Основы моделирования в пакете GUSEK/GLPK

v 0.3 2015-03-09

Решение задач транспортного типаОперации с множествами

Заходякин Г.В. postlogist@gmail.com

План занятия• Содержательная постановка транспортной задачи• Модель на языке MathProg• Полезные операции с множествами в MathProg

2

Содержательная постановка• Компания располагает тремя складами, расположенными в Подмосковье (Химки, Чехов и

Ногинск) • Продукция со складов доставляется клиентам в ближайших областях. В этом примере спрос

клиентов каждой области агрегирован до областного центра• Известен объем заказов, полученных от клиентов и запасов, доступных на каждом складе• Известно расстояние от каждого склада до каждого клиента• Требуется найти план перевозок (распределения), обеспечивающий минимальные

транспортные затраты и при этом удовлетворить спрос всех клиентов

3

Транспортная задача на карте…

Требуется составить план перевозок с минимальными затратами, прикотором полностью удовлетворяется весь спрос 4

Математическая постановка задачи

𝐹𝐹 = �𝑤𝑤∈𝑊𝑊

�𝑚𝑚∈𝑀𝑀

𝑐𝑐 ⋅ 𝑑𝑑𝑤𝑤𝑚𝑚 ⋅ 𝑥𝑥𝑤𝑤𝑚𝑚 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

�𝑚𝑚∈𝑀𝑀

𝑥𝑥𝑤𝑤𝑚𝑚 = 𝐼𝐼𝑤𝑤 ,∀𝑤𝑤 ∈ 𝑊𝑊

�𝑤𝑤∈𝑊𝑊

𝑥𝑥𝑤𝑤𝑚𝑚 = 𝐷𝐷𝑚𝑚,∀𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀

𝑥𝑥𝑤𝑤𝑚𝑚 ≥ 0,∀𝑤𝑤 ∈ 𝑊𝑊,∀𝑚𝑚 ∈ 𝑀𝑀

Обозначения:• 𝑊𝑊 – множество складов• 𝑀𝑀 – множество рынков• 𝑥𝑥𝑤𝑤𝑚𝑚 - объем перевозок по маршруту 𝑤𝑤 → 𝑚𝑚• 𝑑𝑑𝑤𝑤𝑚𝑚- расстояние между пунктами• с – тариф, в расчете на ед. продукта на км• 𝐼𝐼𝑤𝑤 - запасы склада 𝑤𝑤• 𝐷𝐷𝑚𝑚 - спрос на рынке 𝑚𝑚

Владимир … Ниж-

ний

500Запасы

M (рынки)

W (склады)

𝑥𝑥Химки,Владимир

Х Ч Н

500 1000

100Спрос 300

структураданных решения

5

ПЕРВАЯ МОДЕЛЬ:ВСЕ МАРШРУТЫ

6

Подготовка• Создайте новую модель и сохраните ее в файл:

transportation.mod

7

Множества и параметры модели• На рисунке показано объявление множеств и параметров модели

– Для каждого параметра мы задали проверку на допустимое значение, а также разумное значение по умолчанию. Например, если между какими-то пунктами маршрут прокладывать нецелесообразно, можно пропустить в данных это расстояние; при этом по умолчанию длина маршрута станет очень большой, и маршрут не будет использоваться

– Ключевое слово check позволяет задать более сложную проверку: мы можем проверять не просто отдельные значения загружаемых данных, а использовать произвольные выражения для контроля правильности. Поскольку эта проверка не является частью математической постановки модели, здесь можно использовать произвольные нелинейные функции

– В классической постановке транспортной задачи, которую мы используем, запасы на складах и спрос клиентов в точности равны. На практике, такое условие редко реализуется, поэтому контролируемое условие может оказаться чрезмерно строгим

8

Переменные и целевая функция• На рисунке показано объявление переменных модели

и выражение для целевой функции– В этой задаче переменные решения (план перевозок)

