Sơ lược về phương trình tích trong lượng giác

DANAMATH

www.toanhocdanang.com

www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

ĐẠI SỐ 11

GV:Phan Nhật Nam

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG

LƯỢNG GIÁC

http://www.toanhocdanang.com/

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH TRONG LƯỢNG GIÁC

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com


Loại 1: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH THEO NGHIỆM ĐA THỨC

Ví dụ mở đầu: Cho hàm số: 3 2 2 22 (4 5) 2( ) 1y x m x m m x m có đồ thị (C).

Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Kinh nghiệm:

3 2 2 2 2 2 3 2( , ) 2 (4 5) 2( ) 1 (2 1) ( 4 2 ) 2 5 1y f x m x m x m m x m x m x x m x x

( , )f x m biểu diển về được dạng tích khi hê (*) : 2

3 2

2 1 0

4 2 0

2 5 1 0

x

x x

x x

có nghiệm

Dễ thấy (*) có nghiệm 1

2x nên ( , ) (2 1) ( , )f x m x g x m

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2 22 (4 5) 2( ) 1 0 1x m x m m x m

2 2

2 2

1

2 1 2( 1) 1 0 2

2( 1) 1 0 (2)

xx x m x m

x m x m

(1)ycbt phải có 3 nghiệm phân biệt (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1

2

2 2

2 2

1 1 12( 1) 1 0 24 4 7 0

4 2 22 2 0

1' ( 1) ( 1) 0

m m mm m

mmm m

Vậy khi m thỏa mãn điều kiện

12

2

1

m

m

thì (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Bình luận:

Trong phép giải trên ta đã tìm nhóm phần tử chung bằng cách tách nhỏ

thành các đa thức (2 1)x , 2( 4 2 )x x và 3 22 5 1x x chỉ chứa một biến và tìm nghiệm

chung của các đa thức đó. Phép giải này cũng có thể áp dụng vào việc giải hệ

phương trình , phương trình chứa căn hoặc phương trình lượng giác….Vấn đề lớn

nhất trong phép giải này là việc chọn biến và đa thức sao cho nó có được nghiệm

chung.




Phương pháp chung:

(sin ,cos ) (sin ) (sin ) 0pt f x x h x g x với (sin ) 0

(sin ) 0

h x

g x

có nghiệm

(sin ,cos ) (cos ) (cos ) 0pt f x x h x g x với (cos ) 0

(cos ) 0

h x

g x

có nghiệm

Dạng cớ bản:

Dạng 1: .sin 2 .cos2 .sin .cos 0a x b x c x d x e

Dạng 2: .sin3 .sin 2 .cos2 .sin .cos 0m x a x b x c x d x e

Dạng 3: .cos3 .sin 2 .cos2 .sin .cos 0m x a x b x c x d x e

Cộng thức thường dùng:

Công thức nhân ba : 3 33 3sin 4sin 3 4cos 3cossin a a a cos a a a

Công thức nhân đôi : 2 22 2sin cos 2 2cos 1 1 2sinsin a a a cos a a a

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1(D - 2010): Giải phương trình: sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x

Ta thấy . Do đó ta sẽ có 2hướng biến đổi như sau

Dễ thấy: và

không có nghiệm chung

Dễ thấy và

Có nghiệm chung




Kinh nghiệm: Thông thường ta sẽ thử với nhóm cho ra nghiệm đẹp trước

Giải :

sin 2 cos2 3sin cos 1 0x x x x 22sin cos 2sin 3sin cos 2 0x x x x x

2cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x

cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x 2sin 1 sin cos 2 0x x x

2sin 1 0

sin cos 2 sin 2 ( )4

x

x x x VN

2

1 6sin

522

6

x k

x

x k

Vậy phương trình có hai nghiệm 26

x k

và 5

26

x k

(với k Z )

Ví dụ 2: Giải phương trình: sin3 2cos2 3sin 2cosx x x x

Giải :

