m+1) 0

1+4(2m+2-m2-m)= -4m2+4m+9 0 m

Vậy Với m [ , ] thì phương trình (*) luôn có nghiệm.

Lưu ý Ta có thể chuyển phương trình trên về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x :

2 - sin2x - -m=0 2-2cos2x-sin2x-1-cos2x-2m = 0

sin2x+3cos2x+2m-1 = 0 Phương trình có nghiệm 12+32 (2m-1)2

m .

Bài 22a)Tìm m để phương trình : sin6x + cos6x = m có nghiệm .

(Đề thi ĐH Thủy Lợi - 1997) b) Biện luận theo m nghiệm của phương trình :

2m(cosx+sinx) = 2m+cosx-sinx +

(Đề thi ĐH Kiến Trúc Hà Nội 2001) c) Giải và biện luận phương trình sau theo a :

(8a2+1)sin3x – (4a2+1)sinx + 2acos3x = 0(Đề thi ĐHSP Quy Nhơn 2001)

d) Xác định a để phương trình sau có nghiệm :Sin6x + cos6x = a/sin2x/(Đề thi ĐH YDược HCM 2001)

11- Bài toán hai phương trình tương đươnga) Khaí niệm về hai phương trình tương đương :Hai phương trình (1) và (2) được gọi là tương đương , nếu mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) và ngược lại . ( Hai phương trình vô nghiệm xem là tương đương)b) Cách giải :Giả sử ta cần tìm điều kiện để hai phương trình (1) và (2) tương đương. Chúng ta hãy chọn lấy một phương trình với việc giải và biện luận đơn giản nhất, chẳng hạn (1) .Thế thì:

+ Nếu (1) vô nghiệm, ta tìm các điều kiện để (2) vô nghiệm.+Nếu (1) có nghiệm thì ta tìm các điều kiện của tham số để nghiệm của (1) là nghiệm của (2).

Sau đó giải (2) và đặt thêm điều kiện để nghiệm của (2) la nghiệm của (1) Bài 23

a) Cho hai phương trình :sin3x+cos2x = 1 + 2sinxcos2x (1)sin3x - msinx = (4 – 2/m/) sin2x (2)

Tìm m để hai phương trình trên tương đương.(Đề thi ĐH Tây Nguyên 2000-AB)


Tài liệu Ôn thi Đại Họcb) Tìm m để hai phương trình sau tương đương

sinx-sin5xcosx = (1)

msinx – cosx = 2m-1 (2)(BG LT ĐH trang 214)

c) Xác định a để hai phương trình sau tương đương 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)4cos2x – cos3x = acosx + (4-a)(1+cos2x) (2)(Đề thi ĐH Vinh 1989 – ĐH Y Thái Bình 1989 – ĐH Y Dược HCM 1998)

BÀI GIẢIa) Cho hai phương trình :

sin3x+cos2x = 1 + 2sinxcos2x (1)sin3x - msinx = (4 – 2/m/) sin2x (2)

Tìm m để hai phương trình trên tương đương.Nhận xét (1) có thể dễ dàng giải tìm nghiệm của nó . Sau đó ta tìm điều kiện của m để (2) chỉ có nghiệm là nghiệm của (1).* Giải (1) sin3x+cos2x = 1 + 2sinxcos2x sin3x+1-2sin2x = 1 + sin3x – sinx

2sin2x – sinx = 0 sinx(2sinx-1) = 0

(2) 3sinx-4sin3x –msinx-(4-2/m/)sin2x =0 -sinx[4sin2x+(4--2/m/)sinx+m-3] = 0 Với sinx = 0 thay vào (2) luôn thoả mản

Vời sinx = thay vào (2) ta có m=/m/ m 0

Với m 0 thì (2) sin[4sin2x+(4-2m)sinx +m-3] = 0

Do đó (1) và (2) tương

đương sinx = vô nghiệm hoặc có nghiệm thoả mãn (1)

.