имеют структуру таблицы: строки таблицы – склады, столбцы – клиенты (на рисунке для компактности показанатранспонированная таблица)

– Целевая функция - транспортные затраты - зависит от объемов перевозок по каждому маршруту и его длины

– Мы считаем, что транспортные тарифы по всем направлениям одинаковые, поэтому не важно, какое именнозначение принимает параметр tariff. Сумма будет изменяться пропорционально значению параметра, а оптимальное решение не изменится. В этой задаче примем tariff за 1

– Целевую функцию можно записать несколькими способами. Наиболее компактный – одна сумма, в индексирующем выражении которой присутствуют оба множества. Порядок написания индексов здесь не важен. Порядок важен тогда, когда мы обращаемся к переменной или таблице расстояний. Поскольку мы задали их индексы как {склад, клиент}, - правильно писать: trans[w, m]. Наоборот – trans[m, w] – нельзя.

9

Ограничения• На рисунке показана система ограничений

– В модели присутствуют 2 вида ограничений: для каждого склада –возможный объем поставок, для каждого клиента – требование по выполнению спроса; при этом клиент, в принципе, может снабжаться с разных складов

– Оба ограничения представляют собой множество ограничений (индексирующее выражение задано в {} после имени ограничения)

10

Данные• На рисунке показан раздел данных для решения задачи (в одном файле с моделью)

– Мы, по возможности, используем одновременное определение элементов множества и свойств этих элементов (в реляционном формате)

– В модели мы определили индексы для параметра distance – склад, модель. Но, поскольку клиентов много, такую таблицу неудобно вводить. Поэтому в разделе данных можно указать, что таблица приведена в транспонированном виде (tr), тогда ошибки не будет

– Можно использовать русские символы для элементов множеств, но тогда нужны кавычки❶

❷

11

Проба• Добавьте перед разделом данных команды solve и display, чтобы вывести значение

транспортных затрат и план перевозок• Запустите модель, чтобы проверить решение

• На рисунке приведен фрагмент плана перевозок. Очевидно, что выдаваемый автоматически отчет крайне неудобен для анализа: он содержит все переменные решения, даже если какой-либо маршрут не предполагается использовать

12

Фильтрация в индексных выражениях• До сих пор при записи индексирующих выражений в MathProg мы использовали все элементы

некоторого множества, или все возможные сочетания элементов из нескольких множеств. Однако часто требуются не все элементы, а лишь те, которые обладают нужными свойствами

• Для отбора нужных элементов используются фильтры. После двоеточия в индексном выражении можно записать условие. Если записанное в условии выражение истинно для текущего элемента, то он включается в индекс и используется. Иначе – пропускается

• Несколько условий можно объединить в одно с помощью союзов: И (&&), ИЛИ (||), например: trans[w, m] > 0 && trans[w, m] < 100 – оба условия должны выполняться одновременно

• Фильтры работают в любой ситуации – и при определении компонентов модели тоже• На рисунке мы вывели план перевозок только по используемым маршрутам. Обратите внимание, что из-

за порядка индексов список получился отсортированным по рынкам

13

Форматированный отчет• Команды для получения форматированного отчета

показаны на рисунке внизу• Мы используем для вывода строк таблицы

команду for, которая повторяет для каждогоклиента (строки) команды printf для печатиобъемов перевозок с разных складов (столбцы)

• При необходимости, вы можете обратиться запояснениями об использовании специальныхсимволов (\n) и спецификаторов формата (%)к тренингу по задаче о рационе

14

ВТОРАЯ МОДЕЛЬ:ТОЛЬКО РАЗУМНЫЕ МАРШРУТЫ

15

Решение на карте…• Сравнение решения с картой позволяет утверждать, что план перевозок в нашей задаче получился

довольно разумным: каждый город снабжается с ближайшего склада• Однако в задаче реалистичного размера – с большим числом клиентов – выбранный нами способ

формализации модели приведет к проблеме: число переменных решения определяется произведением числа складов и клиентов (30)

