Элементы общей алгебры

Алгебра, гомомофризм, изоморфизм, полугруппа, группа

Алгебраическая операция

На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Пример: 3+2=5 (3,2)→5

n-арная операция

n-арной операцией на множестве М будем называть функцию типа

φ: Mn→M. Число n называется арностью операции. Операция α, отображающая любой элемент

множества M в себя, называется тождественной операцией.

Тождественной операцией на множестве R, например, является умножение на единицу.

Коммутативность

Функциональный вид φ(a,b)Запись арифметических операций

aφbОперация φ называется

коммутативной, если для любых элементов a,b выполняется:

aφb = bφa.

Ассоциативность

Операция φ называется ассоциативной, если для любых элементов a,b,c выполняется:

(aφb)φc=aφ(bφc).Выполнение условия ассоциативности

означает, что скобки в выражении (aφb)φc можно не расставлять.

Дистрибутивность

Операция φ называется дистрибутивной слева относительно операции ψ, если для любых a,b,c выполняется:

aφ(bψc)=(aφb)ψ(aφc),и дистрибутивной справа

относительно операции ψ, если для любых a,b,c выполняется:

(aψb)φc=(aφc)ψ(bφc).

Наличие свойства дистрибутивности позволяет раскрывать скобки. Например, умножение дистрибутивно относительно сложения (и вычитания) и справа, и слева:

(b+c)a=a(b+x)=a(b+c)=ab+ac. Возведение в степень дистрибутивно

относительно умножения справа (ab)c=acbc, но не слева: abc≠abac. Сложение (и вычитание) чисел недистрибутивно относительно умножения: a+bc≠(a+b)(a+c).

Алгебра

Пусть дано некоторое множество M, на котором задана совокупность операций Ω={φ1, φ2,…, φm}. Структура вида A=(M; Ω) называется алгеброй; множество M называется несущим множеством, совокупность операций Ω - сигнатурой, вектор “арностей” операций (n1, n2,…, nm) называется типом.

Пример. A={R, +, *}

Подстановка

Рассмотрим множество чисел (1, 2, …, n). Подстановкой назовем всякую биекцию (взаимно однозначно равную) его на себя.

1 2 33 2 1

Композиция подстановок

Пусть несущее множество – это множество подстановок длины n. Введем операцию, которую назовем композицией подстановок.

1 2 3 1 2 3 1 2 32 3 1 3 2 1 2 1 3

Единичная подстановка

Единичная подстановка

Рассмотрим уравнение α*x=e, x=α-1

1 2 31 2 3

e

1 2 32 3 1

a

2 3 11 2 3

x

Гомоморфизм

Пусть даны две алгебры A=(M1; φ1, φ2,…, φn) и B=(M2; ψ1, ψ2,…, ψn).

Гомоморфизмом алгебры A в алгебру B называется функция

f : M1→M2, такая, что для всех a∈M1 выполняется

условие: f(φi(a))= ψi(f(a)) для любого i=1,…, n. (*)

Гомоморфизм

Г: ln x=y ln (ab)=ln a+ln b (R+; φ), (R; φ+)

Виды гомоморфизма

Гомоморфизм, который является инъекцией, называется мономорфизмом.

Гомоморфизм, который является сюръекцией, называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм, который является биекцией, называется изоморфизмом.

Примеры

Пусть N - множество натуральных чисел, N2 – множество натуральных чётных чисел.

Алгебры (N; +) и (N2; +) изоморфны; изоморфизмом является отображение f : n→2n, причём условие здесь имеет вид

2(a + b)=2a + 2b. Поскольку N2 ⊆ N, то данный изоморфизм

есть изоморфизм алгебры (N; +) в себя.

