лекции по актуарной_математике_-_kuznecova

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

Н. Л. Кузнецова, А. В. Сапожникова

АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Издательство

Тюменского государственного университета

2010

2

УДК 519.220+368

ББК 22.17

Кузнецова Н.Л., Сапожникова А.В. АКТУАРНАЯ МАТЕМАТИКА:

Учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского государственного

университета, 2010. 180с.

Содержит программу курса, конспект лекций, методический материал,

задачи по всем изучаемым темам, образец и решение типового варианта

теста, глоссарий, список источников информации.

Излагаются основные математические модели и методы, которые

используются для расчетов характеристик продолжительности жизни,

разовых и периодических премий, страховых надбавок для различных видов

страхования жизни и пенсионных схем.

Предназначено студентам специальности «Прикладная информатика в

экономике».

Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией Института

математики и компьютерных наук, кафедрой математического анализа и

теории функций, Редакционно-издательским советом ИДО ТюмГУ.

Рецензенты: Т.Г. Латфуллин, д-р физ.-мат. наук, профессор

кафедры математического анализа и теории функций

ТюмГУ

В.В. Проботюк, канд. тех. наук, доцент, зав.

кафедрой высшей математики ТюмГНГУ

Ответственный

за выпуск

А.В. Трофимова, зав. отделом учебно-методического

обеспечения ИДО ТюмГУ

© Тюменский государственный университет, 2010

© Кузнецова Н.Л., Сапожникова А.В., 2010

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………. 5

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ……………………………………… 6

Рабочая программа дисциплины…………………………………... 6

Содержание дисциплины…………………………………………... 7

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

СТУДЕНТА……………..............................................................................

9

Календарно-тематический план работы…………………………… 9

Методические рекомендации по отдельным видам самостоятельной

работы…………………………………………………………….

11

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ……………………………………... 12

ГЛАВА 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой

математики………………………………………………………………........

12

1.1. Элементы теории вероятностей……………………………….. 13

1.2. Элементы финансовой математики…………………………… 21

Резюме…………………………………………………………………….. 33

Вопросы для самопроверки……………………………………………… 33

ГЛАВА 2. Характеристики продолжительности жизни……………….. 35

2.1. Время жизни как случайная величина………………………... 36

2.2. Остаточное время жизни………………………………………. 40

2.3. Округленное время жизни……………………………………... 43

2.4. Таблицы продолжительности жизни………………………….. 46

2.5. Приближения для дробных возрастов………………………... 50

Резюме…………………………………………………………………….. 55


ГЛАВА 3. Теория страхования на основе использования таблиц

продолжительности жизни и связанных с этими таблицами

характеристик и

функций……………………………………………….....................

58

3.1. Страхование на чистое дожитие………………………………. 59

3.2. Страхование рент………………………………………………. 63

3.3. Страхование жизни…………………………………………….. 68

3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год………………….. 73

3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами…. 76

3.6. Страховые премии……………………………………………... 77

Резюме…………………………………………………………………….. 87


ГЛАВА 4. Модели краткосрочного страхования

жизни……………….........................................................................................

..

90

4.1. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни……….. 91

4.2. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном

страховании

жизни……………………………………………………………..

91

4

4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба…………. 93

4.4. Приближенный расчет вероятности разорения……………… 94

4.5. Принципы назначения страховых премий…………………… 96

4.6. Перестрахование. Сущность и разновидности договоров

перестрахования………………………………………………………….......

10

0

Резюме……………………………………………………………………... 10

6


6

ГЛАВА 5. Модели долгосрочного страхования жизни………………... 10

7

Резюме…………………………………………………………………….. 11

3


4

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………… 11

5

ПРАКТИКУМ…………………………………………………………….. 11

6

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ……………………………………………. 14

0

Тесты для самоконтроля…………………………………………………. 14

7

Ключи к тестам для самоконтроля………………………………………. 15

3

Вопросы к зачету…………………………………………………………. 15

9

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ…………………………… 16

0

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Значения функции Гаусса….………………………. 16

1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Значения функции Лапласа………………………… 16

3

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Таблица смертности………………………………… 16

5

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица значений коммутационных функций……. 16

9

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Справочный материал……………………………… 17

8

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Интерес к теории страхования жизни развивается в России вместе с

развитием страхового рынка – важной части свободной рыночной

экономики. Актуарный анализ, в частности, становится неотъемлемым

аспектом деятельности серьезных страховых компаний и банков.

Страхование как система защиты имущественных интересов граждан,

организаций и государства является необходимым элементом современного

общества. Оно обеспечивает непрерывность всех видов общественно

полезной деятельности, а также поддержание уровня жизни, доходов людей

при наступлении определенных событий – страховых случаев.

Из данного пособия студенты могут узнать, что за обычными

страховыми полисами стоит довольно сложная математическая теория, без

которой невозможно обеспечить финансовую устойчивость страховых

компаний и пенсионных фондов. Пособие предполагает знакомство читателя

с основами математического анализа, теории вероятностей и математической

статистики, а также финансовой математики. Для удобства читателя пособие

содержит краткие сводки нужных для понимания отдельных тем из теории

вероятностей и финансовой математики.

В соответствии с логикой изучения дисциплины весь теоретический

материал разбит на пять глав, по каждой главе рассмотрены примеры в

соответствующем практическом разделе. Студентам предоставляется

возможность в практикуме данного учебного пособия проверить и закрепить

полученные знания посредством решения задач и тестов.

Пособие будет полезно не только студентам, изучающим эту

дисциплину, но и всем, кого интересует оценка и управления рисками в

страховании.

6

МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Рабочая программа дисциплины

Пояснительная записка

В результате изучения курса студент должен:

• знать основные принципы страхования, базовые понятия страхования

как экономической категории, классификацию страхования, этапы

построения математической модели страхования, общую модель

страхования, общие принципы расчета премий;

• уметь вычислять страховые премии в случае страхования жизни;

анализировать страховые схемы, определять вероятность разорения

страховой компании;

• обладать навыками разработки страховых и пенсионных продуктов,

навыками решения задачи об оптимальном построении портфеля страховой

компании или пенсионного фонда, умением анализировать полученные

результаты и делать практические выводы.

Рабочая программа дисциплины

Тематический план

Тема курса

Распределение часов

всего лекции практика Самост.

работа

Введение. Основы теории

вероятностей и финансовой

математики

12 1 1 10

Характеристики продолжительности

жизни 23 2 1 20

Теория страхования на основе

использования таблиц

продолжительности жизни и

связанных с этими таблицами

характеристик и функций

34 2 2 30

Модели краткосрочного страхования 24 2 1 21

Модели долгосрочного страхования 22 1 1 20

Итого 115 8 6 101

7

Содержание дисциплины

Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и

финансовой математики

Предмет и методы актуарной математики. Основы математического

анализа, теории вероятностей и математической статистики, основы

финансовой математики.

Тема 2. Характеристики продолжительности жизни

Время жизни как случайная величина. Функция выживания. Кривая

смертей. Интенсивность смертности. Макрохарактеристики

продолжительности жизни. Аналитические законы смертности. Остаточное

время жизни. Приближения для дробных возрастов: равномерное

распределение смертей, предположение Балдуччи, постоянная интенсивность

смертности. Распределение остаточного времени жизни. Основные

величины, связанные с остаточным временем жизни. Округленное время

жизни. Распределения округленного времени жизни. Макрохарактеристики

остаточного времени жизни. Частичная остаточная продолжительности

жизни. Таблицы продолжительности жизни: общие, таблицы отбора риска,

таблицы с отбором ограниченного действия.

Тема 3. Теория страхования на основе использования таблиц



Ожидаемая текущая стоимость выплат. Прибыль от смертности.

Страхование рент. Обыкновенная пожизненная рента. Приведенная

пожизненная рента. Срочные ренты. Отложенные ренты. Страхование жизни.

Пожизненное страхование. Страхование жизни на срок. Страхование с

выплатой в момент смерти. Коммутационные функции. Ренты,

выплачиваемые несколько раз в год. Непрерывные ренты. Накопительное

страхование с фиксированными взносами. Страховые премии. Нетто-премии

для элементарных видов страхования. Нетто-премии для пенсионных планов.

Премия, нагруженная на издержки. Брутто-премия.

8

Тема 4. Модели краткосрочного страхования жизни

Краткосрочное страхование жизни. Анализ индивидуальных убытков

при краткосрочном страховании жизни. Расчет характеристик суммарного

ущерба. Приближенный расчет вероятности разорения. Принципы

назначения страховых премий.

Тема 5. Модели долгосрочного страхования жизни

Общая модель долгосрочного страхования жизни. Теорема о дисперсии

приведенной ценности. Разовые нетто премии для основных непрерывных и

дискретных видов страхования.

9

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ СТУДЕНТА

Календарно-тематический план работы

№

тем

ы

Название темы

Время,

отводимое

на изучение

дисциплины

Виды учебной

работы

Формы

контроля

1. Введение. Основы теории

вероятностей и


10 Изучение

теоретических

материалов

2

Ответы на

вопросы для

самопроверки

1

Выполнение

практических

заданий

3 проверка

решенны

х задач

самостоятельн

ое

тестирование

4 тесты

всего 10

2. Характеристики

продолжительности

жизни

20 Изучение



6

Ответы на



2



заданий

5 проверка

решенны

х задач


ое


7 тесты

всего 20

3. Теория страхования на

основе использования

таблиц

продолжительности

жизни и связанных с

этими таблицами


30 Изучение



9

Ответы на



4



заданий

10

проверка

решенны

х задач


ое 7

тесты

10


всего 30

4. Модели краткосрочного

страхования

21 Изучение



8

Ответы на



2



заданий

6 проверка

решенны

х задач


ое


5 тесты

всего 21

5. Модели долгосрочного

страхования

20 Изучение



8

Ответы на



2



заданий

6 проверка

решенны

х задач


ое


4 тесты

всего 20

11

Методические рекомендации по отдельным видам

самостоятельной работы

Указания по самостоятельному изучению

теоретической части дисциплины

Указания по самостоятельному изучению теоретической части

дисциплины размещены перед каждой темой.

Указания по выполнению практических заданий

Указания по выполнению практических заданий находятся в разделе

практикум.

Указания к промежуточной аттестации с применением

балльно-рейтинговой системы оценки знаний

Промежуточная аттестация проводится после изучения каждой темы.

Итоговая форма контроля – зачет.

Название темы

Номера заданий

Максимальная

оценка в баллах

Изучение

задач по

теме

Решение

задач для

сам.

работы

Решение

тестовых

заданий

Введение. Основы теории

вероятностей и финансовой


1.1 – 1.8 1 – 10 1 – 5 10

Характеристики

продолжительности жизни 2.1 – 2.6 1 – 10 6 – 24 30

Теория страхования на

основе использования таблиц

продолжительности жизни и

связанных с этими таблицами


3.1 – 3.9 1 – 10 25 – 34 30

Модели краткосрочного

страхования 4.1 – 4.4 1 – 3 — 15

Модели долгосрочного

страхования 5.1 – 5.2 1 – 2 35 – 50 15

Итого 100 баллов

Аттестованным считается студент, набравший более 60 баллов.

12

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ГЛАВА 1. Введение. Основы теории вероятностей и


Указания по самостоятельному изучению темы

Цели

Иметь представление:

о базовых понятиях теории вероятностей и финансовой математики.

Знать:

основные непрерывные и дискретные законы распределения;

свойства числовых характеристик случайных величин;

виды процентных ставок;

основные виды финансовых рент.

Уметь:

вычислять числовые характеристики непрерывных и дискретных

законов распределения;

находить текущую стоимость основных финансовых рент.

13

1.1. Элементы теории вероятностей

Случайные события

Элементарным исходом называют любой простейший исход опыта.

Множество всех элементарных исходов называется пространством

элементарных исходов: ,,,, 21 n .

Класс A подмножеств множества называется алгеброй, если

выполнены следующие аксиомы:

А1. A A A A,

А2. BA, A BA A, BA A.

Класс подмножеств A называется -алгеброй, если аксиома А2

выполняется для счетного числа подмножеств.

Произвольное подмножество A A называется событием.

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, называется

достоверным событием.

Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, называется

невозможным событием.

Событие ВА называют произведением событий, если происходят оба

события А и В .

Событие ВА называют суммой событий, если происходит хотя бы

одно из событий А и В .

События А и В называются несовместными, если их произведение

является невозможным событием.

События nААА ,,, 21 образуют полную группу, если их сумма есть

достоверное событие.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются

противоположными.

Тройка ( , A, P ) называется вероятностным пространством, где –

абстрактное множество, A – класс подмножеств , образующих -алгебру,

P – мера, определенная на классе A, со свойствами:

14

Р1. (аксиома неотрицательности) 0AP , A A,

Р2. (аксиома нормированности) 1P ,

Р3. (расширенная аксиома сложения) Для любых попарно

несовместных событий ,,,, 21 nААА справедливо равенство

i

i

i

i APAP .

Значение AP называют вероятностью события A .

Пусть A и B – некоторые события, причем 0)(BP . Условной

вероятностью события A при условии B (обозначается BAP ) называется

вероятность события A , найденная при условии, что событие B произошло.

Эта вероятность находится по формулеBP

BAPBAP .

Теорема умножения вероятностей: BAPAPBAP .

Одним из основных практических приложений понятия условной

вероятности являются формулы полной вероятности и Байеса.

Пусть события nHHH ,...,, 21 образуют полную группу попарно

несовместных событий, т.е. ji HH ( ji ) и n

i

iH

1

. События

nHHH ,...,, 21 назовем гипотезами. Относительно гипотез известны

априорные (доопытные) вероятности 0)(,...,0)(,0)( 21 nHPHPHP .

Предположим, событие A может произойти только с одним из событий

nHHH ,...,, 21 и нам известны условные вероятности P(A| 1H ), P(A| 2H ),…,

P(A| nH ). Тогда безусловная вероятность )(AP вычисляется по формуле

полной вероятности:

n

i

i APHPAP

1

()()( | )iH .

Если в результате опыта произошло событие A , то прежние,

априорные вероятности гипотез )(),...,(),( 21 nHPHPHP должны быть

15

заменены на новые, апостериорные (послеопытные) вероятности P( 1H | A ),

P( 2H | A ),…, P( nH | A ), которые вычисляются по формуле Байеса:

P( kH | A )n

i

ii

kk

HAPHP

HAPHP

1

)()(

)()(.

Случайные величины

Скалярную функцию , заданную на пространстве элементарных

исходов , называют случайной величиной, если для любого Rx

множество элементарных исходов x: является событием.

Для исследования вероятностных свойств случайной величины

необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что

случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое

такое правило называют законом распределения вероятностей.

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам,

является функция распределения.

Функцией распределения случайной величины называют функцию

xPxF .

Функция распределения обладает свойствами:

F1. Функция распределения любой случайной величины –

неубывающая функция.

F2. Функция распределения непрерывна слева.

F3. 0F , 1F .

4. aFbFbaP .

5. 000 0 xFxFxP .

Теорема. Функция распределения однозначно определяет

распределение случайной величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает не

более чем счетное число значений ,,,, 21 nxxx

16

Распределение дискретной случайной величины удобно задавать

соответствием между ее возможными значениями ,,,, 21 nxxx и

вероятностями ,,,, 21 nppp , с которыми эти значения принимаются.

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид

xixi

ipxF

:

.

Случайная величина называется непрерывной, если существует

функция 0xf , интегрируемая на всей числовой оси 1dxxf , такая

что функция распределения случайной величины представима в виде

сходящегося несобственного интеграла

x

dttfxF . Функция xf

называется плотностью распределения вероятностей.

Дискретная случайная величина распределена по закону Бернулли с

параметром p 10 p , если она принимает значение 0 с вероятностью

p1 и значение 1 с вероятностью p .

Дискретная случайная величина распределена по биномиальному

закону с параметрами n и p 10, pn , если она принимает значения

n,,2,1,0 с вероятностями knkk

n ppCkP 1 .

Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона с

параметром 0 , если она принимает целые неотрицательные значения

с вероятностями !k

ekP

k

.

Дискретная случайная величина распределена по геометрическому

закону с параметром p 10 p , если она принимает натуральные значения

с вероятностями ppkPk 1

1 .

17

Непрерывная случайная величина имеет равномерное на ba,

распределение, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид

.,0

,,1

,,0

bx

bxaab

ax

xf

Непрерывная случайная величина распределена по нормальному

закону с параметрами распределения a и 0,Ra , если ее плотность

распределения вероятностей имеет вид 2

2

2exp

2

1 axxf .

Нормальное распределение с параметрами 0a и 1 называется

стандартным нормальным распределением.

Непрерывная случайная величина распределена по

экспоненциальному (показательному) закону, если ее плотность

распределения вероятностей имеет вид .0,

,0,0

xe

xxf x

Основные числовые характеристики случайных величин

При решении многих задач нет необходимости находить закон

распределения случайных величин, достаточно характеризовать их

некоторыми неслучайными числами. Такие числа называют числовыми

характеристиками.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины

называют неслучайное число i

ii pxE . При этом, если множество

значений случайной величины счетное предполагается, что ряд i

ii px

сходится абсолютно. В противном случае говорят, что мат. ожидание не

существует. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины

18

называют неслучайное число dxxfxE . При этом предполагается,

что dxxfx сходится абсолютно.

Математическое ожидание является идеализированным средним

значением случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. CEC , где ConstC .

2. aEEa , baEE ba .

3. 2121

EEE , если 1

E и 2

E существуют.

4. Если случайные величины 1 и 2 независимы, то 2121

EEE .

Для характеристики разброса возможных значений случайной

величины относительно своего среднего значения служит дисперсия.

Дисперсией случайной величины называют математическое

ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения

2EED .

Свойства дисперсии:

1. 0CD , где ConstC .

2. DaDa2 , DaD ba

2 .

3. 22 EED .

Если случайные величины 1 и 2 независимы, то 2121

DDD .

Средним квадратическим отклонением случайной величины

называется число , определяемое равенством D . Величина

неотрицательна и имеет ту же размерность, что и случайная величина .

Числовые характеристики важнейших распределений представлены в

приложении 5.

19

Предельные теоремы теории вероятностей

Пусть n – последовательность независимых одинаково

распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием

и дисперсией 2, nn DaE . Обозначим через xFn функцию

распределения нормированной суммы n

ann

k

k

1 , т.е.

xn

an

PxF

n

k

k

n1 .

Обозначим через x функцию распределения стандартного

нормального закона, т.е.

x u

duex 2

2

2

1.

Теорема (Центральная предельная теорема). Пусть n –

последовательность независимых одинаково распределенных случайных

величин с конечным математическим ожиданием и дисперсией

2, nn DaE . Тогда

xxn

an

Pn

n

k

k

1 .

Нормальный закон имеет важное значение на практике, поскольку, как

правило, всегда встречается в ситуациях, когда случайная величина

определяется большим количеством независимых случайных факторов, ни

один из которых при этом не оказывает решающего влияния.

20

Функция

x u

duex0

2

2

02

1 называется функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

1. xx 00 .

2. 2

10 .

3. 2

10 xx .

4. Для 10201221 :, xxxxxx .

Следствием из центральной предельной теоремы являются

интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа.

Рассмотрим схему Бернулли, состоящую из n независимых испытаний

с вероятностью «успеха» p . Обозначим через

n

k

knS1

– число успехов в

схеме Бернулли, при этом случайные величины k независимы и одинаково

распределены по закону Бернулли с параметром p , их числовые

характеристики pqDpE kk , . Тогда согласно центральной

предельной теореме нормированная сумма npq

npSn сходится по

распределению к стандартному нормальному распределению при n .

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). При достаточно

большом n вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет не

менее 1k и не более 2k , приближенно равна

102021 xxkSkP n ,

где npq

npkx 1

1 , npq

npkx 2

2 .

21

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа). При достаточно

большом n вероятность того, что число успехов в схеме Бернулли будет k ,

приближенно равна

xnpq

kSP n

1,

где npq

npkx , 2

2

2

1x

ex – плотность распределения стандартного

нормального закона.

Пусть вероятность успеха p является функцией от n , т.е. nppn .

Теорема Пуассона. Пусть 0nnp , так что 0

nnnp ,

тогда при достаточно большом n вероятность того, что число успехов в

схеме Бернулли будет k , приближенно равна

!k

ekSP

k

n .

1.2. Элементы финансовой математики

Эффективная процентная ставка

Рассмотрим следующую простейшую ситуацию.

Предположим, что в момент времени t мы даем в долг сумму C

(например, кладем на свой счет в банке, вносим плату за страховку,

перечисляем пенсионный взнос в пенсионный фонд и т.д.). Спустя время Δt

мы можем рассчитывать на определенный доход iCC от инвестирования

принадлежащего нам капитала C . Сумма C является наградой за то, что

наши средства использовались другим человеком. Обычно ее измеряют в

относительных единицах; величина /CCi называется эффективной

процентной ставкой за рассматриваемый промежуток времени ttt, .

Простые и составные проценты

Предположим теперь, что сумма C может инвестироваться на два

последовательных промежутка времени. Пусть 1i – эффективная процентная

22

ставка на первом промежутке, 2i – соответственно на втором. Существуют

две схемы исчисления дохода C на объединенном интервале:

1. Принцип простых процентов предполагает, что проценты начисляются

только на основной капитал. Поэтому 21 iCiCC .

Соответственно, итоговая процентная ставка 21/ iiCCi .

2. Принцип сложных процентов предполагает, что проценты начисляются

не только на основной капитал, но и на уже заработанные проценты.

Поэтому в конце второго интервала времени основной капитал С

вырастет до величины

21 11CC iiС .

Соответственно, итоговая процентная ставка i определяется из условия

21 111 iii , т.е. 2121 iiiii .

Принцип сложных процентов фактически означает, что инвестор может

свободно распоряжаться своими средствами. Поэтому в актуарной

математике принято использовать принцип сложных процентов при

определении дохода от вложенных средств.

Процентные ставки, используемые в большинстве расчетов в актуарной

математике, определяются, исходя из консервативных оценок доходности

реальных будущих инвестиций страховщика. Они намного ниже реальных

процентных ставок, предлагаемых рынком для различных видов

инвестиционных проектов. Их значение заключается в том, чтобы как-нибудь

учесть рост денег, внесенных в качестве платы за страховое покрытие.

Поэтому их называют техническими процентными ставками. На самом деле

страховая компания зарабатывает гораздо большие проценты; более того,

это один из самых (если не самый главный) источник дохода страховщика.

Накопления

Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как

правило, один год) и предположим, что процентная ставка за этот

промежуток равна i . Допустим, что в момент 00t сумма C инвестируется

23

на t единиц времени. По принципу сложных процентов в момент времени

tt0 капитал C превратится в сумму t

iCtC 1 . Величина t

itA 1

называется коэффициентом накопления за время t .

Интенсивность процентов

Интенсивность процентов – это мгновенная относительная

скорость накопления средств

itCtC

tC

ttC

tCttC

t1lnlnlim

0.

Поскольку 1ei , то коэффициент накопления за время t можно

записать в виде

δtetA .

Интенсивность процентов удобно использовать для изучения

накоплений в случае изменяющихся процентных ставок. В этом случае

tδδ и

t

t

dzztCtC

0

0 )(exp .

Номинальные процентные ставки

Рассмотрим промежуток времени длиной p/1 . Если в качестве

единицы измерения принят один год, то наиболее часто встречаются случаи:

12p (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу); 4p

(квартал); 2p (полугодие).

Эффективная процентная ставка pi за этот промежуток времени равна

111 //1 ppp eii .

Однако в финансовой математике принято характеризовать доходность

вложения средств на промежутке p/1 не эффективной (т.е. реальной)

процентной ставкой pi , а так называемой номинальной процентной ставкой

pp ipi .

24

Иногда величину pi называют номинальной процентной ставкой

выплачиваемой (начисляемой) с частотой p .

Приведенная ценность

Предположим, что в момент 0t в будущем мы должны будем

выплатить некоторую сумму C . Чтобы к моменту t иметь в точности сумму

C в настоящее время 00t нужно располагать суммой t

iCP 1 , так

как после инвестирования на время t сумма P превратится в сумму

CiPt

1 . Величина P называется современной ценностью суммы C в

момент t . Иногда употребляется термин современная стоимость,

приведенная стоимость и т.д.

Величину ei1

1v называют коэффициентом

дисконтирования (учета). С ее помощью формулу для приведенной

стоимости можно записать в виде

tCvP .

Учетная ставка

Предположим, что в момент 00t мы даем взаймы сумму С . Тогда в

момент 1t нам должны вернуть сумму iС 1 , которая складывается из

двух частей: возврата основного капитала С и процентов на капитал

iСС .

Если сумму iC , которая должна быть выплачена в момент 1t ,

привести к моменту 00t , то мы получим сумму 1

1 iiC . Поэтому если

проценты на капитал могут быть выплачены заранее, в момент 00t

получения займа, то эти проценты, выплачиваемые вперед, составляют

i/id 1 от суммы займа C . Величина d называется эффективной

учетной ставкой за единицу времени.

Учетная ставка d может быть выражена и через интенсивность

процентов и коэффициент дисконтирования v :

evd 11 .

25

Предположим теперь, что сумма 1C дается в долг на время p/1 с

заблаговременной выплатой процентов. Эффективная процентная ставка

равна 111/ppp i/pii . Именно эта сумма должна быть выплачена в

момент /pt 1 в виде процентов. Если ее привести к моменту 00t , то она

превратится в сумму /p/pp iii

11111 . Поскольку ddi 1/ , для

эффективной учетной ставки pd за время p/1 получим формулу

pp dd/1

11 .

Однако в финансовой математике принято работать не с эффективными

(т.е реальными) учетными ставками за время /p1 , а с так называемыми

номинальными (т.е. условными, не существующими реально) учетными

ставками

/ppp dpdpd1

11 .

Величину pd называют номинальной учетной ставкой, начисляемой с

частотой p .

Оценивание серии платежей

Детерминированные ренты

Если мы хотим оценить серию выплат, которые должны быть сделаны

в разные моменты времени, то все эти выплаты должны быть приведены к

некоторому фиксированному моменту 00t , после чего эти выплаты можно

складывать, сравнивать и т.д.

С точки зрения приложений к страхованию и пенсионным схемам

наиболее важной является задача определения современной стоимости a

серии из n выплат величиной nbbb ,,, 21 соответственно, которые будут

сделаны в некоторые моменты n,t,t,t 21 в будущем. Величина a может

рассматриваться, например, как сумма, которую человек должен внести в

пенсионный фонд в момент заключения договора (этот момент обычно

26

принимают за начальный) с тем, чтобы в будущем, в моменты n,t,t,t 21 ,

получать пенсию величиной n,b,b,b 21 . Поэтому

ntn

ttvbvbvba 2

21

1 .

Если плата за пенсии производится в виде нескольких платежей

величиной k,c,с 1 , сделанных в моменты k,τ,τ 1 , то справедливое

соотношение между взносами ic и пенсионными выплатами ib находится из

принципа эквивалентности обязательств:

ktk

tkk vbvbvcvc 1

11

1 .

Левая часть этой формулы выражает современную ценность всех

взносов в пенсионный фонд или страховую компанию, а правая –

современную стоимость всех пенсионных выплат.

Описанная таким образом общая модель детерминированной

пенсионной схемы на практике обычно не применяется. Реально

используются схемы, обладающие той или иной формой регулярности как по

величине взносов и выплат, так и по моментам осуществления этих

платежей. Особо важным является случай серии платежей фиксированной

величины, которые производятся через равные промежутки времени

фиксированное число раз. Такие серии платежей обычно называют

постоянными рентами или просто рентами.

Детерминированные постоянные ренты

Рассмотрим n последовательных единичных промежутков времени

nn ,1,,1,0 . Под моментом 00t обычно будем подразумевать

настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени будем

рассматривать один год.

Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце этих

промежутков, т.е. в моменты ,n,, 21 , называется запаздывающей рентой.

Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале этих

промежутков, т.е. в моменты 1210 ,n,,, , называется упреждающей

рентой.

27

Различие между запаздывающей рентой и упреждающей рентой

условное и связано с выбором начала отсчета. Если в качестве начального

момента выбрать момент 1t , то запаздывающая рента может

рассматриваться как упреждающая.

Приведенная стоимость упреждающей ренты в финансовой математике

обозначается n

a . Это – стоимость серии из n платежей величиной 1,

производимых через единичные интервалы времени. Стоимость этой серии

рассчитывается в момент совершения первого платежа. Приведенная

стоимость запаздывающей ренты в финансовой математике обозначается

na .

Чтобы вычислить эти величины, нужно привести каждый из n

платежей к начальному моменту времени 00t , а затем сложить полученные

значения:

i

vvvva

nn

n12 ,

d

vvvva

nn

n

11 12 .

Величины na и n

a позволяют подсчитать величину суммы, которую

нужно инвестировать в данный момент для того, чтобы получать

фиксированный регулярный доход в будущем. С их помощью также можно

определить величину регулярных выплат в случае, когда долг возвращается

не одним платежом, а серией одинаковых платежей.

