Элементы дифференциального

исчисления

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производные2. Таблица производных3. Дифференциал4. Производные и дифференциалы

высших порядков5. Некоторые теоремы о

дифференцируемых функциях6.Применение производных к

исследованию функций7. Общая схема исследования функции и

построение графика

Производная. Задача о касательной

Определение. Если существует предельное положение секущей при стремлении вдоль по кривой, то оно

называется касательной к графику функции в точке .

x0

y

0

к

xx 0

x

0М

М

y

)( 0xf)( 0 xxf

MM0 0MM 0M

Производная. Задача о касательной

Обозначим угол наклона касательной к графику функции в точке

Очевидно, при а

стремится к

.

Тогда угловой коэффициент касательной равен .

. 0 M

,0xx

ytg

tg

x

ytgtg

xx

limlim00

tgk x

yk

x

lim0

Производная. Определение

Пусть функция у = определена в интервале и пусть точка

Рассмотрим далее точку

В обеих точках вычислим значения функции и разность .

Эту разность будем называть приращением функции в фиксированной точке .

xf ba, .,0 bax

.,0 baxx

)()( 00 xfxxfy

0x

Производная. Определение

Если существует конечный (или бесконечный)

= ,

то он называется конечной (или бесконечной) производной функции в точке и обозначается

символами или , т.е.

x

xfxxf

x

00

0lim x

y

x

lim

0

xf0x

'у 0' xf

.lim0

'

x

yy

x

Примеры

Ясно, что угловой коэффициент касательной равен производной в точке касания. Приведем примеры.

y

0)(' 0 xf

0x

y

в точке

0

'y0x

Уравнение касательной

Касательную как прямую, проходящую через точку касания , задают уравнением . Например, уравнение касательной к кривой в точке (1;2) имеет вид у-2=2(х-1) или 2х-у=0.

);( 000 yxM)( 000 xxyyy

2xy

Теоремы о производныхТеорема 1. Если существуют

производные xu ' и

xv' функций )(xu и xv , то существуют

;'''' vuvuxvxu

''' uvvuvu ;

.0''

2

vv

uvvu

v

u

Следствие. ,'''' cycyyccy так как 0'c ,

т.е. постоянный множитель выносится за знак производной.

Теоремы о производных

Теоремы о производных

Теорема 2. Если функция в точке 0x имеет производную, то она

в этой точке непрерывна. Обратное неверно. Возможен

случай, когда непрерывная функция не имеет производной в точке непрерывности.

Теоремы о производных

Например:

xy

0x

y

x

y' не существует в точке

Примеры

Выведем формулы некоторых производных, применяя определение производной:

1) 2xy имеет производную

x

xxxy

x

22

0lim'

x

xxx

x

xxxxx

xx

2

0

222

0

2lim

2lim

xxx

x22lim

0

;

Примеры

2)

x

ee

x

eee

xx

x

xxx

x

x 1limlim'

00

xxx

x

x eex

ee

1

1lim

0.

Таким же образом можно получить

производные xxxx sin'cos,cos'sin , а

по правилу вычисления производных сложных функций можно вычислить и другие производные.

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х=f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a,b) и имеет в точке у этого интервала не равную нулю производную . Тогда в соответствующей точке х обратная функция имеет производную

или .

)(yf

)(1 xfy

)(

1])([ 1

yfxf

yx xy

1

Примеры

Для функции y=arcsinx обратной является функция x=siny , которая в интервале (-π/2;π/2) монотонна и дифференцируема. Ее производная в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому

.1

1

sin1

1

cos

1122 xyyx

yy

x

Примеры

Итак,

Аналогично можно получить

.1

1)(arcsin

2xx

.1

1)(

,1

1)(

,1

1)(arccos

2

2

2

xarcctgx

xarctgx

xx

Теорема о производной сложной функции

Пусть функция xuu имеет

производную в точке 0x , а функция

ufy имеет производную в точке

00 xuu . Тогда сложная функция

xufy имеет производную в точке 0x ,

причем 00 ''' xuufy .

Или: xu ufy ''' в произвольной точке

x .

Производная степенной функции

Справедливо тождество

Тогда

.ln xnn ex

.)( ,

)ln()(

11ln

lnln

nnnnxn

xnxn

nxxnxxx

nex

n

xneey

Производные гиперболических функций

Гиперболическими называют функции

. ;

;2

;2

shx

chxcthx

chx

shxthx

eechx

eeshx

xxxx

Производные гиперболических функций

Поэтому

.)(2

1)(

2

1)( chxeeeeshx xxxx

;)( shxchx

.