Примеры

Рассмотрим алгебры: A=(N,+,*), B(N7, , ). ⊕ ⊗ N7множество классов остатков (вычетов) по

модулю 7, N7={K0, K1, …, K6}. Покажем, что эти алгебры гомоморфные:

Г(13)=К6, Г(28)=К0, Г(13+28)=Г(41)=К6, Г(13+28)=Г(13)+Г(28)=К6+К0=К6, Г(13*28)=Г(264)=К0=Г(13)*Г(28)=К6*К0=К0

Примеры

Изоморфизмом между алгебрами (R+;*) и (R;+) является, например, отображение a→lg a. lg ab=lg a+lg b.

Булевы алгебры, образованные двумя различными множествами одинаковой мощности, изоморфны: операции у них просто одинаковы, а отображением f может служить любое взаимно-однозначное соответствие.

Изоморфизм

Эквивалентность = рефлексивность ++ симметричность + +транзитивность

A~A – рефлексивность, A~D→B~A – симметричность,(A~B) (∧ B~C)→(A~C) – транзитивность.

Полугруппа

Полугруппой называется алгебра вида (M; φ) с одной ассоциативной бинарной операцией φ.

(a φ b) φ c=a φ (b φ c)=abc

Полугруппа

Как правило, в качестве такой операции φ используется умножение.

Поэтому результат её применения к двум различным элементам записывают в виде a∙b или ab, а результат неоднократного применения к одному элементу записывают в виде a2, a3 и так далее. Такая запись называется мультипликативной.

Полугруппу часто обозначают записью P=( M; ∙).

Абелева полугруппа

В общем случае, ab≠ba (как, например, произведение матриц), то есть данная операция некоммутативна.

Если же умножение коммутативно, то полугруппа называется коммутативной или абелевой полугруппой.

Моноид

Если множество-носитель полугруппы содержит такой элемент e, что для любого a выполняется ∀a ae=ea=a, то этот элемент называется единицей (нейтральным элементом), а такая полугруппа называется моноидом.

Нейтральный элемент

Легко показать, что если полугруппа содержит единицу, то она единственна. Действительно, допустим, существуют две единицы e1 и e2. Тогда e1e2=e1 и e1e2=e2, следовательно e1=e2.

Примеры

а) Алгебра (N2;*), где N2 – множество чётных чисел является абелевой полугруппой. Однако, очевидно, она не имеет единицы.

б) Алгебра (M;*), где M – множество квадратных матриц одинаковой размерности образует некоммутативную полугруппу. Причём эта полугруппа является моноидом, а роль единицы в ней выполняет единичная матрица E.

в) Алгебра (N;*) является коммутативной полугруппой с единицей.

Порождающее множество

Если любой элемент полугруппы P=( M; ∙) можно представить в виде произведения конечного числа элементов множества M0⊆M, то множество M0 называется порождающим множеством или системой образующих полугруппы, а его элементы называются образующими.

Например, в полугруппе (N;*) порождающим множеством служит бесконечное множество простых чисел.

Циклическая полугруппа

Полугруппа, которая имеет только одну образующую, называется циклической.

Можно показать, что в циклической полугруппе все элементы являются степенями (в смысле имеющейся операции) этой образующей. Например, циклической полугруппой является полугруппа (N;+), поскольку любое натуральное число – это сумма некоторого количества единиц.

Пусть полугруппа P=( M; ∙) имеет конечное число образующих {a1, a2,…, an}.

Слова в алфавите {a1, a2,…, an}. Причём некоторые различные слова могут

оказаться равными, как элементы (равные элементы 24=2*8=16*1 записаны различными словами).

В коммутативной полугруппе для двух любых элементов выполняется равенство ab=ba, позволяющее устанавливать равенство элементов, в том числе, записанных различными словами.

Подобные равенства называются определяющими соотношениями.

Свободная полугруппа

Полугруппа, в которой нет определяющих соотношений, и любые два различных слова обозначают различные элементы группы, называется свободной.

Доказано, что каждую полугруппу можно получить из некоторой свободной полугруппы введением некоторых определяющих соотношений.

Пример

А={a, b, c, …} A* - слова, сложенные из А, алгебра.

Введем алгебраическую операцию конкатенация, которая состоит в приписывании одному слову другого. Abba*cab=abbacab.