Vậy Với thì hai phương trình (1) và (2) tương đương.

b) Tìm m để hai phương trình sau tương đương

sinx-sin5xcosx = (1)

msinx – cosx = 2m-1 (2)Giải

Giải (1) Ap dụng bất đẵng thức Bunhiacopsky cho 4 số sinx,cosx,1, -sin5x ta có :

sinx-sin5xcosx nên (1) vô nghiệm.

Do đó (1) và (2) tương đương (2) vô nghiệm m2+1 (2m-1)2 3m2 –4m 0



m 0 hay m .

Vậy Với hai phương trình trên tương đương .

c) Xác định a để hai phương trình sau tương đương 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)4cos2x – cos3x = acosx + (4-a)(1+cos2x) (2)

GiảiGiải (1) cos3x + cosx =1 + 2cos2x –1 + cos3x cosx(2cosx-1)

(2) 4cos2x –(4cos3x – 3cosx) = acosx +(4-a)2cos2x 4cos3x – 3cosx + acosx +(4-2a)cos2x = 0

cosx[4cos2x +2(2-a)cosx – 3 + a] = 0

Với cosx = 0 thay vào (2) thỏa mãn .

Với cosx = thay vaò (2) thoả mản với mọi a. lúc đó phương trình :

4cos2x +2(2-a)cosx – 3 + a= 0 Do đó (1) và (2) tương đương

.

Vậy Với thì hai phương trình trên tương đương .

Bài 24 (tự giải)a) Cho 2 phương trình :

2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x (1)4cos2x – cos3x = (a-1)cosx + /a-5/(1+cos2x) (2)

Tìm a để hai phương trình trên tương đương(Đề thi ĐH Lâm Nghiệp 2001)

b) Tìm a để hai phương trình sau tương đương

sinx cos2x = sin2x cos3x – sin5x (1)

acos2x + /a/cos4x+cos6x = 1 (2)(Đề thi ĐH Năm 1979 – A – B)

12- Một số bài toán dùng nhiều phép biến đổi lượng giác để đưa vế phương trình tích có nhiều cách giải khác nhau tùy vào cách nhìnBài 25 Giải các phương trình sau :

a) tan2x = ( Đề 61 Bộ đề thi Đại Học )


Tài liệu Ôn thi Đại HọcNhận xét - Chứa ẩn ở mẫu số , nên trườc khi giải nên đặt điều kiện

- tan2x = ta nên biến đổi về 1-cos2x, 1-sin2x .

tan2x = = =

( -1) = 0 = 0

(k, l Z)

Vậy Nghiệm cuả phương trình là : (k, l Z)

b) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0,2 ) của phương trình

5(sinx + ) = cos2x + 3(Tuyển Sinh ĐH Khối A 2002)

Nhận xét -Đây là bài toán tìm nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước, nên trước hết ta giải phương trình tìm nghiệm.

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu số nên trước khi giải ta phải đặt điều kiện+ Điều kiện 1+2sin2x 0+ Truớc hết ta nhận thấy nếu quy đồng vế trái xuất hiện 2sinxsin2x =cosx-cos3x) có thể triệt tiêu cos3x

5(sinx + ) = cos2x + 3

5 = cos2x + 3

5 = cos2x + 3 (*)

+ Tới đây xuất hiện sinx+sin3x = 2sin2xcosx

(*) 5 = cos2x + 3

+ Quan sát ta thấy tử số nếu đặt thừa số chung xuất hiện 1+2sin2x giản ước mẫu số, bấy giờ ta biến đổi về được phương trình bậc hai theo cosx :(*) 5cosx = 2cos2x +2 2cos2x -5cosx +2 = 0

cosx = (k,l Z) thoả mãn điều kiện đặt ra.

