(
)
cos3x4cos2x3cosx40,x0;14
éù
-+-=*"Î
êú
ëû
Ths. Lê Văn ĐoànPhương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng
cao)
(
)
(
)
(
)
2cosx12sinxcosxsin2xsinx
-+=-*
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
Ths. Lê Văn Đoàn
MỤC LỤC
Trang
Công thức lượng giác cần nắm vững 2
A – Phương trình lượng giác cơ bản 5
Bài tập áp dụng 5
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 8
Bài tập rèn luyện 29
B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm
lượng giác 32
Bài tập áp dụng 33
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 35
Bài tập rèn luyện 56
C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 59
Bài tập áp dụng 59
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 62
Bài tập rèn luyện 81
D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 84
Bài tập áp dụng 85
Hướng dẫn giải bài tập áp dụng 87
Bài tập rèn luyện 92
E – Phương trình lượng giác đối xứng 93
Bài tập áp dụng 94
Bài tập rèn luyện 96
F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt
đối 97
Bài tập áp dụng 97
Bài tập rèn luyện 99
G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 101
Bài tập áp dụng 102
Bài tập rèn luyện 104
H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương
trình tương đương 106
Bài tập áp dụng 106
Bài tập rèn luyện 112
I – Hệ phương trình lượng giác 116
Bài tập áp dụng 117
J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác
121
Bài tập áp dụng 122
Bài tập rèn luyện 125
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
(
)
cos3xcos2xcosx10
+--=*
(((
( Công thức cơ bản
●
22
sinxcosx1
+=
● ●
sinx
tanx
cosx
=
●
cosx
cotx
sinx
=
●
os
2
2
1
1tanx
cx
+=
●
2
2
1
1cotx
sinx
+=
( Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức
cung nhân ba
●
sin2x2sinx.cosx
=
●
22
22
cosxsinx
cos2x
2cosx112sinx
é
-
ê
=
ê
-=-
ê
ë
●
os
2
1c2x
sinx
2
-
=
●
os
os
2
1c2x
cx
2
+
=
●
3
sin3x3sinx4sinx
=-
●
3
cos3x4cosx3cosx
=-
( Công thức cộng cung
●
(
)
sinabsina.cosbcosa.sinb
±=±
●
(
)
os
cabcosa.cosbsina.sinb
±=
m
●
(
)
tanatanb
tanab
1tana.tanb
+
+=
-
●
(
)
tanatanb
tanab
1tana.tanb
-
-=
+
●
π
1tanx
tanx
41tanx
æö
+
÷
ç
÷
+=
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
●
π
1tanx
tanx
41tanx
æö
-
÷
ç
÷
-=
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
( Công thức biến đổi tổng thành tích
●
abab
cosacosb2cos.cos
22
+-
+=
●
abab
cosacosb2sin.sin
22
+-
-=-
●
abab
sinasinb2sin.cos
22
+-
+=
●
abab
sinasinb2cos.sin
22
+-
-=
●
(
)
sinab
tanatanb
cosa.cosb
+
+=
●
(
)
sinab
tanatanb
cosa.cosb
-
-=
( Công thức biến đổi tích thành tổng
●
(
)
(
)
cosabcosab
cosa.cosb
2
++-
=
●
(
)
(
)
sinabsinab
sina.cosb
2
++-
=
●
(
)
(
)
cosabcosab
sina.sinb
2
--+
=
( Một số công thức thông dụng khác
●
ππ
sinxcosx2sinx2cosx
44
æöæö
÷÷
çç
÷÷
+=+=-
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
●
ππ
sinxcosx2sinx2cosx
44
æöæö
÷÷
çç
÷÷
-=-=+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
●
442
1cos4x
cosxsinx1s
31
in2x
2
4
+
+=-=
●
662
3cos4x
cosxsinx1s
53
in2x
4
8
+
+=-=
(
)
sinxcosx1sin2xcos2x0
++++=*
( Một số lưu ý:
· Điều kiện có nghiệm của phương trình
sinx
cosx
é
=a
ê
ê
=a
ê
ë
là:
11
-£a£
.
· Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc
cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt
điều kiện để phương trình xác định.
· Phương trình chứa
tanx
, điều kiện:
(
)
cosx0xkk
2
p
¹Û¹+pÎ
¢
.
· Phương trình chứa
cotx
, điều kiện:
(
)
sinx0xkk
¹Û¹pÎ
¢
.
· Phương trình chứa cả
tanx
và
cotx
, điều kiện:
(
)
xk.k
2
p
¹Î
¢
.
· Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện.
Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều
kiện:
· Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của
x
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại
nghiệm.
· Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các
ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn
cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì
ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: "
Nếu cung hoặc góc lượng giác
¼
AM
có số đo là
k2
n
p
a+
0
0
k.360
haya
n
æö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
với
k,n
+
ÎÎ
¢¥
thì có
n
điểm
M
trên đường tròn lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ
¼
AMk2
3
p
=+p
thì có một điểm
M
tại vị trí
3
p
(ta chọn
k0
=
).
Ví dụ 2: Nếu sđ
¼
AMk
6
p
=+p
thì có 2 điểm
M
tại vị trí
6
p
và
7
6
p
(ta chọn
k0,k1
==
).
Ví dụ 3: Nếu sđ
¼
2
AMk.
43
pp
=+
thì có 3 điểm
M
tại các vị trí
11
;
412
pp
và
19
12
p
,
(
)
k0;1;2
=
.
Ví dụ 4: Nếu sđ
¼
k2
AMk.
4244
pppp
=+=+
thì có 4 điểm
M
tại các vị trí
4
p
,
3
4
p
,
5
4
p
;
7
4
p
(ứng với các vị trí
k0,1,2,3
=
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
xk
6
p
=-+p
và
xk
3
p
=+p
Biểu diễn cung
xk
6
p
=-+p
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
p
-
và
5
6
p
Biểu diễn cung
xk
3
p
=+p
trên đường tròn thì có
(
)
(
)
sinx1cos2xsin2x1cosx
++=+*
2 điểm tại các vị trí:
3
p
và
4
3
p
.
Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
cung tổng hợp là:
xk
32
pp
=+
· Đối với phương trình
2
2
11
cosxcosx
22
11
sinxsinx
22
éé
êê
==±
êê
Û
êê
êê
==±
êê
ëë
ta không nên giảitrực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm,
khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên
hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là:
2
2
2
2
1
cosx
2cosx10cos2x0
2
1cos2x0
2sinx10
sinx
2
é
ê
é
=
é
-==
ê
ê
ê
ÛÛ
ê
ê
ê
=
-=
ê
ê
ê
ë
=
ë
ê
ë
. Tương tự đối với phương trình
2
2
sinx1sinx1
cosx1
cosx1
é
é
==±
ê
ê
Û
ê
ê
=±
=
ê
ê
ë
ë
ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công
thức
22
sinxcosx1
+=
. Lúc đó:
22
22
sinx1cosx0cosx0
sinx0
cosx1sinx0
éé
é
===
êê
ê
ÛÛ
êê
ê
=
==
êê
ê
ë
ëë
· Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù –
Phụ chéo ''
· Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ''
trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong
những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương
trình lượng giác.
· Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng
nhau, tức là
(
)
coscos
-a=a
, còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – ''
chính nó:
(
)
(
)
(
)
sinsin,tantan,cottan
-a=-a-a=-a-a=-a
· Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng
nhau, tức là
(
)
sinsin
p-a=a
, còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – ''
chính nó:
(
)
(
)
(
)
coscos,tantan,cottan
p-a=-ap-a=-ap-a=-a
· Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng
bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại,
tức là:
sincos,cossin,tancot,cottan
2222
æöæöæöæö
pppp
÷÷÷÷
çççç
÷÷÷÷
-a=a-a=a-a=a-a=a
çççç
÷÷÷÷
çççç
÷÷÷÷
çççç
èøèøèøèø
· Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được
hiệu quả của '' câu thần chú '' này:
Giải phương trình lượng giác:
sinucosv
=
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ
biết cách giải sao cho phương trình
sinusinv
=
, vậy còn phương trình
sinucosv
=
thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi:
sinucosvsinusinv
2
æö
p
÷
ç
÷
=Û=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
uvk2uvk2,k
22
pp
=-+pÚ=++pÎ
¢
.
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương
trình dạng như
2
sinxcosx
3
æö
p
÷
ç
÷
=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng
nữa.
· Một số cung góc hay dùng khác:
(
)
(
)
sinxk2sinx
cosxk2cosx
ì
ï
+p=
ï
ï
í
ï
+p=
ï
ï
î
và
(
)
(
)
(
)
sinxk2sinx
k
cosxk2cosx
ì
ï
+p+p=-
ï
ï
Î
í
ï
+p+p=-
ï
ï
î
¢
.
A – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
( Dạng:
uvk2
sinusinv
uvk2
é
=+p
ê
=Û
ê
=p-+p
ê
ë
Đặc biệt:
sinx0xk
sinx1xk2
2
sinx1xk2
2
ì
ï
ï
=Þ=p
ï
ï
ï
ï
p
ï
=Þ=+p
í
ï
ï
ï
p
ï
ï
=-Þ=-+p
ï
ï
î
( Dạng:
uvk2
cosucosv
uvk2
é
=+p
ê
=Û
ê
=-+p
ê
ë
Đặc biệt:
cosx0xk
2
cosx1xk2
cosx1xk2
ì
ï
p
ï
=Þ=+p
ï
ï
ï
ï
=Þ=p
í
ï
ï
=-Þ=p+p
ï
ï
ï
ï
î
( Dạng:
tanutanvuvk
Ðk:u,vk
2
=Û=+p
p
¹+p
Đặc biệt:
tanx0xk
tanx1xk
4
ì
ï
=Û=p
ï
ï
ï
í
p
ï
=±Û=±+p
ï
ï
ï
î
( Dạng:
cotucotvuvk
Ðk:u,vk
=Û=+p
¹p
Đặc biệt:
cotx0xk
2
cotx1xk
4
ì
ï
p
ï
=Û=+p
ï
ï
ï
í
ï
p
ï
=±Û=±+p
ï
ï
ï
î
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Giải phương trình:
(
)
cos3x4cos2x3cosx40,x0;14
éù
-+-=*"Î
êú
ëû
Bài 2. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2cosx12sinxcosxsin2xsinx
-+=-*
Bài 3. Giải phương trình:
(
)
cos3xcos2xcosx10
+--=*
Bài 4. Giải phương trình:
(
)
sinxcosx1sin2xcos2x0
++++=*
Bài 5. Giải phương trình:
(
)
(
)
2sinx1cos2xsin2x1cosx
++=+*
Bài 6. Giải phương trình:
(
)
117
4sinx
sinx4
3
sinx
2
æö
p
÷
ç
÷
+=-*
ç
÷
ç
æö
÷
ç
p
èø
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 7. Giải phương trình:
(
)
44
7
sinxcosxcotxcotx
836
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
+=+-*
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài 8. Giải phương trình:
(
)
44
4
sin2xcos2x
cos4x
tanxtanx
44
+
=*
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
-+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài 9. Giải phương trình:
(
)
3x13x
sinsin1
1022102
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
-=+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài 10. Giải phương trình:
(
)
sin3xsin2xsinx1
44
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
-=+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài 11.
(
)
3
8cosxcos3x1
3
æö
p
÷
ç
÷
+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 12. Giải phương trình:
(
)
3
2sinx2sinx1
4
æö
p
÷
ç
÷
+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 13. Giải phương trình:
(
)
3
sinx2sinx1
4
æö
p
÷
ç
÷
-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 14. Giải phương trình:
(
)
cosxcos2xcos3xcos4x0
+++=*
Bài 15. Giải phương trình:
(
)
222
3
sinxsin2xsin3x
2
++=*
.
Bài 16. Giải phương trình:
(
)
222
sinxsin2xsin3x2
++=*
.
Bài 17. Giải phương trình:
(
)
2222
sinxsin3xcos2xcos4x
+=+*
Bài 18. Giải phương trình:
(
)
2222
sin3xcos4xsin5xcos6x
-=-*
Bài 19. Giải phương trình:
(
)
sin
22
5x9x
cos3xsin7x22cos
422
æö
p
÷
ç
÷
+=+-*
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 20. Giải phương trình:
(
)
222
sinxcos2xcos3x
=+*
Bài 21. Giải phương trình:
(
)
2
2sin2xsin7x1sinx
+-=*
Bài 22. Giải phương trình:
(
)
sinxsin2xsin3x1cosxcos2x
++=++*
Bài 23. Giải phương trình:
(
)
333
sinxcos3xcosxsin3xsin4x
+=*
Bài 24. Giải phương trình:
(
)
23
cos10x2cos4x6cos3xcosxcosx8cosxcos3x
++=+*
Bài 25. Giải phương trình:
(
)
332
4sinx3cosx3sinxsinxcosx0
+--=*
Bài 26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
2sinx13cos4x2sinx44cosx3
++-+=*
Bài 27. Giải phương trình:
(
)
(
)
6688
sinxcosx2sinxcosx
+=+*
Bài 28. Giải phương trình:
(
)
(
)
881010
5
sinxcosx2sinxcosxcos2x
4
+=++*
Bài 29. Giải phương trình:
(
)
(
)
3355
sinxcosx2sinxcosx
+=+*
Bài 30. Giải phương trình:
(
)
4224
3cosx4cosxsinxsinx0
-+=*
Bài 31. Giải phương trình:
(
)
33
232
cos3xcosxsin3xsinx
8
-
-=*
Bài 32. Giải phương trình:
(
)
1
cosxcos2xcos4xcos8x
16
=*
Bài 33. Giải phương trình:
(
)
3
4sin3xcos2x16sinx8sinx
=+-*
Bài 34. Giải phương trình:
(
)
1
cosxcos2xcos3xcos4xcos5x
2
++++=-*
Bài 35. Giải phương trình:
(
)
sin2x2cosxsinx1
0
tanx3
+--
=*
+
Bài 36. Giải phương trình:
(
)
2
1sin2xcos2x
2sinxsin2x
1cotx
++
=*
+
Bài 37. Giải phương trình:
(
)
(
)
tanxcotx2sin2xcos2x
+=+*
Bài 38. Giải phương trình:
(
)
2
tanxtanxtan3x2
-=*
Bài 39. Giải phương trình:
(
)
222
11
tanxcotxcot2x
3
++=*
Bài 40. Giải phương trình:
(
)
222
xx
sintanxcos0
242
æö
p
÷
ç
÷
--=*
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài 41. Giải phương trình:
(
)
(
)
2
sin2xcotxtan2x4cosx
+=*
Bài 42. Giải phương trình:
(
)
(
)
22
cotxtanx
161cos4x
cos2x
-
=+*
Bài 43. Giải phương trình:
(
)
1
2tanxcot2x2sin2x
2sin2x
+=+*
Bài 44. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
3sinxtanx
21cosx0
tanxsinx
+
-+=*
-
Bài 45. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
22
1cosx1cosx
1
tanxsinx1sinxtanx
2
41sinx
-++
-=++*
-
Bài 46. Giải phương trình:
(
)
cos3xtan5xsin7x
=*
Bài 47. Giải phương trình:
(
)
11
sin2xsinx2cotx
2sinxsin2x
+--=*
Bài 48. Giải phương trình:
(
)
(
)
44
sinxcosx1
tanxcot2x
sin2x2
+
=+*
Bài 49. Giải phương trình:
(
)
2222
tanx.cot2x.cot3xtanxcot2xcot3x
=-+*
Bài 50. Giải phương trình:
(
)
x
cotxsinx1tanxtan4
2
æö
÷
ç
÷
++=*
ç
÷
ç
÷
ç
èø
HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
(
)
117
4sinx
sinx4
3
sinx
2
æö
p
÷
ç
÷
+=-*
ç
÷
ç
æö
÷
ç
p
èø
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
44
7
sinxcosxcotxcotx
836
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
+=+-*
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
(((
(
)
44
4
sin2xcos2x
cos4x
tanxtanx
44
+
=*
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
-+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
( Lời bình: Từ việc xuất hiện ba cung
x,2x,3x
, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng một
cung. Nhưng đưa về cung
x
hay cung
2x
? Các bạn có thể trả lời câu hỏi đó dựa vào quan niệm
sau: " Trong phương trình lượng giác tồn tại ba cung
x,2x,3x
, ta nên đưa về cung trung gian
2x
nếu trong biểu thức có chứa sin2x (hoặc cos2x). Còn không
chứa sin2x (hoặc
cos2x), nên đưa về cung
x
".
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
3232
4cosx3cosx42cosx13cosx404cosx8cosx0
*Û---+-=Û-=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
cosx0N
4cosxcosx20xk,k
cosx2L
2
é
=
p
ê
Û-=ÛÛ=+pÎ
ê
=
ê
ë
¢
.
0,5k3,9
357
Dox0;14,k0k14x;;;
k
22222
ì
ìü
ï
-££»
ïï
ppppp
ï
ïï
éù
ÎÎÛ£+p£ÛÞÎ
ííý
êú
ëû
ïïï
Î
ïïï
îþ
î
¢
¢
.
(
)
3x13x
sinsin1
1022102
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
-=+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2cosx12sinxcosx2sinxcosxsinx
*Û-+=-
(
)
(
)
(
)
2cosx12sinxcosxsinx2cosx10
Û-+--=
(
)
(
)
(
)
(
)
2cosx12sinxcosxsinx02cosx1sinxcosx0
éù
Û-+-=Û-+=
êú
ëû
(
)
xk2
2cosx10
cosxcos
3
k;l
3
sinxcosx0
tanx1
xl
4
é
p
é
p
ê
=±+p
é
-=
ê
=
ê
ê
ê
ÛÛÛÎ
ê
ê
ê
+=p
ê
ê
=-
ë
=-+p
ê
ê
ë
ë
¢
.