3 23sin 4sin 2(2cos 1) 3sin 2cospt x x x x x

3 22sin 2cos cos 1 0x x x

2 22sin 1 cos 2cos cos 1 0x x x x

2sin 1 cos 1 cos 1 cos 2cos 1 0x x x x x

cos 1 2

2(sin cos ) 2sin cos 1 0 (1)

x x k

x x x x

Đặt: sin cos 2 sin 2, 24

t x x x

. 2 1

sin cos2

tx x

2 20

(1) 2 1 1 0 2 02 ( )

tt t t t

t loai

0 2 sin 0 sin 04 4 4

t x x x k

Vậy phương trình có hai nghiệm 2x k và 4

x k

(với k Z )




Ví dụ 3: Giải pt: 3sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos s inx 3 3x x x x x

Giải :

33 2cos 3cos 2 8cos 3 2sin cos cos 3 8sin 0pt x x x x x x x

3 2 23 2cos 6cos 8cos sin 2cos 6cos 8 0x x x x x x

22cos 6cos 8 3 cos sin 0x x x x

2cos 4 ( ) 2

2cos 6cos 8 0cos 1

3 cos sin 03

cos 06

x VN x kx x

xx kx x

x

Vậy phương trình có hai nghiệm: 2x k và 3

x k

(với k Z )

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Giải phương trình : 82cos2sin3cos6sin9 xxxx

HD: sử dụng công thức: 2cos2 1 2sinx x . Xét đa thức theo sin x

Bài 2: Giải phương trình : xxxx cos4sin12cos22sin

HD: sử dụng công thức: 2cos2 2cos 1x x . Xét đa thức theo cos x

Bài 3: Giải phương trình : 4cos2sin72cos2sin2 xxxx


Bài 4: Giải phương trình : 2cossin32cos2sin xxxx


Bài 5: Giải phương trình : 02cos2sincossin1 xxxx

HD: sử dụng công thức: 2cos2 2cos 1x x

Bài 6: Giải phương trình : )cos)(sincos2(252cos xxxx

HD: sử dụng công thức: 2cos2 2cos 1x x . Đặt t = sinx – cosx.

Bài 7: Giải phương trình : 0sin2coscos2 3 xxx




HD: sử dụng công thức: 2cos2 2cos 1x x và 2 2cos 1 sin 1 sin 1 sinx x x x

Bài 8: Giải phương trình : 0cos2sin3cos2 xxx

HD: sin 2 cos cos (2sin 1)x x x x

3 23 4cos 3cos cos (1 4sin )cos x x x x x

Bài 9: Giải phương trình : xxxxx 2coscos13sin2sinsin

HD: sin sin 2 sin3 2sin 2 cos sin 2 sin 2 (2cos 1) 2sin cos (2cos 1)x x x x x x x x x x x

21 cos cos 2 1 cos 2cos 1 cos (2cos 1)x x x x x x

Bài 10: Giải phương trình : 02cos3sin32cos2sin33sin xxxxx

HD: 3sin 2 3cos 3cos (2sin 1)x x x x

2 2sin3 cos2 3sin 2 4sin 2sin 6sin 3x x x x x x

Bài 11: Giải phương trình : 1 sin cos3 cos sin 2 cos2x x x x x

HD: sin 2 sin sin (2cos 1)x x x x

3 2cos3 cos2 cos 1 4cos 2cos 4cos 1x x x x x x

Bài 12: Giải phương trình : xxxx 4sin12sin3cossin2

HD: 2sin 4 sin 2 sin 2 (2cos 2 1) sin 2 (1 4sin )x x x x x x

3 2cos3 4cos 3cos cos (1 4sin )x x x x x

Loại 2: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VỚI NHÓM PHẦN TỬ CHUNG

Công thức thường dùng :

Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2cos .cos cos cos 2sin .sin2 2 2 2

sin sin 2sin .cos sin sin 2cos .sin2 2 2 2

a b a b a b a ba b a b

a b a b a b a ba b a b

Dấu hiệu sử dụng công thức tổng thành tích: Phương trình có hai số hạng có

cùng hệ số, cùng hàm (sin hoặc cos) và cùng tình chẵn hoặc lẻ của cung.




Kinh nghiệm khi biến đổi phương trình tích theo nhóm phần tử chung:

Cấu trúc mẫu mực:

1 0 1 1 0uv u v u v

0 0mn mb na ab m a n b

Trong quá trình biến đổi phương trình tích : ta có thể biến đổi đồng thời nhiều

nhóm số hạng và hết sức để ý đến các nhóm chung của chúng

Phương trình có hai số hạng có cùng hệ số, cùng hàm (sin hoặc cos) và cùng

tình chẵn hoặc lẻ của cung.thì ngây lập tức sử dụng công thức biến đổi tổng

thành tích và phân tích các số hạng còn xuất hiện nhóm chung với thành phần

của tích đó.