Do x (0,2 )

Vậy Nghiệm cần tìm là :

Lưu ý : trong vế trái xuất hiện cos3x+sin3x gợi ý cho ta sử dụng công thức nhận ba để biến đổi thử : cos3x+sin3x = 4cos3x – 3cosx +3sinx – 4sin3x = 4(cos3x-sin3x)-3(cosx-sinx)= (cosx-sinx)[4(1+sinxcos)-3] = (cosx-sinx)(1+2sin2x). Như vậy phương trình viết lại :5cosx= cos2x + 3 ta biết cách giải như trên .c) sin23x – cos24x = sin25x-cos26x (Đề thi Đại Học 2002 khối B)Nhận xét Trong phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai đối với sin, cos nên đầu tiên ta có thể nghĩ tới phương pháp hạ bậc :

sin23x – cos24x = sin25x-cos26x - = -

cos6x +cos8x = cos10x+cos12x cos7x cosx = cos11xcosx



cosx(cos11x-cos7x) = 0 cosx sin9xsin2x = 0


Lưu ý Ta có thể chuyển cos về một vế, sin về một vế ta cũng đưa được về phương trình tích : sin23x – cos24x = sin25x-cos26x cos26x – cos24x = sin25x- sin23x (cos6x-cos4x)(cos6x+cos4x) = (sin5x-sin3x)(sin5x+sin3x)-2sin5xsinx 2cos5xcosx =2cos4xsinx 2sin4xcosx sin2x(sin10x+sin8x) = 0 sin2zsin9xcosx= 0 ta được phương trình như đã giải ở trên.c) Giải phương trình : sinx sin2x cos5x = 1Cách 1 Sử dụng tính chất /sinu(x)/,/cosu(x)/ 1. Do /sinx/ 1, /sin2x/ 1, /cos5x/ 1

/sinx sin2x cos5x/ 1 . Dấu bằng xảy ra . Nhưng do /sinx/ = thì cosx =0 /sin2x/= 0 1 . Vậy phương trình vô nghiệm.

Cách 2 Ta có 1=sinx sin2x cos5x = (cosx-cos3x)cos5x= (cosxcos5x-cos3xcos5x)

= (cos4x+cos6x-cos8x-cos2x) cos4x+cos6x-cos8x-cos2x = 4

. Nhưng vì cos6x = cos3(2x) = 4cos32x –3cos2x nên nếu cos2x = -1

thì cos6x = -1 1 phương trình vô nghiệm.d) Tìm những số thực x, y thoả mãn phương trình : tan2x + cot2x = 2sin2y

Cách 1 Ta co tan2x + cot2x – 2sin2y = (tanx-cotx)2 + 2(1-sin2y) = 0 Do (tanx-cotx)2 0, 2(1-sin2y) 0 nên phương trình tương đương với :

(k,l Z)

Cách 2 Điều kiện sinx 0 , cosx 0 x m (m Z)

tan2x + cot2x = 2sin2y tan2x + cot2x – 2sin2y = 0 tan4x – 2sin2ytan2y +1 = 0Biệt số ’ = sin2y –1 0 sin2y =1 cos2y = -1, tan2x =1

(k,l Z)

Cách 3 Ở vế trái áp dụng bất đẵng thức Côsi cho hai số không âm tan2x, cot2x ta cótan2x + cot2x 2, vế phaỉ 2sin2y 2 . Do vậy phương trình chỉ có nghiệm khi hai vế bằng

nhau và bằng 2 tan2x = 1 và sin2y = 1 (k,l Z), thoả mãn điều

kiện x m (m Z) .


Tài liệu Ôn thi Đại Họce) Giải phương trình : sin3x + cos3x = 1

Cách 1 Vì sin2x + cos2x = 1 nên phương trình viết lại : sin2x(1-sinx) +cos2x(1-cosx) = 0Do vế vế trái là tổng hai thừa số không âm, và sinx, cosx không đồng thời bằng o nên phương

trình tương đương với

Cách 2 sin3x + cos3x = 1 (sinx+cosx)(sin2x +cos2x – sinxcosx) =1 (sinx+cosx)(1 –sinxcosx) –1 = 0

Đặt t = sinx+cosx = cos(x- ), /t/ thì phương trình viết lại :

t[1- (t2-1) ] =1 t3 –3t +2 = 0 (1-t)2(t+2) = 0 t =1 (vì t=-2 loại)

cos(x- ) = 1 cos(x- ) = 1/

(k,l Z)