(
)
sin3xsin2xsinx1
44
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
-=+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
( Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
3x
và
2x
, chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa chúng về cùng một
cung x bằng công thức nhân ba và công thức nhân đôi của
hàm cos
Bài giải tham khảo
(
)
3232
4cosx3cosx2cosx1cosx102cosxcosx2cosx10
*Û-+---=Û+--=
(
)
(
)
(
)
(
)
22
cosx2cosx12cosx102cosx1cosx10
Û+-+=Û+-=
(
)
3
8cosxcos3x1
3
æö
p
÷
ç
÷
+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
2
sinx0xk
2cosx1sinx0k;l
12
cosxxl2
23
éé
==p
êê
êê
Û-+=ÛÛÎ
p
êê
=-=±+p
êê
ëë
¢
.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
2
sinxcosx2sinxcosx2cosx0
*Û+++=
(
)
(
)
sinxcosx2cosxsinxcosx0
Û+++=
(
)
(
)
sinxcosx12cosx0
Û++=
(
)
sinxcosxtanx1
xk
4
k;l
12
2
cosxcosxcos
xl2
23
3
é
p
éé
=-=-
ê
=-+p
êê
ê
êê
ÛÛÛÎ
ê
p
êê
p
=-=
ê
=±+p
êê
ê
ëë
ë
¢
.
( Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung
2x
và cung
x
mà ta nghĩ đến việc chuyển cung
2x
về cung
x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất
hiện nhân tử chung ở hai vế
(
)
3
2sinx2sinx1
4
æö
p
÷
ç
÷
+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
2
sinx12cosx12sinxcosx1cosx
*Û+-+=+
(
)
(
)
2
2sinxcosx2sinxcosx1cosx2sinxcosxcosx11co
sx0
Û+=+Û+-+=
(
)
(
)
(
)
2
1
xk2
cosx
3
cosx1sin2x10k,l
2
sin2x1
xl
4
é
p
é
ê
=±+p
ê
=-
ê
ê
Û+-=ÛÛÎ
ê
ê
p
ê
=
=+p
ê
ê
ë
ë
¢
.
( Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
p
-
và
7
x
4
p
-
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung khác nhau này về
cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công thức cộng
cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''.
Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
(
)
3
sinx2sinx1
4
æö
p
÷
ç
÷
-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:
(
)
sinabsina.cosbcosa.sinb
±=±
(
)
1177
4sincosxsinxcos
sinx3344
sinxcossincosx
22
æö
pp
÷
ç
÷
*Û+=-
ç
÷
ç
÷
ç
pp
èø
-
(
)
112
4.sinxcosx
sinxcosx2
éù
êú
Û+=-+
êú
êú
ëû
Điều kiện:
sinxcosx0sin2x0
¹Û¹
.
(
)
sinxcosx
22sinxcosx
sinxcosx
+
Û=-+
(
)
(
)
sinxcosx22sinxcosxsinxcosx0
Û+++=
(
)
(
)
sinxcosx12sin2x0
Û++=
(
)
xk
4
tanx1
sinxcosx0
xlk,l,m
2
8
12sin2x0
sin2x
5
2
xm
8
é
p
ê
=-+p
ê
é
=-
é
ê
+=
ê
p
ê
ê
ê
ÛÛÛ=-+pÎ
ê
ê
ê
+=
ê
ê
=-
ê
ë
ê
p
ë
=+p
ê
ê
ë
¢
.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
(
)
3
sinxsin2xcosx
22
71
sinxsin2xsinxsinxcosx
444
2
ì
éù
æöæö
ï
pp
ï
÷÷
çç
êú
÷÷
ï
-=-p--=
çç
÷÷
ï
êú
çç
÷÷
çç
ï
èøèø
êú
ï
ëû
í
éù
æöæöæö
ï
ppp
÷÷÷
ï
ççç
êú
÷÷÷
-=p-+=-+=-+
ï
ççç
÷÷÷
ï
êú
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
ï
êú
ëû
ï
î
(
)
(
)
111
4.sinxcosx
sinxcosx
2
éù
êú
*Û+=-+
êú
ëû
. Giải tương tự như cách giải 1.
(
)
cosxcos2xcos3xcos4x0
+++=*
( Lời bình: Từ tổng hai cung
xx
362
ppp
++-=
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cotxcotxcotxcotxcotxtanx1
3632333
éù
æöæöæöæöæöæö
ppppppp
÷÷÷÷÷÷
çççççç
êú
÷÷÷÷÷÷
+-=+-+=++=
çççççç
÷÷÷÷÷÷
êú
çççççç
÷÷÷÷÷÷
çççççç
èøèøèøèøèøèø
êú
ëû
. Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức:
442
1
sinxcosx1sin2x
2
+=-
. Nếu không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi
tan
cos
cot
sin
=
, rồi qui đồng thì bài toán
trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu
nghiệm với điều kiện.
Bài giải tham khảo
ĐK:
sinx0
1
3
sinxsinx0cos2x0cos2x0
36266
sinx0
6
ì
æö
ï
p
÷
ï
ç
÷
+¹
ï
ç
÷
ç
ï
æöæöæöæö
÷
ç
pppp
èø
ï
÷÷÷÷
ï
çççç
÷÷÷÷
Û+-¹Û-¹Û-¹
çççç
í
÷÷÷÷
çççç
æö
÷÷÷÷
çççç
ï
p
èøèøèøèø
÷
ç
ï
÷
-¹
ç
ï
÷
ç
ï
÷
ç
èø
ï
ï
î
.
(
)
(
)
22
1711k
1sin2xsin2x1cos4xx,k
2842122
pp
*Û-=Û=Û-=Û=+Î
¢
.
(
)
222
3
sinxsin2xsin3x
2
++=*
Bài giải tham khảo
ĐK:
cosx0
1
4
cosxcosx0cos2xcos0cos2x0
4422
cosx0
4
ì
æö
ï
p
÷
ï
ç
÷
-¹
ï
ç
÷
ç
ï
æöæöæö
÷
ç
ppp
èø
ï
÷÷÷
ï
ççç
÷÷÷
Û-+¹Û+¹Û¹
ççç
í
÷÷÷
ççç
æö
÷÷÷
ççç
ï
p
èøèøèø
÷
ç
ï
÷
+¹
ç
ï
÷
ç
ï
÷
ç
èø
ï
ï
î
.
Ta có:
tanxtanxtanxtanxtanxcotx1
4442444
éù
æöæöæöæöæöæö
ppppppp
÷÷÷÷÷÷
çççççç
êú
÷÷÷÷÷÷
-+=--+=--=
çççççç
÷÷÷÷÷÷
êú
çççççç
÷÷÷÷÷÷
çççççç
èøèøèøèøèøèø
êú
ëû
.
(
)
(
)
242442
11
1sin4xcos4x11cos4xcos4x2cosxcos4x10
22
*Û-=Û--=Û--=
(
)
(
)
2
22
2
2
t1N
2tt10
1
cos4x1sin4x0sin4x0
tL
tcos4x0
2
tcos4x0
ì
é
ï
=
ï
ê
ï
ì
ï
ï
ê
--=
ï
ï
ïï
ê
ÛÛÛ=Û=Û=
íí
=-
ê
ïï
=³
ë
ïï
ï
î
ï
ï
=³
ï
ï
î
(
)
(
)
(
)
sin2x0N
k
x,k
cos2x0L
2
ì
ï
=
p
ï
ï
ÛÛ=Î
í
ï
=
ï
ï
î
¢
.
( Lưu ý, ta có thể thực hiện biến đổi mẫu số bằng công
thức cộng theo tan như sau
tantanxtantanx
1tanx1tanx
44
tanx.tanx..1
441tanx1tanx
1tantanx1tantanx
44
pp
-+
æöæö
pp-+
÷÷
çç
÷÷
-+===
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
pp+-
èøèø
+-
.
(
)
222
sinxsin2xsin3x2
++=*
( Lời bình: Nhìn vào phương trình này, ta nghĩ dùng công
thức cộng cung theo sin……, hoặc xét tổng cung của chúng, …….
nhưng đừng vội làm như thế, nó sẽ khó đi đến kết quả. Ta
hãy xem giữa hai cung
3x
102
p
-
và
3x
102
p
+
có mối liên hệ gì hay không ? Thật vậy:
3x3x93x3x
sinsinsinsin3
102102102102
éù
æöæöæöæö
pppp
÷÷÷÷
çççç
êú
÷÷÷÷
+=p-+=-=-
çççç
÷÷÷÷
êú
çççç
÷÷÷÷
çççç
èøèøèøèø
êú
ëû
. Từ đó, ta sẽ đặt
3x
t
102
p
=-
và sử dụng công thức nhân ba là tối ưu nhất.
