第十章 刚体的平面运动第十章 刚体的平面运动

第一节 刚体平面运动方程 第二节 平面图形内各点的速度第三节 平面图形内点的加速度 第四节 讨论与说明

第一节 刚体平面运动方程 一、刚体平面运动的概念 在刚体的运动过程中，如果刚体内部任意点到某固定的参考平面的距离始终保持不变，如下图 a ，那么称此运动为刚体的平面运动。

(a) 刚体的平面运动 (b) 刚体平面运动实例

二、刚体平面运动的分解

由于作刚体平面运动的刚体上任意点都在与固定参考平面平行的某一平面内运动，所以刚体的平面运动可以简化为平面图形 S 在其自身平面内的运动，如上图 a ，即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形 S 和其延展部分的运动即可。

研究平面图形的运动，可以用平面图形内任一线段的运动表示。确定线段的位置可用线段一端点坐标和线段与某一坐标轴的夹角来表示。（如右图 A 点的坐标，和 AB 与 x 轴的夹角 φ ）

其运动方程为

1

2

3

( )

( )

( )

A

A

x f t

y f t

f t

点 A 称为基点（研究运动的基本出发点，一般取运动已知的点为基点）。即刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。运动方程中的平动方程与基点的选择有关，而转动方程与基点的选择无关。

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第二节 平面图形内各点的速度 一、基点法 平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和。即

M O MOv v v

二、速度投影法 平面图形上任意两点的速度在该两点的连线上的投影相等。即

[ ] [ ]

cos cosA AB B AB

A B

v v

v v

三、速度瞬心法 在任一瞬时，作平面运动的图形上，必然唯一存在一个瞬时速度为零的点，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称瞬心。

故平面图形在某一瞬时的运动，可以看作绕速度瞬心的瞬时转动。如下图，速度瞬心 C 的几种判断方法。

实 例 已知：如右图所示的曲柄连杆机构中，曲柄 OA 以匀角速度 ω转动，且 OA=AB=l 。 求： 当 φ=45° 时，滑块 B 的速度及 AB 杆的角速度。

解： 一、基点法 （如图 b ）

以 A 为基点， B 点随基点 A 作平动并且绕基点作转动，有

B A BAv v v

根据在 B 点构成的速度三角形，有

sinB Av v

2sin sin 45

AB

v lv l

cos 2 cos 45BA Bv v l l

AB 杆转动的角速度为

BAAB

v l

AB l

（ a）

（ b）

二、速度投影法 （如图 c ）

（ c）

（ d）

根据速度投影法，有

B 点的速度为

注：速度投影发不能够求得杆件的相对转动的转动角速度。

三、速度瞬心法（如图 d ）

A 、 B 两点的速度方向已知，根据速度瞬心法，可判断出 AB 杆的速度瞬心为 C 点，有

2cos 45 cos 45

AB

v lv l

[ ] [ ]

cos cosA AB B AB

A B

v v

v v

Av l

AB 绕瞬心 C 转动的角速度为

AAB

v

AC

B 点的速度为

2B ABv BC l

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第三节 平面图形内点的加速度 当平面图形的平面运动方程已知时，与速度合成定理类似，可得到形式相同的及速度合成定理，即基点法求加速度公式。将下式两端同时求导

B A BAv v v

得 B A BAa a a

即平面图形上任一点 B 的加速度等于基点 A 的加速度与点 B 绕基点 A 转动的加速度的矢量和。这种求加速度的方法称为基点法。

如右图，以 A 为基点，求点 B 的加速度。

B A BAa a a

nB A BA BAa a a a

BA ABa AB

2nBAa AB

其中

点 B 绕基点 A 转动的切向加速度，方向沿 AB ，指向与 εAB 的转向一致；

点 B 绕基点 A 转动的法向加速度，方向垂直于 AB ，指向基点 A 。

例 右图 a 中，已知 O1A=O2B ，图示瞬时， O1A∥O2B 求：两图中的 A 、 B 两点的角速度是否相等？ A 、 B 两点的角加速度是否相等？

（ a ）

解： 右图 a 中， AB 作平动，所以有

A Bv vA Ba a

A Ba a n nA Ba a

又因为

11

11

A

A

v

O A

a

O A

22

22

B

B

v

O B

a

O B

1 2O A O B

所以 1 2

1 2

即 A 、 B 两点的角速度和角加速度完全相等。

结论：刚体作平动时，其上任意点的速度和加速度完全相同。

（ b ）

右图中， AB 作平面运动，图示位置时作瞬时平动，此时 ωAB=0 ， vA=vB 。 因为

1 2O A O B 11

Av

O A 2

2

Bv

O B

所以 1 2

由加速度合成定理，即 n n n

B B A A BA BAa a a a a a

将上式两侧向 AB 投影，有

2 22 2 2 2 1 1 1 1sin cos sin cosO B O B O A O A

所以 2

2 1 12 ctg

即 1 2

结论：平面图形作瞬时平动时，图形上各点的加速度不等。

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第四节 讨论与说明 一、平面运动力学模型的简化 平面运动的一般刚体模型可简化为由平行与此固定平面在刚体上所截出的平面图形或其上的任一直线。

二、运动分析方法的评价与选用

三种方法：

1 、运动方程求导数法；

2 、矢量方程图解法；

3 、矢量方程解析法。

说明：方法 1 描述了点的连续运动过程，适用于计算机分析；方法 2 完全应用几何作图方法求解，工作效率低；所以，多采用方法 3 求解。

三、机械臂抓举或搬运的运动分析

机器人或机械臂从本世纪 60年代以来，已成为典型而重要的工程力学研究对象。右图表示了机械臂从滑道上抓举或搬运零件的过程。

（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）

上图 1 中机械臂有两个自用度， N=2 ，广义坐标 q=( φ,φr ) ；运动到图 2 位置时，系统增加一个约束条件，所以 N=1 ， q=φ ；当运动到图 3 位置时，又成为与图 1 相同情况。

图 1 中，机械臂像一根打开的链条或树枝，这时称它为“开链系统”或“树形系统”，而图 2则“闭链系统”或“非树系统”。注意，在机械手 C 推动零件 C1 沿滑道运动时，机械臂就是常见的曲柄滑块机构，而在图 3 中，又成为与图 1 相同的力学系统。

运动分析

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