Рассмотренные выше ренты начинались на первом же промежутке 1.0

(в начале его, т.е. в момент 00t , для упреждающей ренты и в конце, т.е. в

момент 11t , для запаздывающей ренты). Для приложений важны также так

называемые отсроченные ренты. Чтобы их определить, рассмотрим

последовательные единичные промежутки времени

28

nmnmmmmm ,1,1,,,1,,,21,1,0 ( 00t – настоящий момент

времени).

Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце

промежутков nmnmmm ,1,1, , т.е. в моменты n,m,m 1 ,

называется запаздывающей отсроченной рентой. Ее стоимость в настоящий

момент 00t обозначается nm a . Чтобы подсчитать эту величину, приведем

каждый из n платежей в моменты n,m,m 1 к начальному моменту

времени, а затем сложим полученные значения:

n

mnmm

nm avvva 1 .

Серия из n выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале

промежутков nmnmmm ,1,1, , т.е. в моменты 1n,mm, ,

называется отсроченной упреждающей рентой. Ее стоимость в настоящий

момент 00t обозначается nm a . Чтобы подсчитать эту величину, приведем

каждый из n платежей в моменты 1n,mm, к начальному моменту

времени, а затем сложим полученные значения:

nmnmm

nm avvva 1 .

Часто полезно знать стоимость ренты не в начальный момент времени,

а в конце последнего платежного периода. Эту стоимость можно

интерпретировать как общую сумму, накопленную на банковском счете

после серии регулярных взносов. Ее обозначают так же, как и

соответствующую приведенную стоимость в начальный момент, но с

заменой буквы a на букву s .

Таким образом, ns – это приведенная стоимость запаздывающей ренты

в момент ntn последнего платежа, а n

s – это приведенная стоимость

29

упреждающей ренты в момент ntn , т.е. спустя единицу времени после

последнего платежа.

Формулы для накоплений ns и n

s можно получить непосредственно,

приведя каждый из n платежей к моменту ntn и затем складывая

полученные значения:

i

iii

nnn

n11

111s21 ,

d

iiiis

nnn

n

11111

1 .

Детерминированные постоянные ренты, выплачиваемые с частотой p

Рассмотрим n последовательных промежутков времени

nn ,1,,1,0 . Под моментом 00t как обычно будем подразумевать

настоящий момент, а в качестве единичного промежутка будем


Разобьем каждый из n единичных промежутков на p равных частей

длиной p/1 каждая.

Серия из np выплат, каждая величиной p/1 , сделанных в конце этих

подпромежутков, т.е. в моменты

np/p,n/p,;n;p/p,/p,/p,;,p/p/p,/p, 111212111121

называется запаздывающей рентой, выплачиваемой с частотой p . Ее

стоимость в настоящий момент времени 00t обозначается p

na , а

стоимость в момент ntn последнего платежного периода называется

накоплением и обозначается p

ns .

Серия из np выплат, каждая величиной p/1 , сделанных в начале этих

подпромежутков, т.е. в моменты

/pp,n,;n/p;p,/p,/p,,/p;p/p,, 1111121111110 ,

30

называется упреждающей рентой, выплачиваемой с частотой p . Ее

стоимость в настоящий момент времени 00t обозначается p

na , а

стоимость в момент ntn последнего платежного периода называется

накоплением и обозначается p

ns .

Величины p

na и p

ns , так же как и величины p

na и p

ns , оценивают

одну и ту же серию платежей, но в разные моменты времени. Поэтому они

связаны соотношениями:

np

n

p

nvsa ,

np

n

p

nias 1 ,

np

n

p

nvsa ,

np

n

p

nias 1 ,

np

n

p

nv

ppaa

11 .

Рассмотрим в качестве единичного отрезка времени p -ю долю

первоначального единичного отрезка (например, если 12p и исходный

единичный промежуток времени был один год, то новым единичным

отрезком времени будет один месяц). Эффективная процентная ставка для

этого нового единичного отрезка равна /pii pp , где pi – номинальная

процентная ставка для основного единичного промежутка, начисляемая с

частотой p . Соответственно, новая учетная ставка равна pdd pp / , а

новое значение коэффициента дисконтирования есть pp vv /1 .

Теперь на упреждающую ренту, выплачиваемую с частотой p на

промежутке n,0 , можно смотреть как на обычную упреждающую ренту,

выплачиваемую на промежутке np,0 . Поскольку каждая выплата равна

p/1 , то имеем:

/pp@inp

p

@ina

pa

1,

31

где символ i@ указывает эффективную процентную ставку на промежутке,

который рассматривается в качестве единичного. Отсюда следует, что:

npp

np

@ina

d

d

d

va

1.

Для p

na верна аналогичная формула:

npp

np

na

i

i

i

va

1.

Непрерывные ренты

Рассмотрим теперь упреждающую и запаздывающую ренты, которые

выплачиваются с частотой p на промежутке n,0 , и предположим, что

p . Тогда

δ

va

δ

da

n

n

p

np

1lim ,

n

n

p

np

va

ia

1lim .

Если p , то мы имеем дело с большим числом малых платежей

(величиной p/1 каждый), совершаемых через малые промежутки времени

p/1 . В пределе при p можно рассматривать поступление средств как

непрерывный процесс, подобный течению жидкости. При этом в пределе

различие между платежами в начале и в конце промежутков исчезнет.

Непрерывный поток платежей называется непрерывно выплачиваемой

рентой. Приведенная стоимость непрерывного потока платежей в момент

00t обозначается na .

Рассматривая поступление средств в предельном случае p как

непрерывный поток жидкости, непосредственно определим величину na как

интеграл

n n ntt

nv

dtedtva

0 0

1.

32

Можно ввести и произвольную непрерывную ренту на промежутке

n,0 , которая характеризуется произвольной скоростью tp поступления

средств в момент t . Для такой ренты приведенная стоимость в момент 00t

равна интегралу

dttpv

n

t

0

.

Непрерывные ренты часто используются как приближения для рент,

которые выплачиваются достаточно часто:

np

naa , n

p

naa .

Можно получить и более точные формулы:

po

p

δaa n

p

n

1

21 ,

po

p

δaa n

p

n

1

21 .

Сумма, накопленная к моменту t при непрерывном поступлении

средств со скоростью 1, обозначается ts . Чтобы ее вычислить, нужно сумму

ta привести к моменту t :

δ

iias

tt

tt11

1 .

Детерминированные возрастающие ренты

Рассмотрим n последовательных единичных промежутков времени

nn ,1,,1,0 . Под моментом 00t как обычно будем подразумевать

настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени будем


Серия из n выплат величиной ,n,, 21 , сделанных в конце этих

промежутков, т.е. в моменты 11t , 22t ,…, ntn , называется

запаздывающей возрастающей рентой. Ее приведенная стоимость в момент

33

00t в финансовой математике обозначается nIa . Для подсчета этой

величины нужно все платежи привести к начальному моменту, а затем

сложить:

2

132

1

1132

v

nvvnvnvvvvIa

nnn

n .

Серия из n выплат величиной ,n,, 21 , сделанных в начале

промежутков nn ,1,,1,0 , т.е. в моменты 00t , 11t ,…, 11 ntn ,

называется упреждающей возрастающей рентой. Ее приведенная стоимость

в момент 00t в финансовой математике обозначается n

aI :

2

112

1

11321

v

nvvnnvvvaI

nnn

n

.

Резюме

Методы теории вероятностей используются во многих областях

человеческой деятельности. Понятия случайных событий и случайных

величин важнейшие в теории вероятностей. Случайные события обозначают

заглавными латинскими буквами ...,, BA и т.д., а случайные величины ...,, и

т.д.

При решении задач необходимо уметь составлять законы

распределения дискретных и непрерывных случайных величин, а также

находить их основные числовые характеристики (математическое ожидание,

дисперсия, среднее квадратическое отклонение). В актуарной математике

особое значение имеет центральная предельная теорема, которая

используется для оценки вероятности разорения страховых компаний.

При актуарных расчетах широко используются методы финансовой

математики, например, в долгосрочном страховании применяется теория

сложных процентов, а оценивание стоимости страховых рент опирается на

оценку стоимости финансовых рент.

34

Вопросы для самопроверки

1. Понятие случайного события. Действия над случайными событиями.

2. Вероятностное пространство. Аксиоматическое определение

вероятности.

3. Случайные величины. Закон распределения.

4. Важнейшие распределения случайных величин (Бернулли,

биномиальное, Пуассона, геометрическое, равномерное, нормальное,

экспоненциальное).

5. Основные числовые характеристики случайных величин. Их свойства.

6. Центральная предельная теорема и ее следствия.

7. Простые и составные проценты.

8. Интенсивность процентов. Номинальные процентные ставки.

9. Приведенная стоимость.

10. Виды финансовых рент. Их современная стоимость.

35

ГЛАВА 2. Характеристики продолжительности жизни


Цели


о базовых понятиях актуарной математики (время жизни, функция

выживания, кривая смертей, интенсивность смертности);

о способах аппроксимации функции выживания для дробных возрастов

(равномерное распределение, предположение Балдуччи, постоянная

интенсивность смертности).

Знать:

свойства функции выживания;

свойства интенсивности смертности;

основные аналитические законы смертности;

основные аналитические законы смертности.

Уметь:

оценивать вероятность дожить до определенного возраста;

оценивать вероятность не дожить до определенного возраста;

использовать таблицы продолжительности жизни для расчета

основных характеристик продолжительности жизни.

36

2.1. Время жизни как случайная величина

В основе страхования жизни, как и любого другого вида страхования,

лежит принцип распределения убытков одного лица, с которым произошел

страховой случай, на большое число участников страхования, с которыми в

рассматриваемый момент времени такой случай не произошел.

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при

страховании жизни. Относительно момента смерти отдельного человека

нельзя сказать ничего определенного. Однако если участники страхования

представляют собой большую однородную группу людей, и мы не

интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то в этом случае

применим аппарат теории вероятностей как науки о массовых случайных

явлениях, обладающих свойством устойчивости. Тогда продолжительность

жизни можно рассматривать как случайную величину T .

Функция выживания

В теории вероятностей распределение случайной величины T

описывается функцией распределения xTPxF .

В актуарной математике принято работать не с функцией

распределения, а с дополнительной функцией распределения xFxF 1 .

Применительно к продолжительности жизни xF1 – это вероятность того,

что человек доживет до возраста x лет.

Функция

xFxs 1

называется функцией выживания: xTPxs .

Функция выживания обладает следующими свойствами:

1. xs убывает (при 0x );

2. 10s ;

3. 0s ;

4. xs непрерывна.

37

Одним из источников данных, необходимых для проведения актуарных

расчетов по страхованию жизни, являются таблицы продолжительности

жизни. Эти таблицы составляются по данным о смертности населения и о его

возрастном составе. В таблицах продолжительности жизни обычно считают,

что существует некоторый предельный возраст (как правило

120100 ) и соответственно 0xs при ωx . При описании

смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни

неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы

вероятность жизни свыше некоторого возраста была ничтожно мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл. Допустим,

производится наблюдение за группой из 0l новорожденных (как правило

1000000l ) и имеется возможность фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте x через

xL . Тогда

xslxELlx 0 .

Таким образом, функция выживания xs равна средней доле

доживших до возраста x из некоторой фиксированной группы

новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания

xs , а с величиной xl (зафиксировав начальный размер группы 0l ).

Кривая смертей

В теории вероятностей непрерывную случайную величину удобнее

описывать плотностью распределения xf . В актуарной математике график

плотности продолжительности жизни xsxf (или, что практически то

же, график функции xfl0 ) называют кривой смертей.

Величина xfl0 имеет простой статистический смысл. Рассмотрим

среднее число представителей исходной группы в 0l новорожденных,

38

умерших в возрасте x лет. Эта величина обозначается xd и равна

1xxx lld . Тогда xfldx 0 .

Функция выживания xs может быть восстановлена по плотности:

xsduuf

x

,

так что кривая смертей может быть использована в качестве первичной

характеристики продолжительности жизни.

Интенсивность смертности

Величина

xs

xfx

называется интенсивностью смертности. Для человека, дожившего до x

лет, при малых t величина tx приближенно выражает вероятность смерти

в интервале txx, .

Поскольку функция выживания xs может быть восстановлена по

интенсивности смертности:

duμxs

x

uexp ,

то интенсивность смертности может быть использована в качестве первичной

характеристики продолжительности жизни.

Макрохарактеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие макрохарактеристики

смертности:

1. среднее время жизни

dxxsdxxxfET

00

0e

,

2. дисперсия времени жизни

22 ETETDT ,

39

где dxxxsdxxfxET

00

22 2 ,

3. медиана времени жизни 0m , которая определяется как корень

уравнения

5,0ms .

Медиана времени жизни – это возраст, до которого доживает ровно половина

представителей исходной группы новорожденных.

Аналитические законы смертности

Во многих случаях для упрощения расчетов, теоретического анализа и

т.п. удобнее описать эмпирические функции выживания или интенсивности

смертности с помощью аналитических законов. Преимуществом

аналитических законов является то, что для них вероятностные

характеристики продолжительности жизни можно быстро вычислять по

небольшому числу параметров. А также использовать в случаях, когда

доступные данные немногочисленны.

Простейшее приближение было введено в 1729г. де Муавром, который

предложил считать, что время жизни равномерно распределено на интервале

,0 , где – предельный возраст. В модели де Муавра при ωx0

1xf , xxF , xxs 1 , xx

1 .

Сравнение графиков этих функций с реальными графиками функции

выживания xs , функции смертей xf , интенсивности смертности x

показывает, что закон де Муавра является не очень хорошим приближением.

Например, первая формула означает, что кривая смертей xf является

горизонтальной линией, в то время как эмпирические данные указывают на

пик в районе 80 лет.

В модели, которую предложил в 1825г. Гомпертц, интенсивность

смертности x приближается показательной функцией вида xeBx , где

40

0 и 0B – некоторые параметры. Соответствующая функция

выживания имеет вид

/1eexp xBxs ,

а кривая смертей /1exexp αxBBxf .

Мэйкхам в 1860 г. обобщил предыдущую модель, приблизив

интенсивность смертности x функцией вида αxx BeAμ . Постоянное

слагаемое A позволяет учесть риски для жизни, связанные с несчастными

случаями (которые мало зависят от возраста), в то время как слагаемое αxBe

учитывает влияние возраста на смертность. В этой модели

/αeBAxxs αx 1exp ,

/αeBAxBeAxf αxαx 1exp .

Второй закон Мэйкхама, введенный в 1889 году, приближает

интенсивность смертности x функцией вида αxx BeHxAμ . В этой

модели

/αeB/HxAxxs αx 12exp 2 ,

/αeB/HxAxBeHxAxf αxαx 12exp 2 .

Вейбулл в 1939 году предложил приближать интенсивность смертности

x более простой степенной функцией вида nx kxμ . В этой модели

1/exp 1 nkxxs n , 1/exp 1 nkxkxxf nn .

В модели Эрланга интенсивность смертности x приближается

функцией вида axa

xx . В этой модели

a

x

a

axxs exp ,

a

x

a

xxf exp

2.

2.2. Остаточное время жизни

Страховая компания имеет дело с конкретными людьми, дожившими

до определенного возраста. Статистические свойства времени жизни таких

41

людей существенно отличаются от свойств времени жизни новорожденных.

Если человек в возрасте x лет обратился в страховую компанию (в актуарной

математике такого человека обозначают x ), то заведомо известно, что он

дожил до x лет, и поэтому все случайные события, связанные с этим

человеком, должны рассматриваться при условии, что xT .

Для человека в возрасте x лет обычно рассматривают не

продолжительность жизни T , а остаточное время жизни xTTx .

Распределение случайной величины xT – это условное распределение

величины xT при условии, что xT :

.1 x

txx

xx

l

ll

xs

txsxs

xF

xFtxF

xTP

txTxPxTtxTPtTPtF

Соответствующая функция выживания tFts xx 1 определяется

формулой

xs

txstsx ,

так что плотность случайной величины xT может быть найдена по формуле:

xF

txftfx

1, t0 .

Интенсивность смертности, связанная с величиной xT , есть

txx

xx

txs

txf

xstxs

xstxf

xF

tft

/

/.

Это соотношение означает, что интенсивность смертности спустя время t

для человека, которому сейчас x лет, равна интенсивности смертности в

возрасте tx для новорожденного. Другими словами, интенсивность

смертности в данном возрасте tx не зависит от уже прожитых лет.

Основные величины, связанные с остаточным временем жизни

Вероятность tTP x (т.е. вероятность смерти человека возраста x в

течение ближайших t лет) в актуарной математике обозначается xt q . Тогда

42

.x

txxxt

l

ll

xs

txsxsq

Дополнительная вероятность tTP x (т.е. вероятность того, что

человек в возрасте x лет проживет еще по меньшей мере t лет) в актуарной

математике обозначается xt p :

.x

txxxt

l

l

xs

txstTPp

Случай 1t играет особую практическую роль и встречается наиболее

часто. Для него принято опускать передний индекс у переменных xt q и xt p .

Таким образом, символ xq обозначает вероятность того, что человек в

возрасте x лет умрет в течение ближайшего года, а символ xp обозначает

вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще по крайней

мере один год. Тогда

x

xxxx

l

ll

xs

xsxsTPq 11

1 , .1

1 1

x

xxx

l

l

xs

xsTPp

С помощью вероятностей xp можно вычислить и более общие

вероятности xt p :

11 txxxxt pppp .

Рассмотрим теперь более общее событие, заключающееся в том, что

человек возраста x проживет еще t лет, но умрет на протяжении

последующих u лет, т.е. utTt x . Его вероятность обозначается xut q :

xs

utxstxsqqutTtPq xtxutxxut .

Случай 1u представляет особый интерес для приложений к

страхованию жизни. Как обычно соответствующий индекс принято опускать.

Таким образом, xqt – это вероятность того, что человек в возрасте x лет

проживет еще t лет, но умрет на протяжении следующего года.

xs

txstxsqx

1t .

43

Макрохарактеристики остаточного времени жизни

Среднее значение остаточного времени жизни человека в возрасте x

лет xET обозначается xe

и называется полной ожидаемой

продолжительностью жизни:

duusxs

dttTPETe

x

xxx

0

1

.

Второй момент можно найти по формуле:

0

2 2dttxts

xsTE x .

Среднее остаточное время жизни можно выразить и через другие

характеристики времени жизни. Для этого рассмотрим группу из 0l

новорожденных и обозначим через x суммарное число лет, прожитых

представителями этой группы в возрасте x и более. Таким образом, если

время жизни i-того представителя группы, iT , меньше чем x , его вклад в

сумму x равен нулю. Если же xT i, то вклад в сумму равен xT i

.

Тогда

xxx elE

.

Среднее значение величины ,nTxmin , где n – некоторая

положительная константа, называют частичной средней

продолжительностью жизни и обозначают

nx

x

nx duusxs

1e :

.

2.3. Округленное время жизни

Обычно люди ведут счет прожитых лет целыми годами, а страховые

компании обычно заключают договоры страхования жизни на 1, 3, 5 и т.п.

целое число лет. Поэтому естественно рассмотреть наряду с обычной

продолжительностью жизни xT ее целую часть xx TK . Таким образом,

если, например, xT 18 лет 9 месяцев = 18.75 лет, то xK 18 лет. Величина

44

xK называется округленной (урезанной) остаточной продолжительностью

жизни. Следует подчеркнуть, что округление производится не до

ближайшего целого, а всегда с недостатком (т.е. до ближайшего целого,

меньшего, чем данное дробное число). В этом смысле английский термин

curtate (―урезанная‖) точнее, чем принятый нами термин ―округленная‖.

Распределение округленного времени жизни

Поскольку случайная величина xK принимает только целые значения,

ее стохастическая природа характеризуется (как это принято в теории

вероятностей) не функцией распределения, а распределением, т.е. набором

вероятностей )( kKP x , k 0, 1, 2,…

Так как событие }{ kK x эквивалентно тому, что },1{ kTk x верно

равенство:

).1()( kTkPkKP xx

Вероятность )1( kTkP x в силу непрерывности случайной величины xT

равна вероятности )1( kTkP x , которая была обозначена как xk q .

Выразим распределение случайной величины xK в терминах функции

выживания:

x

kx

x

kxkxx

l

d

l

ll

xs

kxskxskKP 1

)(

)1()()(

и в терминах интенсивности смертности:

1

expexp

kx

x

u

kx

x

ux dudukKP

Функция распределения округленного времени жизни xK достаточно просто

связана с функцией распределения точного времени жизни xT . А именно,

пусть nt , где 10 (так что ][tn ).

Тогда

11 tTPnTPnKPtKP xxxx .

45

Ранее было рассмотрено остаточное время жизни xT и исходная

случайная величина теории страхования – продолжительность жизни T .

Однако поскольку 0TT , то, в частности, распределение округленного

времени жизни ][0 TK может быть определено по формуле:

00

10 1

l

d

l

llkskskKP kkk

или

)exp()exp()(1

00

0

k

u

k

u dudukKP .

Зависимость )( 0 kKP от k приближенно может быть описана с

помощью )(kf , где )(xf – плотность распределения случайной величины T .

Таким образом, кривая смертей дает представление и о распределении

округленного времени жизни.

Среднее округленное время жизни и его дисперсия

Математическое ожидание случайной величины xK называется

средней округленной продолжительностью жизни и обозначается xe :

.xx EKe

В соответствии с общей формулой для дискретной случайной

величины

.)(

1k

xx kKkPe

Тогда xe в терминах функции выживания:

1

1

k

xx kxsxs

EKe .

Подобным же образом для второго момента 2)( xKE , который

необходим для расчета xDK , получим:

.)()(

2)()12(

)(

1)(][

110

22

kx

kkxx ekxks

xskxsk

xskKPkKE

46

Более интересной является рекуррентная формула

11 xxx epe ,

откуда вытекает следующее соотношение, связывающее среднее округленное

время жизни и вероятность смерти в течение ближайшего года:

1

1

1

1

x

xxx

e

eeq .

Для доказательства этого соотношения прежде всего отметим, что

1 1

)()(n n

xxxx nTPnKPEKe .

Но

11)( xnxxnx pppnTP .

Поэтому

).1(1

11 0

111n

xnxn n

xnxxnxx ppppppe

Сумма 1

1n

xn p равна .1xe

Итак,

),1( 1xxx epe

откуда:

11 x

xx

e

ep ,

что равносильно доказываемому соотношению.

2.4. Таблицы продолжительности жизни

Статистические данные о продолжительности жизни суммируются в

таблицах продолжительности жизни, иногда их называют таблицами

смертности. Простейшим видом таблиц являются таблицы, содержащие

информацию о статистических свойствах времени жизни случайно

выбранного человека, относительно которого известен только его возраст.

Такие таблицы называют общими или упрощенными. Они позволяют

получить общую приближенную картину смертности. Примером таких

47

таблиц могут служить популяционные таблицы, содержащие данные о

смертности населения. В принципе для решения любой задачи достаточно

знания функции выживания xs , однако для наглядности в таблицы обычно

включают введенные ранее величины:

1) xsllx 0 – среднее число живых представителей некоторой

группы из 1000000l новорожденных к возрасту x лет.

2) 1xxx lld – число представителей группы, умерших в возрасте

от x до 1x лет.

3) xxx /ldq – вероятность смерти в течение года для человека в

возрасте x лет.

4) xe

– среднее остаточное время жизни.

В качестве шага таблицы обычно рассматривают один год.

Таблицы отбора риска

Очевидно, что статистические свойства продолжительности жизни

различны у жителя высокоразвитой страны Запада и жителя бедного

африканского государства, поэтому абсолютно общая таблица не

представляет реального интереса.

Однако и среди жителей одной страны существуют различные группы

людей с разными характеристиками продолжительности жизни. Прежде

всего, важно отметить, что смертность среди мужчин в несколько раз выше

смертности среди женщин. Вероятно, смертность среди домохозяек меньше,

чем среди шахтеров; смертность среди людей, прошедших медкомиссию

перед заключением договора страхования, меньше, чем в среднем по стране;

смертность среди людей, вышедших на пенсию по болезни, наоборот, выше

(конечно, во всех случаях мы должны сравнивать людей в одном возрасте x ).

Но страховая компания имеет дело не с абстрактными людьми, а с вполне

конкретными, относительно которых доступна определенная информация

(пол, профессия, перенесенные болезни и т.д.). Поэтому ясно, что компания

должна иметь целый спектр таблиц продолжительности жизни для

48

различных групп населения. Такие таблицы называются таблицами отбора

риска. Обычно создается несколько базовых таблиц, а многочисленные

дополнительные риски учитываются с помощью руководств по

андеррайтингу, которые дают соответствующие коэффициенты (или

аддитивные надбавки) к базовым тарифам.

Термин «отбор» связан с тем, что люди попадают в группу, для

которой составляется таблица, после некоторого отбора. Иногда этот отбор

кем-то специально проводится (например, медицинской комиссией перед

заключением договора страхования), иногда человек сам отбирает себя

(например, при оформлении пожизненной ренты), иногда это происходит по

причине внешних обстоятельств (например, при оформлении пенсии по

болезни). Смертность среди людей, включенных в такую группу, зависит не

только от возраста x , но и от того, когда произошел отбор. Рассмотрим,

например, людей, успешно прошедших медицинский андеррайтинг и

заключивших договоры страхования. Ясно, что вероятность смерти в течение

ближайшего года человека из этой группы существенно меньше, чем

вероятность смерти в течение ближайшего года случайно выбранного

человека в том же возрасте. Более интересно то, что вероятность смерти в

течение ближайшего года человека, только что прошедшего отбор, меньше,

чем вероятность смерти в течение года человека в том же возрасте, но

прошедшего отбор несколько лет тому назад. Например, вероятность смерти

мужчины в возрасте 52 года по данным страховой статистики

Великобритании 1970–1972 гг. составляет 0,344% для первого года договора,

0,429 – если с момента заключения договора прошел уже год и 0,603%, если

договор был заключен 2 или больше лет тому назад.

В связи с этим величины, включенные в таблицы с отбором, имеют два

аргумента: один показывает момент отбора x , а второй – время t ,

прошедшее с момента отбора. В актуарной математике эту зависимость

обозначают txf . При фиксированном возрасте tx и моменте отбора x

величина txf ничем принципиально не отличается от величины txf .

49

Поэтому для характеристик продолжительности жизни «отобранных» людей

справедливы все приведенные выше результаты, а именно:

1) txq обозначает условную вероятность смерти в течение года

человека в возрасте tx лет, который t лет назад (т.е. в возрасте x лет) был

отобран в группу;

2) txp – вероятность того, что человек в возрасте tx лет,

который t лет назад (т.е. в возрасте x лет) был отобран в группу, проживет

еще по меньшей мере год;

3) txn q – вероятность того, что человек в возрасте tx лет,

который t лет назад (т.е. в возрасте x лет) был отобран в группу, умрет на

протяжении ближайших n лет;

4) txn p – вероятность того, что человек в возрасте tx лет,

который t лет назад (т.е. в возрасте x лет) был отобран в группу, проживет

еще по меньшей мере n лет;

5) txmn q – вероятность того, что человек в возрасте tx лет,

который отобран t лет назад, проживет n лет, но умрет на протяжении m

последующих лет;

6) txn q – вероятность того, что человек в возрасте tx лет,

который отобран t лет назад, проживет n лет, но умрет на протяжении

следующего года.

Все эти вероятности могут быть выражены через вероятности txq ,

например,

txtx qp 1 , 11 ntxtxtxtxn pppp .

Таблицы с отбором ограниченного действия

Статистический анализ показывает, что обычно влияние отбора

продолжается неограниченно долго. Однако, как правило, зависимость

характеристик смертности от времени, прошедшего с момента отбора,

быстро уменьшается и через некоторое время эти характеристики зависят

50

только от достигнутого возраста. Влияние отбора сохраняется в том смысле,

что эти характеристики отличаются от популяционных.

Промежуток времени r , после которого зависимостью от момента

отбора можно пренебречь и рассматривать все характеристики

продолжительности жизни только как функции достигнутого возраста,

называется периодом действия отбора.

Соответствующая таблица называется таблицей с отбором

ограниченного действия. Предельные значения xq (которые заменяют tx-tq

при rt ) образуют так называемую предельную таблицу. По своей

структуре она является таблицей простейшего типа.

Расчет характеристик смертности среди представителей выделенной

группы может быть значительно упрощен, если вместо вероятностей txq

ввести в рассмотрение специальные величины txl , которые аналогичны

величинам txl из общих таблиц смертности.

Рассмотрим некоторую таблицу с отбором, действующим r лет, и

определим величины txl с помощью следующей формулы:

tx

txtx

p

ll

1.

Поскольку период действия отбора равен r , полагаем txtx ll , если

rt . Тогда

tx

txtx

l

lp

1,

tx

txtxtx

l

llq

1,

tx

ntxtxtxn

l

llq ,

tx

mntxntxtxmn

l

llq .