• Можно несколько снизить размерность задачи, если рассматривать не все возможные маршруты, а только те, которыецелесообразноиспользовать

• Даже текущая постановка позволяетисключить частьмаршрутов, еслиудалить для нихрасстояние в таблицеданных (значениепо умолчанию оченьвелико)

• Однако, есть болееэлегантное решение

16

Модель 2: множества• Сохраните копию модели 1 под именем transportation2.mod• Мы модифицируем старую модель, чтобы учесть возможность явно задавать списком допустимые

маршруты• На рисунке показан раздел с объявлением множеств в новой версии модели

– Добавилось новое множество – маршруты (ROUTES)– Под маршрутом мы будем понимать пару элементов – (склад, магазин). Именно пары таких

сочетаний являются элементами множества ROUTES– В принципе, для объявления такого двухэлементного множества достаточно было написать:

set ROUTES dimen 2; #элементы множества – это пары значений– В данном случае мы дополнительно указали, что множество ROUTES – это подмножество декартова

произведения множеств WH и MARKETS:𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ⊆ 𝑊𝑊𝑊𝑊 × 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅

То есть, в это множество может входить часть или все сочетания склада и магазина. Но, например, пары: (склад, склад) – не подойдут– При нарушении требования к элементам маршрута будет выведено сообщение об ошибке

17

Модель 2: параметры• Измените объявление параметра distance, как показано на рисунке

18

Модель 2: переменные и критерий• Измените объявление переменной trans и выражение для целевой функции, как

показано на рисунке– Теперь переменная определена только на возможных маршрутах, задаваемых множеством ROUTES,

мы рассматриваем не все сочетания складов и магазинов– При определении целевой функции, в сумме, мы, как и раньше вводим индексные переменные.

Однако отличие в том, что теперь мы получаем эти индексы из элементов множества ROUTES: как было определено ранее, это множество состоит из пар: (склад, магазин). Поэтому первый индекс (w) соответствует складу, а второй (m) – магазину. В выражении под знаком суммы отличий нет, мы можем использовать заданные таким образом индексы как обычно

19

Модель 2: ограничения• Выражения для ограничений в новой модели показаны на рисунке:

• Ранее мы рассматривали для каждого склада сумму по всем клиентам. Теперь же для подсчета суммы будут использоваться только те клиенты, к которым заданы маршруты, т.е. в множестве ROUTES к ним есть маршрут, который начинается на этом складе

• Эквивалентная, но более громоздкая запись ограничения – с использованием фильтра:

• Рекомендуем применять краткую форму, показанную вначале

20

Модель 2: вывод решения• Поскольку теперь используются не все маршруты, необходимо модифицировать команды

для вывода решения:

• В коде для вывода таблицы необходимо модифицировать выражение для плана перевозок по маршруту (печать, вложенная в for). Теперь мы используем условное выражение: if условие then формула1 else формула2

• Условное выражение работает подобно функции ЕСЛИ() в Excel: если условие – истина, то результат вычисляется по формуле1, иначе – по формуле 2. В плане для невозможных маршрутов будут стоять нули

21

Модель 2: данные• В разделе данных необходимо изменить

определение параметра distance и задатьэлементы множества допустимых маршрутов(ROUTES)

• Оба этих объекта определяются одновременно,как показано на рисунке

• Первые два значения (строки) – это пара элементовмаршрута (начало и конец), числовое значениев третьем столбце – расстояние

• Обратите внимание на порядок индексов:он должен совпадать с тем, который был указанпри объявлении параметра и множества, т.е.:склад, клиент

22

Модель 2: решение• Для сравнения, на рисунке показаны результаты по моделям 1 и 2• Мы ограничили область допустимых решений, убрав часть маршрутов, поэтому затраты получились выше• Но этот результат точнее отражает наши требования

23

ТРЕТЬЯ МОДЕЛЬ:ИНДЕКСИРОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА

24

Модель 3: индексированные множества• Сохраните копию модели под именем transportation3.mod. В этом примере мы немного модифицируем