Bài giải tham khảo
Ta có:
3x3x93x3x
sinsinsinsin3
102102102102
éù
æöæöæöæö
pppp
÷÷÷÷
çççç
êú
÷÷÷÷
+=p-+=-=-
çççç
÷÷÷÷
êú
çççç
÷÷÷÷
çççç
èøèøèøèø
êú
ëû
.
(
)
(
)
3x13x
1sinsin32
1022102
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
Û-=-
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
.
Đặt
3x
t
102
p
=-
. Và
(
)
(
)
(
)
32
11
2sintsin3tsint3sint4sintsint1sint0
22
Û=Û=-Û-=
(
)
3x3
tk
kxk2
sint0
1025
k,l
cost03x2
tl
lxl2
2
10225
éé
pp
é
=p
êê
-=p=-p
é
=
ê
êê
ê
ê
ÛÛÛÛÎ
êê
p
ê
ê
=ppp
=+p
êê
ê
ë
-=+p=-p
ê
êê
ë
ëë
¢
.
(
)
2222
sinxsin3xcos2xcos4x
+=+*
Bài giải tham khảo
Ta có:
3
sin3xsin3xsin3xsin3xsin3x
44444
éù
æöæöæöéùæö
ppppp
÷÷÷÷
çççç
êú
êú
÷÷÷÷
-=--=-p--=-+=-+
çççç
÷÷÷÷
êú
çççç
êú
÷÷÷÷
çççç
èøèøèøèø
êú
ëû
ëû
Đặt
txxt
44
pp
=+Þ=-
. Lúc đó
(
)
1sin3tsin2t.sint
2
æö
p
÷
ç
÷
Û-=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
3
222
sint0sint0
4sint3sintcos2tsint0
4sint312sint0sint1
éé
==
êê
Û-+=ÛÛ
êê
-+-==
êê
ëë
(
)
tk
xk
sint0
4
xm,k,l,m
cost0
42
tl
xl
2
4
é
p
é
=p
ê
=-+p
é
=
ê
pp
ê
ê
ê
ÛÛÛÛ=-+Î
ê
p
ê
ê
=p
=+p
ê
ê
ë
=+p
ê
ê
ë
ë
¢
.
(
)
2222
sin3xcos4xsin5xcos6x
-=-*
Bài giải tham khảo
Ta có:
(
)
cos3xcos3xcos3x
3
éù
æö
p
÷
ç
êú
÷
=-p+=-+
ç
÷
êú
ç
÷
ç
èø
êú
ëû
.
Phương trình:
(
)
(
)
3
18cosxcos3x2
33
éù
æöæö
pp
÷÷
çç
êú
÷÷
Û+=-+
çç
÷÷
êú
çç
÷÷
çç
èøèø
êú
ëû
.
Đặt
tx
3
p
=+
. Lúc đó:
(
)
333
28costcos3t8cost4cost3cost
Û=-Û=-+
(
)
(
)
32
12cost3cost0cos3t4cost10cos3t2cos2t10
Û-=Û-=Û+=
(
)
tk
xk
2
cos3t0
6
tlxlk;l;m
1
3
cos2t
2
2
xm
tm
3
3
é
p
é
ê
=+pp
ê
ê
=+p
é
ê
=
ê
ê
p
ê
ê
ê
ÛÛ=+pÛ=pÎ
ê
ê
ê
ê
=-
ê
ê
p
ê
ê
ë
p
=+p
ê
=-+p
ê
ê
ë
ê
ë
¢
.
(
)
sin
22
5x9x
cos3xsin7x22cos
422
æö
p
÷
ç
÷
+=+-*
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
txxt
44
pp
=+Þ=-
. Lúc đó:
(
)
33
1sint2sintsintsintcost
4
æö
p
÷
ç
÷
Û=-Û=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
(
)
3322
sintsintcostsintsintcostsintcost
Û=-Û=+-·
(
)
22
costsintsintcostcost0
Û-+-=
(
)
(
)
(
)
cost0N
1
costsin2t10tkxk,k
sin2t2L
224
é
æö
=
pp
ê
÷
ç
÷
Û-=ÛÛ=+pÛ=+pÎ
ç
ê
÷
ç
÷
ç
=
èø
ê
ë
¢
.
( Lời bình: Trong
(
)
·
, tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức
22
1sintcost
=+
. Vậy trong giải phương trình lượng giác, dấu hiệu như
thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn giản:
" Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai
bậc, ta nên ghép
22
1sintcost
=+
để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
Cách giải 2.
(
)
(
)
3
3
11
12.2sinx2sinx2sinxcosx2sinx
4
22
éù
éù
æö
p
÷
ç
êú
êú
÷
Û+=Û+=
ç
÷
êú
ç
êú
÷
ç
èø
êú
ëû
ëû
(
)
(
)
(
)
32
sinxcosx4sinxsinxcosxsinxcosx4sinx
Û+=Û++=
(
)
(
)
sinxcosx12sinxcosx4sinx
Û++=
22
3sinx2cosxsinx2sinxcosxcosx0
Û-+++=
(
)
(
)
22
sinx32cosxcosx2sinx10
Û-+++=
(
)
(
)
22
sinx2sinx1cosx2sinx10
Û-+++=
(
)
(
)
(
)
2
2
02sinx10VN
2sinx1cosxsinx0
cosxsinx0
é
=+>
ê
Û+-=Û
ê
-=
ê
ë
(
)
tanx1xk,k
4
p
Û=Û=+pÎ
¢
.
Cách giải 3.
(
)
(
)
3
3
11
12.2sinx2sinx2sinxcosx2sinx
4
22
éù
éù
æö
p
÷
ç
êú
êú
÷
Û+=Û+=
ç
÷
êú
ç
êú
÷
ç
èø
êú
ëû
ëû
(
)
(
)
3
sinxcosx4sinx2
Û+=
Vì
(
)
cosx0haysinx1
==
không phải là nghiệm của phương trình
(
)
2
nên chia hai vế của phương trình
(
)
2
cho
3
cosx
, ta được:
(
)
(
)
(
)
3
2
2tanx14tanx.1tanx
Û+=+
Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:
(
)
tanx1xk,k
4
p
=Û=+pÎ
¢
.
(
)
222
sinxcos2xcos3x
=+*
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
txxt
44
pp
=-Þ=+
. Lúc đó:
(
)
(
)
33
1sint2sint4sintsintcost
Û=+Û=+
(
)
(
)
322
sintsintcostsintcost
Û=++
(
)
33223
sintsintsintcostcostsintcostcostsintcost
10
Û=+++Û+=
(
)
(
)
cost0
3
tkxkk,k
sin2t2L
244
é
=
ppp
ê
ÛÛ=+pÛ=+pº-+pÎ
ê
=-
ê
ë
¢
.
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn
đọc tự giải
(
)
2
2sin2xsin7x1sinx
+-=*
( Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm
bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả sin và cos) dạng
tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp
sao cho hiệu (hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức
là trong trường hợp này để ý
(
)
x4x5x
+=
và
(
)
2x3x5x
+=
. Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản, chúng
ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài
toán về dạng phương trình tích số.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
5x3x5xx
cosxcos4xcos2xcos3x02coscos2coscos0
2222
*Û+++=Û+=
5x3xx5xx
2coscoscos04coscosxcos0
22222
æö
÷
ç
÷
Û+=Û=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
5xk2
5xkx
cos0
2255
2
cosx0xlxlk;l;m
22
x
xx2m
cos0
m
2
22
éé
ppp
é
êê
=+p=+
ê
êê
=
ê
êê
pp
ê
êê
Û=Û=+pÛ=+pÎ
ê
êê
ê
êê
ê
êê
p=p+p
=
ê
=+p
êê
ê
ë
êê
ëë
¢
.
(
)
sinxsin2xsin3x1cosxcos2x
++=++*
( Lời bình: Với những phương trình có những hạng tử
bậc hai theo sin và cos, ta thường dùng công
thức hạ bậc để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1113
1cos2x1cos4x1cos6xcos2xcos6xcos4x0
2222
*Û-+-+-=Û++=
(
)
2cos4xcos2xcos4x0cos4x2cos2x10
Û+=Û+=
(
)
k
cos4x0
4xkx
284
k,l
2
2
cos2xcos
2xl2xl
3
33
éé
ppp
é
=
êê
=+p=+
ê
êê
ê
ÛÛÛÎ
êê
p
ê
pp
=
êê
=±+p=±+p
ê
êê
ë
ëë
¢
.
(
)
333
sinxcos3xcosxsin3xsin4x
+=*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
(
)
111
1cos2x1cos4x1cos6x2
222
*Û-+-+-=
(
)
(
)
(
)
11
cos2xcos4xcos6xcos2xcos6xcos4x10
22
Û-++=Û+++=
(
)
2
2cos4xcos2x2cos2x02cos2xcos4xcos2x0
Û+=Û+=
(
)
xk
2
cosx0
4cos2xcos3xcosx0cos2x0xlk,l,m
42
cos3x0
xm
63
é
p
ê
=+p
ê
é
=
ê
ê
pp
ê
ê
Û=Û=Û=+Î
ê
ê
ê
ê
=
ê
ê
pp
ë
=+
ê
ê
ë
¢
.