Поэтому часто в таблицы с отбором ограниченного действия включаются

только величины txl .

2.5. Приближения для дробных возрастов

51

Округленное время жизни xK определили через точное время жизни

xT и получили ряд формул, выражающих характеристики величины xK через

характеристики xT . Однако реальная статистика доступна именно для

округленного времени жизни xK , причем только для целых значений x (в

годах). Это связано как с удобством сбора статистических данных, так и с

традиционной формой их представления в таблицах продолжительности

жизни, где аргументы принимают только целочисленные значения.

Однако для расчета премий, резервов и других величин, необходимых

для ведения страхового дела необходимо знать функцию выживания для всех

действительных значений аргумента x , а не только для целочисленных.

Соответственно возникает задача определения характеристик величины xT ,

если известны характеристики величины ][ xx TK (причем только для целых

значений x ). Для целых значений t и x можно абсолютно точно определить

распределение xT через распределение xK :

,...3,2,1),1()( ttKPtTP xx

Таким образом, задача может рассматриваться как задача

интерполяции. При этом достаточно рассмотреть задачу интерполяции

только для функции выживания )(xs (поскольку более сложные величины

могут быть выражены через )(xs ).

В актуарной математике обычно решают эту задачу, постулируя тот

или иной вид функции )(xs между узлами интерполяции, т.е. получают

искомую функцию )(xs , склеивая в целочисленных точках более простые

функции.

Равномерное распределение смертей

Самой простой является интерполяция линейными функциями:

xbaxs nn)( при .1nxn

Поскольку значения )(ns и )1(ns – известны, из уравнений

),(nsnba nn

52

)1()1( nsnba nn

можно определить na и nb :

)1()()1( nnsnsnan ,

).()1( nsnsbn

Таким образом, на отрезке 1nxn функция )(xs приближается линейной

функцией:

),1()()()1()( nsnxnsxnxs 1nxn .

Записывая x в виде ,tnx где ,10 t этой формуле можно придать вид:

),1()()1()( ntsnsttns .10 t

Для плотности )(xf это приближение дает:

),1()()(')( nsnsxsxf 1nxn .

Соответственно для интенсивности смертности x мы имеем следующее

приближение:

,)]1()([)1()()1(

)1()(

nsnsxnnsnsn

nsnsx .1nxn

С помощью величины )(/))1()(( nsnsnsqn (вероятность того, что

человек в возрасте n лет умрет в течение ближайшего года) эту формулу

можно переписать виде:

,)(1 n

nx

qnx

q ,1nxn

или, что то же самое,

,1 n

ntn

tq

q .10 t

Одно из наиболее важных следствий предположения о линейной

интерполяции функции выживания заключается в следующем. Рассмотрим

величину nt q (n – целое, )1,0(t ).

Для нее имеем:

)(

)(1)(1)(1)(

ns

tnststTPtTPq nnnnt

53

.)(

)1()(

)(

)1()()1(1 ntq

ns

nsnst

ns

ntsnst

Далее, для целого n и )1,0(),( utt

.)()()()( nnnnnnnut uqtqquttTPutTPutTtPq

Итак, в предположении о линейной интерполяции функции выживания

в течение (начальной) части года пропорциональна длине этой части (т.е.

nnt tqq ), то для дробных возрастов (между двумя соседними целыми)

функция выживания является линейной. Действительно, всегда верны

равенства

.)(

)1(1

,)(

)(1

ns

nsq

ns

tnsq

n

nt

Поэтому равенство nnt tqq влечет, что

).1()()1()( ntsnsttns

Верно и обратное утверждение, если вероятность смерти в течение

(начальной) части года пропорциональна длине этой части (т.е. nnt tqq ), то

для дробных возрастов (между двумя соседними целыми) функция

выживания является линейной.

Введем теперь случайную величину xτ , равную дробной части

величины xT : xx T . Таким образом, xxx KT , где xK – урезанное

время жизни. Величина xτ описывает момент смерти внутри года.

Для рассматриваемой интерполяции

1) случайная величина xτ равномерно распределена на 1,0 ;

2) случайные величины xK и xτ – независимы.

Постоянная интенсивность смертности

Будем приближать функцию выживания )(xs на отрезке 1nxn

показательной функцией xnb

nea . Поскольку значения )(ns и )1(ns

известны, из уравнений

54

)1(

),(

)1(nsea

nsea

nnbn

nnbn

можно определить na и nb :

,ln

,)(

nn

nnn

pb

pnsa

где величина )(/)1( nsnspn – вероятность того что, что человек в

возрасте n лет проживет по меньшей мере один год.

Таким образом,

,)()( nxnpnsxs 1xxn .

Записывая x в виде tnx , где ,10 t этой формуле можно предать вид:

,)()( tnpnstns 10 t .

Для плотности )(xf это приближение даст:

,ln)()( nnx

n ppnsxf .1nxn

Отсюда для интенсивности смертности x мы имеем следующее


,ln nx p ,1nxn

т.е. рассматриваемой интерполяции соответствует предложение о

постоянной интенсивности смертности между двумя днями рождений.

Предположение Балдуччи

Предположение Балдуччи внешне похоже на предположение о

равномерном распределении смертей, однако, в отличие от последнего,

линейными функциями интерполируется )(1 xs . Это приводит к следующим

формулам:

,)1()(

1

)(

1

ns

nx

ns

xn

xs ,1nxn

,)1()(

1

)(

1

ns

t

ns

t

tns .10 t

Отсюда можно получить явную формулу для )(xs на отрезке 1nxn :

55

nn tqp

ns

ntsnst

nsnstns

)1(

)()1()1(

)1()()( ,

где вероятности np и nq были определены ранее как вероятность того, что

человек в возрасте n лет проживет еще по меньшей мере один год, и

вероятность того, что человек в возрасте n лет умрет на протяжении этого

года, соответственно.

Для плотности )(xf это приближение дает:

,)(

)1()(

2nn

n

tqp

qnstnf 10 t .

Соответственно для интенсивности смертности x имеем следующее


,nn

ntn

tqp

q .10 t

Одно из наиболее важных следствий предположения Балдуччи

заключается в следующем. Рассмотрим величину tnt q1 (n – целое,

)1,0(t ). Для нее имеем:

.)1()(

)1()()1(

)(

)1(1

)(

)1(1)1(1)1(1

n

tntntnt

qtns

nsnst

tns

ns

tns

ttnstTPtTPq

Итак, в предположении Балдуччи вероятность смерти до очередного

дня рождения пропорциональна времени до этого дня рождения.

Верно и обратное утверждение, если вероятность смерти до очередного дня

рождения пропорциональна времени до этого дня рождения (т.е.

ntnt qtq )1(1 ), то для вида функции выживания для дробных возрастов

(между двумя соседними целыми) верно предположение Балдуччи.

Резюме

В основе страхования жизни, лежит принцип распределения убытков

одного лица, с которым произошел страховой случай, на большое число

56

участников страхования, с которыми в рассматриваемый момент времени

такой случай не произошел. Неопределенность момента смерти является

основным фактором риска при страховании жизни. Относительно момента

смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако

если участники страхования представляют собой большую однородную

группу людей, то в этом случае применим аппарат теории вероятностей как

науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством

устойчивости. Поэтому в актуарной математике в качестве исходной

случайной величины рассматривают продолжительность жизни, а также

связанные с этой величиной основные функции и характеристики.

Во многих случаях для упрощения расчетов и теоретического анализа

эмпирические функции выживания или интенсивности смертности

описывают с помощью рассмотренных аналитических законов.

Поскольку страховая компания имеет дело с конкретными людьми,

дожившими до определенного возраста, то обычно рассматривают не

продолжительность жизни, а остаточное время жизни, а также связанные с

этой величиной основные функции и характеристики.

Статистические данные о продолжительности жизни суммируются в

таблицах продолжительности жизни. Рассмотрены следующие виды таблиц

продолжительности жизни: таблицы, содержащие информацию о

статистических свойствах времени жизни случайно выбранного человека,

относительно которого известен только его возраст; таблицы отбора риска –

таблицы продолжительности жизни для различных групп населения; таблицы

с отбором ограниченного действия, поскольку зависимость характеристик

смертности от времени, прошедшего с момента отбора, быстро уменьшается.

Для расчета премий, резервов и других величин, необходимых для

ведения страхового дела необходимо знать функцию выживания для всех

действительных значений аргумента. Однако реальная статистика доступна

для округленного времени жизни xK , причем только для целых значений x

(в годах). Это связано как с удобством сбора статистических данных, так и с

57

традиционной формой их представления в таблицах продолжительности

жизни, где аргументы принимают только целочисленные значения.

Соответственно возникает задача определения характеристик величины

остаточного времени жизни, если известны характеристики величины

округленного времени жизни. Для решения поставленной задачи было

рассмотрено три вида интерполяции дробных возрастов.


1. Функция выживания. Определение, свойства.

2. Кривая смертей. Интенсивность смертности.

3. Макрохарактеристики продолжительности жизни.

4. Аналитические законы смертности.

5. Остаточное время жизни. Основные величины, связанные с

остаточным временем жизни.

6. Округленное время жизни. Основные величины, связанные с

округленным временем жизни.

7. Таблицы продолжительности жизни. Виды таблиц, основные

характеристики таблиц.

8. Интерполяция для дробных возрастов: равномерное распределение

смертей; постоянная интенсивность смертности; предположение Балдуччи.

58

ГЛАВА 3. Теория страхования на основе использования

таблиц продолжительности жизни и

связанных с этими таблицами характеристик и функций


Цели


о базовых понятиях теории страхования жизни (страхование жизни,

страхование на чистое дожитие, различные виды рент);

о принципе равенства страховых обязательств страховщика и

страхователя на момент заключения договора.

Знать:

актуарную современную стоимость различных видов страхования;

расчетные формулы для премий различных видов страхования.

Уметь:

рассчитывать актуарную современную стоимость будущего страхового

возмещения;

рассчитывать величину взносов.

59

3.1. Страхование на чистое дожитие

Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах:

страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом

случае при наступлении страхового события (смерти или дожития)

выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором случае –

страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного

периода времени или пожизненно. В классическом страховании жизни

имеют место только два страховых события: дожитие до определенного

срока и смерть в период действия договора.

Ожидаемая текущая стоимость выплат

Наиболее простым вариантом является страхование на чистое

дожитие, которое заключается в страховании определенной суммы денег на

определенный срок. В случае смерти страхователя в период действия

договора страховая сумма не выплачивается, и взносы не возвращаются.

Определим текущую стоимость страховых выплат на момент

заключения договора страхования. Пусть группа страхователей

численностью xl в возрасте x заключила со страховщиком договор

страхования на дожитие сроком на n лет. Дожившие до окончания срока

страхования должны получить страховую сумму S . Очевидно, что

суммарная выплата, которую должен осуществить страховщик по окончании

срока договора, равняется числу доживших до возраста nx , умноженному

на страховую сумму: Sl nxn , где

i1

1 – коэффициент дисконтирования,

i – годовая процентная ставка, или годовая норма доходности. В расчете на

каждого страхователя, заключившего договор, это составляет величину

x

nxn

l

SlP . (1)

Таким образом, получили величину единовременного взноса, который

должен заплатить каждый страхователь при заключении договора.

60

Этот же результат можно получить другим путем, рассчитывая

накопленную стоимость фонда, сформированного взносами страхователей в

момент заключения договора. Если каждый страхователь в возрасте x внес

взнос P , то первоначальная стоимость фонда равна xPl . Множитель

наращения за n лет равен ni)1( . К моменту окончания договора

накопленная стоимость этого фонда составит nx iPl )1( . Приравнивая эту

величину к сумме страховых выплат nxSl , получим формулу (1).

Если сравнить формулу (1) с формулой niPS )1( (приращение

начальной суммы при непрерывной капитализации процентов), то видно, что

она отличается наличием множителя xn p – вероятностью дожития до

возраста nx лица, застрахованного в возрасте x . Эта величина всегда

меньше единицы, поэтому нетто-взнос каждого застрахованного будет

меньше текущей стоимости единичной страховой суммы. Причина этого

заключается в том, что часть застрахованных, уплативших взносы, не

доживает до конца срока страхования, и их взносы перераспределяются

между оставшимися в живых. С учетом этого обстоятельства взнос каждого

из них уменьшается на соответствующую величину. Величину в правой

части формулы (1) называют актуарной текущей стоимостью страховой

суммы S или ожидаемой текущей стоимостью.

Прибыль от смертности

Перераспределение взносов умерших в пользу доживших дает

дополнительную прибыль от смертности. Определим годовую норму

доходности с учетом прибыли от смертности. Если в начале года величина

страхового фонда составляет xF , численность застрахованных – xl , величина

индивидуального страхового фонда (в расчете на одного застрахованного) –

x

xx

l

Ff , то в конце года величина страхового фонда увеличится за счет

процентного роста до значения )1( iFx , численность застрахованных

уменьшится на величину xd , а величина индивидуального страхового фонда

61

станет равной x

x

xx

xx

q

if

dl

iFf

1

)1()1(1 . Годовая норма доходности для

возраста x будет равна

xx

x

x

xxx qi

q

qi

f

ffi

1

1 . (2)

Эта норма доходности называется актуарной годовой нормой

доходности (однако термин не является общепринятым). Из формулы (2)

видно, что при невысокой процентной ставке i актуарная годовая норма

доходности может оказаться заметно выше ее. Так при страховании жизни в

странах с развитой экономикой величина процентной ставки обычно

составляет 4-5%, тогда как вероятность смерти в течение года, согласно

таблице смертности, составляет для мужчин в возрасте 50 лет 2,2%, в

возрасте 60 лет – 4,3%. Для актуарной нормы доходности можно ввести

также актуарный годовой множитель наращения и актуарный годовой

дисконтный множитель:

.1

;1

11 1

1 x

x

xx

x

x

xxx

l

l

sl

ls

q

iis (3)

Формулу (1) можно получить, осуществляя дисконтирование суммы S

с актуарным дисконтным множителем (что эквивалентно дисконтированию с

переменной процентной ставкой):

.121

12111 S

l

lS

llll

llllSP

x

nxn

nxnxxx

nxnxxxnnxxx

(4)

Годовая процентная ставка, используемая в расчетах по страхованию

жизни, называется технической процентной ставкой или техническим

процентом. Технический процент выбирается страховщиком в таком

размере, чтобы при самых неблагоприятных обстоятельствах обеспечить

выбранную доходность инвестиций. Обычно величина технического

процента ниже той фактической нормы доходности, которую получает

страховщик.

62

Поскольку динамика приращения капитала и демографические

процессы никак не зависят от величины страховой суммы, в актуарной

математике принято производить все расчеты для страховой суммы, равной

единице. Величину страхового взноса с единицы страховой суммы называют

тарифной ставкой или тарифом. Для любой конкретной страховой суммы

величину страхового взноса легко получить, умножая тарифную ставку на

эту сумму.

Для обеспечения единого подхода к решению актуарных задач по

страхованию жизни в 1898 г. на втором Международном конгрессе актуариев

в Лондоне были приняты единые актуарные обозначения. Для обозначения

различного рода единовременных платежей используется заглавная буква A ,

для регулярных периодических платежей – строчная буква a . При

страховании на чистое дожитие ожидаемая текущая стоимость страховых

выплат в расчете на одного страхователя со страховой суммы, равной

единице, обозначается следующим образом:

xnn

x

nxn

nx pl

lA 1

: . (5)

Формула (5) определяет ожидаемую текущую стоимость единичной

суммы, т.е. является актуарным дисконтным множителем за n лет в

соответствии с формулой (4). Эта величина имеет свойство

mnxnxmnx AAA 1:

1:

1:

– актуарное дисконтирование на срок mn лет от возраста mnx до

возраста x эквивалентно последовательному актуарному дисконтированию

сначала на m лет от возраста mnx до возраста nx , а затем еще на n

лет до возраста x .

Коммутационные функции

Для упрощения актуарных расчетов часто используют так называемые

коммутационные функции, для которых составлены таблицы. Функция,

используемая в страховании на дожитие

63

xx

x lD . (6)

Ее смысл – если при рождении группы детей численностью 0l их

страхуют на дожитие с условием выплаты единичной страховой суммы по

достижению возраста x , то формула (6) дает ожидаемую текущую стоимость

суммы страховых выплат, т.е. суммарную страховую премию. С помощью

коммутационной функции формулу (5) можно представить в виде

x

nx

nxD

DA 1

: . (7)

3.2. Страхование рент

Во многих случаях более предпочтительным для страхователей

является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в

течение определенного периода или пожизненно. Регулярные выплаты через

равные промежутки времени называют страховой рентой или аннуитетом.

Часто термин «аннуитет» относят только к последовательности платежей с

ограниченным сроком. Страховая рента отличается от обычной финансовой

ренты тем, что выплачивается только при условии, что ее получатель жив,

т.е. является условной рентой.

Обыкновенная пожизненная рента.

Наиболее распространенным видом страховой ренты является

обыкновенная пожизненная рента, которая выплачивается в конце каждого

года дожития в течение всей жизни застрахованного. Так как платежи

осуществляются в конце каждого временного периода, то обыкновенную

ренту называют еще рентой постнумерандо. Начиная с некоторого момента

00t человек раз в год в конце года начинает получать определенную сумму

(которую обычно принимают в качестве условной денежной единицы).

Выплаты производятся только во время жизни человека.

64

Определим ожидаемую текущую стоимость ренты на начало контракта,

а также на начало каждого года в течение срока действия контракта.

Пусть xl лиц в возрасте x заключают договор страхования,

предусматривающий регулярные выплаты размером в единицу в конце

каждого года пожизненно. Тогда в конце первого года страховщик выплатит

сумму 1xl , в конце второго года – 2xl и т.д. до тех пор, пока будет жив хотя

бы один страхователь. Последняя выплата будет осуществлена лицам в

возрасте . Текущая стоимость страховых выплат на момент заключения

договора составит соответственно .l,ν,lν,νl ωxω

xx 22

1

Суммарная текущая стоимость всех выплат ренты

xω

k

kxk

ωxω

xx lνlνlννl

1

22

1 . (1)

В расчете на одного страхователя, заключившего договор в возрасте x ,

это составит

x

k

xkk

x

k x

kxkx p

l

la

11

. (2)

Формула (2) определяет ожидаемую текущую стоимость пожизненной

ренты с выплатами в конце каждого года, равными единице, для

страхователя в возрасте x . Очевидно, что величина единовременного взноса,

который должен заплатить каждый страхователь при заключении договора

равна xa . Взносы по страховой ренте собираются со всех, выплаты же

производятся только дожившим до сроков ее выплаты, на это показывает

множитель xk p . Поскольку взносы умерших перераспределяются в пользу

оставшихся в живых, то при равной величине выплат стоимость страховой

ренты всегда ниже стоимости финансовой ренты.

Формулу (2) можно также получить, представив контракт по

страхованию ренты в виде совокупности контрактов на дожитие с единичной

страховой суммой сроком на 1, 2, 3, года и т.д. Тогда ожидаемая текущая

65

стоимость выплат рент равна сумме ожидаемых текущих стоимостей выплат

по соответствующим контрактам на дожитие

x

k x

kxkx

kkxx

l

lAa

11

1: . (3)

Приведенная пожизненная рента

Наряду с обыкновенной рентой часто используется приведенная рента

или пренумерандо, когда платежи осуществляются в начале каждого

временного периода. Начиная с некоторого момента 00t человек раз в год

начинает получать определенную сумму (которую обычно принимают в

качестве условной денежной единицы). Выплаты производятся только во

время жизни человека.

Ожидаемая текущая стоимость ренты пренумерандо вычисляется так

же, как и для ренты постнумерандо:

x

k

xkk

x

k x

kxkx

kkxx p

l

lAa

000

1: . (4)

Приведенные ренты широко используются при расчете страховых

взносов, уплачиваемых в рассрочку. Сравнивая формулы (3) и (4) видим

1xx aa (5)


Для упрощения актуарных расчетов по страхованию ренты используют

следующую коммутационную функцию

xt

t

x

k

kxx DDN

0

. (6)

66

Смысл этой функции следующий: если при рождении группы детей

численностью 0l заключается договор страхования с условием пожизненной

выплаты ренты размером в единицу в начале каждого года начиная с

возраста x , то формула (6) дает текущую стоимость страховых выплат или

суммарную величину единовременного страхового взноса. С помощью

коммутационной функции формулы (3) и (4) примут вид:

x

xx

D

Na ,

x

xx

D

Na 1 .

Срочные ренты

Если выплата ренты ограничена определенным сроком, например n

лет, то рента называется срочной.

Пусть 00t – настоящий момент, а возраст человека, которому

выплачивается рента – x лет. Обыкновенная срочная рента определяется как

серия выплат единичной суммы, производимых раз в год в конце года

пожизненно, начиная с момента 1t , но не более, чем n лет.

Стоимость обыкновенной срочной ренты

x

nxxnxnxx

n

k x

kxk

nx:D

NNaAa

l

la 111

:

1

.


выплачивается рента – x лет. Приведенная срочная рента определяется как

серия выплат единичной суммы, производимых раз в год пожизненно,

начиная с момента 00t , но не более, чем n лет. Таким образом, если

человек проживет еще n лет (т.е. если nTx ), то производится ровно n

67

выплат в начале каждого года; если же nTx , то производится 1xK

выплат.

Стоимость приведенной срочной ренты

x

nxxnxnxx

n

k x

kxk

nx:D

NNaAa

l

la 1

:

1

0

.

Отложенные ренты

Рассмотренные выше ренты называются немедленными, так как срок их

действия начинается сразу после заключения контракта. Срок действия

отложенных (или отсроченных) рент запаздывает относительно этого

момента на период отсрочки.


выплачивается рента – x лет. Отложенная на m лет обыкновенная

пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы,

производимых раз в год, начиная с момента 1mt , до тех пор, пока

человек жив. Однако если человек умрет до момента 1m , то ни одной

выплаты не производится.

Стоимость отложенной на m лет пожизненной ренты постнумерандо

68

x

mxmxmxmx

x

mxmx

mk x

kxkxm

D

NaAa

l

l

l

la 11

:

1

.


выплачивается рента – x лет. Отложенная на m лет приведенная

пожизненная рента определяется как серия выплат единичной суммы,

производимых раз в год, начиная с момента mt , до тех пор, пока человек

жив. Однако если человек умрет до момента m , то ни одной выплаты не

производится.

Стоимость отложенной пожизненной ренты пренумерандо

x

mxmxmxmx

x

mxmx

mk x

kxkxm

D

NaAa

l

l

l

la 1

: .

Отложенная срочная рента постнумерандо

x

nmxmx

nmxmxnmxx

mxmnm

mk x

kxk

nx:mD

NNaAa

l

l

l

la 11

:1

::

1

.

Отложенная срочная рента пренумерандо

x

nmxmx

nmxmxnmxx

mxmnm

mk x

kxk

nx:mD

NNaAa

l

l

l

la :

1::

1

.

3.3. Страхование жизни

69

Наряду со страхованием на дожитие весьма популярным (и гораздо

более дешевым) является страхование жизни, когда страховая выплата

осуществляется в случае смерти застрахованного. Страхование жизни имеет

две основные формы: а) пожизненное страхование; б) страхование на срок,

когда страховая сумма выплачивается только в том случае, если

застрахованный умрет, не дожив до срока окончания договора.

Пожизненное страхование

Пусть xl лиц возраста x заключили договор на пожизненное

страхование. Спустя год после заключения договора в живых останутся

только 1xl лиц, а 1xxx lld умрут в течение года. Будем считать для

простоты, что страховые выплаты осуществляются в конце года смерти

застрахованного. Тогда текущая стоимость выплат первого года страхования

будет равна xνd , второго года – 12

xdν , третьего года – 23

xdν и т.д. (расчеты

также производятся для единичной суммы).

Текущая стоимость страховых выплат по всем договорам составляет

kx

k

kxx dνlA

0

1 . (1)

В расчете на один договор страхования получим

x

kx

k

kx

l

dνA

0

1 . (2)

Формула (2) определяет текущую стоимость пожизненного

страхования с выплатой в конце года смерти. Перепишем формулу (2),

учитывая xkkxx

kx

kx

kx

x

kx pql

l

l

d

l

d, тогда

xkkx

k

kx pqνA

0

1 . (2а)

70

Из формулы (2а) видно, что вклад выплат за 1k год страхования в

стоимость полиса по страхованию жизни равен текущей стоимости выплат,

умноженной на вероятность умереть в течение 1k -го года, которая в свою

очередь равна вероятности дожить до начала этого года, умноженной на

вероятность смерти в течение года.

Страхование жизни на срок

При страховании жизни на срок ( n лет) ожидаемая текущая стоимость

выплат будет

x

nxnxx

x

kxn

k

k

nx:D

DAA

l

dνA

1

0

11 . (3)

Изобразим графически схему страхования жизни сроком на 3 года.

В момент времени 0t страховщик получает взнос в размере 3

1x:A в

расчете на одного застрахованного, затем в течение периода от 0 до 1 года

происходит приращение этой суммы ( в силу начисления процентов) , затем в

момент времени 1t производится первая выплата (по смертям

произошедшим в течение первого года), затем в течение периода от 1- го до

2-го года происходит наращивание оставшейся суммы, затем в момент 2t

производится вторая выплата, после чего остаток нарастает к моменту

времени 3t , в который и производится последняя выплата, полностью

исчерпывающая остаток средств.


Для упрощения расчетов по страхованию жизни вводятся следующие

коммутационные функции:

71

xx

x dνC 1 , (4)

0k

kxx CM . (5)

Тогда формулы (2) и (3) можно переписать в следующем виде:

.D

MMA;

D

MA

x

nxx

nx:x

xx

1 (6)

Страхование с выплатой в момент смерти

До сих пор было рассмотрено страхование, при котором страховые

выплаты осуществлялись в конце года смерти застрахованного. На практике,

как правило, договор страхования предусматривает выплату страховой

суммы сразу после установления факта смерти. Поэтому при вычислении

текущей стоимости страховой выплаты следует осуществлять

дисконтирование от момента смерти, а не от конца года, что реализуется

заменой:tkk νν 1, где t – интервал времени от начала 1k -го года

страхования до момента смерти (в долях года).

Более сложная задача – вычисление ожидаемого количества смертей в

течение года. Дело в том, что таблицы смертности дают информацию об

общем количестве смертей за год, не детализируя их распределение по

месяцам или неделям года. Поэтому для вычисления количества смертей в

определенном временном интервале внутри года необходимо принять какую-

либо гипотезу о характере этого распределения. Наиболее простым и

естественным является предположение о равномерном распределении

смертей внутри года. Если разбить 1k -й год страхования на m равных

интервалов времени длительностьюm

1 , то количество смертей за любой

интервал времени составит m

d kx . Будем считать, что все выплаты по

страховым случаям, происшедшим в соответствующем временном

72

интервале, осуществляются в конце этого интервала, т.е. совокупность

страховых выплат представляет собой m -срочную ренту постнумерандо.

Тогда ожидаемая текущая стоимость страховых выплат за этот год составит

1

11

1

0

1

/mkx

m

p

k)/m(pkxk

s

ν

m

dνν

m

dν . (7)

(при выводе формулы (7) использовали формулу для суммы геометрической

прогрессии)

Переходя ко все более и более коротким интервалам времени ( m ),

получим

ssm;m

s

m

ss

m

/m

m

/m ln1ln

1ln

exp 11 .

В результате текущая стоимость страховых выплат за год равна:

i

idν kx

k

1ln

1 .

Ожидаема текущая стоимость страховых выплат, осуществляемых в

момент смерти, для пожизненного страхования ( xA ) равна:

xx

kx

k

kx A

i

i

l

dν

i

iA

1ln1ln0

1 . (8)

В актуарной математике обозначения с чертой сверху относятся к

непрерывным выплатам. В данном случае страховые выплаты происходят

достаточно часто, т.е. практически непрерывно в течение каждого года

страхования. Формула (8) отличается от соответствующей формулы (2) для

страхования с выплатой в конце года смерти наличием дополнительного

множителя. Величина этого множителя при небольших значениях годовой

процентной ставки определяется приближенной формулой

21

21ln 2i

ii

i

i)(

i.

Аналогичным образом для стоимости срочного контракта по

страхованию жизни сроком на n лет вместо формулы (3) получим

73

nx:x

kxn

k

k

nx: A

s

i

l

dν

s

iA 1

1

0

11

lnln. (9)

Изобразим графически зависимость ожидаемой текущей стоимости от

времени для страхования жизни сроком на 3 года со страховыми выплатами

непосредственно после установления факта смерти застрахованного.

В момент времени 0t страховщик получает взнос в размере 3

1x:A в

расчете на одного застрахованного, затем в течение всего срока страхования

происходит некоторое приращение этой суммы (в силу начисления

процентов), с одной стороны, и непрерывное ее уменьшение в результате

страховых выплат – с другой, причем последний процесс является более

преобладающим. К моменту окончания срока страхования полностью

исчерпываются полученные средства.