Với bài toán có chứa số hạng không chứa biến (số hạng là một số) thì ta phải

phân tích theo một trong các hướng sau:

Sử dụng công thức lượng giác để khử số đó đi

(công thức thường dùng: 2 2cos2 2cos 1 1 2sina a a )

Phân nhỏ số hạng đó để có thể đưa chúng vào các nhóm phần tử chung.

Chuyển số hạng đó về dạng lượng giác sau đó sử dụng công thức tổng

thành tích

(ví dụ: 1

cos cos2 3 3

hoặc

1 5sin sin

2 6 6

hoặc

3 5cos

2 6

)

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình : cos cos3 1 2 sin 24

x x x

cos3 cos 1 sin 2 cos2pt x x x x

22 cos2 cos 1 2sin cos 2cos 1x x x x x

Dấu hiệu sử dụng công

thức tồng thành tích

Mục đích làm mất số 1

đồng thời làm xuất hiện Cần biến đổi các số hạng còn lại đều

xuất hiện hoặc đều xuất hiện




Ví dụ 2: (Trích D – 2012) Giải phương trình : sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x

Giải :

sin 3 cos3 sin cos 2 cos 2x x x x x

cos3 cos sin3 sin 2 cos2 0x x x x x

2cos2 cos 2cos2 sin 2cos2 0x x x x x

2 cos 2 2 cos 2 sin 1 0x x x

cos 2 0 22 4 2

2 cos sin 1 (1)

x x k x k

x x

72 2

1 4 3 12(1) 2cos 1 cos

4 4 22 2

4 3 12

x k x k

x x

x k x k

Vậy phương trình có 3 nghiệm 4 2

x k

, 7

212

x k

và 212

x k

Ví dụ 3: Giải phương trình : 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x

Điều kiện : sin 0

( )cos 0 2

xx k k Z

x

3(cot cos 1) 5(tan sin 1) 0pt x x x x

3 cos cos sin sin 5 cos cos sin sin

0sin cos

x x x x x x x x

x x

3 5

cos cos sin sin 0sin cos

x x x xx x

cos sin cos sin 0 (1)

3 5 3 30 tan arctan

sin cos 5 5

x x x x

x x kx x

Đặt: sin cos 2 cos 2; 24

t x x x

2 1sin cos

2

tx x

Phân tích: 2 = 5 - 3 để có thể

đứa chúng vào nhóm chung






22

1 2 ( )1(1) 0 2 1 0

2 1 2

t loaitt t t

t

2 2 2 22 cos 1 2 cos arccos 2

4 4 2 4 2x x x k

Vậy phương trình có 3 nghiệm: 3

arctan5

x k và 2 2

arccos 24 2

x k

Ví dụ 4: Giải phương trình: 1

sin 4 sin 3 sin6 2

x x x

Giải:

sin3 sin sin sin 46 6

pt x x x

2sin 2 cos 2cos 2 sin 26

x x x x

sin 2 02

2sin 2 cos cos 2 06

cos cos 2 (1)6

x x k

x x x

x x

22 2

6 18 3(1)

2 2 26 6

x x k x k

x x k x k


x k

, 2

18 3x k

và 2

6x k

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3. 6. 2

22 1

cosx sinx sin x

cos x

Điều kiện: cos2 1x x k

3 6 2 2 2 1pt cosx sinx sin x cos x

22 2 sin 6 2sin cos 3 cos 0x sinx x x x

2sin 3 0 (1)

2sin 3 2 sin cos 02 sin cos 0 (2)

xx x x

x x



Chuyển .sử dụng

công thức tồng thành tích

Dạng:




2

3 31 sin

222

3

x k

x

x k

(thỏa điều kiện)

1 2

2 tan arctan22

x x k

(thỏa điều kiện)

Vậy phương trình có 3 nghiệm :

23

x k

, 2

23

x k

và 2

arctan2

x k

(với k Z )