(
)
23
cos10x2cos4x6cos3xcosxcosx8cosxcos3x
++=+*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1111
1cos2x1cos6x1cos4x1cos8x
2222
*Û-+-=+++
(
)
cos2xcos6xcos4xcos8x2cos4xcos2x2cos6xcos
2x
Û-+=+Û-=
(
)
2cos2xcos6xcos4x04cos2xcos5xcosx0
Û+=Û=
(
)
cosx0
m
cos2x0xkxlx;k,l,m
242105
cos5x0
é
=
ê
æöæöæö
ppppp
ê
÷÷÷
ççç
÷÷÷
Û=Û=+pÚ=+Ú=+Î
ççç
ê
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
ê
=
ê
ë
¢
.
(
)
332
4sinx3cosx3sinxsinxcosx0
+--=*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1111
1cos6x1cos8x1cos10x1cos12x
2222
*Û--+=--+
cos6xcos8xcos10xcos12x2cos7xcosx2cos11xc
osx
Û+=+Û=
(
)
(
)
xk
2
cosx0
l
cosxcos7xcos11x0xk,l,m
cos7xcos11x
2
m
x
9
é
p
ê
=+p
ê
ê
é
=
p
ê
ê
Û-=ÛÛ=-Î
ê
ê
=
ê
ê
ë
ê
p
=
ê
ê
ë
¢
.
(
)
(
)
(
)
2
2sinx13cos4x2sinx44cosx3
++-+=*
Bài giải tham khảo
(
)
xx
cos3xsin7x1cos5x1cos9cos3xsin7xsin5xcos9
2
æö
p
÷
ç
÷
*Û+=-+--Û+=-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
cos3xcos9xsin7xsin5x02cos6xcos3x2cos6xsi
nx0
Û++-=Û+=
(
)
(
)
xk
126
cos6x0
cos6xcos3xsinx0xlk,l,m
cos3xcosx
4
2
m
x
82
é
pp
ê
=+
ê
é
=
ê
ê
p
ê
ê
æö
Û+=ÛÛ=+pÎ
p
ê
÷
ç
ê
÷
=+
ç
ê
÷
ê
ç
÷
ç
èø
ê
pp
ê
ë
=-+
ê
ê
ë
¢
.
(
)
(
)
6688
sinxcosx2sinxcosx
+=+*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
1cos2x1cos4x1cos6x
cos2xcos4x1cos6x0
222
-++
*Û=+Û+++=
(
)
2
2cos3xcosx2cos3x02cos3xcosxcos3x0
Û+=Û+=
(
)
k
x
k
63
cosx0
x
l
63
4cos3xcos2xcosx0cos2x0xk,l,m
l
42
x
cos3x0
42
xm
2
é
pp
ê
=+
é
ê
é
pp
=
ê
ê
ê
=+
pp
ê
ê
ê
Û=Û=Û=+ÛÎ
ê
ê
ê
pp
ê
ê
ê
=+
=
ê
ê
ê
p
ë
ë
=+p
ê
ê
ë
¢
.
(
)
(
)
881010
5
sinxcosx2sinxcosxcos2x
4
+=++*
( Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
(
)
(
)
(
)
x,2x,7x
và nhận xét
7xx
4x
2
+
=
, ta có thể định hướng nhóm
(
)
sin7xsinx
-
,
(
)
2
2sin2x1
-
lại với nhau, để sau khi dùng công thức tổng thành tích
và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa
ta được phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
2
sin7xsinx12sin2x02cos4xsin3xcos4x0
*Û---=Û-=
(
)
(
)
k2
cos4x0
x
183
cos4x2sin3x10k,l
1
5l2
sin3x
x
2
183
é
pp
é
=
ê
=+
ê
ê
ê
Û-=ÛÛÎ
ê
ê
pp
=
ê
=+
ê
ê
ë
ë
¢
.
(
)
(
)
3355
sinxcosx2sinxcosx
+=+*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
sinxsin3xsin2x1cos2xcosx
*Û++=++
(
)
(
)
2
2sin2xcosxsin2x2cosxcosxsin2x2cosx1cosx2
cosx10
Û+=+Û+-+=
(
)
(
)
(
)
(
)
2cosx1sin2xcosx02cosx12sinxcosxcosx0
Û+-=Û+-=
(
)
(
)
(
)
xk
2
cosx0
xl2
1
6
cosx2sinx12cosx10sinxk,l,m,n
5
2
xm2
1
6
cosx
2
2
xn2
3
é
p
ê
=+p
é
ê
ê
ê
=
é
p
ê
ê
ê
=+p
ê
ê
ê
ê
ê
Û-+=Û=ÛÎ
ê
ê
ê
p
ê
ê
ê
=+p
ê
ê
ê
ë
=-
ê
ê
p
ë
ê
=±+p
ê
ë
¢
.
(
)
4224
3cosx4cosxsinxsinx0
-+=*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
33333
sinx4cosx3cosxcosx3sinx4sinxsin4x
*Û-+-=
3333333
4sinxcosx3sinx3cosx3cosxsinx4cosxsinxsin
4x
Û-+-=
(
)
223
3sinxcosxcosxsinxsin4x
Û-=
33
33
sin2xcos2xsin4xsin4xsin4x
24
Û=Û=
(
)
3
k
3sin4x4sin4x0sin12x012xkx,k
12
p
Û-=Û=Û=pÛ=Î
¢
.
(
)
33
232
cos3xcosxsin3xsinx
8
-
-=*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
3
cos10x1cos8xcosx2cosx4cos3x3cos3x
*Û++=+-
(
)
cos10xcos8x1cosx2cosxcos9x
Û++=+
2cos9xcosx1cosx2cosxcos9x
Û+=+
(
)
cosx1xk2,k
Û=Û=pÎ
¢
.
(
)
1
cosxcos2xcos4xcos8x
16
=*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
222
sinx4sinx3cosxsinx3cosx0
*Û---=
(
)
(
)
222
sinx4sinx3cosxsinx31sinx0
éù
Û----=
êú
ëû
(
)
(
)
2
4sinx3sinxcosx0
Û--=
(
)
(
)
21cos2x3sinxcosx0
éù
Û---=
êú
ëû
(
)
2
122
xk
cos2xcos2xk2
3
k;l
233
sinxcosxtanx1
xl
4
é
p
éé
pp
ê
=±+p
êê
=-==±+p
ê
êê
ÛÛÛÎ
ê
êê
p
ê
==
=+p
êê
ê
ëë
ë
¢
.
(
)
3
4sin3xcos2x16sinx8sinx
=+-*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2sinx13cos4x2sinx441sinx30
*Û++-+--=
(
)
(
)
(
)
(
)
2sinx13cos4x2sinx412sinx12sinx0
Û++-+-+=
(
)
(
)
2sinx13cos4x2sinx412sinx0
Û++-+-=
(
)
(
)
3cos4x12sinx10
Û-+=
(
)
k
x
4xk2
2
cos4x1
xl2xl2k;l;m
1
66
sin2x
2
77
xm2xm2
66
é
p
é
ê
=
ê
=p
ê
ê
é
=
ê
ê
ê
pp
ê
ê
ê
ÛÛ=-+pÛ=-+pÎ
ê
ê
ê
=-
ê
ê
ê
ê
ë
pp
ê
=+p=+p
ê
ê
ê
ë
ë
¢
.
(
)
1
cosxcos2xcos3xcos4xcos5x
2
++++=-*
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
68686262
sinx2sinxcosx2cosx0sinx12sinxcosx2cosx10
*Û-+-=Û---=
(
)
6666
sinxcos2xcosxcos2x0cos2xsinxcosx0
Û-=Û-=
(
)
66
k
x
cos2x0
cos2x0
k
42
x,k
tanx1
sinxcosx
42
xk
4
é
pp
ê
é
=+
é
=
=
pp
ê
ê
ê
ÛÛÛÛ=+Î
ê
ê
ê
=±p
=
ê
ê
ê
ë
ë
=±+p
ê
ë
¢
.
(
)
sin2x2cosxsinx1
0
tanx3
+--
=*
+
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
(
)
108810
5
2cosxcosxsinx2sinxcos2x0
4
*Û---+=
(
)
(
)
8282
5
cosx2cosx1sinx12cosxcos2x0
4
Û---+=
8888
55
cosx.cos2xsinxcos2xcos2x0cos2xcosxsinx0
44
æö
÷
ç
÷
Û-+=Û-+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
88
88
cos2x0
2xk
k
2
x,k
5
5
42
cosxsinx0
sinxcosx1VN
4
4
é
p
é
=
ê
=+p
ê
pp
ê
ê
ÛÛÛ=+Î
ê
ê
-+=
ê
=+>
ê
ê
ë
ë
¢
.