3.4. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год

Ежегодные ренты встречаются значительно реже, чем ренты,

выплачиваемые несколько раз в год. Так, например, пенсии выплачиваются

ежемесячно. Страховые премии также часто вносятся ежемесячно или

ежеквартально. Принципы расчета текущей стоимости этих рент такие же,

как и в случае ежегодных рент, однако вывод окончательных формул более

сложен в связи с тем, что необходимо уметь вычислять дисконтные

множители и численность доживающих для интервалов времени,

длительность которых менее года. Для дисконтных множителей мы

предполагаем, что наращивание процентов происходит непрерывно; для

74

промежуточных же значений численности доживающих используется

линейная интерполяция xxnxx quqduud ;)( .

Рассмотрим авансированную срочную ренту, выплачиваемую q раз в

год. Величина каждой выплаты равна q1 , поэтому суммарная выплата за

год, как и в случае ежегодной ренты, равна единице.

Текущая стоимость этой ренты обозначается так же, как и для

ежегодной ренты, но с верхним индексом q :

1

0

1

0

1

0

1

0

11n

k

q

p x

p/qkxn

k

q

p x

p/qkxp/qk

n

(q)x:

D

D

ql

lν

qa . (1)

Простые формулы для q -кратных рент

Если значение годовой процентной ставки достаточно мало, то можно

считать, что линейная интерполяция справедлива не только для числа

доживающих, но и для дисконтного множителя (т.е. в пределах года

начисление процентов происходит по закону простых процентов). Тогда и

для коммутационной функции D также будет справедлива линейная

интерполяция в пределах года:

)( 1/ kxkxkxqpkx DDq

pDD . (2)

Подставим формулу (2) в формулу (1) и выполним суммирование по k :

nx:

n

k x

kx aD

D

1

0

;

x

nx

x

nxxn

k x

kxkx

D

D

D

DD

D

DD1

1

0

1 .

75

Затем выполним суммирование по p с использованием формулы для

суммы членов арифметической прогрессии:

x

nx

nx:

q

px

nx

nx:n

(q)x:

D

D

q

qa

q

p

D

Daa 1

2

11

1

02

. (3)

Аналогичным образом можно получить и формулу для обычной ренты

x

nx

nx:n

(q)x:

D

D

q

qaa 1

2

1. (4)

Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция

(2) для D неприменима, и требуется более детальный анализ.

Точные формулы для q -кратных рент для произвольной процентной

ставки

Если процентная ставка достаточно велика, то линейная интерполяция

(2) для D неприменима. Поэтому будем использовать в расчетах линейную

интерполяцию только для числа доживающих ( xx

uxxu puu

l

lp 1 ), для

дисконтных же множителей будем использовать точные выражения. В

результате получим

x

nxnx:

n

k

q

p x

p/qkx

n

(q)x:

D

Dβ(q)aα(q)

D

D

qa 1

11

0

1

0

;

x

nxnx:n

(q)x:

D

D

qβaα(q)a 1

1 ,

где ;)(;)()()(

)(

q)()( qq

q

q di

iiq

di

idq

(q)(q) d,i – фактические процентная и учетная ставки за период, равный q

1

части года, определяемые формулами

qiqi/q

e(q) 1

1 ; 11q

e i/qi (эффективная процентная ставка);

/qe

(q) dqqd1

1 ; νde 1 (эффективная годовая учетная

ставка).

76

Непрерывные ренты

Если выплаты ренты происходят достаточно часто, то можно считать,

что процесс выплаты рент непрерывен (особенно для еженедельных выплат).

Текущую стоимость непрерывной ренты легко получить из формул (3) или

(4) при q :

222

nx:nx:

x

nxx

nx:x

nxx

nx:nx:

aa

D

DDa

D

DDaa

.

3.5. Накопительное страхование с фиксированными взносами

В страховой практике часто используют накопительные схемы

страхования, в которых фиксируются величины не страховых выплат, а

уплачиваемых взносов. Искомая величина, подлежащая определению с

помощью актуарных расчетов, – накопленная величина вкладов. Причина

популярности таких схем заключается в том, что страхователи

психологически легче воспринимают банковскую схему наращения вклада,

которая позволяет легко оценить доходность. Кроме того, вследствие

постоянного изменения процентной ставки, не представляется возможным

гарантированно спланировать на срок более года страхование по

классической схеме с нормой доходности, способной конкурировать с

сегодняшней доходностью банковских вкладов. Применение схемы с

фиксированными взносами позволяет работать с плавающей процентной

ставкой, которую можно в каждый момент времени выбрать на достаточно

высоком конкурентоспособном уровне.

Если каждый член большой группы численностью xl в возрасте x

внесет в фонд платеж в размере 1, то через n лет накопленная сумма будет

равна nxsl . В расчете на одного дожившего до возраста nx это даст

1

:

:

1

nxnx

nx

nxAl

sls . (1)

77

Из формулы (1) видно, что наращение суммы будет происходить более

высокими темпами, чем на банковском вкладе с такой же процентной

ставкой, за счет перераспределения вкладов умерших между дожившими.

Если каждый член группы в начале каждого года вносит в фонд сумму

в размере 1 (рента пренумерандо), то накопленная через n лет сумма в

расчете на одного дожившего будет равна

nx

nxxn

k nx

kxn

k knk:x

n

k nx

knkx

nx: D

NN

D

D

Al

sls

1

0

1

01

1

0

1 . (2)

Если взносы будут вноситься в конце каждого года (рента

постнумерандо), то аналогичным образом получим

nx

nxxn

k nx

kxnx: D

NN

D

Ds 11

1

. (3)

Сравнивая формулы (2), (3) с формулами x

xx

D

Na и

x

xx

D

Na 1 видим,

что они связаны универсальным соотношением

nx:

nx:

nx:

nx:

nx:A

s

a

s

a1

. (4)

3.6. Страховые премии

Основные определения

Ранее была рассмотрена теория страховых выплат для различных видов

страхования жизни и была определена единовременная стоимость страховых

выплат на момент заключения договора. Однако долгосрочные контракты по

страхованию жизни оплачиваются единовременным взносом только в редких

случаях – слишком велика их стоимость. Как правило, страховая премия

уплачивается в рассрочку – ежегодно, ежеквартально, ежемесячно. Если при

единовременной оплате страхователь полностью выполняет свои

обязательства на момент заключения договора, то при периодической уплате

взносов они выполняются в рассрочку. Очевидно, что от способа уплаты

78

страховой премии страхователем стоимость обязательств страховщика никак

не зависит.

При расчете величины периодически уплачиваемых взносов

необходимо учитывать как процентный доход от их инвестирования, так и

демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает

существенное влияние на величину взносов, поскольку далеко не все

страхователи успевают до наступления смерти уплатить все

предусмотренные контрактом взносы. Если величина периодически

уплачиваемых взносов постоянна, то совокупность этих взносов

представляет собой постоянную ренту платежей. В связи с тем, что договор

страхования вступает в силу только после получения первого взноса, рента

страховых платежей всегда является приведенной (рента постнумерандо).

Основа для расчета величины страховых взносов – условие равенства

обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора:

ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть

равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих текущих взносов. Если

договор страхования сроком на n лет заключен в возрасте x , ожидаемая

текущая стоимость страховых выплат равна A , а неизвестная величина

ежегодных страховых взносов равна P , то это равенство имеет вид

nxaPA

: , (1)

где nx

a:

– ожидаемая текущая стоимость ренты с ежегодными платежами

единичной величины.

Отсюда ежегодный взнос

nxa

AP

:

. (2)

Формула (2) показывает, во сколько раз величина ежегодного взноса

меньше величины единовременно уплачиваемого взноса, поэтому величину

nxa

: часто еще называют коэффициентом рассрочки. Если уменьшение

численности страхователей и процентный доход от взносов равны нулю

79

( )0iconst,l , то коэффициент рассрочки будет в точности равен

продолжительности срока платежей n .

Часто период уплаты страховой премии составляет лишь часть срока

действия договора страхования. В течение периода уплаты страховой премии

страхователь обязан полностью внести подлежащие уплате взносы, т.е.

полностью выполнить свои обязательства. Срок уплаты премий будем

обозначать буквой m . Первая премия вносится в начале первого года

страхования, последняя – в начале m -ого года. Величина ежегодного взноса

определяется тогда формулой

mx:a

AP

. (3)

Период от даты уплаты последнего взноса до первой (или

единственной) страховой выплаты называют выжидательным. При

страховании капитала на дожитие выжидательный период продолжается до

окончания срока договора страхования. При страховании ренты

выжидательный период заканчивается с началом периода выплат ренты.

Нетто-премии для элементарных видов страхования

Страхование на чистое дожитие

Рассмотрим сначала наиболее простую ситуацию, когда

выжидательный период отсутствует и уплата страховой премии происходит в

течении всего срока действия договора страхования. Пусть возраст

застрахованного x лет, срок страхования n лет равен периоду уплаты

премии. В соответствии с формулой

nx:a

AP

величина страхового взноса с

единичной страховой суммы равна единовременной стоимости страхования,

деленной на соответствующий коэффициент рассрочки:

nx:

nx

nxa

AP

1:

1: . (1)

80

Период уплаты взносов либо может совпадать со сроком действия

договора, либо быть меньше него. В последнем случае на полисе указывается

возраст застрахованного, по достижении которого полис должен быть

полностью оплачен.

Если продолжительность периода уплаты страховой премии равна m

лет, то величина ежегодного взноса в соответствии с

mx:a

AP

равен

mx:

nx

nxa

AP

1:

1: . (2)

Страхование рент

Страхование рент является разновидностью страхования на дожитие,

когда вместо единовременной выплаты по дожитию до срока окончания

договора предусмотрен ряд регулярных страховых выплат в течение

некоторого периода времени или пожизненно (при условии дожития до

сроков выплаты). Поэтому в дополнение к периоду уплаты страховой премии

и выжидательному периоду, предусмотренными при страховании на

дожитие, здесь выделяют также период страховых выплат, в течение

которого страховщик выполняет свои финансовые обязанности по

отношению к страхователю.

Рассмотрим вначале более простой случай, когда выжидательный

период отсутствует. Будем считать, что период выплат пожизненной ренты

(пенсии) начинается по достижении человеком определенного возраста p , а

договор страхования заключен в возрасте x и предусмотрен период уплат

взносов в течение xpm лет. Тогда ожидаемая текущая стоимость этой

отсроченной на m лет ренты на момент заключении договора страхования

равна

x

p

x

mxxm

D

N

D

Na . (3)

81

Коэффициент рассрочки, соответствующий заданному периоду уплаты

страховой премии, равен

x

px

x

mxx

mx:D

NN

D

NNa . (4)

разделив (3) на (4), получим

mxx

mx

mx

xm

xmNN

N

a

aP

:

. (5)

Если период уплаты взносов меньше срока отсрочки, то величина

ежегодного взноса определяется по формуле

mxx

p

mx

xxp

xxpNN

N

a

aP

:

. (6)

Для срочной ренты продолжительностью n лет получим

mxx

npp

mx

nxxp

nxxpNN

NN

a

aP

:

:

:

. (7)

Страхование жизни на случай смерти

В отличие от страхования на дожитие в страховании на случай смерти

отсутствует выжидательный период, т.е. период, когда страховая премия уже

полностью внесена, а обязанности страховщика осуществлять страховые

выплаты еще не наступила. Это связано с тем, что страховым случаем,

обязывающим произвести выплату, является смерть застрахованного,

которая может наступить в любой момент после заключения договора.

Рассмотрим сначала простой случай пожизненного страхования, когда

взносы уплачиваются страхователем, пока он жив (т.е. период уплаты

взносов совпадает со сроком страхования), а страховая выплата

производиться непосредственно после смерти. Величина страхового полиса с

единичной страховой суммы равна единовременной стоимости полиса,

деленной на соответствующий коэффициент рассрочки

x

x

x

xx

N

M

i

i

a

AP

1ln. (8)

82

Если период уплаты взносов при пожизненном страховании на случай

смерти ограничен (до возраста p ), то коэффициент рассрочки

x

px

xpx:D

NNa , (9)

а величина годового взноса с единичной страховой суммы определяется

формулой

px

x

xpx

xx

NN

M

i

i

a

AP

1ln:

. (10)

Для страхования жизни сроком на n лет имеем

px

nxx

xpx

nxnx

NN

MM

i

i

a

AP

1ln:

1

::

. (11)

Смешанное (комбинированное) страхование жизни

Этот вид страхования представляет собой комбинацию срочного

страхования жизни и страхования на дожитие на этот же срок. Часто его

просто называют страхованием на дожитие (в отличие от чистого дожития).

Страховая сумма выплачивается застрахованному при дожитии до окончания

срока либо выгодоприобретателю, если застрахованный умер раньше.

Единовременная премия такого страхования равна сумме единовременных

премий страхований на случай смерти и дожитие:

nxnxnxAAA 1

:1

::. (12)

При уплате страховой премии в рассрочку величина периодических

взносов

nx:

nx

nxa

AP

:

: . (13)

Иногда встречается смешанное страхование жизни с неравными

страховыми суммами – страховая сумма по смерти выбирается больше, чем

по дожитию. В этом случае при расчете тарифов за основу принимается

83

страховая сумма по дожитию, а единовременная стоимость страхования с

единичной страховой суммой

nxnxnxAAA 1

:1

::,

s

d

S

S, (14)

где – отношение страховых сумм по смерти и дожитию.

Нетто-премии для пенсионных планов

Различают два основных типа пенсионных планов: планы с

фиксированной выплатой пенсии и планы с фиксированным взносом.

План с фиксированной выплатой пенсии предполагает накопление

средств для обеспечения выплат пенсии установленного договором размера

по наступлению пенсионного возраста. Уровень пенсионного обеспечения

обычно устанавливается в зависимости от заработной платы работника в

момент заключения договора. Преимущество системы с фиксированной

выплатой заключается в том, что она дает застрахованные твердые гарантии

уровня их пенсионного обеспечения в будущем. Недостаток системы в том,

что у работника могут возникнуть финансовые проблемы при уплате

будущих взносов, если величина его зарплаты с возрастом понизится.

Страховая компания несет на себе риск низкой доходности инвестиций.

План с фиксированным взносом – план, в котором размер взноса

устанавливается в зависимости от заработной платы работника и изменяется

вместе с размером последней. Затем взносы инвестируются, и размер пенсии

определяется при достижении пенсионного возраста исходя из накопленной

суммы. Такая система позволяет гибко реагировать на изменение процентной

ставки в течение срока страхования. Недостаток ее – достаточно высокая

степень неопределенности в размере пенсии.

Смешанные планы совмещают в себе элементы системы с

фиксированным взносом и системы с фиксированной выплатой. Так,

например, условиями пенсионного плана может быть предусмотрен возраст,

по достижению которого работник может (или должен) перейти от системы с

фиксированным взносом к системе с фиксированной выплатой.

84

План без возврата взносов

Такой пенсионный план представляет собой классическую

пожизненную ренту, выплачиваемую начиная с момента достижения

застрахованным пенсионного возраста p . Если возраст застрахованного в

момент заключения договора равен x , то мы имеем дело с пожизненной

рентой пренумерандо, отложенной на xpd лет. Ее текущая стоимость на

момент заключения договора равна

x

p

x

dxxd

D

N

D

Na . (1)

Величина годовых страховых нетто-взносов определяется путем

деления стоимости ренты на ожидаемую текущую стоимость ренты взносов,

уплачиваемых в течение m лет

mxx

p

mx

xxp

xNN

N

a

aP

:

, (2)

где x

mxx

mx:D

NNa – годовой коэффициент рассрочки (пренумерандо).

Если выжидательный период отсутствует ( md ), то в знаменателе

формулы (2) mx следует заменить на p .

Если пенсионные выплаты осуществляются пожизненно q раз в год в

размере q/1 , начиная с возраста p , то текущая стоимость такой ренты на

момент заключения договора

qaqD

Da

D

Da p

x

pqp

x

pqxxp

, (3)

где ;)(;)()()(

)(

q)()( qq

q

q di

iiq

di

idq

В свою очередь страховые взносы также могут уплачиваться чаще, чем

один раз в год. Если страховые взносы уплачиваются r раз в год, то годовая

сумма взносов

85

xmxmxx

pp

r

mx

qxxpr

xDDrarD

qaqD

a

aP

/1)()(

)()(

:)(

:

)(

)(

. (4)

Премия, нагруженная на издержки. Брутто-премия

До сих пор все расчеты размера страховой премии были основаны на

равенстве ожидаемых текущих стоимостей страховых выплат и страховой

нетто-премии. Нетто-премия обеспечивает лишь покрытие ожидаемых

страховых выплат. Операции по страховому договору требуют определенных

издержек (издержки страхования), для покрытия которых сверх нетто-

премии взимается еще нагрузка. Сумма нетто-премии и нагрузка называется

брутто-премией.

Если доля нагрузки составляет процентов, то брутто-премия,

обозначим ее БП , может быть найдена по формуле

100100

НПБП ,

где НП – нетто-премия.

Обычно различаются три вида издержек.

1. Издержки приобретения (аквизиционные расходы) часто еще называют

начальными издержками. Они связаны с приобретением полиса и

складываются из комиссионных страхового агента, затрат по оформлению и

регистрации полиса, стоимости консультаций, медицинского осмотра,

рекламы и т.д.

Для простоты часто к издержкам приобретения относят только

комиссионные страхового агента (брокера), остальные же издержки, которые

в постоянно действующей страховой компании имеют регулярный характер,

относят к административным. Такое разделение удобно, поскольку оплата

издержек приобретения полиса происходит в момент поступления первого

взноса, оплату прочих издержек трудно привязать к какому-то конкретному

моменту времени. Еще одно преимущество такого разделения в том, что все

издержки приобретения относятся на счет конкретного агента (брокера) по

86

конкретному договору с конкретным сроком действия и страховой суммой, а

прочие издержки носят общеучрежденческий характер и практически не

зависят от характеристик договора.

2. Издержки сборов (издержки возобновления) связаны с рассылкой

напоминаний б уплате премии, а также с выплатой регулярных

комиссионных агенту, продавшему полис. Издержки взимаются в дни уплаты

регулярных взносов.

3. Административные издержки включают в себя расходы по

обеспечению функционирования страховой компании (зарплата, аренда,

плата за коммунальные услуги, стоимость, обработки данных, налоги, плата

за лицензию и т.п.), а также иные расходы, не вошедшие в предыдущие

пункты.

По способу расчета различаются три типа издержек:

1. прямо пропорциональные страховой сумме.

2. прямо пропорциональные премии (например, расходы по инкассации

страховых платежей).

3. не зависящие от премии или страховой суммы (например, стоимость

изготовления полисов, медицинского осмотра и т.п.).

Издержки могут также представлять произвольную комбинацию

перечисленных типов.

Для простоты будем пользоваться величиной издержек на единицу

страховой суммы; соответствующие издержки приобретения обозначим ,

расходы по сбору страховых платежей – , ежегодные административные

расходы – .

Будем считать, что издержки приобретения оплачиваются полностью

при получении первого взноса, административные расходы производятся

равномерно в течение всего срока действия договора ( n лет), расходы по

сбору платежей – в течение периода уплаты взносов ( m лет). Уравнение для

определения размера ежегодной брутто-премии с единичной страховой

суммы имеет вид баланса: ожидаемая текущая стоимость страховой брутто-

87

премии равна сумме ожидаемых текущих стоимостей страховых выплат и

издержек на момент начала договора:

nxmxmxааПAaП

::: , (1)

где m и n – продолжительность периода уплаты взносов и срок

действия договора, П – ежегодная брутто-премия, А – текущая стоимость

ожидаемых страховых выплат.

Ежегодная брутто-премия

mx

nx

mxа

аP

аPPPPП

:

:

:

;);()1(

1

. (2)

Три слагаемых в скобках обозначают соответственно нетто-премию,

ежегодную часть оплаты издержек приобретения и ежегодную часть оплаты

административных издержек. Отсюда ясно, что страхователь оплачивает

издержки приобретения в рассрочку в рассрочку в течение всего периода

уплаты взносов, хотя комиссионные за продажу полиса уплачиваются агенту

полностью при заключении договора. Это означает, что вышеупомянутые

расходы несет страховщик, как бы предоставляя страхователю долгосрочную

ссуду, а последний погашает задолженность в течение периода уплаты

взносов. Если договор страхования прекращается до окончания периода

уплаты взносов, страховщик удерживает непогашенную задолженность.

Резюме

Страхование жизни обычно осуществляется в двух формах:

страхование сумм (капитала) и страхование рент (аннуитетов). В первом

случае при наступлении страхового события (смерти или дожития)

выплачивается единовременно определенная сумма денег, во втором случае –

страховщик производит регулярные выплаты в течение определенного

периода времени или пожизненно.

В классическом страховании жизни рассматривают два страховых

события: дожитие до определенного срока и смерть в период действия

88

договора. Страхование на чистое дожитие заключается в страховании

определенной суммы денег на определенный срок. В случае смерти

страхователя в период действия договора страховая сумма не выплачивается,

и взносы не возвращаются. Страхование жизни заключается в страховании

жизни на определенную сумму, когда страховая выплата осуществляется в

случае смерти застрахованного. Страхование жизни имеет две основные

формы: а) пожизненное страхование; б) страхование на срок, когда страховая

сумма выплачивается только в том случае, если застрахованный умрет, не

дожив до срока окончания договора.

Во многих случаях более предпочтительным для страхователей

является не получение единовременной выплаты, а регулярный доход в

течение определенного периода или пожизненно. Регулярные выплаты через

равные промежутки времени называются страховой рентой. Страховая рента

отличается от обычной финансовой ренты тем, что выплачивается только при

условии, что ее получатель жив, т.е. является условной рентой. Различают

следующие виды рент: пожизненные ренты, срочные ренты, отложенные

ренты и ренты, выплачиваемые несколько раз в год.

Долгосрочные контракты по страхованию жизни оплачиваются

единовременным взносом только в редких случаях – слишком велика их

стоимость. Как правило, страховая премия уплачивается в рассрочку –

ежегодно, ежеквартально, ежемесячно.

При расчете величины периодически уплачиваемых взносов

необходимо учитывать как процентный доход от их инвестирования, так и

демографические факторы (смертность). Последний фактор оказывает

существенное влияние на величину взносов, поскольку далеко не все

страхователи успевают до наступления смерти уплатить все

предусмотренные контрактом взносы.

Основа для расчета величины страховых взносов – условие равенства

обязательств страховщика и страхователя на момент заключения договора:

89

ожидаемая текущая стоимость предстоящих страховых выплат должна быть

равна ожидаемой текущей стоимости предстоящих текущих взносов.

Операции по страховому договору требуют определенных издержек

(издержки страхования), для покрытия которых сверх нетто-премии

взимается еще нагрузка. Сумма нетто-премии и нагрузки называется брутто-

премией.


1. В чем заключается прибыль от смертности?

2. Что собой представляют технический процент, тарифная ставка?

3. Ожидаемая текущая стоимость выплат при страховании на чистое

дожитие.

4. Обыкновенная и приведенная пожизненные ренты. Определение,

ожидаемая текущая стоимость.

5. Срочные ренты. Определение, ожидаемая текущая стоимость.

6. Отложенные ренты. Определение, ожидаемая текущая стоимость.

7. Ренты, выплачиваемые несколько раз в год. Непрерывные ренты.

8. Пожизненное страхование. Ожидаемая текущая стоимость выплат

пожизненного страхования.

9. Страхование жизни на срок. Ожидаемая текущая стоимость выплат.

10. Страхование с выплатой в момент смерти.

11. Накопительное страхование с фиксированными взносами.

12. Коммутационные функции. Определение, их приложение в актуарной

математике.

13. Какой принцип лежит в основе для расчета величины страховых

взносов?

14. Нетто-премии для страхования на чистое дожитие.

15. Нетто-премии для страхования рент.

16. Нетто-премии для страхования жизни.

17. Смешанное (комбинированное) страхование жизни.

90

18. Типы пенсионных планов.

19. Виды издержек страхования.

20. Брутто-премия.

91

ГЛАВА 4. Модели краткосрочного страхования жизни


Цели


о видах краткосрочного страхования жизни;

о видах перестрахования рисков.

Знать:

принципы назначения и расчета страховых премий;

принцип расчета вероятности разорения (неразорения) страховой

компании.

Уметь:

оценивать вероятность разорения (неразорения) страховой компании;

решать задачи об оптимальном выборе предела удержания в случае

заключения договоров перестрахования.

92

4.1. Анализ моделей краткосрочного страхования жизни

В актуарной математике модели страхования жизни условно делят на

две большие группы в зависимости от того, принимается или нет в расчет

доход от инвестирования собранных премий. Если нет, то мы говорим о

краткосрочном страховании; обычно в качестве такого «короткого»

интервала мы будем рассматривать интервал в 1 год. Если же да, то мы

говорим о долгосрочном страховании. Конечно, это деление условное и,

кроме того, долгосрочное страхование связано с рядом других обстоятельств.

4.2. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном

страховании жизни

Простейший вид страхования жизни заключается в следующем.

Страхователь платит страховой компании p рублей (эта сумма называется

страховой премией), а компания обязуется выплатить лицу, в пользу

которого заключен договор, страховую сумму b рублей в случае смерти

застрахованного в течение года по причинам, перечисленным в договоре (и

не платит ничего, если он не умрет в течение года или умрет по причине,

которая не покрывается договором). Страхователем может быть сам

застрахованный или другое лицо (например, его работодатель).

Величина страховой выплаты, конечно, много больше, чем страховая

премия: b p , и нахождение «правильного» соотношения между ними –

одна из важнейших задач актуарной математики.

Купив за p руб. страховой полис, страхователь избавил

выгодоприобретателя от риска финансовых потерь, связанных с

неопределенностью момента смерти застрахованного. Этот риск приняла на

себя страховая компания. Для страховой компании риск заключается в

случайности убытка по рассматриваемому договору; если застрахованный не

умирает в течение года, то убыток равен 0; если же не умирает, то убыток

равен b руб. Этот индивидуальный убыток является элементарный

составляющей финансового риска компании и поэтому изучение финансовой

деятельности компании начинается с изучения индивидуальных убытков.

93

Прежде всего мы отмечаем, что индивидуальный убыток является

случайной величиной. Поэтому важнейший элемент его анализа – это

определение распределения этой случайной величины. В рассматриваемой

нами простейшей схеме страхования распределение величины имеет вид:

biеслиq

iеслиpiP

x

xi

,

0,)( ,

где x - возраст застрахованного, xq - вероятность того, что человек в

возрасте x лет, умрет в течение ближайшего года по причине, покрываемой

договором, xx qp 1 .

Средняя величина убытка есть

xb qbbE 00 ,

а дисперсия

xxxxxb qpbqbqbqbbEE 2222220

222 )(0)( .

Наряду с величиной , описывающей индивидуальный убыток, мы

введем новую случайную величину pL , которая описывает потери

компании от заключенного договора страхования. Она принимает два

значения: p и 0pb с вероятностями xp и xq соответственно. Таким

образом, с вероятностью xp компания имеет доход p рублей, а с

вероятностью xq терпит потери, равные pb рублей.

Средние потери компании равны pbqpEEL x . Эта формула

позволяет получить простейшие выводы о величине страховой премии. Ясно,

что средние потери компании должны быть неотрицательными, т.е. xbqp .

Минимально возможное значение p равно xbqp0 . Оно соответствует

нулевым средним потерям компании и называется нетто-премией. На самом

деле реальная плата за страховку (брутто-премия или офисная премия)

больше нетто-премии. Разница между ними (нагрузка) позволяет страховой

компании покрыть административные расходы, обеспечить доход и, что

самое главное, гарантировать малую вероятность разорения компании.

94

Подробнее мы будем обсуждать этот вопрос позже, однако уже сейчас

отметим, что неразорение компании означает просто выполнение своих

обязательств перед клиентами, и в этом смысле разумное увеличение платы

за страховку в интересах самих клиентов.

Страховая сумма часто принимается равной 1 или 1000. Это означает,

что премия выражается как доля от страховой суммы или на 1000 страховой

суммы соответственно.

4.3. Точный расчет характеристик суммарного ущерба

Для страховой компании интерес представляет не конкретный

страховой случай и связанная с ним выплата страховой суммы, а общая

сумма выплат по всем договорам. Если эта сумма S меньше или равна, чем

активы компании u , то компания успешно выполнит свои обязательства.

Если же uS , то компания не сможет выплатить все страховые возмещения;

в этом случае мы говорим о разорении компании. Таким образом,

вероятность разорения компании это )( uSP , т.е. дополнительная функция

распределения суммарного ущерба. Соответственно функция распределения

суммарного ущерба )( uSP – это вероятность неразорения. Расчет этих

вероятностей представляет фундаментальный интерес для компании и

служит основой для принятия важнейших решений.