Cách 3 sin3x + cos3x = 1 . Ta nhận thấy /sinx/ 1, /cosx/ 1 nên nếu sinx và cosx trái dấu hoặc cùng dấu âm thì vế trái bé hơn 1, nên phương trình vô nghiệm .Nếu 0 sinx 1 , 0 cosx 1 áp dụng bất đẵng thức Bunhiacopsky cho 4 số : sinx,cosx, sin2x, cos2x ta có 1=sin3x+cos3x = sinx sin2x + cosx cos2x

Nếu sin x 0, cosx 0 thì 1 =1Nên phương trình vô nghiệm.Vậy : sin x= 0, cosx =1 hoặc cosx = 0 , sinx=1 phương trình đã có nghiệm như trên.

Cách 4 sin3x + cos3x = 1 . Ta nhận thấy /sinx/ 1, /cosx/ 1 nên nếu sinx và cosx trái dấu hoặc cùng dấu âm thì vế trái bé hơn 1, nên phương trình vô nghiệm .Nếu 0 sinx 1 , 0 cosx 1 sin3x sin2x, cos3x cos2x sin3x + cos3x 1. Phương trình có nghiệm khi 2 vế bằng nhau và bằng 1 sin3x=sin2x , cos3x = cos2x sin2x(1-sinx)=0, cos2x(1-cosx) = 0 ta đã biết cách giải 1

PHẦN III BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆNBài 1 Giải các phương trình sau :

1) tan2x(1-sin3x)+cos2x – 1 = 0 (Đề thi ĐH QGHN 1995 – D)2) tan2x-tanxtan3x = 2 (Đề thi ĐH QGHN 1996 – A)3) sin3x+cos3x = 2(sin5x+cos5x) (Đề thi ĐH QGHN 1998 – B)

4) 2 ctan2x+cot2x = 2sin2x + (Đề thi ĐH QGHN 1998 – A)

5) cos6x – sin6x = cos 22x (Đề thi ĐH QGHN 2000 – B)

6) = cos2x+sin2x (Đề thi ĐH QGHCM 1996 – B)

(0 x 2 )



7) =1 (Đề thi ĐH QGHCM 1996 – D)

8) sin3x-sinx+sin2x = 0 (Đề thi ĐH Đà nẵng 1997 – B)9) 3cos4x – 2cos23x = 1 (Đề thi ĐH Đà nẵng 1998 – B)10)2sin3x + cos2x = sinx (Đề thi ĐH Huế 1997 – D2) 11) - = 2 (Đề thi ĐH Huế 2000 – A)12) 4cos3x + 3 sin2x = 8cosx (Đề thi ĐH HN 2000 – BD)13) 2sin 2x(4sin4x – 1) = cos2x(7cos22x + 3cos2x – 4)

(Đề thi ĐHBK Hà Nội –1995)14) + sinx + sin2x + cosx =1 (Đề thi ĐHBK Hà Nội –1996)15) 2cos3x = sin3x (Đề thi HVQS –1997)16) cos2x – sin2x - sinx-cosx +4 =0 (Đề thi HVQS –1998)17) 2sin3x – sinx=2cos3x-cosx+cos2x (Đề thi HVQS –1999)18) sin4x – cos4x = 1+4(sinx-cosx) (Đề thi HVBCVT –1998)

19) cosxcos2xcos4xcos8x = (Đề thi ĐH KT HN –1998)

20) 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 (Đề thi ĐH Ngoại Thương –1997)21) sinx+sin2x+sin3x+sin4x=cosx+cos2x+cos3x+cos4x

(Đề thi ĐH Ngoại thương –1998)22) sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x (Đề thi ĐH Ngoại thương –1999)

23) sin8x + cos8x = 2(sin10x+cos10x)+ cos2x

(Đề thi ĐH Ngoại thương –2000)