модель, чтобы сделать более удобной запись ограничений• На рисунке показаны два дополнительных множества, которые создаются на основе списка маршрутов:

– множество CUST задает для каждого склада множество рынков, к которым от этого склада есть маршрут (т.е. это множество возможных клиентов данного склада). Чтобы узнать, кого снабжает склад w, нужно написать: CUST[w]

– множество SUPL задает для каждого рынка множество возможных поставщиков• в MathProg такие индексированные множества называются “indexed collection of sets” – индексированная

коллекция множеств (для краткости будем называть их «индексированные множества»)

25

Оператор setof• Оператор setof очень полезен, т.к. он позволяет конструировать новые множества на основе существующих.

Рассмотрим его работу на примере:

– Мы определяем индексированное множество CUST– Рассматриваются все элементы множества складов WH– Для каждого склада множество клиентов формируется

с помощью оператора setof– В скобках после setof написано выражение,

порождающее некоторое множество. В данномслучае это выражение выбирает из множествамаршрутов все маршруты, которые начинаютсяна складе w

– Маршрут представляет собой пару значений: (склад, рынок). Мы можем ссылаться на эти значения,соответственно, как w и m

– Сразу после скобок {} указан шаблон, который определяет, какие части элементов сгенерированногомножества нам нужны. В данном случае – толькорынок (m)

– В результате для каждого склада получится списокклиентов, которые с него снабжаются. Например,для склада в Чехове получим:CUST[“Чехов”] = “Калуга”, “Рязань”, “Москва”, “Тула” 26

Модель 3: использование индексированных множеств

• Используя созданные нами дополнительные множества, можно более понятно записать ограничения в модели:

• Например, для ограничения по складам, в индексе для суммы теперь явно указано, что необходимо включать все рынки, снабжаемые со склада w – CUST[w]

• Другие элементы модели изменения не требуют. Поскольку мы не меняли математическую постановку, результаты расчета в точности совпадают с прежними

27

Операции с множествами• Полезно знать основные операции с множествами. Рассмотрим их на примере• Пусть 𝑀𝑀 = 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 , 𝐵𝐵 = {𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑}

Операция Результат Математическая запись

Оператор MathProg

Объединение {𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑} 𝑀𝑀⋃𝐵𝐵 A union B

Пересечение {𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑} 𝑀𝑀⋂𝐵𝐵 A inter B

Декартово произведение

{ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 , 𝑎𝑎, 𝑐𝑐 , 𝑎𝑎,𝑑𝑑 ,𝑏𝑏, 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 , 𝑏𝑏,𝑑𝑑 ,𝑐𝑐, 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐, 𝑐𝑐 , 𝑐𝑐,𝑑𝑑 }

𝑀𝑀 × 𝐵𝐵 A cross B

Разность {𝑎𝑎} 𝑀𝑀\B A diff B

Симметричная разность

{𝑎𝑎,𝑑𝑑} 𝑀𝑀⨁𝐵𝐵 A symdiff B

𝑀𝑀⋃𝐵𝐵 𝑀𝑀⋂𝐵𝐵 𝑀𝑀 × 𝐵𝐵 𝑀𝑀\B 𝑀𝑀⨁𝐵𝐵

(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)

28

Для чего это можно использовать• Операции с множествами очень полезны для приведения данных к нужному формату и удобной записи

компонентов модели• Вспомним, например, задачу о составлении рациона (см. тренинг): в каждом виде корма содержалось

4 компонента: 3 полезных и 1 вредный. Из-за этого пришлось писать «универсальные» ограничения, задающие нижнюю и верхнюю границу на содержание компонента в рационе. Из-за этого потребовалось ввести искусственные границы для максимального содержания компонентов, которые в большинстве случаев не имели смысла

• Теперь эту задачу мы можем решить более адекватно (здесь приведены только измененные компоненты модели и данных):

29