Для их расчета прежде всего отметим, что для случаев краткосрочного

страхования жизни

,...1 nS

и поэтому вероятность разорения компании равна

)...( 1 uPR N ,

где N – общее число застрахованных, а i – размер индивидуального ущерба

по i -му договору. Мы предполагаем, что число N – неслучайно, а случайные

величины N,...,1 – независимы (таким образом, мы исключаем

катастрофические несчастные случаи, влекущие смерть сразу нескольких

человек, застрахованных в нашей компании). Поскольку суммарный ущерб

95

представляет собой сумму независимых случайных величин, его

распределение может быть подсчитано с помощью классических теорем и

методов теории вероятностей.

4.4. Приближенный расчет вероятности разорения

Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико.

Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции

распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение

ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей.

Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает

возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем,

что при росте N вероятность )...( 1 xP N часто имеет определенный

предел (обычно нужно, чтобы x определенным образом менялось вместе с

N ), который можно применять в качестве приближенного значения искомой

вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и

удовлетворяет практические потребности. Основным является нормальное

(или гауссовское) приближение.

Гауссовское приближение основано на центральной предельной

теореме теории вероятностей. В простейшей формулировке эта теория

выглядит следующим образом:

если случайные величин N,...,1 независимы и одинаково

распределены со средним a и дисперсией 2

, то при N функция

распределения центрированной и нормированной суммы

DS

ESS

N

NaN...1

имеет предел, равный

x t

dtex 2

2

2

1)(

Поэтому, если число слагаемых велико, то можно написать

приближенное равенство:

96

),(xxDS

ESSP


.)(DS

ESuuSP

Существуют многочисленные обобщения центральной теоремы на

случаи, когда слагаемые i , имеют разные распределения, являются

зависимыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас

слишком далеко в сторону от изучаемого предмета. Поэтому мы ограничимся

утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы

N имело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то

применимо гауссовское приближение для нахождения вероятности

.xDS

ESSP

Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая

центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает

ясного указания на сферу применения.

Функция )(x при росте x от до возрастает от 0 до 1 и

непрерывна. Поэтому она может рассматриваться как функция

распределения некоторой случайной величины . Это распределение

называется гауссовским, или нормальным. Оно не зависит от каких-либо

параметров и детально изучено в теории вероятностей. Существуют

подробные таблицы как для функции распределения )(x , так и для

плотности.

.2

1)( 2

2t

exf

Значения )(1 x в наиболее интересном диапазоне 41 x

приведены в следующей таблице:

x )(1 x x )(1 x x )(1 x

97

1.0 15.87% 2.0 2.28% 3.0 0.135%

1.1 13.57% 2.1 1.79% 3.1 0.097%

1.2 11.51% 2.2 1.39% 3.2 0.069%

1.3 9.68% 2.3 1.07% 3.3 0.048%

1.4 8.08% 2.4 0.82% 3.4 0.034%

1.5 6.68% 2.5 0.62% 3.5 0.023%

1.6 5.48% 2.6 0.47% 3.6 0.020%

1.7 4.46% 2.7 0.35% 3.7 0.011%

1.8 3.59% 2.8 0.26% 3.8 0.007%

1.9 2.87% 2.9 0.19% 3.9 0.005%

Полезно также иметь таблицу квантилей x , отвечающих достаточно

малой вероятности разорения 1 :

1 1% 2% 3% 4% 5%

x 2.33 2.05 1.88 1.75 1.645

4.5. Принципы назначения страховых премий

Вопрос о том, какую плату страховая компания должна назначать за то,

что принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен. При его решения

учитывается большое число разнородных факторов: вероятность

наступления страхового случая, его ожидаемая величина и возможные

флуктуации, связь с другими рисками, которые уже приняты компанией,

организационные расходы компании на ведение дела, соотношение между

спросом и предложением по данному виду рисков на рынке страховых услуг

и т.д. Однако основным обычно является принцип эквивалентности

финансовых обязательств страховой компании и застрахованного. В

рассматриваемых нами простейших видах страхования, когда плата за

страховку полностью вносится в момент заключения договора, обязательство

застрахованного выражается в уплате премии p . Обязательство компании

98

заключается в оплате убытка . Однако мы не можем выразить принцип

эквивалентности обязательств равенством p , поскольку премия p –

детерминированная величина, а убыток – случайная.

Чтобы решить эту проблему, попробуем заменить случайную величину

ее средним значением E , т.е. назначим в качестве платы за страховку

ожидаемую величину убытка.

Оценим теперь последствия этого решения для возможности

выполнения компанией своих обязательств, т.е. подсчитаем вероятность

разорения (в рамках рассматриваемой модели).

Пусть, как мы определили ранее, N – число договоров в портфеле

компании, случайные величин N,...,1 выражают убытки по этим

договорам, NS ...1 – величина суммарного убытка. Поскольку мы

решили в качестве платы ip за i -й договор взять iE , резервный фонд

компании равен

.11

ESEEuN

ii

N

ii

Поэтому вероятность разорения есть

).( ESSPR

Применяя гауссовское приближение, мы получим:

.2

1)0(10)0(

DS

ESSPESSPR

Конечно, это совершенно неприемлемая величина вероятности

разорения. Это и не удивительно, т.к. равенство Ep на самом деле не

выражает эквивалентности обязательств компании и застрахованного. Хотя в

среднем и компания, и застрахованный платят одну и ту же сумму, компания

имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств еѐ, может

быть, придется выплатить гораздо большую сумму, чем E . Застрахованный

же такого риска не имеет. Поэтому было бы справедливо, чтобы плата за

страховку включала некоторую надбавку l , которая служила бы

99

эквивалентом случайности, влияющей на компанию. Итак, назначим в

качестве платы за i -ю страховку сумму iii lEp , где il - некоторая

добавочная сумма. Теперь резервы компании есть

,)(1

lESlEuN

iii

где .1

N

iill

Соответственно вероятность разорения компании равна

).()( lESSPuSPR

Применяя гауссовское приближение, мы получим:

.1DS

l

DS

l

DS

ESSPR

Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была ( –

некоторое число, близкое к 1), то DSl / должно равняться квантили x , т.е.

DSxl

Поскольку DS описывает величину случайных флуктуаций

суммарного ущерба вокруг его среднего значения, добавочная сумма

действительно в некотором смысле является компенсацией страховой

компании за то, что она взяла на себя опасности, связанные с

непредсказуемостью убытков.

Уравнение DSxl дает величину общей добавочной суммы l . Теперь

мы должны решить, как справедливым образом разделить ее между всеми

договорами.

Обычно сумму l делят пропорционально ожидаемому убытку iE , т.е.

полагают

ii Ekl

Поскольку известны lli и ESE i , коэффициент

пропорциональности k дается формулой:

100

.ES

DSxk

Соответственно для премии мы имеем:

.1)1(ES

DSxEEkp iii

Основной вклад в величину ip обычно дает iEp0 , которую мы

ранее назвали нетто-премией. Добавочную сумму ii Ekl называют

страховой (или защитной) надбавкой, а iii EXl / – относительной

страховой надбавкой. В рассматриваемом случае относительная страховая

надбавка одна и та же для всех договоров. Однако назначение

индивидуальных премий по данному правилу не совсем справедливо по

отношению к договорам с малыми флуктуациями возможного ущерба, т.е. с

малыми дисперсиями iD (если нетто-премия iE велика). Эти договоры

оплачивают случайности, связанные с другими договорами. Имея в виду то,

что суммарная надбавка l связана именно с суммарной дисперсией

N

iiDDS

1

, было бы справедливо делить l на части il , пропорциональные

дисперсиям iD или средним квадратическим отклонениям iD , т.е.

требовать, чтобы

ii Dkl

или

ii Dkl .

Суммируя по Ni ,...,1 мы получим в первом случае:

DS

xk

и

N

jjD

DSxk

1

101

во втором.

Соответственно для индивидуальных премий мы получим:

iii EDS

xEp

в первом случае и

iN

jj

ii D

D

DSxEp

1

во втором.

Относительные страховые надбавки в этих случаях зависят от

договоров и равны

i

ii

E

D

DS

x

и

i

i

N

jj

iE

D

D

DSx

1

соответственно.

4.6. Перестрахование.

Сущность и разновидности договоров перестрахования

Физические и юридические лица заключают договор страхования со

страховыми компаниями для того, чтобы избавиться от финансовых потерь,

связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных

событий. До заключения договора страхования клиент имел некоторый риск,

который мог привести к случайным потерям X (а мог и не привести к ним).

После заключения договора страхования, клиент избавился от этого риска (за

неслучайную плату EXp )1( ). Иными словами, клиент идет на

небольшие детерминированные расходы с тем, чтобы избавиться от

случайных потерь, которые хоть и маловероятны, но могут быть

катастрофически большими для него. Однако, сам риск не исчез – его

102

приняла на себя страховая компания. Другое дело, что, имея большой

портфель договоров, страховая компания обеспечивает себе крайне малую

вероятность разорения. Тем не менее, возможны очень большие иски,

которые приведут к разорению компании. С этой точки страховая компания

попадает в ту же ситуацию, в которой первоначально (до заключения

договоров страхования) находились ее клиенты – существует опасность

финансовых потерь, связанная с неопределенностью предъявления очень

больших исков.

Для решения этой проблемы страховые компании прибегают к

средству – страхованию своего риска в другой компании. Такой вид

страхования называется перестрахованием.

Компания, непосредственно заключающая договора страхования и

желающая перестраховать часть своего риска, называется передающей

компанией, а компания, которая страхует исходную страховую компанию,

называется перестраховочной компанией.

При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно

большие индивидуальные иски, так и суммарный иск за определенный

период, допустим, один год.

Деление договоров перестрахования на различные типы связано с

видом разделения ответственности между передающей и перестраховочной

компанией.

Если передающая компания самостоятельно удовлетворяет некоторую

долю , 10 , от каждого иска, а перестраховочная компания -

оставшуюся долю 1 , то такой вид перестрахования называется

пропорциональным. Параметр называется пределом удержания.

Предположим теперь, что передающая компания самостоятельно

оплачивает все иски вплоть до некоторого предела r рублей, а для исков,

превышающих r , оплачивает сумму r самостоятельно и предъявляет иск на

оставшуюся сумму к перестраховочной компании. Если это правило

применяется к каждому индивидуальному иску, то такой вид

103

перестрахования называется перестрахованием превышения потерь.

Параметр r называется пределом удержания. Если же это правило

применяется к общему иску за некоторый период, то такой вид

перестрахования называется перестрахованием, останавливающим потери.

Параметр r в этом случае называется франшизой.

Перестраховочная компания принимает на себя риск от передающей

компании за определенную плату. В сущности, для перестраховочной

компании операция выглядит как обычное страхование. Поэтому плата за

перестрахование устанавливается на тех же принципах, что и премии для

обычного страхования, т.е. плата за перестрахование риска равна

)()1( 1 XEh , где )(XEh – ожидаемый иск к перестраховочной компании, а

1 – относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной

компанией.

Мы будем рассматривать договора перестрахования только с точки

зрения передающей компании. Поэтому будем считать, что относительная

страховая надбавка, установленная перестраховочной компанией

фиксирована. Основная проблема будет заключаться в выборе договора

перестрахования и, прежде всего, в выборе основного числового параметра

договора – предела удержания, оптимального с точки зрения передающей

компании.

Перестрахование в модели индивидуального риска

Модель индивидуального риска – это простейшая модель

функционирования страховой компании, предназначенная для расчета

вероятности разорения. Она базируется на следующих упрощающих

предположениях:

- анализируется фиксированный относительно короткий (так что можно

пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования)

промежуток времени – обычно это один год;

- число договоров страхования N фиксировано и неслучайно;

104

- плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого

периода; никаких поступлений в течение этого периода нет;

- мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем

статистические свойства связанного с ним индивидуального иска

X (поскольку не все договора приводят к иску, некоторые их случайных

величин NXX ,...,1 , где iX – иск от i -го договора равны нулю).

В рамках этой модели разорение определяется суммарным иском

NXXS ...1 к страховой компании. Если этот суммарный иск больше,

чем резервы компании u , то компания не сможет выполнить свои

обязательства и разорится. Поэтому вероятность разорения компании равна

)...( 1 uXXP N .

Другими словами, вероятность разорения – это дополнительная

функция распределения величины суммарного иска к компании за

рассматриваемый промежуток времени.

Пропорциональное перестрахование

После перестрахования суммарный иск к передающей компании,

который был равен NXXS ...1 , уменьшается и становится равным

NXXS ...1 . Однако одновременно уменьшается и капитал

передающей компании. До заключения договора перестрахования он был

равен ESu )1( , где u – начальный фонд, а – относительная страховая

надбавка. Заключение договора перестрахования приводит к выплате

перестраховочной компании суммы ES)1()1( 1 , где ES)1( –

ожидаемый суммарный иск к перестраховочной компании, а 1 –

относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной

компанией. Поэтому после заключения договора перестрахования резервный

фонд компании становится равным

ESuESESu ))1(()1()1()1( 111 .

Соответственно, вероятность разорения становится равной

105

))/)(1(()))1((( 1111 ESES

uSPESuSP .

Если ES

u1 , то при уменьшении предела удержания от 1

(отсутствие перестрахования) до 0 (полное перестрахование) вероятность

разорения убывает от первоначального значения ))1(( ESES

uSP .

Однако, одновременно уменьшается и ожидаемый доход передающей

компании

ESESESESI )()1)(1()1( 111 .

При этом в случае 1 при полном перестраховании компания в

действительности будет иметь убыток величиной ES)( 1 . В этом случае,

очевидно, параметр не может быть меньше, чем 1

1 )( (при этом

значение ожидаемый доход равен 0).

Итак, если ES

u1 , то за счет перестрахования можно уменьшить

вероятность разорения (с одновременным уменьшением ожидаемого дохода).

Если ES

u1 , то при уменьшении предела удержания вероятность

разорения возрастает и поэтому от перестрахования нужно отказаться.

И, наконец, если ES

u1 , то вероятность разорения вообще не

зависит от предела удержания. Однако, поскольку ожидаемый доход убывает

вместе с уменьшением предела удержания, в этом случае от перестрахования

также лучше отказаться.

Перестрахование превышения потерь

В случае заключения договора перестрахования превышения потерь,

иск X превращается в иск ),min()( rXX r к передающей компании и в иск

)()0,max( rXXrX к перестраховочной компании.

106

Предположим, что уступающая компания перестраховала N

однотипных договоров, т.е. иски NXX ,...,1 по ним являются независимыми и

одинаково распределенными случайными величинами.

Тогда суммарный иск к передающей компании, который был равен

NXXS ...1 , уменьшается и становится равным )()(

1)( ...

rN

rr XXS .

Однако, одновременно уменьшается и капитал передающей компании. До

заключения договора перестрахования он был равен (для простоты

учитываем только плату за страховки):

0)1( pNNp ,

где EXp0 – нетто-премия, а – относительная страховая надбавка.

Заключение договора перестрахования приводит к выплате

перестраховочной компании суммы )()1( )(1

rEXEXN , где )(rEXEX –

ожидаемый индивидуальный иск к перестраховочной компании, а 1 –

относительная страховая надбавка, установленная перестраховочной

компанией. Поэтому после заключения договора перестрахования капитал

передающей компании становится равным

)(11

)(1 )1()()()1()1( rr EXNEXNEXEXNEXN .

Соответственно, вероятность разорения становится равной

))1()(( )(11

)( rr EXNEXNSP .

Используя гауссовское приближение, можем записать вероятность разорения

после перестрахования как

)(

)(11

)(

)()( )(

r

r

r

rr

DXN

EXNEXN

DXN

EXNSP

)(

)(11)(

1r

r

DX

EXEXN .

Ясно, что минимизация вероятности разорения означает максимизацию

аргумента у функции . Таким образом, чтобы решить вопрос о

целесообразности перестрахования, и в случае положительного ответа

107

выбрать оптимальный предел удержания r , мы должны изучить поведение

следующей функции от r :

)),(min(

),min()()(

211

rXD

rXEEXr

и определить ее глобальный максимум при r0 . Отметим, что если этот

максимум достигается при r , то перестрахование нецелесообразно;

если же при 0r , то нужно перестраховывать все.

108

Резюме

Для применения количественных методов исследования в любой

области всегда требуется какая-то математическая модель. При построении

модели реальное явление неизбежно упрощается, схематизируется, и эта

схема описывается с помощью соответствующего математического аппарата.

Задача нахождения оптимального соотношения между страховой

суммой b и страховой премией p является одной из важнейших задач

актуарной математики. При назначении и расчете премии p необходимо

учитывать массу разнообразных факторов (величина страховой суммы,

административные расходы, расходы на ведение дела, зарплата сотрудникам

и т.п.), главным из которых является вероятность разорения компании,

величину которой необходимо минимизировать. Уменьшение вероятности

разорения страховой компании добиваются за счет введения так называемой

защитной надбавки (или относительной защитной надбавки), расчет которой

также относится к важнейшим задачам актуарной математики.


1. В чем отличие моделей краткосрочного и долгосрочного страхования

жизни?

2. Дайте определение понятий страховая сумма, страховая премия,

защитная надбавка.

3. Сформулируйте принципы, на которых базируется модель

индивидуальных потерь.

4. Сформулируйте центральную предельную теорему. Как она

используется при расчете вероятности разорения (неразорения) страховой

компании?

5. Каковы основные принципы назначения страховых премий?

6. В чем сущность перестрахования?

7. Что называют пределом удержания?

8. Какие существуют виды договоров перестрахования?

109

110

ГЛАВА 5. Модели долгосрочного страхования жизни


Цели


о видах долгосрочного страхования жизни;

о принципах назначения разовых нетто-премий для основных

непрерывных и дискретных видов страхования.

Знать:

теорему о дисперсии приведенной ценности;

основные вычислительные формулы для расчета нетто-премий.

Уметь:

вычислять актуарную стоимость будущей страховой выплаты;

вычислять разовые нетто-премии для различных видов страхования

жизни.

111

Долгосрочное страхование характеризуется тем, что при расчетах

принимается во внимание изменение ценности денег с течением времени.

Поэтому теория долгосрочного страхования существенно опирается на

теорию сложных процентов. Мы будем предполагать, что интенсивность

процентов не меняется с течением времени, 1ei , будет обозначать

эффективную годовую процентную ставку, i

v1

1 – коэффициент

дисконтирования.

Страховое возмещение обычно выплачивается в виде одиночной

суммы в момент смерти застрахованного – такие виды страхования часто

называют непрерывными. Однако возможны выплаты и в другие моменты

времени. Наиболее важен случай, когда выплата производится не в момент

смерти, а в следующий за ним день рождения застрахованного – такие виды

страхования часто называют дискретными. Если считать, что возраст

застрахованного в момент заключения договора – целое число, то

дискретные договора можно описать как договоры с выплатой страховой

суммы в очередную, после момента смерти, годовщину заключения

договора. В самом общем случае момент выплаты страховой суммы является

некоторой функцией )( xT от остаточного времени жизни застрахованного.

Величина страхового возмещения, как правило, фиксирована и мы будем

принимать ее в качестве единицы измерения денежных сумм. Однако в ряде

случаев возмещение может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от

момента выплаты. С этой целью мы введем функцию tb , которая определяет

величину страховой выплаты в случае смерти в момент t .

Две функции )(t и tb , определяют общую модель страхования жизни.

С ее помощью можно единообразно описать различные конкретные виды

страхования.

112

Пожизненное страхование.

Простейшим видом долгосрочного страхования является пожизненное

страхование. При этом виде страхования фиксированная страховая сумма

1b выплачивается в момент смерти и поэтому

1,)( tbtt .

n -летнее чисто накопительное страхование

При этом виде страхования выплата страховой суммы фиксированной

величины 1b производится в момент n , если застрахованный дожил до

этого момента. В случае смерти до момента n компания не платит ничего.

Этот вид страхования описывается следующими функциями )(t и tb

nt)( , .,0

,1

nt

ntbt

n -летнее временное страхование жизни.

При этом виде страхования выплата фиксированной страховой суммы

1b производится в момент смерти, если застрахованный умер в течение

срока действия договора, т.е.на протяжении n лет с момента заключения

договора. Если же застрахованный прожил эти n лет, то компания не платит

ничего. Этот вид страхования можно описать функциями:

tt)( , .,0

,1

nt

ntbt

n -летнее смешанное страхование


1b производится на следующих условиях. Если смерть застрахованного

наступит до истечения срока действия договора, то страховая сумма

выплачивается в момент смерти. Если же застрахованный дожил до

окончания срока действия договора, то страховая сумма выплачивается в

момент n окончания срока действия договора. Нетрудно понять, что этот вид

страхования выполняет функции как собственно страхования, так и

накопления средств. Этот вид страхования описывается следующими

функциями )(t и tb :

113

),min()( ntt , 1tb .

Пожизненное страхование, отсроченное на m лет


1tb производится в момент смерти застрахованного, но только если она

произошла по истечении m-летнего срока с момента заключения договора.

Если застрахованный умрет раньше, чем через m лет после заключения

договора, страховое возмещение не выплачивается вовсе.

Этот вид страхования описывается следующими функциями )( xT и tb :

tt)( , .,1

,0

mt

mtbt

Страхование с переменной страховой выплатой

Во всех рассмотренных выше примерах величина страховой выплаты

была фиксирована и не зависела от момента выплаты. Существуют виды

страхования, когда страховое возмещение может меняться. В качестве

примера рассмотрим простейший случай – пожизненное страхование с

непрерывно увеличивающимся страховым возмещением. При этом виде

страхования компания выплачивает в момент смерти сумму, равную xT . Этот

случай описывается общей моделью при

tt)( , tbt .

Теорема о дисперсии приведенной ценности

Рассмотрим некоторый договор страхования, описываемый с помощью

функций )(t и tb . Пусть

)()( xT

xTxT

xT ebvbZ

приведенная стоимость страхового пособия на момент заключения договора

с человеком в возрасте x лет. Чтобы подчеркнуть зависимость случайной

величины Z от процентной ставки, будем писать @Z . Обозначим также

через

)()(@

xT

xTxT

xT eEbvEbEZA

114

актуарную приведенную стоимость будущей страховой выплаты, если

интенсивность процентов равна .

Предположим теперь, что в нашей общей модели страхования функция

tb принимает только значения 0 и 1, т.е. если в соответствии с условиями

договора в некоторый момент t выплачивается страховое возмещение, то его

величина не зависит от момента выплаты. Все описанные выше виды

страхования, кроме страхования с переменной страховой выплатой,

удовлетворяют этому условию. Тогда tj

t bb и поэтому

)()(@

xTj

xTj ebZ ,

т.е. j -я степень современной величины будущей страховой выплаты,

подсчитанной для интенсивности процентов , совпадает с современной

величиной будущей страховой выплаты, но подсчитанной для интенсивности

процентов j . Тем более равенство верно для средних значений, т.е.

jj

AEZ @@ .

В частности,

2@2@

2@

2@@ )()( AAEZEZDZ .

Разовые нетто-премии для основных непрерывных видов страхования

Как следует из изложенного выше, разовая нетто-премия для любого

договора страхования, описываемого функциями tb и )(t , есть

EZA ,

где )()( xT

xTxT

xT ebvbZ – величина страхового возмещения,

приведенная на момент заключения договора, а x – возраст застрахованного

в этот момент.

Для конкретных видов страхования общая формула может быть

упрощена и конкретизирована. Для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о

конкретных видах страхования, переменные A и Z снабжаются различными

индексами. Основные правила, регулирующие индексы, следующие:

115

1. Справа внизу во всех случаях ставится возраст застрахованного на

момент заключения договора: xA .

2. Если договор страхования непрерывный, т.е. страховое пособие

выплачивается в момент смерти, то сверху ставится черта: xA .

3. Если договор действует ограниченный период времени n , то после

возраста x через двоеточие ставится дополнительный индекс n ,

обрамленный уголком: nxA : .

4. Если договор отсрочен на m лет, то внизу слева ставится индекс m :

xm A .

5. Если величина страховой суммы регулярно возрастает, то добавляется

буква I : IA .

Рассмотрим теперь конкретные договоры страхования.

Пожизненное страхование

Современная стоимость страховой выплаты в момент заключения

договора с человеком в возрасте x лет обозначается xZ , а актуарная

современная стоимость страховой суммы в момент заключения договора xA .

xA можно следующим образом выразить через характеристики

времени жизни:

x

t

xxt

x dttfvxsv

dttfvA )()(

1)(

0

.

n -летнее чисто накопительное страхование.

Актуарная приведенная стоимость страховой суммы обозначается

1:nxA и дается формулой:

xx

nxnxnnx

lv

lv

xs

nxsvA

)(

)(1: .

n -летнее смешанное страхование

Актуарная современная стоимость страховой суммы в момент

заключения договора с человеком в возрасте x лет вычисляется по формуле:

116

)()(0

: nTPvdttfvA xn

n

xt

nx .

Пожизненное страхование, отсроченное на m лет

Для данного вида страхования актуарная современная стоимость

вычисляется по формуле:

mxxxm AAA :1

.

Страхование с переменной страховой выплатой.

Актуарная современная стоимость страховой суммы обозначается

xAI )( и вычисляется:

0

)()( dttftvAI xt

x .

Резюме

Долгосрочное страхование характеризуется тем, что при расчетах

принимается во внимание изменение ценности денег с течением времени.

Поэтому теория долгосрочного страхования существенно опирается на

теорию сложных процентов. Интенсивность процентов не меняется с

течением времени, 1ei – эффективная годовая процентная ставка,

iv

1

1 – коэффициент дисконтирования.

Страховое возмещение обычно выплачивается в виде одиночной

суммы в момент смерти застрахованного – такие виды страхования часто

называют непрерывными. Однако возможны выплаты и в другие моменты

времени. Наиболее важен случай, когда выплата производится не в момент

смерти, а в следующий за ним день рождения застрахованного – такие виды

страхования часто называют дискретными. Если считать, что возраст

застрахованного в момент заключения договора – целое число, то

дискретные договора можно описать как договоры с выплатой страховой

суммы в очередную, после момента смерти, годовщину заключения

117

договора. В самом общем случае момент выплаты страховой суммы является

некоторой функцией )( xT от остаточного времени жизни застрахованного.

Величина страхового возмещения, как правило, фиксирована и мы будем

принимать ее в качестве единицы измерения денежных сумм. Однако в ряде

случаев возмещение может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от

момента выплаты. С этой целью мы введем функцию tb , которая определяет

величину страховой выплаты в случае смерти в момент t .

Две функции )(t и tb , определяют общую модель страхования жизни.

С ее помощью можно единообразно описать различные конкретные виды

страхования.


1. В чем отличие долгосрочного страхования от краткосрочного?

2. Перечислите основные виды долгосрочного страхования жизни. В чем

они заключаются?

3. Сформулируйте теорему о дисперсии приведенной ценности.

4. Что называют актуарной приведенной стоимостью (ценностью)?

5. Принципы назначения разовых нетто-премий для основных

непрерывных видов долгосрочного страхования.

118

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время практически в любой области человеческой

деятельности используются методы математического моделирования. Не

составляет исключения и страховая деятельность. Описание финансовых

операций, носящих вероятностный характер, является предметом актуарной

науки, получившей свое название от термина «актуарий». В современном

понимании актуарий – это человек, который обладает определенной

квалификацией для оценки рисков и вероятностей в области финансов и

бизнеса, связанной со случайными событиями. Актуарии традиционно

играли и играют главную роль в страховании жизни. Комбинирование

моделируемой смертности и вероятностей выживания с пониманием

финансовой математики является основой профессии. Во многих странах

актуарии также активно действуют в области финансов и инвестиций, а

также в банковских и других нестраховых финансовых институтах.

История развития актуарной математики неразрывно связана с

историей развития страхования и насчитывает много веков. Однако изучение

актуарной математики не является простым занятием даже для специалистов

в области страхования, так как по сложности объектов исследования и

применяемому аппарату актуарная математика значительно превосходит

общую теорию страхования. Еще более сложным оказывается применение

полученных знаний на практике. Разрыв в сложности проявляется также и

между литературой, посвященной страховому делу, и литературой по

страховой математике. В настоящем пособии авторы постарались немного

сгладить этот разрыв и надеются, что пособие будет полезно как студентам,

изучающим актуарную математику, так и профессиональным актуариям.

119

ПРАКТИКУМ

Указания по выполнению практических заданий

Прежде чем приступит к выполнению практических заданий,

рекомендуется ознакомиться с соответствующей темой из теоретического

раздела и разобранными примерами решения типовых задач.

Требования к математической подготовке читателя ограничиваются

обычными курсами математического анализа и теории вероятностей.

Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой


Задача 1.1. Контрольная работа по теории вероятностей состоит из трех

заданий. Первое задание оценивается на 6 баллов, второе на 10 баллов и

последнее – 4 балла. Вероятность того, что студент специальности ПИвЭ

решит правильно первое задание, равна 6,01p ; второе – 5,02p ; третье

– 9,03p . Какова вероятность того, что средний балл за контрольную

работу в потоке из 60 человек будет меньше 13?