24) =tan2 (Đề thi ĐH Công Đoàn –1998)

25) 2cos22x + cos2x = 4sin22xcos2x (Đề thi ĐH Công Đoàn –2000)

26) ( + ) cos2x = sin4x (Đề thi ĐH Luật HN –1997)

27) tanx-sin2x-cos2x+2(2cosx- ) = 0 (Đề thi ĐH Luật HN –1998)

28) sinx + cosx = (Đề thi ĐH AN ND –1998)

29) cos3x + sin3x = sin2x+cosx +sinx (Đề thi ĐH CS ND –2000 - A)30) a) cos4x + sin4x cos2x

b) cosx cos cos - sinx sin sin =

(Đề thi ĐH Y K Hà Nội -1997)31) a) 2(cot2x-cot3x) = tan2x +cot3x

b) sin23x – sin22x –sin2x = 0 (Đề thi ĐH Y K Hà Nội -1998)32) cos2x + sin3x + cosx = 0 (Đề thi Học Viện QY- 2000)

33) cos2x+cos4x+cos6x = cosx cos2x cos3x +2(Đề thi ĐH Y K Hà Nội 2000)

34) = 0 (Đề thi ĐH NN1 1998)

35) 1+cos3x – sin3x = sin2x (Đề thi ĐH NN1 2000)36) (1+sinx)2 = cosx (Đề thi ĐH Thủy lợi 1997)38) tanx – 3cotx = 4(sinx + cosx) (Đề thi ĐH Thủy lợi 2000)39) cos2x + 2cos3x + sinx = 0 (Đề thi ĐH Phương Đông 1998)40)2cos3x + sinxcosx + 1 = 2 (sinx+cosx) (Đề thi ĐH Phương Đông 2000)


Tài liệu Ôn thi Đại Học41) sin2x+2cos2x = 1+ sinx – 4cosx (Đề thi ĐH An Ninh 2001 - D)42) 3 sin4x + 5cos4x – 3 = 0 (Đề thi ĐH An Ninh 2001 - A)43) tan2x cot2x cot3x = tan2x-cot22x+cot3x

(Đề thi ĐH Y Dược HN 2001)44) cos3x – sin3x = cos2x – sin2x (Đề thi ĐH Đà Lạt 2001 A-B)45) tanx +tan2x = - sin3x cos2x (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2001 - A)

46) tan2x = (Đề thi ĐH Đà Nẵng 2001 - B)

47) 3cot2x + 2 sin2x =(2+3 )cosx(Đề thi Học Viện KT QS2001)(Đây là bài toán có cách biến đổi-đặt hay)

48) 48 - - (1+cot2x.cotx) = 0

(Đề thi ĐH Mõ Địa Chất 2001)49) a) sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x) b) 2sin2x-cos2x = 7sinx+2cosx-4 (Đề thi Học Viện Ngân Hàng 2001)50) sinx + sin2x + sin3x = 0 (Đề thi Hoc Viện NG 2001 - D)51) 1+cosx + cos2x+cos3x = 0 (Đề thi ĐH Nông Lâm HCM 2001)52) 4cos3x +2sin3x – 3 sinx = 0 (Đề thi Sư Phạm Mẫu Giáo 2001)53) tan2x tan23xtan4x =tan2x – tan23x + tan4x (Đề thi CĐ GT Vận Tải 2001)54) Giải các phương trình sau :

a) sin2x + sin22x =1 (x = (2k+1) , k Z)

b) sin2x + sin22x + sin23x = ( x= +- + k , k Z)

c) sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 ( x= (2l+1) , (2k+1) , k,l Z)

d) cos2x + cos22x = ( x= +- +l , x= (2k+1) , k,l Z)

e) cos2x + cos22x+ cos23x = 1 ( x=(2k+1) , k Z)

f) cos2x + cos22x+ cos23x + cos24x= 1 ( x=(2k+1) , x=+- + l , k,l Z)