Ví dụ 6: Giải phương trình: )cos3(sin4cot3tan xxxx

Điều kiện: sin 0

( )cos 0 2

xx k k Z

x

sin cos

3 4(sin 3 cos )cos sin

x xpt x x

x x

2 2sin 3cos 4sin cos (sin 3 cos )x x x x x x

(sin 3cos )(sin 3cos ) 2sin 2 (sin 3cos )x x x x x x x

sin 3 cos 0 (1)

(sin 3 cos )(sin 3 cos 2sin 2 ) 0sin 3 cos 2sin 2 (2)

x xx x x x x

x x x

1 3

(1) sin cos 0 sin cos cos sin 02 2 3 3

x x x x

sin 03 3

x x k

1 3

(2) sin cos sin 2 sin cos cos sin sin 22 2 3 3

x x x x x x

2

3sin sin 2

4 23

9 3

x k

x x

x k

Vậy phương trình có 2 nghiệm 3

x k

và 4 2

9 3x k




Ví dụ 7: Giải phương trình: 24cos 2 sin 2cos sin 4 2 3 cos 2 2sin3 3 0x x x x x x

Giải:

1 cos 4

4sin 2cos sin 4 2sin 3 2 3 cos 2 3 02

xpt x x x x x

2sin 2sin cos4 2cos sin 4 2sin3 2 3cos2 3 0x x x x x x x

2 sin5 sin 2sin3 2 3 cos2 3 0x x x x

4sin3 cos2 2sin3 2 3 cos2 3 0x x x x

2sin3 2cos2 1 3 2cos2 1 0x x x

2cos 2 1 0 (1)

2cos 2 1 2sin 3 3 02sin 3 3 0 (2)

xx x

x

1 2

1 cos 2 2 22 3 3

x x k x k

2

3 9 32 sin 3

4 22

9 3

x k

x

x k

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt:

3

x k

, 3

x k

, 2

9 3x k

và

4 2

9 3x k

Ví dụ 8: Giải phương trình: 0cos2sin3cos2 xxx

Giải:

2 cos3 cos sin 2 cos 0pt x x x x

4cos2 cos 2sin cos cos 0x x x x x

2

cos 0cos 4cos 2 2sin 1 0 2

8sin 2sin 3 0 (1)

x x kx x x

x x

Dạng:




21 6

sin72

26

13

arcsin 23 4

sin34

arcsin 24

x k

x

x k

x k

x

x k


x k

, 26

x k

, 7

26

x k

,

3

arcsin 24

x k và 3

arcsin 24

x k

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Giải phương trình : 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x

HD: 2 2cos6 cos 2 2cos 2 0 2cos 4 cos 2 2cos 2 0pt x x x x x x

Bài 2: Giải phương trình : sin cos

cos 2 sin 2 cos 01 cot

x xx x x

x

HD: sin cos (sin cos )sin

1 cot sin cos

x x x x x

x x x

2cos 2 2sin cos sin 0 cos 2 sin cos 2 0pt x x x x x x x

Bài 3: Giải phương trình : 4cos 3 sin 2

2 1 sin1 sin

x xx

x

HD: 24cos 2 3 sin cos 2 1 sin cos cos 3 sin 2 0x x x x x x x

Bài 4: Giải phương trình : 2cos 4 3 2 cos 2 sin 2 3x x x

HD: 24cos3 cos 3 2cos 1 2sin cos 3pt x x x x x




Bài 5: Giải phương trình : 2

1cos22

3cos

xx

HD: cos cos 2 2cos 03 3

pt x x

Bài 6: Giải phương trình : xxxx 4sin12sin3cossin2

HD: 2cos3 sin cos3 2sin 1 0pt x x x x

Bài 7: Giải phương trình : xxxx

tan2cossincos

1

HD: 2

cos 1 sin cos 1 0pt x x

Bài 8: Giải phương trình :)1(cos31cos22cos

5sin7cos22cos

3cos2

1sin2

xxx

xxx

x

x

HD: cos2 2cos 1 3(cos 1) (cos 1)(2cos 3)x x x x x

(2sin 1)(cos 1) cos2 2cos 7sin 5pt x x x x x

2cos (2sin 1) 2sin 9sin 5 0x x x x

Bài 9: Giải phương trình : xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222