Решение.

Случайная величина k 60,1k – количество баллов, полученных

за контрольную работу студентом специальности ПИвЭ. k –

последовательность независимых, одинаково распределенных случайных

величин. Составим ряд распределения этой случайной величины и найдем ее

числовые характеристики – математическое ожидание aE k и среднее

квадратическое отклонение k .

02,00 321 qqqP k ;

18,04 321 pqqP k ;

03,06 321 qqpP k ;

29,010 321321 pqpqpqP k ;

18,014 321 ppqP k ;

03,016 321 qppP k ;

120

27,020 321 pppP k .

k 0 4 6 10 14 16 20

P 0,02 0,18 0,03 0,29 0,18 0,03 0,27

2,12

i

iik pxaE ;

923,508,3522kkkk EED .

Используя центральную предельную теорему, найдем вероятность

того, что средний балл за контрольную работу в потоке будет меньше 13.

.85,0046,1

131313

1 1

1n

ann

n

ann

n

an

Pn

P

n

k

kn

k

k

Задача 1.2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,002.

Цель уничтожается при условии двух и более попаданий. Найти вероятность

уничтожения цели, если произведено 1000 независимых выстрелов.

Решение.

Поскольку число испытаний (количество независимых выстрелов)

1000n достаточно велико, вероятность успеха (попадание в цель)

001,0p достаточно мала ( 10npq ), то для вычисления вероятности хотя

бы двух попаданий в цель воспользуемся приближенной формулой Пуассона:

!k

ekSP

k

n .

Тогда имеем

.592,0!1

2

!0

21

1012

2120

100010001000

ee

SPSPSP

121

Задача 1. 3. Среди клиентов банка 80% являются физическими лицами и 20%

– юридическими. Из практики известно, что 40% всех операций приходится

на долгосрочные расчеты, в то же время из общего числа операций,

связанных с физическими лицами, 30% приходится на долгосрочные

расчеты. Какова вероятность того, что наудачу выбранный клиент является

юридическим лицом и осуществляет долгосрочный расчет?

Решение.

Рассмотрим следующие события A {клиент является физическим

лицом}, B {клиент осуществляет долгосрочный расчет}. Тогда CA —

интересующее нас событие. При этом по условию 8,0)(AP , 2,0)(AP ,

4,0)(CP и 3,0)( ACP . Очевидно, что CCACA , следовательно,

16,03,08,04,0)()()()( ACPAPCPCAP

Задача 1.4. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают

кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения

случайной величины – числа возвращенных в срок кредитов из 3

выданных. Найти вероятность 1P .

Решение.

В данном случае мы имеем дело с биномиальным законом с 9,0p и

1,0q . Случайная величина – число возвращенных в срок кредитов из

трех выданных принимает значения: 01x , 12x , 23x и 34x .

Соответствующие им вероятности 1p , 2p , 3p и 4p найдем,

воспользовавшись формулой Бернулли: knkn

kk qpCp :

30033 0)0( qpCPP 001,01,011 3 ;

027,01,09,031)1( 22

1133 qpCPP

243,01,09,032)2( 1212233 qpCPP ;

729,01,09,013)3( 0303333 qpCPP .

122

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

0 1 2 3

P 001,0 243,0 243,0 729,0

972,0729,0243,0321 PPP .

Задача 1.5. Негосударственный пенсионный фонд начисляет по пенсионным

счетам %7i годовых. 1 января 2010 года вкладчик перечислил 8500C

руб. Какие проценты будут начислены на эту сумму к 31 декабря 2016 года?

Решение.

С 1 января 2010 года до 31 декабря 2016 года пройдет 7t лет. По

основной формуле сложных процентов к 31 декабря 2016 года на

пенсионном счете будет накоплена сумма

14,13649)07,1(8500)1( 7tiCA .

Поэтому проценты составляют

14,5149850014,13649CA руб.

Задача 1.6. Вкладчик внес на счет 10000C руб. Банк гарантирует, что на

протяжении трех ближайших лет эффективная годовая процентная ставка

будет равна %71i . Через три года банк установит процентную ставку 2i на

следующие три года. Известно, что новая ставка не выйдет за пределы

промежутка %8%,6 . Что можно сказать о сумме, которая будет накоплена

за шесть лет?

Решение.

По основной формуле сложных процентов искомое накопление есть

32

332

31 )1()07,1(10000)1()1( iiiCA .

Величина )1(3

2i не выйдет за пределы отрезка 33 08,1;06,1 . Поэтому можно

гарантировать, что 01,15432;46,14590A .

Задача 1.7. Пенсионный фонд должен выплатить участнику:

123

1. 5000 руб. 1 июля 2009 года;

2. 3000 руб. 1 марта 2012 года;

3. 2000 руб. 1 октября 2013 года;

4. 8000 руб. 1 апреля 2015 года.

Найдите величину обязательств фонда по отношению к этому

участнику на 1 января 2008 года. Техническая процентная ставка,

используемая фондом для оценки своих обязательств, равна %5i .

Решение.

Пусть время измеряется в годах, начиная с 1 января 2008 года, а один

месяц равен 12

1 года. Тогда

1. 1 июля 2009 года – это момент 12

611t ;

2. 1 марта 2012 года – это момент 12

242t ;

3. 1 октября 2013 года – это момент 12

953t ;

4. 1 апреля 2015 года – это момент 12

374t .

Коэффициент дисконтирования vдается формулой

95238,005,1

1

1

1

iv ,

поэтому величина обязательств фонда на 1 января 2008 года равна:

53,142228000200030005000 25,775,512/505,1 vvvv руб.

Задача 1.8. Эксперты негосударственного пенсионного фонда предполагают,

что на протяжении ближайших пяти лет эффективная годовая процентная

ставка будет равна %101i . На протяжении следующего пятилетия

ожидается годовая процентная ставка %62i . Человек покупает

десятилетнюю ренту с выплатой в конце каждого года 1000 руб. Подсчитайте

ее стоимость.

Решение.

124

Приведенная ценность в настоящий момент 00t пяти годовых

платежей в моменты 1, 2, 3, 4, 5 равна

1@51000

ia ,

где символ 1@ i указывает эффективную годовую процентную ставку на

промежутке, который рассматривается в качестве единичного, т.е.

37911

10001

51

i

v руб.

Приведенная ценность в момент 55t пяти годовых платежей в моменты 6,

7, 8, 9, 10 равна

42121

100010002

52

2@5 i

va

i руб.

Чтобы привести эту сумму к моменту 00t , умножим ее на 51v , что даст

2616 руб. Итак, стоимость ренты есть 3791 руб.+2616 руб.=6407 руб.


Задача 2.1. Используя таблицу смертности, вычислить вероятность для

тридцатилетнего мужчины не дожить до 60 лет.

Решение.

Вероятность для человека возраста x лет умереть в течение

ближайших t лет равна

x

txxxt

l

llq .

Тогда искомая вероятность

45038,091419

5024691419

30

60303030

l

llq .

Задача 2.2. Рассмотрим семейную пару, в которой жене 30 лет, а мужу 37

лет. Какова вероятность того, что они проживут еще по крайней мере 30 лет?

Решение.

125

Искомая вероятность представляет собой произведение вероятностей

событий «жена проживет по крайней мере 30 лет» и «муж проживет по

крайней мере 30 лет». Тогда

335,086197

34501

96253

80460м37

м67

ж30

ж60м

3730ж3030

l

l

l

lpp .

Задача 2.3. Функция выживания задана формулой 100

1x

xs ,

1000 x . Найти:

a) интенсивность смертности в возрасте 30 лет;

b) вероятность того, что человек возраста 40 лет умрет в возрасте от 60 до

65 лет.

Решение.

a) Интенсивность смертности равна

xs

xsx .

Тогда

xxxxs

xsx

1002

1

1001

1

100

1

10012

1;

00714,0301002

130 .

b) Вероятность того, что человек возраста x лет проживет еще t лет, но

умрет на протяжении u последующих лет, равна

xs

utxstxsqxut .

Тогда искомая вероятность равна

053,0

100401

100651

100601

40

656040520

s

ssq .

126

Задача 2.4. Интенсивность смертности имеет вид xx100

cos1 . Найти

функцию выживания xs .

Решение.

Функция выживания через интенсивность смертности определяется по

формуле

x

uduxs

0

exp .

Тогда

.100

sin100

exp

100sin

100exp

100cos1exp

00

xx

uuduuxs

xx

Задача 2.5. Кривая смертей имеет вид 2

x

Aexf . Найти:

a) функцию выживания xs ;

b) дисперсию времени жизни DT .

Решение.

a) Найдем неизвестный коэффициент А из условия

0

1dxxf .

.2

122

0

2

0

2

0

AAAedxeAdxxf

xx

Функция выживания

222

2

1x

x

u

x

u

x

eedueduufxs .

b) Дисперсия времени жизни вычисляется по формуле

22 ETETDT .

127

22

0

2

0

2

00

xx

edxedxxsdxxxfET .

.8844

частям по минтегрируе22

0

2

0

2

0

2

0

2

00

22

xxx

x

edxexe

dxxedxxxsdxxfxET

428 222 ETETDT .

Задача 2.6. Найти вероятность того, что 50-летний мужчина проживет еще

полгода после своего дня рождения при предположении:

a) равномерного распределения смертей;

b) Балдуччи.

Решение.

a) В предположении равномерного распределения смертей искомая

вероятность равна

50

515050

21

250

515,0505,0

50

5,50

l

ll

s

ss

s

sp .

Используя данные таблицы смертности, получим

98578,0703542

683537035450

21 p .

b) В предположении Балдуччи искомая вероятность равна

50

50

5050

50

505050

21

5,01

1

5,0505,0

51

50

5,50

q

q

qp

p

sqp

s

s

sp .

Используя данные таблицы смертности, получим

98557,0028442,05,01

028442,0150

21 p .

128




Задача 3.1. Известно, что 7035450l , 6835351l , 6624652l , эффективная

годовая процентная ставка %16i . Возраст человека на момент заключения

договора 50 лет. Найти актуарную современную стоимость трехлетней

временной пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года в

размере 50000 рублей.

Решение.

Актуарная современная стоимость временной пожизненной ренты,

выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в одну денежную единицу

равна

11

22

1:

1nx

nxxx

xnx

lvlvvlll

a ,

где i

v1

1 – коэффициент дисконтирования.

Тогда искомая величина, обозначим ее P , равна

3:5050000 aP .

5373194,21

522

515050

3:50lvvll

la .

1268665373194,250000P .

Задача 3.2. Родители семилетней девочки оформляют договор на оплату

высшего образования ребенка, по достижению им 18 лет. Срок обучения 5

лет, стоимость 90000 рублей в год. Эффективная процентная ставка %5i .

Найти стоимость полиса.

Решение.

Стоимость полиса равна

5:71190000 aP ,

129

Где 5:711 a – актуарная современная стоимость отложенной временной

пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в начале года для суммы в

одну денежную единицу.

x

nmxmxnxm

D

NNa

: – отложенная на m лет временная пожизненная рента

для человека возраста x лет, выраженная через коммутационные числа xN и

xD (эти числа находят по таблице коммутационных чисел).

Тогда 63991,285,69658

4,5886004,772493

7

23185:711

D

NNa .

23759263991,290000P .

Задача 3.3. Мужчина в возрасте 45 лет покупает за 120000 рублей

пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65

лет. Эффективная процентная ставка %5i . Найти величину ежегодных

выплат.

Решение.

Величина ежегодных выплат, обозначим ее S , равна

4520

120000

aS

.

x

xmxm

D

Na – актуарная современная стоимость отложенной пожизненной

ренты, выраженная через коммутационные числа xN и xD (эти числа

находят по таблице коммутационных чисел).

541106407,1903,8612

4,13273

45

654520

D

Na .

77866541106407,1

120000S .

Задача 3.4. Мужчина в возрасте 50 лет приобрел пожизненный страховой

полис, по которому в случае его смерти наследники должны получить 100000

рублей. Эффективная процентная ставка %5i . Найти стоимость полиса.

130

Решение.

Стоимость полиса, обозначим ее P , равна

50100000 AP .

x

xxx

D

M

i

iA

i

iA

1ln1ln – ожидаемая текущая стоимость страховых

выплат, осуществляемых в момент смерти, для пожизненного страхования.

4824142,0131,6135

06,2888

05,1ln

05,0

05,1ln

05,0

50

5050

D

MA .

482410,4824142100000P .

Задача 3.5. Мужчина в возрасте 60 лет приобрел пожизненную ренту с

выплатой 40000 рублей в конце каждого года. Эффективная процентная

ставка %5i . Найти стоимость полиса.

Решение.

Стоимость полиса, обозначим ее P , равна

6040000 aP .

x

xx

D

Na 1 – актуарная современная стоимость пожизненной ренты,

выраженная через коммутационные числа xN и xD (эти числа находят по

таблице коммутационных чисел).

0853445,8946,2689

14,21749

60

6160

D

Na .

3234140853445,840000P .

Задача 3.6. Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор, согласно

которому, начиная с 65 лет, пожизненно будет выплачиваться пенсия в

размере 50000 рублей в начале каждого года. Эффективная процентная

ставка %5i . Найти величину годовых взносов, которые будут уплачиваться

страхователем с 40 до 65 лет.

Решение.

Искомая величина годовых взносов, обозначим ее P , равна

131

25:40

4025

4025 5000050000a

aPP

.

Где mxx

mx

mx

xm

xmNN

N

a

aP

:

– величина ежегодного взноса, рассчитанная на

сумму в одну условную единицу.

457374,132737,158412

74,13273500005000050000

6540

65

25:40

4025

NN

N

a

aP

.

Задача 3.7. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей

пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65

лет. Эффективная процентная ставка %5i . Найти величину ежегодных

выплат.

Решение.

Искомая величина ежегодных выплат равна 4025

100000

a,

где x

mxxm

D

Na – актуарная современная стоимость пожизненной

отложенной ренты.

1212198,166,11838

74,13273

40

654025

D

Na .

Тогда величина ежегодных выплат равна 891891212198,1

100000.

Задача 3.8. Страхователь (женщина) в возрасте 47 лет заключил

пожизненный договор страхования с условием ежегодной уплаты взносов,

пока он жив. Страховая сумма составляет 150000 рублей, эффективная

процентная ставка %5i . Найти величину годовых взносов.

Решение.

Искомая величина годовых взносов равна 47150000 P ,

132

где x

x

x

xx

N

M

i

i

a

AP

1ln – величина годового взноса с единичной

страховой суммы.

019817921,06,137652

98,2661

05,1ln

05,0

05,1ln

05,0

47

47

47

4747

N

M

a

AP

.

Величина годовых взносов тогда равна 2973019817921,0150000 .

Задача 3.9. Родители пятилетнего мальчика приобрели полис по оплате

получения ребенком высшего образования по достижению им 18 лет. Срок

обучения 5 лет, стоимость 110000 рублей в год. Эффективная процентная

ставка %5i . Найти величину ежегодных взносов.

Решение.

Искомая величина ежегодных взносов равна 5:513110000 P ,

где px

npp

xpx

nxxp

nxxpNN

NN

a

aP

:

:

:

– величина ежегодного взноса для

отложенной срочной ренты.

24112873,02,6903741441033

8,5093682,690374

185

2318

518:5

5:5518

5:5518NN

NN

a

aP

.

Тогда величина ежегодных взносов равна 2652424112873,0110000 .


Задача 4.1. Предположим, что в компании застраховано N = 3000 человек с

вероятностью смерти в течение года %3,0q . Компания выплачивает сумму

b = 250000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит

ничего, если этот человек доживет до конца года. Определите величину

активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.

Решение.

Примем размер страховой суммы в качестве новой денежной единицы.

Прежде всего, мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию

суммарного ущерба S .

133

.9003.0997,03000

,9003.03000

NDDS

NEES

Поэтому

.3

9

3

9)(

uu

DS

ESSP

DS

ESu

DS

ESSPuSP

Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина 3

9u

должна быть равной 95,0x = 1,645, т.е. 935,139645,13u (от величины

страхового пособия) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.

Задача 4.2. Предположим, что страховая компания заключила N = 10000

договоров страхования жизни сроком на один год на следующих условиях: в

случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая

компания выплачивает наследникам 1000000 руб., а в случае смерти в

течение года от естественных причин компания выплачивает наследникам

250000 руб. Компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в

течение года. Вероятность смерти от несчастного случая одна и та же для

всех застрахованных и равна 0.0005. Вероятность смерти от естественных

причин зависит от возраста. В первом приближении можно разбить N

застрахованных на две возрастные группы, содержащие 1N = 4000 и 2N =

6000 человек с вероятностью смерти в течение года 1q = 0.004 и 2q = 0.002

соответственно.

Подсчитайте величину премии, гарантирующую вероятность

выполнения компанией своих обязательств, равную 95%.

Решение.

Примем сумму 000250 руб. в качестве единицы измерения денежных

сумм. Тогда для первой группы договоров индивидуальный убыток

принимает три значения: 0, 1 и 4 с вероятностями 0.9955, 0.0040 и 0.0005

соответственно:

134

0 1 4

0,9955 0,004 0,0005

Среднее значение и дисперсия величины индивидуального убытка для

первой группы застрахованных есть

006,00005,04004,011m ,

.012,00005,04004,01 21

2221 m

Для второй группы договоров индивидуальный убыток принимает те

же три значения 0,1 и 4, но с другими вероятностями: 0,9975, 0,002 и 0,0005:

0 1 4

0,9975 0,002 0,0005

В этой группе среднее значение и дисперсия индивидуального убытка

есть

.01,00005,04002,01 22

2222 m

Среднее значение и дисперсия суммарного убытка равны:

,48004,06000006,040002211 mNmNES

.10801,06000012,04000222

211 NNDS

Для того, чтобы гарантировать 95% вероятность неразорения, резервный

фонд компании должен быть равен llES 48 , где добавочная сумма l

определяется по формуле

DSxl 95,0

и в нашем случае будет равна

108645,1l

Рассмотрим теперь вопрос о назначении индивидуальных премий.

004,00005,04002,012m

135

I. Если добавочная сумма l делится пропорционально нетто-премиям, то в

соответствии с (6.5.3) относительная страховая надбавка одна и та же для

всех договоров и равна

%.6.35ES

l

Поэтому для договоров из первой группы премия равна

203400814.0)1(11 mp руб.

Для договоров из второй группы премия равна

135600542,0)1(22 mp руб.

II. Если добавочная сумма l делится пропорционально дисперсиям, то

коэффициент пропорциональности k есть

%.8,15DS

lk

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

,001899,0211 kl

так что премия есть

1975007899,0111 lmp руб.

а относительная страховая надбавка

%.7.311

11

m

l

Для договоров из второй группы страховая надбавка равна

,001583,0222 kl


1396005583,0222 lmp руб.


%.6,392

22

m

l

III. Если добавочная сумма l делится пропорционально средним

квдратическим отклонением (они равны 1095,01 для договоров первой

136

группы и 1,02 для договоров второй группы), то коэффициент

пропорциональности k есть

.0165,02211 NN

lk

Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна

,001804,011 kl


1951007804,0111 lmp руб.


%.301

11

m

l

Для договоров из второй группы страховая надбавка равна

,001647,022 kl


1412005647,0222 lmp руб.


%.412

22

m

l

Итак, изменение принципа назначения индивидуальных премий приводит к

уменьшению относительной страховой надбавки для договоров первой

группы: %.30%,7,31%,6,351

Соответственно для договоров второй группы относительная защитная

надбавка увеличивается: %41%,6,39%,6,352 . Это связано с тем, что

коэффициент рассеяния суммарного ущерба есть

,25,11ES

DS

в то время как для договоров первой (второй) группы он равен 11/ 12

1 m

(соответственно 5.11/ 2

2

2 m ). Коэффициент вариации величины

индивидуального убытка для договоров первой группы есть

137

,26.18/ 111 mc

а для договоров второй группы он равен

.25/ 222 mc

Средний коэффициент вариации, усредненный по всему портфелю с весами

ESE j / , есть

.63.21248

24

48

24 2121

222

111

cccc

ES

mNc

ES

mNcc

Задача 4.3. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на

один год. Информация относительно структуры покрытия приведена в

следующей таблице:

Страховая сумма Причина смерти Вероятность

500 000 Обычная 0,1

1 000 000 Несчастный случай 0,01

Относительная защитная надбавка равна 20%.

Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик

использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.

Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная

премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?

Решение.

Пусть N – общее число проданных договоров. kX – выплаты по k -му

договору, NXXS ...1 – суммарные выплаты по всему портфелю, –

относительная защитная надбавка, так что премия по одному договору равна

kEXp )1( .

По условию, 95,0)( NpSP . С другой стороны,

k

k

DX

EXNФ

DS

ESNpФ

DS

ESNp

DS

ESSPNpSP )( .

Поэтому

138

645,195,0xVarX

EXN

k

k ,

где 95,0x – квантиль порядка 0,95 стандартного нормального (гауссовского)

распределения.

Отсюда для искомого числа договоров имеем:

22

295,0

k

k

EX

DXN

x.

Поскольку для индивидуального договора,

000601,0000000110,0000500EX ,

9222 103501,0000000110,0000500EX ,

810314DX , искомое число договоров равно 590.

Задача 4.4. Компания ABC предполагает организовать групповое

страхование жизни для своих сотрудников. Структура персонала приведена в

следующее таблице:

Профессиональный

класс

Число

сотрудников

Страховая сумма Вероятность

смерти

1 100 1 0,1

2 100 1 0,2

3 200 2 0,1

4 200 2 0,2

Компания ABC предполагает внести в страховой фонд сумму, равную

ожидаемым выплатам страховых возмещений.

Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму,

равную определенной доле от размера ожидаемой выплаты. Размер этой

доли определяется таким образом, чтобы с вероятностью 95% средств

страхового фонда хватило для выплаты страховых возмещений.

Определите размер взноса для работников четвертого

профессионального класса.

139

Решение.

Пусть q – вероятность смерти сотрудника, SA – размер страховой

суммы. Поскольку индивидуальные потери по договору принимают только

два значения: 0 с вероятностью q1 и SA с вероятностью q , среднее

значение индивидуальных потерь есть SAqEX , а дисперсия –

21 SAqqDX .

Предполагая независимость времен жизни сотрудников компании, можно

подсчитать среднее и дисперсию суммарных выплат для каждого

профессионального класса. Для этого нужно среднее (соответственно

дисперсию) индивидуальных потерь умножить на число работников в классе:

EXNSE

DXNSD .

Результаты расчетов поместим в таблицу:

Класс Число

Сотрудников

SA q EX DX SE SD

1

2

3

4

100

100

200

200

1

1

2

2

0,1

0,2

0,1

0,2

0,1

0,2

0,2

0,4

0,09

0,16

0,36

0,64

10

20

40

80

9

16

72

128

Чтобы получить среднее значение (дисперсию) суммарных выплат S

для всего портфеля, нужно сложить средние (дисперсии) суммарных потерь

для всех четырех профессиональных классов, так что

150ES , 225DS .

Размер страхового фонда равен ESESu . По условию, должно быть

верно равенство

95,0)( uSP ,


140

95,0DS

ESu

DS

ESSP .

Применяя гауссовское приближение для центрированной и

нормированной величины общих выплат, мы имеем:

95,0xDS

ESu.

В рассматриваемой ситуации это равенство примет вид:

1645,01,0 95,0x .

Соответственно защитная надбавка для работников четвертого

профессионального класса равна 0658,04,01645,0 . Иначе говоря,

%58,6 .


Задача 5.1. Предположим, что продолжительность жизни описывается

моделью де Муавра с предельным возрастом 120 лет, а эффективная годовая

процентная ставка равна 15%. Подсчитайте нетто-премии для человека в

возрасте 40 лет, если заключается договор:

а) пожизненного страхования;

б) 5-летнего смешанного страхования жизни;

в) пожизненного страхования, отсроченного на 2 года;

г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой

суммой.

Решение.

Как мы знаем, остаточное время жизни застрахованного имеет

равномерное распределение на промежутке )80,0(),0( x , значит,

функция плотности имеет вид:

800,80

1)(40 ttf .

Интенсивность процентов %9762,13)1ln( i , коэффициент

дисконтирования %9565,86)1/(1 iv . После этих предварительных

замечаний приступим к расчетам:

141

а) для пожизненного страхования имеем

80

0

80

40 %944,880

1

80

1 vdtvA t .

б) для смешанного 5-летнего страхования

5

0

8080

5

55:40

%107,5180

1

80

1

80

1 vdtvdtvA t .

в) для пожизненного, отсроченного на 2 года

80

2

802

402 %763,68080

1 vvdtvA t .

г) для пожизненного, с непрерывно увеличивающейся страховой суммой

80

02

80

40 %982,6380

)801(1

80

1)(

vdttvAI t .

Задача 5.2. Страховая компания заключила 10000 договоров пожизненного

страхования. Предположим, что остаточное время жизни каждого из

застрахованных характеризуется интенсивностью смертность 04,0 ,

которая не меняется с течением времени, а интенсивность процентов %6 .

Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95%

вероятность выполнения компанией своих обязательств.

Решение.

Подсчитаем вначале нетто-премию. В соответствии с формулой

0

)()(

1)(

x

t

xxt

x dttfvxsv

dttfvA , где )(tf x – плотность остаточного времени

жизни. Поскольку нам известна интенсивность смертности, то мы можем

найти функцию выживания

tx ets )( ,

что, в свою очередь, дает формулу для плотности )(tf x :

tx etf )( .

Теперь мы можем подсчитать нетто-премию:

142

4,00

)( dteA tx .

Второй момент

25,022xx AZE ,

следовательно, дисперсия

09,016,025,0xZD .

Теперь относительная страховая надбавка равна:

%23375,1100004,0

09,0645,1

NA

ZDx

x

x.

Соответственно премия есть

%4935,40)1(xAp .

Напомним, что величина страховой суммы b используется нами в

качестве единицы измерения денежных сумм, так что, если, например,

100000b рублей, то 5,40493p рубля.

143

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

Тема 1. Введение. Основы теории вероятностей и финансовой


1. Садоводческий кооператив застраховал на год свои дачные дома от

пожара. Каждый из 600 домовладельцев внес по 1500 рублей. Вероятность

пожара (в одном доме) в течение года равна 0,005, а страховая сумма,

выплачиваемая пострадавшему, составляет 120000 рублей. Какова

вероятность того, что страховая компания понесет убыток?

2. Случайная величина – число выпадений тройки при четырех

подбрасываниях игральной кости. Для этой случайной величины составить

закон распределения, найти и построить функцию распределения,

многоугольник распределения, найти вероятность того, что тройка выпадет

менее двух раз.

3. Для лица, дожившего до 29-летнего возраста, вероятность смерти на

30-м году жизни равна 0,008. Страховая компания предлагает застраховать

жизнь на год со страховым взносом 10$. В случае смерти застрахованного

страховая компания выплачивает наследникам 1000$. Какую прибыль

ожидает получить компания с каждого застраховавшегося?

4. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в

срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения случайной

величины – числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти

вероятность 1P .

5. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения:

.3,0

,30),3(

,0,0

)( 2

x

xxxa

x

xf

Найти коэффициент а , функцию распределения )(xF , вероятность

)10(P .

144

6. Отделение банка обслуживает 1000 клиентов, держащих свой вклад в

этом банке. В данном интервале времени любой клиент независимо от

остальных может провести операцию по вкладу с вероятностью 0,001. Какова

вероятность того, что в данном интервале будет ровно 3 операции по

вкладам?

7. Для лица, дожившего до 25-летнего возраста, вероятность смерти на

26-м году жизни равна 0,005. Застрахована группа в 10000 человек 25-

летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 1200 рублей

страховых взносов за год. В случае смерти застрахованного страховая

компания выплачивает наследникам 100000 рублей. Какова вероятность того,

что к концу года страховая компания:

a) окажется в убытке;

b) ее доход превысит 6000000 рублей;

c) ее доход превысит 4000000 рублей?

8. Негосударственный пенсионный фонд начисляет по пенсионным

счетам %9i годовых. 1 января 2008 года вкладчик перечислил 7500C

руб. Какие проценты будут начислены на эту сумму к 31 декабря 2012 года?

9. Вкладчик внес на счет 5000C руб. Банк гарантирует, что на

протяжении двух ближайших лет эффективная годовая процентная ставка

будет равна %71i . Через два года банк установит процентную ставку 2i на

следующие два года. Известно, что новая ставка не выйдет за пределы

промежутка %9%,6 . Что можно сказать о сумме, которая будет накоплена

за четыре года?

10. Эксперты негосударственного пенсионного фонда предполагают, что

на протяжении ближайших пяти лет эффективная годовая процентная ставка

будет равна %151i . На протяжении следующего пятилетия ожидается

годовая процентная ставка %102i . Человек покупает десятилетнюю ренту с

выплатой в конце каждого года 2000 руб. Подсчитайте ее стоимость.


