一 复习回顾1 平面的斜线和平面所成的角

2 直线和平面所成角的范围是 [0[0 ，， 9090]] 。

斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

5 最小角原理

4 斜非角的余弦等于线面角的余弦与射非角 余弦的积：

3 求法 (1) 直接法—构作三角形 (2) 公式法 (3) 向量法

O

A BC

cos =cos cos

作 (求 )二面角的平面角的常用方法

（ 2 ）、点 P 在棱上

（ 3 ）、点 P 在一个半平面上

（ 1 ）、点 P 在二面角内

l

P

ABAB

P

l A

B

O

l

P

— 定义法

— 三垂线 ( 逆 ) 定理法

— 垂线法

用这个关系式可求锐二面角的平面角

（ 4 ）公式法

射影公式法：如图所示， AD 平面M ，设 AHD= 是二面角 A-BC-D

的平面角，由 cos =AD/AH 可得，ABC 与它在过其底边 BC 的平面 M

上的射影 DBC 以及两者所成的二面角之间的关系：

ABC

DBC

SS

cos

A

B

C

DH

M

异面直线公式法

cosθ=d2+m2+n2-l2

2mn

(0＜ θ≤π)

A

A1

E

F

m

n

d

l

P(1)平移

(2)求 EF

2 熟练掌握二面角的平面角的定义、作法及其求法

3 能灵活运用上述知识解决相关问题，

学习目标

1 熟练掌握线面角定义、公式、求法及最小角原理

提高空间想象能力

和逻辑推理能力

二 知识运用与解题研究：

例 1 已知 ABCD 是梯形，∠ ABC=∠BAD=900 ， SA⊥平面 ABCD ， SA=AB=BC=1 ， AD=1／ 2 求 SC 与平面 ABCD 所成角S

A D

C

B

解：∵SA⊥平面 ABCD

∴SA AC⊥∵AB=BC=1 ∠ABC=900

∴AC=√2

又 SA=1 ∴SC=√3∴sin ACS=∠ SA

SC =√3 ／3∴SC 与平面 ABCD 所成角为 arcsin√3 ／ 3

例 2 已知直二面角 l ， A,B线段 AB=2a ， AB 与成 45º 的角，与成 30º 角，过 A 、 B 两点分别作棱 l 的垂线 AC 、 BD ，求面 ABD 与面 ABC

所成角的大小。

A

C

B

DH

F

解：如图 , 由已知可得平面 ABC 平面 , 作 DHBC 于 H ，则 DH

平面 ABC ，作 DFAB 于 F ，连 HF ，则据三垂线定理的逆定理知 DFH 为所求二面角的平面角。

,3

6,

3

3, aDHaHFaDF

于是在 DFH 中，由余弦定理，得3

3cos DFH

所以3

3arccosDFH

即面 ABD 与面 ABC 所成的二面角为 3

3arccos

又知 BAD=45º, ABC=30 º ，可解得

A

C

B

D

H

由于 D 在平面 A

BC 内的射影 H 在 BC 边上 ABH

为 ABD 在平面 ABC 上的射影设所求的二面角为 , 则有

cos = SABH

/SABD

，,

3

32 2aS ABH 2

2

1aS ABD

代入上式，得 3

3cos

由解法一，易求得

例 2 ：已知直二面角 l,A,B, 线段 AB=2a ， AB 与成 45º 的角，与成 30º 角，过 A 、 B 两点分别作棱 l 的垂线 AC 、 BD ，求面 ABD 与面 ABC 所成角的大小。

解法二（射影法）：l

1 PA 、 PB 、 PC 是 P 从点引出的三条射线，每两条的夹角都是 600 ，求直线 PC 与平面 PAB 所成角

P

C

B

2 如图 PA⊥平面 ABC ， AC BC⊥ ， PA=AC=1 ， BC=√2 CH AB⊥ 垂足为 H (1) 　求证　 CH⊥平面 PAB ( ２ ) 求二面角 A-PB-C 的大小

P

A

B

C

H

D

三 练习反馈

3 P 50 7

。于的平面交和过的中点，是，，平面

的正方形，是边长为：如图所示，四边形

NSDBCM

SAMSAABCDSA

ABCD

8

64

大小的正切值；）求二面角（ DBCM 1所成角的正切值；与平面）求（ ABCDCN2

所成角的余弦值；与）求（ BDCN3所成角大小的正弦值。与）求平面（ SDCSBC4

A

B C

D

S

M N

E F

Q

2 熟练掌握二面角的平面角的定义、作法及其求法

1 熟练掌握线面角定义、公式、求法

课堂总结