HD: cos6 cos8 cos10 cos12 2cos cos7 cos11 0pt x x x x x x x

Bài 10: Giải phương trình : 24cos3cos2coscos 2222 xxxx

HD: cos 2 cos 4 cos6 cos8 0 2cos cos3 cos7 0pt x x x x x x x

Bài 11: Giải phương trình : 2

34cos3cos2coscos 2222 xxxx

HD: 2cos2 cos4 cos6 2cos 4 0pt x x x x

22cos4 cos2 cos4 2cos 4 0x x x x




Bài 12: Giải phương trình : 24sin3 13sin 2 4sin 3cos3 13cos 8cosx x x x x x

HD: 24sin3 4sin 8cos 8cos sin 2 cosx x x x x x

13sin 2 13cos 13(sin 2 cos )x x x x

2 23cos3 3 4cos 3cos 3cos 4sin 1 3 2sin 1 sin 2 cosx x x x x x x x

Bài 13: Giải phương trình : sin 2 cos sin cos cos2 sin cosx x x x x x x

HD: 22sin cos sin cos2 sin cos cos 0pt x x x x x x x

sin cos2 cos2 sin cos cos 0x x x x x x

Bài 14: Giải phương trình : cos cos3 1 2 sin 24

x x x

HD: 22cos 2 cos 1 sin 2 cos 2 2cos 2 cos 2sin cos 2cospt x x x x x x x x x

Bài 15: Giải phương trình : 4sin 2sin 2 13 6

x x

HD: 5

2sin sin 2 sin3 6 6

pt x x

; 5 1

sin6 2

Bài 16: Giải phương trình : 3 2cos cos

2 1 sinsin cos

x xx

x x

HD: 2cos (cos 1) 2 1 sin sin cosx x x x x

21 sin (cos 1) 2 1 sin sin cosx x x x x

Bài 17: Giải phương trình : 5 os2

2cos3 2 tan

c xx

x

HD: 5 os2 6cos 4sinpt c x x x

2 22 25 cos sin 6cos 4sin cos 3 sin 2 0x x x x x x

Bài 18: Giải phương trình : 2sin 1 os2 s inx 1

3 2cos3 s inx sin 2

x c xx

x

HD: 2sin 1 os2 s inx 1 sin 3 2cos 3 2cospt x c x x x x

2sin 1 os2 sinx 1 sin 2sin 1 2sin 1 0x c x x x x




Bài 19: Giải phương trình : 2 22sin (2cos 1) 2 3cos cos2 4cos 1 0x x x x x

HD: 1 3 1

2cos 2 sin 3 cos 2cos 2 1 0 2cos 2 sin cos cos 2 02 2 2

x x x x x x x x

2cos 2 cos cos 2 cos 0 2cos cos 2 cos 06 3 6 6

x x x x x x

Bài 20: Giải phương trình : 2cos 2 1cot 1 sin sin 2

1 tan 2

xx x x

x

HD: cos cos sin

cot 1 1sin sin

x x xx

x x

2 2cos 2 (cos sin )cos

(cos sin )cos1 tan cos sin

x x x xx x x

x x x

2 21sin sin 2 sin cos sin sin (cos sin )

2x x x x x x x x

Bài 21: Giải phương trình :sin 2 cos 2

tan cotcos sin

x xx x

x x

Bài 22: Giải phương trình :3

2 2 cos 2 sin 2 cos 4sin 04 4

x x x x

Bài 23: Giải phương trình : 2 tan sin 3 cot cos 1 0x x x x

Bài 24: Giải phương trình : 3 2cos

2sin 1 tancos sin 1

xx x

x x

Bài 25: Giải phương trình : sin 3

sin 2 cos 2 tan sin coscos

xx x x x x

x

Bài 26: Giải phương trình : tan cos3 2cos 2 1

3 sin 2 cos1 2sin

x x xx x

x

Bài 27: Giải phương trình :2

cos 2 3 sin 2 6sin 52 3

2cos 12

x x x

x

Bài 28: Giải phương trình :sin 3 2sin 4

t nx 2 3 os2cos

x xa c x

x

--- Hết ---


Education

Sơ lược về phương trình tích trong lượng giác