1. Используя таблицу смертности, вычислить:

145

a) Вероятность того, что 20-летняя женщина доживет до 70 лет.

b) Вероятность того, что 25-летний мужчина умрет в возрасте от 40 до 45

лет.

c) Вероятность того, что 25-летний мужчина не умрет в возрасте от 40 до

45 лет.

d) Вероятность того, что 35-летний мужчина умрет в возрасте до 50 лет.

2. Рассмотрим двух мужчин в возрасте 30 и 40 лет и 35-летнюю женщину.

Найти вероятность того, что 30-летний мужчина и женщина, прожив 20 лет,

умрут в течение следующих 10 лет, а 40-летний мужчина не умрет на

протяжении тех же 10 лет.

3. 30% людей из числа умирающих в возрасте от 25 до 75 л6т умирают, не

достигнув 50 лет. Вероятность того, что 25-летний умрет, не достигнув 50

лет, равна 15%. Найти 5025 p .

4. Используя данные таблицы смертности, и предполагая равномерное

распределение смертей в течение года найти:

a) Вероятность того, что 30-летний мужчина проживет 10 лет, но умрет в

течение следующих трех месяцев.

b) Вероятность того, что женщина после выхода на пенсию умрет на

протяжении двух месяцев.

5. Кривая смертей имеет вид 3

x

Aexf . Найти:

a) функцию выживания xs ;

b) дисперсию времени жизни DT .

6. Кривая смертей имеет вид

.0,0

,0,1

3

x

xx

a

xf Найти функцию

выживания xs .

7. Интенсивность смертности задана формулой xx 001,0 . Найти

функцию выживания 50s .

146

8. Функция выживания задана формулой 2

1

1

xxs . Найти

вероятность смерти человека в возрасте 39 лет в течение ближайших 10 лет.

9. Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 25 лет

описывается законом де Муавра с предельным возрастом 100 лет. Найти

вероятность того, что этот человек проживет еще по крайней мере 25 лет.

10. Функция выживания задана формулой 2xexs . Найти вероятность

того, что человек в возрасте 30 лет проживет еще по крайней мере 20 лет.




1. Женщина в возрасте 40 лет приобрела пожизненную страховую ренту,

предусматривающую ежегодные выплаты в размере 50000 рублей, начиная с

возраста 55 лет. Эффективная процентная ставка %5i . Найти стоимость

полиса.

2. Женщина в возрасте 25 лет покупает страховую ренту с ежемесячными

страховыми выплатами в размере 500 д.е., начиная с возраста 55 лет. Она

намеревается оплатить стоимость полиса посредством ежегодных премий,

уплачиваемых в начале каждого года в течение 20 лет. Найти величину

ежегодных нетто-премий, если эффективная процентная ставка %5i .

3. Мужчина в возрасте 30 лет приобрел полис пожизненного страхования

в размере 200000 рублей, с выплатой в конце года смерти. Стоимость полиса

он будет оплачивать посредством серии платежей в начале каждого года в

течение всей своей жизни. Найти размер ежегодных взносов.

4. Мужчина в возрасте 55 лет заключил договор страхования. Найти

актуарную современную стоимость пятилетней временной пожизненной

ренты, выплачиваемой раз в год в конце года в размере 30000 рублей.

Эффективная годовая процентная ставка %15i .

5. Мужчина в возрасте 37 лет покупает за 100000 рублей пожизненную

ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет.

147

Эффективная процентная ставка %5i . Найти величину ежемесячных

выплат.

6. Женщина в возрасте 39 лет приобрела пожизненный страховой полис,

по которому в случае ее смерти наследники должны получить 100000 рублей.

Эффективная процентная ставка %5i . Найти стоимость полиса.

7. Родители шестилетней девочки приобрели полис по оплате получения

ребенком высшего образования по достижению им 18 лет. Срок обучения 5

лет, стоимость 100000 рублей в год. Эффективная процентная ставка %5i .

Найти величину ежемесячных взносов.

8. Страхователь (мужчина) в возрасте 51 года заключил договор

страхования жизни сроком на 9 лет (норма доходности – 5%). Найти

ежегодную нетто-ставку в процентах (%).

9. Страхователь (женщина) в возрасте 45 лет заключил договор

страхования на дожитие сроком на 10 лет (норма доходности – 5%, страховая

сумма – 80000 руб.). Найти величину ежегодных взносов.

10. Мужчина в возрасте 44 лет заключил договор смешанного страхования

жизни сроком на 6 лет (норма доходности – 5%, страховая сумма – 60000

руб.). Найти величину ежегодных взносов.


1. Предположим, что в компании застраховано N = 1000 человек с

вероятностью смерти в течение года %4,0q . Компания выплачивает сумму

b = 350000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит

ничего, если этот человек доживет до конца года. Определите величину

активов, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.

2. Страховая компания предлагает договоры страхования жизни на один год.

Информация относительно структуры покрытия приведена в следующей

таблице:

Страховая сумма Причина смерти Вероятность

100 000 Обычная 0,1

148

1 000 000 Несчастный случай 0,02

Относительная защитная надбавка равна 25%.

Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик

использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.

Сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная

премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты?

3. Компания «Продо» предполагает организовать групповое страхование

жизни для своих сотрудников. Структура персонала приведена в следующее

таблице:

Профессиональный

класс

Число

сотрудников

Страховая сумма Вероятность

смерти

1 50 1 0,1

2 50 1 0,2

3 100 2 0,1

4 100 2 0,2

Компания предполагает внести в страховой фонд сумму, равную ожидаемым

выплатам страховых возмещений.

Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму,

равную определенной доле от размера ожидаемой выплаты. Размер этой

доли определяется таким образом, чтобы с вероятностью 95% средств

страхового фонда хватило для выплаты страховых возмещений.

Определите размер взноса для работников второго профессионального

класса.


1. Предположим, что продолжительность жизни описывается моделью де

Муавра с предельным возрастом 100 лет, а эффективная годовая процентная

ставка равна 11%. Подсчитайте нетто-премии для человека в возрасте 37 лет,

если заключается договор:

149

а) пожизненного страхования;

б) 7-летнего смешанного страхования жизни;

в) пожизненного страхования, отсроченного на 3 года;

г) пожизненного страхования с непрерывно увеличивающейся страховой

суммой.

2. Страховая компания заключила 40000 договоров пожизненного

страхования. Предположим, что остаточное время жизни каждого из

застрахованных характеризуется интенсивностью смертность 04,0 ,

которая не меняется с течением времени, а интенсивность процентов %8 .

Подсчитайте величину премии, которая гарантировала бы 95%

вероятность выполнения компанией своих обязательств.

150

Тесты для самоконтроля

№ Условие Варианты

ответов

1. Нормально распределенная случайная величина задана

плотностью 4

21

2

1x

exf . Параметры этого

распределения a и равны

(а) 1 и 2

(б) 1 и 2

(в) 1 и 2

(г) 1и 2

2. Случайная величина задана рядом распределения

4 1 2 p 1,0 6,0 3,0

Математическое ожидание 12E равно

(а) 3

(б) 6,1

(в) 6,0

(г) 8,0

3. Контрольную работу по теории вероятностей успешно

выполняют в среднем 70% студентов. Вероятность того, что

из 200 студентов работу успешно выполнят, 150 равна

(а) 019,0

(б) 027,0

(в) 036,0

(г) 051,0

4. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В данном

интервале времени любой абонент независимо от остальных

может сделать вызов с вероятностью 0,005. Тогда

вероятность того, что за это время будет сделано не менее

одного вызова, равна

(а) 51 e

(б) 5e

(в) 51 e

(г) 52e

5. Случайная величина задана рядом распределения

2 0 3 p 5,0 1,0 4,0

Дисперсия 3D равна

(а) 5

(б) 16,5

(в) 24,5

(г) 16,8

6. Функция выживания xTPxs – это вероятность того,

что

1) человек доживет до возраста x

2) человек в возрасте T лет проживет по крайней мере

xлет

3) человек умрет на протяжении x лет

4) человек доживет до T лет и умрет на протяжении

следующих xлет.

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 3

7. Функция выживания xTPxs через функцию

плотности xf определяется по формуле

1)

x

duufxs

0

2)

x

duufxs

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

151

3)

x

duufxs

4)

Tx

x

duufxs

8. Функция выживания xTPxs через интенсивность

смертности x определяется по формуле

1)

x

uduxs

0

exp

2)

x

uduxs

0

exp

3)

x

uduxs exp

4)

x

uduxs exp

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

9. Интенсивность смертности x в модели Гомперца

приближается формулой

1) nx kx

2) xx BeA

3) xx Be

4) x

x

1

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

10. Функцией выживания xTPxs является следующая

функция

1) xexs

2) xexs

3) xexs 1

4) xexs 1

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

11. Функцией выживания xTPxs с предельным

возрастом является следующая функция

1) x

xs 1

2) x

xs1

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

152

3) x

xs

4) xxs1

12. Интенсивность смертности x через функцию выживания

xs и плотность xf определяется по формуле

1) xf

xsx

2) xf

xsx 1

3) xs

xfx

4) xs

xfx

1

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

13.

Функция

.0,0

,0,1

2

x

xx

с

xf является кривой

смертей, если неизвестный коэффициент с равен

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

14. Функция

.0,0

,0,32

x

xeсxxf

x

является кривой

смертей, если неизвестный коэффициент с равен

(а) 1

(б) 2

(в) 3

(г) 4

15. Интенсивность смертности задана формулой xx 002,0 .

Функция выживания 45s равна

(а) 025,2e

(б) 025,0e

(в) 025,3e

(г) 025,1e

16. Функция выживания задана формулой

1101

xxs ,

1100 x . Вероятность того, что человек в возрасте 30 лет

проживет еще по крайней мере 15 лет, равна

(а) 413

(б) 513

(в) 415

(г) 515


1101

xxs ,

1100 x . Вероятность того, что человек в возрасте 40 лет

проживет еще 20 лет и умрет на протяжении последующих 5

лет, равна

(а) 0,0799

(б) 0,0112

(в) 0,0434

(г) 0,0689


21

1

xxs .

Вероятность смерти человека в возрасте 39 лет в течение

(а) 0,5

(б) 0,36

(в) 0,4

153

ближайших 10 лет равна (г) 0,46


21

1

xxs .

Вероятность того, что человек в возрасте 19 лет проживет

еще по крайней мере 30 лет, равна

(а) 0,16

(б) 0,26

(в) 0,2

(г) 0,1


21

1

xxs .

Вероятность того, что человек в возрасте 49 лет умрет в

течение ближайшего года, равна

(а) 0,0596

(б) 0,0186

(в) 0,0676

(г) 0,0396


2xexs .

Вероятность того, что человек в возрасте 30 лет проживет


(а) 1025e

(б) 1125e

(в) 925e

(г) 1100e

22. Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 35

лет описывается законом де Муавра с предельным возрастом

100 лет. Вероятность того, что этот человек проживет


(а) 138

(б) 135

(в) 131

(г) 139



90 лет. Вероятность смерти этого человека в течение

ближайших 20 лет равна

(а) 71

(б) 75

(в) 72

(г) 74



80 лет. Вероятность того, что этот человек проживет еще

5 лет и умрет на протяжении последующих 10 лет, равна

(а) 0,4

(б) 0,2

(в) 0,5

(г) 0,7

25 Страхователь (женщина) в возрасте 45 лет заключил договор

страхования жизни сроком на 5 лет (норма доходности – 5%,

страховая сумма – 40000 руб., доля нагрузки – 11%).

Ежегодная брутто-премия, вычисленная через

коммутационные числа, равна

(а) 189

(б) 214

(в) 228

(г) 239

26 Страхователь (мужчина) в возрасте 42 лет заключил договор

страхования на дожитие сроком на 7 лет (норма доходности –

5%, страховая сумма – 45000 руб., доля нагрузки – 10%).



(а) 5119

(б) 5424

(в) 5931

(г) 6140


страхования жизни сроком на 10 лет (норма доходности –


Единовременная брутто-премия, вычисленная через

(а) 3193

(б) 5444

(в) 7837

(г) 9158

154



пожизненного страхования жизни (норма доходности – 5%,




(а) 1126

(б) 1549

(в) 2391

(г) 2703


по смешанному страхованию сроком на 4 года (норма

доходности – 5%, страховая сумма – 70000 руб., доля

нагрузки – 9%). Ежегодная брутто-премия, вычисленная

через коммутационные числа, равна

(а) 1126

(б) 1549

(в) 2391

(г) 2703


страхования жизни сроком на 2 года (норма доходности –




(а) 521

(б) 790

(в) 932

(г) 1130


пожизненного страхования жизни (норма доходности – 5%,




(а) 1934

(б) 2105

(в) 2309

(г) 2552


смешанного страхования жизни сроком на 6 лет (норма

доходности – 5%, страховая сумма – 70000 руб.). Ежегодная

нетто-премия, вычисленная через коммутационные числа,

равна

(а) 3421

(б) 5979

(в) 7351

(г) 9919


страхования на дожитие сроком на 8 лет (норма доходности –




(а) 5250

(б) 5703

(в) 6141

(г) 6529

34 Страхователь (женщина) в возрасте 32 года заключил

договор страхования жизни сроком на 10 лет (норма

доходности – 5%). Ежегодная нетто-ставка в процентах (%),

вычисленная через коммутационные числа, равна

(а) 0,238175

(б) 0,341926

(в) 0,411102

(г) 0,465497

35 Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным

возрастом 90 лет, а эффективная процентная ставка

%15i . Человек в возрасте 50 лет заключил договор

пожизненного страхования жизни. Нетто-ставка для этого

человека в процентах (%) равна

(а) 17,82

(б) 20,32

(в) 25,32

(г) 15,32




страхования жизни сроком на 5 лет. Нетто-ставка для этого

(а) 4,497

(б) 5,497

(в) 3,497

(г) 6,497

155

человека в процентах (%) равна




смешанного страхования жизни сроком на 10 лет. Нетто-

ставка для этого человека в процентах (%) равна

(а) 26,99

(б) 20,99

(в) 15,99

(г) 30,99




пожизненного страхования, отсроченного на 5 лет. Нетто-

ставка для этого человека в процентах (%) равна

(а) 5,55

(б) 3,53

(в) 4,24

(г) 8,11

39 Страхователь заключил договор пожизненного страхования

со страховой суммой 200000 руб. Остаточное время жизни

этого человека характеризуется постоянной интенсивностью

смертности 03,0 , а интенсивность процентов %7 .

Нетто-премия для этого человека равна

(а) 50000

(б) 60000

(в) 20000

(г) 30000

40 Страхователь заключил договор пожизненного страхования,

отсроченного на 7 лет, со страховой суммой 100000 руб.

Остаточное время жизни этого человека характеризуется

постоянной интенсивностью смертности 02,0 , а

интенсивность процентов %10 . Нетто-ставка для этого

человека равна

(а) 6

84,0e

(б) 6

34,0e

(в) 8

84,0e

(г) 8

34,0e

41 Страхователь заключил договор пожизненного страхования

со страховой суммой 70000 руб. Остаточное время жизни

этого человека характеризуется постоянной интенсивностью

смертности 025,0 , а интенсивность процентов %11 .

Нетто-премия для этого человека равна

(а) 12962,95

(б) 13962,95

(в) 14962,95

(г)15962,95

42 Страхователь заключил договор пожизненного страхования,

отсроченного на 5 лет, со страховой суммой 300000 руб.

Остаточное время жизни этого человека характеризуется

постоянной интенсивностью смертности 01,0 , а

интенсивность процентов %9 . Нетто-ставка для этого

человека равна

(а) 5

35,0e

(б) 6

35,0e

(в) 4

35,0e

(г) 7

35,0e

43 Страхователь заключил договор страхования жизни на два

года с выплатой 1000000 в конце года смерти. Остаточное

время жизни описывается законом

2

2exp

tp xt ,

процентная ставка %5i . Нетто-премия для этого человека

(а) 440000

(б) 685000

(в) 583400

(г) 236000

44 Страхователь заключил договор страхования жизни на два

года с выплатой 70000 в конце года смерти. Остаточное

(а) 53907

(б) 55907

(в) 65907

156

время жизни описывается законом

2

5,1exp

tpxt ,

процентная ставка %5i . Нетто-премия для этого человека

(г) 63907

45 Известно, что 9223245l , 9178346l , 9130247l ,

эффективная годовая процентная ставка %14i . Возраст

человека на момент заключения договора 45 лет. Актуарная

современная стоимость трехлетней временной пожизненной

ренты, выплачиваемой раз в год в начале года в размере

70000 рублей, равна

(а) 188995

(б) 128895

(в) 138895

(г) 168895

46 Известно, что 8699942l , 8618243l , 8531044l ,

8437945l , эффективная годовая процентная ставка %11i .

Возраст человека на момент заключения договора 42 лет.

Актуарная современная стоимость трехлетней временной

пожизненной ренты, выплачиваемой раз в год в конце года в

размере 50000 рублей, равна

(а) 16876

(б) 178776

(в) 161776

(г) 198776

47 Родители одиннадцатилетнего ребенка (девочка) оформляют

договор на оплату высшего образования ребенка, по

достижению им 18 лет. Срок обучения 5 лет, стоимость

47000 рублей в год. Эффективная процентная ставка %5i .

Стоимость полиса равна

(а) 99584

(б) 116320

(в) 130794

(г) 151040

48 Мужчина в возрасте 45 лет покупает за 200000 рублей

пожизненную ренту (пенсию), выплаты которой начинаются

с возраста 60 лет. Эффективная процентная ставка %5i .

Величина ежегодных выплат равна

(а) 65930

(б) 70485

(в) 75791

(г) 80141

49 Женщина в возрасте 40 лет приобрела пожизненный

страховой полис, по которому в случае ее смерти наследники

должны получить 100000 рублей. Эффективная процентная

ставка %5i . Стоимость полиса равна

(а) 15120

(б) 19431

(в) 22921

(г) 27540

50 Страхователь (мужчина) в возрасте 45 лет заключил договор,

согласно которому, начиная с 65 лет, пожизненно будет

выплачиваться пенсия в размере 50000 рублей в начале

каждого года. Эффективная процентная ставка %5i .

Величина годовых взносов, которые будут уплачиваться

страхователем с 45 до 65 лет, равна

(а) 5344

(б) 7150

(в) 8965

(г) 9540

Ключи к тестам для самоконтроля

№

теста 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

№

Ответа г в а а б а в б в б а в а в а

157

№

теста 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

№

ответа а в б а г б а в а г б в а а б

№

теста 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

№

ответа г г в а а а г б б а а г в а а

№

теста 46 47 48 49 50

№

ответа в г б в б

158

Образец и решение типового варианта теста

Вариант №***

1.Кривая смертей задана формулой .0,0

,0,

x

xxexf

x

. Функция

выживания 19s равна

1) 1919e

2) 1920e

3) 1921e

4) 1919e

Решение.

Функция выживания xs через функцию плотности (кривую смертей)

xf определяется по формуле

x

duufxs .

Тогда

19

19 duues u [интегрируя по частям]=

1919

dueue uu

19

19

19 2019 eee u .

Ответ: 2)

2.Время жизни некоторого конкретного человека в возрасте 30 лет

описывается законом де Муавра с предельным возрастом 90 лет.

Вероятность того, что этот человек проживет еще 10 лет и умрет на

протяжении последующих 5 лет, равна

1) 9

1

2) 9

2

3) 12

1

4) 3

2

159

Решение.

Вероятность того, что человек возраста x лет проживет еще t лет и

умрет на протяжении u последующих лет равна

xs

utxstxsqxut .

Функция выживания xs в модели Муавра с предельным возрастом

имеет вид

xxs 1 .

Тогда 12

1

90

301

90

451

90

401

30

454030510

s

ssq .

Ответ: 3)

3. Страхователь в возрасте 40 лет заключил договор страхования жизни

сроком на 5 года (норма доходности – 5%, страховая сумма – 100000 руб.,

доля нагрузки – 9%). Ежегодная брутто-премия, вычисленная через


1) 1397,3

2) 1535,5

3) 1721,5

4) 1940,8

Решение.

Ежегодная нетто-ставка (НС) при страховании жизни сроком на n лет,

вычисленная через коммутационные числа (коммутационные функции) на

единицу страховой суммы, равна

nxx

nxxnx NN

MMP1

:,

где xx NM , – коммутационные числа (находят по таблице коммутационных

чисел).

160

Брутто-ставка (БС) с долей нагрузки равна 100

100НСБС , а брутто-

премия (БП) со страховой суммой S – SБСБП .

Тогда получим 0139733,01,1060407,158412

375,3563191,4295

4540

45401

5:40 NN

MMP ,

5,15351000009100

1000139733,0

100

1001

:S

PБП

nx (руб).

Ответ: 2)

4. Время жизни описывается моделью де Муавра с предельным

возрастом 90 лет, а эффективная процентная ставка %15i .

Человек в возрасте 50 лет заключил договор страхования жизни сроком

на 10 лет. Единовременная нетто-ставка для этого человека в процентах

(%) равна

1) 7,855

2) 9,743

3) 11,625

4) 13,466

Решение.

Остаточное время жизни застрахованного имеет равномерное

распределение на промежутке x,0 :

.400,40

150 ttf

Интенсивность процентов %9762,131ln i , коэффициент

дисконтирования %9565,861

1

iv .

Единовременная нетто-ставка при страховании жизни сроком на n лет

равна

n

xt

nxdttfvA

0

1

:.

161

Тогда %466,1340

1

40

1

40

1 1010

0

10

0

10

0

50

1

10:50

vvdtvdttfvA tt

Ответ: 4)

5. Мужчина в возрасте 40 лет покупает за 100000 рублей пожизненную

ренту (пенсию), выплаты которой начинаются с возраста 65 лет.

Эффективная процентная ставка %5i . Величина ежегодных выплат

равна

1) 159236

2) 121550

3) 89189

4) 75620

Решение.

Величина ежегодных выплат S равна

xm a

PS

,

где P – стоимость пожизненной ренты,

x

mxxm

D

Na – отложенная на m лет пожизненная рента для человека

возраста x лет, выраженная через коммутационные числа xN и xD (эти

числа находят по таблице коммутационных чисел).

Тогда 12122,166,11838

74,13273

40

654025

D

Na ,

8918912122,1

100000

4025 a

PS

.

Ответ: 3)

162

163

Вопросы к зачету

1. Время жизни как случайная величина.

2. Свойства функции выживания.

3. Кривая смертей, интенсивность смертности. Свойства.

4. Аналитические законы смертности (Мэйкхама, Вейбулла, Гомперца).

5. Макрохарактеристики продолжительности жизни.

6. Остаточное время жизни. Распределение остаточного времени жизни.

7. Основные величины, связанные с остаточным временем жизни.

8. Округленное время жизни. Распределения округленного времени

жизни.

9. Приближения для дробных возрастов (равномерное, постоянная

интенсивность смертности, Балдуччи).

10. Макрохарактеристики остаточного времени жизни.

11. Частичная остаточная продолжительности жизни.

12. Анализ индивидуальных убытков при краткосрочном страховании

жизни.

13. Приближенный расчет вероятности разорения.

14. Принципы назначения страховых премий.

15. Общая модель долгосрочного страхования жизни.

16. Теорема о дисперсии приведенной ценности.

17. Связь между непрерывными и дискретными видами страхования.

18. Перестрахование: сущность и разновидности договоров

перестрахования.

19. Пропорциональное перестрахование. Перестрахование превышения

потерь.

20. Пожизненные ренты, выплачиваемые раз в год.

21. Пожизненные ренты, выплачиваемые с частотой p .

22. Периодические нетто-премии.

164

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ

Основная литература

1. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и

пенсионных схем.М.: МГУ, 1996. – 261с.

2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. М.: МГУ,

2003. – 190с.

3. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.:

Российский юридический издательский дом, 1994. – 80с.

4. Фалин Г.И. Введение в актуарную математику. М.: Изд-во Моск. Ун-та,

1994. – 140с.

Дополнительная литература

1. Гербер Х. Математика страхования жижни. М.: Мир, 1995. – 156с.

2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Теория риска для актуариев в задачах. М.:

Мир, 2004. – 240с.

3. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. М.: Изд-во

«Дело», 1998. – 302с.

4. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.:

Дело ЛТД, 1995. – 148с.

5. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. М.:

Наука, 1995. – 119с.

165

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Значения функции Гаусса 2

2

2

1x

ex

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 3973

0,1 0,3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 3918

0,2 0,3910 3902 3894 3005 3876 3867 3857 3847 3836 3825

0,3 0,3814 3802 3790 3778 3765 3752 3734 3726 3712 3697

0,4 0,3683 3660 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 3538

0,5 0,3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 3352

0,6 0,3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 3144

0,7 0,3123 3101 3079 3056 3034 3111 2989 2966 2943 2920

0,8 0,2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 2685

0,9 0,2661 2637 2613 2509 2565 2541 2516 2492 2468 2444

1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 2203

1,1 0,2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2012 1979 1965

1,2 0,1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1736

1,3 0,1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1518

1,4 0,1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1315

1,5 0,1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1127

1,6 0,1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 0957

1,7 0,0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 0804

1,8 0,0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 0669

1,9 0,0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 0449

166

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2,1 0,0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 0363