(
)
2
1sin2xcos2x
2sinxsin2x
1cotx
++
=*
+
Bài giải tham khảo
( Cách giải 1
(
)
(
)
(
)
3553
sinx2sinx2cosxcosx0
*Û--+=
(
)
(
)
323233
sinx12sinxcosx2cosx10sinxcos2xcosxcos2x0
Û---=Û-=
(
)
(
)
33
3
cos2x0
m
cos2xsinxcosx0x,m
tanx1
42
é
=
pp
ê
Û-=ÛÛ=+Î
ê
=
ê
ë
¢
.
( Cách giải 2
(
)
(
)
(
)
332255
sinxcosxsinxcosx2sinx2cosx0
*Û++--=
(
)
(
)
325532
sinxcosxsinxcosxcossinx0
Û---=
(
)
(
)
(
)
32232233
sinxcosxsinxcosxcosxsinx0cos2xsinxcosx0
Û---=Û-=
(
)
333
cos2x0cos2x0
m
x,m
sinxcosx0tanx1
42
éé
==
pp
êê
ÛÛÛ=+Î
êê
-==
êê
ëë
¢
.
(
)
(
)
tanxcotx2sin2xcos2x
+=+*
Bài giải tham khảo
(
)
22
2
1cos2x1cos2x
3sin2x0
22
æöæö
+-
÷÷
çç
÷÷
*Û-+=
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
(
)
(
)
(
)
222
312cos2xcos2x41cos2x12cos2xcos2x0
Û++--+-+=
(
)
2
8cos2x4cos2x04cos2x2cos2x10
Û+=Û+=
(
)
k
cos2x0
xk
424
k,m
1
cos2x
xm
2
3
é
ppp
é
=
ê
=+º±+p
ê
ê
ê
ÛÛÎ
ê
ê
p
=-
ê
=±+p
ê
ê
ë
ë
¢
.
( Cách khác
Do
cosx0haysinx1
==
không là nghiệm của phương trình
(
)
*
Chia hai vế của
(
)
*
cho
4
cosx
, ta được:
(
)
2
24
2
t4t30
34tanxtanx0
ttanx0
ì
ï
-+=
ï
ï
*Û-+=Û
í
ï
=³
ï
ï
î
(
)
2
2
2
t1
xk
tanx1
tanx1
4
t3
k,m
tanx3
tanx3
xm
ttanx
3
é
ì
é
ï
p
=
ï
ê
é
ê
é
=±+p
=±
ï
=
ê
ï
ê
ê
ê
=
ÛÛÛÛÎ
í
ê
ê
ê
ê
ë
ï
p
=
=±
ê
ê
ê
ï
=±+p
ë
ë
ï
=
ê
ï
î
ë
¢
.
(
)
2
tanxtanxtan3x2
+=*
Bài giải tham khảo
( Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa
cos3x
lẫn
sin3x
, nếu ta sử dụng công thức nhân ba để khai triễn cũng đi
đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp. Chính
vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức
tích thành tổng có xuất hiện số
1
2
nhằm tối giản được với số
232
8
-
phức tạp bên vế phải của phương trình.
(
)
(
)
(
)
22
232
cos3xcosxcosxsin3xsinxsinx
8
-
*Û-=
(
)
(
)
22
11232
cos4xcos2xcosxcos2xcos4xsinx
228
-
Û+--=
2222
232
cos4xcosxcos2xcosxcos2xsinxcos4xsinx
4
-
Û+-+=
(
)
(
)
2222
232
cos4xcosxsinxcos2xcosxsinx
4
-
Û++-=
(
)
2
2321232
cos4xcos2xcos4x1cos4x
424
--
Û+=Û++=
(
)
(
)
2k
4cos2x21cos4x232cos4xx,k
2162
pp
Û++=-Û=-Û=±+Î
¢
.
(
)
222
11
tanxcotxcot2x
3
++=*
Bài giải tham khảo
( Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x,4x,8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc đưa chúng về cùng
một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng
công thức
22
cos2x2cosx112sinx
=-=-
, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế phương
trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây
khó khăn. Nhưng để ý rằng, các cung này lần lượt gấp đôi
nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của
sin
, bằng cách nhân thêm hai vế của
(
)
*
cho
sinx
. Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm tra xem
sinx0
=
có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy:
(
)
sinx0xkhaycosx1cos2xcos4xcos8x1
=Û=p=±Û===
nên
(
)
1
1
16
*Û±=
(vô nghiệm) nên
sinx0xk
=Û=p
không là nghiệm của
(
)
*
● Nhân cả 2 vế của phương trình
(
)
*
cho
16sinx0
¹
, ta được:
(
)
16sinxcosxcos2xcos4xcos8xsinx8sin2xcos2x
cos4xcos8xsinx
sinx0sinx0
ìì
ïï
==
ïï
*ÛÛ
íí
ïï
¹¹
ïï
îî
4sin4xcos4xcos8xsinx2sin8xcos8xsinxsin16
xsinx
sinx0sinx0sinx0
ììì
ïïï
===
ïïï
ÛÛÛ
ííí
ïïï
¹¹¹
ïïï
îîî
k2
x
k2
x
15
15
l
x
l
x
1717
1717
xm
ì
é
ï
p
ï
ê
é
=
ï
p
ï
ê
ê
=
ï
ê
ê
ï
ï
pp
ÛÛ
í
ê
ê
=+
ï
pp
ê
ê
ï
=+
ë
ï
ê
ï
ë
ï
¹p
ï
ï
î
với
(
)
17p1
k15n;l;k,l,m,n,p
2
-
¹¹Î
¢
.
(
)
222
xx
sintanxcos0
242
æö
p
÷
ç
÷
--=*
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
3
4sin3xcos2x123sinx4sinx4sin3xcos2x12sin3
x
*Û=+-Û=+
(
)
(
)
(
)
2
2sin3x2cos2x112sin3x4cosx31
Û-=Û-=
o
Do
(
)
cosx0xk,k
2
p
=Û=+pÎ
¢
không là nghiệm phương trình
(
)
o
, nên nhân hai vế
(
)
o
cho
cosx0
¹
, ta được:
(
)
(
)
3
2sin3x4cosx3cosxcosx2sin3xcos3xcosx
Û-=Û=
o
(
)
l2
x
147
sin6xcosxcosxcos6xl,k
m2
2
x
105
é
pp
ê
=+
æö
p
ê
÷
ç
÷
Û=Û=-ÛÎ
ç
ê
÷
ç
÷
ç
pp
èø
ê
=+
ê
ë
¢
.
(
)
(
)
2
sin2xcotxtan2x4cosx
+=*
Bài giải tham khảo
● Khi
(
)
xk2,k
=pÎ
¢
thì
(
)
(
)
1
5
2
*Û=-Þ*
không có nghiệm
(
)
xk2,k
=pÎ
¢
.
● Khi
(
)
x
xk2,ksin0
2
¹pÎÞ¹
¢
. Nhân hai vế của
(
)
*
cho
x
2sin0
2
¹
, ta được:
(
)
xxxxxx
2sincosx2sincos2x2sincos3x2sincos4x2sinc
os5xsin
222222
*Û++++=-
3xx5x3x7x5x9x7x11x9xx
sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin
22222222222
Û-+-+-+-+-=-
.
(
)
11x11x2m
sin0mx,m11,m
2211
p
Û=Û=pÛ=¹Î
¢
.
(
)
(
)
22
cotxtanx
161cos4x
cos2x
-
=+*
Bài giải tham khảo
( Lời bình: Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan
hoặc cot, có ẩn ở mẫu hay căn bậc chẳn,… ta phải đặc điều
kiện để phương trình xác định. Đặc biệt đối với những
bài toán có chứa tan (hoặc cot), ta hãy thay thế chúng
bằng
sincos
,
cossin
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
nhằm mục đích " đơn
giản hóa " và chỉ còn lại hai giá trị lượng giác là
sin và cos mà thôi.
Ta sẽ dùng các cách sau đây để kiểm tra xem có nhận
nghiệm hay không
· Thay các giá trị x tìm được vào điều kiện xem có
thỏa không. Nếu thỏa thì ghi nhận nghiệm ấy, nếu không
thỏa thì loại.
· Hoặc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung
nghiệm trên cùng một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ
ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều
kiện.
· Hoặc so với điều kiện trong quá trình giải phương
trình.
● Điều kiện:
tanx3
cosx0
ì
ï
¹-
ï
ï
í
ï
¹
ï
ï
î
(
)
(
)
(
)
sin2x2cosxsinx102cosxsinx1sinx10
*Û+--=Û+-+=
(
)
(
)
(
)
1
xk2
cosx
3
sinx12cosx10k,l
2
sinx1
xl2
2
é
p
é
ê
=±+p
ê
=
ê
ê
Û+-=ÛÛÎ
ê
ê
p
ê
=-
=-+p
ê
ê
ë
ë
¢
.
● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là
(
)
xk2,k
3
p
=+pÎ
¢
.