Данная полугруппа имеет 1 – пустое слово (моноид), т.к. приписываем его справа (слева), не меняет слово.

Группа

Группой называется полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента a существует элемент a–1, называемый обратным к элементу a и удовлетворяющий условию aa–1=e.

Группа

Множество А с определенной на нем алгебраической операцией (например, умножением) называется группой, если выполнены следующие условия:

1. для любых трех элементов a, b, c A выполняется свойство ассоциативности:

a(bc)=(ab)c Ассоциативность (всякая группа есть

подгруппа) – (g1°g2)°g3=g1°(g2°g3)

Группа

2. в множестве А существует такой элемент е, что для любого элемента а из этого множества выполняется равенство:

ae=ea=a Существование единицы ∃e∈G ∀g∈G (e°g=g°e=g -

моноид)3. для любого элемента а существует элемент а-1 из

этого же множества такой, чтоaa–1=a–1a=e

Существование обратного элемента ∀g∈G ∃g–1∈G (g°g–1=g–1°g=e)

Группы

Число элементов в множестве-носителе называется порядком группы.

Группа, в которой операция коммутативна, называется коммутативной или абелевой.

Группа, в которой все элементы являются степенями одного элемента, называется циклической.

Для абелевых групп часто применяется аддитивная форма записи: операция обозначается, как сложение, а единица обозначается, как 0.

Существуют конечные и бесконечные группы. Если группа конечная, т.е. |G|=n, то n –порядок группы.

Свойства групп

Обратный к данному элемент всегда определяется однозначно.

(a−1)-1 = a, aman = am+n, (am)n = amn. (ab)−1=b−1a−1. Законы сокращения: c∙a=c∙b⇔a=b, a∙c=b∙c⇔a=b. Обратный элемент к нейтральному есть сам

нейтральный элемент. Группа содержит единственное решение x любого

уравнения x · c = b или c · x = b; то есть в группе возможны однозначно определённые правое и левое «деление».

Пересечение двух подгрупп группы G есть подгруппа группы G.

Примеры

а) Алгебра (Z;+) является абелевой циклической группой, в которой роль единицы играет 0, а роль элемента, обратного к элементу a играет (– a).

б) Алгебра (Q\0;∙), где Q\0 – множество рациональных чисел без нуля, является абелевой группой. Обратным к элементу a является 1/a.

в) Множество невырожденных квадратных матриц порядка n с определителем, отличным от нуля с операцией умножения является некоммутативной группой.

г) Множество матриц одинакового порядка m×n с операцией сложения образует абелеву группу.

Нахождение элемента, обратного данному, в общем случае, есть унарная операция. Поэтому тип любой группы (2,1). Иногда, при записи конкретной группы указывают в скобках кроме бинарной операции ещё и эту унарную операцию, либо (чаще) нейтральный элемент группы. Например, для группы из примера а соответствующая запись имеет вид (Z;+;0), а для группы из примера б - (Q\0;∙;1).

Пусть M и N – подмножества группы, т.е. M∈G, N∈G, тогда введем множество

M-1={x∈G|∃h∈M,x=h-1}, MN={x∈G| ∃ h1∈M,∃h2∈N,x=h1*h2}

NM≠MN в силу некоммуникативности.

Рассмотрим элемент а из группы G: a0=e, аk+1=ak*a=a*ak.

Порядок элемента а группы G – минимальное натуральное число n такое, что an = e. В случае, если такого n не существует, считается, что a имеет бесконечный порядок

Подгруппа

Подгруппа ― подмножество H группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G.

Подмножество H группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда:

1. содержит единичный элемент из G,2. содержит произведение любых двух элементов

из H, 3. содержит вместе со всяким своим элементом h

обратный к нему элемент h−1. Более подробно это означает, что

h,h’∈H⇒h*h’∈H, e∈H и h∈H⇒h–1∈H.

Коммутативная операция

Если операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением.

В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g.

Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (–g).

Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.