2,2 0,0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 0290

2,3 0,0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 0229

2,4 0,0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 0180

2,5 0,0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 0139

2,6 0,0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 0107

2,7 0,0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 0081

2,8 0,0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 0061

2,9 0,0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046

3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 0034

3,1 0,0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 0025

3,2 0,0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 0018

3,3 0,0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 0013

3,4 0,0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 0009

3,5 0,0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 0006

3,6 0,0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 0004

3,7 0,0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 0003

3,8 0,0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 0002

3,9 0,0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 0001

167


Значения функции Лапласа dzex

x z

0

2

2

02

1

x x0 x x0 x x0 x x0

0,00 0,0000 0,32 0,1255 0,64 0,2389 0,96 0,3315

0,01 0,0040 0,33 0,1293 0,65 0,2422 0,97 0,3340

0,02 0,0080 0,34 0,1331 0,66 0,2454 0,98 0,3365

0,03 0,0120 0,35 0,1368 0,67 0,2486 0,99 0,3389

0,04 0,0160 0,36 0,1406 0,68 0,2517 1,00 0,3413

0,05 0,0199 0,37 0,1443 0,69 0,2549 1,01 0,3438

0,06 0,0239 0,38 0,1480 0,70 0,2580 1,02 0,3461

0,07 0,0279 0,39 0,1517 0,71 0,2611 1,03 0,3485

0,08 0,0319 0,40 0,1554 0,72 0,2642 1,04 0,3508

0,09 0,0359 0,41 0,1591 0,73 0,2673 1,05 0,3531

0,10 0,0398 0,42 0,1628 0,74 0,2703 1,06 0,3554

0,11 0,0438 0,43 0,1664 0,75 0,2734 1,07 0,3577

0,12 0,0478 0,44 0,1700 0,76 0,2764 1,08 0,3599

0,13 0,0517 0,45 0,1736 0,77 0,2794 1,09 0,3621

0,14 0,0557 0,46 0,1772 0,78 0,2823 1,10 0,3643

0,15 0,0596 0,47 0,1808 0,79 0,2852 1,11 0,3655

0,16 0,0636 0,48 0,1844 0,80 0,2881 1,12 0,3686

0,17 0,0675 0,49 0,1879 0,81 0,2910 1,13 0,3708

0,18 0,0714 0,50 0,1915 0,82 0,2939 1,14 0,3729

0,19 0,0753 0,51 0,1950 0,83 0,2967 1,15 0,3749

0,20 0,0793 0,52 0,1985 0,84 0,2995 1,16 0,3770

0,21 0,0832 0,53 0,2019 0,85 0,3023 1,17 0,3790

0,22 0,0871 0,54 0,2054 0,86 0,3051 1,18 0,3810

0,23 0,0910 0,55 0,2088 0,87 0,3078 1,19 0,3830

0,24 0,0948 0,56 0,2123 0,88 0,3106 1,20 0,3849

0,25 0,0987 0,57 0,2157 0,89 0,3133 1,21 0,3869

0,26 0,1026 0,58 0,2190 0,90 0,3159 1,22 0,3883

0,27 0,1064 0,59 0,2224 0,91 0,3186 1,23 0,3907

0,28 0,1103 0,60 0,2257 0,92 0,3212 1,24 0,3925

0,29 0,1141 0,61 0,2291 0,93 0,3238 1,25 0,3907

0,30 0,1179 0,62 0,2324 0,94 0,3264 1,26 0,3925

0,31 0,1217 0,63 0,2357 0,95 0,3289 1,27 0,3944

1,26 0,3962 1,59 0,4441 1,92 0,4726 2,50 0,4938

168

x x0 x x0 x x0 x x0

1,27 0,3980 1,60 0,4452 1,93 0,4732 2,52 0,4941

1,28 0,3997 1,61 0,4463 1,94 0,4738 2,54 0,4945

1,29 0,4015 1,62 0,4474 1,95 0,4744 2,56 0,4948

1,30 0,4032 1,63 0,4484 1,96 0,4750 2,58 0,4951

1,31 0,4049 1,64 0,4495 1,97 0,4756 2,60 0,4953

1,32 0,4066 1,65 0,4505 1,98 0,4761 2,62 0,4956

1,33 0,4082 1,66 0,4515 1,99 0,4767 2,64 0,4959

1,34 0,4099 1,67 0,4525 2,00 0,4772 2,66 0,4961

1,35 0,4115 1,68 0,4535 2,02 0,4783 2,68 0,4963

1,36 0,4131 1,69 0,4545 2,04 0,4793 2,70 0,4965

1,37 0,4147 1,70 0,4554 2,06 0,4803 2,72 0,4967

1,38 0,4162 1,71 0,4564 2,08 0,4812 2,74 0,4969

1,39 0,4177 1,72 0,4573 2,10 0,4821 2,76 0,4971

1,40 0,4192 1,73 0,4582 2,12 0,4830 2,78 0,4973

1,41 0,4207 1,74 0,4591 2,14 0,4838 2,80 0,4974

1,42 0,4222 1,75 0,4599 2,16 0,4846 2,82 0,4976

1,43 0,4236 1,76 0,4608 2,18 0,4854 2,84 0,4977

1,44 0,4251 1,77 0,4616 2,20 0,4861 2,86 0,4979

1,45 0,4265 1,78 0,4625 2,22 0,4868 2,88 0,4980

1,46 0,4279 1,79 0,4633 2,24 0,4875 2,90 0,4981

1,47 0,4292 1,80 0,4641 2,26 0,4881 2,92 0,4982

1,48 0,4306 1,81 0,4649 2,28 0,4887 2,94 0,4984

1,49 0,4319 1,82 0,4656 2,30 0,4893 2,96 0,4985

1,50 0,4332 1,83 0,4564 2,32 0,4898 2,98 0,4986

1,51 0,4345 1,84 0,4671 2,34 0,4904 3,00 0,49865

1,52 0,4357 1,85 0,4787 2,36 0,4909 3,20 0,49931

1,53 0,4370 1,86 0,4686 2,38 0,4913 3,40 0,49966

1,54 0,4382 1,87 0,4693 2,40 0,4918 3,60 0,499841

1,55 0,4394 1,88 0,4699 2,42 0,4922 3,80 0,499928

1,56 0,4406 1,89 0,4706 2,44 0,4927 4,00 0,499968

1,57 0,4418 1,90 0,4713 2,46 0,4933 4,50 0,499997

1,58 0,4429 1,91 0,4719 2,48 0,4934 5,00 0,499997

169


Таблицы смертности

возраст Мужчины Женщины

x xl xd xq xl xd xq

0 100000 2047 0,02047 100000 1512 0, 01512

1 97953 200 0, 00242 98488 161 0, 001635

2 97753 113 0, 001156 98327 98 0, 000997

3 97640 85 0, 000871 98229 69 0, 000702

4 97555 78 0, 0008 98160 57 0, 000581

5 97477 74 0, 000759 98103 45 0, 000459

6 97403 69 0, 000708 98058 41 0, 000418

7 97334 62 0, 000637 98017 39 0, 000398

8 97272 57 0, 000586 97978 39 0, 000398

9 97215 57 0, 000586 97939 37 0, 000378

10 97158 54 0,000556 97902 31 0, 000317

11 97104 54 0,000556 97871 31 0, 000317

12 97050 56 0,000577 97840 31 0, 000317

13 96994 63 0,00065 97809 35 0, 000358

14 96931 70 0,000722 97774 38 0, 000389

15 96861 105 0,001084 97736 47 0, 000481

16 96756 151 0,001561 97689 68 0, 000696

17 96605 208 0,002153 97621 92 0, 000942

18 96397 261 0,002708 97529 92 0, 000943

19 96136 299 0,00311 97437 93 0, 000954

20 95837 351 0,003662 97344 93 0, 000955

21 95486 379 0,003969 97251 94 0,000967

22 95107 388 0,0048 97157 95 0,000978

23 94719 375 0,003959 97062 98 0,00101

24 94344 392 0,004155 96964 98 0,001011

170

25 93952 441 0,004694 96866 99 0,001022

26 93511 473 0,005058 96767 107 0,001106

27 93038 529 0,005686 96660 132 0,001366

28 92509 543 0,00587 96528 137 0,001419

29 91966 547 0,005948 96391 138 0,001432

30 91419 597 0,00653 96253 149 0,001548

31 90822 639 0,007037 96104 164 0,001706

32 90183 695 0,007707 95940 172 0,001793

33 89488 757 0,008459 95768 180 0,00188

34 88731 797 0,008982 95588 197 0,002061

35 87934 832 0,009462 95391 218 0,002285

36 87102 905 0,01039 95173 234 0,002459

37 86197 907 0,010522 94939 250 0,002633

38 85290 940 0,011021 94689 267 0,00282

39 84350 1006 0,011926 94422 279 0,002955

40 83344 1145 0,013738 94143 310 0,003293

41 82199 1198 0,014574 93833 344 0,003666

42 81001 1194 0,014741 93489 382 0,004086

43 79807 1208 0,015137 93107 417 0,004479

44 78599 1212 0,01542 92690 458 0,004941

45 77387 1292 0,016695 92232 449 0,004868

46 76095 1394 0,018319 91781 481 0,005241

47 74701 1379 0,01846 91302 512 0,005608

48 73322 1432 0,01953 90790 547 0,006025

49 71890 1536 0,021366 90243 571 0,006327

50 70354 2001 0,028442 89672 680 0,007583

51 68353 2107 0,030825 88992 847 0,009518

52 66246 2156 0,032545 88145 884 0,010029

53 64090 2143 0,033437 87261 966 0,01107

171

54 61947 2088 0,033706 86295 959 0,011113

55 59859 2028 0,03388 85336 949 0,011121

56 57831 1974 0,034134 84387 952 0,011281

57 55857 1917 0,03432 83435 954 0,011434

58 53940 1870 0,034668 82481 1009 0,012233

59 52070 1824 0,03503 81472 1012 0,012421

60 50246 2127 0,042332 80460 1121 0,013932

61 48119 2458 0,051082 79339 1334 0,016814

62 45661 2395 0,052452 78005 1499 0,019217

63 43266 2309 0,053368 76506 1621 0,021188

64 40957 2234 0,054545 74885 1745 0,023302

65 38723 2167 0,055962 73140 1785 0,024405

66 36556 2055 0,056215 71355 1812 0,025394

67 34501 2009 0,05823 69543 1834 0,026372

68 32492 1955 0,060169 67709 1844 0,027234

69 30537 1933 0,0633 65865 1914 0,029059

70 28604 1933 0,067578 63951 2075 0,032447

71 26671 1902 0,071313 61876 2198 0,035523

72 24769 1820 0,073479 59678 2375 0,039797

73 22949 1803 0,078566 57303 2515 0,043889

74 21146 1735 0,082049 54778 2712 0,0495

75 19411 1782 0,091804 52076 2987 0,057358

76 17629 1831 0,103863 49089 3173 0,064638

77 15798 1762 0,111533 45916 3337 0,072676

78 14036 1734 0,123539 42579 3538 0,083093

79 12302 1687 0,137132 39041 3399 0,087062

80 10615 1461 0,137635 35642 3301 0,092615

81 9154 1283 0,140157 32341 3287 0,101636

82 7871 1153 0,146487 29054 3224 0,110966

172

83 6718 1078 0,160464 25830 3156 0,122184

84 5640 960 0,170213 22674 3151 0,13897

85 4680 861 0,183974 19523 3001 0,153716

86 3819 791 0,207122 16522 2919 0,176674

87 3028 640 0,211361 13603 2618 0,192458

88 2388 529 0,221524 10985 2302 0,209558

89 1859 431 0,231845 8683 1979 0,227917

90 1428 348 0,243697 6704 1659 0,247464

91 1080 275 0,25463 5045 1355 0,268583

92 805 208 0,258385 3690 1083 0,290786

93 597 158 0,264657 2617 823 0,314482

94 439 138 0,314351 1794 610 0,340022

95 301 95 0,315615 1184 434 0,366554

96 206 66 0,320388 750 296 0,394667

97 140 45 0,321429 454 192 0,422907

98 95 32 0,336842 262 119 0,454198

99 63 22 0,349206 143 70 0,48951

100 41 41 1 73 73 1

173


Таблицы коммутационных функций

Мужчины Годовая процентная ставка – 5%

Возраст x xD xN xC xM xR xa xA

0 100000 1887590 1949,524 10114,77 342608,9 17,8759 0,101148

1 93288,57 1787590 181,4059 8165,244 332494,2 18,16194 0,087527

2 88664,85 1694301 97,61365 7983,838 324328,9 18,10905 0,090045

3 84345,10 1605636 69,92971 7886,224 316345,1 18,03651 0,093499

4 80258,74 1521291 61,11504 7816,294 308458,9 17,95484 0,097389

5 76375,78 1441033 55,21994 7755,179 300642,6 17,86766 0,10154

6 72683,62 1364657 49,03701 7699,959 292887,4 17,7753 0,105938

7 69173,46 1291973 41,96404 7650,922 285187,4 17,6773 0,110605

8 65837,52 1222800 36,74271 7608,958 277536,5 17,57299 0,115572

9 62665,66 1156962 34,99306 7572,216 269927,6 17,46246 0,120835

10 59646,58 1094297 31,57268 7537,223 262355,3 17,34634 0,126365

11 56774,70 1034650 30,06922 7505,65 254818,1 17,22379 0,132201

12 54041,07 977875,3 29,698 7475,581 247312,5 17,09504 0,138331

13 51437,99 923834,2 31,81928 7445,883 239836,9 16,96015 0,144755

14 48956,74 872396,2 33,6712 7414,063 232391 16,81974 0,151441

15 46591,80 823439,5 48,10171 7380,392 224976,9 16,67349 0,158405

16 44325,04 776847,7 65,8808 7332,29 217596,5 16,52616 0,165421

17 42148,44 732522,7 86,4283 7266,41 210264,3 16,37959 0,1724

18 40054,94 690374,2 103,2866 7179,981 202997,8 16,23568 0,179253

19 38044,28 650319,3 112,69 7076,695 195817,9 16,09375 0,186012

20 36119,96 612275 125,9888 6964,005 188741,2 15,95116 0,192802

174

21 34273,97 576155 129,5611 6838,016 181777,2 15,81028 0,19951

22 32512,32 541881,1 126,3217 6708,455 174939,2 15,66695 0,206336

23 30837,79 509368,8 116,2755 6582,133 168230,7 15,51768 0,213444

24 29253,05 478531 115,7587 6465,858 161648,6 15,35833 0,221032

25 27744,29 449277,9 124,0272 6350,099 155182,7 15,19353 0,22888

26 26299,10 421533,6 126,6923 6226,072 148832,6 15,02844 0,236741

27 24920,07 395234,5 134,9445 6099,38 142606,5 14,86009 0,244758

28 23598,46 370314,5 131,9199 5964,435 136507,2 14,69232 0,252747

29 22342,80 346716 126,5635 5832,515 130542,7 14,51802 0,261047

30 21152,29 324373,2 131,5546 5705,952 124710,2 14,33513 0,269756

31 20013,49 303220,9 134,1045 5574,397 119004,3 14,15083 0,278532

32 18926,36 283207,4 138,9114 5440,293 113429,9 13,96365 0,287445

33 17886,19 264281,1 144,0986 5301,381 107989,6 13,7757 0,296395

34 16890,37 246394,9 144,4884 5157,283 102688,2 13,58789 0,305339

35 15941,58 229504,5 143,651 5012,794 97530,9 13,3966 0,314448

36 15038,81 213562,9 148,8142 4869,144 92518,1 13,20079 0,323772

37 14173,86 198524,1 142,0411 4720,329 87648,96 13,00636 0,333031

38 13356,87 184350,3 140,1991 4578,288 82928,63 12,8019 0,342767

39 12580,63 170993,4 142,898 4438,089 78350,34 12,5918 0,352772

40 1 1838,66 158412,7 154,8974 4295,191 73912,25 12,38097 0,362811

41 11120,01 146574,1 154,3499 4140,294 69617,06 12,18111 0,372328

42 10436,14 135454,1 146,5091 3985,944 65476,77 11,97933 0,381937

43 9792,67 125017,9 141,1685 3839,435 61490,83 11,76648 0,392072

44 9185,184 115225,3 134,8914 3698,266 57651,39 11,54469 0,402634

45 8612,903 106040,1 136,9477 3563,375 53953,12 11,31177 0,413725

175

46 8065,817 97427,19 140,7232 3426,427 50389,75 11,07902 0,424808

47 7541,007 89361,37 132,58 3285,704 46963,32 10,85006 0,435712

48 7049,332 81820,36 131,1195 3153,124 43677,62 10,60683 0,447294

49 6582,53 74771,03 133,9449 3022,005 40524,49 10,35901 0,459095

50 6135,131 68188,5 166,1854 2888,06 37502,49 10,11443 0,470741

51 5676,797 62053,37 166,656 2721,874 34614,43 9,931054 0,479474

52 5239,817 56376,57 162,4112 2555,218 31892,56 9,759264 0,487654

53 4827,891 51136,76 153,7447 2392,807 29337,34 9,591946 0,495622

54 4444,246 46308,86 142,6655 2239,062 26944,53 9,419959 0,503811

55 4089,95 41864,62 131,9676 2096,397 24705,47 9,235973 0,512573

56 3763,223 37774,67 122,3368 1964,429 22609,07 9,03785 0,522007

57 3461,685 34011,44 113,1469 1842,092 20644,64 8,825112 0,532138

58 3183,696 30549,76 105,117 1728,946 18802,55 8,59569 0,543062

59 2926,974 27366,06 97,6488 1623,829 17073,6 8,349608 0,554781

60 2689,946 24439,09 108,4477 1526,18 15449,78 8,085346 0,567364

61 2453,406 21749,14 119,3563 1417,732 13923,6 7,864879 0,577863

62 2217,22 19295,74 110,7592 1298,376 12505,86 7,70267 0,585587

63 2000,879 17078,52 101,6972 1187,617 11207,49 7,535506 0,593547

64 1803,902 15077,64 93,70844 1085,919 10019,87 7,358345 0,601984

65 1624,294 13273,74 86,56955 992,211 8933,951 7,172005 0,610857

66 1460,377 11649,44 78,18596 905,6415 7941,74 6,977011 0,620142

67 1312,649 10189,07 72,79601 827,4555 7036,099 6,762216 0,630371

68 1177,346 8876,416 67,46603 754,6595 6208,643 6,539344 0,640984

69 1053,816 7699,07 63,5303 687,1935 5453,984 6,305897 0,6521

70 940,1039 6645,254 60,50505 623,6632 4766,79 6,068639 0,663398

176

71 834,832 5705,15 56,69973 563,1581 4143,127 5,833891 0,674577

72 738,3783 4870,319 51,67168 506,4584 3579,969 5,595966 0,685906

73 651,5458 4131,94 48,75146 454,7867 3073,511 5,34175 0,698012

74 571,7683 3480,394 44,67886 406,0353 2618,724 5,087071 0,710139

75 499,8624 2908,626 43,70398 361,3564 2212,689 4,818853 0,722912

76 432,3555 2408,764 42,76735 317,6524 1851,332 4,571258 0,734702

77 368,9998 1976,408 39,19589 274,8851 1533,68 4,356123 0,744947

78 312,2324 1607,408 36,73622 235,6892 1258,795 4,148115 0,754852

79 260,628 1295,176 34,03856 198,953 1023,106 3,969443 0,76336

80 214,1786 1034,548 28,07482 164,9144 824,1526 3,830305 0,769985

81 175,9048 820,3694 23,48033 136,8396 659,2382 3,663712 0,777918

82 144,0481 644,4646 20,09636 113,3593 522,3986 3,473956 0,786954

83 117,0923 500,4165 17,89442 93,2629 409,0393 3,273695 0,796491

84 93,62201 383,3243 15,17682 75,36848 315,7764 3,094382 0,805029

85 73,987 289,7023 12,96353 60,19166 240,408 2,915583 0,813544

86 57,50028 215,7153 1 1,34247 47,22812 180,2163 2,751552 0,821355

87 43,4197 158,215 8,740206 35,88566 132,9882 2,643852 0,826483

88 32,61189 114,7953 6,880311 27,14545 97,10253 2,520044 0,832379

89 24,17863 82,18339 5,338759 20,26514 69,95708 2,399009 0,838142

90 17,68851 58,00476 4,105377 14,92638 49,69194 2,279233 0,843846

91 12,74082 40,31625 3,089706 10,821 34,76556 2,164336 0,849317

92 9,044413 27,57542 2,225658 7,731297 23,94456 2,04889 0,854815

93 6,388068 18,53101 1,610138 5,505639 16,21326 1,900879 0,861863

94 4,473737 12,14294 1,339355 3,895501 10,70762 1,714273 0,870749

95 2,921347 7,669204 0,878114 2,556146 6,812123 1,625229 0,874989

177

96 1,904121 4,747858 0,581008 1,678032 4,255977 1,493465 0,881264

97 1,232441 2,843737 0,377278 1,097025 2,577945 1,307403 0,890124

98 0,796475 1,611296 0,255511 0,719747 1,48092 1,023034 0,903665

99 0,503037 0,814821 0,167299 0,464236 0,761173 0,619803 0,922867

100 0,311784 0,311784 0,296937 0,296937 0,296937 0 0,952381

Женщины Годовая процентная ставка – 5%

Возраст x xD xN xC xM xR xa xA

0 100000 1977650 1440 5826,207 226663,7 18,7765 0,058262

1 93798,1 1877650 146,0317 4386,207 220837,4 19,01799 0,046762

2 89185,49 1783852 84,65608 4240,176 216451,2 19,00159 0,047543

3 84853,9 1694666 56,76647 4155,52 212211,1 18,97157 0,048973

4 80756,47 1609812 44,66099 4098,753 208055,5 18,93416 0,050754

5 76866,27 1529056 33,57969 4054,092 203956,8 18,89241 0,052742

6 73172,39 1452189 29,13793 4020,512 199902,7 18,84614 0,054946

7 69658,85 1379017 26,39674 3991,374 195882,2 18,79672 0,057299

8 66315,37 1309358 25,13975 3964,978 191890,8 18,74442 0,05979

9 63132,35 1243043 22,71479 3939,838 187925,8 18,68947 0,062406

10 60103,34 1179910 18,12506 3917,123 183986 18,63136 0,065173

11 57223,15 1119807 17,26196 3898,998 180068,9 18,56913 0,068137

12 54480,97 1062584 16,43996 3881,736 176169,9 18,50376 0,071249

13 51870,2 1008103 17,67738 3865,296 172288,1 18,43511 0,074519

14 49382,51 956232,8 18,27865 3847,619 168422,8 18,36379 0,077915

15 47012,69 906850,3 21,53124 3829,34 164575,2 18,28948 0,081453

16 44752,46 859837,6 29,66817 3807,809 160745,9 18,21319 0,085086

178

17 42591,72 815085,1 38,2279 3778,141 156938,1 18,13717 0,088706

18 40525,31 772493,4 36,40752 3739,913 153159,9 18,062 0,092286

19 38559,13 731968,1 35,05072 3703,505 149420 17,983 0,096047

20 36687,93 693409 33,38164 3668,455 145716,5 17,90019 0,099991

21 34907,5 656721 32,13389 3635,073 142048,1 17,81318 0,104134

22 33213,11 621813,5 30,92927 3602,939 138413 17,72193 0,108479

23 31600,6 588600,4 30,38666 3572,01 134810,1 17,62624 0,113036

24 30065,42 556999,8 28,93967 3541,623 131238 17,52626 0,117797

25 28604,8 526934,4 27,84283 3512,683 127696,4 17,42119 0,1228

26 27214,82 498329,6 28,65977 3484,841 124183,7 17,31096 0,128049

27 25890,22 471114,8 33,67236 3456,181 120698,9 17,19663 0,133494

28 24623,68 445224,6 33.28365 3422,509 117242,7 17,08116 0,138993

29 23417,84 420600,9 31,93009 3389,225 113820,2 16,9607 0,144728

30 22270,77 397183,1 32,83356 3357,295 110431 16,83427 0,150749

31 21177,43 374912,3 34,41805 3324,461 107073,7 16,70339 0,156981

32 20134,56 353734,9 34,37808 3290,043 103749,2 16,56854 0,163403

33 19141,39 333600,3 34,26386 3255,665 100459,2 16,42821 0,170085

34 18195,63 314458,9 35,71419 3221,401 97203,52 16,28211 0,177043

35 17293,46 296263,3 37,63932 3185,687 93982,11 16,13152 0,184213

36 16432,32 278969,8 38,47794 3148,048 90796,43 15,97689 0,191577

37 15611,35 262537,5 39,15134 3109,57 87648,38 15,81709 0,199186

38 14828,81 246926,1 39,82251 3070,418 84538,81 15,65179 0,207058

39 14082,85 232097,3 39,63075 3030,596 81468,39 15,48085 0,215198

40 13372,61 218014,5 41,9373 2990,965 78437,8 15,30306 0,223664

41 12693,88 204641,9 44,32083 2949,028 75446,83 15,1213 0,232319

179

42 12045,09 191948 46,87308 2904,707 72497,8 14,93579 0,241153

43 11424,64 179902,9 48,73118 2857,834 69593,1 14,74692 0,250147

44 10831,88 168478,3 50,9738 2809,103 66735,26 14,55393 0,259337

45 10265,1 157646,4 47,59251 2758,129 63926,16 14,35751 0,26869

46 9728,693 147381,3 48,55657 2710,537 61168,03 14,14914 0,278613

47 9216,865 137652,6 49,22476 2661,98 58457,49 13,93486 0,288816

48 8728,742 128435,7 50,08546 2612,755 55795,51 13,71412 0,299328

49 8263,002 119707 49,79333 2562,67 53182,76 13,48711 0,310138

50 7819,733 111444 56,47479 2512,876 50620,09 13,25164 0,321351

51 7390,89 103624,2 66,99461 2456,402 48107,21 13,02054 0,332355

52 6971,948 96233,36 66,59159 2389,407 45650,81 12,80294 0,342717

53 6573,359 89261,41 69,30347 2322,815 43261,4 12,57927 0,353368

54 6191,038 82688,05 65,52502 2253,512 40938,59 12,35609 0,363996

55 5830,702 76497,01 61,75405 2187,987 38685,08 12,11969 0,375253

56 5491,295 70666,31 58,99931 2126,233 36497,09 1 1,86879 0,387201

57 5170,806 65175,02 56,30786 2067,234 34370,86 11,60442 0,399789

58 4868,269 60004,21 56,71821 2010,926 32303,62 1 1,32557 0,413068

59 4579,729 55135,94 54,17795 1954,207 30292,7 11,03913 0,426708

60 4307,468 50556,21 57,15554 1900,03 28338,49 10,73687 0,441101

61 4045,195 46248,74 64,77677 1842,874 26438.46 10,43301 0,455571

62 3787,79 42203,55 69,32275 1778,097 24595,59 10,142 0,469429

63 3538,096 38415,76 71,39501 1708,774 22817,49 9,857748 0.482964

64 3298,221 34877,66 73,19661 1637,379 21108,71 9,574691 0,496443

65 3067,966 31579,44 71,30902 1564,183 19471,34 9,293284 0,509811

66 2850,563 28511,48 68,94062 1492,874 17907,15 9,00205 0,523712

180

67 2645,881 25660,91 66,4549 1423,933 16414,28 8,698437 0,53817

68 2453,432 23015,03 63,63547 1357,478 14990,35 8,380749 0,553298

69 2272,967 20561,6 62,90584 1293,843 13632,87 8,046151 0,56923

70 2101,824 18288,63 64,94981 1230,937 12339,02 7,701314 0,585652

71 1936,788 16186,81 65,52366 1165,987 11108,09 7,357555 0,602021

72 1779,036 14250,02 67,4287 1100,464 9942,1 7,009968 0,618573

73 1626,891 12470,99 68,00328 1033,035 8841,637 6,665531 0,634975

74 1481,417 10844,09 69,83807 965,0315 7808,602 6,320082 0,651425

75 1341.035 9362,677 73,25689 895,1935 6843,57 5,981679 0,667539

76 1203,92 8021,642 74,11294 821,9366 5948,377 5,662939 0,682717

77 1072,477 6817,723 74,23195 747,8236 5126,44 5,356987 0,697286

78 947,1748 5745,245 74,95545 673,5917 4378,617 5,065666 0,711159

79 827,1158 1798,071 68,58154 598,6362 3705,025 4,800966 0,723764

80 719,1478 3970,955 63.43257 530,0547 3106,389 4,521751 0,737059

81 621,4701 3251,807 60,15575 466,6221 2576,334 4,232444 0,750836

82 531,7205 2630,337 56,19313 406,4664 2109,712 3,946842 0,764436

83 450,2074 2098,617 52,38849 350,2732 1703,246 3,661444 0,778026

84 376,3804 1648,409 49,81475 297,8847 1352,972 3,379636 0,791446

85 308,6428 1272,029 45,18417 248,07 1055,088 3,121362 0,803745

86 248,7613 963,386 41,85671 202,8858 807,0176 2,872732 0,815584

87 195,0589 714,6247 35,7529 161,0291 604,1317 2,663636 0,825541

88 150,0174 519,5658 29,94041 125,2762 443,1026 2,463369 0,835078

89 112,9333 369,5484 24,5137 95,3358 317,8264 2,27227 0,844178

90 83,04186 256,615 19,57132 70,8221 222,4906 2,090189 0,852848

91 59,51617 173,5732 15,22382 51,25078 151,6685 1,916403 0,861124

181

92 41,45824 114,057 11,4814 36,02695 100,4177 1,75113 0,868994

93 28,00264 72,59875 8,386982 24,54555 64,39079 1,592569 0,876544

94 18,28219 44,59612 5,920337 16,15857 39,84524 1,43932 0,883842

95 11,49128 26,31392 4,011594 10,23823 23,68667 1,289904 0,890957

96 6,932479 14,82264 2,605732 6,226639 13,44843 1,138145 0,898184

97 3,996629 7,890166 1,609718 3,620907 7,221796 0,974205 0,90599

98 2,196595 3,893537 0,950181 2,011188 3,600889 0,772533 0,915594

99 1,141814 1,696942 0,532314 1,061007 1,589701 0,48618 0,92923

100 0,555128 0,555128 0,528693 0,528693 0,528693 0 0,952381

182


Справочный материал

Важнейшие дискретные распределения

Тип

распределения Параметры

Возможные

значения k Вероятность

Математическое

ожидание,

дисперсия

Бернулли

pB 10 p 1,0k

pP 10

pP 1

pE

ppD 1

Биномиальное

pnB ,

Nn

10 p

nk ,,1,0

knkkn ppCkP 1

npE

pnpD 1

Пуассона

П 0 ,1,0k

!k

ekP

k

E

D

Геометрическое

pG 10 p ,1,0k ppkP

k 11

pE

1

2

1

p

pD

Важнейшие непрерывные распределения

Тип

распределения Параметры Плотность распределения

Математическое

ожидание,

дисперсия

Равномерное

baU ,

Ra

Rb .,0

,,1

,,0

bx

bxaab

ax

xf 2

baE

12

2ab

D

Нормальное

,aФ

Ra

0 2

2

2exp

2

1 axxf

aE

2D

Показательное

Г 0

.0,

,0,0

xe

xxf x

1E

2

1D

183

Ренты

Приведенная (пренумерандо) Обыкновенная (постнумерандо)

пожизненные

x

xx

D

Na

x

xx

D

Na 1

срочные

x

nxx

nx:D

NNa

x

nxx

nx:D

NNa 11

отложенные

x

mxxm

D

Na

x

mxxm

D

Na 1

отложенные срочные

x

nmxmx

nx:mD

NNa

x

nmxmx

nx:mD

NNa 11

ренты, выплачиваемые несколько раз в год (простые формулы)

x

nx

nx:n

(q)x:

D

D

q

qaa 1

2

1

x

nx

nx:n

(q)x:

D

D

q

qaa 1

2

1

ренты, выплачиваемые несколько раз в год (точные формулы)

x

nxnx:n

(q)x:

D

Dβ(q)aα(q)a 1

x

nxnx:n

(q)x:

D

D

qβaα(q)a 1

1

где ;)(;)()()(

)(

q)()( qq

q

q di

iiq

di

idq

(q)(q) d,i – фактические процентная и учетная ставки за период, равный q

1 части года,

определяемые формулами:

qiqi/q

e(q) 1

1 ; 11q

e i/qi (эффективная процентная ставка);

/qe

(q) dqqd1

1 ; νde 1 (эффективная годовая учетная ставка).

непрерывные ренты

222

nx:nx:

x

nxx

nx:x

nxx

nx:nx:

aa

D

DDa

D

DDaa

Business

лекции по актуарной_математике_-_kuznecova