1)(

;1

)()(

2

22

22

xshcthx

xchxch

xshxch

chx

shxthx

Таблица производных

,'sin

1'.12,''.6

,'cos

1'.11,' ln'.5

,'sin'cos.10,'1

'1

.4

,'cos'sin.9,'2

1'.3

,'1

'ln.8,')'(.2

,'ln

1'log.7,0'.1

2

2

2

1

uu

ctguuee

uu

tguuaaa

uuuuuu

uuuuu

u

uu

uunuu

uau

uc

uu

uu

nn

a

Таблица производных

13. 14. uu

u

.1

1)(arcsin

2

.1

1)(

,1

1)(

,1

1)(arccos

2

2

2

uu

arcctgu

uu

arctgu

uu

u

.)( uchushu

;)( ushuchu

uush

cthu

uuch

thu

.

1)(

;1

)(

2

2

Дифференцируемая функция

Определение. Если функция xf в

точке x имеет (конечную) производную, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то она называется дифференцируемой на этом промежутке.

Дифференциал функции

Рассмотрим пример. Найдем

приращение функции 2xy в точке 0x .

Известно, что 00 xfxxfy .

В нашем примере

2002

00 , xxxxfxxf , а

приращение. 2

02

02

02

02

0 2 xxxxxxxxy

Итак, 202 xxxy , где, как известно, 02x

является производной функции 2x в точке

0x .

Определение дифференциала

Пусть приращение функции в точке может быть представлено в виде

, где -приращение аргумента, А-величина, не зависящая от , -бесконечно малая более высокого порядка ,

чем при

)( xoxAy x

x )( xo

x .0x

Определение дифференциала

Тогда главная линейная относительно часть приращения функции

называется дифференциалом функции в точке и обозначается .

Итак, по определению . Теорема. Для того чтобы в точке х

функция имела дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную.

x

dy

xAdy

Дифференциал функции

Приращение аргумента x в этом случае принято обозначать dx и тогда

dxxfdy 0' , где xdx . В

произвольной точке x dxxfdy ' .

Замечание. Из последней формулы получается еще одно обозначение

производной dx

dyxf ' .

Дифференциал функции

Пример.

;cossin xdxxd

dxaxdxdxxd

dxx

xddxx

tgxd

;2

;1

ln;cos

1

2

2

Дифференциал функции

Как и для производной, для дифференциала функции имеют место формулы:

1. ;dvduvud

2. udvvduuvd ;

3. 02

vv

udvvdu

v

ud ;

4. cducud )( .

Инвариантность дифференциала

По правилу дифференцирования сложной функции

Здесь форма дифференциала остается неизменной, но под дифференциалом аргумента понимается не приращение этого аргумента, а его дифференциал.

.)( duydxuydxuydy xuxu

Производные высших порядков

Введем теперь понятие производной второго порядка функции xf .

Производную от первой производной функции xf , т.е. ''y будем называть

производной второго порядка (тогда 'y -

производная первого порядка) и будем ее обозначать ''y или xf '' . Далее

xfyy '''''''' - это производная

третьего порядка, … а nn yy '1 - это

производная n-го порядка.

Дифференциалы высшего порядка

Дифференциал от дифференциала данной функции называется ее дифференциалом второго порядка и обозначается . По определению

Итак, и т.д.

)(22 xfdyd

.)())(())(()( 22 dxxfdxdxxfdxxfddydyd

33

22

)(

,)(

dxxfyd

dxxfyd

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями

И пусть эти функции дифференцируемы. Тогда Если существует вторая производная, то

).,(),(),( ttyytxx

t

t

t

t

x

y

dtx

dty

dx

dy

t

txxx x

yy

)(

Пример

Найти производную функции

Имеем ).cos1(

),sin(

tay

ttax

.2

2sin2

2cos

2sin2

)cos1(

sin

2

tctg

t

tt

ta

tay x

.

2sin4

1

)cos1(2

sin2

1

42 tat

ta

y xx

Производные неявных функций

Пусть значения х и у связаны уравнением F(x,y)=0. Если функция у=f(х), определенная на некотором промежутке, при подстановке ее вместо у в уравнение F(x,y)=0 обращает это уравнение в тождество, то говорят, что это уравнение задает функцию у=f(х) неявно.

Пример

Продифференцируем функцию

.

Имеем . Отсюда

yxy lny

yy

11

.1

,1)1

1(

y

yy

yy

Продолжение

Найдем вторую производную.

Так как то ,1

y

yy

.)1()1(

)1(

)1(

)1(

)1(

32

22

y

y

y

y

y

yyy

y

yyyyy

Логарифмическое дифференцирование

Найти производную функции

Прологарифмируем обе части:

Теперь берем производную

Окончательно

.)(cos xxy

.cosln xxy

).sin(cos,sincos xxxyyxxxy

y

).sin(cos)(cos xxxxy x