(
)
1
2tanxcot2x2sin2x
sin2x
+=+*
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
sinx0
¹
(
)
22
sinx(1sin2xcos2x)22sinxcosx1sin2xcos2x22
cosx
*Û++=Û++=
(
)
2
2cosx2cosxsinx22cosx02cosxcosxsinx20
Û+-=Û+-=
(
)
cosx0
xk
cosx0
2
k,l
cosx1
cosxsinx2
xl2
4
4
é
é
p
=
ê
é
=+p
ê
=
ê
ê
ê
æö
ÛÛÛÎ
p
ê
ê
÷
ç
ê
p
÷
-=
+=
ç
ê
ê
÷
ê
ç
=+p
÷
ë
ç
ê
èø
ê
ë
ë
¢
.
● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là
(
)
xkxl2,k,l
24
pp
=+pÚ=+pÎ
¢
.
(
)
(
)
(
)
3sinxtanx
21cosx0
tanxsinx
+
-+=*
-
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
(
)
sinx0
2sinxcosx0sin2x02xkxk,k
cosx0
2
ì
ï
¹
p
ï
Û¹Û¹Û¹pÛ¹Î
í
ï
¹
ï
î
¢
.
(
)
(
)
(
)
22
sinxcosxsinxcosx
2sin2xcos2x2sin2xcos2x
cosxsinxsinxcosx
+
*Û+=+Û=+
(
)
(
)
11
2sin2xcos2xsin2xcos2x
sinxcosxsin2x
Û=+Û=+
(
)
2
sin2xsin2xcos2x1sin2xsin2xcos2x10
Û+=Û+-=
(
)
2
sin2xcos2xcos2x0cos2xsin2xcos2x0
Û-=Û-=
(
)
cos2x0
xk
4
2cos2xsin2x0k,l
sin2x0
4
xl
4
82
é
é
p
=
ê
=+p
ê
æö
p
ê
÷
ç
ê
æö
÷
Û-=ÛÛÎ
ç
p
ê
÷
÷
ç
ê
ç
÷
ç
pp
÷
-=
ç
èø
ê
÷
ê
ç
=+
÷
ç
ê
èø
ê
ë
ë
¢
.
● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ
nghiệm:
(
)
xkxl,k,l
482
ppp
=+pÚ=+Î
¢
.
sinx0
¹
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
(
)
3
cosx0
k
cos3x0x,k
cos3x4cosx3cosx0
63
ì
ï
¹
pp
ï
ï
Û¹Û¹+Î
í
ï
=-¹
ï
ï
î
¢
.
(
)
(
)
sinxsinxsin3x
tanxtanxtan3x22
cosxcosxcos3x
æö
÷
ç
÷
*Û+=Û+=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
2
sinxsinxcos3xcosxsin3x2cosxcos3x
Û+=
(
)
2
sinxsin2x2cosxcos3x
Û-=
22
2sinxcosx2cosxcos3x
Û-=
(
)
2
sinxcosxcos3xdocosx0
Û-=¹
(
)
(
)
11
1cos2xcos4xcos2x
22
Û--=+
(
)
l
cos4x1x,l
42
pp
Û=-Û=+Î
¢
● So nghiệm với điều kiện:
· Cách 1: Khi
l
x
42
pp
=+
thì
3l32
cos3xcos0
422
æö
pp
÷
ç
÷
=+=±¹
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(nhận).
· Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn
cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
22
1cosx1cosx
1
tanxsinx1sinxtanx
2
41sinx
-++
-=++*
-
(
)
cos3xtan5xsin7x
=*
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
42
pp
=+
là nghiệm của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
· Cách 3: Nếu
3l3
3xk
422
ppp
=+=+p
thì
36l24k2k3l0,5
+=+Û-=
(vô lí vì
k,l
Î
¢
).
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
(
)
l
x,l
42
pp
=+Î
¢
.
(
)
11
sin2xsinx2cotx
2sinxsin2x
+--=*
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
cosx0
sinx0sin2x0
sin2x0
ì
ï
¹
ï
ï
ï
¹Û¹
í
ï
ï
¹
ï
ï
î
.
(
)
2222222
1111111120
111
33
cosxsinxsin2xcosxsinx4sinxcosx
æöæöæö
÷÷÷
ççç
÷÷÷
*Û-+-+-=Û++=
ççç
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
(
)
22
2
222
4sinx4cosx120520313
sin2x1cos4x
33424
4sinxcosxsin2x
++
Û=Û=Û=Û-=
(
)
12k
cos4xcosx,k
2362
æö
ppp
÷
ç
÷
Û=-=Û=±+Î
ç
÷
ç
÷
ç
èø
¢
.
● Thay vào nghiệm vào điều kiện, thỏa. Vậy họ nghiệm
của phương trình là
(
)
k
x,k
62
pp
=±+Î
¢
.
(
)
(
)
44
sinxcosx1
tanxcot2x
sin2x2
+
=+*
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
cosx0sinx1
¹Û¹±
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
22
1sinx1cosx
1sinx1
1cosx1cosx01cosx0
222
cosx1sinx
éù
--
æö
p
÷
ç
êú
÷
*Û---+=Û-+=
ç
÷
êú
ç
÷
ç
-
èø
êú
ëû
(
)
(
)
2
1cosx1cosx
1cosx01cosx10
1sinx1sinx
æö
--
÷
ç
÷
Û-+=Û+-=
ç
÷
ç
÷
ç
++
èø
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xk2
cosx1N
1cosxcosxsinx0k;l
tanx1N
xl2
4
é
=p+p
é
=-
ê
ê
ê
Û+--=ÛÛÎ
p
ê
ê
=-
=-+p
ê
ê
ë
ë
¢
.
(
)
2222
tanx.cot2x.cot3xtanxcot2xcot3x
=-+*
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
2
cosx1
sinx0
sinx0
2
cos2x0
2cosx10
cosx
2
ì
ï
¹±
ì
ì
ï
ï
ï
¹
¹
ï
ï
ï
ïï
ÛÛ
ííí
ïïï
¹
-¹
¹±
ïïï
î
ï
î
ï
ï
î
Ta có:
cosxsin2xcos2xcosxsin2xsinxcosx
cotxtan2x
sinxcos2xsinxcos2xsinxcos2x
+
+=+==
.
Lúc đó:
(
)
2
222
sin2xcosx2cosx2
4cosx4cosx0cosx40
sinxcos2xcos2xcos2x
æö
÷
ç
÷
*Û=Û-=Û-=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(
)
(
)
(
)
cosx0
cosx0N
xk
2
k;l
1
1
2
cos2xN
xl
cos2x
2
6
é
p
é
é
=
ê
=
=+p
ê
ê
ê
ê
ê
ÛÛÛÎ
ê
ê
ê
p
=
ê
=
ê
=±+p
ê
ê
ë
ë
ë
¢
.
(
)
x
cotxsinx1tanxtan4
2
æö
÷
ç
÷
++=*
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sin2x0
sin4x0
cos2x0
ì
ï
¹
ï
Û¹
í
ï
¹
ï
î
.
Ta có:
2244
22
22222
cosxsinxcosxsinx4cos2x
cotxtanx
sinxcosxsinxcosxsin2x
-
-=-==
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
4
161cos4x141cos4xsin2x121cos4x1cos4x
sin2x
*Û=+Û=+Û=+-
(
)
222
1
121cos4x12sin4xsin4x
2
Û=-Û=Û=
(Nhận do
sin4x0
¹
)
(
)
(
)
11k
1cos8xcos8x0x,k
22168
pp
Û-=Û=Û=+Î
¢
.
(
)
2
cos4x12sinx10
+-=*
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sin2x0sin2x0
cosx0cos2x1
ìì
ïï
¹¹
ïï
Û
íí
ïï
¹¹±
ïï
îî
(
)
22
2sinxcos2x1
2sin2x4sinxcos2x2sin2x1
cosxsin2xsin2x
*Û+=+Û+=+
(
)
(
)
222222
4sinx12sinx8cosxsinx12sinx14cosx0
Û+-=+Û-=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
sinx0L
2sinx121cos2x0xk,k
1
3
cos2xN
2
é
=
ê
p
éù
ê
Û-+=ÛÛ=±+pÎ
êú
ëû
ê
=-
ê
ë
¢
.
(
)
44
cosxsinxcos4x0
-+=*
Bài giải tham khảo
ĐK:
(
)
sinx0
sinx1cosx
sinx
tanxsinx0sinx00cosx0sin2x0
cosxcosx
cosx1
ì
ï
¹
ï
-
ï
ï
-¹Û-¹Û¹Û¹Û¹
í
ï
ï
¹
ï
ï
î
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3sinxtanx3cosx1
cotx
.21cosx021cosx0
tanxsinxcotx
1cosx
++
*Û-+=Û-+=
-
-
(
)
(
)
cos3xsin3x
5sinx3cos2x,x0;2
12sin2x
æö
+
÷
ç
÷
+=+*"Îp
ç
÷
ç
÷
ç
+
èø
(
)
cosx1
1cosx0
3
1cosx20
1
12cosx0
1cosx
cosx
2
é
=-
é
æö
+=
ê
÷
ê
ç
ê
÷
Û+-=ÛÛ
ç
÷
ê
ç
֐
ç
+=
-
èø
=-
ê
ë
ê
ë
(
)
2
xk2,k
3
p
Û=±+pÎ
¢
.