Bài 2 Giải các phương trình sau :

a) sinx sin2x sin3x = (Vô nghiệm)

b) sinx sin2x sin3x = sin4x ( x= +k , x =l k,l Z)


a) = y2 – 4y +5 ( x= +2n , n Z, y =2)

b) x2 –2xsinxy +1 = 0 ( x=+-1, y = +2k , k Z)

Bài 4 Giải các phương trình sau ;a) sinx = x ( x= 0)

b) -cosx = x2 (Vô nghiệm)c) cos( x) = x2 – 4x + 5 ( x=2)

d) sin2x = 0 (x = 0, - , )


Tài liệu Ôn thi Đại HọcBài 5 Giải các phương trình sau ;

a) 5(sinx+ ) = cos2x+3 (Đề thi ĐH – 2002-A)

b) cotx -1 = +sin2x –(1/2)sìnx (Đề thi ĐH – 2003-A)

c) cotx – tanx +4sìnx = (Đề thi ĐH – 2003-B)

d) sin2( (Đề thi ĐH – 2003-D)

e) (2cosx-1)(2sinx+cosx)=sìnx-sinx (Đề thi ĐH – 2004-D)f) 5sinx – 2=3(1-sinx)tan2x (Đề thi ĐH – 2004-B)g) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 (Đề thi ĐH – 2005-B)

h) sin4x + cos4x + (Đề thi ĐH – 2005-D)

i) tan4x +1 = (Đề thi dự bị 2- ĐH – 2002-B)

k) 3 –tanx(tanx+2sinx)+6cosx = 0 (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2003-A)l) cos2x + cosx (2tan2x-1) =2 (Đề thi dự bị 2-ĐH – 2003-A)

m) (Đề thi dự bị 2-ĐH – 2003-B)

n) (Đề thi dự bị -1-ĐH – 2003-D)

o) cotx = tanx + (Đề thi dự bị -2-ĐH – 2003-D)

p) cotx+sinx(1+tanx.tan(x/2))=4 (Đề thi -ĐH – 2006-B)

q) (Đề thi -ĐH – 2006-A)

r) sin2x + cos2x +3sinx – cosx -2 =0 (Đề thi -ĐH – 2005-D)

s) tan( (Đề thi dự bị 1-ĐH – 2005-B)

t) (Đề thi dự bị 2-ĐH – 2005-B)

u) cos3x+cos2x-cosx-1= 0 (Đề thi -ĐH – 2006-D)

x) (Đề thi -ĐH – 2007-D)

y) 2sin22x+sin7x -1 = sinx (Đề thi -ĐH – 2007-B) w)(1+sin2x)cosx + (1+cos2x)sinx=1+sin2x (Đề thi -ĐH – 2007-A)


a) (Đề thi -ĐH – 2008-A)

b) (Đề thi -ĐH – 2008-B)c) 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Đề thi -ĐH – 2008-D)

d) sin3x- =2sin2x (Đề thi -CĐ – 2008)



e) (Đề thi -ĐH – 2009-A)

f) (Đề thi -ĐH – 2009-B)g) (Đề thi -ĐH – 2009-D)

h) (1+2sinx)2 cosx=1+sinx+cosx (Đề thi -CĐ – 2009)

i) (Đề thi -ĐH – 2010-A)

k) (sin2x+cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0 (Đề thi -ĐH – 2010-B)l) sin2x-cos2x+3sinx-cosx-1 =0 (Đề thi -ĐH – 2010-D)

m) (Đề thi -CĐ – 2010)

n) (Đề thi -ĐH – 2011-A)

0) sin2xcosx+sinxcosx=cos2x+sinx+cosx (Đề thi -ĐH – 2011-B)

p) (Đề thi -ĐH – 2011-D)

q) cos4x+12sin2x-1=0 (Đề thi -CĐ – 2011)

Xuân 2012(Quý thầy-cô và các em học sinh, xem tài liệu này, nếu có gì sai sót xin góp ý về địa chỉ: [email protected], xin cám ơn nhiều.)


mailto:[email protected]

Art & Photos

phương trình lượng giác