(
)
sin3xsin5x
35
=*
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sinx1cosx0
¹Ù¹
.
(
)
(
)
(
)
(
)
2
32
22
21cosx
sinx1sinx
1sinx
2
1sinx1sinx
41sinx
+
*Û-=++
--
-
(
)
(
)
(
)
(
)
2322
1cosx1sinx2sinx1sinx1sinx2sinx
Û++-=+-+
(
)
(
)
(
)
(
)
222
1cosx1sinx1sinxcosx2sinx1sinx
Û++=+++
(
)
222
1sinx0
sinx1L
cos2x0
1cosxcosx2sinx
112cos2x
é
é
+=
=-
ê
ê
ÛÛÛ=
ê
ê
+=+
=-
ê
ê
ë
ë
k
2xkx
242
ppp
Û=+pÛ=+
(nhận do
cosx0
¹
)
(
)
sin5x
1
5sinx
=*
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
cos5x0
¹
.
(
)
sin5x
cos3xsin7xsin5xcos3xsin7xcos5x
cos5x
*Û=Û=
(
)
(
)
11
sin8xsin2xsin12xsin2xsin8xsin12x
22
Û+=+Û=
(
)
k
x
12x8xk2
2
k;l
12x8xl2l
x
2010
é
p
ê
=
é
=+p
ê
ê
ÛÛÎ
ê
ê
=p-+ppp
ê
ê
ë
=+
ê
ë
¢
.
● So với điều kiện:
Với
k
x
2
p
=
thì
5kk
cos5xcoscos
22
pp
==
loại nếu k lẻ.
Với
l
x
2010
pp
=+
thì
l
cos5xcos0
42
æö
pp
÷
ç
÷
=+¹
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(nhận).
(
)
22
cos3xcos2xcosx01
-=
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sinx0cosx0
¹Ù¹
.
(
)
2
sin2xsin2xsinxcosx12cos2x
*Û+--=
2222
4cosxsinx2cosxsinxcosx14cosx0
Û+-+-=
(
)
(
)
2222
4cosx1cosx2cosx1cosxcosx14cosx0
Û-+--+-=
(
)
(
)
2332
4cosx2cosxcosx10cosx14cosx2cosx2cosx10
Û++-=Û+-+-=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
cosx1xk2
cosx12cosx12cosx10k,l
1
cosxxl2
23
éé
=-=p+p
êê
êê
Û+-+=ÛÛÎ
p
êê
==±+p
êê
ëë
¢
.
(
)
44
3
cosxsinxcosxsin3x0
442
æöæö
pp
÷÷
çç
÷÷
++---=*
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
sin2x0
¹
.
Ta có:
(
)
(
)
2
4422222
1
sinxcosxsinxcosx2sinxcosx1sin2x
2
cos2xx
sinxcos2xsin2xsinxcosxcos2x1
tanxcot2x
cosxsin2xcosxsin2xcosxsin2xsin2x
ì
ï
ï
+=+-=-
ï
ï
ï
í
-
ï
+
ï
+=+===
ï
ï
ï
î
(
)
2
22
1
1sin2x
111
2
1sin2xsin2x1
sin2x2sin2x22
-
*Û=Û-=Û=
(Nhận do
sin2x0
¹
)
(
)
2
cos2x02xkxk,k
242
ppp
Û=Û=+pÛ=+Î
¢
.
(
)
57
sin2x3cosx12sinx;x;2
222
æöæöæö
ppp
÷÷÷
ççç
÷÷÷
+--=+"Îp*
ççç
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
cosx0
sin2x0
sin2x0
sin3x0
sin3x0
ì
ï
¹
ï
ì
ï
ï
¹
ï
ï
¹Û
íí
ïï
¹
ïï
î
¹
ï
ï
î
(
)
(
)
2222
cot3xtanxcot2x1tanxcot2x
*Û-=-
1cos2x1cos4x1cos2x1cos4x
cot3x.1
1cos2x1cos4x1cos2x1cos4x
æö
-+-+
÷
ç
÷
Û-=-
ç
÷
ç
÷
ç
+-+-
èø
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
cot3x1cos2x1cos4x1cos2x1cos4x
1cos2x1cos4x1cos2x1cos4x
éù
Û-+-+-
êú
ëû
=---++
(
)
(
)
cot3x2cos4x2cos2x2cos4xcos2x
Û-=-+
(
)
cos3x
4sin3xsinx4cos3xcosx
sin3x
Û-=-
(
)
k
x
cos3x0
63
cos3xsinxcos3xcosxk,l
tanx1
xl
4
é
pp
ê
=+
é
=
ê
ê
Û=ÛÛÎ
ê
ê
=p
ê
ê
ë
=+p
ê
ë
¢
.
Cách khác:
(
)
(
)
2222
cot3xtanxcot2x1tanxcot2x
*Û-=-
(
)
(
)
(
)
(
)
2222
2222
1tan2xtanx1tan2xtanx
tanxcot2xtan2xtanx1
cot3x
tanxcot2x1tanxtan2x
tan2xtanxtan2xtanx
+-
--
Û===
--
-+
cos3x0
cot3xcotxcot3x
sinxcosx
é
=
ê
Û=Û
ê
=
ê
ë
(Giải tương tự như trên)
(
)
(
)
2
5sinx231sinxtanx
-=-*
Bài giải tham khảo
Điều kiện:
(
)
sinx0
sin2x0
xk
cos0x,k
x
22
cos0
2
cosx0
ì
ï
¹
ï
ì
ï
ï
¹
ï
ï
p
ï
ï
ïï
¹ÛÛ¹Î
íí
ïï
¹
ïï
ïï
ï
î
¹
ï
ï
ï
î
¢
.
(
)
xxx
sincosxcossinxsin
cosxsinxcosx
222
sinx1.4sinx4
sinxcosxxsinxx
coscosxcos
22
æöæö
÷÷
çç
÷÷
+
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
*Û++=Û+=
çç
÷÷
çç
÷÷
÷÷
çç
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
x
cosx
2
cosxcosxsinx
sinx.4414sinxcosx
sinxxsinxcosx
cosxcos
2
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
Û+=Û+=Û=
(
)
2xk2xk
1
612
sin2xk,l
55
2
2xl2xl
612
éé
pp
êê
=+p=+p
êê
Û=ÛÛÎ
êê
pp
êê
=+p=+p
êê
ëë
¢
.
So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là
(
)
5
xkxl;k,l
1212
pp
=+pÚ=+pÎ
¢
.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Câu 1. Giải phương trình:
2sinxcosx2cosx33sinx
-+=
.
Câu 2. Giải phương trình:
2tanxcosx12cosxtanx
+=+
.
Câu 3. Giải phương trình:
33
2
sinxcosxcosxsinx
8
-=
.
Câu 4. Giải phương trình:
222
cosxcos2xcos3x1
++=
.
Câu 5. Giải phương trình:
22
17
sin2xcos8xsin10x
2
æö
p
÷
ç
÷
-=+
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 6. Giải phương trình:
46
cosxsinxcos2x
+=
.
Câu 7. Giải phương trình:
1cos4xsin4x
0
2sin2x1cos4x
-
-=
+
.
Câu 8. Giải phương trình:
2
21
sinxcosxcosx
2
+
+=
.
Câu 9. Giải phương trình:
(
)
2
x
23cosx2sin
24
1
2cosx1
æö
p
÷
ç
÷
---
ç
÷
ç
÷
ç
èø
=
-
.
Câu 10. Giải phương trình:
sin4x3sin2xtanx
+=
.
Câu 11. Giải phương trình:
23
cos10x2cos4x6cos3xcosxcosx8cosxcos3x
++=+
.
Câu 12. Giải phương trình:
(
)
222
2cosx2cos2x2cos3x3cos4x2sin2x1
++-=+
.
Câu 13. Giải phương trình:
5x7
sin2x3cosx12sinx,;3
223
æöæöæö
pp
÷÷÷
ççç
÷÷÷
+--=+"Îp
ççç
÷÷÷
ççç
÷÷÷
ççç
èøèøèø
.
Câu 14. Giải phương trình:
(
)
22
sin4xcos6xsin10,510x,0;
2
æö
p
÷
ç
÷
-=p+"Î
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Câu 15. Giải phương trình:
tan2xtan3xtan5xtan2x
![[Vnmath.com] chuyên ðề lượng giác qua các kỳ thi](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/55d24ec2bb61ebb3238b478a/vnmathcom-chuyen-de-luong-giac-qua-cac-ky-thi.jpg)
